2021年哈三中高一下学期4月月考数学试卷及答案
第三中学高一数学4月月考试题(2021年整理)
河北省正定县第三中学2017-2018学年高一数学4月月考试题编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（河北省正定县第三中学2017-2018学年高一数学4月月考试题）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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正定三中高一第二学期4月考试数学试卷1。
若a,b，c∈R，且a＞b，则下列不等式一定成立的是（）A．＜B．(a﹣b）c2≥0C． a2＞b2 D． ac＞bc2。
不等式x2﹣x﹣6＜0的解集为（）A．｛x|x＜﹣2或x＞3} B．｛x|x＜﹣2｝C．{x|﹣2＜x＜3｝D．{x|x＞3｝3.已知等差数列｛a n｝中，a2=2,d=2，则S10=（）A．200 B．100 C．90 D．804.已知数列{a n｝是公差为2的等差数列，且a1,a2,a5成等比数列,则a2为（)A．﹣2 B．﹣3 C．2 D．35。
设S n是等差数列｛a n}的前n项和,已知a2=3，a6=11,则S7等于( )A．13 B．35 C．49 D．636.已知等比数列｛a n｝中，a3a11=4a7，数列{b n}是等差数列，且b7=a7,则b5+b9等于（）A．2 B．4 C．8 D．167.设等差数列{a n｝的前n项和为S n，若S3=9，S6=36，则a7+a8+a9=( ）A．63 B．45 C．36 D．278。
已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a=15，b=10，A=60°，则sinB等于（)A．﹣B．C．D．﹣9。
在△ABC中，A：B：C=1：2:3，则a：b: c等于（）A．1:2：3 B．3：2：1 C．1：:2 D．2：：110。
2021年高一下学期4月检测数学试题 Word版含答案
2021年高一下学期4月检测数学试题 Word版含答案xx.4.23一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答．题卡相应位置上．．．．．．．.1.简谐振动的初相是 .答案:2.计算 .答案:3.函数的定义域为________.答案:4.函数的单调增区间为________.答案:5.已知，则________.答案:6.已知，，若点在线段上，且，则点的坐标为________.答案:7.在中，若，则该三角形是三角形.答案:等腰或直角三角形8.如图，在矩形ABCD中，点E为BC的中点，点F在边CD上，若，则的值是．答案: Array 9.已知，是方程的两根，则的值为.________答案:10.若在直线上存在不同的三个点，使得关于实数的方程有解（点不在上），则此方程的解集为.答案:11. 式子的值为.答案:12. 在平面直角坐标系中，已知，，为坐标原点，的平分线交线段于点，则点的坐标为________．答案:13.函数，，在上有最大值，无最小值，则.答案:或14.在中，AB=2，AC=1，,O点是的外心，满足,其中为非零实数，则= ．答案:二、解答题：本大题共6小题，共计90分。
请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分14分）已知平面向量＝(cos，sin)，＝(cosx，sinx)，＝(sin，－cos)，其中0＜＜，且函数f(x)＝(·)cosx ＋(·)sinx的图象过点(，1)，（1）求的值（2）将函数y＝f(x)图象上各点的横坐标变为原来的的2倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求函数y＝g(x)在[0，]上的最大值和最小值解：（1），，即∴，而，∴（2）由（1）得，，于是，即，当时，，所以，即当时，取得最小值，当时，取得最大值116.（本小题满分14分）已知向量＝(－1，2)，又点A(8，0)、B(n，t)，C(ksin，t)(0≤≤)(1)若⊥，且||＝||，求向量(2)若向量与向量共线，当k＞4，且tsin取最大值为4时，求解: ，又||＝||，∴5×64＝(n－8)＋t＝5t，得，或(2)＝(ksin－8，t)，∵与向量共线，∴t＝－2ksin＋16，∵tsin＝(－2ksin＋16)sin＝－2k(sin－)＋，又∵k＞4，∴1＞＞0232sin (2sin 16)sin 2(sin )4k t k k kθθθθ=-+=--+，,当sin ＝时， 取最大值为，由，得k ＝8，此时，17. （本小题满分14分）在平面四边形中，(1)若已知，，，，且.求的值；(2)若，，求的值.解：(1) 在Rt △ADC 中，AD ＝8，CD ＝6，∠ADC ＝90°，则AC ＝10，cos ∠CAD ＝45，sin ∠CAD ＝35.∵ AB →·AC →＝50，AB ＝13，∴ cos ∠BAC ＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝513. ∵ 0＜∠BAC ＜π，∴ sin ∠BAC ＝1213.∴ sin ∠BAD ＝sin(∠BAC ＋∠CAD)＝6365.(2)由于AB →＝AC →＋CB →，DC →＝DB →＋BC →，所以AB →＋DC →＝AC →＋CB →＋DB →＋BC →＝AC →－BD →.(AB →＋DC →)·(AC →＋BD →)＝(AC →－BD →)·(AC →＋BD →)＝|AC →|2－|BD →|2＝9－4＝5.18. （本小题满分16分）已知O 为平面直角坐标系的原点，过点M(－2，0)的直线L 与圆x ＋y ＝1交于P 、Q 两点(1)若＝－，求直线L 的方程 (2)若△OMP 与△OPQ 的面积相等，求直线L 的斜率. （1）依题意，直线L 的斜率存在，因为 直线L 过点M(－2，0)，可设直线L ：y ＝k(x ＋2)因为P 、Q 两点在圆x ＋y ＝1上，所以||＝||＝1，因为·＝－，所以·＝||||cos ∠POQ ＝－，所以∠POQ ＝120，所以O 到直线L 的距离等于，所以，得k ＝±，所以直线L 的方程为x －y ＋2＝0或x ＋y ＋2＝0（2）因为△OMP 与△OPQ 的面积相等，所以， 设P(x ，y)、Q(x ，y)，所以，，所以 即 （*） 因为P 、Q 两点在圆上，所以 把（*）代入得故故直线L 的斜率k ＝k ＝±.19. （本小题满分16分）如图所示，某居民小区内建一块直角三角形草坪ABC ，直角边AB =40米，AC =米，扇形花坛ADE 是草坪的一部分，其半径为20米,为了便于居民平时休闲散步，该小区物业管理公司将在这块草坪内铺设两条小路OM 和ON ，考虑到小区整体规划，要求M 、N 在斜边BC 上，O 在弧 上，，．（1）设∠OAE =，记,求的表达式，并求出此函数的定义域；（2）经核算，两条路每米铺设费用均为400元，如何设计的大小使铺路的总费用最低？并求出最低总费用．解：（1）如图过O 、N 作AC 的垂线交AC 与F 、G 两点，则AF=20，OF=NG=20，CG=20，ON=，OM=ON,则120cos )]0,32l πθθθ⎛⎡⎤=++∈ ⎢⎥ ⎣⎦⎝⎭，...................................8分 （2）...............................12分，，即，总费用最少为..............................16分20. （本小题满分16分）设函数22()cos 2sin 262()f x x t x t t x R =--+-+∈，其中，将的最小值记为．（1）求的表达式；（2）当 时，要使关于的方程有且仅有一个实根，求实数的取值范围．（3）问取何值时，方程在上有两解？解：（1）由已知有：由于，∴ ………………3分∴ 当 时，则当时，；当 时，则当时，；当 时，则当时，；综上， ……………………6分 D A BC O E M N 第19题图（2）当 时，，方程 即：即方程 在区间有且仅有一个实根，………8分令 ，则有：解法1：①若当k=-4时，方程有重根t=1，当k=-8时，方程有重根t=-1 ∴ ……10分② 628k k k +⎧⎧⎪⎪⎪⎪⇒⇒-⎨⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎩＜-8＜-1k ＜-8q(-1)＜0＜k ＜-4q(1)＞0 或624k k k +⎧⎪⎧⎪⎪⇒⇒-⎨⎨⎪⎪⎩⎪⎩＞1＞-4q(-1)＞0k ＞-8＞k ＞-4q(1)＜0 综上，当时，关于的方程在区间有且仅有一个实根． ……………………………………12分解法2：由),4[]8,(0)4)(8(0)1()1(+∞---∞∈⇒≥++≤- k k k q q ，得．（3）令，22()6151g u u u a u u u a =-+=-⇒-+=或 ……………………………………16分(P, 34964 8894 袔=X29521 7351 獑32647 7F87 羇39875 9BC3 鯃@ 33540 8304 茄。
高一数学下学期4月月考试题含解析 试题
HY 中学2021-2021学年高一数学下学期4月月考试题〔含解析〕考生注意：1．本套试卷分第I 卷〔选择题〕和第II 卷〔非选择题〕两局部，一共150分，考试时间是是120分钟．2．请将各题答案填写上在答题卡上．3．本套试卷主要考试内容：必修4第一章和第三章．第I 卷一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的． 1.512π=〔 〕 A. 85° B. 80°C. 75°D. 70°【答案】C 【解析】 【分析】 根据180π=代入512π换算，即可得答案； 【详解】180π=，∴75512121805π=⨯=.应选：C.【点睛】此题考察弧度制与角度制的换算，考察运算求解才能，属于根底题. 2.cos750︒=〔 〕A. 12-B.12C. 【答案】D 【解析】 【分析】利用诱导公式可得cos750cos30=，利用特殊角三角函数值，即可得答案；【详解】2cos 750cos(72030)cos303=+==. 应选：D.【点睛】此题考察诱导公式的应用，考察运算求解才能，属于根底题.α的终边过点()cos2,tan 2，那么角α为〔 〕A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角 【答案】C 【解析】 【分析】根据cos20,tan20<<，即可得答案； 【详解】cos20,tan20<<，∴点()cos2,tan 2在第三象限， ∴角α为第三象限角.应选：C.【点睛】此题考察三角函数在各个象限的符号，考察运算求解才能，属于根底题.cos3y x =的图象，只需把函数cos 34y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象〔 〕A. 向左平移6π个单位长度 B. 向左平移12π个单位长度C. 向右平移6π个单位长度 D .向右平移12π个单位长度【答案】B 【解析】 【分析】比照两个函数中自变量x 的变化情况，再结合“左加右减〞的平移原那么，即可得答案；【详解】cos 34y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭向左平移12π单位可得cos 3(cos34)12y x x ππ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭，应选：B.【点睛】此题考察三角函数的平移变换，考察对概念的理解，属于根底题. 5.334απ=-,那么角α的终边与单位圆的交点坐标是( )A. ⎝⎭B. 22⎛- ⎝⎭C. 22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭D. 122⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】可分析角α的终边与4π-的终边重合,利用三角函数的定义求解即可 【详解】由题,33844πππ-=--,所以角α的终边与4π-的终边重合,因为单位圆的半径为1,那么cos 42y π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭,sin 42x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭,【点睛】此题考察终边一样的角的应用,考察三角函数的定义的应用2sin 45y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭上的每个点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),得到的曲线的对称中心为( )A. (),0210k k Z ππ⎛⎫-∈⎪⎝⎭ B. (),0210k k Z ππ⎛⎫+∈⎪⎝⎭ C . (),010k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭D. (),010k k Z ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】由图像变换原那么可得新曲线为2sin 25y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,令()25k x k Z ππ=∈+求解即可【详解】将曲线2sin 45y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭上的每个点的横坐标伸长为原来的2倍后得到曲线2sin 25y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,令()25k x k Z ππ=∈+,得()102k x k Z ππ=-+∈ 应选：A【点睛】此题考察三角函数的图像变换,考察正弦型函数的对称中心AOB 的半径为r ，弧长为l ，且212l r =-，假设扇形AOB 的面积为8，那么该扇形的圆心角的弧度数是〔 〕 A. 14B.12或者2 C. 1 D.14或者1【解析】 【分析】根据弧长公式及扇形的面积公式得到方程组，计算可得.【详解】解：由题意得212,18,2l r lr =-⎧⎪⎨=⎪⎩解得8,2,r l =⎧⎨=⎩或者4,4,r l =⎧⎨=⎩故14l r α==或者1l r α==.应选：D【点睛】此题考察弧长公式及扇形的面积公式的应用，属于根底题. 8.4sin 77πα⎛⎫+=-⎪⎝⎭，那么5cos 14πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭〔 〕A. 7-C. 47-D.45【答案】C 【解析】 【分析】利用诱导公式，可求得答案. 【详解】55()71421427ππππππαααα++-=⇒-=-+， ∴54cos cos[()]sin 142777ππππααα⎛⎫⎛⎫-=-+=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.应选：C.【点睛】此题考察诱导公式的应用求值，考察运算求解才能，求解时注意符号的正负.α为第二象限角，以下结论错误的选项是〔 〕A. sin cos αα>B. sin tan αα>C. cos tan 0αα+<D. sin cos 0αα+>【解析】 【分析】根据角所在象限,判断三角函数符号,即可判断选项. 【详解】因为α为第二象限角, 所以sin 0α>,cos 0α<,tan 0α< A,B,C 对,D 不一定正确. 应选:D【点睛】此题考察了三角函数在第二象限的符号,属于根底题.()cos sin xf x x x=-的局部图象大致为〔 〕A. B. C. D.【答案】C 【解析】 【分析】根据函数为奇函数和(1)f 的正负，即可得答案； 【详解】()f x 的定义域为{|0}x x ≠，关于原点对称，且()()f x f x -=-，∴()f x 为奇函数，排除B ，D ；cos1(1)01sin1f =>-，排除A ；【点睛】此题考察根据函数的解析式选择函数图象，考察数形结合思想，求解时注意函数性质的运用.()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的局部图象如下图,BC ∥x 轴当70,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,假设不等式()sin 2f x m x -恒成立,那么m 的取值范围是( )A. 3,2⎫+∞⎪⎪⎣⎭B. 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C. 3,)+∞D. [1,)+∞【答案】A 【解析】 【分析】根据,B C 两点的对称性求得()f x 的一条对称轴方程，由此结合()f x 的周期性求得ω的值，结合π,03⎛⎫⎪⎝⎭求得ϕ，进而求得()f x 的解析式，利用别离常数法化简()sin 2f x m x -，结合三角函数值域的求法，求得m 的取值范围.【详解】因为//BC x ,所以()f x 的图像的一条对称轴方程为2723212x πππ+==,71212344ππππω-==⨯,所以2ω=.由于函数()f x 图像过π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，由23k πϕππ⨯+=+,k Z ∈,且0ϕπ<<,得3πϕ=,所以()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. ()sin 2f x m x -，等价于()sin 2f x x m -,令()sin 2sin 23g x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭,70,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,()sin 2coscos 2sinsin 2cos 2336g x x x x x πππ⎛⎫=+-=+ ⎪⎝⎭.由70,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,得42,663x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦,()g x 的最大值为2,所以32m . 应选：A【点睛】本小题主要考察根据三角函数的图像求三角函数的解析式，考察三角函数最值的求法，考察三角恒等变换，考察化归与转化的数学思想方法，属于中档题.()()sin f x x ππ=-与()()114g x x =-的图象所有交点的横坐标为12,,,n x x x ，那么12n x x x +++=〔 〕A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】B 【解析】 【分析】作出两个函数的图象，利用函数的对称中心为(1,0)，即可得答案； 【详解】作出两个函数的图象，易得一共有7个交点，即127,,,x x x不妨设127x x x <<<，127S x x x =+++，两个函数均以(1,0)为对称中心，∴71625342,2,2,1x x x x x x x +=+=+==， ∴3217S =⨯+=.应选：B.【点睛】此题考察利用函数的对称中心求函数零点和，考察函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考察逻辑推理才能、运算求解才能.第II卷二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13.5sin13α=，2παπ<<，那么cos6tanαα-=______.【答案】41 26【解析】【分析】根据同角三角函数关系式及角的范围,可求得cos,tanαα,代入即可求解. 【详解】由同角三角函数关系式,可知因为5sin13α=,2παπ<<,所以2512cos11313α⎛⎫=-=-⎪⎝⎭,5sin513tan12cos1213ααα===--,所以12541 cos6tan6131226αα⎛⎫-=--⨯-=⎪⎝⎭.故答案为: 41 26【点睛】此题考察了同角三角函数关系式的应用,属于根底题.14.()sin10sin3sin80cos1070m ︒︒+︒-=︒，角α的终边经过点()P m ，那么cos α=_________.【答案】 【解析】 【分析】利用诱导公式以及同角三角函数的根本关系可得1m =，再利用三角函数的定义即可求解. 【详解】因为()22sin10sin370sin80cos10sin 10cos 101m ︒=+-=︒︒+︒︒=︒，2r ==，所以cos 2α=-.故答案为： 【点睛】此题考察了诱导公式、同角三角函数的根本关系以及三角函数的定义，属于根底题. 15.tan 3α=，那么2cos sin 2αα+=__________. 【答案】710【解析】 【分析】由正弦二倍角角公式化简，作出分母为1的分式，分母1用22sin cos αα+代换化为关于sin ,cos αα的二次齐次式，再化为tan α求值．【详解】22222cos 2sin cos 12tan 7cos sin 2cos sin 1tan 10ααααααααα+++===++.故答案为：710． 【点睛】此题考察正弦的二倍角公式和同角间的三角函数关系．考察“1〞的代换．解题时注意关于sin ,cos αα的齐次式的化简求值方法．()12cos 123f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭在()0,2020π的零点个数为____________．【答案】1009 【解析】 【分析】将函数的零点转化为求方程()0f x =的根，再计算根在区间()0,2020π的个数，即可得到答案.【详解】函数()12cos 123f x x π⎛⎫=+-⎪⎝⎭在区间()0,2020π的零点，等价于方程11cos 232x π⎛⎫+=⎪⎝⎭在区间()0,2020π根的个数；∴12233x k πππ+=+或者12233x k πππ+=-， ∴4x k π=或者44,3x k k Z ππ=-∈，当1k =时，14x π=⨯或者4143x ππ=⨯-；当2k =时，24x π=⨯或者4243x ππ=⨯-；当504k =时，5044x π=⨯或者450443x ππ=⨯-； 当505k =时，450543x ππ=⨯-； ∴函数()12cos 123f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭在()0,2020π的零点个数为504211009⨯+=.故答案为：1009.【点睛】此题考察三角函数的零点个数问题，考察函数与方程思想、转化与化归思想，考察逻辑推理才能、运算求解才能.三、解答题：本大题一一共6小题，一共70分．解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤．α为第一象限角，且sin α．〔1〕求cos tan αα、的值； 〔2〕求()()3sin 2cos cos 2παπαπα--+⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．【答案】(1)1cos tan 52αα==;(2)7 【解析】 【分析】〔1〕利用同角三角函数的平方关系、商数关系，即可得答案；〔2〕利用诱导公式进展化简得到关于sin α，cos α的式子，再转化成关于tan α的式子，即可得答案； 【详解】〔1〕角α为第一象限角，且sin α，∴cos 5α===，∴sin 1tan cos 2ααα==. 〔2〕原式323sin 2cos 3tan 2271sin tan 2ααααα+++====. 【点睛】此题考察同角三角函数根本关系、诱导公式化简求值，考察函数与方程思想、转化与化归思想，考察运算求解才能.18.某同学用“五点法〞画函数()()sin f x A x =+ωϕ在某一个周期内的图象时,列表并填入了局部数据,如下表:(1)请将上表数据补充完好,填写上在相应位置,并求出函数()f x 的解析式;(2)把()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再把得到的图象向左平移3π个单位长度,得到函数()y g x =的图象,求236g π⎛⎫⎪⎝⎭的值. 【答案】(1)见解析,()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.(2)-1【解析】 【分析】〔1〕由表格中数据,可得5122113122ππωϕππωϕ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,即可求得23ωπϕ=⎧⎪⎨=-⎪⎩,由sin 22A π=可得2A =,那么()2sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭,进而补全表格即可； 〔2〕由图像变换原那么可得()2sin g x x =,进而将236x π=代入求解即可 【详解】解:(1)根据表中数据,可得5122113122ππωϕππωϕ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,解得23ωπϕ=⎧⎪⎨=-⎪⎩,又sin22A π=,所以2A =,所以()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 数据补全如下表:x6π 512π 23π 1112π76π ()sin A x ωϕ+ 02-2(2)由(1)知()2sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭, 把()y f x =的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到2sin 3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像,再把得到的图像向左平移3π个单位长度,得到2sin sin 33y x x ππ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭的图像,即()2sin g x x =,所以23232sin 2sin 1666g πππ⎛⎫⎛⎫==-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【点睛】此题考察由三角函数性质求解析式,考察三角函数的图像变换,考察运算才能()()sin 0,0f x A x b A ωω=+>>的局部图象如下图．〔1〕求()f x 的解析式；〔2〕设,MOx NOx αβ∠=∠=，求()sin αβ+的值． 【答案】〔1〕()4sin 18xf x π=-；〔2〕5665. 【解析】 【分析】〔1〕观察图象得到b 的值，再利用函数的周期、振幅求得函数的解析式；〔2〕分别求出sin ,cos ,sin ,cos ααββ的值，再代入两角和的正弦公式，即可得答案； 【详解】〔1〕易得3(5)12b +-==-， ∴3(1)4A =--=，∴()4sin 1f x x ω=-，281628T T ππωω=⇒==⇒=， ∴()4sin 18xf x π=-.〔2〕由图象得：34512sin ,cos ,sin ,cos 551313ααββ====， ∴()3124556sin cos cos sin 51351365sin αβαβαβ+=⨯=+=+⨯.【点睛】此题考察三角函函数的图象与性质、两角和正弦公式的应用，考察函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考察逻辑推理才能、运算求解才能.()(0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π.〔1〕求ω的值； 〔2〕求()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值以及相应的x 的值；〔3〕假设()2f x =-，求25cos cos 63x x ππωω⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值.【答案】〔1〕2；〔2〕最小值-512x π=；最大值3，0x =；〔3〕1916【解析】 【分析】〔1〕由正弦函数的周期2T ωπ=，代入求解即可；〔2〕由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，那么72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，再求函数的值域即可；〔3〕由有1cos 264x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，又25cos 2cos 263x x ππ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2cos 2cos 2626x x ππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，再结合诱导公式化简求值即可.【详解】解：〔1〕因为函数()(0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，由2T ππω==，得2ω=.〔2〕()26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，从而1cos 262x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭.于是，当26x ππ+=，即512x π=时，()f x 获得最小值- 当266x ππ+=，即0x =时，()f x 获得最大值3.〔3〕因为()26f x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以1cos 264x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭. 故25cos cos 63x x ππωω⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭25cos 2cos 263x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2cos 2cos 2626x x ππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦2cos 2sin 266x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2cos 21cos 266x x ππ⎛⎫⎛⎫=-++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2111()44=+--1916=. 【点睛】此题考察了三角函数的周期，重点考察了三角函数的最值的求法及给值求值问题，属中档题.()2sin (sin cos )2f x x x x a =++-的图像经过点π(,1)4.〔1〕求a 的值以及()f x 的单调递减区间； 〔2〕当[,]22x ππ∈-时，求使()1f x <成立的x 的取值集合. 【答案】〔1〕a=1, ()f x 的单调递减区间为37[,],88k k k Z ππππ++∈；〔2〕{|}24x x ππ-<<【解析】 【分析】〔1〕根据函数f 〔x 〕的图象过点,14π⎛⎫⎪⎝⎭求出a 的值，再化f 〔x 〕为正弦型函数，求出它的单调递减区间；(2) 由()1f x <，得sin 242x π⎛⎫-< ⎪⎝⎭,结合正弦函数图像，解三角不等式即可. 【详解】解：〔1〕因为函数()()2sin sin cos 2f x x x x a =++-的图像经过点,14π⎛⎫⎪⎝⎭，所以122a =-，解得1a = 又()()22sin sin cos 12sin 2sin cos 1f x x x x x x x =+-=+-1cos2sin2124x x x π⎛⎫=-+-=- ⎪⎝⎭,由3222,242k x k k Z πππππ+≤-≤+∈，得37,88k x k k Z ππππ+≤≤+∈ 故()f x 的单调递减区间为37,,88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦〔2〕由()1f x <，得sin 24x π⎛⎫-< ⎪⎝⎭ 当,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，532444x πππ-≤-≤ 故52444x πππ-<-<，解得：24x ππ-<< 故使()1f x <成立的x 的取值集合为{|}24x x ππ-<<.【点睛】此题考察了三角函数的图象与性质的应用问题，也考察了三角恒等变换问题，是根底题．()2sin 24x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．〔1〕求()f x 的图象的对称中心； 〔2〕假设5,24x m π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，()f x 的值域为[]1,2-，求m 的取值范围； 〔3〕设函数()()2f xg x n =-，假设存在55,2424x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦满足()03g x ≤≤，求n 的取值范围．【答案】〔1〕(,0),28k k Z ππ-∈;〔2〕11248m ππ≤≤;〔3〕542n -≤≤【解析】 【分析】〔1〕直接解方程sin 204x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即可得到对称中心；〔2〕作出函数()2sin 24x f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象如下图，观察图象可得m 的取值范围； 〔3〕将问题转化为()()2,23,f x f x n n ⎧≤⎪⎨≥-⎪⎩在55,2424x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦有解问题，求出函数的最值，即可得答案；【详解】〔1〕sin 204x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴2,4x k k Z ππ+=∈，即,28k x k Z ππ=-∈，∴()f x 的图象的对称中心(,0),28k k Z ππ-∈. 〔2〕作出函数()2sin 24x f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象如下图， 当2sin 214x π⎛⎫+=-⎪⎝⎭时，∴246B x ππ+=-或者7246Cx ππ+=， 可得524B x π=-，2141C x π=， 当2sin 224x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，∴8G x π=，∴11248m ππ≤≤.〔3〕由题意得：()023f x n ≤-≤在55,2424x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦有解， ∴()()2,23,f x f x n n ⎧≤⎪⎨≥-⎪⎩在55,2424x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦有解， 552,22424643x x πππππ⎡⎤∈-⇒-≤+≤⎢⎥⎣⎦，∴()[1,2]f x ∈-，∴()max [2]4f x =，()min 5[23]2f x -=-， ∴542n -≤≤. 【点睛】此题考察三角函的图象与性质、不等式有解问题，考察函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考察逻辑推理才能、运算求解才能，求解时注意借助图形的直观性进展分析.。
2020-2021学年黑龙江省哈尔滨三中高一(下)月考数学试卷(3月份)(附答案详解)
2020-2021学年黑龙江省哈尔滨三中高一（下）月考数学试卷（3月份）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 若角θ满足sinθ|sinθ|+cosθ|cosθ|=−1，则θ是( )A. 第一象限的角B. 第二象限的角C. 第三象限的角D. 第四象限的角2. 已知a ⃗ =(−3,4),b ⃗ =(−2,1)，则a ⃗ 在b ⃗ 上的投影为( )A. −2B. 2C. −2√5D. 2√53. 若e 1⃗⃗⃗ ,e 2⃗⃗⃗ 是夹角为π3的单位向量，且a ⃗ =2e 1⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ ，b ⃗ =−3e 1⃗⃗⃗ +2e 2⃗⃗⃗ ，则a⃗ ⋅b ⃗ =( ) A. 1 B. −4C. −72D. 724. 若△ABC 为锐角三角形，则下列式子一定成立的是( )A. log cosC sinAcosB >0 B. log sinC cosAcosB >0 C. log sinC sinAsinB >0D. log sinC cosAsinB >05. 设a ⃗ =(1,x)，b ⃗ =(2,x −3)，若当x =m 时，a ⃗ //b ⃗ ，当x =n 时，a ⃗ ⊥b ⃗ .则m +n =( )A. −2B. −1C. 0D. −2或−16. 已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 满足2015cos2C −cos2A =2014−2sin 2B ，则tanC⋅(tanA+tanB)tanA⋅tanB=( )A. 12014B. 11007C.20152D. 220157. 已知正四面体ABCD ，则AB 与平面BCD 所成角的余弦值为( )A. 12B. 23C. 13D. √338. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a =3c ，sinC =15，则sinA =( ) A. 15B. 25C. 35D. 459. 已知O ，N ，P 在△ABC 所在平面内，且|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |,NA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +NB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +NC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，且PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PA⃗⃗⃗⃗⃗ ，则点O ，N ，P 依次是△ABC 的( ) A. 重心 外心 垂心 B. 重心 外心 内心 C. 外心 重心 垂心D. 外心 重心 内心10. 在△ABC 中，已知a =4，b =x ，A =60°，如果解该三角形有两解，则( )A. x >4B. 0<x ≤4C. x ≤8√33 D. 4<x <8√3311. 在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 是菱形，PA ⊥底面ABCD ，M 是棱PC 上一点．若PA =AC =a ，则当△MBD 的面积为最小值时，直线AC 与平面MBD 所成的角为( )A. π6B. π4C. π3D. π212. 已知非零向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 满足(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+AC ⃗⃗⃗⃗⃗|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |)·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，且AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则△ABC 为( ) A. 等腰非直角三角形 B. 直角非等腰三角形 C. 等腰直角三角形D. 等边三角形二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知O 是△ABC 内部一点，且3OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则△OBC 的面积与△ABC 的面积之比为______ ．14. 已知正三棱锥A −BCD 的四个顶点在同一个球面上，AB =AC =AD =4，CD =6，则该三棱锥的外接球的表面积为______ ；该三棱锥的顶点B 到面ACD 的距离为______ ．15. △ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，则：①若cosBcosC >sinBsinC ，则△ABC 一定是钝角三角形； ②若acosA =bcosB ，则△ABC 为等腰三角形；③a ⃗ =(tanA +tanB,tanC)，b ⃗ =(1,1)，若a ⃗ ⋅b ⃗ >0，则△ABC 为锐角三角形；④若O 为△ABC 的外心，AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(b 2−c 2)； ⑤若sin 2A +sin 2B =sin 2C ，且OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则|OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|2+|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2|OC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=5 以上叙述正确的序号是______．16. 已知函数f(x)={xx+2,x ∈(12,1]−12x +14,x ∈[0,12],g(x)=asin(π3x +3π2)−2a +2(a >0)，给出下列结论：①函数f(x)的值域为[0,13]； ②函数g(x)在[0,1]上是增函数；③对任意a >0，方程f(x)=g(x)在[0,1]内恒有解；④若存在x 1，x 2∈[0,1]，使得f(x 1)=g(x 2)成立，则实数a 的取值范围是59≤a ≤45． 其中所有正确结论的序号是______ ． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知向量a ⃗ =(1,2)，b ⃗ =(−3,2)，向量x ⃗ =k a ⃗ +b ⃗ ，y ⃗ =a ⃗ −3b ⃗(1)当k 为何值时，向量x ⃗ ⊥y ⃗ ；(2)若向量x⃗ 与y⃗的夹角为钝角，求实数k的取值范围．18.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b2+c2=a2+bc．(Ⅰ)求A的大小；(Ⅱ)如果cosB=√6，b=2，求△ABC的面积．319.如图，正三棱柱ABC−A1B1C1的所有棱长都为1，D为CC1中点．(Ⅰ)求证：AB1⊥平面A1BD；(Ⅱ)求点C到平面A1BD的距离．20. 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A(1,cosx)，B(1+sinx,cosx)，且x ∈[0,π2]，A ，B ，C 三点满足OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =23OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ． (1)求证：A ，B ，C 三点共线；(2)若函数f(x)=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +(2m +13)⋅|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |+m 2的最小值为143，求实数m 的值．21. 已知向量m⃗⃗⃗ =(sin x 4,cos x 4)，n ⃗ =(√3cos x 4,cos x4)，记f(x)=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ ． (1)若f(x)=1，求cos(x +π3)的值；(2)若△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足(2a −c)cosB =bcosC ，求角B 的大小及函数f(A)的取值范围．22. 已知关于x 的函数f(x)=x 2−kx −2，x ∈R ．(1)若函数f(x)是R 上的偶函数，求实数k 的值；(2)若函数g(x)=f(2x −1)，当x ∈(0,2]时，g(x)≤0恒成立，求实数k 的取值范围；(3)若函数ℎ(x)=f(x)+|x 2−1|+2，且函数ℎ(x)在(0,2)上两个不同的零点x 1，x 2，求证：1x 1+1x 2<4．答案和解析1.【答案】C【解析】解：象限角θ满足sinθ|sinθ|+cosθ|cosθ|=−1， ∴−sin 2θ−cos 2θ=−1， ∴{sinθ<0cosθ<0，∴θ是第三象限角． 故选：C ．根据同角的三角函数关系得出sinθ<0且cosθ<0，由此判断θ是第几象限角． 本题考查了同角的三角函数关系应用与三角函数值符号的判断问题，是基础题．2.【答案】D【解析】解：根据投影的定义可得：a⃗ ⋅b ⃗ |b ⃗ |=√(−2)2+12=√5=2√5，故选：D根据投影的定义a⃗ 在b ⃗ 上的投影为a ⃗ ⋅b⃗ |b⃗ |． 本题主要考查向量投影的定义及求解的方法，公式与定义两者要灵活运用．解答关键在于要求熟练应用公式．3.【答案】C【解析】解：∵a ⃗ =2e 1⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ ，b ⃗ =−3e 1⃗⃗⃗ +2e 2⃗⃗⃗ ，e 1⃗⃗⃗ ,e 2⃗⃗⃗ 是夹角为π3的单位向量， ∴a ⃗ ⋅b ⃗ =(2e 1⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ )·(−3e 1⃗⃗⃗ +2e 2⃗⃗⃗ )=−6+2+1×1×12=−72，故选：C ．因为a ⃗ =2e 1⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ ，b ⃗ =−3e 1⃗⃗⃗ +2e 2⃗⃗⃗ ，e 1⃗⃗⃗ ,e 2⃗⃗⃗ 是夹角为π3的单位向量，代入后根据向量的数量积运算法则可得答案．本题主要考查向量的数量积运算，要牢记数量积运算的定义和法则，属基础题．4.【答案】D【解析】解：∵△ABC为锐角三角形，∴A+B>π2，即A>π2−B，则sinA>cosB>0，sinAcosB>1，又0<cosC<1，∴log cosC sinAcosB<0，A错误；∵0<sinC<1，当A=70°，B=80°时，cosAcosB >1，log sinC cosAcosB<0，B错误；当A=80°，B=70°时，sinAsinB >1，log sinC sinAsinB<0，C错误；由A+B>π2，即B>π2−A，则sinB>cosA>0，0<cosAsinB<1，log sinC cosAsinB>0，D正确．故选：D．由△ABC为锐角三角形，得A+B>π2，移向后利用三角函数的单调性借助于诱导公式可说明sinAcosB >1，0<cosAsinB<1，从而可得A错误，D正确；举例说明B，C错误．本题考查了锐角三角形的性质、锐角三角函数的单调性、对数函数的单调性等基础知识与基本技能方法，属于中档题．5.【答案】D【解析】解：∵当x=m时，a⃗//b⃗ ，∴2m−(m−3)=0，解得m=−3．∵当x=n时，a⃗⊥b⃗ .∴a⃗⋅b⃗ =2+n(n−3)=0，解得n=1或2．则m+n=−1或−2，故选：D．利用向量共线定理、向量垂直与数量积的关系即可得出．本题考查了向量共线定理、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6.【答案】B【解析】解：由题意，2015cos2C−cos2A=2014−2sin2B，∴2015(1−2sin2C)−(1−2sin2A)=2014−2sin2B，化简得sin2B+sin2A=2015sin2C，由正弦定理得：a2+b2=2015c2；那么cosC=a2+b2−c22ab =2014c22ab=1007c2ab；∴tanC⋅(tanA+tanB)tanA⋅tanB=tanC⋅(1tanA+1tanB)=sinCcosC⋅(cosAsinA+cosBsinB)=sinCcosC⋅sin(A+B)sinAsinB=sin2C cosCsinAsinB=ab 1007c2⋅c2ab=11007．故选：B．由题意，利用同角的三角函数关系和正弦、余弦定理求得cos C的值，再利用三角恒等变换化简tanC⋅(tanA+tanB)tanA⋅tanB，代入求值即可．本题考查了三角恒等变换以及三角函数求值问题，是中档题．7.【答案】D【解析】解：取CD中点E，连结BE，过A作AO⊥平面BCD，交BE于O，连结AO，设正四面体ABCD的棱长为2，则BE=√22−12=√3，BO=23BE=2√33，∵AO⊥平面BCD，∴∠ABO是AB与平面BCD所成角，cos∠ABO=BOAB =2√332=√33．∴AB与平面BCD所成角的余弦值为√33．故选：D．取CD中点E，连结BE，过A作AO⊥平面BCD，交BE于O，连结AO，则∠ABO是AB 与平面BCD所成角，由此能求出AB与平面BCD所成角的余弦值．本题考查线面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．8.【答案】C【解析】解：∵a =3c ，sinC =15， 因为ac =sinAsinC ； 则sinA =3sinC =35． 故选：C ．直接由正弦定理以及已知条件即可求得结论．本题考查三角形的正弦定理的应用，考查运算能力，属于基础题．9.【答案】C【解析】解：∵|OA −|=|OB −|=|OC −|，∴O 到三角形三个顶点的距离相等， ∴O 是三角形的外心，根据所给的四个选项，第一个判断为外心的只有C ，D 两个选项， ∴只要判断第三个条件可以得到三角形的内心或垂心就可以，∵PA −⋅PB −=PB −⋅PC −=PC −⋅PA −，∴PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ −PC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∴PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 同理得到另外两个向量都与边垂直， 得到P 是三角形的垂心， 故选：C ．据O 到三角形三个顶点的距离相等，得到O 是三角形的外心，根据所给的四个选项，第一个判断为外心的只有③④两个选项，只要判断第三个条件可以得到三角形的什么心就可以，移项相减，得到垂直，即得到P 是三角形的垂心．本小题主要考查向量的数量积的运算法则、三角形五心等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，本题是一个考查的向量的知识点比较全面的题目，把几种三角形的心总结的比较全面，解题时注意向量的有关定律的应用．10.【答案】D【解析】解：如图所示：∵如果解该三角形有两解，则必须满足：CD <BC <AC ，既有：bsinA <a <b ，∴xsin60°<4<x．∴可解得：4<x<8√3．3故选：D．结合图象可得如解该三角形有两解，则必须有：bsinA<a<b，代入已知即可得解．本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基本知识的考查．11.【答案】B【解析】【分析】本题考查线面垂直的判定定理，线面夹角的应用，菱形的性质定理，属于中档题．首先通过线面垂直进一步证明出BD⊥平面PAC，然后当△MBD的面积为最小时，只需OM最小即可，过O点作OM⊥PC，可得CM⊥平面MBD，∠COM即为所求的角，由于PA=AC=a，进一步求出结果．【解答】解：连接AC，BD交于点O，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥底面ABCD，BD⊂底面ABCD，所以PA⊥BD，AC⊥BD，因为PA∩AC=A，PA、AC⊂平面PAC，所以BD⊥平面PAC，因为OM⊂平面PAC，CP⊂平面PAC，所以BD⊥OM，BD⊥CP，当△MBD的面积为最小时，只需OM最小即可，过O 点作OM ⊥PC 于M ， 又PA =AC =a ，所以∠ACP =π4，得∠COM =π4，因为CP ⊥BD ，CP ⊥OM ，OM ∩BD =O ，OM ，BD ⊂平面MBD ， 所以CM ⊥平面MBD ，点M 是点C 在平面MBD 上的投影， 所以∠COM 即为所求的角，且等于π4． 故选B ．12.【答案】C【解析】 【分析】本题考查三角形形状的判断，考查运算求解能力，是中档题． 推导出AB =AC ，∠BAC =90°，即可得解． 【解答】解：由题意，AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |、AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |分别是AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 、AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向的单位向量， 所以AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC⃗⃗⃗⃗⃗ |为∠BAC 角平分线所在直线上的向量， ∵非零向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 满足(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+AC ⃗⃗⃗⃗⃗|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |)·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， ∴AB =AC ，△ABC 为等腰三角形， ∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB⃗⃗⃗⃗⃗ ， AB ·⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， ∴∠BAC =90°，∴△ABC 是等腰直角三角形． 故选C ．13.【答案】1：2．【解析】解：根据题意，设E 在边BC 上，且BE =12EC ， 则OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13(OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=23OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，又由3OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，变形可得：−OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =23OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 则OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则O 是AE 的中点， 故O 到边BC 的距离为A 到边BC 距离的12， 则△OBC 的面积与△ABC 的面积之比为1：2， 故答案为：1：2．根据题意，设E 在边BC 上，且BE =12EC ，分析可得OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =23OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，又由3OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，变形可得−OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =23OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则有OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则O 是AE 的中点，结合三角形面积公式计算可得答案．本题考查平面向量的线性运算，涉及三角形面积的计算，属于基础题．14.【答案】64π 6√217【解析】解：如图，设底面三角形BCD 的外心为G ，连接AG ，则该三棱锥的外接球的球心O 在AG(或其延长线)上，连接OB ．连接BG 并延长，交CD 于E ，连接AE ，由等边三角形BCD 的边长CD =6，得BE =√62−32=3√3， ∴BG =23BE =2√3，则AG =√16−12=2．设三棱锥的外接球的半径为R ，则(2−R)2+(2√3)2=R 2，解得R =4． ∴该三棱锥的外接球的表面积为4π×42=64π．V A−BCD =13×12×6×3√3×2=6√3，S △ACD =12×6×√42−32=3√7， 设B 到面ACD 的距离为h ，由V A−BCD =V B−ACD ，得6√3=13×3√7×ℎ，∴ℎ=6√217．故答案为：64π；6√217．由题意画出图形，作出正三棱锥的外接球的球心，利用勾股定理求得外接球的半径，再由球的表面积公式求三棱锥外接球的表面积；利用等体积法求三棱锥的顶点B 到面ACD 的距离．本题考查多面体外接球表面积的求法，训练了利用等体积法求点到面的距离，考查计算能力，是中档题．15.【答案】①③④⑤【解析】解：①若cosBcosC >sinBsinC ，则cosBcosC −sinBsinC =cos(B +C)>0， 即−cosA >0，cosA <0，则∠A 为钝角，故△ABC 一定是钝角三角形，正确． ②若acosA =bcosB ，则由正弦定理得2rsinAcosA =2rsinBcosB ，即sin2A =sin2B ，则2A =2B 或2A +2B =180，即A =B 或A +B =90°，则△ABC 为等腰三角形或直角三角形，错误；③a ⃗ =(tanA +tanB,tanC)，b ⃗ =(1,1)，则a ⃗ ⋅b⃗ =tanA +tanB +tanC =(1−tanAtanB)tan(A +B)+tanC >0 tan(A +B)+tanC >tanAtanBtan(A +B)⇒0>tanAtanBtan(A +B) ∴必有A +B >π2，且A ，B 都为锐角 ∴C 也必为锐角，∴△ABC 为锐角三角形，正确，④O 为△ABC 的外心，AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，=|AO ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos <AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ >−|AO ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅cos <AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ >=12|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2−12|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=12(b 2−c 2)，正确，⑤若sin 2A +sin 2B =sin 2C ，则由正弦定理得a 2+b 2=c 2，则△ABC 是直角三角形， ∴(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0，∴OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )+OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=0，∴OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2，∵−OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴5OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2，即结论成立．故答案为①③④⑤．对5个命题分别进行判断，即可得出结论．本题考查三角形中的有关知识，考查向量知识的运用，属于中档题．16.【答案】①②④【解析】解：①当x ∈(12,1]时，f(x)=xx+2=1−2x+2单调递增，∴f(12)<f(x)≤f(1)，即15<f(x)≤13．当x ∈[0,12]时，由函数f(x)=−12x +14单调递减，∴f(12)≤f(x)≤f(0)，即0≤f(x)≤14． ∴函数f(x)的值域为[0,13].因此①正确．②g(x)=−acos π3x −2a +2，∵x ∈[0,1]，∴0≤πx 3≤π3，因此cosπx 3在[0,1]上单调递减，又a >0，∴g(x)在[0,1]上单调递增，因此正确．③由②可知：g(0)≤g(x)≤g(1)，∴−3a +2≤g(x)≤−52a +2． 若任意a >0，方程f(x)=g(x)在[0,1]内恒有解， 则必须满足f(x)的值域[0,13]⊆{g(x)|x ∈[0,1]}．∴−3a +2≤0，−52a +2≥13，解得a =23，因此③不正确；④存在x 1，x 2∈[0,1]，使得f(x 1)=g(x 2)成立，则{g(x)min ≤f(x)maxg(x)max ≥f(x)min 由③可知：g(x)max =g(1)=−52a +2，g(x)min =g(0)=−3a +2， ∴−3a +2≤13，−52a +2≥0，解得59≤a ≤45，∴实数a 的取值范围是59≤a ≤45.正确． 综上可知：只有①②④正确． 故答案为：①②④．①当x ∈(12,1]时，利用f(x)=xx+2=1−2x+2单调递增，可得f(12)<f(x)≤f(1)． 当x ∈[0,12]时，函数f(x)=−12x +14，利用一次函数的单调性可得f(12)≤f(x)≤f(0)． 即可得到函数f(x)的值域．②利用诱导公式可得g(x)=−acos π3x −2a +2，利用余弦函数的单调性，进而得出g(x)在[0,1]上单调性．③由②可知：g(0)≤g(x)≤g(1)，若任意a >0，方程f(x)=g(x)在[0,1]内恒有解，则必须满足f(x)的值域[0,13]⊆{g(x)|x ∈[0,1]}.解出判定即可．④存在x 1，x 2∈[0,1]，使得f(x 1)=g(x 2)成立，则{g(x)min ≤f(x)maxg(x)max ≥f(x)min 解出即可． 本题综合考查了分段函数的单调性、恒成立问题的等价转化方法等基础知识与基本技能方法，考查了分析问题和解决问题的能力，属于难题．17.【答案】解：(1)x⃗ =k(1,2)+(−3,2)=(k −3,2k +2)， y⃗ =(1,2)−3(−3,2)=(10,−4)， ∵x ⃗ ⊥y ⃗ ，∴x ⃗ ⋅y ⃗ =10(k −3)−4(2k +2)=0，解得k =19． ∴当k =19时，向量x ⃗ ⊥y ⃗ ；(2)∵x ⃗ ⋅y ⃗ =2k −38，由cos <x ⃗ ,y ⃗ >=x ⃗ ⋅y ⃗|x ⃗ ||y ⃗ |<0，∴2k −38<0，解得k <19． 由−(2k −38)=√(k −3)2+(2k +2)2⋅√102+42，化为(3k +1)2=0，解得k =−13． ∴当k =−13时，x ⃗ 与y ⃗ 共线反向，为平角，应舍去． ∴当k <19且k ≠−13时，向量x ⃗ 与y ⃗ 的夹角为钝角．【解析】本题考查平面向量的坐标运算，涉及向量的垂直和夹角，属基础题，熟练掌握x ⃗ ⊥y ⃗ ，⇔x ⃗ ⋅y ⃗ =0，向量x ⃗ 与y ⃗ 的夹角为钝角⇔x ⃗ ⋅y ⃗ <0，并去掉共线反向的情况，是解题的关键．(1)利用x ⃗ ⊥y ⃗ ，⇔x ⃗ ⋅y ⃗ =10(k −3)−4(2k +2)=0，解得k 即可； (2)向量x ⃗ 与y ⃗ 的夹角为钝角⇔x ⃗ ⋅y ⃗ <0，并去掉共线反向的情况即可．18.【答案】解：(Ⅰ)∵b 2+c 2=a 2+bc ，即b 2+c 2−a 2=bc ，∴cosA =b 2+c 2−a 22bc=12，又A ∈(0,π)， ∴A =π3；(Ⅱ)∵cosB =√63，B ∈(0,π)，∴sinB =√1−cos 2B =√33， 由正弦定理asinA =bsinB ，得a =bsinA sinB=3，∵b 2+c 2=a 2+bc ，即4+c 2=9+2c ，整理得：c2−2c−5=0，解得：c=1±√6，∵c>0，∴c=√6+1，则S△ABC=12bcsinA=3√2+√32．【解析】(Ⅰ)利用余弦定理表示出cos A，将已知等式变形后代入求出cos A的值，即可确定出A的大小；(Ⅱ)由cos B的值，求出sin B的值，利用正弦定理求出a的值，将a与b的值代入已知等式中求出c的值，由b，c，sin A的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC 面积．此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．19.【答案】(Ⅰ)证明：取BC中点O，连结AO．∵△ABC正三角形，∴AO⊥BC．∵正三棱柱ABC−A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，∴AO⊥平面BCC1B1．连结B1O，在正方形BCC1B1中，O，D分别为BC，CC1的中点，∴B1O⊥BD，∴AB1⊥BD．在正方形ABB1A1中，AB1⊥A1B，∴AB1⊥平面A1BD；(Ⅱ)解：△A1BD中，BD=A1D=√52，A1B=√2，∴S△A1BD =√64，S△BCD=14．在正三棱柱中，A1到平面BCC1B1的距离为√32．设点C到平面A1BD的距离为d．由V A1−BCD =V C−A1BD，得d=√32S△BCDS△A1BD=√24，.∴点C到平面A1BD的距离为√24．【解析】(Ⅰ)欲证AB 1⊥平面A 1BD ，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证AB 1与平面A 1BD 内两相交直线垂直，而AB 1⊥A 1B ，AB 1⊥BD ，A 1B ∩BD =B ，满足定理所需条件；(Ⅱ)利用V A 1−BCD =V C−A 1BD ，可求点C 到平面A 1BD 的距离．本题考查线面垂直，考查点面距离，考查学生分析解决问题的能力，难度中等．20.【答案】证明：(1)∵在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A(1,cosx)，B(1+sinx,cosx)，且x ∈[0,π2]，A ，B ，C 三点满足OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =23OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ． ∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =23OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =13(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13AB ⃗⃗⃗⃗⃗∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ //AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，又AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 有公共点A ，∴A ，B ，C 三点共线．解：(2)∵OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,cosx)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1+sinx,cosx)，x ∈[0,π2]， ∴OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =23OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23(1,cosx)+13(1+sinx,cosx)=(1+13sinx +cos 2x)+m 2 =1+13sinx +cos 2x +(2m +13)⋅|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |+m 2 =(1+13sinx ⋅cosx)，∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =1+13sinx +cos 2x ，|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√sin 2x =sinx ，∴函数f(x)=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +(2m +13)⋅|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |+m 2 =1+13sinx +cos 2x +(2m +13)sinx +m 2，即f(x)=1+(2m +23)sinx +cos 2x +m 2=−sin 2x +(2m +23)sinx +2+m 2=−[sinx −(m +13)]2+2m 2+23m +199，∵x ∈[0,π2]，∴sinx ∈(0,1]，①当m +13≤12，即m ≤16时，当sinx =1时， f(x)min =−1+2m +23+2+m 2=m 2+2m +53=143，解得m =−3或m =1，又m ≤16时，∴m =−3．②当m +13>12，即m >16时，当sinx =0时， f(x)min =2+m 2=143.解得m =±2√63， 又m >16，∴m =2√63，∴综上所述，m 的值为m =−1或m =2√63．【解析】(1)推导出AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =23OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =13(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，从而AC ⃗⃗⃗⃗⃗ //AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 有公共点A ，由此能证明A ，B ，C 三点共线．(2)由OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,cosx)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1+sinx,cosx)，x ∈[0,π2]，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =23OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1+13sinx ⋅cosx)，从而OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =1+13sinx +cos 2x ，|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√sin 2x =sinx ，进而函数f(x)=1+13sinx +cos 2x +(2m +13)sinx +m 2=−[sinx −(m +13)]2+2m 2+23m +199，由此能求出m 的值．本题考查三点共线的证明，考查实数值的求法，考查向量加法定理、向量的数量积公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．21.【答案】解：(1)f(x)=m⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =√3sin x4⋅cos x4+cos 2x4 =√32sin x 2+1+cos x22=√32sin x 2+12cos x 2+12=sin(x 2+π6)+12∵f(x)=1，∴sin(x 2+π6)+12=1∴sin (x 2+π6)=12∴cos(x +π3)=1−2sin 2(x2+π6)=1−2×14=12． (2)∵(2a −c)cosB =bcosC ，∴由正弦定理得(2sinA −sinC)cosB =sinBcosC ， ∴2sinAcosB −sinCcosB =sinBcosC ， ∴2sinAcosB =sin(B +C)，∵A +B +C =π，∴sin(B +C)=sinA 且sinA ≠0，∴2sinAcosB =sinA∴cosB =12，又B ∈(0,π)，∴B =π3， ∴0<A <2π3，∴π6<A 2+π6<π2，∴12<sin(A2+π6)<1；又∵f(x)=sin(x 2+π6)+12， ∴f(A)=sin(A2+π6)+12， 故函数f(A)的取值范围是(1,32)．【解析】本题考查向量的数量积公式的运用，考查三角函数的化简，考查正弦定理，属于中档题．(1)利用向量的数量积公式，化简函数，结合f(x)=1，利用二倍角公式求cos(x +π3)的值；(2)先求出B =π3，可得0<A <2π3，π6<A 2+π6<π2，12<sin(A 2+π6)<1，即可求出函数f(A)的取值范围．22.【答案】解：(1)因为f(x)为偶函数，所以f(−1)=f(1)，即1+k −2=1−k −2，解得k =0；(2)g(x)=(2x −1)2−k(2x −1)−2，当x ∈(0,2]时，g(x)≤0恒成立， 令t =2x −1，因为x ∈(0,2]，所以t ∈(0,3]， 则t 2−kt −2≤0在t ∈(0,3]上恒成立， 所以k ≥t −2t 在t ∈(0,3]上恒成立， 令ℎ(t)=t −2t 在t ∈(0,3]上是增函数， 所以ℎ(t)max =3−23=73， 所以实数k 的取值范围是[73,+∞)． (3)不妨设0<x 1<x 2<2，因为ℎ(x)={−kx +1,0<x <12x 2−kx −1,1≤x <2，若1≤x 1<x 2<2，则x 1x 2>0，而x 1x 2=−12<0，矛盾，所以ℎ(x)在(0,1)上至多有一个零点，另一根在(1,2)上，由ℎ(x1)=0，得k=1x1，由ℎ(x2)=0，得2x22−kx2−1=0，所以2x22−1x1⋅x2−1=0，即x1+x2=2x1x22，所以1x1+1x2=2x2<4，综上所述，1x1+1x2<4．【解析】(1)因为f(x)为偶函数，所以f(−1)=f(1)，即可解得实数a的值．(2)当x∈(0,2]时，g(x)≤0恒成立，令t=2x−1，t∈(0,3]⇔所以k≥t−2t在t∈(0,3]上恒成立，令ℎ(t)=t−2t在t∈(0,3]，只需求出ℎ(t)的最大值，即可得出答案．(3)先写出ℎ(x)的解析式，不妨设0<x1<x2<2，若1≤x1<x2<2，则x1x2>0，而x1x2=−12<0，矛盾，所以ℎ(x)在(0,1)上至多有一个零点，另一根在(1,2)上，得k=1x1，代入2x22−kx2−1=0，即可解出答案本题主要考查函数与不等式的关系，恒成立问题，属于中档题．。
高一数学下学期4月月考试题 试题
跃华2021-2021学年第二学期月考考试高一〔数学〕试题第一卷〔选择题，一共50分〕一、选择题〔本大题一一共10小题，每一小题5分，一共50分〕1. 0240的弧度数是〔 〕A ．65πB ．67πC ．34πD ．35π2. 角α的终边上一点P ()4,3-，那么=αcos 〔 〕A ．54B ．53C ．54-D ．53-3．4sin 5α=，并且α是第二象限的角，那么tan α的值等于〔 〕A ．43- B.34-C.43D.344.=-)413tan(π〔 〕A.1B.1-C.33D.33-5. 平面向量→a ＝〔1,4〕，→b =〔2,4〕，那么|→a ＋2→b |等于( ) A ．11 B ．12 C ．13 D ．176. 将函数sin()3y x π=-的图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍〔纵坐标不变〕，再将所得的图象向左平移2π个单位，得到的图象对应的解析式是〔 〕A.1sin()36y x π=+ B ．sin(3)6y x π=+C.1sin()36y x π=- D.sin(3)6y x π=- 7. 如图，正六边形ABCDEF 中，BA CD FE ++=〔 〕A ．0B ．BEC ．AD D ．CF8．以下命题正确的选项是〔 〕 A ．假设→a ·→b =→a ·→c ，那么→b =→c B ．假设||||b a b a -=+，那么→a ·→b =0C ．假设→a //→b ，→b //→c ，那么→a //→cD ．假设→a 与→b 是单位向量，那么→a ·→b =19. |→a |＝1，|→b |＝2，且(→a ＋→b )与→a 垂直，那么→a 与→b 的夹角是( ) A ．60° B ．30° C ．135° D ．45°10. 32a α=（，sin ） 1(cos ,)3b α=且a //b ，那么锐角α的大小为 〔 〕 A ．6π B ．3π C ．4πD ．125π第二卷〔非选择题，一共100分〕二、填空题：〔本大题一一共5小题，每一小题5分，一共25分〕11. ()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+b a b a 24822131= .12．在四边形ABCD 中，AB →＝DC →且|AB →|＝|AD →|，那么四边形的形状为___________. 13. 0a b ⋅=||2,||3a b ==且(32)()a b a b λ+⊥-那么λ的值是.14. ||2,||3,||7,==-=a b a b 那么,a b <>= .15.正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，那么AE →·BD →＝________.跃华2021—2021学年第二学期月考考试班级： 考号： 姓名：高一数学试题命题人：刘玉杰 陈祥和 考试时间是是：120分钟 〔总分150分〕 日期：2021、4选择题〔50分〕二、填空题〔25分〕11、 。
黑龙江省2021届高三数学4月月考试题 文
黑龙江省高三数学4月月考试题 文考试时间：120分钟 分值：150分本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|lg 0},{|21}x A x x B x =≤=≤则A B =( )A. (),1-∞B. (],1-∞C. ()1,+∞D. [)1,+∞2.已知复数z 在复平面内对应点是()1,2-,i 为虚数单位,则21z z +=- ( ) A. 1i -- B. 1i + C. 312i-D. 312i + 3.,m n 是两条不同的直线，α是平面，n α⊥，则//m α是m n ⊥的（ ） A. 充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件4.已知 1.22a =,0.812b -⎛⎫= ⎪⎝⎭,52log 2c =,则,,a b c 的大小关系为( )A. c b a <<B. c a b <<C. b a c <<D. b c a <<5.已知向量(4,1),(5,2)a b =-=-，且()//()a b ma b +-，则实数m =（ ） A. 1B.-1C.75 D. 75- 6.在等差数列{}n a 中，810112a a =+，则数列{}n a 的前11项和11S = ( )A. 8B. 16C. 22D. 44 7..函数2(e e )cos ()x x xf x x--=的部分图象大致是( ) A. B. C. D.8.17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割。
如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿。
”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36︒的等腰三角形(另一种是顶角为108°的等腰三角形)。
2021-2022年高一下学期4月月考数学试题(I)
2021-2022年高一下学期4月月考数学试题(I)一、选择题1．下列命题中不正确的是( ）A ．若ααα⊂==⊂⊂lB b l A a l b a 则，,,,B ．若∥，∥，则∥C ．若，，∥，则∥D ．若一直线上有两点在已知平面外，则直线上所有点在平面外【答案】D2．给出互不相同的直线m 、n 、l 和平面α、β，下列四个命题：①若m ⊂α，l ∩α＝A ，A ∉m ，则l 与m 不共面；②若m 、l 是异面直线，l ∥α，m ∥α，且n ⊥l ，n ⊥m ，则n ⊥α；③若l ⊂α，m ⊂α，l ∩m ＝A ，l ∥β，m ∥β，则α∥β；④若l ∥α，m ∥β，α∥β，则l ∥m .其中真命题有( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个 【答案】B3．已知α、β是两个不同的平面，直线a ⊂α，直线b ⊂β，命题p ：a 与b 没有公共点，命题q ：α∥β，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B4．已知空间中两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【答案】A5．如图，正△ABC的中线AF与中位线DE相交于G，已知△A′ED是△AED绕DE 旋转过程中的一个图形，下列命题中，错误的是( )A．动点A′在平面ABC上的投影在线段AF上B．恒有平面A′GF⊥平面BCEDC．三棱锥A′－FED的体积有最大值D．异面直线A′E与BD不可能垂直【答案】D6．已知一个确定的二面角α－l－β，a和b是空间的两条异面直线，在下面给出的四个条件中，能使a和b所成的角也确定的是( )A．a∥α且b∥βB．a∥α且b⊥βC．a⊂α且b⊥βD．a⊥α且b⊥β【答案】D7．对于任意的直线l与平面，在平面内必有直线m，使m与l（）A．平行B．相交C．垂直D．互为异面直线【答案】C8．过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A作直线l，使l与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，这样的直线l可以作( )A．1条B．2条C．3条D．4条【答案】D9．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC ⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是( ) A．AB∥m B．AC⊥mC ．AB ∥βD ．AC ⊥β【答案】D 10．已知m ，n 是两条不同直线，是两个不同平面，下列命题中的假命题的是（ ）A ．B ．C ．n m n m //,,//则若=βααD ．βαβα⊥⊂⊥则若,,m m【答案】C解析：由无法得到m ，n 的确切位置关系。
2021年高三数学下学期四月月考 理(含解析)
2021年高三数学下学期四月月考理（含解析）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1.已知集合，，则A. B.C. D.【答案】C【解析】因为集合，，所以。
2.已知复数（是虚数单位）在复平面上表示的点在第四象限，且，则A. B. C. D.【答案】B【解析】因为复数（是虚数单位）在复平面上表示的点在第四象限，所以，又因为，所以。
3．如图的程序框图，如果输入三个实数a，b，c，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的【答案】D【解析】A．错误； B．，错误；C．错误；D．正确。
6．若不等式组所表示的平面区域被直线分成面积相等的两部分，则k的值为A. B. C. D.【答案】C【解析】画出不等式组表示的平面区域，若平面区域被直线分成面积相等的两部分，需要直线过点代入直线方程得k的值为。
7．如图，某几何体的正视图和俯视图都是矩形，侧视图是平行四边形，则该几何体的体积为A． B． C． D．【答案】B【解析】由已知中三视图该几何体为四棱柱，其底面底边长为底边上的高为：，故底面积，又因为棱柱的高为3，故。
故选B．8．已知、为双曲线C:的左、右焦点，点在上∠=，则到轴的距离为A. B. C. D.【答案】B【解析】不妨设点P（x0，y0）在双曲线的右支上，且|PF1|=m，|PF2|=n，则，，由双曲线的第二定义可得，9．如图，正方体中，为底面上的动点，于，且，则点的轨迹是A.线段B.圆弧C.椭圆的一部分D.抛物线的一部分【答案】A【解析】连接A1P，由题意知A1A⊥AP，因为PE⊥A1C，且PA=PE，所以△A1AP≌△A1EP，所以A1A=A1E，即E为定点．因为PA=PE，所以点P位于线段 AE的中垂面上，又点P在底面上，所以点P的轨迹为两平面的交线，即点P的轨迹是线段．故选A．10．设函数，若互不相等的实数满足，则的取值范围是A. B． C． D.【答案】D【解析】画出函数的图像，如图所示：不妨设x1＜x2＜x3，则x2，x3关于直线x=3对称，故x2+x3=6，且x1满足＜x1＜0；.则x1+x2+x3的取值范围是：+6＜x1+x2+x3＜0+6；即x1+x2+x3∈.第Ⅱ卷非选择题（共100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分25分，把答案填写在答题卡相应的位置）11．设函数，其中，则的展开式中的系数为_________．【答案】10【解析】，所以，所以的展开式中的系数为。
黑龙江高一高中数学月考试卷带答案解析
黑龙江高一高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.如图，D、C、B三点在地面同一直线上，DC=a，从C、D两点测得A点的仰角分别是（），则A点离地面的高度等于（）A． B．C． D．2.若为的内角，则下列函数中一定取正值的是（）A．B．C．D．3.在中，，则（）A．B．C．D．4.已知中，，则三角形的解的个数（）A．个B．个C．个D．个或个5.化简的结果是（）A．B．C．D．6.在中，角所对的边分别为，若，则角的值为（）A．B．C．或D．或7.设函数，则函数是（）A．最小正周期为的奇函数B．最小正周期为的偶函数C．最小正周期为的奇函数D．最小正周期为的偶函数8.设向量的模为，则（）A．B．C．D．9.在中，若，则形状是（）A．直角三角形B．等腰直角三角形C．钝角三角形D．等边三角形10.下列结论：①数列，的一个通项公式是；②已知数列，，且，则数列的第五项为；③在等差数列中，若，则；④在等差数列中，，则的前项和，其中正确的个数是（）A．B．C．D．11.下列结论：①函数的图象的一条对称轴方程是；②中，若，则等于；③在中，若，则的面积；④，其中正确的是（）A．①②B．①③C．③④D．②④12.中，分别为的对边，如果成等差数列，的面积为，那么（）A．B．C．D．二、填空题1.在中，分别为角所对的边，若，则__________．2.已知，则__________．3.下列结论：正确的序号是__________．①中，若则一定有成立；②数列的前项和，则数列是等差数列；③锐角三角形的三边长分别为，则的取值范围是；④等差数列数列的前项和为，已知，则.4.在中，为的一个三等分点，且，则__________．三、解答题1.根据下列各题中的条件，求相应的等差数列的有关未知数：（1），求及；（2），求及.2.已知函数.（1）若，求的最小正周期和最值；（2）若，求这个函数的单调区间.3.在中，角所对的边分别为,且满足.（1）求角的大小；（2）设，且的最大值是，求的值.4.如图所示，在梯形中，，求的长.5.在中，角所对的边分别为，且.（1）若依次成等差数列，且公差为，求的值；（2）若，试用表示的周长，并求周长的最大值.6.在中，分别为角所对的边, 且三个内角满足.（1）若，求的面积的最大值，并判断取最大值时三角形的形状；（2）若，求的值.黑龙江高一高中数学月考试卷答案及解析一、选择题1.如图，D、C、B三点在地面同一直线上，DC=a，从C、D两点测得A点的仰角分别是（），则A 点离地面的高度等于（）A． B．C． D．【答案】A【解析】在中，，在中，根据正弦定理，则，在中，，所以。
黑龙江高一高中数学月考试卷带答案解析
黑龙江高一高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知等比数列满足a 1=3，=21，则（ ） A ．21B ．42C ．63D ．842.若集合，则（ ）A ．B ．C ．D ．3.设函数 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．4.设，，，则 ( ) A ．a<b<cB ．a<c<bC ．b<c<aD ．b<a<c5.已知{an}中，a1＝1，，则数列{an}的通项公式是( ) A ．B ．C ．D ．6.数列{a n }中，a 1＝3，a 2＝6，a n ＋2＝a n ＋1－a n ，那么这个数列的第5项为( ) A ．6 B ．－3 C ．－12D ．－67.等差数列中，，那么（）A ．B ．C ．D ．8.已知向量a ＝(1, 1)，b ＝(2,0)，则向量a ，b 的夹角为( ) A ．B ．C ．D ．9.在△ABC ，已知∠A ＝45°，AB ＝，BC ＝2，则∠C 等于( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．30°或150°10.已知函数的图象过点(4,2)，令.记数列的前项和为，则＝( ) A ．B ．C ．D ．11.△ABC中，AC＝，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于 ( )A．B．C．D．12.已知表示大于的最小整数，例如．下列命题中正确的是（）①函数的值域是；②若是等差数列，则也是等差数列；③若是等比数列，则也是等比数列；④若，则方程有个根.A．②④B．③④C．①③D．①④二、填空题1.设等差数列的前项和为，若,则=__________．2.已知等比数列满足，且，则当时，__________________．3.若，则_____________．4.已知数列是各项均不为的等差数列，为其前项和，且满足．若不等式对任意的恒成立，则实数的最大值为______．三、解答题1.如图，A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶。