反馈控制与极点配置

➢的对。能控分解后的系统进行状态反馈
•其中
由能控规范I形的状态反馈闭环系统的传递函数
表明,状态反馈虽然可以改变系统的极点,但不能改变系统的零 点。 ➢ 当被控系统是状态完全能控时,其极点可以进行任意配置 。 ➢ 因此,当状态反馈闭环系统极点恰好配置与开环的零点重 合时,则闭环系统的传递函数中将存在零极点相消现象。 ➢ 根据零极点相消定理可知,闭环系统或状态不能控或状态 不能观。
➢ 由于状态反馈闭环系统保持其开环系统的状态完全能控 特性,故该闭环系统只能是状态不完全能观的。
➢ 这说明了状态反馈可能改变系统的状态能观性。
➢ 从以上说明亦可得知,若SISO系统没有零点,则状态反馈不 改变系统的状态能观性。
5.2.2 SISO系统状态反馈极点配置方法
极点配置算法1（维数较大） 1. 对于SISO线性定常连续系统的极点配置问题,若其状态 空间模型为能控规范I形,则相应反馈矩阵为 K=[k1 … kn]=[an*-an … a1*-a1] 其中ai和ai*(i=1,2,…,n)分别为开环系统特征多项式和所期 望的闭环系统特征多项式的系数。
环系统K(A-BK,B,C)的极点任意配置的充分必要条件为被控
系统(A,B,C)状态完全能控。
□
证明 (1) 先证充分性(条件结论)。
➢ 即证明,若被控系统(A,B,C)状态完全能控,则状态反馈闭 环系统K(A-BK,B,C)必能任意配置极点。
➢ 由于线性变换和状态反馈都不改变状态能控性,而开环被 控系统(A,B,C)状态能控,因此一定存在线性变换能将其 变换成能控规范I形。
继续。 (2)求状态反馈后闭环系统的特征多项式：
•-
(3)求由期望闭环特征值决定的特征多项式：
(4)由
确定反馈矩阵K：
下面通过两个例子来说明计算状态反馈阵K的方法。 例5-2 设线性定常系统的状态方程为
求状态反馈阵K使闭环系统的极点为-1±j2。
解 1： 判断系统的能控性。 ➢ 开环系统的能控性矩阵为
征多项式f*(s)所规定的极点上。
✓ 即证明了充分性。
➢ 同时,我们还可得到相应的状态反馈阵为
其中
K=[k1 k2 … kn]
(2) 再证必要性(结论条件)。
➢ 即证明,若被控系统(A,B,C)可进行任意极点配置,则该系 统是状态完全能控的。
➢ 采用反证法。
✓ 即证明,假设系统是状态不完全能控的,但可以进行任 意的极点配置。
➢ 由于状态变量是描述系统内部动态运动和特性的,因此对 实际控制系统,它可能不能直接测量,更甚者是抽象的数学 变量,实际中不存在物理量与之直接对应。
➢ 若状态变量不能直接测量,则在状态反馈中需要引入所谓 的状态观测器来估计系统的状态变量的值,再用此估计值 来构成状态反馈律。这将在下节中详述。
5.2.3 输出反馈极点配置
则闭环系统K(A-BK,B,C)的系统矩阵A-BK为
➢ 相应的状态反馈闭环控制系统的传递函数和特征多项式 分别为
➢ 如果由期望的闭环极点所确定的特征多项式为
f*(s)=sn+a1*sn-1+…+an* 那么,只需令fK(s)=f*(s),即取
a1+kn=a1* an+k1=an* 则可将状态反馈闭环系统K(A-BK,B,C)的极点配置在特
➢ 因此,对某些系统,采取输出反馈可能不能配置闭环系统的 所有极点,使得闭环系统稳定或具有所期望的闭环极点。
➢ 故,欲使闭环系统稳定或具有所期望的闭环极点,要尽可能 采取状态反馈控制或动态输出反馈控制(动态补偿器)。
•步骤：
2. 系统的开环特征多项式f(s)和由期望的闭环极点所确定的闭 环特征多项式f*(s)分别为
f(s)=s3+3s2+2s f*(s)=s3+4s2+6s+4 则相应的反馈矩阵K为 K=[a3*-a3 a2*-a2 a1*-a1]
因此,在反馈律u=-Kx+v下,闭环系统状态方程为
在例3中,由给定的传递函数通过状态反馈进行极点配置时需 先求系统实现,即需选择状态变量和建立状态空间模型。 ➢ 这里就存在一个所选择的状态变量是否可以直接测量、 可以直接作反馈量的问题。
下面分别讨论: ➢ 状态反馈极点配置定理 ➢ SISO系统状态反馈极点配置方法 ➢ 输出反馈极点配置
5.2.1 状态反馈极点配置定理
在进行极点配置时,存在如下问题: ➢ 被控系统和所选择的期望极点满足哪些条件,则是可以进 行极点配置的。 ➢ 下面的定理就回答了该问题。
定理对线性定常系统(A,B,C)利用线性状态反馈阵K,能使闭
✓ 这样的控制系统设计方法称为极点配置。
✓ 在经典控制理论的系统综合中,无论采用频率域法还 是根轨迹法,都是通过改变极点的位置来改善性能指 标,本质上均属于极点配置方法。
➢ 本节所讨论得极点配置问题,则是指如何通过状态反馈阵 K的选择,使得状态反馈闭环系统的极点恰好处于预先选 择的一组期望极点上。
由于线性定常系统的特征多项式为实 系数多项式,因此考虑到问题的可解性, 对期望的极点的选择应注意下列问题:
1) 对于n阶系统,可以而且必须给 出n个期望的极点;
2) 期望的极点必须是实数或成对 出现的共轭复数;
3) 期望的极点必须体现对闭环系 统的性能品质指标等的要求。
基于指定的期望闭环极点,线性定常连续系统的状态反馈极点 配置问题可描述为: ➢ 给定线性定常连续系统
确定反馈控制律
使得状态反馈闭环系统的闭环极点配置在指定的n个期望的闭 环极点也就是成立
则开环系统为状态能控,可以进行任意极点配置。 2. 求能控规范I形:
3. 求反馈律: ➢ 因此开环特征多项式 f(s)=s2-2s-5, 而由期望的闭环极点-1j2所确定的期望闭环特征多项式 f*(s)=s2+2s+5, 则得状态反馈阵K为
则在反馈律u=-Kx+v下的闭环系统的状态方程为
反馈控制与极点配置
5.2 极点配置问题
本节讨论如何利用状态反馈与输出反馈来进行线性定常连续 系统的极点配置,即使反馈闭环控制系统具有所指定的闭环极 点。
对线性定常系统,系统的稳定性和各种性能的品质指标,在很 大程度上是由闭环系统的极点位置所决定的。
➢ 因此在进行系统设计时,设法使闭环系统的极点位于s平 面上的一组合理的、具有所期望的性能品质指标的极点, 是可以有效地改善系统的性能品质指标的。
✓ 不失一般性,下面仅对能控规范形证明充分性。
➢ 证明过程的思路为:
•分别求出闭 环系统的传 递函数阵及 期望的特征
方程
•比较两特 征多项式
•建立可 极点配 置的条
件
证明过程: ➢ 设SISO被控系统(A,B,C)为能控规范I形,则其各矩阵分别
为
且其传递函数为
➢ 若SISO被控系统(A,B,C)的状态反馈阵K为 K=[k1 k2 … kn]
2. 若SISO被控系统的状态空间模型不为能控规范形,则 利用线性变换将系统(A,B)变换成能控规范I形
对能控规范I形 馈阵;
进行极点配置,求得相应的状态反
通过如下变换,原系统的相应状态反馈阵K为
极点配置算法2
•直接法求反馈矩阵K（维数较小时，n≤ 3时）
(1)判断系统能控性。如果状态完全能控，按下列步骤
通过验算可知,该闭环系统的极点为-1±j2,达到设计要 求。
例5-3 已知系统的传递函数为
试选择一种状态空间实现并求状态反馈阵K,使闭环系统的极 点配置在-2和-1±j上。
解 1：要实现极点任意配置,则系统实现需状态完全能控。 ➢ 因此,可选择能控规范I形来建立被控系统的状态空间模 型。 ➢ 故有
输出反馈也称之为部分状态反馈。 ➢ 由于输出反馈包含的信息较状态反馈所包含的信息少,因 此输出反馈的控制与镇定能力必然要比状态反馈弱。
线性定常连续系统的输出反馈极点配置问题可描述为: ➢ 给定线性定常连续系统
确定反馈控制律 •u=-Hy+v
使得输出反馈闭环系统的闭环极点配置在指定的n个期望的闭 环极点
证明过程的思路为:
•对状态不 完全能控开 环系统进行 能控分解
•对能控分 解后的系 统进行状 态反馈
•其完全不 能控子系统 不能进行极
点配置
•与假设 矛盾,必
要性得 证
➢ 被控系统(A,B,C)状态不完全能控,则一定存在线性变换 x=Pc ,对其可进行能控分解,得到如下状态空间模型:
其中状态变量 是完全能控的;状态变量 是完全不能控ຫໍສະໝຸດ Baidu
下面,先通过一输出反馈闭环系统的极点变化,考察输出反馈 能否像状态反馈那样对能控系统进行极点配置,然后给出相关 结论。
例 考察下述能控能观的系统
它在输出反馈下u=-hy下的闭环系统为 其闭环特征多项式为s2+h。
上例说明,输出反馈对能控能观系统可以改变极点位置,但不能 进行任意的极点配置。