北师大版高中数学必修五安徽省宿州市十三校重点中学
宿州市十三所重点中学 2021-2022 学年度期终质量检测 数学(人教版)含答案
宿州市十三所重点中学2021-2022学年度期终质量检测高一数学试卷（人教版）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{lg 0},{0,1,2,3} A xx B =>=∣，则A B = （）A ．{2,3}B ．{1,2,3}C ．(1,)+∞D ．(2,3)2.已知5cos 13α=-，且α为第二象限角，则sin α=（）A ．1213-B ．513-C ．1213D ．1253.已知13x x -+=，则22x x -+=（）A ．3B ．5C ．7D ．94.已知1sin 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos 2+3πα⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A ．79-B ．23-C ．23D ．795．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+ω>0，－π2<φ<π2的部分图象如图所示，则φ的值为()A ．3π-B.6π-C ．6π D.3π6．已知cos1a =，2(log sin1)b =，cos12c =，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．c a b>>B ．b a c>>C ．a b c>>D ．c b a>>7.设()f x 是定义在R 上的函数且对任意实数x 恒有(2)()f x f x +=-，当[)2,0∈x 时，2()20221x f x =+，则(2022)f =（）A ．2022B ．2-C ．2D ．20238．若函数()f x 图象上存在不同两点,M N 关于原点对称，则称点对[],M N 是函数()f x 的一对“和谐点对”（点对[],M N 与[],N M 看作同一对“和谐点对”），已知函数()lg(),0sin ,0x x f x x x --<⎧=⎨>⎩，则此函数的“和谐点对”有（）A．0对B．1对C．2对D．3对二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
安徽省宿州市十三所重点中学高二数学上学期期中试题理
宿州市十三所重点中学2018-2019学年度第一学期期中质量检测高二数学（理科）试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.以一个直角三角形的斜边所在的直线为旋转轴旋转一周所得的几何体是( )A. 一个圆柱B. 一个圆锥C. 一个圆台D. 两个圆锥 2.直线3320x y --=的倾斜角是（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．120° 3.已知直线1:30-+=l mx y 与211:22l y x =-+垂直，则=m （ ） A. 12-B. 12C. -2D. 2 4.在空间直角坐标系中，已知点P (1，2，3)，过点P 作平面xoz 的垂线PQ ，则垂足Q的坐标为( )A ．(0，2，0)B ．(0，2，3)C ．(1,0，3)D ．(1，2，0)5.一个无盖的正方体盒子展开后的平面图如图，A 、B 、C 是展开图上的三点，则在正方体盒子中，∠ABC 的度数是（ ）A ．0°B ．30° C.60° D ．90° 6.已知平面α，直线l ，点P ，则下列命题正确的是( )A ．若,l P l α⊄∈，则P α∉B ．若,l P l α⊄∈，则P α∈C ．若α⊂l ,P l ∈，则P α∈D ．若α⊂l ,P l ∉，则P α∉ 7.圆心在x 轴上，且过点(2,4)的圆与y 轴相切，则该圆的方程是( )A ．01022=++y y x B ．01022=-+y y x C ．01022=++x y x D ．01022=-+x y x8.如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的棱长均为2，则异面直线1A B 与1B C 所成角的余弦值是( )A 3B ．12C ．14D ．0 9. 如图，网络纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥最长的棱的大小是( )A ．3B ．22C ．5D ．210.如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为（ ）A ．4B ．34 C ．32D ．311. 已知),(b a P 为圆C:044222=+--+y x y x 上任意一点，则11+-a b 的最大值为（ ） A. 2 B. 34-C. 34 D. 012.已知圆222:(0)O x y r r +=>与直线20x y +-=相交于,A B 两点，C 为圆上的一点，OC 的中点D 在线段AB 上，且35AD DB =u u u r u u u r，则圆O 的半径r 为（ ）A.11B.103C.10D.23 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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安徽省宿州市十三校重点中学2010—2011学年第一学期期中考试高二数学试题（文科）第I 卷一.选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. 不等式（1－x ）（3+x ）>0的解集是A. (－3,1) B (－∞,－3)∪(1,+∞)C. (－1,3)D. (－∞,－1)∪(3,+∞)2. 已知数列}{n a 的通项公式是na n n )1(3-+=：，则32a a +的值为 A . 2 B . 32 C . 35 D . 383. 如果实数b a >，则下列各式正确的是A ．22b a > B. 33b a > C. b a 11< D. ab a >24. 在△ABC 中，已知045,2,2===A b a ,则B 等于A. 30°B. 60°C. 30°或150°D. 60°或120°5. 已知数列}{n a 的通项公式是11+-=n n a n ，那么这个数列是 A. 递增数列 B. 递减数列C. 常数列D. 摆动数列6.已知实数y x b a <<,，且0))((,0))((>--<--b y a y b x a x ,则下列关系式正确的是A.b y x a <<<B. y b x a <<<C. b y a x <<<D. b a y x <<<7. 已知实数2,=+b a ab ，则b a 33+的最小值是 A. 18 B. 6 C. 23 D.2438.在线性约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤--≥-o y x y x y x 20630下,目标函数y x z +=2的最小值是.A. 9B. 2C. 3D. 49.等比数列}{n a 的前n 项的和为n S ，若321,2,4a a a 成等差数列，则44a S 的值是 A. 167 B. 1615 C .87 D. 815 10.已知实数y x ,满足11122=+y x ，则222y x +有 A. 最大值3+22 B. 最小值3+22C. 最大值42D. 最小值4211. 在△ABC 中，三边c b a ,,成等差数列，B=300，三角形ABC 的面积为21，则b 的值是A ．1+3 B. 2+3 C. 3+3 D. 333+ 12.已知等差数列数列}{n a 前n 的和为S n,,,若20101-=a ，22007200920072009=-S S ，则2011S 的值是 A ． 2009 B. 2010 C ．0 D ．2010×2011二.填空题:（本大题共4小题，每小题4分，共16分,把答案填在答题卷的相应位置）13.不等式01>-x x 的解集是14.在三角形ＡＢＣ中，若31cos ,3==A a ，则bc 的最大值是 .15.关于x 的不等式01)1()1(22<----x a x a 的解集是Ｒ，则实数a 的取值范围是 .16.已知等差数列}{n a 的首项1a 及公差d 都是整数，且前n 项和为n S ，若9,3,1341≤>>S a a ，则数列}{n a 的通项公式是 ________.第Ⅱ卷三.解答题:（本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）17.（本小题满分12分）已知数列}{n a 是等比数列，首项16,241==a a .（1）求数列}{n a 的通项公式（2）若数列}{n b 是等差数列，且5533,a b a b ==求数列}{n b 的通项公式及前n 项和n S .18.（本小题满分12分）在△ABC 中，角A,B,C 的对边分别是c b a ,,，已知54cos ,5,6-===A b a（1）求角B 的大小（2）求三角形ABC 的面积。
安徽省宿州市十三所重点中学新高考数学函数的概念与基本初等函数多选题之知识梳理与训练及答案
安徽省宿州市十三所重点中学新高考数学函数的概念与基本初等函数多选题之知识梳理与训练及答案一、函数的概念与基本初等函数多选题1．函数()()1xf xx Rx=∈+，以下四个结论正确的是（）A．()f x的值域是()1,1-B．对任意x∈R，都有()()1212f x f xx x->-C．若规定()()()()()11,n nf x f x f x f f x+==，则对任意的(),1nxn N f xn x*∈=+ D．对任意的[]1,1x∈-，若函数()2122f x t at≤-+恒成立，则当[]1,1a∈-时，2t≤-或2t≥【答案】ABC【分析】由函数解析式可得函数图象即可知其值域、单调性；根据C中的描述结合数学归纳法可推得结论成立；由函数不等式恒成立，利用变换主元法、一元二次不等式的解法即可求参数范围.【详解】由函数解析式可得11,01()11,01xxf xxx⎧-≥⎪⎪+=⎨⎪-<⎪-⎩，有如下函数图象：∴()f x的值域是()1,1-，且单调递增即()()1212f x f xx x->-(利用单调性定义结合奇偶性也可说明)，即有AB正确；对于C，有()11xf xx=+，若()1,1(1)nxn N f xn x*-∈=+-，∴当2n ≥时，11(1)||()(())1||1||1(1)||n n xx n x f x f f x x n x n x -+-===+++-，故有(),1n xn N f x n x*∈=+.正确. 对于D ，[]1,1x ∈-上max 1()(1)2f x f ==，若函数()2122f x t at ≤-+恒成立，即有211222t at -+≥，220t at -≥恒成立，令2()2h a at t =-+，即[]1,1a ∈-上()0h a ≥， ∴0t >时，2(1)20h t t =-+≥，有2t ≥或0t ≤（舍去）；0t =时，()0h a 故恒成立；0t <时，2(1)20h t t -=+≥，有2t ≤-或0t ≥（舍去）；综上，有2t ≥或0t =或2t ≤-；错误. 故选：ABC 【点睛】 方法点睛：1、对于简单的分式型函数式画出函数图象草图判断其值域、单调性.2、数学归纳法：当1n =结论成立，若1n -时结论也成立，证明n 时结论成立即可.3、利用函数不等式恒成立，综合变换主元法、一次函数性质、一元二次不等式解法求参数范围.2．已知定义在R 上的函数()f x 满足：()()0f x f x +-=，且当0x ≥时，()x f x e x b =+-.若((2sin ))(sin )0f k b x f x ++-≤.在x ∈R 上恒成立，则k 的可能取值为( ) A ．1 B ．0C ．1-D ．2-【答案】CD 【分析】先判断函数的奇偶性和单调性,得到sinx ≥k (2+sinx ), 再根据题意，利用检验法判断即可. 【详解】因为定义在R 上的函数()f x 满足：()()0f x f x +-=, 所以()f x 为奇函数，0x ≥时，()x f x e x b =+-，显然()f x 在[0,)+∞上单调递增， 所以()f x 在R 上单调递增，由((2sin ))(sin )0f k b x f x ++-≤恒成立，可得(sin )((2sin ))f x f k x +在R 上恒成立， 即sin (2sin )x k x +， 整理得：(1)sin 2k x k -当1k =时，02≥，不恒成立，故A 错误; 当0k =时，sin 0x ≥，不恒成立，故B 错误; 当1k =-时，sin 1x ≥-，恒成立，故C 正确； 当2k =-时，4sin 3x ≥-，恒成立，故D 正确. 故选：CD 【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性和单调性，不等式恒成立问题，属于中档题.3．下列命题正确的是（ ）A ．已知幂函数21()(1)m f x m x --=+在(0,)+∞上单调递减则0m =或2m =-B ．函数2()(24)3f x x m x m =-++的有两个零点，一个大于0，一个小于0的一个充分不必要条件是1m <-．C ．已知函数31()sin ln 1x f x x x x +⎛⎫=++⎪-⎝⎭，若(21)0f a ->，则a 的取值范围为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．已知函数()f x 满足()()2f x f x -+=，1()x g x x+=，且()f x 与()g x 的图像的交点为()()()112288,,,,x y x y x y 则128128x x x y y y ++⋯++++⋯+的值为8【答案】BD 【分析】根据幂函数的性质，可判定A 不正确；根据二次函数的性质和充分条件、必要条件的判定，可得判定B 是正确；根据函数的定义域，可判定C 不正确；根据函数的对称性，可判定D 正确，即可求解. 【详解】对于A 中，幂函数21()(1)m f x m x--=+，可得11m +=±，解得0m =或2m =-，当0m =时，函数1()f x x -=在(0,)+∞上单调递减；当2m =-时，函数()f x x =在(0,)+∞上单调递增，所以A 不正确；对于B 中，若函数2()(24)3f x x m x m =-++的有两个零点，且一个大于0，一个小于0，则满足(0)30f m =<，解得0m <，所以1m <-是函数2()(24)3f x x m x m =-++的有两个零点，且一个大于0，一个小于0的充分不必要条件，所以B 是正确； 对于C 中，由函数31()sin ln()1x f x x x x +=++-，则满足101xx+>-，解得11x -<<， 即函数()f x 的定义域为(1,1)-，所以不等式(21)0f a ->中至少满足1211a -<-<， 即至少满足01a <<，所以C 不正确；对于D 中，函数()f x 满足()()2f x f x -+=，可得函数()y f x =的图象关于(0,1)点对称， 又由11()x x g x x x-+--==-，可得()()2g x g x -+=，所以函数()y g x =的图象关于(0,1)点对称，则1281280428x x x y y y ++⋯++++⋯+⨯+==，所以D 正确.故选：BD. 【点睛】本题主要考查了以函数的基本性质为背景的命题的真假判定，其中解答中熟记函数的基本性质，逐项判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.4．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，()1f x +是偶函数，且当(]0,1x ∈时，()()2f x x x =--，则（ ）A ．()f x 是周期为2的函数B ．()()201920201f f +=-C ．()f x 的值域为[-1，1]D ．()f x 的图象与曲线cos y x =在()0,2π上有4个交点 【答案】BCD 【分析】对于A ，由()f x 为R 上的奇函数，()1f x +为偶函数，得()()4f x f x =-，则()f x 是周期为4的周期函数，可判断A ；对于B ，由()f x 是周期为4的周期函数，则()()202000f f ==，()()()2019111f f f =-=-=-，可判断B ．对于C ，当(]01x ∈，时，()()2f x x x =--，有()01f x ≤＜，又由()f x 为R 上的奇函数，则[)10x ∈-，时，()10f x -≤＜，可判断C ． 对于D ，构造函数()()cos g x f x x =-，利用导数法求出单调区间，结合零点存在性定理，即可判断D ． 【详解】 根据题意，对于A ，()f x 为R 上的奇函数，()1f x +为偶函数，所以()f x 图象关于1x =对称，(2)()()f x f x f x +=-=- 即(4)(2)()f x f x f x +=-+= 则()f x 是周期为4的周期函数，A 错误； 对于B ，()f x 定义域为R 的奇函数，则()00f =，()f x 是周期为4的周期函数，则()()202000f f ==；当(]0,1x ∈时，()()2f x x x =--，则()()11121f =-⨯-=，则()()()()201912020111f f f f =-+=-=-=-， 则()()201920201f f +=-；故B 正确．对于C ，当(]01x ∈，时，()()2f x x x =--，此时有()01f x ≤＜，又由()f x 为R 上的奇函数，则[)10x ∈-，时，()10f x -≤＜， (0)0f =，函数关于1x =对称，所以函数()f x 的值域[11]-，．故C 正确． 对于D ，(0)0f =，且(]0,1x ∈时，()()2f x x x =--，[0,1],()(2)x f x x x ∴∈=--，[1,2],2[0,1],()(2)(2)x x f x f x x x ∴∈-∈=-=--， [0,2],()(2)x f x x x ∴∈=--，()f x 是奇函数，[2,0],()(2)x f x x x ∴∈-=+， ()f x 的周期为4，[2,4],()(2)(4)x f x x x ∴∈=--，[4,6],()(4)(6)x f x x x ∴∈=---， [6,2],()(6)(8)x f x x x π∴∈=--，设()()cos g x f x x =-，当2[0,2],()2cos x g x x x x ∈=-+-，()22sin g x x x '=-++，设()(),()2cos 0h x g x h x x =''=-+<在[0,2]恒成立，()h x 在[0,2]单调递减，即()g x '在[0,2]单调递减，且(1)sin10,(2)2sin20g g '=>'=-+<， 存在00(1,2),()0x g x ∈'=，0(0,),()0,()x x g x g x ∈'>单调递增， 0(,2),()0,()x x g x g x ∈'<单调递减，0(0)1,(1)1cos10,()(1)0,(2)cos20g g g x g g =-=->>>=->，所以()g x 在0(0,)x 有唯一零点，在0(,2)x 没有零点，即2(]0,x ∈，()f x 的图象与曲线cos y x =有1个交点，当[]24x ∈，时，，()()2cos 6+8cos x x g x f x x x =-=--， 则()26+sin g x x x '=-，()()26+sin x x h x g x ='=-，则()2+cos >0h x x '=，所以()g x '在[]24，上单调递增， 且()()3sin3>0,22+sin20g g '='=-<，所以存在唯一的[][]12324x ∈⊂，，，使得()0g x '=， 所以()12,x x ∈，()0g x '<，()g x 在()12,x 单调递减，()14x x ∈，，()>0g x '，()g x 在()14x ，单调递增，又()31cos30g =--<，所以()1(3)0g x g <<， 又()()2cos2>0,4cos4>0g g =-=-，所以()g x 在()12,x 上有一个唯一的零点，在()14x ，上有唯一的零点， 所以当[]24x ∈，时，()f x 的图象与曲线cos y x =有2个交点，， 当[]46x ∈，时，同[0,2]x ∈，()f x 的图象与曲线cos y x =有1个交点， 当[6,2],()(6)(8)0,cos 0x f x x x y x π∈=--<=>，()f x 的图象与曲线cos y x =没有交点，所以()f x 的图象与曲线cos y x =在()0,2π上有4个交点，故D 正确； 故选：BCD ． 【点睛】本题考查抽象函数的奇偶性、周期性、两函数图像的交点，属于较难题.5．已知定义域为R 的奇函数()f x ，满足22,2()2322,02x f x x x x x ⎧>⎪=-⎨⎪-+<≤⎩，下列叙述正确的是（ ）A ．存在实数k ，使关于x 的方程()f x kx =有7个不相等的实数根B ．当1211x x -<<<时，恒有12()()f x f x >C ．若当(0,]x a ∈时，()f x 的最小值为1，则5[1,]2a ∈ D ．若关于x 的方程3()2f x =和()f x m =的所有实数根之和为零，则32m =- 【答案】AC 【分析】根据奇函数()()f x f x -=-，利用已知定义域的解析式，可得到对称区间上的函数解析式，然后结合函数的图象分析各选项的正误，即可确定答案 【详解】函数是奇函数，故()f x 在R 上的解析式为：222,22322,20()0,022,022,223x x x x x f x x x x x x x ⎧<-⎪+⎪----≤<⎪⎪==⎨⎪-+<≤⎪⎪>⎪-⎩绘制该函数的图象如所示：对A ：如下图所示直线1l 与该函数有7个交点，故A 正确；对B ：当1211x x -<<<时，函数不是减函数，故B 错误； 对C ：如下图直线2:1l y =，与函数图交于5(1,1),(,1)2， 故当()f x 的最小值为1时有5[1,]2a ∈，故C 正确对D ：3()2f x =时，函数的零点有136x =、212x =+、212x =-； 若使得其与()f x m =的所有零点之和为0， 则32m =-或38m =-，如图直线4l 、5l ，故D 错误故选：AC 【点睛】本题考查了分段函数的图象，根据奇函数确定对称区间上函数的解析式，进而根据函数的图象分析命题是否成立6．太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种互相转化，相对统一的和谐美. 定义：能够将圆O 的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆O 的一个“太极函数”.则下列有关说法中，正确的是（ ）A ．对于圆O ：221x y +=的所有非常数函数的太极函数中，一定不能为偶函数B ．函数()sin 1f x x =+是圆O ：()2211x y +-=的一个太极函数C ．存在圆O ，使得()11x x e f x e -=+是圆O 的一个太极函数D ．直线()()12110m x m y +-+-=所对应的函数一定是圆O ：()()()222210x y R R -+-=>的太极函数【答案】BCD 【分析】利用“太极函数”的定义逐个判断函数是否满足新定义即可. 【详解】对于A ，如下图所示，若太极函数为偶函数，且ACEPCOPODDFBS SSS===，所以该函数平分圆O 的周长和面积，故A 错误；对于B ，()sin 1f x x =+也关于圆心(0,1) 对称，平分圆O 的周长和面积，所以函数()sin 1f x x =+是圆()22:11O x y +-=的一个太极函数；故B 正确；对于C ，()()+12121+1+1+1x x x x x e e f x e e e --===-，. ()()11111+11++1xxx x xx e e e f x f x e e e------====-，该函数为奇函数，图象关于原点对称. 所以存在圆O ：221x y +=使得()11x x e f x e -=+是圆O 的一个太极函数，如下图所示，故C 正确；对于D ，对于直线()()12110m x m y +-+-=的方程，变形为()()210m x y x y -+--=，令2010x y x y -=⎧⎨--=⎩，得21x y =⎧⎨=⎩，直线()()12110m x m y +-+-=经过圆O 的圆心，可以平分圆O 周长和面积，故D 正确. 故选：BCD. 【点睛】本题考查函数对称性的判定与应用，将新定义理解为函数的对称性为解题的关键，考查推理能力，属于较难题.7．已知函数()221,0log 1,x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩，则方程()()22210f x f x a -+-=的根的个数可能为（ ） A ．2 B ．6 C ．5 D ．4【答案】ACD 【分析】先画出()f x 的图象，再讨论方程()()22210f x f x a -+-=的根，求得()f x 的范围，再数形结合，得到答案. 【详解】画出()f x 的图象如图所示：令()t f x =，则22210t t a -+-=，则24(2)a ∆=-，当0∆=，即22a =时，1t =，此时()1f x =，由图1y =与()y f x =的图象有两个交点，即方程()()22210f x f x a -+-=的根的个数为2个，A 正确；当>0∆时，即22a <时，212t a =-，则2022a <-≤故211212a <+-≤212121a ≤-<，当212t a =-2()12f x a =--(1,1)∈-，则x 有2解， 当212t a =-t (1,2]∈，则x 有3解；若t (2,12]∈+，则x 有2解，故方程()()22210f x f x a -+-=的根的个数为5个或4个，CD 正确；故选：ACD 【点睛】本题考查了函数的根的个数问题，函数图象的画法，考查了分类讨论思想和数形结合思想，难度较大.8．设s,t 0>，若满足关于x s 恰有三个不同的实数解123,x x x s <<=则下列选项中，一定正确的是（ ）A ．1230x x x ++>B ．6425s t ⋅=C ．45t s = D ．14425s t +=【答案】CD 【分析】设()f x ()f x 为偶函数，从而有1230x x x ++=，因此方程()=f x s必有一解为0，代入得s =，分0x t ≤≤和x t >两种情况得出函数()f x 的单调性和最值，从而求得s t ，，可得选项. 【详解】设()f x ()f x 为偶函数，所以1230x x x ++=，所以()=f x s ，其中必有一解为0，则()0 f s s ==∴=，①当0x t ≤≤时，()f x ≤当且仅当0x =时取等号；②当x t >时，()f x =(),t +∞上递增， ()f x s ==，54454x t x t t x t x t =-++=⇒=⇒=，又()f x 在(),t +∞上递增，35 4x t ∴=，即3564516=,42545x s t t s t =====， 6454144, 2516525t s t s ∴=⨯=+=. 故选：CD. 【点睛】本题考查函数与方程的综合知识，关键构造合适的函数，判断函数的奇偶性，单调性，最值，属于较难题.9．高斯是德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家，近代数学奠基者之一.高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.有这样一个函数就是以他名字命名的：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]()f x x =称为高斯函数，又称为取整函数.如：(2.3)2f =，( 3.3)4f -=-.则下列正确的是（ ） A ．函数()f x 是R 上单调递增函数B ．对于任意实数a b ，，都有()()()f a f b f a b +≤+C ．函数()()g x f x ax =-（0x ≠）有3个零点，则实数a 的取值范围是34434532⎛⎤⎡⎫⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭，， D ．对于任意实数x ，y ，则()()f x f y =是1x y -<成立的充分不必要条件 【答案】BCD 【分析】取反例可分析A 选项，设出a ，b 的小数部分，根据其取值范围可分析B 选项，数形结合可分析C 选项，取特殊值可分析D 选项． 【详解】解：对于A 选项，()()1 1.21f f ==，故A 错误；对于B 选项，令[]a a r =+，[](,b b q r =+q 分别为a ，b 的小数部分)， 可知[]01r a a =-<，[]01q b b =-<，[]0r q +≥， 则()[][][][][][][]()()f a b a b r q a b r q a b f a f b ⎡⎤+=+++=++++=+⎣⎦，故B 错误；对于C 选项，可知当1k x k ≤<+，k Z ∈时，则()[]f x x k ==， 可得()f x 的图象，如图所示：函数()()()0g x f x ax x =-≠有3个零点，∴函数()f x 的图象和直线y ax =有3个交点，且()0,0为()f x 和直线y ax =必过的点，由图可知，实数a 的取值范围是][3443,,4532⎛⎫⋃⎪⎝⎭，故C 正确；对于D 选项，当()()f x f y =时，即r ，q 分别为x ，y 的小数部分，可得01r ≤<，01q ≤<，[][]101x y x r y q r q -=+--=-<-=；当1x y -<时，取0.9x =-，0.09y =，可得[]1x =-，[]0y =，此时不满足()()f x f y =，故()()f x f y =是1x y -<成立的充分不必要条件，故D 正确； 故选：BCD ． 【点睛】本题考查函数新定义问题，解答的关键是理解题意，转化为分段函数问题，利用数形结合思想；10．函数()f x 的定义域为D ，若存在区间[],m n D ⊆使()f x 在区间[],m n 上的值域也是[],m n ，则称区间[],m n 为函数()f x 的“和谐区间”，则下列函数存在“和谐区间”的是（ ） A ．()f x =B ．()222f x x x =-+C ．()1f x x x=+D ．()1f x x=【答案】ABD 【分析】根据题意，可知若()f x 在区间[],m n 上的值域也是[],m n ，则()f x 存在“和谐区间”[],m n ，且m n <，则()()f m m f n n ⎧=⎪⎨=⎪⎩或()()f m n f n m ⎧=⎪⎨=⎪⎩，再对各个选项进行运算求解,m n ，即可判断该函数是否存在“和谐区间”.【详解】解：由题得，若()f x 在区间[],m n 上的值域也是[],m n ，则()f x 存在“和谐区间”[],m n ， 可知，m n <，则()()f m m f n n ⎧=⎪⎨=⎪⎩或()()f m n f n m ⎧=⎪⎨=⎪⎩，A ：())0f x x =≥，若()()f m mf n n⎧==⎪⎨==⎪⎩，解得：01m n =⎧⎨=⎩，所以()f x =“和谐区间”[]0,1；B ：()()222f x x x x R =-+∈，若 ()()222222f m m m m f n n n n ⎧=-+=⎪⎨=-+=⎪⎩，解得：12m n =⎧⎨=⎩， 所以()222f x x x =-+存在“和谐区间” []1,2；C ：()()10f x x x x =+≠，若()()11f m m m m f n n n n ⎧=+=⎪⎪⎨⎪=+=⎪⎩，得1010mn ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故无解；若()()11f m m nmf n n mn⎧=+=⎪⎪⎨⎪=+=⎪⎩，即 21111m n m m m n n m n ⎧+=⎪⎪⎪=⎨+⎪⎪+=⎪⎩，化简得：2210(1)m m m m ++=+， 即210m m ++=，由于2141130∆=-⨯⨯=-<，故无解； 若()0112,m n f m m <<<∴=∴= 不成立 所以()1f x x x=+不存在“和谐区间”； D ：()()10f x x x =≠，函数在()()0+-0∞∞，，，单调递减，则 ()()11f m n mf n mn ⎧==⎪⎪⎨⎪==⎪⎩， 不妨令122m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩， 所以()1f x x =存在“和谐区间”1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦； 综上得：存在“和谐区间”的是ABD. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题以函数的新定义为载体，考查函数的定义域、值域以及零点等知识，解题的关键是理解“和谐区间”的定义，考查运算能力以及函数与方程的思想.11．若实数2a ≥，则下列不等式中一定成立的是（ ） A ．21(1)(2)a a a a +++>+ B ．1log (1)log (2)a a a a ++>+ C ．1log (1)a a a a ++<D ．12log (2)1a a a a +++<+【答案】ABD 【分析】对于选项A ：原式等价于()()ln 1ln 212a a a a ++>++，对于选项C ：1log (1)a a a a ++<()ln 11ln a a a a ++⇔<()ln 1ln 1a a a a+⇔<+，对于选项D ：变形为()()ln 2ln 121a a a a ++<++，构造函数()ln xf x x =，通过求导判断其在(),x e ∈+∞上的单调性即可判断；对于选项B ：利用换底公式：1log (1)log (2)a a a a ++>+()()()ln 1ln 2ln ln 1a a a a ++⇔>+， 等价于()()2ln 1ln ln 2a a a +>⋅+，利用基本不等式22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，再结合放缩法即可判断； 【详解】 令()ln x f x x =，则()21ln x f x x -'=0<在()3,x ∈+∞上恒成立，所以函数()ln xf x x=在(),x e ∈+∞上单调递减， 对于选项A ：因为2a ≥，所以21(1)(2)a a a a +++>+()()()()2ln 11ln 2a a a a ⇔++>++，即原不等式等价于()()ln 1ln 212a a a a ++>++，因为12a a +<+，所以()()ln 1ln 212a a a a ++>++，从而可得21(1)(2)a a a a +++>+，故选项A 正确； 对于选项C ：1log (1)a a a a ++<()ln 11ln a a a a ++⇔<()ln 1ln 1a a a a+⇔<+， 由于函数()ln x f x x =在(),e +∞上单调递减，所以()()43f f <，即ln 4ln 343<，因为ln 42ln 2ln 2442==，所以ln 2ln 323<，取2a =，则()ln 1ln 1a a a a+>+，故选项C 错误；对于选项D ：12log (2)1a a a a +++<+()()ln 22ln 11a a a a ++⇔<++()()ln 2ln 121a a a a ++⇔<++，与选项A 相同，故选项D 正确.对于选项B ：1log (1)log (2)a a a a ++>+()()()ln 1ln 2ln ln 1a a a a ++⇔>+，因为2a ≥，所以等价于()()2ln 1ln ln 2a a a +>⋅+，因为()()2ln ln 2ln ln 22a a a a ++⎡⎤⋅+<⎢⎥⎣⎦，因为()()()()222222ln 2ln 21ln ln 2ln 1222a a a a a a a ⎡⎤⎡⎤+++++⎡⎤⎢⎥⎢⎥=<=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 所以不等式1log (1)log (2)a a a a ++>+成立，故选项B 正确； 故选：ABD 【点睛】本题考查利用对数的换底公式、构造函数法、利用导数判断函数的单调性、结合基本不等式和放缩法比较大小；考查逻辑推理能力、知识的综合运用能力、转化与化归能力和运算求解能力；属于综合型强、难度大型试题.12．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，(1)f x +是偶函数，且当(]0,1x ∈时，()(2)f x x x =--，则（ ）A ．()f x 是周期为2的函数B ．()()201920201f f +=-C ．()f x 的值域为[]1,1-D ．()y f x =在[]0,2π上有4个零点【答案】BCD 【分析】对于A ，由()f x 为R 上的奇函数，()1f x +为偶函数，得(4)()f x f x +=，则()f x 是周期为4的周期函数，可判断A.对于B ，由()f x 是周期为4的周期函数，则()()202000f f ==，()()()2019111f f f =-=-=-，可判断B ．对于C ，当(]01x ∈，时，()()2f x x x =--，有()01f x ≤＜，又由()f x 为R 上的奇函数，则[)10x ∈-，时，()10f x -≤＜，可判断C ． 对于D ，根据函数的周期性和对称性，可以求出函数在各段上的解析式，从而求出函数的零点，可判断D ． 【详解】 解：对于A ，()1f x +为偶函数，其图像关于x 轴对称，把()1f x +的图像向右平移1个单位得到()f x 的图像，所以()f x 图象关于1x =对称， 即(1)(1)f x f x +=-，所以(2)()f x f x +=-，()f x 为R 上的奇函数，所以()()f x f x -=-，所以(2)()f x f x +=-，用2x +替换上式中的x 得， (4)(2)f x f x +=-+，所以，(4)()f x f x +=，则()f x 是周期为4的周期函数.故A 错误.对于B ，()f x 定义域为R 的奇函数，则()00f =，()f x 是周期为4的周期函数，则()()202000f f ==；当(]0,1x ∈时，()()2f x x x =--，则()()11121f =-⨯-=，则()()()()201912020111f f f f =-+=-=-=-， 则()()201920201f f +=-.故B 正确.对于C ，当(]01x ∈，时，()()2f x x x =--，此时有()01f x <≤，又由()f x 为R 上的奇函数，则[)1,0x ∈-时，()10f x -≤<，(0)0f =，函数关于1x =对称，所以函数()f x 的值域[]1,1-.故C 正确.对于D ，(0)0f =，且(]0,1x ∈时，()()2f x x x =--，[0,1]x ∴∈，()(2)f x x x =--，[1,2]x ∴∈，2[0,1]x -∈，()(2)(2)f x f x x x =-=--①[0,2]x ∴∈时，()(2)f x x x =--，此时函数的零点为0，2；()f x 是奇函数，[2,0],()(2)x f x x x ∴∈-=+，②(]2,4x ∴∈时，()f x 的周期为4，[]42,0x ∴-∈-，()()()()424f x f x x x =-=--，此时函数零点为4；③(]4,6x ∴∈时，[]40,2x ∴-∈，()()4(4)(6)f x f x x x =-=---，此时函数零点为6；④(]6,2x π∴∈时，(]42,4x ∴-∈，()()()()468f x f x x x =-=--，此时函数无零点；综合以上有，在(0,2)π上有4个零点.故D 正确； 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：由(1)f x +是偶函数，通过平移得到()f x 关于1x =对称，再根据()f x 是奇函数，由此得到函数的周期，进一步把待求问题转化到函数的已知区间上，本题综合考查抽象函数的奇偶性、周期性.13．已知53a =，85b =，则（ ） A ．a b < B ．112a b+> C ．11a b a b+<+ D ．b a a a b b +<+【答案】ABD 【分析】根据条件求得,a b 表达式，根据对数性质结合放缩法得A 正确，根据不等式性质得B 正确，通过作差法判断C 错，结合指数函数单调性与放缩法可得D 正确．【详解】解：∵53a =，85b =， ∴35log a =，58log b =，因为3344435533535log 3log 54<⇒<⇒<=， 又由3344438835858log 5log 84>⇒>⇒>=，所以a b <，选项A 正确； 35lo 01g a <=<，580log 1b <=<，则11a >，11b >，所以112a b +>，选项B 正确；因为a b <，01a b <<<，则0b a ->，11ab>，此时111()()10b a a b a b b a a b ab ab -⎛⎫⎛⎫+-+=-+=--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以11a b a b+>+，故选项C 不正确； 由1324a <<和314b <<知()x f x a =与()x g x b =均递减， 再由a ，b 的大小关系知b b a b a b a a b b a b a a b b <<⇒<⇒+<+，故选项D 正确. 故选：ABD 【点睛】本题考查了数值大小比较，关键运用了指对数运算性质，作差法和放缩法．14．已知函数222,0()log ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨>⎪⎩，若x 1<x 2<x 3<x 4，且f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)＝f (x 4)，则下列结论正确的是（ ） A ．x 1＋x 2＝－1 B ．x 3x 4＝1 C ．1<x 4<2 D ．0<x 1x 2x 3x 4<1【答案】BCD 【分析】由解析式得到函数图象，结合函数各分段的性质有122x x +=-，341x x =，341122x x <<<<，即可知正确选项. 【详解】由()f x 函数解析式可得图象如下：∴由图知：122x x +=-，121x -<<-，而当1y =时，有2|log |1x =，即12x =或2， ∴341122x x <<<<，而34()()f x f x =知2324|log ||log |x x =：2324log log 0x x +=， ∴341x x =，21234121(1)1(0,1)x x x x x x x ==-++∈.故选：BCD 【点睛】关键点点睛：利用分段函数的性质确定函数图象，由二次函数、对数运算性质确定1234,,,x x x x 的范围及关系.15．定义域和值域均为[],a a -的函数()y f x =和()y g x =的图象如图所示，其中0a c b >>>，下列四个结论中正确有（ ）A ．方程()0f g x =⎡⎤⎣⎦有且仅有三个解B ．方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有三个解C ．方程()0f f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有八个解D ．方程()0g g x =⎡⎤⎣⎦有且仅有一个解【答案】ABD 【分析】通过利用()t f x =和()t g x =，结合函数()y f x =和()y g x =的图象，分析每个选项中外层函数的零点，再分析内层函数的图象，即可得出结论. 【详解】由图象可知，对于方程()y f x =，当a y c -≤<-或c y a <≤，方程()y f x =只有一解；当y c =±时，方程()y f x =只有两解；当c y c -<<时，方程()y f x =有三解； 对于方程()y g x =，当a y a -≤≤时，方程()y g x =只有唯一解. 对于A 选项，令()t x g =，则方程()0f t =有三个根1t b =-，20t =，3t b =，方程()g x b =-、()0g x =、()g x b =均只有一解， 所以，方程()0f g x =⎡⎤⎣⎦有且仅有三个解，A 选项正确； 对于B 选项，令()t f x =，方程()0g t =只有一解1t b =，方程()f x b =只有三解，所以，方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有三个解，B 选项正确； 对于C 选项，设()t f x =，方程()0f t =有三个根1t b =-，20t =，3t b =，方程()f x b =-有三解，方程()0f x =有三解，方程()f x b =有三解， 所以，方程()0f f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有九个解，C 选项错误；对于D 选项，令()t x g =，方程()0g t =只有一解1t b =，方程()g x b =只有一解， 所以，方程()0g g x =⎡⎤⎣⎦有且仅有一个解，D 选项正确. 故选：ABD. 【点睛】思路点睛：对于复合函数()y f g x ⎡⎤=⎣⎦的零点个数问题，求解思路如下： （1）确定内层函数()u g x =和外层函数()y f u =； （2）确定外层函数()y f u =的零点()1,2,3,,i u u i n ==；（3）确定直线()1,2,3,,i u u i n ==与内层函数()u g x =图象的交点个数分别为1a 、2a 、3a 、、n a ，则函数()y f g x ⎡⎤=⎣⎦的零点个数为123n a a a a ++++.16．已知函数()3log ,092sin ,91744x x f x x x ππ⎧<<⎪=⎨⎛⎫+≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，若()()()()f a f b f c f d ===，且a b c d <<<，则（ ） A ．1ab = B ．26c d π+=C ．abcd 的取值范围是()153,165D ．+++a b c d 的取值范围是31628,9⎛⎫⎪⎝⎭【答案】ACD 【分析】作出函数()f x 的图象，利用对数的运算性质可判断A 选项的正误，利用正弦型函数的对称性可判断B 选项的正误；利用二次函数的基本性质可判断C 选项的正误；利用双勾函数的单调性可判断D 选项的正误. 【详解】由3log 2x ≤可得32log 2x -≤≤，解得199x ≤≤. 作出函数()f x 的图象如下图所示：由图象可得1191115179a b c d <<<<<<<<<， 由33log log a b =，可得33log log a b -=，即()333log log log 0a b ab +==，得1ab =，A 选项正确； 令()442x k k Z ππππ+=+∈，解得()41x k k Z =+∈， 当()9,17x ∈时，令94117k <+<，解得24k <<，由于k Z ∈，3k ∴=， 所以，函数[]()2sin 9,1744x y x ππ⎛⎫=+∈⎪⎝⎭的图象关于直线13x =对称， 则点()(),c f c 、()(),d f d 关于直线13x =对称，可得26c d +=，B 选项错误；()()()22613169153,165abcd c c c =-=--+∈，C 选项正确； 126a b c d a a+++=++，下面证明函数1y x x =+在()0,1上为减函数，任取1x 、()20,1x ∈且12x x <，则()12121212121111y y x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()1212211212121x x x x x x x x x x x x ---=-+=，1201x x <<<，则120x x -<，1201x x <<，所以，12y y >，所以，函数1y x x=+在()0,1上为减函数， 119a <<，则13162628,9a b c d a a ⎛⎫+++=++∈ ⎪⎝⎭，D 选项正确.故选：ACD. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.17．已知函数22(2)log (1),1()2,1x x x f x x +⎧+>-⎪=⎨≤-⎪⎩，若关于x 的方程()f x m =有四个不等实根1x ，2x ，3x ，()41234x x x x x <<<，则下列结论正确的是（ ）A ．12m <≤B ．11sin cos 0x x ->C ．3441x x +>-D ．2212log mx x ++10【答案】ACD 【分析】画出()f x 的图象，结合图象求得1234,,,,m x x x x 的取值范围，利用特殊值确定B 选项错误，利用基本不等式确定CD 选项正确. 【详解】画出()f x 的图象如下图所示，由于关于x 的方程()f x m =有四个不等实根1x ，2x ，3x ，()41234x x x x x <<<， 由图可知12m <≤，故A 选项正确. 由图可知12,x x 关于直线2x =-对称，故12122,42x x x x +=-+=-， 由()()22221x x +=≤-解得3x =-或1x =-，所以1232,21x x -≤<--<≤-，3324π-<-<-，当134x π=-时，1212sin cos ,sin cos 02x x x x ==--=，所以B 选项错误. 令()()2221x m x +=≤-，()22log 2log 1x m m m +==，()22log 21m x +=，()222log 1m x +=，12,x x 是此方程的解，所以()211log 22m x =+，或()221log 22m x =+，故()()22221211211log 422m x x x x x ++=+--++()()2121122881022x x =+++≥=+，当且仅当()()211211522,222x x x +==-+时等号成立，故D 选项正确. 由图象可知()()2324log 1log 1x x +=-+，()()2324log 1log 10x x +++=，()()34111x x +⋅+=，4433111,111x x x x +==-++， 由()()2log 111x x +=>-，解得1x =或12x =-，由()()2log 121x x +=>-，解得3x =或34x =-， 所以3431,1342x x -≤<-<≤， ()3433331144145111x x x x x x +=+-+=-+++ 51≥=-①. 令()()21134,1,1421x x x x +===-++或12x =-，所以①的等号不成立，即3441x x +>-，故C 选项正确. 故选：ACD【点睛】求解有关方程的根、函数的零点问题，可考虑结合图象来求解.求解不等式、最值有关的问题，可考虑利用基本不等式来求解.18．已知函数2ln(1),0()21,0x x f x x ax x +≥⎧=⎨-+<⎩，其中实数 a ∈R ，则下列关于 x 的方程f 2 (x ) − (1+ a )⋅ f (x ) + a = 0的实数根的情况，说法正确的有（ ） A ．a 取任意实数时，方程最多有5个根 B 1515a --+<<时，方程有2个根 C ．当 15a --=时，方程有3个根 D ．当 a ≤ −4时，方程有4个根 【答案】CD 【分析】先化简方程为()1f x =或()f x a =，再对a 进行分类讨论，结合图象来确定()1f x =或()f x a =分别有几个根，根据结果逐一判断选项正误即可.【详解】解：关于x 的方程f 2 (x ) − (1+ a )⋅ f (x ) + a = 0，即[][]()1()0f x f x a --=，故()1f x =或()f x a =.函数2ln(1),0()21,0x x f x x ax x +≥⎧=⎨-+<⎩中，()0,()ln 1x f x x ≥=+单调递增，()2220,(2)11x a x f x a x x a -+=-<=+-，对称轴为x a =，判别式()()411a a ∆=+-.（1）当0a ≥时，函数()f x 图象如下：由图象可知，方程()1f x =有1个根，1a >时方程()f x a =有2个根，01a ≤≤时，方程()f x a =有1个根，故1a >时已知方程有3个根，01a ≤<时，已知方程有2个根，1a =时已知方程有1个根；（2）1a =-时，函数()f x 图象如下：10a -<<时，函数()f x 图象如下：由两个图象可知，10a -≤<时，方程()1f x =有2个根，方程()f x a =没有根，故已知方程有2个根；（3）1a <-时，函数()f x 图象如下：方程()1f x =有两个根.下面讨论最小值21a -与a 的关系，由21a a -<解得15a --<， 故当152a --<时，21a a -<，直线y a =如图①，方程()f x a =有2个根，故已知方程有4个根； 当152a -=时，21a a -=，直线y a =如图②，方程有()f x a =有1 个根，故已知方程有3个根； 当1512a -<<-时，21a a ->，直线y a =如图③，方程()f x a =没有根，故已知方程有2个根.综上可知，a 取任意实数时，方程最多有4个根，选项A 错误；1512a --<<时方程有2个根，1a =时已知方程有1个根，1a >时方程有3个根，故选项B 错误；当15a --=3个根，C 正确；当 1542a --≤-<时，方程有4个根，故D 正确. 故选：CD. 【点睛】 关键点点睛：本题的解题关键在于分类讨论确定二次函数的图象，以及其最低点处21a -与a 的关系，以确定方程()f x a =的根的情况，才能突破难点.19．已知函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>满足()()00112f x f x =+=-，且()f x 在()00,1x x +上有最小值，无最大值.则（ ）A ．0112f x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭B ．若00x =，则()sin 26f x x ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．()f x 的最小正周期为3D ．()f x 在(0,2019)上的零点个数最少为1346个 【答案】AC 【分析】根据正弦函数图象的对称性可判断A ；根据已知三角函数值求角的方法，可得052,6x k k Z ωϕππ+=-∈，0(1)2,6x k k Z πωϕπ++=-∈，两式相减可求出ω，进而求得周期，从而可判断B 和C 选项；因为3T =，所以函数()f x 在区间(0,2019)上的长度恰好为673个周期，为了算出零点“至少”有多少个，可取(0)0f =，进而可判断D ． 【详解】解：由题意得，()f x 在()00,1x x +的区间中点处取得最小值， 即0112f x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以A 正确； 因为()()00112f x f x =+=-， 且()f x 在()00,1x x +上有最小值，无最大值， 所以不妨令052,6k k Z ωϕππ+=-∈， ()012,6x k k Z πωϕπ++=-∈，两式相减得，23πω=， 所以23T πω==，即B 错误，C 正确；因为3T =，所以函数()f x 在区间(0,2019)上的长度恰好为673个周期， 当(0)0f =，即k ϕπ=时，()f x 在区间(0,2019)上的零点个数至少为673211345⨯-=个，即D 错误.故选:AC . 【点睛】本题考查与三角函数有关的命题的真假关系，结合三角函数的图象与性质，利用特殊值法以及三角函数的性质是解题的关键，综合性较强．20．下列结论正确的是（ ）A ．函数()y f x =的定义域为[]1,3，则函数()21y f x =+的定义域为[]0,1B ．函数()f x 的值域为[]1,2，则函数()1f x +的值域为[]2,3C ．若函数24y x ax =-++有两个零点，一个大于2，另一个小于-1，则a 的取值范围是()0,3D ．已知函数()23,f x x x x R =+∈，若方程()10f x a x --=恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为()()0,19,⋃+∞ 【答案】ACD 【分析】根据抽象函数定义域及代换的方法可求函数的定义域，判断A ，利用函数图象的平移可判断函数值域的变换情况，判断B ，利用数形结合及零点的分布求解判断C ，作出函数()23f x x x =+与1y a x =-的图象，数形结合即可判断D.【详解】对于A, ()y f x =的定义域为[]1,3，则由1213x ≤+≤可得()21y f x =+定义域为[]0,1，故正确；对于B ，将函数()f x 的图象向左平移一个单位可得函数()1f x +的图象，故其值域相同，故错误；对于C, 函数2()4y g x x ax ==-++有两个零点，一个大于2，另一个小于-1只需(2)0(1)0g g >⎧⎨->⎩，解得0<<3a ，故正确； 对于D, 作出函数()23f x x x =+与1y a x =-的图象，如图，由图可以看出，0a ≤时，不可能有4个交点，找到直线与抛物线相切的特殊位置1a =或9a =，观察图象可知，当01a <<有4个交点，当9a <时，两条射线分别有2个交点，综上知方程()10f x a x --=恰有4个互异的实数根时，()()0,19,a ∈+∞正确.故选：ACD【点睛】关键点点睛：对于方程实根问题，可转化为函数图象交点问题，本题中，()23f x x x=+图象确定，而1y a x =-是过(1,0)关于1x =对称的两条射线，参数a 确定两射线张角的大小，首先结合图形找到关键位置，即1a =时左边射线与抛物线部分相切，9a =时右边射线与抛物线相切，然后观察图象即可得出结论.。
安徽省宿州市十三所省重点中学2024_2025学年高一数学上学期期末考试试题扫描版
安徽省宿州市十三所省重点中学2024-2025学年高一数学上学期期末考试试题（扫描版）宿州市十三所重点中学2024-2025学年度第一学期期末质量检测高一数学试卷（参考答案） CBCCB AB DDA CA 3 452)4323sin(+-=πx y17.解:原式=)cos (tan sin )cos (322θθθθ-⋅⋅-=θθθ222cos tan sin ⋅-=1.................10分19. f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6………………………………4分(1)2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2⇔k π＋π6≤x ≤k π＋2π3(k ∈Z )，∴函数f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )………8分（1）函数g (x )＝f (x )，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π12，5π12的图像如图所示：列表：略………………………………10分……………………………… 12分20.（1）)0(f =0， ………………………………………………………………2分分平行与时，分分平行时与）当（分时分时当分解：12...............)()(110 (13)628 (11)232)()(26.).........()(1112634..........0)1,3()12,2()()(2...).........1,3()12,2()1,2()2,1()1(.18b a b a k k k k k k k b a b a k b a b a k k k k k k k b a b a k b a k k k b a k -+-=∴-=∴+=-∴+=--+-⊥+=∴=∴=++-∴=⋅+--⊥+=-+-=-+=+证明奇函数…………………………………………………………5分（2）令2121,,x x x x x y x >==+且，由)()()(y f x f y x f +=+得)()()(2121x x f x f x f -=-， 当0>x 时，0)(<x f 且021>-x x 0)(21<-∴x x f ，)()(,0)()(2121x f x f x f x f <<-∴即，)(x f ∴为减函数.……………………………………………………………12分21.（1）51)sin(,53)sin(=-=+B A B A ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+∴51sin cos cos sin 53sin cos cos sin B A B A B A B A ，⎪⎩⎪⎨⎧==∴51sin cos 52cos sin B A B A2tan tan =∴B AB A tan 2tan =∴…………………………………………………5分（2）,53)sin(,2=+<+<B A B A ππ43tan tan 1tan tan ,43)tan(-=-+∴-=+∴B A B A B A ，由B A tan 2tan =∴得01tan 4tan 22=--B B ，62tan 2tan ,262tan +==∴+=∴B A B .…………………………9分设AB 边上的高为CD ，则AB=AD+DB=,623tan tan +=+CDB CD A CD.623+=∴=CD AB ， …………………………………………………12分22.（1）∵tan 7α=，α∈[0,2π],∴272, ,1010cos sin αα==∵OA 与OC 的夹角为α,∴210OA OCOA OC ⋅=,∵OC mOA nOB =+,|OA |=|OB |=1,|OC |=,∴2102m nOA OB +⋅=,①…………………………………………………3分 又∵OB 与OC 的夹角为45°,∴222OB OC mOA OB n OB OC⋅⋅+==,②…………………………………5分 又()345 45 455cos AOB cos cos cos sin sin ααα∠=︒+=︒-︒=-∴3cos 5OA OB OA OB AOB ⋅=∠=-, 将其代入①②得313,1555m n m n -=-+=,从而57,44m n ==， 故5577log log n m -=55777log log 15n m ==-…………………………………7分 （2）由（1）得57,44m n ==，又()()22112188f x ax ax a x a =-+=-+-，0a <，故()f x 在57,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以5224f a ⎛⎫=⇒=- ⎪⎝⎭…………………………12分。
2025届安徽省宿州市十三所重点中学数学九上开学联考模拟试题【含答案】
2025届安徽省宿州市十三所重点中学数学九上开学联考模拟试题题号一二三四五总分得分A 卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）如图，正方形ABCD 的边长是2，对角线AC 、BD 相交于点O ，点E 、F 分别在边AD 、AB 上，且OE ⊥OF ，则四边形AFOE 的面积是（）A ．4B ．2C ．1D ．122、（4分）若成立，则下列不等式成立的是（）A ．B ．C ．D ．3、（4分）平行四边形所具有的性质是（）A ．对角线相等B ．邻边互相垂直C ．两组对边分别相等D ．每条对角线平分一组对角4、（4分）“绿水青山就是金山银山”．某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成了这一任务．设实际工作时每天绿化的面积为x 万平方米，则下面所列方程中正确的是（）A ．606030(125%)x x-=+B ．606030(125%)x x-=+C ．60(125%)6030x x⨯+-=D ．6060(125%)30x x⨯+-=5、（4分）如图，对折矩形纸片ABCD ，使AB 与DC 重合，得到折痕MN ，将纸片展平后再一次折叠，使点D 落到MN 上的点F 处，则FAB ∠的度数是()A ．25°B ．30°C ．45°D ．60°6、（4分）向一容器内均匀注水,最后把容器注满.在注水过程中,容器的水面高度与时间的关系如图所示,图中PQ 为一线段,则这个容器是()A ．B ．C ．D ．7、（4分）如图，已知一次函数y kx b =+，y 随着x 的增大而增大，且0kb <，则在直角坐标系中它的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．8、（4分）如图，四边形ABCD 是边长为5cm 的菱形，其中对角线BD 与AC 交于点O ，BD ＝6cm ，则对角线AC 的长度是（）A ．8cmB ．4cmC ．3cmD ．6cm二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）如图，以A 点为圆心，以相同的长为半径作弧，分别与射线AM ，AN 交于B ，C 两点，连接BC ，再分别以B ，C 为圆心，以相同长（大于12BC ）为半径作弧，两弧相交于点D ，连接AD ，BD ，CD ．若∠MBD=40°，则∠NCD 的度数为_____．10、（4分）函数中，自变量x 的取值范围是________．11、（4分）已知正比例函数y =(k +5)x ，且y 随x 的增大而减小，则k 的取值范围是____.12、（4分）如图，在矩形ABCD 中，AD ＝6，AB ＝4，点E 、G 、H 、F 分别在AB 、BC 、CD 、AD 上，且AF ＝CG ＝2，BE ＝DH ＝1，点P 是直线EF 、GH 之间任意一点，连接PE 、PF 、PG 、PH ，则△PEF 和△PGH 的面积和等于________．13、（4分）如图，△ABC 是等腰直角三角形，∠A ＝90°，点P ．Q 分別是AB 、AC 上的动点，且满足BP ＝AQ ，D 是BC 的中点，当点P 运动到___时，四边形APDQ 是正方形．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（12分）如图，在四边形ABCD 中，AD ⊥CD ，BC ⊥CD ，E 为CD 的中点，连接AE ，BE ，BE ⊥AE ，延长AE 交BC 的延长线于点F 。
2020-2021学年安徽省宿州市十三所省重点中学高二上学期期末数学(文)试题(解析版)
2020-2021学年安徽省宿州市十三所省重点中学高二上学期期末数学（文）试题一、单选题1．命题“0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x =-．”的否定是（ ） A ．0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x ≠- B ．0(0,)x ∃∉+∞，00ln 1x x =- C ．(0,)x ∀∈+∞，ln 1x x ≠- D ．(0,)x ∀∉+∞，ln 1x x =-【答案】C【分析】根据特称命题的否定直接判断即可.【详解】“0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x =-”的否定为“(0,)x ∀∈+∞，ln 1x x ≠-”. 故选：C2．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的渐近线方程为12y x =±，则此双曲线C的离心率为（ ）A ．2BCD 【答案】C【分析】计算出b a 的值，利用公式e =可计算出该双曲线的离心率的值. 【详解】由题意可知，双曲线C 的渐近线方程为12b y x x a =±=±，则12b a =，因此，双曲线C 的离心率为2c e a =====. 故选：C.3．垂直于直线210x y ++=且与圆225x y +=相切的直线的方程是（ ）A ．250x y -+=或250x y --=B ．20x y -+=或20x y -=C ．250x y -+=或250x y --=D ．.20x y -+=或20x y --=【答案】A【分析】根据互相垂直直线之间的斜率关系，结合圆的几何性质进行求解即可. 【详解】直线210x y ++=的斜率为2-，因此与该直线垂直的直线的斜率为12， 设与210x y ++=垂直的直线方程为：12202y x b x y b =+⇒-+=， 直线220x y b -+=是圆225x y +=的切线，2525b b =⇒=⇒=±，因此切线方程为250x y -+=或250x y --=. 故选：A4．已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内.则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】当“直线a 和直线b 相交”时，平面α和平面β必有公共点，即平面α和平面β相交，充分性成立；当“平面α和平面β相交”，则 “直线a 和直线b 可以没有公共点”，即必要性不成立. 故选A.5．圆()221:11C x y -+=与圆222:230C x y y ++-=的位置关系为（ ）A ．相离B ．相交C ．外切D ．内切【答案】B【分析】求出12C C 以及两圆的半径1r 、2r ，比较12C C 、12r r -、12r r +的大小关系，由此可得出两圆的位置关系.【详解】圆1C 的圆心为()11,0C ，半径为11r =，圆2C 的标准方程为()2214x y ++=，圆心为()20,1C -，半径为22r =，12C C ==121r r -=，123r r +=，所以，121212r r C C r r -<<+，所以，圆1C 与圆2C 相交.故选：B.【点睛】结论点睛：圆与圆的位置关系：设圆1C 与圆2C 的半径长分别为1r 和2r .（1）若1212C C r r <-，则圆1C 与圆2C 内含；（2）若1212C C r r =-，则圆1C 与圆2C 内切；（3）若121212r r C C r r -<<+，则圆1C 与圆2C 相交； （4）若1212C C r r =+，则圆1C 与圆2C 外切； （5）若1212C C r r >+，则圆1C 与圆2C 外离.6．曲线2y x x=+在点()1,3处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（ ） A ．4 B ．2C ．16D ．8【答案】D【分析】首先可求出曲线的导函数()f x '，然后求出()1f '的值和切点坐标，并写出切线方程，最后根据切线与两坐标轴交点坐标即可得出结果． 【详解】由2y x x=+，得221y x '=-，则()1121k f ==-=-'，因为()1123f '=+=， 所以曲线2y x x=+在点(1,3)处的切线方程为()31y x -=--，即40x y +-=， 所以切线与两坐标轴交点分别为()0,4、()4,0， 所以切线与两坐标轴所围成的三角形的面积14482S =⨯⨯=. 故选：D ．【点睛】本题考查求曲线上一点的切线方程，关键点是根据切点坐标以及曲线在切点处的导函数值求得切线方程，考查推理能力，是简单题．7．祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体体积公式V sh =柱体，其中s 是柱体的底面积，h 是柱体的高若某柱体的正视图侧视图三视图如图所示，则该柱体的体积是（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】C【分析】根据三视图还原几何体，然后根据体积公式计算即可. 【详解】根据题干的三视图可知该几何体为底面为直角梯形的直四棱柱 如图所示：所以体积为()1111122262ABCD A B C D V -+⨯=⨯=故选：C8．若点P 在抛物线24y x =上，则点P 到点()2,2Q -的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时点P 的坐标为（ ） A ．(1,2)- B ．()1,2C ．()1,4D ．()1,4-【答案】A【分析】数形结合以及根据抛物线的定义可得距离之和为PQ PM +，简单判断可得结果.【详解】抛物线24y x =的焦点()1,0F 如图所示：由抛物线定义可知：点P 到焦点的距离与到准线1x =-的距离相等，即PF PM = 点P 到点()2,2Q -的距离与点P 到抛物线焦点距离之和为PQ PF +，即PQ PM + 当,,Q P M 三点共线时，PQ PM +有最小，所以点()1,2P - 故选：A9．已知命题():1,2p k ∀∈，方程22121x y k k -=--都表示双曲线；q ：抛物线24y x =的焦点坐标为()1,0；下列判断正确的是（ ） A ．p 是假命题 B ．q 是真命题 C ．()p q ∧⌝是真命题 D ．()p q ⌝∧是真命题【答案】C【分析】首先判断命题p 、q 的真假，再根据复合命题的真假性质判断即可；【详解】解：若方程22121x y k k -=--表示双曲线，则()()210k k -->，解得12k <<，故命题():1,2p k ∀∈，方程22121x y k k -=--都表示双曲线，为真命题，抛物线24y x =的焦点坐标为10,16⎛⎫⎪⎝⎭，故命题q 为假命题，故A 、B 错误；所以q ⌝为真命题，p ⌝为假命题，所以()p q ∧⌝为真命题，()p q ⌝∧为假命题， 故选：C10．已知双曲线22221(0,0x y a b a b-=>>x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d ，2d ，且124d d +=，则此双曲线的方程为（ ）A ．22142x y -=B ．22124x y -=C ．22122x y -=D ．22144x y -=【答案】D【分析】依题意可得a b =，c =，利用已知条件，表示出A 、B 的坐标，列出方程转化求解即可．【详解】解：因为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，即c e a ===a b =，c =，所以双曲线的渐近线方程为y x =±，取0x y -=，令x c =，则22221c y a b -=，解得2b y a =±，即2,b A c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2,b B c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以),Aa，),B a -所以1d =2d =因为124d d +=4=，解得2a =所以双曲线方程为22144x y -=故选：D【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，考查计算能力． 11．设()()f x x R ∈是奇函数，()f x '是()f x 的导函数，()20f -=．当0x >时，()()0xf x f x '->，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ）A ．()()2,00,2-B ．(,2)(2,)-∞-+∞C ．(),2()0,2-∞-⋃D ．()(2,02,)-⋃+∞【答案】D【分析】构造函数()()f x F x x=，利用导数可得函数()F x 的在()0,∞+的单调性，然后利用函数()F x 的奇偶性可得()F x 在(),0-∞的单调性，最后简单判断可得结果. 【详解】令()()f x F x x =，所以()()()2xf x f x F x x '-'= 当当0x >时，()()0xf x f x '->，所以()0F x '> 所以可知()F x 的在()0,∞+的单调递增，又()f x 是奇函数且()20f -=，所以()()220f f =--=，则()20F =由()()()()()f x f x f x F x F x x x x---====--， 所以函数为()(),00,-∞⋃+∞的偶函数且()F x 在(),0-∞单调递减，()20F -= 当0x >时，()0f x >的解集为(2,)+∞当0x <时，()0f x >的解集为(2,0)-综上所述：()0f x >的解集为：()(2,02,)-⋃+∞ 故选：D二、填空题12．设l 是直线,α、β是两个不同的平面,则下列命题中正确的是___________.（填写序号）①若//,//l l αβ,则//αβ ②若//,l l αβ⊥,则αβ⊥ ③若,l αβα⊥⊥,则l β⊥ ④若,//l αβα⊥,则l β⊥ 【答案】②【详解】①由,l l αβ,不一定推出αβ∥. 反例如图：，所以①不正确； ②如图所示：过l 作平面γ交平面α于直线a ，因为l α,所以la ，又l β⊥，所以a β⊥，a α⊂，故αβ⊥，所以②正确； ③由l αβα⊥⊥，，不能推出l β⊥；反例如图：故③不正确；④若,l αβα⊥，未必有l β⊥. 反例如图：．故④不正确；故所给命题正确的是②.13．直线1:30()l mx y m R +-=∈与直线2:21l y x =-平行，则实数m =__________． 【答案】2-【分析】根据两直线平行斜率相等，简单计算即可.【详解】由题可知：直线1l 的斜率为m -，直线2l 的斜率为2 又1l //2l ，所以22m m -=⇒=- 故答案为：2-14．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点1F ，2F 在x 轴上，离心率为12，过1F 的直线交椭圆C 于A ，B 两点，且2ABF 的周长为8，那么C 的方程为__________．【答案】22143x y +=【分析】结合椭圆的定义可得48a =，再结合离心率可求出c 的值，从而求出2b ，可写出椭圆方程.【详解】解：由椭圆的定义可知：2ABF 的周长为4a ，所以48a =，解得2a =； 因为离心率为12，所以1c =，则2223b a c =-= 所以椭圆的方程为：22143x y +=.故答案为：22143x y +=.【点睛】结论点睛：过焦点的三角形和椭圆交于A B 、两点，则A B 、两点与另一焦点连线与线段AB 构成的三角形的周长为4a .15．已知直三棱柱111ABC A B C -，2AB BC ==，22AC =，14AA =，则此直三棱柱外接球的表面积为__________． 【答案】24π【分析】由2AB BC ==，22AC =，得到AB BC ⊥，确定上下底面的中心的位置，然后由外接球的球心是上下底面中心的连线的中点求解. 【详解】如图所示：在直三棱柱111ABC A B C -，2AB BC ==，22AC = 所以222AB BC AC ==，则AB BC ⊥，设上下底面的中心为12,O O ，则外接球的球心O 为12O O 的中点， 又14AA =，所以外接球的半径为22116R AO OO =+直三棱柱外接球的表面积为2424S R ππ==，故答案为：24π16．已知函数在()3223(,)f x x mx nx m m n R =+++∈，1x =-时取得极小值0，则m n +=__________．【答案】11【分析】对函数进行求导，根据函数()f x 在1x =-有极值0，可以得到(1)0f -=，(1)0f '-=，代入求解即可【详解】解：322()3f x x mx nx m =+++2()36f x x mx n ∴'=++依题意可得(1)0(1)0f f -=⎧⎨'-=⎩即2130360m n m m n ⎧-+-+=⎨-+=⎩ 解得29m n =⎧⎨=⎩或13m n =⎧⎨=⎩当1m =，3n =时函数32()331f x x x x =+++，22()3633(1)0f x x x x '=++=+函数在R 上单调递增，函数无极值，故舍去；所以29m n =⎧⎨=⎩，所以11+=m n 故答案为：11【点睛】本题主要考查函数在某点取得极值的性质：若函数在取得极值0()0f x ⇒'=．反之结论不成立，即函数有0()0f x '=，函数在该点不一定是极值点，（还得加上在两侧有单调性的改变）．三、解答题17．设命题p ：实数x 满足()()()400x a x a a --<>，命题q ：实数x 满足403x x -<-． （1）若1a =，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围；（2）若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．【答案】（1）()3,4；（2）[]1,3.【分析】先求出命题,p q 对应的x 的范围（集合），（1）p q ∧为真，即,p q 均为真，求交集即可；（2）由必要不充分条件，得出集合的包含关系，可得答案．【详解】()():40P x a x a --<，():3,4q x ∈（1）当1a =时，():1,4P x ∈，∵p q ∧为真，所以P 与q 都是真命题，所以()3,4x ∈．（2）∵():,4P x a a ∈，():3,4q x ∈，且p 是q 的必要不充分条件∴()()3,4,4a a ∴13a ≤≤，即[]1,3a ∈【点睛】结论点睛：对于必要不充分条件的判断，一般可根据如下规则判断： （1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集；（2）p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集；（3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件， q 对的集合与p 对应集合互不包含． 18．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD ，E 为PD 的中点．（1）证明：//PB 平面AEC ；（2）设1AP =，3AD =P ABCD -的体积为1，求证：平面PAC ⊥平面PBD ．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（ 1）设BD 与AC 的交点为O ，连接EO ，通过直线与平面平行的判定定理证明//PB 平面AEC ；（ 2）通过体积得到底面为正方形，再由线面垂直得到面面垂直即可.【详解】（1）连接BD 交AC 于点O ，连结EO ,因为ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点,又E 为PD 的中点，所以//EO PB ,EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ，所以//PB 平面AEC .（2）因为113P ABCD V AB AD AP -=⨯⨯⨯=, 所以3AB =，所以底面ABCD 为正方形，所以BD AC ⊥，因为PA ABCD ⊥，所以BD PA ⊥，且AC PA A ⋂=，所以BD ⊥平面PAC ， 又BD ⊂平面PBD ，所以平面PAC ⊥平面PBD .【点睛】本题主要考查了立体几何及其运算，要证明线面平行先证明线线平行，要证明面面垂直，先证明线面垂直，考查了学生的基础知识、空间想象力.19．已知函数()()2xf x e ax a R =-∈. （1）若12a =，求函数()f x 的单调区间 （2）当[]2,3x ∈时，()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）函数()xf x e x =-的单调递增区间为()0,∞+；单调递减区间为(),0-∞；（2）2,4e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．【分析】（1）当12a =时，()x f x e x =-，利用导数可求得函数()f x 的单调递增区间和递减区间；（2）由参变量分离法得出min2x e a x ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，利用导数求出函数()xe g x x =在区间[]2,3上的最小值，由此可得出实数a 的取值范围.【详解】（1）当12a =时，()x f x e x =-，()1x f x e '=-， 令()0f x '=，得0x =．令()0f x '>，得0x >：令()0f x '<，得0x <．所以函数()xf x e x =-的单调递增区间为()0,∞+，单调递减区间为(),0-∞；（2）()202x x e f x e ax a x =-≥⇔≤对任意的[]2,3x ∈恒成立，即min2x e a x ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭， 设()xe g x x =﹐则()()21x e x g x x-'=，显然当[]2,3x ∈时()0g x '>恒成立． ()g x ∴在[]2,3单调递增，()n 2mi ()22g x g e ∴==， 22224e e a a ∴≤⇒≤，所以2,4 e a ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦．【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：（1）x D ∀∈，()()min m f x m f x ≤⇔≤；（2）x D ∀∈，()()max m f x m f x ≥⇔≥；（3）x D ∃∈，()()max m f x m f x ≤⇔≤；（4）x D ∃∈，()()min m f x m f x ≥⇔≥.20．平面上动点M 到定点()1,0F 的距离比M 到直线2x =-的距离小1． （1）求动点M 满足的轨迹方程C ﹔（2）若A ，B 是（1）中方程C 表示的曲线上的两点，且OA OB ⊥（O 为坐标原点）．试问直线AB 是否经过定点，并说明理由．【答案】（1）24y x =；（2）直线AB 经过定点()4,0，证明见解析. 【分析】（1）利用抛物线的定义可得动点M 满足的轨迹方程C ﹔（2）设直线OA 的方程为：y kx =，则直线OB 的方程为：1=-y x k，联立直线与抛物线方程解出交点坐标，进而可得直线AB 的方程，可得直线AB 经过的定点坐标．【详解】（1）由题意易得：点M 到定点()1,0F 的距离等于点M 到直线1x =-的距离由抛物线定义可得：动点M 满足的轨迹方程C 为24y x =．（2）设直线OA 的方程为：y kx =，则直线OB 的方程为：1=-y x k． 联立方程24y kx y x =⎧⎨=⎩可得244(,)A k k ，同理可得：24,4()B k k -．∴()222441414k k kk k kk k+===±-- 直线AB 的方程为224(4)1k y k x k k +=--即2(4)1k y x k =--． 特别的，当1k =或1-时，点A 与点B 的横坐标都是4．综上可知，直线AB 经过定点()4,0．【点睛】关键点点睛：本题考查抛物线的定义的应用，考查直线与抛物线的位置关系，解决本题的关键点是设出直线OA 和OB 的方程，分别与抛物线联立解出交点坐标，即可写出直线AB 的方程，进而得出定点坐标，考查了学生计算能力，属于中档题． 21．已知函数()ln ),(f x x x ax b a b R =++∈在点()()1,1f 处的切线为320x y --=．（1）求函数()f x 的解析式：（2）若存在实数m ，使得2()1f x m m x --<在x 1,14⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时成立，求m 的取值范围． 【答案】（1）()ln 21f x x x x =+-；（2）12m -<<．【分析】（1）由条件可知()()11,13f f '==，代入求解,a b ，得到函数的解析式；（2）根据不等式能成立，转化为2max ()1f x m m x ⎡⎤--<⎢⎥⎣⎦，利用导数求函数()()f x h x x=的最大值，再求m 的取值范围.【详解】（1）由题意知：()f x 的定义域为(0,)+∞，∵()ln 1'=++f x x a ∴(1)13(1)1f a f a b =+=⎧⎨=+='⎩，解得21a b =⎧⎨=-⎩ 故()ln 21f x x x x =+-．（2）令()1()ln 2f x h x x x x ==-+，2211111()()24h x x x x '=+=+-，[]11,4x∈ ∴()()120h x h ''≥=>，故()h x 在[]11,4x ∈时，单调递增，()()11h x h ≤=． 要存在实数m ，使得2()1f x m m x --<在1,14x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时成立，只要2max()11f x m m x ⎡⎤--<=⎢⎥⎣⎦即可，解得：12m -<<． 22．已知椭圆E 2222:1(0)x y a b a b+=>>的焦距为1F ，2F 是椭圆的左右焦点，点P 为椭圆上一点，12F PF △O 为坐标原点．（1）求椭圆E 的方程；（2）设过点()0,2A -的直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当OPQ △的面积为1时，求直线l 的方程．【答案】（1）2214x y +=；（2）2y =-或2y x =-． 【分析】（1）由焦距为c 的值，由12F PF △b 的值，结合222a bc =+即可求a 得值，进而可得椭圆E 的方程.（2）由题意可得直线l 斜率存在，设:2l y kx =-，11(,)P x y ，22(,)Q x y 将直线方程与椭圆方程联立，利用根与系数的关系求出弦长PQ ，求出点O 到直线PQ 的距离d ，计算OPQ △面积让其等于1，即可求得k 的值，进而可得直线l 的方程.【详解】（1）由题设可得：2c =c =以12F F 为底，当点P 为上下顶点时，12F PF △高最大，所以12F PF △的面积max 122S c b c b =⨯⨯=⨯=1b = 所以2224a b c =+= 故E 的方程为2214x y +=． （2）当l x ⊥轴时，不满足直线与抛物线交于不同的两点，不合题意，故设:2l y kx =-，11(,)P x y ，22(,)Q x y将2y kx =-代入2214x y +=得22(14)16120k x kx +-+=． 由216(43)0k ∆=->可得234k >，所以1221614k x x k +=+，1221214x x k ⋅=+从而12|PQ x x =-==． 又点O 到直线PQ 的距离d =所以OPQ △的面积为221||124141OPQ S d PQ k k =⋅===++， 整理得：421656490-+=k k ，即()22470k -=，解得274k =，所以2k =±且满足0∆>．所以直线l 的方程为2y x =-或2y x =-． 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是利用焦点三角形面积最大值为bc 求出b 的值，对于三角形面积利用弦长公式求弦长，利用点到直线的距离公式求三角形的高，根据面积为1列方程，可求直线的斜率k ，是常考题型.。
安徽省宿州市十三所重点中学2021-2022学年高一上学期期末质量检测数学试题(原卷版)
月份
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
月降水量/mm
58
48
53
46
56
56
51
71
56
53
64
66
对于上述表格中 数据，说法正确的是（）
A. 该年份月降水量的极差是25mmB. 该年份月降水量的众数是53mm和56mm
C. 该年份月降水量的25％分位数是52mmD. 该年份月降水量的中位数是56mm
A. B. C. D.
3.已知函数 且 ，则函数恒过定点（）
A B. C. D.
4.函数 的零点所在的区间为（）
A. B. C. D.
5.有一组实验数据如下
现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最佳的一个是（）
A. B. C. D.
6.设 ， ， ，则下列大小关系表达正确的是（）
（1）估计该样本校学生体能测试的平均成绩；
（2）求这20名学生测试成绩的标准差 ．（结果保留整数）
22.已知 ．
（1）当 时，解关于 的不等式 ；
（2）当 时，解关于 的不等式 ．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合 ，集合 ，则 等于（）
A. B. C. D.
2.某集团校为调查学生对学校“延时服务”的满意率，想从全市3个分校区按学生数用分层随机抽样的方法抽取一个容量为 的样本．已知3个校区学生数之比为 ，如果最多的一个校区抽出的个体数是60，那么这个样本的容量为（）
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安徽省宿州市十三校重点中学2010—2011学年第一学期期中考试高二数学试题（文科） 第I 卷一.选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.不等式（1－x ）（3+x ）>0的解集是 A.(－3,1)B(－∞,－3)∪(1,+∞) C.(－1,3)D.(－∞,－1)∪(3,+∞)2.已知数列}{n a 的通项公式是na n n )1(3-+=：，则32a a +的值为A.2B.32C.35D.383.如果实数b a >，则下列各式正确的是 A ．22b a > B.33b a > C.ba11< D.ab a >24.在△ABC 中，已知045,2,2===A b a ,则B 等于 A.30°B.60°C.30°或150°D.60°或120°5.已知数列}{n a 的通项公式是11+-=n n a n ，那么这个数列是 A.递增数列B.递减数列 C.常数列D.摆动数列6.已知实数y x b a <<,，且0))((,0))((>--<--b y a y b x a x ,则下列关系式正确的是A.b y x a <<<B.y b x a <<<C.b y a x <<<D.b a y x <<<7.已知实数2,=+b a ab ，则b a 33+的最小值是A.18B.6C.23D.2438.在线性约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤--≥-o y x y x y x 20630下,目标函数y x z +=2的最小值是.A.9B.2C.3D.49.等比数列}{n a 的前n 项的和为n S ，若321,2,4a a a 成等差数列，则44a S 的值是 A.167B.1615C.87D.81510.已知实数y x ,满足11122=+yx ，则222y x +有 A.最大值3+22B.最小值3+22 C.最大值42D.最小值4211.在△ABC 中，三边c b a ,,成等差数列，B=300，三角形ABC 的面积为21，则b 的值是 A ．1+3B.2+3C.3+3D.333+ 12.已知等差数列数列}{n a 前n 的和为S n,,,若20101-=a ，22007200920072009=-S S ，则2011S 的值是 A ．2009 B.2010 C ．0D ．2010×2011二.填空题:（本大题共4小题，每小题4分，共16分,把答案填在答题卷的相应位置） 13.不等式01>-xx 的解集是 14.在三角形ＡＢＣ中，若31cos ,3==A a ，则bc 的最大值是 .15.关于x 的不等式01)1()1(22<----x a x a 的解集是Ｒ，则实数a 的取值范围是 .16.已知等差数列}{n a 的首项1a 及公差d 都是整数，且前n 项和为n S ，若9,3,1341≤>>S a a ，则数列}{n a 的通项公式是________.第Ⅱ卷三.解答题:（本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分12分）已知数列}{n a 是等比数列，首项16,241==a a . （1）求数列}{n a 的通项公式（2）若数列}{n b 是等差数列，且5533,a b a b ==求数列}{n b 的通项公式及前n 项和n S .18.（本小题满分12分）在△ABC 中，角A,B,C 的对边分别是c b a ,,，已知54cos ,5,6-===A b a （1）求角B 的大小 （2）求三角形ABC 的面积。
19.（本小题满分12分）已知)6c=c-aafxx+x6()(3)+>(2--（1）若关于x的不等式0a,的(>f的解集是（－1，3），求实数c)x值。
（2）解关于a的不等式0f)1(>20.（本小题满分12分）已知A,B是海面上位于东西方向(B在A东)相距5（3+3）海里的两个观测点，现位于A点北偏东450，B点北偏西600的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B的南偏西600且与B点相距203海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里／小时，该救援船到达D点需要多长时间？21.（本小题满分12分）已知函数c=2+)(和bf+bxxx)=2(，若对任意的Rg+xxx∈，恒有xf≥g))((x（1） 证明：1≥c 且b c ≥（2） 证明：当0≥x 时，)()(2x f c x ≥+22.（本小题满分14分）等比数列}{n a 的前n 项和n S ，且12+=+n n a S （1）求数列}{n a 的通项公式（2）求数列})12{(n a n -的前n 项的和n S .高二数学参考答案一.选择题1.A2.D3.B4.A5.A6.B7.B8.B9.D10.B11C.12.C 二.填空题13.（－1，0）∪(1,+∞)14.49 15.[0，1]16.1+=n a n 三．解答题17解：（1）由16,241==a a 及}{n a 是等比数列， 得1631=q a 2=q ∴n n n q a a 211==- （2） 由已知⎩⎨⎧=-=∴⎩⎨⎧=+=+121632482111d b d b d b ∴281212)1(16-=⋅-+-=n n a nn n n n n S n 146122)1()16(2-=⋅-+-⋅= 18(1)∵53sin 54cos =∴-=A A由正弦定理21sin sin ,sin sin ==∴=a A b B b b A a又b a >∴B 为锐角B=300 （2）1043330sin cos 30cos sin )30sin()sin(sin 00-=+=+=+=A A A b a C∴21239sin 21-==∆A ab S ABC 19解：（1）由已知－1，3是方程0)6(32=+-+-c x a a x 的两个根，由根与系数的关系得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⨯----=+-3313)6(31c a a 解得⎩⎨⎧=±=933c a（2）由0)1(>f ，即0)6(3>+-+-c a a 整理为0362<-+-c a a 因为c>－6所以0)6(4>+=∆c 方程的两个根是636321++=+-=c x c x所以不等式的解集是}6363|{++<<+-c x c x 20.以题意知AB=5（3+3）︒=︒-︒=∠︒=︒-︒=∠454590,306090DAB DBA︒=︒-︒-︒=∠1054530180ADB在△ABC 中，由正弦定理ADBABDAB BD ∠=∠sin sin 31060sin 45cos 60cos 45sin 45sin )33(5sin sin =︒︒+︒︒︒+=∠∠∠=ADB DAB AB BD在三角形DBC 中,又32060=︒=∠BC DBC ，由余弦定理CBD BC BD BC BD CD ∠⋅-+=cos 2222309002132031021200300==⨯⨯⨯-+=CD 所需时间13030==t 答：救援船到达D 点需要1小时。
21：解：（1）由已知0)2(2≥-+-+b c x b x 恒成立所以0)(4)2(2≤---=∆b c b ，从而142+≥b c于是0412≥≥-b c0)12(1422≥-=-+≥-bb b b c所以1≥c 且b c ≥（2）∵)1()2()()(2-+-=-+c c x b c x f c x 当0≥x 时，由（1）0)(2≥-+=-b c c b c0)1(≥+c c∴0)1()2()()(2≥-+-=-+c c x b c x f c x故：当0≥x 时，)()(2x f c x ≥+ 22.解：由已知：当1=n 时，212a a =+①当2=n 时，3212a a a =++②②－①得232a a =所以公比2=q 且122a a =③ ③代人①解得21=a 所以n n n a 2221=⋅=-（2）n n n T 2)12(25232132⨯-++⨯+⨯+⨯=Λ①同乘公比2得14322)12(2523212+⨯-++⨯+⨯+⨯=n n n T Λ②②－①得11114322)32(62)12()12(822)12(222222222)21(++-+⨯---=⨯---+=⨯--⨯++⨯+⨯+⨯+=-n n n n n n n n n T Λ∴12)32(6+⨯-+=n n n T。