第5讲函数的单调性与最值课件-高考理科数学一轮复习
减函数,所以最大值为 f(2)=1,最小
值为 f(5)=12.所以最大值与最小值 之和为 1+12=32.
课前双基巩固
4.函数 f(x)=|x-a|+1 在[2,+∞)上是增函数,则实数 a 的取值范
围是
.
[答案] a≤2 [解析] 因为函数 f(x)=|x-a|+1 的
单调递增区间是[a,+∞),当 f(x)在
课前双基巩固
2.单调性定义的等价形式:设 x1,x2∈[a,b],x1≠x2.
(1)若有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0
或������
(������ 1 )-������ (������ 2 ������ 1 -������ 2
)>0,则
f(x)在闭区间[a,b]上是增函数;
(2)若有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0
数的定义域为(-1,3).
由二次函数的性质可知,t=-(x-1)2+4,x∈(-1,3)
的单调递增区间为(-1,1],
故函数 y=ln(-x2+2x+3)的单调递增区间是 (-1,1].
������2,������ > 1, (2)由题意知 g(x)= 0,������ = 1, 该
-������2,������ < 1,
解:该函数在(-2,+∞)上单调递增.证明如下:
任取 x1,x2∈(-2,+∞),不妨设 x1<x2,则 x2-x1>0,x1+2>0,x2+2>0, 又 a>1,
所以������������2 >������������1 ,即有������������2 -������������1 >0,
所以
增区间是
;单调递减区间是
.
[答案] (2,3] [-3,2] [解析] 由函数 f(x)=(x-2)2+5(x∈ [-3,3])的图像(图略)即可得到单调 区间.
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3.[教材改编] 函数 f(x)=������3+1(x∈[2,5])的最大值与最小值之
和等于
.
[答案]
3 2
[解析] 函数 f(x)=������3+1在[2,5][解析] 函数 f(x)的定义域是
(-1,4),u(x)=-x2+3x+4=-
������- 3
2
2+25,x∈
4
(-1,4)的单调递减区间为
3 2
,4
,∴函数
f(x)的单调递减区间为
3 2
,4
.
课前双基巩固
(������-2)������,������ ≥ 2,
6.已知函数 f(x)=
则下列结论一定正确的是 ( ) A.y=[f(x)]2 在 R 上为增函数
B.y=|f(x)|在 R 上为增函数 C.y=2-f(x)在 R 上为减函数 D.y=-[f(x)]3 在 R 上为增函数
(2)A 错,比如 f(x)=x 在 R 上为增函数,但 y=[f(x)]2 在 R 上不具有单调性; B 错,比如 f(x)=x 在 R 上为增函数,但 y=|f(x)|=|x|在(0,+∞)上为增函数,在(-∞,0) 上为减函数; C 对,f(x)在 R 上为增函数,所以-f(x)在 R 上 单调递减,所以 y=2-f(x)在 R 上为减函数; D 错,比如 f(x)=x 在 R 上为增函数,但 y=-[f(x)]3=-x3 在 R 上为减函数. 故选 C.
指出函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性).
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变式题 (1)下列函数中,在(0,+∞)上单调递增的函 [答案] (1)D (2)C
数是 ( ) A.y=-x2+1 B.y=|x-1| C.y=1-������1-1 D.y=ln x+x (2)[2018·茂名二联] 设函数 f(x)在 R 上为增函数,
+2)
=(������������2 -������������1 )+(������15+(���2���2)(-������������21+) 2)>0,
故函数 f(x)在(-2,+∞)上单调递增.
课堂考点探究
[总结反思] (1)定义法证明函数单调性的一般步骤:①任取 x1,x2∈D,且 x1<x2;②作差 f(x1)-f(x2);③变形(通常是因式分解和配方);④定号(即判断 f(x1)-f(x2)的正负);⑤下结论(即
[2,+∞)上单调递增时,满足
[2,+∞)⊆[a,+∞),所以 a≤2.
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题组二 常错题
◆索引:求单调区间忘记定义域导致出错;对于分段函数,一般不能整体单调,只能分
段单调;利用单调性解不等式忘记在单调区间内求解;混淆“单调区间”与“在区
间上单调”两个概念.
5.函数 f(x)=ln(4+3x-x2)的单调递减区间是
函数图像如图所示,其单调递减
区间是[0,1).
课堂考点探究
[总结反思] (1)求函数单调区间的常见方法:①定义法;②图像法;③导数法. (2)求复合函数单调区间的一般步骤为:①确定函数的定义域;②求简单函数的单调区 间;③求复合函数的单调区间,其依据是“同增异减”. (3)单调区间只能用区间表示,不能用集合或不等式表示,有多个单调区间应分开写,不能 用并集符号“∪”连接.
定义
自变量的值 x1,x2
当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2) ,那么 当 x1<x2 时,都有 f(x1)>f(x2) ,那么就
就说函数 f(x)在区间 D 上是增函数 说函数 f(x)在区间 D 上是减函数
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图像
描述
自左向右看图像是 上升的
自左向右看图像是 下降的
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实数 a 的取值范围是
.
(2)若函数 f(x)=x2+2(a-1)x+2 的单调递减区间为(-∞,4],则 a
的值为
.
[答案] (1)a≤-3 (2) -3 [解析] (1)函数图像的对称轴为直 线 x=1-a,由 1-a≥4,得 a≤-3. (2)函数图像的对称轴为直线 x=1-a,由 1-a=4,得 a=-3.
2.单调区间的定义
增函数或减函 如果函数 y=f(x)在区间 D 上是 数
,那么就说函数 y=f(x)在这一区间具有
(严格的)单调性, 区间D 叫作函数 y=f(x)的单调区间.
3.函数的最值
前提
设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足
(1)对于任意 x∈I,都有 f(x)≤M; (1)对于任意 x∈I,都有 f(x)≥M;
课堂考点探究
探究点二 求函数的单调区间
例 2 (1)[2018·石嘴山一模] 函数 y=ln(-x2+2x+3)的单
调递增区间是 ( )
A.(-1,1] B.[1,3) C.(-∞,1] D.[1,+∞)
1,������ > 0, (2)设函数 f(x)= 0,������ = 0, g(x)=x2f(x-1),则函数 g(x)的
第5讲 UNIT 2
函数的单调性 与最值
课前双基巩固│课堂考点探究│教师备用例题
考试说明
1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义. 2.会运用基本初等函数图像分析函数的性质.
课前双基巩固
知识聚焦
1.单调函数的定义
增函数
减函数
一般地,设函数 f(x)的定义域为 I,如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个
或������
(������ 1 )-������ (������ 2 ������ 1 -������ 2
)<0,则
f(x)在闭区间[a,b]上是减函数.
3.函数最值的两条结论:
(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值,当函数在闭区间上单调时最值一定
在端点处取得.
(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值或最小值.
-1,������ < 0,
单调递减区间是
.
[思路点拨] (1)先令 t=-x2+2x+3>0 求得函数的定义域,再根据复合函 数的单调性的性质判定函数的单 调递增区间;(2)作出函数 g(x)的图 像,由图像可得单调递减区间.
课堂考点探究
例 2 (1)[2018·石嘴山一模] 函数 y=ln(-x2+2x+3)
课堂考点探究
探究点一 函数单调性的判断与证明
例 1 判断函数 f(x)=ax+������������+-32(a>1),x∈(-2,+∞)的单调 性,并用单调性的定义证明你的结论.
[思路点拨] 直接判断单调性 即可,再按照单调性的定义证 明单调性.
课堂考点探究
例 1 判断函数 f(x)=ax+������������+-32(a>1),x∈(-2,+∞)的 单调性,并用单调性的定义证明 你的结论.
1 2
������
-1,������
是定义在 R 上的 <2
减函数,则实数 a 的取值范围为
.
[答案]
-∞,
13 8
������-2 < 0, [解析] 由题知
(������-2) × 2 ≤
1 2
2
解得 -1,
a≤183,
即实数 a 的取值范围是
-∞,
13 8
.
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高考数学一轮复习 第5讲 函数的单调性与最值课件 文
__区__间__D__叫作 f(x)的单调区间．
(4)简单性质：奇函数在其关于原点对称区间上的单调性
__相_同_____ ， 偶 函 数 在 其 关 于 原 点 对 称 区 间 上 的 单 调 性
__相_反_____．
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第5讲 函数的单调性与最值
双
向
固 基
2．函数的最值
础
前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
上的任意两个自变量x1，x2
定义
当x1<x2时，都有
__f_(_x_1_)<_f_(_x_2_) _，那么就说函
数f(x)在区间D上是增函数
当x1<x2时，都有
__f_(_x_1_)>_f_(_x_2_) ________，
那么就说函数f(x)在区间D
上是减函数
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第5讲 函数的单调性与最值
双 向 固 基 础
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第5讲 函数的单调性与最值
双
向 固
4．基本初等函数的值域
基
(1)y＝kx＋b(k≠0)的值域为________．
础
(2)对于函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当 a>0 时，该函
数 的 值 域 为 ________ ； 当 a<0 时 ， 该 函 数 的 值 域 为
________． (3)y＝kx(k≠0)的值域是________． (4)y＝ax(a>0 且 a≠1)的值域是________．
[1，＋∞)不是该函数的单调递增区间．
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第5讲 函数的单调性与最值
双
向 固
3．求抽象函数单调性的方法
基 础
(1)已知函数y＝f(x)在R上是增函数，则函数y＝f(－x)在
函数的单调性与最值 课件-2025届高考数学一轮复习
解析：方法一（换元法）：令,且,则 ,所以原函数变为,，配方得.又因为 ,所以,故函数 的最小值为1.方法二（单调性法）：由题易得，即.因为函数 和在定义域内均为增函数，故函数 在上为增函数，所以 .
求函数最值（值域）的五种常用方法及注意点（1）图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.（2）单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.（3）换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值.（4）基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.（5）导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.
递增
递减
单调区间
（1）单调区间只能用区间表示，不能用不等式表示；（2）有多个单调区间应分开写，不能用“∪ ”连接，也不能用“或”连接，只能用“,”或“和”连接.
2.函数的最值
前提
一般地，设函数的定义域为,如果存在实数 满足
条件
,都有⑪__________; ,使得⑫___________
,都有⑬__________; ,使得⑭___________
√
2.已知函数的定义域为，且对任意两个不相等的实数， ，都有，则不等式 的解集为( )
A. B. C. D.
解析：选B.不妨设，因为 ，所以，故是 上的增函数，所以原不等式等价于，解得 .故选B.
√
例1（1） 求函数 的单调区间；
【解】由题得
画出函数 的图象如图所示，可知单调递增区间为和，单调递减区间为和 .
√
考点三 函数单调性的应用
比较函数值的大小的方法利用函数的单调性比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，则要利用函数的性质，将自变量的值转化到同一个单调区间上进行比较，或采用中间量法比较大小.
求函数最值（值域）的五种常用方法及注意点（1）图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.（2）单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.（3）换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值.（4）基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.（5）导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.
递增
递减
单调区间
（1）单调区间只能用区间表示，不能用不等式表示；（2）有多个单调区间应分开写，不能用“∪ ”连接，也不能用“或”连接，只能用“,”或“和”连接.
2.函数的最值
前提
一般地，设函数的定义域为,如果存在实数 满足
条件
,都有⑪__________; ,使得⑫___________
,都有⑬__________; ,使得⑭___________
√
2.已知函数的定义域为，且对任意两个不相等的实数， ，都有，则不等式 的解集为( )
A. B. C. D.
解析：选B.不妨设，因为 ，所以，故是 上的增函数，所以原不等式等价于，解得 .故选B.
√
例1（1） 求函数 的单调区间；
【解】由题得
画出函数 的图象如图所示，可知单调递增区间为和，单调递减区间为和 .
√
考点三 函数单调性的应用
比较函数值的大小的方法利用函数的单调性比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，则要利用函数的性质，将自变量的值转化到同一个单调区间上进行比较，或采用中间量法比较大小.
函数单调性与最值问题课件-2025届高三数学一轮复习
将自变量的值转化到同一个单调区间内进行比较，对于选择题、填空题通常选用数形结
合的方法进行求解.
方 法 规 律
利用函数的单调性求解不等式的方法
(1)依据：若 f(x)在定义域上(或某一区间上)是增(减)函数，x1，x2 是定义域上(或该区间上)任
意两个自变量的值，则 f(x1)<f(x2)⇔ x1<x2(x1>x2)；
.
解析 （2）法一（换元法）：令t＝ − 1，且t≥0，则x＝t2＋1，所以原函数
变为y＝t2＋1＋t，t≥0.配方得y＝
+
1 2 3
1 3
＋ ，又因为t≥0，所以y≥ ＋ ＝1，
2
4
4 4
故函数y＝x＋ − 1的最小值为1.
法二（单调性法）：因为函数y＝x和y＝ − 1在定义域内均为增函数，故函数y
【例3】 设f（x）的定义域为R，图象关于y轴对称，且f（x）在[0，＋∞）上
为增函数，则f（－2），f（－π），f（3）的大小顺序是 （答案 ）B
A.f（－π）＜f（－2）＜f（3）
B.f（－2）＜f（3）＜f（－π）
C.f（－π）＜f（3）＜f（－2）
D.f（3）＜f（－2）＜f（－π）
解析 ∵f（x）的定义域为R，图象关于y轴对称，∴f（x）是偶函数，∴f（－
A.（－∞，－2）
B.（－∞，1）
C.（1，＋∞）
D.（4，＋∞）
）
解析：D 由x2－2x－8＞0，得f（x）的定义域为{x｜x＜－2或x＞4}.设t＝x2－
2x－8，则y＝ln t为增函数.要求函数f（x）的单调递增区间，即求函数t＝x2－2x
－8的单调递增区间（定义域内）.∵函数t＝x2－2x－8在区间（4，＋∞）上单调
合的方法进行求解.
方 法 规 律
利用函数的单调性求解不等式的方法
(1)依据：若 f(x)在定义域上(或某一区间上)是增(减)函数，x1，x2 是定义域上(或该区间上)任
意两个自变量的值，则 f(x1)<f(x2)⇔ x1<x2(x1>x2)；
.
解析 （2）法一（换元法）：令t＝ − 1，且t≥0，则x＝t2＋1，所以原函数
变为y＝t2＋1＋t，t≥0.配方得y＝
+
1 2 3
1 3
＋ ，又因为t≥0，所以y≥ ＋ ＝1，
2
4
4 4
故函数y＝x＋ − 1的最小值为1.
法二（单调性法）：因为函数y＝x和y＝ − 1在定义域内均为增函数，故函数y
【例3】 设f（x）的定义域为R，图象关于y轴对称，且f（x）在[0，＋∞）上
为增函数，则f（－2），f（－π），f（3）的大小顺序是 （答案 ）B
A.f（－π）＜f（－2）＜f（3）
B.f（－2）＜f（3）＜f（－π）
C.f（－π）＜f（3）＜f（－2）
D.f（3）＜f（－2）＜f（－π）
解析 ∵f（x）的定义域为R，图象关于y轴对称，∴f（x）是偶函数，∴f（－
A.（－∞，－2）
B.（－∞，1）
C.（1，＋∞）
D.（4，＋∞）
）
解析：D 由x2－2x－8＞0，得f（x）的定义域为{x｜x＜－2或x＞4}.设t＝x2－
2x－8，则y＝ln t为增函数.要求函数f（x）的单调递增区间，即求函数t＝x2－2x
－8的单调递增区间（定义域内）.∵函数t＝x2－2x－8在区间（4，＋∞）上单调
函数的单调性与最值课件-2024届高考数学一轮复习
b ， c 的大小关系为（ D
）
A. c ＞ a ＞ b
B. c ＞ b ＞ a
C. a ＞ c ＞ b
D. b ＞ a ＞ c
解：因为函数 f （ x ）的图象关于直线 x ＝1对称，所以 f （－1）＝ f
（3）.因为函数 f （ x ）在区间[1，＋∞）上单调递减，1＜2＜3＜4，所
以 f （2）＞ f （3）＞ f （4），即 f （2）＞ f （－1）＞ f （4）.所以 b ＞
（0，＋∞）
；无单调减区间.
3. 复合函数的单调性
复合函数 f （ g （ x ））的单调性与 y ＝ f （ u ）和 u ＝ g （ x ）的单调性
有关，规则：同
增
异
减
.
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4. 对称区间上的单调性
已知 a ＞0，函数 f （ x ）的定义域为（－ a ， a ）且 f （ x ）在区间（0，
性的定义、函数的性质、导数等先判断函数的单调性，再依据单调性
求函数的最值或值域.
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考向2 利用单调性去“ f ”
例3 （1） 已知函数 f （ x ）的图象关于直线 x ＝1对称，且在区间[1，
＋∞）上是减函数.设 a ＝ f （－1）， b ＝ f （2）， c ＝ f （4），则 a ，
D.
（1 )−（2 ）
对任意 x 1， x 2∈[0，＋∞），且 x 1≠ x 2，都有
＞0
1 −2
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5.
9
（RA一P86习题3.2第8（2）题改编）已知函数 f （ x ）＝ x ＋ ， x
∈[2，6]，则 f （ x ）的最大值为 7.5
2025高考数学一轮复习-2.2-函数的单调性与最值【课件】
＋∞)．设 t＝x2－4，则 t 在(－∞，－2)上单调递减．又函数 y＝log1 t 为减函数，∴函数
2
f(x)＝log1 (x2－4)在(－∞，－2)上单调递增，∴函数 f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)．故
2
选 D.
易错点睛：(1)单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；多个单调区间应 分开写，用“逗号”或“和”连接，不能用“∪”以及“或”连接．
2．函数的最值
前提
设函数f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
∀x∈I，都有f(x) ≤ M；
条件 ∃x∈I，使得
f(x)＝M
∀x∈I，都有f(x) ≥ M； ∃x∈I，使得 f(x)＝M
结论
M为最大值
M为最小值
提醒：函数最值存在的两条结论
(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一
3．函数 y＝x－1 1在[2,3]上的最小值为( B )
A．2
B．12
C．13
D．－12
【解析】 ∵y＝x－1 1在[2,3]上为减函数， ∴当 x＝3 时，y 取最小值12.故选 B.
4．已知函数 f(x)＝x2－2ax－3 在区间[1,2]上是增函数，则实数 a 的取值范围是 ___(－__∞__，__1_]__．
第二章 函数
第二节 函数的单调性与最值
课前双基巩固
——整合知识 夯实基础
『知识聚焦』
1．函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数
减函数
定义
一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，如果∀x1，x2∈D
当x1<x2时，都有
f(x1)<f(x2) ，那 当x1<x2时，都有 f(x1)>f(x2) ， 那么就称函数f(x)在区间D上f(x)＝－x
2
f(x)＝log1 (x2－4)在(－∞，－2)上单调递增，∴函数 f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)．故
2
选 D.
易错点睛：(1)单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；多个单调区间应 分开写，用“逗号”或“和”连接，不能用“∪”以及“或”连接．
2．函数的最值
前提
设函数f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
∀x∈I，都有f(x) ≤ M；
条件 ∃x∈I，使得
f(x)＝M
∀x∈I，都有f(x) ≥ M； ∃x∈I，使得 f(x)＝M
结论
M为最大值
M为最小值
提醒：函数最值存在的两条结论
(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一
3．函数 y＝x－1 1在[2,3]上的最小值为( B )
A．2
B．12
C．13
D．－12
【解析】 ∵y＝x－1 1在[2,3]上为减函数， ∴当 x＝3 时，y 取最小值12.故选 B.
4．已知函数 f(x)＝x2－2ax－3 在区间[1,2]上是增函数，则实数 a 的取值范围是 ___(－__∞__，__1_]__．
第二章 函数
第二节 函数的单调性与最值
课前双基巩固
——整合知识 夯实基础
『知识聚焦』
1．函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数
减函数
定义
一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，如果∀x1，x2∈D
当x1<x2时，都有
f(x1)<f(x2) ，那 当x1<x2时，都有 f(x1)>f(x2) ， 那么就称函数f(x)在区间D上f(x)＝－x
高考理科数学一轮复习课件函数的单调性与最值
若函数$f(x) = x^3 - ax^2 - bx + c$有两个极值点$x_1, x_2$，且$f(x_1) = x_1 < 0, f(x_2) = x_2 > 0$，则$frac{f(x_1)}{x_2} + frac{f(x_2)}{x_1}$的取值范围是____。
学生自主命题尝试及评价学生来自主命题单调递减对于函数$f(x)$，如果在其定义域内任意取两个数$x_1$和$x_2$（$x_1 < x_2$），都有$f(x_1) geq f(x_2)$， 则称函数$f(x)$在该区间内单调递减。
单调区间及判定方法
单调区间
函数在其定义域内，如果存在一个区 间使得函数在该区间内单调递增或单 调递减，则称该区间为函数的单调区 间。
03
导数在函数单调性和最值中应用
导数与函数单调性关系
导数正负与函数单调性
当函数在某区间内可导时，若导数大于0 ，则函数在此区间内单调递增；若导数 小于0，则函数在此区间内单调递减。
VS
导数与函数图像
导数的正负可以反映函数图像的上升或下 降趋势，从而判断函数的单调性。
利用导数判断函数单调性
求导
首先求出函数的导数表达式。
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备考建议及答题技巧分享
备考建议
在复习函数的单调性与最值时，要注重对基 本概念和性质的理解和掌握，同时多做历年 高考真题和模拟试卷中的相关题目，加强对 知识点的运用和解题技巧的训练。
答题技巧分享
在解答函数单调性与最值问题时，首先要明 确函数的定义域和单调性条件，然后利用导 数工具判断函数的单调性和最值情况。在求 解参数取值范围时，要注意参数的约束条件 和函数的性质相结合进行推导。
学生自主命题尝试及评价学生来自主命题单调递减对于函数$f(x)$，如果在其定义域内任意取两个数$x_1$和$x_2$（$x_1 < x_2$），都有$f(x_1) geq f(x_2)$， 则称函数$f(x)$在该区间内单调递减。
单调区间及判定方法
单调区间
函数在其定义域内，如果存在一个区 间使得函数在该区间内单调递增或单 调递减，则称该区间为函数的单调区 间。
03
导数在函数单调性和最值中应用
导数与函数单调性关系
导数正负与函数单调性
当函数在某区间内可导时，若导数大于0 ，则函数在此区间内单调递增；若导数 小于0，则函数在此区间内单调递减。
VS
导数与函数图像
导数的正负可以反映函数图像的上升或下 降趋势，从而判断函数的单调性。
利用导数判断函数单调性
求导
首先求出函数的导数表达式。
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备考建议
在复习函数的单调性与最值时，要注重对基 本概念和性质的理解和掌握，同时多做历年 高考真题和模拟试卷中的相关题目，加强对 知识点的运用和解题技巧的训练。
答题技巧分享
在解答函数单调性与最值问题时，首先要明 确函数的定义域和单调性条件，然后利用导 数工具判断函数的单调性和最值情况。在求 解参数取值范围时，要注意参数的约束条件 和函数的性质相结合进行推导。
函数的单调性与最值一轮复习课件
利用函数单调性进行数据分析
总结词
利用函数单调性进行数据分析是一种有效的数据处理方法，通过分析数据的单调性，可以更好地理解 数据的变化趋势和规律。
详细描述
在数据分析中，可以利用函数单调性对数据进行分类、排序和趋势分析。例如，对于股票价格数据， 可以利用单调性分析股票价格的涨跌趋势，从而更好地把握股票市场的变化。此外，在统计学中，可 以利用函数单调性进行数据拟合和回归分析，以揭示数据之间的内在联系和规律。
单调性是函数的一种固有属性，反映了函数值在某个区间上 的变化趋势。
函数单调性的判定方法
定义法
通过比较函数在区间端点或内点的函 数值来确定函数的单调性。
导数法
复合函数单调性判定法则
同增异减，即内外函数的单调性相同 ，则复合函数为增函数；内外函数的 单调性不同，则复合函数为减函数。
对于可导函数，通过求导数并分析导 数的符号变化来判断函数的单调性。
二次函数：$y = ax^2 + bx + c$
单调性：根据判别式 $Delta = b^2 4ac$的值判断。
当$Delta < 0$时，函 数在$mathbf{R}$上 单调。
当$Delta > 0$时，函 数在区间$(-infty, frac{b}{2a})$和 $(frac{-b}{2a}, +infty)$上单调。
利用极值定理判断函数在 某点的取值是否为最值。
零点定理
利用零点定理判断函数在 某区间的取值范围，进而 求得最值。
函数最值的应用
优化问题
利用函数最值解决优化问 题，如最大利润、最小成 本等。
图像分析
通过分析函数图像，理解 函数最值的实际意义和作 用。
数学建模
函数的单调性与最值+课件——2025届高三数学一轮复习
探究点一 函数单调性的判断与证明
例1 已知函数，且，讨论 的单调性.
［思路点拨］ 先分离常数，再根据定义判断函数的单调性，注意分 和 两种情况进行讨论.
解：函数，设，，且 ，则 ，当时，在上单调递增，由，得 ，所以，又， ，所以，即 ，此时在 上单调递增；当时，在 上单调递减，由，得，所以 ，又，，所以 ，即，此时在 上单调递减．综上，当时，函数在 上单调递增；当时，函数在 上单调递减.
单调性
单调区间
续表
3.函数的最值
前提
一般地，设函数的定义域为，如果存在实数 满足
条件
，都有____________； ，使得_____________
，都有____________； ，使得_____________
结论
为最大值
为最小值
几何意义
图象上最高点的_________
图象上最低点的_________
变式题 （多选题）下列函数在其定义域内是增函数的为( )
BD
A. B. C. D.
[解析] 对于A，画出函数 的图象如图所示，易知函数 在其定义域内不是增函数，故A错误；对于B，因为函数是增函数， 是减函数，所以是 上的增函数，故B正确；对于C，函数是减函数，而 为增函数，
在定义域 上为减函数，故C错误；对于D，的定义域为，在上恒成立，故 是上的增函数，故D正确.故选 .
（2）开区间上的“单峰”函数一定存在最大值或最小值.
◆ 对点演练 ◆
题组一 常识题
1.［教材改编］ 函数 的单调递增区间是_______，单调递减区间是________.
[解析] 由函数的图象可得 的单调递增区间是，单调递减区间是 .
2.［教材改编］ 函数 的最大值为___，最小值为___.
例1 已知函数，且，讨论 的单调性.
［思路点拨］ 先分离常数，再根据定义判断函数的单调性，注意分 和 两种情况进行讨论.
解：函数，设，，且 ，则 ，当时，在上单调递增，由，得 ，所以，又， ，所以，即 ，此时在 上单调递增；当时，在 上单调递减，由，得，所以 ，又，，所以 ，即，此时在 上单调递减．综上，当时，函数在 上单调递增；当时，函数在 上单调递减.
单调性
单调区间
续表
3.函数的最值
前提
一般地，设函数的定义域为，如果存在实数 满足
条件
，都有____________； ，使得_____________
，都有____________； ，使得_____________
结论
为最大值
为最小值
几何意义
图象上最高点的_________
图象上最低点的_________
变式题 （多选题）下列函数在其定义域内是增函数的为( )
BD
A. B. C. D.
[解析] 对于A，画出函数 的图象如图所示，易知函数 在其定义域内不是增函数，故A错误；对于B，因为函数是增函数， 是减函数，所以是 上的增函数，故B正确；对于C，函数是减函数，而 为增函数，
在定义域 上为减函数，故C错误；对于D，的定义域为，在上恒成立，故 是上的增函数，故D正确.故选 .
（2）开区间上的“单峰”函数一定存在最大值或最小值.
◆ 对点演练 ◆
题组一 常识题
1.［教材改编］ 函数 的单调递增区间是_______，单调递减区间是________.
[解析] 由函数的图象可得 的单调递增区间是，单调递减区间是 .
2.［教材改编］ 函数 的最大值为___，最小值为___.
函数的单调性和最值课件-2025届高三数学一轮复习
x2)
＝(x1－x2)
x12＋x11＋ ＋x2x22＋1－2，
∵0≤x1<x2，∴ x12＋x11＋ ＋x2x22＋1<1.
∴(x1－x2)
x12＋x11＋ ＋x2x22＋1－2>0.
∴f(x1)－f(x2)>0，即 f(x1)>f(x2)．
∴函数 f(x)在区间[0，＋∞)上单调递减．
方法二：对 f(x)＝ x2＋1－2x 求导， 得 f′(x)＝21· x22＋x 1－2＝ x2x＋1－2， ∵x≥0，∴ x2x＋1<1，∴f′(x)<0. 故 f(x)在[0，＋∞)上单调递减．
相反．
(4)“对勾函数”f(x)＝x＋px(p>0)的单调递增区间是(－∞，－ p)，( p， ＋∞)；单调递减区间是(－ p，0)，(0， p)．
(5)复合函数的单调性：在函数 y＝f(φ(x))的定义域上，如果 y＝f(u)与 u＝
φ(x)的单调性相同，那么 y＝f(φ(x))单调递增；如果 y＝f(u)与 u＝φ(x)的单调
又13<12<23<1， 所以 f13>f12>f23， 即 f31>f23>f23.
状元笔记
利用单调性可以比较函数值的大小，但需将各自变量的值化到同一单 调区间上．
思考题 3 若 2x＋5y≤2－y＋5－x，则有( )
A．x＋y≥0 C．x－y≤0
√B．x＋y≤0
D．x－y≥0
【解析】 设函数 f(x)＝2x－5－x，易知 f(x)为增函数．又 f(－y)＝2－y－5y， 由已知得 f(x)≤f(－y)，所以 x≤－y，所以 x＋y≤0.
【解析】 由于 y＝13x在[－1，1]上单调递减，y＝log2(x＋2)在[－1，1] 上单调递增，所以 f(x)在[－1，1]上单调递减，故 f(x)在[－1，1]上的最大值为 f(－1)＝3.
函数的单调性与最值 课件(共20张PPT)
最值. 三．对于较复杂函数，可用换元法化归为简单函数、或者运用导数，
求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.
课堂小结
单调性
定义
图象特征 判断方法
应用
定义法 图象变换 求导法 求最值 求参数范围 解不等式
祝同学们前程似锦！
专题一：判断、证明函数的单调性
例 1：(3)已知 f x 2x , x 2,6. (1)判断 f x 的单调性，并加以证明；(2)求 f x 的最值.
x 1
专题一：判断、证明函数的单调性
变式 3：讨论 f x ax a 0, 的单调性.
x 1
小结： 确定函数单调性的四种方法 (1)定义法；(2)导数法；(3)图象法；(4)性质法．
【学习目标】
01
理解函数的单调性、最大值、最小值及其 几何意义；
02
会运用函数图象理解和研究函数的单调性， 并利用单调性求最值或者求参数范围；
03
培养抽象概括、逻辑推理、运算求解等能 力．
复习回顾 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义
增函数
减函数
一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，如果∀x1，x2∈D 定义 当x1<x2时，都有__f_(x_1_)_<_f(_x_2)_， 当x1<x2时，都有_f_(_x_1)_>_f_(x_2_)，
自左向右看图象是下降的
复习回顾
(2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上_单__调__递__增__或_单__调__递__减__，那么就说函数y＝f(x) 在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间.
复习回顾 2.函数的最值
前提
设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.
课堂小结
单调性
定义
图象特征 判断方法
应用
定义法 图象变换 求导法 求最值 求参数范围 解不等式
祝同学们前程似锦！
专题一：判断、证明函数的单调性
例 1：(3)已知 f x 2x , x 2,6. (1)判断 f x 的单调性，并加以证明；(2)求 f x 的最值.
x 1
专题一：判断、证明函数的单调性
变式 3：讨论 f x ax a 0, 的单调性.
x 1
小结： 确定函数单调性的四种方法 (1)定义法；(2)导数法；(3)图象法；(4)性质法．
【学习目标】
01
理解函数的单调性、最大值、最小值及其 几何意义；
02
会运用函数图象理解和研究函数的单调性， 并利用单调性求最值或者求参数范围；
03
培养抽象概括、逻辑推理、运算求解等能 力．
复习回顾 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义
增函数
减函数
一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，如果∀x1，x2∈D 定义 当x1<x2时，都有__f_(x_1_)_<_f(_x_2)_， 当x1<x2时，都有_f_(_x_1)_>_f_(x_2_)，
自左向右看图象是下降的
复习回顾
(2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上_单__调__递__增__或_单__调__递__减__，那么就说函数y＝f(x) 在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间.
复习回顾 2.函数的最值
前提
设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足