奇偶性的概念

奇偶性的概念学习目标 1.理解函数奇偶性的定义.2.掌握函数奇偶性的判断和证明方法.3.会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题．知识点一函数奇偶性的几何特征思考下列函数图象中，关于y轴对称的有哪些？关于原点对称的呢？答案①②关于y轴对称，③④关于原点对称．梳理一般地，图象关于y轴对称的函数称为偶函数，图象关于原点对称的函数称为奇函数．知识点二函数奇偶性的定义函数奇偶性的概念：(1)偶函数：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．其实质是函数f(x)上任一点(x，f(x))关于y轴的对称点(－x，f(x))也在f(x)图象上．(2)奇函数：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．其实质是函数f(x)上任一点(x，f(x))关于原点的对称点(－x，－f(x))也在f(x)的图象上．知识点三奇(偶)函数的定义域特征及奇(偶)函数的性质1．奇(偶)函数的定义域关于原点对称．2．重要性质(1)奇函数在区间[a，b]和[－b，－a](b>a>0)上有相同的单调性．(2)偶函数在区间[a，b]和[－b，－a](b>a>0)上有相反的单调性．1．关于y 轴对称的图形都是偶函数的图象．(×) 2．若f (x )是奇函数，f (1)＝2，则f (－1)＝－2.(√) 3．存在既是奇函数又是偶函数的函数，且不止一个．(√) 4．有些函数既非奇函数，又非偶函数．(√)类型一 证明函数的奇偶性例1 (1)证明f (x )＝x 3－x 2x －1既非奇函数又非偶函数；(2)证明f (x )＝(x ＋1)(x －1)是偶函数；(3)证明f (x )＝1－x 2＋x 2－1既是奇函数又是偶函数． 考点 函数的奇偶性判定与证明 题点 判断简单函数的奇偶性证明 (1)因为它的定义域为{x |x ∈R 且x ≠1}，所以对于定义域内的－1，其相反数1不在定义域内，所以f (x )＝x 3－x 2x －1既非奇函数又非偶函数．(2)函数的定义域为R ，因为函数f (x )＝(x ＋1)(x －1)＝x 2－1，又因为f (－x )＝(－x )2－1＝x 2－1＝f (x )，所以函数为偶函数．(3)定义域为{－1,1}，因为对定义域内的每一个x ，都有f (x )＝0，所以f (－x )＝f (x )＝－f (x )＝0，故函数f (x )＝1－x 2＋x 2－1既是奇函数又是偶函数．反思与感悟 利用定义法判断函数是否具有奇偶性时，首先应看函数定义域是否关于原点对称，即对于定义域内的任意一个x ，则－x 也一定属于定义域． 跟踪训练1 (1)证明f (x )＝(x －2) 2＋x2－x既非奇函数又非偶函数； (2)证明f (x )＝x |x |是奇函数． 考点 函数的奇偶性判定与证明 题点 判断简单函数的奇偶性证明 (1)由2＋x 2－x ≥0，得定义域为[－2,2)，关于原点不对称，故f (x )为非奇非偶函数．(2)函数的定义域为R ，因为f (－x )＝(－x )|－x |＝－x |x |＝－f (x )，所以函数为奇函数．类型二奇偶性的应用命题角度1奇(偶)函数图象的对称性的应用例2定义在R上的奇函数f(x)在[0，＋∞)上的图象如图所示．(1)画出f(x)的图象；(2)解不等式xf(x)>0.考点函数图象的对称性题点中心对称问题解(1)先描出(1,1)，(2,0)关于原点的对称点(－1，－1)，(－2,0)，连线可得f(x)的图象如图．(2)xf(x)>0即图象上横坐标、纵坐标同号．结合图象可知，xf(x)>0的解集是(－2,0)∪(0,2)．引申探究把本例中的“奇函数”改为“偶函数”，重做该题．解(1)f(x)的图象如图所示：(2)xf(x)>0的解集是(－∞，－2)∪(0,2)．反思与感悟可以用奇(偶)函数图象关于原点(y轴)对称，这一特性去画图，求值，求解析式，研究单调性．跟踪训练2已知奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图象如图所示．(1)画出在区间[－5,0]上的图象； (2)写出使f (x )<0的x 的取值集合． 考点 函数图象的对称性 题点 中心对称问题解 (1)如图，在[0,5]上的图象上选取5个关键点O ，A ，B ，C ，D .分别描出它们关于原点的对称点O ′，A ′，B ′，C ′，D ′， 再用光滑曲线连接即得．(2)由(1)图可知，当且仅当x ∈(－2,0)∪(2,5)时，f (x )<0. ∴使f (x )<0的x 的取值集合为(－2,0)∪(2,5)． 命题角度2 利用函数奇偶性的定义求值例3 若函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，定义域为[a －1,2a ]，则a ＝________，b ＝________.考点 函数奇偶性的应用题点 由二次函数为偶函数求参数值 答案 13解析 因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a －1＝－2a ，解得a ＝13，f (x )＝13x 2＋bx ＋b＋1.又f (x )为偶函数，所以f (－x )＝13(－x )2＋b (－x )＋b ＋1＝f (x )＝13x 2＋bx ＋b ＋1对定义域内任意x 恒成立，即2bx ＝0对任意x ∈⎣⎡⎦⎤－23，23恒成立，所以b ＝0.综上，a ＝13，b ＝0.反思与感悟 函数奇偶性的定义有两处常用：①定义域关于原点对称；②对定义域内任意x ，恒有f (－x )＝f (x )(或－f (x ))成立，常用这一特点得一个恒成立的等式，或对其中的x 进行赋值．跟踪训练3 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ≤0，ax 2＋bx ，x >0为奇函数，则a ＋b ＝________.考点 函数奇偶性的应用题点 其他已知函数奇偶性求参数值问题 答案 0解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧f (2)＝－f (－2)，f (1)＝－f (－1)，则⎩⎪⎨⎪⎧ 4a ＋2b ＝－2，a ＋b ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1.当a ＝－1，b ＝1时，经检验知f (x )为奇函数，故a ＋b ＝0.1．下列图象表示的函数具有奇偶性的是( )考点 函数的奇偶性概念 题点 函数奇偶性概念的理解 答案 B2．函数f (x )＝x (－1<x ≤1)的奇偶性是( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．非奇非偶函数D ．既是奇函数又是偶函数 考点 函数的奇偶性判定与证明 题点 判断简单函数的奇偶性 答案 C3．已知函数y ＝f (x )＋x 是偶函数，且f (2)＝1，则f (－2)＝________.考点 函数奇偶性的应用 题点 利用奇偶性求函数值 答案 5解析 函数y ＝f (x )＋x 是偶函数， ∴x ＝±2时函数值相等．∴f (－2)－2＝f (2)＋2，∴f (－2)＝5.4．若函数f (x )＝(m －1)x 2＋(m －2)x ＋(m 2－7m ＋12)为偶函数，则m 的值是________． 考点 函数奇偶性的应用题点 由二次函数为偶函数求参数值 答案 2解析 ∵f (x )为偶函数，∴对于任意x ∈R ，有f (－x )＝f (x )， 即(m －1)(－x )2＋(m －2)(－x )＋(m 2－7m ＋12) ＝(m －1)x 2＋(m －2)x ＋(m 2－7m ＋12)， ∴2(m －2)x ＝0对任意实数x 均成立，∴m ＝2.5．判断函数f (x )＝x ＋ax (a 为常数)的奇偶性，并证明你的结论．考点 函数的奇偶性判定与证明 题点 判断简单函数的奇偶性 解 f (x )为奇函数，证明如下： f (x )的定义域为{x |x ≠0}． 对于任意x ≠0，f (－x )＝－x ＋a－x＝－⎝⎛⎭⎫x ＋a x ＝－f (x )． ∴f (x )为奇函数．1．两个定义：对于f (x )定义域内的任意一个x ，如果都有f (－x )＝－f (x )⇔f (－x )＋f (x )＝0⇔f (x )为奇函数；如果都有f (－x )＝f (x )⇔f (－x )－f (x )＝0⇔f (x )为偶函数．2．两个性质：函数为奇函数⇔它的图象关于原点对称；函数为偶函数⇔它的图象关于y 轴对称．3．证明一个函数是奇函数，必须对f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)．而证明一个函数不是奇函数，只要能举出一个反例就可以了.一、选择题1．已知一个奇函数的定义域为{－1,2，a，b}，则a＋b等于()A．－1 B．1 C．0 D．2考点函数奇偶性的应用题点由奇偶函数定义域的对称性求参数值答案A解析因为一个奇函数的定义域为{－1,2，a，b}，根据奇函数的定义域关于原点对称，所以a与b有一个等于1，一个等于－2，所以a＋b＝1＋(－2)＝－1，故选A.2．下列各图中，表示以x为自变量的奇函数的图象是()考点函数图象的对称性题点中心对称问题答案B解析A，D不是函数；C不关于原点对称．3．f(x)是定义在R上的奇函数，下列结论中，不正确的是()A．f(－x)＋f(x)＝0 B．f(－x)－f(x)＝－2f(x)C．f(－x)·f(x)≤0 D.f(x)f(－x)＝－1考点函数的奇偶性概念题点函数奇偶性概念的理解答案D解析由于f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，①由此可推A ，B ，C 正确，由于f (－x )可能为0，由①不能推出D.4．设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ，则f (1)等于( ) A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3 考点 函数奇偶性的应用 题点 利用奇偶性求函数值 答案 A解析 ∵f (x )是奇函数， 当x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ，∴f (1)＝－f (－1)＝－[2×(－1)2－(－1)]＝－3.5．(2017·余姚中学质检)下列函数中是偶函数的是( ) A ．y ＝－3xB ．y ＝x 2＋x ，x ∈(－3,3]C ．y ＝2xD ．y ＝x －2考点 函数的奇偶性判定与证明 题点 判断简单函数的奇偶性 答案 D6．设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( )A ．f (x )g (x )是偶函数B ．|f (x )|g (x )是奇函数C ．f (x )|g (x )|是奇函数D ．|f (x )g (x )|是奇函数 答案 C解析 A 中，令h (x )＝f (x )·g (x )，则h (－x )＝f (－x )·g (－x )＝－f (x )·g (x )＝－h (x )，∴h (x )是奇函数，A 错；B 中，令h (x )＝|f (x )|g (x )，则h (－x )＝|f (－x )|g (－x )＝|－f (x )|g (x )＝|f (x )|g (x )＝h (x )，∴h (x )是偶函数，B 错；C 中，令h (x )＝f (x )|g (x )|，则h (－x )＝f (－x )·|g (－x )|＝－f (x )|g (x )|＝－h (x )，∴h (x )是奇函数，C 正确；D 中，令h (x )＝|f (x )·g (x )|，则h (－x )＝|f (－x )·g (－x )|＝|－f (x )·g (x )|＝|f (x )·g (x )|＝h (x )． ∴h (x )是偶函数，D 错．7．函数f (x )＝|x ＋1|－|x －1|为( ) A ．奇函数 B ．偶函数C ．既是奇函数也是偶函数D ．既不是奇函数也不是偶函数 考点 函数的奇偶性判定与证明 题点 判断简单函数的奇偶性 答案 A解析 f (x )的定义域为R ，对于任意x ∈R ，f (－x )＝|－x ＋1|－|－x －1| ＝|x －1|－|x ＋1|＝－f (x )， ∴f (x )为奇函数．又f (－1)＝－2，f (1)＝2，f (－1)≠f (1)， ∴f (x )不是偶函数．8．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (3)＝0，则不等式f (x )－f (－x )2>0的解集为( )A ．(－3,0)∪(3，＋∞)B ．(－3,0)∪(0,3)C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(0,3)考点 单调性与奇偶性的综合应用 题点 利用奇偶性、单调性解不等式 答案 A解析 ∵f (x )为奇函数，f (3)＝0， ∴f (－3)＝0.又∵f (x )在(0，＋∞)上为增函数， ∴f (x )在(－∞，0)上也为增函数．由f (x )－f (－x )2＝f (x )>0， ①当x >0时，得f (x )>f (3)＝0，∴x >3； ②当x <0时，得f (x )>f (－3)＝0，∴－3<x <0， 综上可得，原不等式的解集为(－3,0)∪(3，＋∞)． 二、填空题9．已知函数y ＝f (x )为偶函数，其图象与x 轴有四个交点，则方程f (x )＝0的所有实根之和是________．考点 函数图象的对称性 题点 轴对称问题 答案 0解析 由于偶函数的图象关于y 轴对称，所以偶函数的图象与x 轴的交点也关于y 轴对称，因此，四个交点中，有两个在x 轴的负半轴上，另两个在x 轴的正半轴上，所以四个实根的和为0.10．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是________． 答案 13解析 依题意得f (－x )＝f (x )， ∴b ＝0，又a －1＝－2a ， ∴a ＝13，∴a ＋b ＝13.11．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (1－x )，x <0，x (1＋x )，x >0为________函数．(填“奇”或“偶”)考点 函数的奇偶性判定与证明 题点 判断分段函数的奇偶性 答案 奇解析 定义域关于原点对称，且f (－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x (1＋x )，－x <0，－x (1－x )，－x >0＝⎩⎪⎨⎪⎧－x (1＋x )，x >0，－x (1－x )，x <0＝－f (x )，所以f (x )是奇函数．三、解答题12．判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝x 3＋x 5；(2)f (x )＝|x ＋1|＋|x －1|；(3)f (x )＝2x 2＋2x x ＋1. 考点 函数的奇偶性判定与证明题点 判断简单函数的奇偶性解 (1)函数的定义域为R .∵f (－x )＝(－x )3＋(－x )5＝－(x 3＋x 5)＝－f (x )，∴f (x )是奇函数．(2)f (x )的定义域是R .∵f (－x )＝|－x ＋1|＋|－x －1|＝|x －1|＋|x ＋1|＝f (x )，∴f (x )是偶函数．(3)函数f (x )的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不关于原点对称，∴f (x )是非奇非偶函数．13．若函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，求实数a 的值．考点 函数奇偶性的应用题点 其他已知函数奇偶性求参数值问题解 ∵函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，∴f (－x )＝f (x )，即(－x )2－|－x ＋a |＝x 2－|x ＋a |，∴|－x ＋a |＝|x ＋a |，即|x －a |＝|x ＋a |，∴a ＝0.四、探究与拓展14．已知函数f (x )＝x 2＋x ＋1x 2＋1，若f (a )＝23，则f (－a )＝________. 考点 函数图象的对称性题点 中心对称问题答案 43解析 根据题意，f (x )＝x 2＋x ＋1x 2＋1＝1＋x x 2＋1，而h (x )＝x x 2＋1是奇函数，故f (－a )＝1＋h (－a )＝1－h (a )＝2－[1＋h (a )]＝2－f (a )＝2－23＝43. 15．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围． 考点 函数奇偶性的应用题点 其他已知函数奇偶性求参数值问题解 (1)因为f (x )为奇函数，所以f (－1)＝－f (1)，即1－m ＝－(－1＋2)，解得m ＝2.经检验当m ＝2时函数f (x )是奇函数．所以m ＝2.(2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增， 结合f (x )的图象(图略)知⎩⎪⎨⎪⎧ a －2>－1，a －2≤1，所以1＜a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．。