吉林省长春市东北师大附中等六校2020届高三联合模拟数学理科试题 Word版含解析

2020届高三联合模拟考试理科数学试题一､选择题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{}220A x Z x x =∈--≤，{}1,0,1B =-，则AB =( )A. {}1,0,1-B. {}0,1C.1,0,1,2D.{}12x x -≤≤【答案】A 【解析】 【分析】求出集合A ，再利用交集的定义可求出集合A B .【详解】{}{}{}220121,0,1,2A x Z x x x Z x =∈--≤=∈-≤≤=-，因此，{}1,0,1A B =-.故选：A.【点睛】本题考查交集的计算，同时也考查了一元二次不等式的解法，考查计算能力，属于基础题.2.复数(),z a bi a b R =+∈是()()212i i ++的共轭复数，则a b +=（ ） A. 5 B. 5-C. 5iD. 5i -【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的乘法法则将复数()()212i i ++表示为一般形式，利用共轭复数的概念可求出a 与b 的值，即可得出+a b 的值.【详解】()()22122525i i i i i a bi ++=++==-，05a b =⎧∴⎨-=⎩，解得05a b =⎧⎨=-⎩，因此，5a b +=-. 故选：B.【点睛】本题考查复数的乘法运算，同时也考查了共轭复数的概念以及利用复数相等求参数，考查计算能力，属于基础题.3.设命题:p 有的平行四边行是菱形，则p ⌝为（ ） A. 所有平行四边形都不是菱形 B. 有的菱形不是平行四边形 C. 有的平行四边形不是菱形 D. 不是菱形的四边形不是平行四边形【答案】A 【解析】 【分析】将命题p 改写为特称命题的形式，然后利用特称命题的否定可得出命题p ⌝. 【详解】命题:p 存在平行四边形为菱形，则命题:p ⌝所有平行四边形都不是菱形. 故选：A.【点睛】本题考查特称命题否定，解题的关键就是将原命题表示成特称命题的形式，属于基础题.4.双曲线2214y x -=的渐近线方程为( )A. 4y x =±B. 14y x =±C. 2y x =±D.12y x =±【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线的标准方程可直接得出该双曲线的渐近线方程.【详解】由题意可知，双曲线2214y x -=的渐近线方程为2y x =±.故选：C.【点睛】本题考查利用双曲线的标准方程写出双曲线的渐近线方程，要熟悉渐近线方程与双曲线标准方程之间的关系，考查计算能力，属于基础题. 5.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知11a =，63363S S -=，则5a =（ ） A. 3B. 5C. 7D. 9【答案】D 【解析】 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，利用条件63363S S -=求出d 的值，由此可计算出5a 的值. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则1163653263322363632a d a d S S d ⨯⨯++-=-==， 解得2d =，因此，5141429a a d =+=+⨯=. 故选：D.【点睛】本题考查等差数列中相关项的计算，一般利用方程思想求出首项和公差的值，同时也涉及了等差数列求和公式的应用，考查计算能力，属于基础题.6.我国南宋时期的数学家秦九韶（约12021261-）在他的著作《数书九章》中提出了多项式求值的秦九韶算法.如图所示的框图给出了利用秦九韶算法求多项式的值一个实例.若输入的4n =，5v =，2x =，则该程序框图计算的是（ ）A. 23451222324252⋅+⋅+⋅+⋅+⋅B. 1234122324252+⋅+⋅+⋅+⋅C. 012340212223242⋅+⋅+⋅+⋅+⋅D. 23450212223242⋅+⋅+⋅+⋅+⋅【答案】B 【解析】 【分析】由题意，模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的i 、v 的值，当0i =时，不满足条件0i >，跳出循环，即可得解．【详解】输入4n =，5v =，2x =，则第一次：4i n ==，40i =>，524v =⋅+，3i =；第二次：30i =>，()25242352423v =⋅+⋅+=⋅+⋅+，2i =；第三次：20i =>，()23252423225242322v =⋅+⋅+⋅+=⋅+⋅+⋅+，1i =；第四次：10i =>，()324321524232221524232221v =⋅+⋅+⋅+⋅+=⋅+⋅+⋅+⋅+，0i =； 跳出循环，输出1234122324252v =+⋅+⋅+⋅+⋅. 故选：B ．【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，正确依次写出每次循环得到的i 、v 的值是解题的关键，属于基础题．7.在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，若2b c =，a =3A π=，则ABC∆的面积为（ ）A. 1B. 3C. 【答案】D 【解析】 【分析】利用余弦定理求出b 、c 的值，然后利用三角形的面积公式可求出ABC ∆的面积. 【详解】由余弦定理可得2222212cos 4222a b c bc A c c c c =+-=+-⨯⨯⨯，即236c =，解得c =2b c ==因此，ABC ∆的面积为11sin 222ABC S bc A ∆==⨯=故选：D.【点睛】本题考查三角形面积的计算，同时也考查了利用余弦定理解三角形，考查计算能力，属于基础题.8.已知直线a 、b 与平面α、β满足a α⊂，b β⊂，l αβ=，则下列命题中正确的是（ ）A. αβ⊥是a b ⊥的充分不必要条件B. a l ⊥是αβ⊥的充要条件C. 设αβ⊥，则a b ⊥是a l ⊥的必要不充分条件D. 设αβ⊥，则a b ⊥是a l ⊥的既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】利用线面垂直、面面垂直的判定和性质定理，结合充分条件和必要条件的定义可判断出各选项中命题的正误.【详解】对于A 选项，如下图所示：在正方体1111ABCD A B C D -中，设α=平面ABCD ，β=平面11CDD C ，a BD =，1b C D =， 平面ABCD ⊥平面11CDD C ，BD ⊂平面ABCD ，1C D ⊂平面11CDD C ， 易知1BDC ∆为正三角形，则13BDC π∠=，则a b αβ⊥⇒⊥/； 设a AC =，b BD =，α=平面ABCD ，β=平面1BC D ，AC BD ⊥，但平面ABCD 与平面1BC D 不垂直，则a b αβ⊥⇒⊥/.所以，αβ⊥是a b ⊥的既不充分也不必要条件，A 选项错误； 对于B 选项，如下图所示：在正方体1111ABCD A B C D -中，设α=平面ABCD ，β=平面1BC D ，a AC =，l BD =，AC BD ⊥，但平面ABCD 与平面1BC D 不垂直，即a l αβ⊥⇒⊥/； 设α=平面ABCD ，β=平面11CDD C ，1a C D =，l CD =，则14CDC π∠=，平面ABCD ⊥平面11CDD C ，但1C D 与CD 不垂直，即a l αβ⊥⇒⊥/， 所以，a l ⊥是αβ⊥的既不充分也不必要条件，B 选项错误； 对于C 、D 选项，如下图所示：在正方体1111ABCD A B C D -中，设α=平面ABCD ，β=平面11CDD C ，a BD =，1b DD =，l CD =，1BD DD ⊥，但BD 与CD 不垂直，所以，若αβ⊥，a b a l ⊥⇒⊥/；若αβ⊥，l αβ=，a l ⊥，a α⊂，a β∴⊥，b β⊂，a b ∴⊥，则a l a b ⊥⇒⊥.所以，若αβ⊥，则a b ⊥是a l ⊥的必要不充分条件，C 选项正确，D 选项错误. 故选：C.【点睛】本题以立体几何为载体，考查充分条件和必要条件的判断，要熟悉空间中垂直关系的判定和性质定理，结合几何体模型进行判断，考查推理能力，属于中等题.9.在正方形ABCD 中，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上，若AP x AB y AD =+，则x y +的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】C 【解析】 【分析】设正方形ABCD 的边长为2，以点A 为坐标原点，AB 、AD 所在直线分别为x 、y 轴建立平面直角坐标系xAy ，可得出圆C 的方程为()()22222x y -+-=，可设点P 的坐标为()22cos ,22sin θθ++，根据向量的坐标运算可将x y +用θ的三角函数表示，利用辅助角公式和正弦函数的有界性可求出x y +的最大值.【详解】设正方形ABCD 的边长为2，以点A 为坐标原点，AB 、AD 所在直线分别为x 、y 轴建立如下图所示的平面直角坐标系xAy ，则点()0,0A 、()2,0B 、()2,2C 、()0,2D ，直线BD 的方程为221x y+=，即20x y +-=， 点C 到直线BD 的距离为22211d ==+则以点C 为圆心且与直线BD 相切的圆C 的方程为()()22222x y -+-=， 设点P 的坐标为()22,22θθ+，由AP x AB y AD =+，得()()()()2,22,00,22,2x y x y θθ=+=，1cos 21sin 2x y θθ⎧=+⎪⎪∴⎨⎪=+⎪⎩，所以，2sin 24x y πθθθ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭， 因此，x y +的最大值为3. 故选：C.【点睛】本题考查利用平面向量的基本定理求参数和的最小值，利用圆的有界性结合圆的参数方程来求解是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.10.已知函数()()()36cos 0f x x x ωω=->，若存在a R ∈，使得()f x a +为奇函数，则ω的值可能为（ ） A.12πB.3πC.4π D.5π 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由函数的解析式可得()()()36cos f x a x a x a ω+=-++⎡⎤⎣⎦，由奇函数的性质分析可得6a =，进而可得()6k k Z ωπ=∈，则()6k k Z πω=∈，据此分析选项可得答案． 【详解】根据题意，函数()()36cos f x x x ω=-，()()()36cos f x a x a x a ω∴+=-++⎡⎤⎣⎦，若存在a R ∈，使得()y f x a =+为奇函数，令()()()()36cos g x f x a x a x a ω=+=-++⎡⎤⎣⎦，则()()()306cos 0g a a ω=-=.若60a -≠，则()cos 0a ω=，()2a k k Z πωπ∴=+∈，得()()212k a k Z πω+=∈，此时()()()3216cos 2k g x x a x k Z ωπ+⎛⎫=+-+∈ ⎪⎝⎭， 所以()()36sin g x x a x ω=+-或()()36sin g x x a x ω=-+-为奇函数， 若函数()()36sin g x x a x ω=+-为奇函数，由()()g x g x -=-可得()()336sin 6sin x a x x a x ωω--+-=-+-对任意的x ∈R 恒成立，()()3366x a x a ∴-+-=+-，66x a x a ∴-+-=+-，得0x =，对任意的x ∈R 不恒成立.同理，()()36sin g x x a x ω=-+-不可能为奇函数； 由上可知，6a =，则()()3cos 6g x x x ωω=+为奇函数，则()()g x g x -=-，得()()33cos 6cos 6x x x x ωωωω--=-+，可得()()cos 6cos 6x x ωωωω-=+，由两角和与差的余弦公式可得2sin sin60x ωω=， 则等式sin sin60x ωω=对任意的x ∈R 恒成立，则sin60ω=，则()6k k Z ωπ=∈， 得()6k k Z πω=∈，当2k =时，3πω=，A 、C 、D 都不满足. 故选：B.【点睛】本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及三角函数的恒等变形，属于中等题． 11.已知定义域为R 的函数()f x 满足()()1f x xf x '+>（()f x '为函数()f x 的导函数），则不等式()()()2111x f x f x x +->-+的解集为（ ）A. ()0,1B. [)1,+∞C. ()()0,11,+∞D. ()0,∞+【答案】D 【解析】 【分析】构造函数()()g x xf x x =-，根据条件判断()y g x =在R 上的单调性，然后将所求不等式分1x =、1x >和1x <三种情况得到不等式的解集．【详解】令()()g x xf x x =-，则()()()1g x f x xf x ''=+-， 定义域为R 的函数()y f x =满足()()1f x xf x '+>，()0g x '∴>，∴函数()y g x =在R 上单调递增，当0x =时，由()()1f x xf x '+>，知()01f >，∴当1x =时，显然不等式()()()2111x f x f x x +->-+成立.当1x >时，则10x -<，所以()()()()2221111x f x x f x x x--<--+-，整理得()()()()()()222111111xf x x x f x x ----<----，即()()211g x g x -<-，所以，211x x -<-，得20x x ->，则1x >； 当1x <时，则10x ->，所以()()()()2221111x f x x f x x x-->--+-，整理得()()()()()()222111111xf x x x f x x ---->----，即()()211g x g x ->-，所以，211x x ->-，得20x x -<，则01x <<. 综上所述，原不等式的解集为()0,∞+. 故选：D ．【点睛】本题考查了利用函数的单调性解不等式和利用导数研究函数的单调性，考查了分类讨论思想和函数思想，属中档题．12.抛物线2:4C y x =的焦点为F ，点P 、Q 、R 在C 上，且PQR ∆的重心为F ，则PF QF +的取值范围为（ ） A. 993,,522⎛⎫⎛⎤⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦B. 994,,522⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦C. ()93,44,2⎛⎫⎪⎝⎭D. []3,5【答案】A 【解析】 【分析】根据重心坐标公式求出R 的横坐标为()3R P Q x x x =-+，纵坐标为()R P Q y y y =-+，设直线PQ 的方程为x ky m =+，与抛物线方程联立，用m 、k 求出表示出R 的坐标，结合抛物线的方程，求出k 的取值范围，再结合抛物线的定义可得出结论．【详解】由题意知，抛物线C 的焦点为()1,0F ，设点(),P P P x y 、(),Q Q Q x y 、(),R R R x y ，由重心的坐标公式得1303P Q RP Q R x x x y y y ++⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩，()3R P Q x x x ∴=-+，()R P Q y y y =-+，设直线PQ 的方程为x ky m =+，由24x ky m y x=+⎧⎨=⎩，消去x 得2440y ky m --=，()221616160k m k m ∆=+=+>，由韦达定理得4P Q y y k +=，4P Q y y m =-，所以，()()()2242P Q P Q P Q x x ky m ky m k y y m k m +=+++=++=+，故()23342R P Q x x x k m =-+=--，()4R P Q y y y k =-+=-，将点R 的坐标代入抛物线C 的方程得()22164342k k m =⨯--，得2238m k =-， 则()()228228360k m k∆=+=->，得2102k≤<， 则(]222422543,5P Q PF QF x x k m k +=++=++=-∈.()1,0F 不在直线PQ 上，则1m ≠，此时，218k ≠，则92PF QF +≠. 因此，PF QF +的取值范围是993,,522⎛⎫⎛⎤⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦. 故选：A.【点睛】考查抛物线与直线的综合，求距离的取值范围，重心坐标的计算，属于难题． 二､填空题.13.已知函数()f x 、()g x 分别是定义在R 上的偶函数、奇函数，且满足()()3233f x g x x x x -=++，则()()22f g -+=______.【答案】2- 【解析】 【分析】根据题意，由函数的解析式可得()()22f g ---的值，结合函数()y g x =的奇偶性可得()()()()2222f g f g ---=-+，据此计算可得答案．【详解】根据题意，()()3233f x g x x x x -=++，则()()()()()3222232322f g ---=-+⨯-+⨯-=-. 又由函数()y g x =是奇函数，则()()22g g -=-，故()()()()22222f g f g -+=---=-. 故答案为：2-.【点睛】本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数值的计算，属于基础题．14.已知x ，y 满足11y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则z ＝2x +y 的最大值为_____.【答案】3. 【解析】 【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，2z x y =+表示直线在y 轴上的截距，只需求出可行域直线在y 轴上的截距最大值即可．【详解】解：11y x x y y ⎧⎪+⎨⎪-⎩，在坐标系中画出图象，三条线的交点分别是(1,1)A --，11,22B ⎛⎫⎪⎝⎭，(2,1)C -，在ABC ∆中满足2z x y =+的最大值是点C ，代入得最大值等于3． 故答案为：3．【点睛】本题是考查线性规划问题，本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．15.在ABC ∆中，6AB AC ==，4BC =，AD 是BC 边上的中线，将ABD ∆沿AD 折起，使二面角C AD B --等于120，则四面体ABCD 外接球的体积为______. 【答案】323π 【解析】 【分析】由题意可知折起的三棱锥是一条侧棱垂直于底面的棱锥，由题意求出高AD 及底面外接圆的半径r ，利用公式222AD R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭求出外接球的半径R ，进而求出外接球的体积．【详解】因为AB AC =，D 为BC 的中点，所以AD BC ⊥，在折起的过程中，AD BD ⊥，AD CD ⊥，BD CD D ⋂=，所以AD ⊥平面BCD ， 因为二面角C AD B --等于120，所以120BDC ∠=，且2BD CD ==，2242AD AB BD =-=BCD ∆中，30CBD BCD ∠=∠=，BCD ∆外接圆半径为22sin 30BDr ==，设外接球的半径为R ，则()2222222232AD R r ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭因此，所以外接球的体积为(33442332333V R πππ==⨯=.故答案为：3π.【点睛】本题考查一条侧棱垂直于底面的三棱锥的外接球半径与三棱锥棱长的关系及球的体积公式，考查计算能力，属于中档题．16.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知10a =，()()1112n nn n a a +⎡⎤=+-+-⎣⎦，则2n a =______，2n S =______.【答案】 (1). 212n -- (2). ()2143n -【解析】 【分析】令21n k =-，k *∈N ，根据递推关系即可求得2k a ，进而得出2n a ；令2n k =，k *∈N ，则可得到数列{}n a 的奇数项均为0，进而由等比数列的前n 项和公式求得2n S ． 【详解】令21n k =-，k *∈N ，则()()2121212211122k k k k k a a ----⎡⎤=+-+-=-⎣⎦，所以2122n n a -=-；令2n k =，k *∈N ，则()()()()222212121122220k k k k k k a a -+⎡⎤=+-+-=⨯-+-=⎣⎦， 所以，数列{}n a 所有的奇数项均为0. 因此，()()()1352122142142222143n n n nS---=-++++=-=-.故答案为：212n --；()2143n -.【点睛】本题考查由数列递推关系求数列通项及前n 项和，考查运算求解及逻辑推理能力，属于中档题．三､解答题:解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22~23题为选考题，考生根据要求作答.17.下表给出的是某城市2015年至2018年，人均存款x （万元），人均消费y （万元）的几组对照数据.（1）试建立y 关于x 的线性回归方程；如果该城市2019年的人均存款为1.1万元，请根据线性回归方程预测2019年该城市的人均消费；（2）计算()()221211==-=--∑∑niii nii y y R y y ，并说明线性回归方程的拟合效果.附：回归方程y a bx =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()121nii i nii xx y yb xx==--=-∑∑，a y bx =-.【答案】（1）0.6y x =，人均存款为0.66万元；（2）20.9R =，人均存款解释了90%的人均消费的变化，x 、y 具有较好的拟合效果. 【解析】 【分析】（1）由已知数据求得b 和a 的值，则线性回归方程可求，把 1.1x =代入线性回归方程，求得y 值得答案；（2）由回归方程计算得1y 、2y 、3y 、4y 的值，再由公式()()221211==-=--∑∑niii nii y y R y y 求得2R 的值，进一步说明线性回归方程的拟合效果． 【详解】（1）()41110.60.70.80.90.7544i i x x ===+++=∑，()41110.350.450.450.550.4544i i y y ===+++=∑，()()()()()410.150.10.0500.0500.150.10.03iii x x y y =--=-⨯-+-⨯+⨯+⨯=∑，()()()42222210.150.050.050.150.05ii x x =-=-+-++=∑，()()()414210.03ˆ0.60.05iii i i x x y y bx x==--∴===-∑∑，0.450.60.750a y bx =-=-⨯=， ∴所求回归直线方程为0.6y x =，当 1.1x =时，0.6 1.10.66y =⨯=，预计该国家2019年的人均存款为0.66万元； （2）由回归方程计算得，10.36y =，20.42y =，30.48y =，40.54y =， 所以，()()()()()42222210.350.360.450.420.450.480.550.540.002i ii y y =-=-+-+-+-=∑，()()()()()42222210.350.450.450.450.450.4850.550.450.02i i y y=-=-+-+-+-=∑，()()42214210.002110.90.02i i i i i y y R y y==-=-=-=-∑∑， 说明人均存款解释了90%的人均消费的变化，x 、y 具有较好的拟合效果.【点睛】本题考查线性回归方程的求法，同时也考查了相关指数的计算，考查计算能力，是基础题．18.如图，在矩形ABCD 中，1AB =，3BC =，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，3FAE π∠=，06EAB πθθ⎛⎫∠=<<⎪⎝⎭. .（1）求AE ，AF （用θ表示）； （2）求EAF ∆的面积S 的最小值.【答案】（1）1cos AE θ=，06cos 6AF πθπθ⎛⎫=<< ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭；（2）(32. 【解析】 【分析】（1）根据1AB =，BC =，分别在Rt ABE ∆和Rt ADF ∆中，利用锐角三角函数的定义求出AE 和AF 即可；（2）由条件知13sin 232sin 23S AE AF ππθ=⋅⋅=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，然后根据θ的范围，利用正弦函数的图象和性质求出S 的最小值.【详解】（1）在Rt ABE ∆中，1AB =，所以1cos cos AB AE EAB θ==∠，在Rt ADF ∆中，AD =，236DAF EAB πππθ∠=--∠=-，0cos 6cos 6ADAF DAFπθθ⎫∴==<<⎪∠⎝⎭- ⎪⎝⎭； （2）13sin 234cos cos 622S AE AF ππθθ=⋅==⎛⎫- ⎪⎝⎭⎝⎭32sin 23πθ===⎛⎫++ ⎪⎝⎭，因为06πθ<<，所以22333πππθ<+<2sin 223πθ⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，当232ππθ+=时，即当12πθ=时，S取最小值(32.【点睛】本题考查了正弦型函数最值和三角形的面积公式，考查了转化思想和计算能力，属于中等题．19.如图，已知四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是正方形，侧面11B BCC 是矩形，12BB BC =，E 为1AA 的中点，平面1ECC ⊥平面ABCD .（1）证明：1CC ⊥平面ABCD ；（2）判断二面角1B EC B --是否为直二面角，不用说明理由； （3）求二面角1B EC C --的大小. 【答案】（1）见解析；（2）是；（3）120. 【解析】 【分析】（1）连接AC 、11A C 、BD ，平面1ECC 即为平面11AAC C ，推导出BD AC ⊥，1BD CC ⊥，1CC BC ⊥，由此能证明1CC ⊥平面ABCD ；（2）二面角1B EC B --是直二面角；（3）以C 为原点，CD 为x 轴，CB 为y 轴，1CC 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量法能求出二面角1B EC C --的大小． 【详解】（1）连接AC ，11A C ，BD .平面1ECC 即为平面11C CAA ，底面ABCD 是正方形，BD AC ∴⊥.又平面1ECC ⊥平面ABCD ，平面1ECC 平面ABCD AC =，BD ⊂平面ABCD ，BD ∴⊥平面1ECC ，又1CC ⊂平面1ECC ，1CC BD ∴⊥，侧面11B BCC 是矩形，1CC BC ∴⊥，又BD BC B ⋂=，BD ⊂平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，1CC ∴⊥平面ABCD ； （2）二面角1B EC B --为直二面角；（3）由（1）可知，1CC CD ⊥，1CC BC ⊥，CD BC ⊥，故以C 为坐标原点，CD 方向为x 轴正方向，CD 为单位长度，建立如下图所示的空间直角坐标系C xyz -，则()0,1,0B ，()1,1,1E ，()1,0,0D ，所以()1,1,1CE =，()0,1,0CB =，设平面EBC 的法向量为(),,n x y z =，则00n CB y n CE x y z ⎧⋅==⎨⋅=++=⎩，令1x =，则0y =，1z =-，则()1,0,1n =-，由（1）知，BD ⊥平面1ECC ，所以，()1,1,0BD =-是平面1ECC 的一个法向量， 于是1cos ,2n BD n BD n BD⋅<>==⋅， 由（2）知二面角1B EC C --的平面角为钝角，所以二面角1B EC C --的大小为120.【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查直二面角的判断，考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，且离心率为12.（1）求椭圆C 的方程；（2）设椭圆C 在左、右顶点分别为A 、B ，左焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于M 、N 两点（M 和N 均不在坐标轴上），直线AM 、AN 分别与y 轴交于点P 、Q ，直线BM 、BN 分别与y 轴交于点R 、S ，求证：RSPQ为定值，并求出该定值. 【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析，定值13. 【解析】 【分析】（1）设椭圆C 的焦距为()20c c >，由离心率及过的点和a 、b 、c 之间的关系求出椭圆的方程；（2）设直线l 的方程为1x ky k ⎛=-≠ ⎝⎭，将直线l 与椭圆C 的方程联立，设点()11,M x y ，()22,N x y ，求出两根之和及两根之积，写出AM 、AN 的方程由题意求出P 、Q 的坐标，求出PQ 的值，同理由题意求出RS 的值，进而求出比值为定值．【详解】（1）设椭圆C焦距为()20c c >，由题意，22222191412a b a b c c a ⎧+=⎪⎪=+⎨⎪⎪=⎩，解得24a =，23b =，所以，椭圆C 的方程为22143x y +=； （2）由（1）知，()1,0F -，()2,0A -，()2,0B由题意，直线l 不与y 轴垂直，且不过椭圆C 的上、下顶点，故可设直线l的方程为13x ky k ⎛=-≠± ⎝⎭，设()11,M x y ，()22,N x y . 由221143x ky x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x ，整理得()2234690k y ky +--=. ()214410k ∆=+>，由韦达定理，122634k y y k +=+，122934y y k =-+. 直线AM 的方程为()()11112221y y y x x x ky =+=+++，1120,1y P ky ⎛⎫ ⎪+⎝⎭. 同理，2220,1y Q ky ⎛⎫ ⎪+⎝⎭. 所以，()()12122121212222111y y y y PQ ky ky k y y k y y -=-=+++++()()()21212222234296213434y y k y y k k k k -+-==-++++， 直线BM 的方程为()()11112223y y y x x x ky =-=---，1120,3y R ky ⎛⎫ ⎪-⎝⎭. 同理，2220,3y S ky ⎛⎫ ⎪-⎝⎭. 所以，()()121221212126223339y y y y RS ky ky k y y k y y -=-=---++()()()212122222346918693434y y k y y k k k k -+-==--+++， 由题意，12y y ≠，故13RS PQ =. 【点睛】考查直线与椭圆的综合应用，考查椭圆标准方程的求解，以及弦长比值为定值问题的证明，一般将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理设而不求法来求解，考查运算求解能力与推理能力，属于中等题.21.已知函数()()21x f x x ax e a R -=-+-∈. （1）讨论函数()()x g x e f x =的单调性；（2）证明：当1a >时，函数()f x 有三个零点.【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（1）求出函数()y g x =的解析式，求导，分0a <、0a =及0a >解关于导函数的不等式即可得出函数()y g x =的单调区间； （2）易知函数()y f x =的零点就是函数()y g x =的零点，结合（1）的结论以及零点存在性定理即可得证．【详解】（1）()()()211x x g x e f x e x ax ==-+-， ()()()()21211x x g x e x ax x a e x x a '∴=-++-=++-. ①当0a <时，11a -<-，当()()11,,x a -∞∞∈--+时，()0g x '>，当()1,1x a ∈--时，()0g x '<. 函数()y g x =单调递增区间为(),1a -∞-，()1,-+∞，单调递减区间为()1,1a --； ②当0a =时，11a -=-，()0g x '≥，则函数()y g x =在R 上为增函数；③当0a >时，11a ->-，当()(),11,a x -+∞∈-∞-，()0g x '>，当()1,a 1x ∈--，()0g x '<.∴函数()y g x =的单调递增区间为(),1-∞-，()1,a -+∞，单调递减区间为()1,1a --； 综上所述，当0a <时，函数()y g x =的单调递增区间为(),1a -∞-，()1,-+∞，单调递减区间为()1,1a --；当0a =时，函数()y g x =的单调递增区间为(),-∞+∞，无单调减区间；当0a >时，函数()y g x =的单调递增区间为(),1-∞-，()1,a -+∞，单调递减区间为()1,1a --；（2）0x e >，∴函数()y f x =的零点就是函数()y g x =的零点，当1a >时，由（1）知函数()y g x =在(),1-∞-，()1,a -+∞上单调递增，在()1,1a --上单调递减.当(),1x ∈-∞-时，函数()y g x =单调递增，因为()2110a g e +-=->，()()1212321a g a e a a ----=++-， 令()()122321a a e a a ϕ--=++-，则()()()()()121212324321211a a a a e a a a e a a e a a ϕ------'=-++--=---=-+-，1a >，()0a ϕ'∴<，函数()y a ϕ=在()1,+∞上单调递减，()()()271110g a a eϕϕ∴--=<=-<， 所以，存在()11,1x a ∈---，使得()10g x =，所以，函数()y g x =在(),1-∞-上有1个零点1x ；当()1,a 1x ∈--，()y g x =为减函数，极小值点10x a =->，且()00g =，所以，函数()y g x =在()1,a 1x ∈--有1个零点20x =；当()1,x a ∈-+∞，函数()y g x =为增函数，()10g a -<，()10a g a e =->，∴存在()31,x a a ∈-，使得()30g x =，所以函数()y g x =在()1,a -+∞有1个零点3x . 综上，当1a >时，函数()y g x =有三个零点，即函数()y f x =有三个零点.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性以及函数的零点，考查零点存在性定理，考查分类讨论思想及逻辑推理能力，属于难题．22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线221:2C x y y +=，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为42ππρθ⎫=<<⎪⎭. （1）求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）设点(),M ρα在曲线2C 上，直线OM 交曲线1C 于点N ，求OM ON ⋅的最小值.【答案】（1）曲线1C 的极坐标方程为2sin ρθ=，曲线2C 的直角坐标方程为()10y x x x=+>；（2）4. 【解析】【分析】（1）由222sin x y y ρρθ⎧+=⎨=⎩可将曲线1C 的方程化为极坐标方程，在曲线2C 的极坐标方程两边平方得()22sin cos cos 1ρθθθ-=，由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可将曲线2C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）根据题意得出OM =，2sin ON α=，然后利用换元法和三角函数关系式的恒等变换并结合基本不等式可求出OM ON ⋅的最小值.【详解】（1）将222sin x y y ρρθ⎧+=⎨=⎩代入222x y y +=得，2sin ρθ=， 所以曲线1C 的极坐标方程为2sin ρθ=.曲线2C 的方程可化为222sin cos cos 1,42ππρθθρθθ⎛⎫⎛⎫-=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()210xy x x -=>，得()10y x x x=+>， 所以2C 的直角坐标方程为()10y x x x =+>； （2）由（1）及题设条件知，OM =，2sin ON α=，其中,42⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππα， 所以222224sin 4tan sin cos cos tan 1OM ON a ααααα⋅==--，令tan 1t α=-， 因为,42⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππα，所以tan 1α>，所以0t >， 所以()222411484816t OM ON t t t +⎛⎫⋅==++≥⨯= ⎪⎝⎭， 当且仅当1t =，即tan 2α=，,42⎛⎫∈⎪⎝⎭ππα时等号成立. 所以OM ON ⋅的最小值为4.【点睛】本题考查的知识要点：极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中等题型．23.已知0a >，0b >，0c >，函数()f x x a x b c =++-+.（1）当1a b c ===时，求不等式()5f x >的解集； （2）若()f x 的最小值为1，求a b c ++的值，并求222a b c b c a++的最小值. 【答案】（1）()(),22,-∞-+∞；（2）1a b c ++=，222a b c b c a++的最小值为1. 【解析】【分析】 （1）先将1a b c ===代入函数()y f x =的解析式中，得出()111f x x x =++-+，然后分1x ≥、11x -<<、1x ≤-三种情况来解不等式()5f x >，即可得出该不等式的解集；（2）利用绝对值三角不等式求出()y f x =的最小值，从而得到a b c ++的值，再利用基本不等式求出222a b c b c a++的最小值. 【详解】（1）当1a b c ===时，()111f x x x =++-+，于是，不等式()5f x >可化为114x x ++->.当1x ≥时，不等式化为114x x ++->，解得2x >；当11x -<<时，不等式化为()114x x +-->，即24>，无解；当1x ≤-时，不等式化为()()114x x -+-->，即24x ->，解得2x <-.综上，不等式()5f x >的解集为()(),22,-∞-+∞；（2）由绝对值三角不等式得()()()1f x x a x b c x a x b c a b c =++-+≥+--+=++=，所以1a b c ++=.由基本不等式得22a b a b +≥=，22b c b c +≥=，22c a c a +≥=， ()2222a b c a b c a b c b c a ∴+++++≥++，即2221a b c a b c b c a++≥++=， 2221a b c b c a∴++≥，当且仅当13a b c ===时，等号成立， 因此，222a b c b c a++的最小值为1. 【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式和基本不等式，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．。