圆锥曲线共同特征_图文17页PPT
2021年高中数学.5圆锥曲线的共同性质
2021年高中数学2.5圆锥曲线的共同性质要点精讲椭圆、双曲线、抛物线有共同的性质：圆锥曲线上的点到一个定点F 和到一条定直线l (F 不在定直线l 上)的距离之比是一个常数e. 这个常数e 叫做圆锥曲线的离心率，定点F 就是圆锥曲线的焦点，定直线l 就是该圆锥曲线的准线．椭圆的离心率满足0<e <1，双曲线的离心率e >1，抛物线的离心率e =1．根据图形的对称性可知，椭圆和双曲线都有两条准线，对于中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆或双曲线，准线方程都是典型题解析【例1】以下同个关于圆锥曲线的命题中 ①设A 、B 为两个定点，k 为非零常数，，则动点P 的轨迹为双曲线；②设定圆C 上一定点A 作圆的动点弦AB ，O 为坐标原点，若则动点P 的轨迹为椭圆； ③方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④双曲线13519252222=+=-y x y x 与椭圆有相同的焦点.其中真命题的序号为 （写出所有真命题的序号）【分析】本题主要考查圆锥曲线的定义和性质主要由a,b,c,e 的关系求得【解】双曲线的第一定义是:平面上的动点P 到两定点是A,B 之间的距离的差的绝对值为常数2a, 且,那么P 点的轨迹为双曲线,故①错， 由,得P 为弦AB 的中点,故②错，设的两根为则可知两根互与为倒数,且均为正,故③对， 的焦点坐标(),而的焦点坐标(),故④正确.【点评】要牢牢掌握椭圆,双曲线的第一定义,同时还要掌握圆锥曲线的统一定义,弄清圆锥曲线中a,b,c,e 的相互关系.【例2】设曲线1sin cos 1cos sin 2222=-=+θθθθy x y x 和有4个不同的交点．（Ⅰ）求θ的取值范围；（Ⅱ）证明这4个交点共圆，并求圆半径的取值范围．【分析】本小题主要考查坐标法、曲线的交点和三角函数性质等基础知识，以及逻辑推理能力和运算能力． 【解】（I ）两曲线的交点坐标（x ，y ）满足方程组 即有4个不同交点等价于且即 又因为所以得的取值范围为（0，（II ）由（I ）的推理知4个交点的坐标（x ，y ）满足方程 即得4个交点共圆，该圆的圆心在原点，半径为 因为在上是减函数，所以由知r 的取值范围是【例3】设双曲线C 的中心在原点，以抛物线y 2=2x －4的顶点为双曲线的右焦点，抛物线的准线为双曲线的右准线．（Ⅰ）试求双曲线C 的方程；（Ⅱ）设直线l:y=2x ＋1与双曲线C 交于A ．B 两点，求|AB|；（Ⅲ）对于直线y=kx ＋1，是否存在这样的实数k ，使直线l 与双曲线C 的交点A ．B 关于直线y=ax(a 为常数)对称，若存在，求出k 值；若不存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）由已知条件判断双曲线C 的焦点在x 轴上，然后求双曲线标准方程中的a ，b ；（Ⅱ）利用弦长公式求|AB|；（Ⅲ）假设存在这样的实数k ，使直线l 与双曲线C 的交点A ．B 关于直线y=ax(a 为常数)对称求k 值，发现矛盾，从而判断不存在这样的实数k ，使直线l 与双曲线C 的交点A ．B 关于直线y=ax(a 为常数)对称． 【解】（Ⅰ）由抛物线y 2=2x －4，即y 2=2 (x －)，可知抛物线顶点为（，0），准线方程为x=．在双曲线C 中，中心在原点，右焦点（，0），右准线x=，∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+===33213363322222c b a b a c c a c ∴双曲线c 的方程3x 2－y 2=1 （Ⅱ）由0241)12(3131222222=++⇒=+-⇒⎩⎨⎧=-+=x x x x y x x y∴|AB|=2（Ⅲ）假设存在实数k ，使A ．B 关于直线y=ax 对称，设A(x 1，y 1)．B(x 2，y 2)，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+⋅=+++=+-=222)(121212121x x a y y x x k y y ka 由022)3(1312222=---⇒⎩⎨⎧-=+=kx x k x y kx y ④ 由②③，有a(x 1＋x 2)=k(x 1＋x 2)＋2 ⑤ 由④知：x 1＋x 2=代入⑤整理得ak=3与①矛盾，故不存在实数k ，使A ．B 关于直线y=ax 对称．【点评】两点关于一直线对称有两方面的含义：一是两点的连线与已知直线垂直；另一方面两点的连线段的中点在已知直线上．【例4】已知椭圆的左、右焦点分别是 、，是椭圆外的动点，满足，点Ｐ是线段与该椭圆的交点，点Ｔ在线段上，并且 满足．（Ⅰ）设为点Ｐ的横坐标，证明 ； （Ⅱ）求点Ｔ的轨迹Ｃ的方程；∠的正切值；若不存在，请说明理由．【分析】用，以及综合运用数学知识解决问题的能力.. （Ⅰ）证法一：设点P 的坐标为 由P 在椭圆上，得.)()()(||222222221x aca xa b b c x y c x F +=-++=++=由0,>+-≥+≥a c x aca a x 知，所以 证法二：设点P 的坐标为记则.)(,)(222221y c x r y c x r ++=++=由cx r r a r r 4,2222121=-=+，得．证法三：设点P 的坐标为② ③椭圆的左准线方程为 由椭圆第二定义得，即.||||||21x ac a c a x a c F +=+= 由0,>+-≥+-≥a c x aca a x 知，所以（Ⅱ）解法一：设点T 的坐标为当时，点（，0）和点（－，0）在轨迹上. 当|时， 由，得.又，所以T 为线段F 2Q 的中点. 在△QF 1F 2中，，所以有综上所述，点T 的轨迹C 的方程是解法二：设点T 的坐标为 当时，点（，0）和点（－，0）在轨迹上. 当|时，由，得.又，所以T 为线段F 2Q 的中点.设点Q 的坐标为（），则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'=+'=.2,2y y c x x 因此 ① 由得 ② 将①代入②，可得综上所述，点T 的轨迹C 的方程是（Ⅲ）解法一：C 上存在点M （）使S=的充要条件是⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=+.||221,2022020b y c a y x 由③得， 由④得所以，当时，存在点M ，使S=； 当时，不存在满足条件的点M.当时，),(),,(002001y x c MF y x c MF --=---=， 由2222022021b c a y c x MF =-=+-=⋅，212121cos ||||MF F MF MF MF ∠⋅=⋅，22121sin ||||21b MF F MF MF S =∠⋅=，得解法二：③ ④C 上存在点M （）使S=的充要条件是⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=+.||221,2022020b y c a y x 由④得 上式代入③得.0))((2224220≥+-=-=c b a c b a cb a x于是，当时，存在点M ，使S=；当时，不存在满足条件的点M.当时，记c x y k k c x y k k M F M F -==+==00200121,，由知，所以规律总结1.讨论直线与圆锥曲线的位置关系，一般是将直线方程与圆锥曲线的方程联立成方程组，消去y 得关于x 的方程，讨论得关于x 的方程解的情况对应得到直线与圆锥曲线的位置关系．一般注意以下三点：（１）要注意与两种情况，只有时，才可用判别式来确定解 的个数； （2）直线与圆锥曲线相切时，一定有 ；（3）直线与圆锥曲线有且只有一个交点时，不一定相切．对椭圆来讲，一定相切；对双曲线来讲，除了相切，还有一种相交，此时 此时直线与渐近线平行，直线与双曲线的一支相交有一个交点； 对抛物线来说，除了相切，还有一种相交，此时 此时直线与抛物线的对称轴平行只有一个交点． 2．直线与圆锥曲线有两个相异的公共点，表示直线与圆锥曲线相交，此时直线被圆锥曲线截得的线段称为圆锥曲线的弦．当弦所在直线的斜率k 存在时．利用两点距离公式()21221221)(y y x x P P -+-=及斜率公式得弦长公式为：()()[]21221212221411x x x xk x x k P P -++=-+=，或当弦所在直线的斜率k 存在且非零时，弦长公式可表示为：()[]2122121222141111y y y y k y y k P P -+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+=． ③④。
2018-2019学年北师大版选修2-1 3.4.2圆锥曲线的共同特征 课件(23张)
的距离和它到一条定直线（ l l不
F ）的距离的比等于常数 e的点的轨迹，
当 0 e 1 时，它是椭圆；
当 e 1 时，它是抛物线；
o
y M
L
d
当 e 1 时，它是双曲线.
F
标准方程
x2 y2 2 1 2 a b ( a b 0)
图形
y
焦点坐标
x
准线方程
2
o
y x 2 1 2 a b (a b 0)
北师大版《普通高中课程标准实验教科书》·数学 ·选修2-1 圆锥曲线的共同特征
4.2圆锥曲线的共同特征
一、 创设情境，引入新课
请同学们回忆以下知识： 1.求曲线方程的一般步骤; 2.椭圆、抛物线、双曲线的定义及标准方程； 3.椭圆、抛物线、双曲线的离心率的取值范围.
思考：
圆锥曲线的方程有什么共同特征吗？ 圆锥曲线的方程都是二元二次方程。
2
2
y
( c, 0) x a c
o
x
a (0, c) y c
2
x y 2 1 2 a b (a 0, b 0)
2
2
y
o
x
a ( c, 0) x c
2
y 2 x2 2 1 2 a b (a 0, b 0)
y
o
x
a (0, c) y c
问题3：曲线上的点M(x,y)到定点 16 F(5,0)的距离和它到定直线L: X= 5 5 的距离的比是常数 4 ，求曲线方程。
解：设d是点M到直线l的距离，根据题意， MF 5 曲线上的点M满足： ? d 4 ( x 5) 2 y 2 5 由此得 16 4 x 5 即有4 ( x 5) 2 y 2 16 5 x x y 两边平方，并化简得 1 16 9
4.2圆锥曲线的共同性质
图形
焦点坐标
准线方程
a2 x c a2 y c a2 x c
( c, 0) (0, c) ( c, 0)
y 2 x2 2 1 2 a b (a b 0)
x2 y 2 2 1 2 a b (a 0, b 0)
y 2 x2 2 1 2 a b (a 0, b 0)
所以点P的轨迹是焦点为(-c,0),(c,0),实轴长、 虚轴长分别为2a,2b的双曲线.
可知，椭圆、双曲线、抛物线有共同性质为:
平面内到一定点F 与到一条定直线l 的距离之比为常数 e 的点的轨迹: ( 点F 不在直线l 上） 当 0< e <1 时, 点的轨迹是椭圆. 当 e >1 时, 点的轨迹是双曲线. 当 e = 1 时, 点的轨迹是抛物线.
M o F x
A
1 2
1.已知A（-1,1),B（1,0),点P在椭圆
x y 1 上运动，求|PA|+2|PB|的 4 3
最小值。
P C
2
2
A
·
O
·
· B
课堂小结
1.圆锥曲线的统一定义 2.求点的轨迹的方法 3.数形结合的思想
(0, c)
a2 y c
图形
标准方程 焦点坐标 准线方程
l l
l l
p x ( p 0) 2 2 p p y 2 px ( ,0) x ( p 0) 2 2 x 2 2 py p p y ( 0, ) ( p 0) 2 2
p ( ,0 ) 2
x 2 2 py ( p 0)
(4)2 y x 4
2 2
(0, 6)
1 (0, ) 4 1 ( , 0) 2
高中数第三章圆锥曲线与方程4.24.3圆锥曲线的共同特征、直线与圆锥曲线的交点课件北师大版选修21
课堂小结 对直线与圆锥曲线位置关系的进一步理解 (1)直线与圆锥曲线的位置关系，从几何角度看有三种：相离、相交和相 切.相离时，直线与圆锥曲线无公共点；相切时，直线与圆锥曲线有一个 公共点；相交时，直线与椭圆有两个公共点，但直线与双曲线、抛物线 的公共点个数可能为一个(直线与双曲线的渐近线平行时，直线与抛物线 的对称轴平行时)或两个. (2)直线与圆锥曲线的位置关系，从代数角度看来(几何问题代数化)是直 线方程和圆锥曲线的方程组成的方程组，无解时必相离；有两组解必相 交；一组解时，若化为x或y的方程，二次项系数非零，判别式为零时必 相切，若二次项系数为零，有一组解时必相交(代数结果几何化).
反思与感悟
解析答案
跟踪训练 3 已知双曲线的一个焦点为 F1(－ 3，0)，且渐近线为 y＝± 2x， 过点 A(2,1)的直线 l 与该双曲线交于 P1、P2 两点. (1)求线段P1P2的中点P的轨迹方程；
解析答案
(2)过点B(1,1)，能否作直线l′，使l′与已知双曲线交于Q1、Q2两点，且 B是线段Q1Q2的中点？请说明理由. 解 假设存在直线l′，同(1)可得l′的斜率为2，l′的方程为y＝2x－1.
高中数第三章圆锥曲线与方程4.24.3圆锥曲 线的共同特征、直线与圆锥曲线的交点课件
北师大版选修21
学习 目标
1.了解圆锥曲线的共同特征，并会简单应用. 2.会判断直线与圆锥曲线的位置关系以及求与弦的中点有关的问题.
栏目 索引
知识梳理 题型探究 当堂检测
自主学习 重点突破 自查自纠
知识梳理
自主学习
知识点一 圆锥曲线的共同特征 圆锥曲线上的点到一个定点 的距离与它到一条定直线 的距离之比为定值e.
当 0<e<1 时，该圆锥曲线为椭圆；
优选教育第章圆锥曲线的共同性质.ppt
究
• 攻
定义得，P到右焦点的距离为2a－258＝10－258＝252.
重
分 层 作 业
难
返 首 页
利用圆锥曲线的定义求最值
自
当
主
堂
预
[探究问题]
达
习
标
• 探
1．根据椭圆(双曲线)的共同性质，椭圆(双曲线)上一点P到其焦点F的距离
• 固
新
双
知 PF，与点P到对应准线的距离d有什么关系？
基
合
作 探 究
第2章 圆锥曲线与方程 2.5 圆锥曲线的共同性质
自
当
主
堂
预
达
习
标
•
•
探
固
新
学习目标：1.了解圆锥曲线的统一定义，掌握根据标准方程求圆锥曲线的 双
知
基
准线方程的方法．(重点) 2.能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问
合 作
题．(难点)
课
探
时
究
分
•
层
攻
作
重
业
难
返 首 页
[自 主 预 习·探 新 知]
自
当
主
堂
预
达
习 •
1．圆锥曲线的共同性质：
标 •
探
固
新
圆锥曲线上的点到一个定点 F 和到一条定直线 l(F 不在定直线 l 上)的距离 双
知
基
之比是一个 常数e.
合 作
这个 常数e 叫做圆锥曲线的离心率， 定点F 就是圆锥曲线的焦点， 定直线l 课
探
时
究 •
就是该圆锥曲线的准线．
分 层
攻
高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 4.2 圆锥曲线的共同特征课件 北师大版选修2-1.pptx
(2)两点说明 ①在上述定义中，只有当0＜e＜1时才表示椭圆. ②焦点与准线的对应关系：对于椭圆ax22＋by22＝1(a＞b＞0)，左焦点 F1(－c，0)
对应的准线为直线 x＝－ac2，右焦点 F2(c，0)对应的准线为直线 x＝ac2；对于
椭圆ay22＋bx22＝1(a＞b＞0)，上焦点 F2(0，c)对应的准线为直线 y＝ac2，下焦点 F1(0，－c)对应的准线为直线 y＝－ac2.
8
梳理
(1)双曲线的第二定义内容
平面内到一个定点 F(c，0)的距离与到一条定直线 l：x＝ac2(c＞a＞0)的距离
之比为常数ac的点的轨迹为双曲线(点 F 不在直线 l 上)，其标准方程为ax22－by22
＝1(a＞0，b＞0).其中，定点 F(c，0)是右焦点，定直线 l：x＝ac2是右准线，
第三章 §4 曲线与方程
4.2 圆锥曲线的共同特征
1
学习目标
1.理解椭圆、双曲线的第二定义. 2.了解圆锥曲线的共同特征. 3.会用圆锥曲线的统一定义解决问题.
2
内容索引
问题导学 题型探究 当堂训练
3
问题导学
4
知识点一 椭圆的第二定义
思考
椭圆是如何定义的？(第一定义) 答案 我们把平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|) 的点的集合叫作椭圆.这两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点，两个 焦点F1，F2间的距离叫作椭圆的焦距.
7
知识点二 双曲线的第二定义
思考
双曲线的第一定义是什么？ 答案 我们把平面内到两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大 于零且小于|F1F2|)的点的集合叫作双曲线.定点F1，F2叫作双曲 线的焦点，两个焦点之间的距离叫作双曲线的焦距.双曲线定义 中的“常数”常用2a(a＞0)表示，焦距常用2c(c＞0)表示.
圆锥曲线PPT优秀课件
即 e2 2e 1 0 ，解得 e 2 1
例 2．设椭圆的两个焦点分别为 F1、 、F2，过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P，若△F1PF2 为 等腰直角三角形，则椭圆的离心率是
x2 y 2 1。 所以，椭圆的标准方程为 8 2
2 2 y a b 5 ，且过点 ( 2,0) ； （4）焦点在 轴上，
y 2 x2 解析： （4）设椭圆方程为 2 2 1 ， a b
2 ∴ 2 1 ，∴ b2 2 ， b
又∵ a 2 b 2 5 ，∴ a 2 3 ，
y 2 x2 所以，椭圆方程为 1 ． 10 6
圆中一些几何要素 与椭圆方程间的关 系。
例 2．设椭圆的两个焦点分别为 F1、 、F2，过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P，若△F1PF2 为 等腰直角三角形，则椭圆的离心率是
x2 y 2 解一：设椭圆方程为 2 2 1 ，依题意， a b
焦点分别为 F1 , F2 ，点 P 在双曲线的右支上，且
| PF1 | 4 | PF2 | ，则此双曲线的离心率 e 的最大值为
8 解一：由定义知 | PF1 | | PF2 | 2a ，又已知 | PF1 | 4 | PF2 | ，解得 PF1 a ， 3 2 PF2 a ， 在 PF1F2 中 ， 由 余 弦 定 理 ， 得 3
MF1 a ex0
焦半径
MF1 a ey0 MF2 a ey0
MF2 a ex0
2．双曲线
3．抛物线
第三部份：典型例题
例1．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
北师大版选修2-1高中数学3.4.2-3.4.3《圆锥曲线的共同特征、直线与圆锥曲线的交》ppt课件
(2)当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交且只有一个交 点.
-6-
4.2 圆锥曲线的共同特征 4.3 直线与圆锥曲线的交点
1
2
首页
J 基础知识 ICHU ZHISHI
Z 重点难点 HONGDIAN NANDIAN
S 随堂练习 UITANG LIANXI
3.直线与抛物线的位置关系 (1)直线与抛物线有三种位置关系:相交、相切、相离. 相交:直线与抛物线交于两个不同的点,或直线与抛物线的对称轴平行. 相切:直线与抛物线有且只有一个公共点,且直线不平行于抛物线的对 称轴. 相离:直线与抛物线没有公共点. (2)判别方法:把直线的方程和抛物线的方程联立起来得到一个方程组, 于是: ①方程组有一组解⇔直线与抛物线相交或相切(1 个公共点); ②方程组有两组解⇔直线与抛物线相交(2 个公共点); ③方程组无解⇔直线与抛物线相离.
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4.2 圆锥曲线的共同特征 4.3 直线与圆锥曲线的交点
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2.直线与圆锥曲线的交点
在直角坐标系 xOy 中,给定两条曲线 C1,C2,它们由如下方程确定: C1:f(x,y)=0,C2:g(x,y)=0, 求曲线 C1 和 C2 的交点,即要求出这些交点的坐标. 设 M(x0,y0)是曲线 C1 和 C2 的一个交点;因为点 M 在曲线 C1 上,所以它 的坐标满足方程 f(x,y)=0,因为点 M 在曲线 C2 上,所以它的坐标也满足方程 g(x,y)=0.从而,曲线 C1 和 C2 的任意一个交点的坐标都满足方程组
思考 2 直线与二次曲线交点个数的问题如何解决?