2020年中考数学 专题复习最值问题专题练习(有答案)
九年级数学中考复习最值问题专题练习
一、选择题：
1.如图，菱形ABCD的边长为6，∠ABC=120°，M是BC边的一个三等分点，P是对角线AC 上的动点，当PB+PM的值最小时，PM的长是（）
A．√7
2B．2√7
3
C．3√5
5
D．√26
4
2.如图，已知正方形ABCD边长为3，点E在AB边上且BE=1，点P，Q分别是边BC，CD的动点（均不与顶点重合），当四边形AEPQ的周长取最小值时，四边形AEPQ的面积是（）．
A. 4.5
B.5
C.6
D.3.5
3.如图四边形ABCD是菱形，且∠ABC=60°，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B 点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM，则下列五个结论中正确的是（）
①菱形ABCD的边长为1，则AM+CM的最小值1；
②△AMB≌△ENB；
③S四边形AMBE=S四边形ADCM；
④连接AN，则AN⊥BE；
⑤当AM+BM+CM的最小值为2√3时，菱形ABCD的边长为2．
A．①②③B．②④⑤C．①②⑤D．②③⑤
4.如图，菱形ABCD边长为2，∠C=60°．当点A在x轴上运动时，点D随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点O的最大距离为( )
A. 3
B. √3
C.2
D.1+√3
2
5.如图，正方形ABCD的边长是2，点P从点D出发沿DB向点B运动，至点B停止运动，连接AP，过点B作BH垂直于直线AP于点H，在点P运动过程中，点H所走过的路径长是（）
A．2 B．√2C．πD．2π
6.如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，P为对角线BD上的一个动点，则下列线段的长等于AP+EP最小值的是（）
A.AB
B. DE
C. BD
D. AF
7.如图，矩形OABC的顶点B的坐标是（4，2），另外两个顶点A、C分别在x、y轴上，D 是BC中点，E、F分别是x、y轴上的动点，当四边形BDFE的周长最小时，tan∠AEB=（）
A．2
3B．2√2
3
C．3√3
5
D．√2
4
二、填空题：
8.如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD=120°，顶点A、C在x轴上，且点A的坐标是（1，0），P是菱形内部的一点，求PA+PC+PD的最小值为.
9.如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为．
10.如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E为AB的中点，P为BC上一动点，作PQ⊥EP交直线CD于点Q，设点P每秒以1个单位长度的速度从点B运动到点C停止，在此时间段内，点Q运动路径是．
11.如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC＝BD，连结AC，过点D 作DE⊥AC，垂足为E．若⊙O的半径为5，sinB＝，求DE的长为．
三、解答题：
12.如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O为△ABC角平分线的交点，以OC为半径的⊙O交△
ABC于D、E、F、G．
（1）求证：CD＝EF；
（2）若⊙O的半径为4，AE＝2，求AB的长．
．
13.如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，分别交BC于点D，交CA的延长线于点E，过点D作DH⊥AC于点H，连接DE交线段OA于点F．
（1）求证：DH是⊙O的切线；
（2）若AB＝4，∠ABD＝30°，求阴影部分的面积．
（3）若＝，求证：A为EH的中点．
14.如图，AD是⊙O的切线，切点为A，AB是⊙O的弦，过点B作BC∥AD，交⊙O于点C，连接AC，过点C作CD∥AB，交AD于点D，连接AO并延长交于BC于点M，交过点C的直线于点P，且∠BCP＝∠ACD．
（1）求证：MB＝MC；
（2）求证：直线PC是⊙O的切线；
（3）若AB＝9，BC＝6，求PC的长．
15.如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，点M，Q分别是边AB，BC上的动点（点M不与A，B重合），且MQ⊥BC，过点M作BC的平行线MN，交AC于点N，连接NQ，设BQ为x．
（1）试说明不论x为何值时，总有△QBM∽△ABC；
（2）是否存在一点Q，使得四边形BMNQ为平行四边形，试说明理由；
（3）当x为何值时，四边形BMNQ的面积最大，并求出最大值．
16.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，AF平分∠DAC，分别交DC，BC的延长线
于点E，F；连接DF，过点A作AH∥DF，分别交BD，BF于点G，H．
（1）求DE的长；
（2）求证：∠1＝∠DFC．
17.如图①，在正方形ABCD中，AB＝6，M为对角线BD上任意一点（不与B、D重合），连接CM，过点M作MN⊥CM，交线段AB于点N
（1）求证：MN＝MC；
（2）若DM：DB＝2：5，求证：AN＝4BN；
（3）如图②，连接NC交BD于点G．若BG：MG＝3：5，求NG•CG的值．
18.在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm．
（1）求AB的长；
（2）如图1，点P从A点出发以每秒2cm的速度沿AB方向匀速运动，同时点Q从C 点出发以每秒1cm的速度沿CA方向匀速运动．连接PQ，若设运动的时间为t秒（0＜t ＜5）．
①当t为何值时，以A、P、Q为顶点的三角形和以A、B、C为顶点的三角形相似；
②设四边形BCQP的面积为y，求y的最小值；
③如图2，把△APQ沿AP翻折，得到四边形AQPQ′，当t为何值时，四边形AQPQ′
为平行四边形．
19.如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点C（0，1），顶点为Q（2，3），点D在x
轴正半轴上，且OD＝OC．
（1）求直线CD的解析式；
（2）求抛物线的解析式；
（3）将直线CD绕点C逆时针方向旋转45°所得直线与抛物线相交于另一点E，求证：△CEQ∽△CDO；
（4）在（3）的条件下，若点P是线段QE上的动点，点F是线段OD上的动点，问：在P点和F点移动过程中，△PCF的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；
若不存在，请说明理由．
参考答案：
一、选择题：
A A C D C D A
二、填空题：
8. 4√3
9. 1+√2
10.32
3
11.24
5
三、解答题：
12.（2）AB＝26
13. （2） 2π﹣√3
14. （3） PC＝27
7
15. （3）当x＝时，四边形BMNQ的面积最大，最大值为．
16. （1）3
2
17. （3）15
2
18. （1）AB＝10cm；
（2）① t值为秒或秒时，以A、P、Q为顶点的三角形和以A、B、C为顶点的三角形相似；
② t＝3时，y有最小值；
③ t为秒时，四边形AQPQ′为平行四边形．
19. （1）直线CD的解析式为：y＝﹣x+1．
（2）抛物线的解析式为y＝x2+2x+1．
（4）在P点和F点移动过程中，△PCF的周长存在最小值，最小值为．。
2020年初三数学下册中考专题复习 二次函数面积最值问题(含答案)
2020年初三数学下册中考专题复习二次函数面积最值问题1．如图，关于x的二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．（1）求二次函数的表达式；（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标；（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N 从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积．2．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°得到平行四边形A′B′OC′．抛物线y＝﹣x2+2x+3经过点A、C、A′三点．（1）求A、A′、C三点的坐标；（2）求平行四边形ABOC和平行四边形A′B′OC′重叠部分△C′OD的面积；（3）点M是第一象限内抛物线上的一动点，问点M在何处时，△AMA′的面积最大？最大面积是多少？并写出此时M的坐标．3．如图，直线AB和抛物线的交点是A（0，﹣3），B（5，9），已知抛物线的顶点D的横坐标是2．（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；（2）在x轴上是否存在一点C，与A，B组成等腰三角形？若存在，求出点C的坐标，若不在，请说明理由；（3）在直线AB的下方抛物线上找一点P，连接P A，PB使得△P AB的面积最大，并求出这个最大值．4．如图，抛物线C1：y＝x2﹣2x与抛物线C2：y＝ax2+bx开口大小相同、方向相反，它们相交于O，C两点，且分别与x轴的正半轴交于点B，点A，OA＝2OB．（1）求抛物线C2的解析式；（2）在抛物线C2的对称轴上是否存在点P，使P A+PC的值最小？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由；（3）M是直线OC上方抛物线C2上的一个动点，连接MO，MC，M运动到什么位置时，△MOC面积最大？并求出最大面积．5．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三点，点P是直线BC下方抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）是否存在点P，使△POC是以OC为底边的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；（3）动点P运动到什么位置时，△PBC面积最大，求出此时P点坐标和△PBC的最大面积．6．如图，二次函数y＝﹣x2+3x+m的图象与x轴的一个交点为B（4，0），另一个交点为A，且与y轴相交于C点（1）求m的值及C点坐标；（2）在直线BC上方的抛物线上是否存在一点M，使得它与B，C两点构成的三角形面积最大，若存在，求出此时M点坐标；若不存在，请简要说明理由（3）P为抛物线上一点，它关于直线BC的对称点为Q①当四边形PBQC为菱形时，求点P的坐标；②点P的横坐标为t（0＜t＜4），当t为何值时，四边形PBQC的面积最大，请说明理由．7．如图，抛物线y＝ax2+bx+与直线AB交于点A（﹣1，0），B（4，），点D是抛物线A、B两点间部分上的一个动点（不与点A、B重合），直线CD与y轴平行，交直线AB于点C，连接AD，BD．（1）求抛物线的表达式；（2）设点D的横坐标为m，△ADB的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出当S 取最大值时的点C的坐标．8．如图A（0，3），B（3，0），C（1，0）分别是抛物线：y＝ax2+bx+c（a≠0）上的三点，点P为抛物线上一动点．（1）求此抛物线的解析式．（2）当△P AB是以AB为一直角边的直角三角形时，求此时点P的坐标．（3）若点P在抛物线上A、B两点之间移动时，是否存在一个位置，使△P AB的面积最大？若存在，请求此时点P的坐标．若不存在，请说明理由．9．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（0，3）、B（﹣1，0）、D（2，3），抛物线与x轴的另一交点为E．点P为直线AE上方抛物线上一动点，设点P的横坐标为t．（1）求抛物线的表达式；（2）当t为何值时，△P AE的面积最大？并求出最大面积；（3）是否存在点P使△P AE为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．10．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）B（3，0）两点，与y轴交于点C （0，﹣3）（1）求出该抛物线的函数关系式及对称轴（2）点P是抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为t（0＜t＜3）．当△PCB的面积的最大值时，求点P的坐标（3）在（1）的条件下，点P在抛物线上，点Q在抛物线的对称轴上，若以BC为边，以点B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，求P点的坐标．11．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于C（0，3），直线y＝+m经过点C，与抛物线的另一交点为点D，点P是直线CD上方抛物线上的一个动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线CD于点E，设点P的横坐标为m．（1）求抛物线解析式并求出点D的坐标；（2）连接PD，△CDP的面积是否存在最大值？若存在，请求出面积的最大值；若不存在，请说明理由；（3）当△CPE是等腰三角形时，请直接写出m的值．12．如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣与抛物线y＝﹣x2+bx+c交于A、B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为﹣8．点P是直线AB上方的抛物线上的一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为E，交直线AB于点C，作PD⊥AB于点D，交x轴于点F．（1）求该抛物线的解析式；（2）求sin∠ACE的值；（3）连接P A、PB（如图2所示），设△P AB的面积为S，点P的横坐标为x，求S关于x的函数关系式，并求出S的最大值．13．如图，⊙M的圆心M（﹣1，2），⊙M经过坐标原点O，与y轴交于点A．经过点A的一条直线l解析式为：y＝﹣x+4与x轴交于点B，以M为顶点的抛物线经过x轴上点D（2，0）和点C（﹣4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）求证：直线l是⊙M的切线；（3）点P为抛物线上一动点，且PE与直线l垂直，垂足为E；PF∥y轴，交直线l于点F，是否存在这样的点P，使△PEF的面积最小．若存在，请求出此时点P的坐标及△PEF面积的最小值；若不存在，请说明理由．14．如图，已知抛物线y＝ax2﹣x+c与x轴相交于A、B两点，并与直线y＝x﹣2交于B、C两点，其中点C是直线y＝x﹣2与y轴的交点，连接AC．（1）求抛物线的解析式；（2）证明：△ABC为直角三角形；（3）△ABC内部能否截出面积最大的矩形DEFG？（顶点D、E、F、G在△ABC各边上）若能，求出最大面积；若不能，请说明理由．15．如图，在平面直角坐标系中，矩形OCDE的三个顶点分别是C（3，0），D（3，4），E （0，4）．点A在DE上，以A为顶点的抛物线过点C，且对称轴x＝1交x轴于点B．连接EC，AC．点P，Q为动点，设运动时间为t秒．（1）填空：点A坐标为；抛物线的解析式为．（2）在图①中，若点P在线段OC上从点O向点C以1个单位/秒的速度运动，同时，点Q在线段CE上从点C向点E以2个单位/秒的速度运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动．当t为何值时，△PCQ为直角三角形？（3）在图②中，若点P在对称轴上从点A开始向点B以1个单位/秒的速度运动，过点P做PF⊥AB，交AC于点F，过点F作FG⊥AD于点G，交抛物线于点Q，连接AQ，CQ．当t为何值时，△ACQ的面积最大？最大值是多少？16．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），其对称轴l为x＝﹣1，P为抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；（2）当点P的纵坐标为2时，求点P的横坐标；（3）当点P在运动过程中，求四边形P ABC面积最大时的值及此时点P的坐标．17．如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，﹣1）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B，C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为（0，3）．（1）求此抛物线的解析式；（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴l与⊙C有怎样的位置关系，并给出证明；（3）已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间，问：当点P运动到什么位置时，△P AC的面积最大？并求出此时P点的坐标和△P AC的最大面积．18．如图，已知抛物线y＝﹣+bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知B点的坐标为B（8，0）．（1）求抛物线的解析式及其对称轴方程．（2）连接AC、BC，试判断△AOC与△COB是否相似？并说明理由．（3）在抛物线上BC之间是否存在一点D，使得△DBC的面积最大？若存在请求出点D 的坐标和△DBC的面积；若不存在，请说明理由．19．如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣4，0）、B（1，0）两点，与y轴交于C点，对称轴x＝﹣，点N（n，0）是线段AB上的一个动点（N与A、B两点不重合），请回答下列问题：（1）求出抛物线的解析式，并写出C点的坐标；（2）试求出当n为何值时，△ANC恰能构成是等腰三角形．（3）如图2，过N作NF∥BC，与AC相交于D点，连结CN，请问在N点的运动过程中，△CDN的面积是否存在最大值；若存在，试求出该最大面积，若不存在，请说明理由．20．抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（1，0）和点B（5，0），与y轴交于点C（0，3）．该抛物线与直线相交于C，D两点，点P是抛物线上的动点且位于x轴下方，直线PM∥y轴，分别与x轴和直线CD交于点M，N．（1）求该抛物线所对应的函数解析式；（2）连结PC，PD，如图1，在点P运动过程中，△PCD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由；（3）连结PB，过点C作CQ⊥PM，垂足为点Q，如图2，是否存在点P，使得△CNQ 与△PBM相似？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．详细答案一．解答题（共20小题）1．【解答】解：（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y＝x2+bx+c，解得：b＝﹣4，c＝3，∴二次函数的表达式为：y＝x2﹣4x+3；（2）令y＝0，则x2﹣4x+3＝0，解得：x＝1或x＝3，∴B（3，0），∴BC＝3，点P在y轴上，当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图1，①当CP＝CB时，PC＝3，∴OP＝OC+PC＝3+3或OP＝PC﹣OC＝3﹣3∴P1（0，3+3），P2（0，3﹣3）；②当BP＝BC时，OP＝OB＝3，∴P3（0，﹣3）；③当PB＝PC时，∵OC＝OB＝3∴此时P与O重合，∴P4（0，0）；综上所述，点P的坐标为：（0，3+3）或（0，3﹣3）或（0，﹣3）或（0，0）；（3）如图2，设A运动时间为t，由AB＝2，得BM＝2﹣t，则DN＝2t，∴S△MNB＝×（2﹣t）×2t＝﹣t2+2t＝﹣（t﹣1）2+1，即当M（2，0）、N（2，2）或（2，﹣2）时△MNB面积最大，最大面积是1．2．【解答】解：（1）当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，解得x1＝3，x2＝﹣1，则C（﹣1，0），A′（3，0）；当x＝0时，y＝3，则A（0，3）；（2）∵四边形ABOC为平行四边形，∴AB∥OC，AB＝OC，而C（﹣1，0），A（0，3），∴B（1，3）∴OB＝＝，S△AOB＝×3×1＝，又∵平行四边形ABOC旋转90°得平行四边形A′B′OC′，∴∠ACO＝∠OC′D，OC′＝OC＝1，又∵∠ACO＝∠ABO，∴∠ABO＝∠OC′D．又∵∠C′OD＝∠AOB，∴△C′OD∽△BOA，∴＝（）2＝（）2＝，∴S△C′OD＝×＝；（3）设M点的坐标为（m，﹣m2+2m+3），0＜m＜3，作MN∥y轴交直线AA′于N，易得直线AA′的解析式为y＝﹣x+3，则N（m，﹣m+3），∵MN＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，∴S△AMA′＝S△ANM+S△MNA′＝MN•3＝（﹣m2+3m）＝﹣m2+m＝﹣（m﹣）2+，∴当m＝时，S△AMA'的值最大，最大值为，此时M点坐标为（）．3．【解答】解：（1）抛物线的顶点D的横坐标是2，则x＝﹣＝2…①，抛物线过是A（0，﹣3），则：函数的表达式为：y＝ax2+bx﹣3，把B点坐标代入上式得：9＝25a+5b﹣3…②，联立①、②解得：a＝，b＝﹣，c＝﹣3，∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣x﹣3，当x＝2时，y＝﹣，即顶点D的坐标为（2，﹣）；（2）A（0，﹣3），B（5，9），则AB＝13，①当AB＝AC时，设点C坐标（m，0），则：（m）2+（﹣3）2＝132，解得：m＝±4，即点C坐标为：（4，0）或（﹣4，0）；②当AB＝BC时，设点C坐标（m，0），则：（5﹣m）2+92＝132，解得：m＝5，即：点C坐标为（5，0）或（5﹣2，0），③当AC＝BC时，设点C坐标（m，0），则：点C为AB的垂直平分线于x轴的交点，则点C坐标为（，0），故：存在，点C的坐标为：（4，0）或（﹣4，0）或（5，0）或（5﹣2，0）或（，0）；（3）过点P作y轴的平行线交AB于点H，设：AB所在的直线过点A（0，﹣3），则设直线AB的表达式为y＝kx﹣3，把点B坐标代入上式，9＝5k﹣3，则k＝，故函数的表达式为：y＝x﹣3，设：点P坐标为（m，m2﹣m﹣3），则点H坐标为（m，m﹣3），S△P AB＝•PH•x B＝（﹣m2+12m），当m＝2.5时，S△P AB取得最大值为：，答：△P AB的面积最大值为．4．【解答】解：（1）令：y＝x2﹣2x＝0，则x＝0或2，即点B（2，0），∵C1、C2：y＝ax2+bx开口大小相同、方向相反，则a＝﹣1，则点A（4，0），将点A的坐标代入C2的表达式得：0＝﹣16+4b，解得：b＝4，故抛物线C2的解析式为：y＝﹣x2+4x；（2）联立C1、C2表达式并解得：x＝0或3，故点C（3，3），作点C关于C2对称轴的对称点C′（1，3），连接AC′交函数C2的对称轴与点P，此时P A+PC的值最小为：线段AC′的长度＝3，此时点P（2，2）；（3）直线OC的表达式为：y＝x，过点M作y轴的平行线交OC于点H，设点M（x，﹣x2+4x），则点H（x，x），则S△MOC＝MH×x C＝（﹣x2+4x﹣x）＝﹣x2+x，∵﹣＜0，故x＝，故当点M（，）时，S△MOC最大值为．5．【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c，把A、B、C三点坐标代入可得，解得，∴抛物线解析式为y＝x2﹣3x﹣4；（2）作OC的垂直平分线DP，交OC于点D，交BC下方抛物线于点P，如图1，∴PO＝PC，此时P点即为满足条件的点，∵C（0，﹣4），∴D（0，﹣2），∴P点纵坐标为﹣2，代入抛物线解析式可得x2﹣3x﹣4＝﹣2，解得x＝（小于0，舍去）或x＝，∴存在满足条件的P点，其坐标为（，﹣2）；（3）∵点P在抛物线上，∴可设P（t，t2﹣3t﹣4），过P作PE⊥x轴于点E，交直线BC于点F，如图2，∵B（4，0），C（0，﹣4），∴直线BC解析式为y＝x﹣4，∴F（t，t﹣4），∴PF＝（t﹣4）﹣（t2﹣3t﹣4）＝﹣t2+4t，∴S△PBC＝S△PFC+S△PFB＝PF•OE+PF•BE＝PF•（OE+BE）＝PF•OB＝（﹣t2+4t）×4＝﹣2（t﹣2）2+8，∴当t＝2时，S△PBC最大值为8，此时t2﹣3t﹣4＝﹣6，∴当P点坐标为（2，﹣6）时，△PBC的最大面积为8．6．【解答】解：（1）将B（4，0）代入y＝﹣x2+3x+m，解得，m＝4，∴二次函数解析式为y＝﹣x2+3x+4，令x＝0，得y＝4，∴C（0，4），（2）存在，理由：∵B（4，0），C（0，4），∴直线BC解析式为y＝﹣x+4，当直线BC向上平移b单位后和抛物线只有一个公共点时，△MBC面积最大，∴，∴x2﹣4x+b＝0，∴△＝16﹣4b＝0，∴b＝4，∴，∴M（2，6），（3）①如图，∵点P在抛物线上，∴设P（m，﹣m2+3m+4），当四边形PBQC是菱形时，点P在线段BC的垂直平分线上，∵B（4，0），C（0，4）∴线段BC的垂直平分线的解析式为y＝x，∴m＝﹣m2+3m+4，∴m＝1±，∴P（1+，1+）或P（1﹣，1﹣），②如图，设点P（t，﹣t2+3t+4），过点P作y轴的平行线l，过点C作l的垂线，∵点D在直线BC上，∴D（t，﹣t+4），∵PD＝﹣t2+3t+4﹣（﹣t+4）＝﹣t2+4t，BE+CF＝4，∴S四边形PBQC＝2S△PCB＝2（S△PCD+S△PBD）＝2（PD×CF+PD×BE）＝4PD＝﹣4t2+16t，∵0＜t＜4，∴当t＝2时，S四边形PBQC最大＝167．【解答】解：（1）∵由题意得解得：，∴y＝﹣x2+2x+．（2）设直线AB为：y＝kx+b．则，解得直线AB的解析式为y＝+．如图所示：记CD与x轴的交点坐标为E．过点B作BF⊥DC，垂足为F．设D（m，﹣m2+2m+）则C（m，m+）．∵CD＝（﹣m2+2m+）﹣（m+）＝m2+m+2，∴S＝AE•DC+CD•BF＝CD（AE+BF）＝DC＝m2+m+5．∴S＝m2+m+5．∵﹣＜0，∴当m＝时，S有最大值．∴当m＝时，m+＝×+＝．∴点C（，）．8．【解答】解：（1）将A（0，3），B（3，0），C（1，0）代入y＝ax2+bx+c，得：，解得：，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3．（2）设点P的坐标为（m，m2﹣4m+3）．∵点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（3，0），∴AP2＝（m﹣0）2+（m2﹣4m+3﹣3）2＝m4﹣8m3+17m2，BP2＝（m﹣3）2+（m2﹣4m+3）2＝m4﹣8m3+23m2﹣30m+18，AB2＝（3﹣0）2+（0﹣3）2＝18．分两种情况考虑：①当∠BAP＝90°时，AB2+AP2＝BP2，即18+m4﹣8m3+17m2＝m4﹣8m3+23m2﹣30m+18，整理，得：m2﹣5m＝0，解得：m1＝0（舍去），m2＝5，∴点P的坐标为（5，8）；②当∠ABP＝90°时，AB2+BP2＝AP2，即18+m4﹣8m3+23m2﹣30m+18＝m4﹣8m3+17m2，整理，得：m2﹣5m+6＝0，解得：m3＝2，m3＝3（舍去），∴点P的坐标为（2，﹣1）．综上所述：当△P AB是以AB为一直角边的直角三角形时，点P的坐标为（5，8）或（2，﹣1）．（3）存在，如图过点P作PD∥y轴交直线AB于点D．设直线AB的解析式为y＝kx+d（k≠0），将A（0，3），B（3，0）代入y＝kx+d，得：，解得：，∴直线AB的解析式为y＝﹣x+3．设点P的坐标为（n，n2﹣4n+3）（0＜n＜3），则点D的坐标为（n，﹣n+3），∴PD＝（﹣n+3）﹣（n2﹣4n+3）＝﹣n2+3n，∴S△P AB＝OB•PD＝﹣n2+n＝﹣（n﹣）2+．∵﹣＜0，∴当n＝时，S△P AB取得最大值，此时最大值为，∴当△P AB的面积取最大值时，点P的坐标为（，﹣）．9．【解答】解：（1）由题意得：，解得：，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）∵A（0，3），D（2，3），∴抛物线对称轴为x＝1，∴E（3，0），设直线AE的解析式为y＝kx+3，∴3k+3＝0，解得，k＝﹣1，∴直线AE的解析式为y＝﹣x+3，如图1，作PM∥y轴，交直线AE于点M，设P（t，﹣t2+2t+3），M（t，﹣t+3），∴PM＝﹣t2+2t+3+t﹣3＝﹣t2+3t，∴＝＝，∴t＝时，△P AE的面积最大，最大值是．（3）由图可知∠PEA≠90°，∴只能有∠P AE＝90°或∠APE＝90°，①当∠P AE＝90°时，如图2，作PG⊥y轴，∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA＝45°，∴∠P AG＝∠APG＝45°，∴PG＝AG，∴t＝﹣t2+2t+3﹣3，即﹣t2+t＝0，解得t＝1或t＝0（舍去），②当∠APE＝90°时，如图3，作PK⊥x轴，AQ⊥PK，则PK＝﹣t2+2t+3，AQ＝t，KE＝3﹣t，PQ＝﹣t2+2t+3﹣3＝﹣t2+2t，∵∠APQ+∠KPE＝∠APQ+∠P AQ＝90°，∴∠P AQ＝∠KPE，且∠PKE＝∠PQA，∴△PKE∽△AQP，∴，∴，即t2﹣t﹣1＝0，解得：t＝或t＝＜0（舍去），综上可知存在满足条件的点P，t的值为1或．10．【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），∵抛物线与y轴交于点C（0，﹣3），∴﹣3＝a（0+1）（0﹣3），∴a＝1∴设抛物线解析式为y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3，对称轴为直线x＝1；（2）设P（t，t2﹣2t﹣3），S△PCB＝S△POC+S△POB﹣S△BOC＝×3t+×3×|t2﹣2t﹣3|﹣＝∵a＝＜0，∴函数有最大值，当t＝时，面积最大，∴P（）（3）设Q（1，n）），①当PQ、PC为平行四边形的对角线时，P（4，n+3），∴42﹣2×4﹣3＝n+3，n＝2，∴P（4，5）；②当CQ、BP为平行四边形的对角线时，P（﹣2，n﹣3），∴（﹣2）2﹣2×（﹣2）﹣3＝n﹣3，n＝8，∴P（﹣2，5）；综上所述，以BC为边，以点B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，P点的坐标（4，5），（﹣2，5）．11．【解答】解：（1）把A（﹣1，0），C（0，3）分别代入y＝﹣x2+bx+c得，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；把C（0，3）代入y＝﹣x+m，解得m＝3，∴直线CD的解析式为y＝﹣x+3，解方程组，解得或，∴D点坐标为（，）；（2）存在．设P（m，﹣m2+2m+3），则E（m，﹣m+3），∴PE＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+m，∴S△PCD＝••（﹣m2+m）＝﹣m2+m＝﹣（m﹣）2+，当m＝时，△CDP的面积存在最大值，最大值为；（3）当PC＝PE时，m2+（﹣m2+2m+3﹣3）2＝（﹣m2+m）2，解得m＝0（舍去）或m＝；当CP＝CE时，m2+（﹣m2+2m+3﹣3）2＝m2+（﹣m+3﹣3）2，解得m＝0（舍去）或m＝（舍去）或m＝；当EC＝EP时，m2+（﹣m+3﹣3）2＝（﹣m2+m）2，解得m＝（舍去）或m ＝，综上所述，m的值为或或．12．【解答】解：（1）当x＝﹣8时，y＝x﹣＝﹣，则B（﹣8，﹣），当y＝0时，x﹣＝0，解得x＝2，则A（2，0），把B（﹣8，﹣），A（2，0）代入y＝﹣x2+bx+c得，解得，∴抛物线的解析式y＝﹣x2﹣x+；（2）当x＝0时，y＝x﹣＝﹣，则G（0，﹣），在Rt△AOG中，∵OG＝，OA＝2，∴AG＝＝，∴sin∠AGO＝＝＝，∵PC⊥x轴，∴PC∥OG，∴∠ACE＝∠AGO，∴sin∠ACE＝；（3）设P（x，﹣x2﹣x+），则C（x，x﹣），∴PC＝﹣x2﹣x+﹣（x﹣）＝﹣x2﹣x+4，∴S＝•（2+8）•（﹣x2﹣x+4）＝﹣x2﹣x+20＝﹣（x+3）2+，当x＝﹣3时，S的最大值为．13．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）（x+4），将点M的坐标代入得：﹣9a＝2，解得：a＝﹣．∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+．（2）连接AM，过点M作MG⊥AD，垂足为G．把x＝0代入y＝﹣x+4得：y＝4，∴A（0，4）．将y＝0代入得：0＝﹣x+4，解得x＝8，∴B（8，0）．∴OA＝4，OB＝8．∵M（﹣1，2），A（0，4），∴MG＝1，AG＝2．∴tan∠MAG＝tan∠ABO＝．∴∠MAG＝∠ABO．∵∠OAB+∠ABO＝90°，∴∠MAG+∠OAB＝90°，即∠MAB＝90°．∴l是⊙M的切线．（3）∵∠PFE+∠FPE＝90°，∠FBD+∠PFE＝90°，∴∠FPE＝∠FBD．∴tan∠FPE＝．∴PF：PE：EF＝：2：1．∴△PEF的面积＝PE•EF＝×PF•PF＝PF2．∴当PF最小时，△PEF的面积最小．设点P的坐标为（x，﹣x2﹣x+），则F（x，﹣x+4）．∴PF＝（﹣x+4）﹣（﹣x2﹣x+）＝﹣x+4+x2+x﹣＝x2﹣x+＝（x﹣）2+．∴当x＝时，PF有最小值，PF的最小值为．∴P（，）．∴△PEF的面积的最小值为＝×（）2＝．14．【解答】（1）解：∵直线y＝x﹣2交x轴、y轴于B、C两点，∴B（4，0），C（0，﹣2），∵y＝ax2﹣x+c过B、C两点，∴，解得，∴y＝x2﹣x﹣2．（2）证明：如图1，连接AC，∵y＝x2﹣x﹣2与x负半轴交于A点，∴A（﹣1，0），在Rt△AOC中，∵AO＝1，OC＝2，∴AC＝，在Rt△BOC中，∵BO＝4，OC＝2，∴BC＝2，∵AB＝AO+BO＝1+4＝5，∴AB2＝AC2+BC2，∴△ABC为直角三角形．（3）解：△ABC内部可截出面积最大的矩形DEFG，面积为，理由如下：①一点为C，AB、AC、BC边上各有一点，如图2，此时△AGF∽△ACB∽△FEB．设GC＝x，AG＝﹣x，∵，∴，∴GF＝2﹣2x，∴S＝GC•GF＝x•（2）＝﹣2x2+2x＝﹣2[（x﹣）2﹣]＝﹣2（x﹣）2+，即当x＝时，S最大，为．②AB边上有两点，AC、BC边上各有一点，如图3，此时△CDE∽△CAB∽△GAD，设GD＝x，∵，∴，∴AD＝x，∴CD＝CA﹣AD＝﹣x，∵，∴，∴DE＝5﹣x，∴S＝GD•DE＝x•（5﹣x）＝﹣x2+5x＝﹣[（x﹣1）2﹣1]＝﹣（x﹣1）2+，即x＝1时，S最大，为．综上所述，△ABC内部可截出面积最大的矩形DEFG，面积为．15．【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴为x＝1，矩形OCDE的三个顶点分别是C（3，0），D（3，4），E（0，4），点A在DE上，∴点A坐标为（1，4），设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+4，把C（3，0）代入抛物线的解析式，可得a（3﹣1）2+4＝0，解得a＝﹣1．故抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4，即y＝﹣x2+2x+3；（2）依题意有：OC＝3，OE＝4，∴CE＝＝＝5，当∠QPC＝90°时，∵cos∠QCP＝＝，∴＝，解得t＝；当∠PQC＝90°时，∵cos∠QCP＝＝，∴＝，解得t＝．∴当t＝或t＝时，△PCQ为直角三角形；（3）∵A（1，4），C（3，0），设直线AC的解析式为y＝kx+b，则，解得．故直线AC的解析式为y＝﹣2x+6．∵P（1，4﹣t），将y＝4﹣t代入y＝﹣2x+6中，得x＝1+，∴Q点的横坐标为1+，将x＝1+代入y＝﹣（x﹣1）2+4中，得y＝4﹣．∴Q点的纵坐标为4﹣，∴QF＝（4﹣）﹣（4﹣t）＝t﹣，∴S△ACQ＝S△AFQ+S△CFQ＝FQ•AG+FQ•DG＝FQ（AG+DG）＝FQ•AD＝×2（t﹣）＝﹣+t＝﹣（t2+4﹣4t﹣4）＝﹣（t﹣2）2+1，∴当t＝2时，△ACQ的面积最大，最大值是1．16．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A和点B（1，0），与y 轴交于点C（0，3），其对称轴l为x＝﹣1，∴A（﹣3，0），∴解得：，∴二次函数的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，∴顶点坐标为（﹣1，4）．（2）设点P（x，2）即y＝﹣x2﹣2x+3＝2，解得x1＝﹣1或x2＝﹣﹣1，∴点P（﹣1，2）或（﹣﹣1，2）．（3）设点P（x，y），则y＝﹣x2﹣2x+3，∵S四边形BCP A＝S△OBC+S△OAP+S△OPC，∴＝，∵﹣＜0，∴当x＝﹣时，四边形P ABC的面积有最大值，所以点P（﹣，）．17．【解答】解：（1）设抛物线为y＝a（x﹣4）2﹣1，∵抛物线经过点A（0，3），∴3＝a（0﹣4）2﹣1，；∴抛物线为；（2）相交．证明：连接CE，则CE⊥BD，当时，x1＝2，x2＝6．A（0，3），B（2，0），C（6，0），对称轴x＝4，∴OB＝2，AB＝＝，BC＝4，∵AB⊥BD，∴∠OAB+∠OBA＝90°，∠OBA+∠EBC＝90°，∴△AOB∽△BEC，∴＝，即＝，解得CE＝，∵＞2，故抛物线的对称轴l与⊙C相交．（3）如图，过点P作平行于y轴的直线交AC于点Q；可求出AC的解析式为；设P点的坐标为（m，），则Q点的坐标为（m，）；∴PQ＝﹣m+3﹣（m2﹣2m+3）＝﹣m2+m．∵S△P AC＝S△P AQ+S△PCQ＝×（﹣m2+m）×6＝﹣（m﹣3）2+；∴当m＝3时，△P AC的面积最大为；此时，P点的坐标为（3，）．18．【解答】解：（1）∵B点的坐标为B（8，0），∴﹣16+8b+4＝0，解得b＝，∴抛物线的解析式为y═﹣+x+4，对称轴方程为x＝﹣＝3；（2）∵由（1）知，抛物线的对称轴方程为x＝3，B（8，0）∴A（﹣2，0），C（0，4），∴OA＝2，OC＝4，OB＝8，∴tan∠ACO＝tan∠CBO＝，∴∠ACO＝∠CBO．∵∠AOC＝∠COB＝90°，∴△AOC∽△COB．（3）设BC解析式为y＝kx+b，把（8，0），（0，4）分别代入解析式得，，解得，解得y＝﹣x+4，作DH⊥x轴，交BC于H．设D（t，﹣t2+t+4），H（t，﹣t+4），S△BCD＝DH•OB＝×（﹣t2+t+4+t﹣4）×8＝﹣t2+8t＝﹣（t2﹣8t+42﹣16）＝﹣（t﹣4）2+16，当t＝4时，△DBC的最大面积为16，此时D点坐标为（4，6）．19．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣4，0）、B（1，0）两点，不妨设抛物线的解析式为y＝﹣（x+4）（x﹣1），即y＝﹣x2﹣x+2．∴C（0，2）．（2）分两种情形：①当AN＝AC时，如图1中，∵AC＝＝2，∴n﹣（﹣4）＝2，∴n＝2﹣4．②当NA＝NC时，如图2中，在Rt△NOC中，OC＝2，∵NC＝NA＝n﹣（﹣4）＝n+4，ON＝n，∴n2+22＝（n+）2，解得n＝﹣．综上所述，当n＝2﹣4或﹣时，△ANC是等腰三角形．（3）如图3中，由题意可知：直线BC的解析式为y＝﹣2x+2，直线AC的解析式为y＝x+2，设N（n，0），易知N在线段OB上时，△CDN的面积较小，不妨设n＜0，∵ND∥BC，设ND的解析式为y＝﹣2x+b，代入（n，0）可得b＝2n，∴ND的解析式为y＝﹣2x+2n，由，可得点D的纵坐标：y D＝（8+2n），∴S△CDN＝S△AOC﹣S△ADN﹣S△CON＝[2×4﹣2|n|﹣（8+2n）（n+4）＝﹣（n+）2+，∵﹣＜0，∴当n＝﹣时，△DCN的面积最大，最大值为．20．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（1，0）、点B（5，0）和点C（0，3），因为与y轴相较于点C，所以c＝3．∴，解得，∴该抛物线对应的函数解析式为y＝x2﹣x+3；（2）∵点P是抛物线上的动点且位于x轴下方，∴可设P（t，t2﹣t+3）（1＜t＜5），∵直线PM∥y轴，分别与x轴和直线CD交于点M、N，∴M（t，0），N（t，t+3），∴PN＝t+3﹣（t2﹣t+3）＝﹣（t﹣）2+直线CD与抛物线解析式可得，解得或，∴C（0，3），D（7，），分别过C、D作直线PN的垂线，垂足分别为E、F，如图1，则CE＝t，DF＝7﹣t，∴S△PCD＝S△PCN+S△PDN＝PN•CE+PN•DF＝PN＝[﹣（t﹣）2+]＝﹣（t﹣）2+，∴当t＝时，△PCD的面积有最大值，最大值为；（3）存在．∵∠CQN＝∠PMB＝90°，∴当△CNQ与△PBM相似时，有或两种情况，∵CQ⊥PM，垂足为Q，∴Q（t，3），且C（0，3），N（t，t+3），∴CQ＝t，NQ＝t+3﹣3＝t，∴，∵P（t，t2﹣t+3），M（t，0），B（5，0），∴BM＝5﹣t，PM＝0﹣（t2﹣t+3）＝﹣t2+t﹣3，当时，则PM＝BM，即﹣t2+t﹣3＝（5﹣t），解得t＝2或t＝5（舍去），此时P（2，﹣）；当时，则BM＝PM，即5﹣t＝（﹣t2+t﹣3），解得t＝或t＝5（舍去），此时P（，﹣）；综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（2，﹣）或（，﹣）．。
2020年中考数学专题最值例练题目(有答案)
关于圆的最值问题练习以及解答1．如图，⊙O 的直径为4，C 为⊙O 上一个定点，∠ABC=30°，动点P 从A 点出发沿半圆弧AB 向B 点运动（点P 与点C 在直径AB 的异侧)，当P 点到达B 点时运动停止，在运动过程中，过点C 作CP 的垂线CD 交PB 的延长线于D 点．（1）在点P 的运动过程中，线段CD 长度的取值范围为 ；（2）在点P 的运动过程中，线段AD 长度的最大值为 .解答：(1)是AB ⊙O 的直径,90 ACB60309090 ABC AP A , 都是弧BC 所对的圆周角60 A P在Rt 中，PCD CD=CP 342 CP3432 CP(2)中，PCD 30,90CPD PCD点D 在已CB 为弦的圆⊙O ´（红弧线上）运动当A,O ´,D 三点共线时AD 最长连接CO ′,BO ´CO ´B 是等边三角形在直角ABC 中， 90 ACB AB=4, ∠ABC=30°3230 • COS AB BCBO ´=DO ´=BC=32 DO C B A∠ABC=30°,∠CBO ´=60°∠ABO ´=90°´ 72)32(42222 BO AB AOA,O ´,D 三点共线时AD 最长AD 最长为32722．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点D 是平面内的一个动点，且AD=2，M 为BD 的中点，在D 点运动过程中，线段CM 长度的取值范围是 .解答：作AB 的中点E ，连接CE,EM,AD在直角ABC 中， 90 ACB AC=4,BC=3522 BC AC ABE 是AB 的中点 5.221AB CE M 是DB 的中点EM 是ADM 的中位线121 AD EM EM CE CM CEM EM -CE 中，在点D 运动过程中，点A,D,B 三点共线时，CM 取得最小或最大值EM CE CM EM -CE15.215.2 CMJ 即5.35.1 CMAM D3．如图，△ABC 中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=22，D 是线段BC 上的一个动点，以AD 为直径作⊙O 分别交AB ，AC 于E ，F 两点，连接EF ，则线段EF 长度的最小值为解答：过点A 做AD BC 于DZ,由垂线段最短可得此时AD 为⊙O 的最短直径连接OE,OF,过O 作OH EF 于H在Rt ADB 中，22 AB ,∠ABC=45°245 • COS AB BD AD∠EOF,∠BAC 分别是⊙O 所对的圆心角，圆周角，∠BAC=60° ∠EOF=2∠BAC=120°⊙O 中，OE=OF,OH EF∠EOH=EOF 21=60°,EH=EF 21 EH=OEsin60°=23 EF=34．如图，已知半径为2的⊙O 与直线l 相切于点A ，点P 是直径AB左侧半圆上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为C ，PC 与⊙O交于点D ，连接PA 、PB ，设PC 的长为x （2＜x ＜4），则当x 取多少时，PD •CD 的值最大，且最大值是多少？ .解答：过点O 作OE PD 于E ，易证得四边形OECA 是矩形O 为圆心，PD 为弦CE=OA=2PE=PC-CE=x-2PD=2PE=2(x-2)CD=PC-PD=x-2(x-2)=-x+4PD•CD =(23)-x （-24)2)(-x -x （22 2＜x ＜4当x=3时，PD•CD 最为25．如图，线段AB=4，C 为线段AB 上的一个动点，以AC 、BC 为边作等边△ACD 和等边△BCE ，⊙O 外接于△CDE ，则⊙O 半径的最小值为( ).解答：连接OA,OB,OD,OC 易证明得到AO 平分∠DAC ，BO 平分 ∠CBEAO 平分∠DAC ，BO 平分∠EBC∠OAC=∠OBCOA=OB当OC AB 时，AC=AB 21=2 当OC AB 时，OC 最短33230 • tg AC OC6．如图，⊙O 的半径为2，点O 到直线l 的距离为3，点P 是直线l 上的一个动点，PQ 切⊙O 于点Q ，则PQ 的最小值为多少？解答： PQ 切⊙O 于点Q90 OQP4222 OP OQ OP PQOP 最短，PQ 最短OP 最短为点O 到直线l 的距离352322PQO D C E A BO A B D C P 7.如图，已知A 、B 是⊙O 与x 轴的两个交点，⊙O 的半径为1，P 是该圆上第一象限内的一个动点，直线PA 、PB 分别交直线x=2于C 、D 两点，E 为线段CD 的中点．（1）判断直线PE 与⊙O 的位置关系并说明理由；（2）求线段CD 长的最小值；解答（1）略（2）连接OP,OE则1222 OE OP OE PEOE 最短,则PE 最短OE 最短为点O 到直线CD 的距离2PE 最短为3 PECD 最短为322 PE8．如图，在矩形ABCD 中，AB=3，BC=4，O 为矩形ABCD 的中心，以D 为圆心1为半径作⊙D ，P 为⊙D 上的一个动点，连接AP 、OP ，求△AOP 面积的最大值为.解答：连接OC ，A,O,C 三点共线，过点D 作AC 的垂线交⊙D 于P,AC 于点M,252122 CD AD AO DM AC DC AD S ADC • •2121 512 • AC DC AD DM 517 PM AOP S 最大为417517252121 •PM AO9．如图，A 、B 两点的坐标分别为(2，0)、(0，2)，⊙C 的圆心的坐标为(-1，0)，半径为1，若D 是⊙C 上的一个动点，线段DA 与y 轴交于点E ，则△ABE 面积的最小值是多少？解答：当AD 切⊙于D 时BE 最小Rt ACD 中，AC=3,CD=1 22822 CD AC AD PAEO ∽ACDOE=22 •AD OA CD BE=222 222 ABE S10．如图，已知A 、B 两点的坐标分别为(-2，0)、(0，1)，⊙C 的圆心坐标为(0，-1)，半径为1，D 是⊙C 上的一个动点，射线AD 与y 轴交于点E ，求△ABE 面积的最大值是？解答：当射线AD 与⊙C 相切时，△ABE 面积最大为311（方法同第9题，第8题）11．如图，等腰Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=4，⊙C 的半径为1，点P 在斜边AB 上，PQ 切⊙O 于点Q ，求切线长PQ 长度的最小值？解答：当PC AB 时，PQ 最小为7（方法同第6,7题）12．在平面直角坐标系中，Q （3，4），P 是以Q 为圆心，2为半径的⊙M 上一动点，A （-1，0）、B （1，0），连接PA 、PB ，则22PB PA最大值是多少？ .解答：当22PB PA的最大值是100设P(x,y) 222222)1(,)1(y x PB y x PA2)(22222 y x PB PA222y x OP22222 OP PB PA连接OQ 并延长交圆于P 点，此时OP 最长为OQ+OP=7 100272的最大值为222 PB PAA Q C PB PP13．如图，在平面直角坐标系中，已知点A （0，1）、点B （0，1+t ）、C （0，1﹣t ）（t ＞0），点P 在以D （3，3）为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC=90°，则t 的最小值是多少？解答：1-13 当A,P,D 三点共线时t 的值最小A （0，1）、点B （0，1+t ）、C （0，1﹣t ）（t ＞0）AB=1+t-1=t,AC=1-(1-t)=tAB=AC点A 是BC 的中点∠BPC=90°t 21BC APAP 的最小值为AD-PD=11313222。
2020初中数学中考专题复习——四边形中的线段最值问题专项训练5(附答案详解)
1．C
参考答案
【解析】
【分析】
根据三个角都是直角的四边形是矩形，得四边形 AEPF 是矩形，根据矩形的对角线相等，得
EF=AP，则 EF 的最小值即为 AP 的最小值，根据垂线段最短，知：AP 的最小值即等于直角
三角形 ABC 斜边上的高．
【详解】
连接 AP，
∵在△ ABC 中，AB=3，AC=4，BC=5， ∴AB2+AC2=BC2， 即∠BAC=90°， 又∵PE⊥AB 于 E，PF⊥AC 于 F， ∴四边形 AEPF 是矩形， ∴EF=AP， ∵AP 的最小值即为直角三角形 ABC 斜边上的高，即 2.4， ∴EF 的最小值为 2.4， 故选：C． 【点睛】 本题考查了矩形的性质和判定，勾股定理的逆定理，直角三角形的性质的应用，要能够把要 求的线段的最小值转化为便于求的最小值得线段是解此题的关键． 2．C 【解析】 【分析】 根据轴对称确定最短路线问题,作点 P 关于 BD 的对称点 P',连接 与 BD 的交点即为所求的 点 K,然后根据直线外一点到直线的所有连线中垂直线段最短的性质可知 ⊥CD 时
的最小值,求解即可.
【详解】
解：:如图,∵
，
，,
∴点 P'到 CD 的距离为 2× = ,
∴ 故选 C.
的最小值为 .
【点睛】 本题考查了菱形的性质,轴对称确定最短路线问题,熟记菱形的轴对称性和利用轴对称确定最 短路线的方法是解题的关键. 3．C 【解析】 【分析】 先作点 M 关于 AC 的对称点 M′，连接 M′N 交 AC 于 P，此时 MP＋NP 有最小值．然后证明 四边形 ABNM′为平行四边形，即可求出 MP＋NP＝M′N＝AB＝2． 【详解】 解：如图，作点 M 关于 AC 的对称点 M′，连接 M′N 交 AC 于 P，此时 MP＋NP 有最小值， 最小值为 M′N 的长． ∵菱形 ABCD 关于 AC 对称，M 是 AB 边上的中点， ∴M′是 AD 的中点， 又∵N 是 BC 边上的中点， ∴AM′∥BN，AM′＝BN， ∴四边形 ABNM′是平行四边形， ∴M′N＝AB＝2， ∴MP＋NP＝M′N＝2，即 MP＋NP 的最小值为 2， 故选：C.
2020年九年级数学中考专题复习：隐形圆求最值问题(含答案)
隐形圆问题一、确定动点轨迹是圆【例题1】如图，已知圆C的半径为3，圆外一定点O满足OC=5，点P为圆C上一动点，经过点O的直线l上有两点A，且OA=OB，∠APB=90°，l不过点C，则AB的最小值为【举一反三】1、如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A’MN,连接A’C，则A’C长度的最小值是第1题第2题2、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC＝6，BC=8，点F在边AC上，并且CF＝2，点E 为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是3、如图，已知等边△ABC的边长为8，点P是AB边上的一个动点(与点A、B不重合).直线l是经过点P的一条直线，把△ABC沿直线l折叠，点B的对应点是点B’.当PB=6时，在直线l变化过程中，则△ACB’面积的最大值是.4、如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC=8，P、Q分別是直线BC、AB上的两个动点，AE＝2，△AEQ沿EQ翻折形成△FEQ，连接PF、PD，则PF+PD的最小值是二、定边对直角知识回顾:直径所对的圆周角是直角构造思路:一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧.图形释义:若AB是一条定线段，且∠APB-90°，则P点轨迹是以AB为直径的圆【例题1】已知正方形ABCD边长为2，E、F分别是BC、CD上的动点，且满足BE＝CF，连接AE、BF，交点为P点，则PC的最小值为【举一反三】1、如图，E、F是正方形ABCD的边AD上的两个动点，满足AE＝DF，连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H，若正方形边长为2，则线段DH长度的最小值是2、如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠P AB ＝∠PBC，则线段CP长的最小值是3、如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，AB＝5，AC＝4.D是弧BC上的一个动点，连接AD，过点C作CE⊥AD于E，连接BE.在点D移动的过程中，BE的最小值为4、如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC＝12，AB＝10，点D是AC上的一个动点，以AD为直径作圆O，连接BD交圆O于点E，则AE的最小值为5、如图，正方形ABCD的边长为4，动点E、F分別从点A、C同时出发，以相同的速度分别沿AB、CD向终点B、D移动，当点E到达点B时，运动停止，过点B作直线EF的垂线BG，垂足为点G，连接AG，则AG长的最小值为【辅助圆+将军饮马】如图，正方形ABCD的边长是4，点E是AD边上一动点，连接BE，过点A作AF⊥BE于点F，点P是AD边上另一动点，则PC+PF的最小值为【辅助圆+相切】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB＝4，D是BC上一动点，CE⊥AD于E，EF⊥AB交BC于点F，则CF的最大值是三、定边对定角在“定边对直角”问题中，依据“直径所对的圆周角是直角”，关键性在于寻找定边、直角，而根据圆周角定理:同圆或等圆中，同弧或等弧所対的圆周角都相.定边必不可少，而直角则可一般为定角.例如，AB为定值，∠P为定角，则P点轨迹是一个圆.当然，∠P度数也是特殊角，比如30°、45°、60°、120°，下面分别作对应的轨迹圆若∠P＝30°，以AB为边，同侧构造等边三角形AOB，O即为圆心若∠P＝45°，以AB为斜边，同侧构造等腰直角三角形AOB，O即为圆心.若∠P＝60°，以AB为底，同侧构造顶角为120°的等腰三角形AOB，O即为圆心.若∠P＝120°，以AB为底，异侧为边构造顶角为120°的等腰三角形AOB，O即为圆心.【例题1】如图，等边△ABC边长为2，E、F分別是BC、CA上两个动点，且BE=CF，连接AE、BF，交点为P点，则CP的最小值为【举一反三】1、如图，△ABC为等边三角形，AB=3，若P为△ABC内一动点，且满足∠P AB＝∠ACP，则线段PB长度的最小值为2、在△ABC中，AB＝4，∠C＝60°，∠A>∠B，则BC的长的取值范围是3、如图，AB是圆O的直径，M、N是弧AB(异于A、B)上两点，C是弧MN上一动点，∠ACB 的角平分线交圆O于点D，∠BAC的平分线交CD于点E，当点C从点M运动到点N时，则C、E两点的运动路径长的比是。
2020初中数学中考专题复习——四边形中的线段最值问题专项训练3(附答案详解)
（1）如图①，当点 落在 边上时，求点 的坐标；
（2）如图②，当点 落在线段 上时， 与 交于点 .求点 的坐标；
（3）记 为矩形 对角线的交点， 为 的面积，求 的取值范围（直接写出结果即可）.
A． B． C． D．
3．线段AB上有一动点C（不与A，B重合），分别以AC，BC为边向上作等边△ACM和等边△BCN，点D是MN的中点，连结AD，BD，在点C的运动过程中，有下列结论：①△ABD可能为直角三角形；②△ABD可能为等腰三角形；③△CMN可能为等边三角形；④若AB=6，则AD+BD的最小值为 .其中正确的是（ ）
【详解】
解：如图所示，作以BD为对称轴作N的对称点N'，连接PN'，MN'，
根据轴对称性质可知，PN=PN'，
∴PM-PN=PM-PN'≤MN'，
当P，M，N'三点共线时，PM-PN'= MN'，
∵正方形边长为4，
∴AC= AB=4 ，
∵O为AC中点，
∴AO=OC=2 ，
∵N为OA中点，
∴ON= ，
7．A
【解析】
【分析】
连接BD、BF，延长AC交GE于H，连接BH，证明四边形BNHM是矩形，得出MN=BH，由直角三角形的性质得出GH，AH的长，当BH⊥AG时，BH最小，由直角三角形的性质得出BH的长，即可得出答案．
【详解】
连接BD、BF，延长AC交GE于H，连接BH，如图所示：
∵四边形ABCD和四边形BEFG是菱形，∠DAB=60°，∴AD∥BC∥GF，AC⊥BD，BF⊥GE，BE=BG，AM=CM，EN=GN，∴∠GAH=30°，∠EBG=∠DAB=60°，∴△BEG是等边三角形，∴∠BGE=60°，∴∠AHG=90°，∴四边形BNHM是矩形，GH AG=4，AH GH=4 ，∴MN=BH，当BH⊥AG时，BH最小．
2020初中数学中考专题复习——四边形中的线段最值问题专项训练1(附答案详解)
∴BD是∠ABC的平分线，
∴E1在AB上，
由图形对称的性质可知，
BE＝BE1＝ BC＝ ×4＝2，
∵BE＝BE1＝ BC，
∴△BCE1是直角三角形，
∴CE1＝ = = ，
∴PE＋PC的最小值是 ，
故选：B
【点睛】
本题考查菱形的性质、轴对称-最短路线问题，利用了角平分线的性质和直角三角形的判定及勾股定理，掌握确定最短路线的方法是解题的关键．
【详解】
作D点关于AB的对称点D'，连接CD'交AB于P，P即为所求，此时PC+PD=PC+PD'=CD'，根据两点之间线段最短可知此时PC+PD最小．
作D'E⊥BC于E，则EB=D'A=AD．
∵CD=2AD，
∴DD'=CD，
∴∠DCD'=∠DD'C．
∵∠DAB=∠ABC=90°，
∴四边形ABED'是矩形，
8．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的边AB＝4，BC＝6．若不改变矩形ABCD的形状和大小，当矩形顶点A在x轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点D始终在y轴的正半轴上随之上下移动．
(1)当∠OAD＝30°时，求点C的坐标；
(2)设AD的中点为M，连接OM、MC，当四边形OMCD的面积为 时，求OA的长；
∴DD'∥EC，D'E=AB=3，
∴∠D'CE=∠DD'C，
∴∠D'CE=∠DCD'．
∵∠DCB=60°，
∴∠D'CE=30°，
∴D'C=2D'E=2AB=2×3=6，
2020年数学中考最值问题试题总汇【含答案】
⎭⎝⎝44⎭初中代数、几何所有最值问题一代数问题中的最值问题1、从 - 3，- 2，-1,4,5中任取两个数相乘，所得积中最大值为a ，最小值为b ，求－4答案：32、若a , b , c 都是大于1的自然数，且a c= 252b , 求a 的最小值？答案：42.a 的值？b 解析：252b 可以分成某数幂的形式。
252b=6×6×7b ，×即b=7，即 a=6×7=42.3、下面是按一定规律排列的一组数：1 ⎛-1 ⎫第一个数： - 1+⎪2 ⎝ 2 ⎭1 ⎛－1 ⎫⎛(-1)2 ⎫⎛(-1)3 ⎫第二个数： - 1+⎪ 1+⎪1+⎪3 ⎝ 2 ⎪⎪⎭⎝⎭1 ⎛-1 ⎫⎛(-1)2 ⎫⎛(-1)3 ⎫⎛(-1)4 ⎫⎛(-1)5 ⎫第三个数： - 1+ 1+1+1+4 ⎝ 2 ⎪⎪⎭⎝⎭⎝⎪⎪⎭⎝⎭……第 n 个数：1⎛-1 ⎫⎛(-1)2 ⎫⎛(-1)3⎫⎛(-1)2n -1 ⎫- 1+⎪ 1+⎪1+⎪…… 1+⎪n +1 ⎝ 2 ⎭ ⎪⎪ ⎭⎝⎭⎝2n ⎪；那么在第 10 个数，第 11 个数，第 12个数中，最大数是？答案：第 10 个。
解析：第n 个数是1- n 2(n +1), 把n = 10, n = 11, n = 12, n = 13分别代入得出答案。
4、已知： 20n 是整数，求满足条件的 最小整正数n 的值？答案：5解析：20n=4×5×n ，因为20n 是整数，∴ 20n 是一个完全平方数，∴ n 的最小值为54、当（m+n ）²+1 取最小值时，求m 2 - n 2 + 2 m - 2 n 的值？答案：0解析：（m+n ）²+1 取最小值，m+n=0 时最小。
再用特值法求出答案。
5、设a = 350 , b = 440 , c = 530 , 求a , b , c 中最大和最小的是？答案：最大是b ，最小时c 。
2020初中数学中考专题复习——四边形中的线段最值问题专项训练2(附答案详解)
解：∵在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，
∴AB2+AC2=BC2，
即∠BAC=90°．
又PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，
∴四边形AEPF是矩形，
∴EF=AP．
∵M是EF的中点，
∴AM= EF= AP,
因为AP的最小值即为直角三角形ABC斜边上的高
AP= ,
∴AM的最小值是 ．
故选C．
②根据对称性：连接ED交BC于点P，此时AP+EP＝AD，最小，再过点D作DF垂直AC的延长线于点F，根据勾股定理即可求解．
【详解】
如图所示：
（1）∵BD∥CE，CD∥BE，
∴四边形BDCE是平行四边形，
∵CE⊥AB，
∴∠BEC＝90°，
∴四边形BECD是矩形；
（2）①当BE的长为 时，四边形BECD是菱形．理由如下：
6．C
【解析】
【分析】
根据勾股定理的逆定理可以证明∠BAC=90°，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，则AM= EF，要求AM的最小值，即求EF的最小值；根据三个角都是直角的四边形是矩形得四边形AEPF是矩形，根据矩形的对角线相等，得EF=AP，则EF的最小值即为AP的最小值，根据垂线段最短知：AP的最小值即等于直角三角形ABC斜边上的高．
【详解】
设 与AC交于点O，作 ⊥ 于 ，如图所示：
在Rt△ABC中，∠BAC=90 ，∠ACB=45 ，
∴ ，
∵四边形PAQC是平行四边形，
∴ ，
∵ ⊥ ，∠ACB=45 ，
∴ ，
当 与 重合时，OP的值最小，则PQ的值最小，
∴PQ的最小值
故选：A．
【点睛】
本题考查了勾股定理的运用、平行四边形的性质以及垂线段最短的性质，利用垂线段最短求线段的最小值是解题的关键．
2020年中考数学系列复习之最大值最小值专项训练题(附答案详解)
2020 年中考数学系列复习之最大值最小值专项训练题（附答案详解）1．已知二次函数y ax2 bx c同时满足下列条件：对称轴是x 1；最值是15；二次函数的图象与x轴有两个交点，其横坐标的平方和为15 a，则b 的值是（）A．4或30 B．30 C．4 D．6或20 2．如图， AB 为⊙O的直径，AB 4，点 C为半圆 AB 上动点，以 BC为边在⊙O 外作正方形 BCDE ，（点 D在直线 AB 的上方）连接 OD，当点 C运动时，则线段 OD 的长（）A ．随点 C 的运动而变化，最大值为2 2 2B ．不变C．随点 C 的运动而变化，最小值为2 2 D．随点 C 的运动而变化，但无最值3．如图， AB 是⊙O的直径， C为圆上一点，且∠AOC＝120°，⊙O的半径为2，P为ACB DCE 90o，连接BE ，AD ，两条线段所在的直线交于点（1）线段BE与AD 有何数量关系和位置关系，请说明理由.（ 2）若已知BC 12，DC 5，DEC绕点C顺时针旋转，① 如图 2 ，当点D 恰好落在BC 的延长线上时，求AP 的长；②在旋转一周的过程中，设PAB的面积为S，求S的最值 .125．如图，抛物线y x2 x 4 与 y 轴交于点 C，与 x 轴交于点 A 和点B．若2N 点是 AC 所在直线下方该抛物线上的一个动点，过点 N 作 MN 平行于y 轴，交AC 于点 M ．（1）求直线 AC 的解析式；（ 2）当点 N 运动至抛物线的顶点时，求此时 MN 的长；（ 3）设点 N 的横坐标为 t， MN 的长度为 l；① 求 l 与 t 之间的函数关系式，并写出 t 的取值范围；② l 是否存在最值，有如有写出最值；（4）点 D 是点 B 关于y 轴的对称点．抛物线上是否有点 N，使△ODM 是等腰三角形？若存在，请求出此时△CAN 的面积；若不存在，请说明理由．6．阅读下面文字 :求代数式x2 4x 7 的最值，我们可以这样做：2 222x24x 7 x24x 4 3 x 2 3,因为x 2 ≥0，所以当 x=2 时，该代数式有最小值，最小值为 3.仿照以上方法，求（ 1）a2 8a 3 的最值 .（ 2）y2 2y 2的最值 .127．用配方法求二次函数y x23x 2 的最值 .28．已知二次函数y x2 bx c的图像经过点（4,3）和点（2, 1），求该函数的表达式，并求出当0剟x 3时，y的最值 .9．设函数y kx -3 x 1 （其中 k 为常数）（ 1）当 k=-2 时，函数 y 存在最值吗？若存在，请求出这个最值；（ 2）在 x> 0 时，要使函数 y 的的值随 x 的增大而减小，求 k 应满足的条件；（ 3）若函数 y 的图象与 x 轴交于 A 、B 两点，与 y 轴交于点 C，求能使△ ABC 为等腰三角形的 k 的值 .（分母保留根号，不必化简）10．已知抛物线y=ax2 bx c （a ≠0）与x轴交于 A?B两点,与y轴交于 C点,其对称轴为x=1,且 A（-1,0）?C（0,2）.（ 1）直接写出该抛物线的解析式 ;（ 2）P是对称轴上一点 ,△PAC 的周长存在最大值还是最小值 ?请求出取得最值（最大值或最小值）时点 P 的坐标 ;（ 3）设对称轴与x 轴交于点 H,点 D 为线段 CH 上的一动点（不与点 C?H 重合） .点 P 是（2）中所求的点 .过点 D作DE∥PC交x轴于点 E.连接 PD?PE.若CD的长为m ,△PDE 的面积为 S,求 S与m之间的函数关系式 ,试说明 S是否存在最值 ,若存在 ,请求出最值 ,并（1）如图 1：四边形 ABCD 是矩形，试在 AD 边上找一点 P，使△ BCP 为等腰三角形；（2）如图 2：矩形 ABCD 中， AB=13 ，AD=12 ，点 E在 AB 边上， BE=3,点P 是矩形 ABCD 内或边上一点，且 PE=5，点 Q 是 CD 边上一点，求 PQ 得最值；问题解决：（3）如图 3，四边形 ABCD 中,AD∥BC，∠C=90°，AD=3，BC=6，DC=4,点E在AB 边上， BE=2 ，点 P 是四边形 ABCD 内或边上一点，且 PE=2，求四边形PADC 面积的最值．12．已知：在四边形 ABCD 中， AD∥BC ， AB CD 5， AD 6，BC12． （ 1 ）求四边形 ABCD 的面积．（ 2 ）点 P 是线段 AD 上的动点，连接 BP 、 CP ，求 VBCP 周长的最小值及此时 AP 的长．（ 3）点 P 是线段 AD 上的动点， N 、M 为边 BC 上的点， BM CN 5，连接 AN 、 DM ，分别交 BP 、CP 于点 E 、F ，记VADG 和△BPC 重叠部分的面积为 S ，求 S 的最值．13．如图，直线 y ＝2x ﹣8分别交 x 轴、y 轴于点 A 、点 B ，抛物线 y ＝ ax 2+bx （a ≠0）（ 2）点 P 是第四象限内抛物线上的点， 连结 OP 、AP 、BP ，设点 P 的横坐标为 t ，△ OAP 的面积为 s 1，△ OBP 的面积为 s 2，记 s ＝ s 1+s 2，试求 s 的最值．14 ．如图，长方形 OABC 的 OA 边在 x 轴的正半轴上， OC 在 y 轴的正半轴上，抛物线2y=ax 2+bx 经过点 B （1， 4）和点 E （ 3， 0）两点．AB 上．1）求抛物线的解析式；（2）若点 D 在线段 OC 上，且 BD ⊥DE ，BD=DE ，求 D 点的坐标；（ 3）在条件（ 2）下，在抛物线的对称轴上找一点 M ，使得 △BDM 的周长为最小，并求 △ BDM 周长的最小值及此时点 M 的坐标；（ 4）在条件（2）下，从 B 点到 E 点这段抛物线的图象上， 是否存在一个点 P ，使得 △PAD 的面积最大？若存在，请求出 △ PAD 面积的最大值及此时 P 点的坐标；若不存在，请15．如图，抛物线 y= ﹣ x 2+bx+c 与 x 轴相交于 A 、 B 两点，与 y 轴相交于点 C ，且点 B 点 P 为线段 MB 上一个动点， 过点 P 作PD ⊥x 轴于点 D ．若OD=m ，△PCD 的C （0， 3），点 M 是抛物线的顶点．积为S ，试判断 S 有最大值或最小值？并说明理由； 2）在 MB 上是否存在点 P，使△ PCD 为直角三角形？如果存在，请直接写出3）点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．16．问题提出（1）如图①，在△ABC 中，∠A＝120°，AB＝AC＝5，则△ABC 的外接圆半径 R 的值为问题探究（2）如图②，⊙O的半径为 13，弦 AB＝24，M是AB 的中点， P是⊙O 上一动点，求PM 的最大值．问题解决（3）如图③所示，AB 、AC 、BC 是某新区的三条规划路其中， AB＝6km，AC＝3km，∠BAC＝ 60°，BC 所对的圆心角为 60°．新区管委会想在 BC 路边建物资总站点 P ，在 AB 、AC 路边分别建物资分站点 E 、F ．也就是，分别在 B ?C 、线段 AB 和 AC 上选取点 P 、E 、F ．由于总站工作人员每天要将物资在各物资站点间按 P →E →F → P 的路径进行运输，因此，要在各物资站点之间规划道路PE 、EF 和 FP ．为了快捷环保和节约成本要使得线段 PE 、 PE ＋EF ＋ FP 的最小值 （各物资站点与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计 ）．17．如图 1，抛物线 y ＝ax 2+（a+2）x+2（a ≠0）与 x 轴交于点 A （4，0）和点C ，与 y 轴交于点 B ．1）求抛物线解析式和点 B 坐标；2）在 x 轴上有一动点 P （ m ，0）过点 P 作 x 轴的垂线交直线 AB 于点 N ，交抛物线 与点 M ，当点 M 位于第一象限图象上，连接 AM ，BM ，求△ ABM 面积的最大值及此时M 点的坐标；（ 3）如图 2，点 B 关于 x 轴的对称点为 D ，连接 AD ，BC ．① 填空：点 P 是线段 AC 上一点（不与点 A 、C 重合），点 Q 是线段 AB 上一点（不与点A 、B 重合），则两条线段之和 PQ+BP 的最小值为 ；②填空：将△ABC 绕点 A 逆时针旋转 a （ 0°< α< 180°），当点 C 的对应点 C ′落在 △ABDEF 、 FP 之和最短，试求图①图 ②图③ 的边所在直线上时，则此时点 B 的对应点 B ′的坐标为ax 1 x 3 （ a 为常数，且 a 3B （点 A 位于点 B 的左侧），与 y 轴交于点C 0, 3 ，点 P 是线段 BC 上一个动点，点 P 横坐标为 m . 0 ）与 x 轴交于点 A 、18 ．如图，已知抛物线 y（ 1）求出抛物线的解析式；（ 2）判断 ABC 的形状，并求出 ABC 的面积；（3）如图 1，过点 P 作y 轴的平行线， 交抛物线于点 D ，过点 D 作DE BC 于点 E ， 设 PDE 的面积为 S ，求 S 的最大值；4）如图 2， F 为AB 中点，连接 FP ，一动点 Q 从F 出发，沿线段 FP 以每秒 1个单位的速度运动到 P ，再沿线段 PC 以每秒 2个单位的速度运动到 C 后停止.若点 Q 在 t 秒，请直接写出 t 的最小值及此时点 P 的坐标 .D 、E 、F 分别在 △ ABC 的三条边上，我们称等边三角形DEF 是 △ ABC 的内接正三角形．（概念辨析）（ 1）下列图中 △DEF 均为等边三角形，则满足 是 操作验证）2）如图①．在△ABC 中， ∠ B ＝ 60°，整个运动过程中的时间为 19．（数学概念）若等边三角形的三个顶△ DEF 是△ ABC 的内接正三角形的D 为边 AB 上一定点（ BC>BD ）， DE ＝DB ，EM 平分∠DEC，交边 AC于点 M，△DME 的外接圆与边 BC的另一个交点为 N．求证：△DMN 是△ ABC 的内接正三角形．（知识应用）（3）如图②．在△ABC中，∠B＝60°，∠A＝45°，BC＝2，D 是边 AB上的动点，若边 BC 上存在一点 E，使得以 DE 为边的等边三角形 DEF 是△ ABC 的内接正三角形．设△ DEF 的外接圆⊙O 与边 BC 的另一个交点为 K ，则 DK 的最大值为，最小值为．20．如图 1，四边形 ABCD 是正方形，点E是AB 边的中点，以AE 为边作正方形AEFG，① 线段 DE、BG 之间的数量关系是；② 直线 DE、BG 之间的位置关系是．（2）探究如图 2，将正方形 AEFG 绕点 A 逆时针旋转，（ 1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（ 3）应用如图 3，将正方形 AEFG 绕点 A 逆时针旋转一周，记直线 DE 与 BG 的交点为 P，若 AB=4 ，请直接写出点 P到CD 所在直线距离的最大值和最小值．21．以平面上一点 O 为直角顶点，分别画出两个直角三角形，记作△AOB 和△COD ，其中∠ ABO= ∠DCO=3°0 ．（1）点 E、F、M 分别是 AC、CD、DB 的中点，连接 EF 和 FM．①如图 1，当点 D、C分别在 AO、BO 的延长线上时，EF= ____ ；FM图1②如图 2，将图 1 中的△AOB 绕点 O 沿顺时针方向旋转角（ 0o60o），其他条件不变，判断EF的值是否发生变化，并对你的结论进行证明；FM图2（ 2）如图 3，若 BO= 3 3 ，点 N 在线段 OD 上，且 NO=3 ．点 P 是线段 AB 上的一个动点，在将△ AOB 绕点 O 旋转的过程中，线段 PN 长度的最小值为____________________________________________________________ ，最大值为22．如图 1，直线 l ： y=x+ 3与 x 轴负半轴、 y 轴正半轴分别相交于 A 、C 两点，抛物（ 2）已知点 Q 是抛物线 y= ﹣ x 2+bx+c 在第二象限内的一个动点． 3①如图 1，连接 AQ 、CQ ，设点 Q 的横坐标为 t ，△AQC 的面积为 S ，求 S 与 t 的函数 关系式，并求出 S 的最大值；② 连接 BQ 交 AC 于点 D ，连接 BC ，以 BD 为直径作 ⊙I ，分别交 BC 、AB 于点 E 、F ， 连接 EF ，求线段 EF 的最小值，并直接写出此时点 Q 的坐标．23．如图，直线 l ：y=x ﹣ 3 与 x 轴正半轴、 y 轴负半轴分别相交于 A 、C 两点，抛物 x 2+bx+c 经过点 B （﹣ 1， 0）和点 C ．1）填空：直接写出抛物线的解析式：①如图，连接 AQ 、CQ ，设点 Q 的横坐标为 t ，△AQC 的面积为 S ，求 S 与 t的2）已知点 Q 是抛物线 y= x 2+bx+c 在第四象限内的一个动点．A图33线 y=﹣ x 2+bx+c 经过点 B （ 1，0）和点线y=函数关系式，并求出 S 的最大值；②连接 BQ交 AC 于点 D，连接 BC，以 BD 为直径作⊙I，分别交 BC、AB 于点E、F，连接 EF，求线段 EF 的最小值，并直接写出此时 Q 点的坐标．24．我市某蔬菜种植农户购买白菜苗和西红柿苗共1000株，其中白菜苗每株 3 元，西红柿苗每株 5 元．已知该农户打算用不少于 3600 元但不多于 3800 元的资金购买两种蔬菜．（ 1）求该农户可以购买白菜苗株数的最大值和最小值；（ 2）该农户按（ 1）中购买白菜苗株数的最小值的方案购买两种蔬菜苗，经过农户的精心培育，两种蔬菜苗全成活．根据以往的数据分析，平均一株白菜苗可长成 2千克白菜，平均一株西红柿苗可结 3 千克西红柿．农户计划采用直接销售和生态采摘销售两种方式进行销售，其中直接销售白菜的售价为每千克 4 元，直接销售西红柿的售价为每千克 5 元；生态采摘销售时两种蔬菜的售价一样，都比直接销售白菜的售价高a% ，但生态采摘过程中会有10% 的损耗．当白菜和西红柿各直接销售一半后、剩下的全部采用生态采摘销售时，该农户可获得 8080 元的利润．求a 的值．25．如图，抛物线 y=ax 2﹣ 5ax﹣4 交 x 轴于 A ，B 两点（点 A 位于点 B 的左侧），交 y 轴于点 C，过点 C作CD∥AB ，交抛物线于点 D，连接 AC 、AD ，AD 交y 轴于点 E，且 AC=CD ，过点 A 作射线 AF 交 y 轴于点 F，AB 平分∠ EAF．（ 1）此抛物线的对称轴是；（ 2）求该抛物线的解析式；（3）若点 P是抛物线位于第四象限图象上一动点，求△APF 面积 S△APF的最大值，以及此时点 P 的坐标；（ 4）点 M 是线段 AB 上一点（不与点 A ， B 重合），点 N 是线段 AD 上一点（不与点A ， D 重合），则两线段长度之和： MN+MD 的最小值是．26．操作探究：数学研究课上，老师带领大家探究《折纸中的数学问题》时，出示如图 1 所示的长方形纸条 ABCD ，其中 AD=BC=1 ，AB=CD=5 ．然后在纸条上任意画一条截线段 MN ，将纸片沿 MN 折叠，MB 与DN交于点 K ，得到△MNK ．如图 2所示：探究：（ 1）若∠1=70°，∠MKN= °；（ 2）改变折痕 MN 位置，△MNK 始终是三角形，请说明理由；应用：△ MNK 的面积时，发现 KN 边上的高始终是个不变的值．根△KMN 的面积最小值为，此时∠1 的大小可以为4）小明继续动手操作，发现了△ MNK 面积的最大值．请你求出这个最大值．27．阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题：如图1，在△ABC （其中∠ BAC 是一个可以变化的角）中，AB=2 ，AC=4 ，以 BC 为边在 BC 的下方作等边△PBC，求 AP 的最大值．小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合．他的方法是以点 B 为旋转中心将△ABP 逆时针旋转 60°得到△ A′BC，连接 A′A，当点 A落在A′C上时，此题可解（如图 2）．请你回答： AP 的最大值是3）爱动脑筋的小明在研究据这一发现，他很快研究出参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：如图 3，等腰 Rt △ABC ．边 AB=4 ，P 为△ABC 内部一点，则 AP+BP+CP 的最小值与 y 轴交于点 N ，其顶点为 D ．1）求抛物线及直线 AC 的函数关系式； （ 2）若 P 是抛物线上位于直线 AC 上方的一个动点，求 △ APC 的面积的最大值及此时 点 P 的坐标；（ 3）在对称轴上是否存在一点 M ，使 △ ANM 的周长最小．若存在，请求出 M 点的坐 标和 △ ANM 周长的最小值；若不存在，请说明理由．29．如图 1，已知抛物线 y=－x 2+bx+c 经过点 A （1，0），B （－ 3，0）两点，且与 y 轴 交于点 C ．1）求 b ， c 的值．（ 2）在第二象限的抛物线上，是否存在一点 P ，使得△PBC 的面积最大？求出点 P 的坐标及 △PBC 的面积最大值． 若不存在，请说明理由．（3）如图 2，点 E 为线段 BC 上一个动点（不与 B ，C 重合），经过 B 、E 、O 三点的圆 与过点 B 且垂直于 BC 的直线交于点 F ，当△OEF 面积取得最小值时，求点 E 坐标．．（结果可以不化简）y ＝﹣ x 2+bx+c 与一直线相交于 A （1，0）、C （﹣ 2， 3）两点，是30．在锐角△ABC 中， AB=4 ，BC=5 ，∠ACB=45°，将△ ABC 绕点 B 按逆时针方向旋 转，得到 △DBE ．（ 1）当旋转成如图 ①，点 E 在线段 CA 的延长线上时，则 ∠CED 的度数是度； （ 2）当旋转成如图 ②，连接 AD 、CE ，若△ABD 的面积为 4，求△CBE 的面积；（3）点 M 为线段 AB 的中点，点 P 是线段 AC 上一动点，在 △ABC 绕点 B 按逆时针方向旋转过程中，点 P 的对应点 P ′，连接 MP ′，如图 ③，直接写出线段 MP ′长度的最大AM 为半径的圆交 y 轴于点 B ，连结 BM 并延长交 ⊙M 于点 C ，动点 P 在线段 BC 上运 动，长为 5的线段 PQ ∥x 轴（点 Q 在点 P 右侧），连结 AQ ．3（ 1）求 ⊙ M 的半径长和点 B 的坐标； （2）如图 2，连结 AC ，交 线段 PQ 于点 N ，①求AC 所在直线的解析式；②当PN=QN 时，求点 Q 的坐标；（3）点 P 在线段 BC 上运动的过程中，请直接写出 AQ 的最小值和最大值．，－ 1），以 M （－ 1，0）为圆心，以ABCD ，顶点 B 的坐标为（ 13 ， 0），顶点 A 在x 轴上方，顶点 D 在⊙O 上运动．32．如图① ，△ ABC 和△BDF 均为等腰直角三角形， ∠ ACB ＝∠ BDF ＝90°，点 D 在 AB 上，以 CA ，CD 为邻边作平行四边形 CAED ，连接 EA ，EF ． （ 1）求证： EA ＝ EF 且 EA ⊥ EF ；（ 2）将图①中△BDF 绕点 B 顺时针旋转，其它条件不变， （1）的结论是否成立？请结 合图 ② 说明理由．3）若 BC ＝3，BD ＝ 2 ，将图①中△ BDF 绕点 B 顺时针旋转 180°，直接写出 AF 的1，以 O 为原点，建立如图所示的直角坐标系．有个正方形 最大值和最小33．已知 ⊙ O 的半（1）当点D运动到与点A 、O在一条直线上时，CD 与⊙ O相切吗？如果相切，请说明理由，并求出 OD 所在直线对应的函数表达式；如果不相切，也请说明理由；（2）设点D的横坐标为x，正方形ABCD的面积为S，求出S与x的函数关系式，并求出S 的最大值和最小值．34．（1）如图 1，等边三角形 ABC 的边长为 4，两顶点 B、C分别在 y 轴的正半轴和 x 轴的正半轴上运动，显然，当 OA⊥BC 于点 D时，顶点 A 到原点 O的距离最大，试求出此时线段 OA 的长．（2）如图 2，在 Rt△ACB 中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，两顶点 B、C分别在 x 轴的正半制和 y 轴的正半轴上运动，求出顶点 A 到原点 O 的最大距离．（ 3）如图 3，正六边形 ABCDEF 的边长为 4，顶点 B、 C 分别在 x 轴正半轴和y 轴正35．已知，△AOB 中， AB=BC=2, ∠ABC=90°，点 O是线段 AC 的中点，连接OB，将△AOB 绕点 A逆时针旋转α度得到△ANM ，连接 CM ，点P是线段 CM 的中点，连接PN、PB．（ 1）如图 1，当α =180°时，直接写出线段 PN 和 PB 之间的位置关系和数量关系；（ 2）如图 2，当α =90°时，探究线段 PN 和 PB 之间的位置关系和数量关系，并给出完整的证明过程；（ 3）如图 3，直接写出当△ AOB 在绕点 A 逆时针旋转的过程中，线段 PN 的最大值和最小值．36．如图，⊙ O的半径为 1，等腰直角三角形 ABC的顶点 B固定且坐标为（，0），顶点 A 在⊙O 上运动，始终保持 CAB=90°， AC=AB（ 1）当点 A 在 x 轴上时，求点 C 的坐标；（2）当点 A运动到 x轴的负半轴上时，试判断直线 BC与⊙O 位置关系，并说明理由；（3）设点 A的横坐标为 x，△ABC的面积为 S，求 S与x之间的函数关系式，并求出 S 的最大值与最小值；（ 4）当直线 AB与⊙O相切时，求 AB 所在直线对应的函数关系式．37．如图①，C为线段 BE上的一点，分别以 BC和 CE为边在 BE的同侧作正方形ABCD和正方形 CEFG ，M 、N 分别是线段 AF 和 GD 的中点，连接 MN（1）线段 MN 和GD 的数量关系是，位置关系是；（ 2）将图①中的正方形 CEFG 绕点 C 逆时针旋转 90°，其他条件不变，如图②，（ 1）的结论是否成立？说明理由；（3）已知 BC=7 ， CE=3，将图①中的正方形 CEFG 绕点 C 旋转一周，其他条件不变，直接写出 MN 的最大值和最小值．38．已知抛物线y x2 bx c的图象经过点A 1,0 、B 3,0 ，顶点为E，与y 轴交于点C ．1 求抛物线的解析式和顶点E 的坐标；2 如图1，P 为线段BC 上一点，过点P 作y 轴平行线，交抛物线于点D ，当VBDC 的面积最大时，求点P 的坐标；3 如图2，若点Q是直线BC上的动点，点Q、C、E所构成的三角形与VAOC相似，请直接写出所有点Q 的坐标；4 如图3 ，过E 作EF x 轴于F 点，M m,0 是x 轴上一动点，N 是线段EF 上39．如图 1，在正方形 ABCD 中，点 O是对角线 BD 的中点．1中的△ BCD 绕点 O 逆时针旋转至图 2 中△ ECF 的位置，连接AC ，DE ，则线段 AC 与DE 的数量关系是 ，直线 AC 与DE 的位置关系是（ 2）类比探究：将图 2中的△ECF 绕点 O 逆时针旋转至图 3的位置，（1）中的结论是 否成立？并说明理由．（ 3）拓展延伸：将图 2中的△ECF 在平面内旋转，设直线 AC 与 DE 的交点为 M ，若 AB ＝ 4，请直接写出 BM 的最大值与最小值．40．如图， △ABC 为等边三角形， D 、E 分别是边 AB 、BC 所在直线上的两个动点，且 满足 AD=BE ，连接 AE 、CD ，直线 AE 、 CD 交于点 P 。
2020重庆中考复习数学最值专题训练四(含答案解析)
2020年重庆中考数学最值专题训练四（含答案）1、如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝5，点E 是边AD 上一动点，将△ABE 沿直线BE 翻折，得到△FBE ，连接CF 并延长交线段AD 于点G ，则AG 的最大值为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．12、（2019春•鄞州区期末）如图，矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝4，点E 是矩形ABCD 的边AD 上的一动点，以CE 为边，在CE 的右侧构造正方形CEFG ，连结AF ，则AF的最小值为．3、如图，在矩形ABCD 中，点E 是AD 边上一点，以CE 为边作正方形ECGF ，连结AF ，若AE ＝4cm ，AD ＝6cm ，AB ＝3cm ．则AF 的长度是 cm ．4、（2019春•梁溪区期末）如图，正方形ABCD 中，AB ＝4，点E 为边AD 上一动点，连接CE ，以CE 为边，作正方形CEFG （点D 、F 在CE 所在直线的同侧），H 为CD 中点，连接FH ．点E 在运动过程中，HF 的最小值为 ．C DGE H5、如图，矩形ABCD中，已知AB＝6，BC＝8，点E是边AD上一点，以CE为直角边在与点D的同侧作等腰直角△CEG，连结BG，当点E在边AD上运动时，线段BG长度的最小值是（）A．2B．10C．10D．146、（2017•龙华区二模）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形OABC的顶点A在x轴上，OA＝4，OC＝3，点D为BC边上一点，以AD为一边在与点B的同侧作正方形ADEF，连接OE．当点D在边BC上运动时，OE的长度的最小值是．7、如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点E、F分别是边BC和对角线BD上的动点，且BE＝DF，则AE+AF的最小值是．2020年重庆中考数学最值专题训练四（含答案）1、如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，点E是边AD上一动点，将△ABE沿直线BE翻折，得到△FBE，连接CF并延长交线段AD于点G，则AG的最大值为（）A．4B．3C．2D．1解：如图：∵CF是⊙B切线，∴BF⊥CG，∵折叠，∴∠BAD＝∠EFB＝90°即BF⊥EF；根据过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，∴CG与CE重合即E，G重合；∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝4，BC＝AD＝5，AD∥BC；∵折叠，∴∠AEB＝∠BEF；∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠CBE，∴∠CBE＝∠BEF，∴BC＝GC＝5；在Rt△GCD中，DG＝＝3，∴AG的最大值为AD﹣DG＝2．故选：C．2、（2019春•鄞州区期末）如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，点E是矩形ABCD的边AD上的一动点，以CE为边，在CE的右侧构造正方形CEFG，连结AF，则AF的最小值为3．解：过F作FH⊥ED，∵正方形CEFG，∴EF＝EC，∠FEC＝∠FED+∠DEC＝90°，∵FH⊥ED，∴∠FED+∠EFH＝90°，∴∠DEC＝∠EFH，且EF＝EC，∠FHE＝∠EDC＝90°，∴△EFH≌△EDC（AAS），∴EH＝DC＝2，FH＝ED，∴AF＝＝＝∴当AE＝1时，AF的最小值为33、如图，在矩形ABCD 中，点E 是AD 边上一点，以CE 为边作正方形ECGF ，连结AF ，若AE ＝4cm ，AD ＝6cm ，AB ＝3cm ．则AF的长度是 cm ．解：如图，作FM ⊥AD 于M ，∵四边形EFGC 是正方形，∴EF ＝EC ，∠FEC ＝∠M ＝90°，∴∠FEM +∠EFM ＝90°，∠FEM +∠CED ＝90°，∴∠EFM ＝∠CED ，在△ECD 和△FEM 中，，∴△ECD ≌△FEM ，∴FM ＝ED ，CD ＝EM ，∵AB ＝CD ＝EM ＝3，AE ＝4．AD ＝6，∴ED ＝FM ＝2，在Rt △AFM 中，AF ＝＝＝．4、（2019春•梁溪区期末）如图，正方形ABCD 中，AB ＝4，点E 为边AD 上一动点，连接CE ，以CE 为边，作正方形CEFG （点D 、F 在CE 所在直线的同侧），H 为CD 中点，连接FH ．点E 在运动过程中，HF 的最小值为 ．A B CDGE H图1 解：如图，连接DF ，过点F 作FM ⊥AD ，交AD 延长线于点M ，过点F 作FN ⊥CD 的延长线于点N ， ∵△EFM ≌△CED ，∴CD ＝EM ，DE ＝FM ，∴CD ＝AD ＝EM ，∴AE ＝DM ，设AE ＝x ＝DM ，则DE ＝4﹣x ＝FM ，∵FN ⊥CD ，FM ⊥AD ，ND ⊥AD ，∴四边形FNDM 是矩形，∴FN ＝DM ＝x ，FM ＝DN ＝4﹣x∴NH ＝4﹣x +2＝6﹣x ，在Rt △NFH 中，HF ＝＝＝ ∴当x ＝3时，HF 有最小值＝＝35、（2017秋•上虞区期末）如图，矩形ABCD中，已知AB＝6，BC＝8，点E是边AD上一点，以CE为直角边在与点D的同侧作等腰直角△CEG，连结BG，当点E在边AD上运动时，线段BG长度的最小值是（）A．2B．10C．10D．14解：如图作GH⊥BA交BA的延长线于H，EM⊥HG于M，交BC于N．则MN⊥BC．设AE＝m．∵∠EMG＝∠ENC＝∠CEG＝90°，∴∠MEG+∠CEN＝90°，∠CEN+∠ECN＝90°，∴∠MEG＝∠ECN，∵EG＝EC，∴△MEG≌△NCE（AAS），∴EM＝CN＝AH＝8﹣m，MG＝EN＝6，在Rt△BHG中，BG＝＝＝，∴m＝4时，BG有最大值，最大值为10，故选：B．6、（2017•龙华区二模）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形OABC的顶点A在x轴上，OA＝4，OC＝3，点D为BC边上一点，以AD为一边在与点B的同侧作正方形ADEF，连接OE．当点D在边BC上运动时，OE的长度的最小值是5．解：如图所示：过点D作DG⊥OA，过点E作HE⊥DG．∵DG⊥OA，HE⊥DG，∴∠EHD＝∠DGA＝90°．∴∠GDA+∠DAG＝90°．∵四边形ADEF为正方形，∴DE＝AD，∠HDE+∠GDA＝90°．∴∠HDE＝∠GAD．在△HED和△GDA中，∴△HED≌△GDA．∴HE＝DG＝3，HD＝AG．设D（a，3），则DC＝a，DH＝AG＝4﹣a．∴E（a+3，7﹣a）．∴OE＝＝．当a＝2时，OE有最小值，最小值为5．7、如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点E、F分别是边BC和对角线BD上的动点，且BE＝DF，则AE+AF的最小值是．解：如图，作点D关于BC的对称点G，连接BG，在BG上截取BH，使得BH＝AD，连接AH．作HM ⊥AB交AB的延长线于M．∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝3，BC＝AD＝4，AD∥BC，∴∠ADF＝∠DBC，∵DC＝CG，BC⊥DG，∴BD＝BG，∴∠DBC＝∠CBG，∴∠ADF＝∠HBE，∵DA＝BH，DF＝BE，∴△ADF≌△HBE（SAS），∴AF＝EH，∴AE+AF＝AE+EH≥AH，在Rt△BCD中，BD＝＝5，由△BHM∽△DBC，可得＝＝，∴＝＝，∴BM＝，MH＝，∴AM＝3+＝，在Rt△AMH中，AH＝＝，∴AE+AF≥，∴AE+AF的最小值为．。