华工数学实验报告特征值与特征向量

《数学实验》报告

学院：电子信息学院

专业班级：信息工程电联班

学号：

姓名：

实验名称：特征根与特征方程

实验日期： 2016/05/31

特征根与特征方程

1．实验目的

掌握特征值、特征向量、特征方程、矩阵的对角化等概念和理论；

掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法；

理解由差分方程x k+1=Ax k；

提高对离散动态系统的理解与分析能力。

2．实验任务

1．当捕食者-被捕食者问题中的捕食系数p是时，试确定该动态系统的演化（给出xk的计算公式）。猫头鹰和

森林鼠的数量随时间如何变化该系统趋向一种被称为不稳

定平衡的状态。如果该系统的某个方面（例如出生率或捕

食率）有轻微的变动，系统如何变化

2．杂交育种的目的是培养优良品种，以提高农作物的产量和质量。如果农作物的三种基因型分别为AA，Aa，aa。

其中AA为优良品种。农场计划采用AA型植物与每种基因型

植物相结合的方案培育植物后代，已知双亲基因型与其后

代基因型的概率。问经过若干年后三种基因型分布如何要

求：

（1）建立代数模型，从理论上说明最终的基因型分布。

（2）用MATLAB求解初始分布为，，0时，20年后基因分布，是否已经趋于稳定

概率父体－母体基因型

AA-

AA

AA-

Aa

AA

-aa

Aa

-Aa

Aa

-aa

a

a-aa 后

代

基

因

型

A

A

11/201/

4

00

A

a

01/211/

2

1/

2

a

a

0001/

4

1/

2

1

3．实验过程

实验原理

1、特征值与特征向量

2、特征值与特征向量的求法

3、矩阵的对角化

4、离散线性动态系统

5、eig命令

算法与编程

clc

a = -20*100;

b = -a;

c = a;

d = b; p = ;

n = 100;

xlabel('|\lambda| >1,|u|<1')

axis([0 b 0 d]),grid on,hold on

x = linspace(a,b,30);

A = [ ; ];

[pc,lambda] = eig(A);

[Y,I] = sort(diag(abs(lambda)),'descend');

temp = diag(lambda);

lambda = temp(I)

pc = pc(:,I)

pc = -pc;

z1 = pc(2,1)/pc(1,1)*x;

z2 = pc(2,2)/pc(1,2)*x;

h = plot(x,z1),set(h,'linewidth',2), text(x(7),z1(7)-100,'v1')

h = plot(x,z2),set(h,'linewidth',2), text(x(20),z2(20)-100,'v2')

button = 1;

while button == 1

[xi yi button] = ginput(1);

plot(xi,yi,'go'),hold on

X0 = [xi;yi];

X = X0;

for i=1:n

X = [A*X, X0];

h = plot(X(1,1),X(2,1),'R.',X(1,1:2),X(2,1:2),'r-'); hold on

text(X0(1,1),X0(2,1),'x0')

quiver([X(1,2),1]',[X(2,2),1]',[X(1,1)-X(1,2),0]',[X(2,1)-X(2,2),0] ',p)

set(h,'MarkerSize',6),grid,

end

end

0;0 1;0 0 0];

X=[;;0];

for i=1:20

X=A*X;

end

X20=X

X=[;;0];

C=[1 1 1]';n=0;

while norm(X-C,'fro')>

C=X;n=n+1;X=A*X;

end

format long;

X,n

结果分析

1.

2.

>>

X20 =

0 X =

n =

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4.实验总结和实验感悟

通过本次实验，我了解了掌握特征值、特征向量、特征方程、矩阵的对角化等概念和理论；掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法；理解由差分方程xk+1=Axk；提高对离散动态系统的理解与分析能力。我们可以选取充分大的k使上述两式中的近似达到任意精度。每次增长为原来的入倍，所以入决定了系统的最后增长率。对于大的k，x屮任何两个元素的比值约等于屮对应元素的比值。用Matlab软件可以方便地计算出矩阵的特征值和其对应的特征向量，从而能更好地帮助我们去分析动态系

统;xk+1=Axk的演化过程.