反馈控制与极点配置
状态反馈的极点配置
东南大学自动化学院实验报告课程名称：自动控制基础实验名称：控制系统极点的任意配置院（系）：自动化学院专业：自动化姓名：吴静学号：08008419实验室：实验组别：同组人员：实验时间：2011年4月29日评定成绩：审阅教师：一、实验目的1. 掌握用状态反馈的设计方法实现控制系统极点的任意配置；2. 用电路模拟的方法，研究参数的变化对系统性二、实验原理内容用全状态反馈实现二阶系统极点的任意配置，并用电路模拟的方法予予以实现； 理论证明，通过状态反馈的系统，其动态性能一定会优于只有输出反馈的系统。
设系统受控系统的动态方程为bu Ax x+= cx y =图6-1为其状态变量图。
图6-1 状态变量图令Kx r u -=，其中]...[21n k k k K =，r 为系统的给定量，x 为1⨯n 系统状态变量，u 为11⨯控制量。
则引入状态反馈后系统的状态方程变为bu x bK A x+-=)( 相应的特征多项式为)](det[bK A SI --，调节状态反馈阵K 的元素]...[21n k k k ，就能实现闭环系统极点的任意配置。
图6-2为引入状态反馈后系统的方框图。
图6-2 引入状态变量后系统的方框图实验时，二阶系统方框图如6-3所示。
图6-3 二阶系统的方框图引入状态反馈后系统的方框图如图6-4所示。
根据状态反馈后的性能指标：20.0≤p δ，s 5.0T p ≤，试确定状态反馈系数K1和K2图6-4 引入状态反馈后的二阶系统方框图三、实验步骤1．引入状态反馈前根据图6-3二阶系统的方框图，设计并组建该系统相应的模拟电路，如图6-9所示。
图6-9 引入状态反馈前的二阶系统模拟电路图在系统输入端加单位阶跃信号，用上位机软件观测c(t)输出点并记录相应的实验曲线，测量其超调量和过渡时间。
2．引入状态反馈后请预先根据前面给出的指标计算出状态反馈系数K1、K2。
根据图6-4引入状态反馈后的二阶系统的方框图，设计并组建该系统相应的模拟电路，如图6-10所示。
7.4 状态反馈和极点配置
可配置条件_极点配置定理
考虑线性定常系统
x Ax Bu
假设控制输入u的幅值是无约束的。如果选取控制规律为
u r Kx
式中K为线性状态反馈矩阵。
定理 (极点配置定理) 线性定常系统可通过线性状态反馈任意地 配置其全部极点的充要条件是，此被控系统状态完全可控。
该定理对多变量系统也成立。
证明 (对单输入单输出系统) 1、充分性 2、必要性
kn 1 ]
由于 u r Kx r KPx ，此时该系统的状态方程为 x ( Ac Bc K ) x Bcr
相应的特征方程为 sI Ac BcK 0
因为非奇异线性变换不改变系统的特征值，当利用 u=r-Kx作为控制输 入时，相应的特征方程与上式相同，均有如下结果。
s
1
0
0
s
0
sI Ac BcK
◆确定将系统状态方程变换为可控标准形的变换矩阵P。若给定的状态方程已是 可控标准形，则P = I。此时无需再写出系统的可控标准形状态方程。非奇异线 性变换矩阵P=QW。
◆利用给定的期望闭环极点，可写出期望的特征多项式为
（s 1（) s 2 ) （s n ) sn an1sn1 a1s a0
从而确定出a1* , a2 *,… an *的值。
◆最后得到状态反馈增益矩阵K为
K [ a0 a0 a1 a1
a n1
an1
]
P 1
10
极点配置 例1
【例】 考虑如下线性定常系统
0
1
0
0
x Ax Bu A 0
0
1 , B 0
1 5 6
1
利用状态反馈控制，希望该系统的闭环极点为s = -2±j4和s = -10。试确定状
极点配置法设计状态反馈控制器——自动控制原理理论篇
——《自动控制原理-理论篇》第8.8节
自动化工程学院自动控制原理课程组制 2015年11月
主要内容
状态反馈控制系统 状态反馈控制器设计条件 用极点配置法设计状态反馈控制器 举例
主要内容
状态反馈控制系统 状态反馈控制器设计条件 用极点配置法设计状态反馈控制器 举例
SI系统，所以设 F f1 f2 fn
| sI A BF |
0 1
0 0
s 0
0
s
s
0
a0
0 a1
1
0
1
0
f1
f
2
f
n
an1 1
设计算法--适用于用能控标准形表示的SI系统的算法
a0 f1 0 a1 f 2 1
an1 f n n1
f1 0 a0 f2 1 a1
fn n1 an1
举例
例8-21 设系统的状态空间描述为
x(t)
0 6
1 0 5x(t) 1u(t)
rankB
AB
0 1
1 5
2
系统能控。
举例求解过程
期望闭环系统特征多项式为：
(s s1)(s s2 ) (s 3 2 j)(s 3 2 j) s2 6s 13
设： F f1 f2
s sI A BF
6 f1
1x(t)
F 7 1
线性系统的状态反馈及极点配置
现代控制理论实验（一）线性系统的状态反馈及极点配置——09级自动化本科一．实验目的1．了解和掌握状态反馈及极点配置的原理。
2．了解和掌握利用矩阵法及传递函数法计算状态反馈及极点配置的原理与方法。
3．掌握在被控系统中如何进行状态反馈及极点配置，构建一个性能满足指标要求的新系统的方法。
二．实验原理及说明一个控制系统的性能是否满足要求，要通过解的特征来评价，也就是说，当传递函数是有理函数时，它的全部信息几乎都集中表现为它的极点、零点及传递函数。
因此若被控系统完全能控，则可以通过状态反馈任意配置极点，使被控系统达到期望的时域性能指标。
若有被控系统如图3-3-61所示，它是一个Ⅰ型二阶闭环系统。
图3-3-61 被控系统如图3-3-61所示的被控系统的传递函数为：12021S 11)1(1)(a S a S b T TS T TS S T S i i i ++=++=++=φ （3-3-51） 采用零极点表达式为：))(()(210λλφ--=S S b S （3-3-52）进行状态反馈后，如图3-3-62所示，图中“输入增益阵”L 是用来满足静态要求。
图3-3-62 状态反馈后被控系统设状态反馈后零极点表达式为：))(()(21**--=λλφS S b S （3-3-53）1．矩阵法计算状态反馈及极点配置1）被控系统被控系统状态系统变量图见图3-3-63。
图3-3-63 被控系统状态系统变量状态反馈后的被控系统状态系统变量图见图3-3-64。
图3-3-64 状态反馈后的被控系统状态系统变量图图3-3-61的被控系统的状态方程和输出方程为：状态方程：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+-=+-=••1i 1i 2211X Y u T 1X T 1X X T 1X T 1X （3-3-54）⎪⎩⎪⎨⎧=+==•∑CxY u Ax X B C B A 0），，（式中[]01,T 10B 0T 1T 1T 1A ,i i 21=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=C x x x ， 被控系统的特征多项式和传递函数分别为：12010a a b S b )(+++=S S S φB A)C(SI 1--=）（A -SI det a a )(f 0120=++=S S S 可通过如下变换（设P 为能控标准型变换矩阵）： —x P X =将∑0C B A ），，（化为能控标准型 ），，（————C B A ∑，即： ⎪⎩⎪⎨⎧=+=•——————x C Y u x A B X 式中 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==-101a -a 10AP P A — ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡==-10B P B 1— ， []10b b CP C ==— 2）被控系统针对能控标准型），，（————C B A ∑引入状态反馈：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-=—————式中10k k k xk u ν （3-3-55）可求得对—x 的闭环系统），，—————C B k B A (-∑的状态空间表达式： 仍为能控标准型，即： ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=•————————）（x C Y u x B k B A X 式中 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-=-）（）（—————1100k a k a 10k B A则闭环系统），，（——————C B k B A -∑的特征多项式和传递函数分别为： ）（）（—————00112k k a k a k)B (A SI det )(f ++++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=S S S )k a (k a b S b B )k B A (SI C )(00112011k ———————）（+++++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-S S S φ3）被控系统如图3-3-61所示：其中：05.01==T T i则其被控系统的状态方程和输出方程为：[]XY uX X 0110012020=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=期望性能指标为：超调量M P ≤20%；峰值时间t P ≤0.5秒。
6.2 反馈控制和极点配置 共64页
其中
[K1 K2]KPc
状态反馈极点配置定理(9/11)
由上式可知,状态完全不能控子系统的系统矩阵 A~22的特征 值不能通过状态反馈改变,即该部分的极点不能配置。 虽然状态完全能控子系统的 A~11的特征值可以任意配 置,但其特征值个数少于整个系统的系统矩阵 A 的特
2) 期望的极点必须是实数或成对出 现的共轭复数;
3) 期望的极点必须体现对闭环系统 的性能品质指标等的要求。
p2 p1
p3
反馈控制与极点配置(4/5)
基于指定的期望闭环极点,线性定常连续系统的状态反馈极点 配置问题可描述为: 给定线性定常连续系统 x AxBu
确定反馈控制律 uKxv
使闭环系统K(A-BK,B,C)的极点任意配置的充分必要条件为
被控系统(A,B,C)状态完全能控。
□
证明 (1) 先证充分性(条件结论)。
即证明,若被控系统(A,B,C)状态完全能控,则状态反馈闭 环系统K(A-BK,B,C)必能任意配置极点。
由于线性变换和状态反馈都不改变状态能控性,而开环被 控系统(A,B,C)状态能控,因此一定存在线性变换能将其 变换成能控规范II形。
由于状态反馈闭环系统保持其开环系统的状态完全能控 特性,故该闭环系统只能是状态不完全能观的。
这说明了状态反馈可能改变系统的状态能观性。 从以上说明亦可得知,若SISO系统没有零点,则状态反馈不
改变系统的状态能观性。
SISO系统状态反馈极点配置方法(1/10)
6.2.2 SISO系统状态反馈极点配置方法
本节讨论如何利用状态反馈与输出反馈来进行线性定常连续 系统的极点配置,即使反馈闭环控制系统具有所指定的闭环极 点。 对线性定常离散系统的状态反馈设计问题,有完全平行的 结论和方法。
状态反馈与极点配置报告
自动控制原理（课程设计）一、题目用MATLAB创建用户界面，并完成以下功能：（1）由用户输入被控系统的状态空间模型、闭环系统希望的一组极点；（2）显示未综合系统的单位阶跃响应曲线；（3）显示采用一般设计方法得到的状态反馈矩阵参数；（4）显示闭环反馈系统的单位阶跃响应曲线；（5）将该子系统嵌入到寒假作业中程序中。
分别对固定阶次和任意阶次的被控系统进行设计。
分别给出设计实例。
二、运行结果界面：如图由用户输入被控系统的状态空间模型、闭环系统希望的一组极点例如，输入010001034A⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦，1B⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，[]2000C=，0D=，闭环系统希望的一组极点:22j-+、22j--、5-如图所示：被控系统的单位阶跃响应曲线闭环系统的单位阶跃响应曲线状态反馈矩阵显示三、讨论该闭环控制系统的状态反馈与极点配置设计系统可用于任意阶次的控制系统。
在此之前，我还做了一个固定阶次的控制系统状态反馈与极点配置的Matlab 控制台程序（见附录二）。
该系统的利用状态反馈进行极点任意配置所采用的方法为一般方法，其步骤如下：①判断受控系统是否完全能控；②由给定的闭环极点要求确定希望的闭环特征多项式的n个系数~i a；③确定原受控系统的特征多项式系数ia；④确定系统状态反馈矩阵~~~~[,,,]12nff fF=的诸元素~~11ii if a a-=--；⑤确定原受控系统化为能控标准形的变换阵的逆1P-，⑥确定受控系统完成闭环极点配置任务的状态反馈阵~1F F P-=。
四、参考文献[1]黄家英.《自动控制原理》.高等教育出版社,2010.5[2]唐向红，郑雪峰.《MATLAB及在电子信息类》.电子工业出版社,2009.6[3]吴大正，高西全.《MATLAB新编教程》.机械工业出版社，2008.4五、附录function varargout = tufeiqiang(varargin)%TUFEIQIANG M-file for tufeiqiang.fig% TUFEIQIANG, by itself, creates a new TUFEIQIANG or raises the existing% singleton*.%% H = TUFEIQIANG returns the handle to a new TUFEIQIANG or the handle to% the existing singleton*.%% TUFEIQIANG('Property','Value',...) creates a new TUFEIQIANG usingthe% given property value pairs. Unrecognized properties are passed via % varargin to tufeiqiang_OpeningFcn. This calling syntax produces a% warning when there is an existing singleton*.%% TUFEIQIANG('CALLBACK') and TUFEIQIANG('CALLBACK',hObject,...) call the% local function named CALLBACK in TUFEIQIANG.M with the given input % arguments.%% *See GUI Options on GUIDE's Tools menu. Choose "GUI allows only one% instance to run (singleton)".%% See also: GUIDE, GUIDATA, GUIHANDLES% Edit the above text to modify the response to help tufeiqiang% Last Modified by GUIDE v2.5 20-May-2015 23:49:56% Begin initialization code - DO NOT EDITgui_Singleton = 1;gui_State = struct('gui_Name', mfilename, ...'gui_Singleton', gui_Singleton, ...'gui_OpeningFcn', @tufeiqiang_OpeningFcn, ...'gui_OutputFcn', @tufeiqiang_OutputFcn, ...'gui_LayoutFcn', [], ...'gui_Callback', []);if nargin && ischar(varargin{1})gui_State.gui_Callback = str2func(varargin{1});endif nargout[varargout{1:nargout}] = gui_mainfcn(gui_State, varargin{:});elsegui_mainfcn(gui_State, varargin{:});end% End initialization code - DO NOT EDIT% --- Executes just before tufeiqiang is made visible.function tufeiqiang_OpeningFcn(hObject, eventdata, handles, varargin) % This function has no output args, see OutputFcn.% hObject handle to figure% eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB% handles structure with handles and user data (see GUIDATA)% varargin unrecognized PropertyName/PropertyValue pairs from the% command line (see VARARGIN)% Choose default command line output for tufeiqianghandles.output = hObject;% Update handles structureguidata(hObject, handles);% UIWAIT makes tufeiqiang wait for user response (see UIRESUME)% uiwait(handles.figure1);% --- Outputs from this function are returned to the command line. function varargout = tufeiqiang_OutputFcn(hObject, eventdata, handles) % varargout cell array for returning output args (see VARARGOUT);% hObject handle to figure% eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB% handles structure with handles and user data (see GUIDATA)% Get default command line output from handles structurevarargout{1} = handles.output;function WZH_Callback(hObject, eventdata, handles)% hObject handle to WZH (see GCBO)% eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB% handles structure with handles and user data (see GUIDATA)A=get(handles.edit1,'String');A=char(A);A=str2num(A);B=get(handles.edit2,'String');B=char(B);B=str2num(B);C=get(handles.edit3,'String');C=char(C);C=str2num(C);D=get(handles.edit4,'String');D=char(D);D=str2num(D);sys = ss(A,B,C,D);axes(handles.axes1);set(handles.axes1,'unit','normalized');step(sys);%title('••×••••••••••••×•••ì•••ú••')set(findobj(gca,'Type','line','Color',[0 0 1]),...'Color','red',...'LineWidth',2)% --- Executes on button press in BFK.function BFK_Callback(hObject, eventdata, handles)% hObject handle to BFK (see GCBO)% eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB % handles structure with handles and user data (see GUIDATA)A=get(handles.edit1,'String');A=char(A);A=str2num(A);B=get(handles.edit2,'String');B=char(B);B=str2num(B);C=get(handles.edit3,'String');C=char(C);C=str2num(C);D=get(handles.edit4,'String');D=char(D);D=str2num(D);P=get(handles.edit5,'String');P=char(P);P=str2num(P);K = acker(A,B,P);at = A-B*K;bt = B;ct = C;dt = D;%[num,den]=zp2tf(z,p,k);%[num1,den1]=cloop(num,den);axes(handles.axes1);set(handles.axes1,'unit','normalized');%step(cloop(num,den));%rlocus(A,B,K,0)%step(num1,den1);sys = ss(at,bt,ct,dt);step(sys);title('±••··••••••••••••×•••ì•••ú••')set(findobj(gca,'Type','line','Color',[0 3 3]),...'Color','yellow',...'LineWidth',2)function FKC_Callback(hObject, eventdata, handles)% hObject handle to FKC (see GCBO)% eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB % handles structure with handles and user data (see GUIDATA)A=get(handles.edit1,'String');A=char(A);A=str2num(A);B=get(handles.edit2,'String');B=char(B);B=str2num(B);Z=get(handles.edit5,'String');Z=char(Z);Z=str2num(Z);Zif rank(ctrb(A,B)) == rank(A)N = acker(A,B,Z);Nstr=num2str(N)H = findobj('tag','edit6');set(H,'string',str);elsemsgbox('•••••••••••••••••••••••• ');endfunction pushbutton6_Callback(hObject, eventdata, handles)% hObject handle to pushbutton6 (see GCBO)% eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB % handles structure with handles and user data (see GUIDATA)A=get(handles.edit1,'String');AA=char(A);AA=str2num(A);AB=get(handles.edit2,'String');BB=char(B);BB=str2num(B);BM = ctrb(A,B);if rank(M) == rank(A)msgbox('•••••ê••••••••••••••••••');%[num,den]=zp2tf(z,p,k);%[num1,den1]=cloop(num,den);%step(cloop(num,den));%rlocus(A,B,K,0)%step(num1,den1);elsemsgbox('•••••••••••••••••••••••• '); end。
自动控制原理学生实验：线性系统的状态反馈及极点配置
实验报告线性系统的状态反馈及极点配置一．实验要求了解和掌握状态反馈的原理，观察和分析极点配置后系统的阶跃响应曲线。
二．实验内容及步骤1．观察极点配置前系统极点配置前系统的模拟电路见图3-3-64所示。
图3-3-64 极点配置前系统的模拟电路实验步骤：注：‘S ST’不能用“短路套”短接！（1）将信号发生器（B1）中的阶跃输出0/+5V作为系统的信号输入r(t)。
（2）构造模拟电路：按图3-3-64安置短路套及测孔联线，表如下。
（3）虚拟示波器（B3）的联接：示波器输入端CH1接到A3单元输出端OUT（Uo）。
注：CH1选‘X1’档。
（4）运行、观察、记录：将信号发生器（B1）Y输出，施加于被测系统的输入端rt，按下信号发生器（B1）阶跃信号按钮时（0→+5V阶跃），观察Y从0V阶跃+5V时被测系统的时域特性。
等待一个完整的波形出来后，点击停止，然后移动游标测量其调节时间ts。
实验图像：由图得ts=3.880s 2.观察极点配置后系统 极点的计算：受控系统如图所示，若受控系统完全可控，则通过状态反馈可以任意配置极点。
受控系统设期望性能指标为：超调量M P ≤5%；峰值时间t P ≤0.5秒。
由1095.01t 707.0%5eM n n 2n p 1/p 2=≥⇒≤-==⇒≤=--ωωζωπζζζπ取因此,根据性能指标确定系统希望极点为：⎪⎩⎪⎨⎧--=+-=07.707.707.707.7*2*1j j λλ受控系统的状态方程和输出方程为：⎪⎩⎪⎨⎧=+=-----⋅-xC y b x A x μ式中][01,10,020120,21=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=----C b A x x x系统的传递函数为：202020a S a S βS β)(2012010++=+++=S S S G受控制系统的可控规范形为：[][]020T C C b T b a a T A T A X T X X C Y U b X A X K K i o K K KK k K K K ===⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎥⎦⎤-⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤-⎢⎣⎡-===⎩⎨⎧=+=---10111,1020120010T ββ为变换阵），（式中当引入状态反馈阵K K =[K 0K 1]后,闭环系统()K K K K K C b K b A ,,-的传递函数为：()()()01201120120)20(20)(K S K S K a S K a S S S G o ++++=+++++=ββ而希望的闭环系统特征多项为：1001.14))(()(2*2*1**12*++=--=++=S S S S a S a S S f oλλ 令G K (S)的分母等于F #(S),则得到K K 为：[][]9.58010-==K K K k最后确定原受控系统的状态反馈阵K ：由于 1-=T K K k求得和===---111,T C b T b T A T A K k K求得 ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=-1102011T所以状态反馈阵为： [][]9.59.91102019.580-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--=K极点配置系统如图所示：极点配置后系统根据极点配置后系统设计的模拟电路见下图所示。
现代控制理论基础_周军_第五章状态反馈与状态观测器
5.1状态反馈与极点配置一、状态反馈系统的动态方程以单输入-多输出受控对象动态方程为例：(5-1)将对象状态向量通过待设计的参数矩阵即状态反馈行矩阵，负反馈至系统的参考输入，于是存在(5-2)这时便构成了状态反馈系统，见图5-1。
图5-1 状态反馈系统结构图(5-3)(5-4)式中v为纯量，为维向量，为维矩阵，为维向量，为维行矩阵，为维向量，为维矩阵。
为闭环状态阵，为闭环特征多项式。
二、用状态反馈使闭环极点配置在任意位置上的充要条件是：受控对象能控证明若式(5-1)所示对象可控，定可通过变换化为能控标准形，有若在变换后的状态空间内引维状态反馈矩阵：(5-5)其中分别为由状态变量引出的反馈系数，则变换后的状态反馈系统动态方程为：(5-6)(5-7)式中(5-8)该式与仍为能控标准形，故引入状态反馈后，系统能控性不变。
特征方程为：(5-9)显见，任意选择阵的个元素，可使特征方程的个系数满足规定要求，能保证特征值（即闭环极点）任意配置。
将逆变换代入式(5-6)，可求出原状态空间内的状态反馈系统状态方程：(5-10)与式(5-3)相比，式(5-10)所示对象应引入状态反馈阵为：(5-11)需指出，当受控对象可控时，若不具有能控标准形形式，并不必象如上证明那样去化为能控标准形，只要直接计算状态反馈系统闭环特征多项式，这时，其系数为的函数，与给定极点的特征多项式系数相比较，便可确定。
能控的多输入-多输出系统，经如上类似分析可知，实现闭环极点任意配置的状态反馈阵K为维。
若受控对象不稳定，只要有能控性，完全可由状态反馈配置极点使系统稳定。
状态变量受控情况下，引入状态反馈表示增加一条反馈通路，它能改变反馈所包围环节的传递特性，即通过改变局部回路的极点来改变闭环极点配置。
不能控状态变量与控制量无关，即使引入状态反馈，对闭环极点位置也不会产生任何影响，这是因为传递函数只与系统能控、能观测部分有关的缘故。
若不能控状态变量是稳定的状态变量，那么系统还是能稳定的，否则，系统不稳定。
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例 考察下述能控能观的系统
它在输出反馈下u=-hy下的闭环系统为 其闭环特征多项式为s2+h。
上例说明,输出反馈对能控能观系统可以改变极点位置,但不能 进行任意的极点配置。
2. 系统的开环特征多项式f(s)和由期望的闭环极点所确定的闭 环特征多项式f*(s)分别为
f(s)=s3+3s2+2s f*(s)=s3+4s2+6s+4 则相应的反馈矩阵K为 K=[a3*-a3 a2*-a2 a1*-a1]
因此,在反馈律u=-Kx+v下,闭环系统状态方程为
在例3中,由给定的传递函数通过状态反馈进行极点配置时需 先求系统实现,即需选择状态变量和建立状态空间模型。 ➢ 这里就存在一个所选择的状态变量是否可以直接测量、 可以直接作反馈量的问题。
证明过程的思路为:
•对状态不 完全能控开 环系统进行 能控分解
•对能控分 解后的系 统进行状 态反馈
•其完全不 能控子系统 不能进行极
点配置
•与假设 矛盾,必
要性得 证
➢ 被控系统(A,B,C)状态不完全能控,则一定存在线性变换 x=Pc ,对其可进行能控分解,得到如下状态空间模型:
其中状态变量 是完全能控的;状态变量 是完全不能控
➢ 由于状态反馈闭环系统保持其开环系统的状态完全能控 特性,故该闭环系统只能是状态不完全能观的。
➢ 这说明了状态反馈可能改变系统的状态能观性。
➢ 从以上说明亦可得知,若SISO系统没有零点,则状态反馈不 改变系统的状置方法
极点配置算法1（维数较大） 1. 对于SISO线性定常连续系统的极点配置问题,若其状态 空间模型为能控规范I形,则相应反馈矩阵为 K=[k1 … kn]=[an*-an … a1*-a1] 其中ai和ai*(i=1,2,…,n)分别为开环系统特征多项式和所期 望的闭环系统特征多项式的系数。
反馈控制与极点配置
5.2 极点配置问题
本节讨论如何利用状态反馈与输出反馈来进行线性定常连续 系统的极点配置,即使反馈闭环控制系统具有所指定的闭环极 点。
对线性定常系统,系统的稳定性和各种性能的品质指标,在很 大程度上是由闭环系统的极点位置所决定的。
➢ 因此在进行系统设计时,设法使闭环系统的极点位于s平 面上的一组合理的、具有所期望的性能品质指标的极点, 是可以有效地改善系统的性能品质指标的。
➢的对。能控分解后的系统进行状态反馈
•其中
由能控规范I形的状态反馈闭环系统的传递函数
表明,状态反馈虽然可以改变系统的极点,但不能改变系统的零 点。 ➢ 当被控系统是状态完全能控时,其极点可以进行任意配置 。 ➢ 因此,当状态反馈闭环系统极点恰好配置与开环的零点重 合时,则闭环系统的传递函数中将存在零极点相消现象。 ➢ 根据零极点相消定理可知,闭环系统或状态不能控或状态 不能观。
输出反馈也称之为部分状态反馈。 ➢ 由于输出反馈包含的信息较状态反馈所包含的信息少,因 此输出反馈的控制与镇定能力必然要比状态反馈弱。
线性定常连续系统的输出反馈极点配置问题可描述为: ➢ 给定线性定常连续系统
确定反馈控制律 •u=-Hy+v
使得输出反馈闭环系统的闭环极点配置在指定的n个期望的闭 环极点
通过验算可知,该闭环系统的极点为-1±j2,达到设计要 求。
例5-3 已知系统的传递函数为
试选择一种状态空间实现并求状态反馈阵K,使闭环系统的极 点配置在-2和-1±j上。
解 1：要实现极点任意配置,则系统实现需状态完全能控。 ➢ 因此,可选择能控规范I形来建立被控系统的状态空间模 型。 ➢ 故有
则开环系统为状态能控,可以进行任意极点配置。 2. 求能控规范I形:
3. 求反馈律: ➢ 因此开环特征多项式 f(s)=s2-2s-5, 而由期望的闭环极点-1j2所确定的期望闭环特征多项式 f*(s)=s2+2s+5, 则得状态反馈阵K为
则在反馈律u=-Kx+v下的闭环系统的状态方程为
下面分别讨论: ➢ 状态反馈极点配置定理 ➢ SISO系统状态反馈极点配置方法 ➢ 输出反馈极点配置
5.2.1 状态反馈极点配置定理
在进行极点配置时,存在如下问题: ➢ 被控系统和所选择的期望极点满足哪些条件,则是可以进 行极点配置的。 ➢ 下面的定理就回答了该问题。
定理对线性定常系统(A,B,C)利用线性状态反馈阵K,能使闭
➢ 由于状态变量是描述系统内部动态运动和特性的,因此对 实际控制系统,它可能不能直接测量,更甚者是抽象的数学 变量,实际中不存在物理量与之直接对应。
➢ 若状态变量不能直接测量,则在状态反馈中需要引入所谓 的状态观测器来估计系统的状态变量的值,再用此估计值 来构成状态反馈律。这将在下节中详述。
5.2.3 输出反馈极点配置
征多项式f*(s)所规定的极点上。
✓ 即证明了充分性。
➢ 同时,我们还可得到相应的状态反馈阵为
其中
K=[k1 k2 … kn]
(2) 再证必要性(结论条件)。
➢ 即证明,若被控系统(A,B,C)可进行任意极点配置,则该系 统是状态完全能控的。
➢ 采用反证法。
✓ 即证明,假设系统是状态不完全能控的,但可以进行任 意的极点配置。
环系统K(A-BK,B,C)的极点任意配置的充分必要条件为被控
系统(A,B,C)状态完全能控。
□
证明 (1) 先证充分性(条件结论)。
➢ 即证明,若被控系统(A,B,C)状态完全能控,则状态反馈闭 环系统K(A-BK,B,C)必能任意配置极点。
➢ 由于线性变换和状态反馈都不改变状态能控性,而开环被 控系统(A,B,C)状态能控,因此一定存在线性变换能将其 变换成能控规范I形。
➢ 因此,对某些系统,采取输出反馈可能不能配置闭环系统的 所有极点,使得闭环系统稳定或具有所期望的闭环极点。
➢ 故,欲使闭环系统稳定或具有所期望的闭环极点,要尽可能 采取状态反馈控制或动态输出反馈控制(动态补偿器)。
•步骤：
✓ 不失一般性,下面仅对能控规范形证明充分性。
➢ 证明过程的思路为:
•分别求出闭 环系统的传 递函数阵及 期望的特征
方程
•比较两特 征多项式
•建立可 极点配 置的条
件
证明过程: ➢ 设SISO被控系统(A,B,C)为能控规范I形,则其各矩阵分别
为
且其传递函数为
➢ 若SISO被控系统(A,B,C)的状态反馈阵K为 K=[k1 k2 … kn]
1) 对于n阶系统,可以而且必须给 出n个期望的极点;
2) 期望的极点必须是实数或成对 出现的共轭复数;
3) 期望的极点必须体现对闭环系 统的性能品质指标等的要求。
基于指定的期望闭环极点,线性定常连续系统的状态反馈极点 配置问题可描述为: ➢ 给定线性定常连续系统
确定反馈控制律
使得状态反馈闭环系统的闭环极点配置在指定的n个期望的闭 环极点也就是成立
✓ 这样的控制系统设计方法称为极点配置。
✓ 在经典控制理论的系统综合中,无论采用频率域法还 是根轨迹法,都是通过改变极点的位置来改善性能指 标,本质上均属于极点配置方法。
➢ 本节所讨论得极点配置问题,则是指如何通过状态反馈阵 K的选择,使得状态反馈闭环系统的极点恰好处于预先选 择的一组期望极点上。
由于线性定常系统的特征多项式为实 系数多项式,因此考虑到问题的可解性, 对期望的极点的选择应注意下列问题:
2. 若SISO被控系统的状态空间模型不为能控规范形,则 利用线性变换将系统(A,B)变换成能控规范I形
对能控规范I形 馈阵;
进行极点配置,求得相应的状态反
通过如下变换,原系统的相应状态反馈阵K为
极点配置算法2
•直接法求反馈矩阵K（维数较小时，n≤ 3时）
(1)判断系统能控性。如果状态完全能控，按下列步骤
继续。 (2)求状态反馈后闭环系统的特征多项式：
•-
(3)求由期望闭环特征值决定的特征多项式：
(4)由
确定反馈矩阵K：
下面通过两个例子来说明计算状态反馈阵K的方法。 例5-2 设线性定常系统的状态方程为
求状态反馈阵K使闭环系统的极点为-1±j2。
解 1： 判断系统的能控性。 ➢ 开环系统的能控性矩阵为
则闭环系统K(A-BK,B,C)的系统矩阵A-BK为
➢ 相应的状态反馈闭环控制系统的传递函数和特征多项式 分别为
➢ 如果由期望的闭环极点所确定的特征多项式为
f*(s)=sn+a1*sn-1+…+an* 那么,只需令fK(s)=f*(s),即取
a1+kn=a1* an+k1=an* 则可将状态反馈闭环系统K(A-BK,B,C)的极点配置在特