信号与系统第二章
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信号与系统课件：第二章 LTI系统
第2章 线性时不变系统
2.1 离散时间LTI系统: 卷积和
（1)用移位单位抽样信号表示离散时间信号 （2)卷积和在离散时间信号LTI系统中的表征 （3)卷积和的计算 （4) 离散时间信号LTI系统的性质
（1）用单位抽样信号表示离散时间信号
x[n] ... x[1] n 1 x[0] n x[1] n 1... x[n][0] x[n 1][1]
（１）初始条件为n<0时，y(n)=0，求其单位抽样响应；
（２）初始条件为n≥0时，y(n)=0，求其单位抽样响应。
解：（１）设x(n) (n)，且 y(1) h(1) 0 ，必有
y(n) h(n) 0, n 0
依次迭代
y(0) h(0) (0) 1 y(1) 1 0 1
2
当系统的初始状态为零，单位抽样响应h(n)就 能完全代表系统，那么对于线性时不变系统，任意 输入下的系统输出就可以利用卷积和求得。
差分方程在给定输入和边界条件下，可用迭代 的方法求系统的响应，当输入为δ（n）时，输出 （响应）就是单位抽样响应h(n)。
例：常系数差分方程
y(n) x(n) 1 y(n 1) 2
x[n]u[n] x[k]u[n k] x[k]
k
k
（ii）交换律:
yn xnhn hn xn
例子： 线性时不变系统中的阶跃响应 sn
sn unhn hnun
阶跃输入
输 单位抽样信号 入 响应的累加
n
sn hk
k
(iii)分配律:
xnh1n h2 n xnh1n xnh2 n
y(1) h(1) (1) 1 y(0) 0 1 1
2
22
y(2) h(2) (2) 1 y(1) 0 1 1 (1)2
2.1 离散时间LTI系统: 卷积和
（1)用移位单位抽样信号表示离散时间信号 （2)卷积和在离散时间信号LTI系统中的表征 （3)卷积和的计算 （4) 离散时间信号LTI系统的性质
（1）用单位抽样信号表示离散时间信号
x[n] ... x[1] n 1 x[0] n x[1] n 1... x[n][0] x[n 1][1]
（１）初始条件为n<0时，y(n)=0，求其单位抽样响应；
（２）初始条件为n≥0时，y(n)=0，求其单位抽样响应。
解：（１）设x(n) (n)，且 y(1) h(1) 0 ，必有
y(n) h(n) 0, n 0
依次迭代
y(0) h(0) (0) 1 y(1) 1 0 1
2
当系统的初始状态为零，单位抽样响应h(n)就 能完全代表系统，那么对于线性时不变系统，任意 输入下的系统输出就可以利用卷积和求得。
差分方程在给定输入和边界条件下，可用迭代 的方法求系统的响应，当输入为δ（n）时，输出 （响应）就是单位抽样响应h(n)。
例：常系数差分方程
y(n) x(n) 1 y(n 1) 2
x[n]u[n] x[k]u[n k] x[k]
k
k
（ii）交换律:
yn xnhn hn xn
例子： 线性时不变系统中的阶跃响应 sn
sn unhn hnun
阶跃输入
输 单位抽样信号 入 响应的累加
n
sn hk
k
(iii)分配律:
xnh1n h2 n xnh1n xnh2 n
y(1) h(1) (1) 1 y(0) 0 1 1
2
22
y(2) h(2) (2) 1 y(1) 0 1 1 (1)2
信号与系统 第二章repeat
④
0
e2t
k
2 t 4 e d t 2 dt e d t 2 k dt 0
19
课堂练习：计算下列各式
sin 2t sin 2t dt 4d t ① 2d t dt 4 d t dt 4 t 2t
t 设齐次解: ht C1e U t C2d t
代入方程: C1etU t C1d t C2d t C1etU t C2d t 2d t 比较系数: C1 C2 0, C2 2, C1 2 所以:
ht 2etU t 2d t
25
课堂练习
1. 已知激励为零时刻加入，求该系统的零输入响应。(2.13)
y(t ) 3 y(t ) 2 y(t ) f (t ),
yx (t ) (2et e2t )U (t )
y(0 ) 1, y(0 ) 0
2C1 C2 2C3 1 C1 C2 3C3 2C4 0 C3 3C4 0 C4 1, C3 3, ht 7e2tU t 3d t d t
f t d t t0 dt f t0 f t d ( n) t t0 dt (1)n f ( n) t0
（2）相乘性质：
f t d t f 0 d t f 0 d t
2. 已知 yt 3 yt 2 yt f t f t ,
3. 4.
求 ht .
y(t ) 3 y(t ) 2 y(t ) f (t ) f (t ) y(t ) 7 y(t ) 12 y(t ) f (t )
信号与系统第2章信号的复数表示
π
3
j
π
j
π
4
C1 + C 2 = (1 + 1) + j ( 3 + 1) = 2 + j ( 3 + 1)
2 C1 = 2 + j ( 2 3 ) = 2 2 e
j
= 4e
j
π
3
C1 C 2 = 1 + j 3 + j 3 3 = (1 3 ) + j ( 2 3 )
= 2 2e
j(
π
3
+
π
4
)
= 2 2e
j(
7π ) 12
2 复数中定义 j = 1 ，故 D = (a1a2 b1b2 ) + j(a1b2 + b1a2 )
换一种形式表示复数的乘法
D = C1 C2 = C1 e C2 e = C1 C2 e
j1 j2
= C1 C2 e j1 e j2
j (1 +2 )
复数的加法和乘法在复平面内的表示
复数加法
2、复平面形式
可以在复平面中表示复数
虚轴 b |C| a
复数C可表示成一个矢量
实轴
由图可以看出，矢量 的长度为复数的模，与 实轴的夹角为复数的辐 角
2.3 复数形式的运算
1、复数的数乘和共轭
数乘： k 为实数
虚轴 j
kC C
实轴
kC = ka + jkb
| kC | e j k ≥ 0 kC = | kC | e j ( +π ) k < 0
2、复数的加法和乘法
C1 、 C2 为复数， C1 = a1 + jb1 ， C2 = a2 + jb2
3
j
π
j
π
4
C1 + C 2 = (1 + 1) + j ( 3 + 1) = 2 + j ( 3 + 1)
2 C1 = 2 + j ( 2 3 ) = 2 2 e
j
= 4e
j
π
3
C1 C 2 = 1 + j 3 + j 3 3 = (1 3 ) + j ( 2 3 )
= 2 2e
j(
π
3
+
π
4
)
= 2 2e
j(
7π ) 12
2 复数中定义 j = 1 ，故 D = (a1a2 b1b2 ) + j(a1b2 + b1a2 )
换一种形式表示复数的乘法
D = C1 C2 = C1 e C2 e = C1 C2 e
j1 j2
= C1 C2 e j1 e j2
j (1 +2 )
复数的加法和乘法在复平面内的表示
复数加法
2、复平面形式
可以在复平面中表示复数
虚轴 b |C| a
复数C可表示成一个矢量
实轴
由图可以看出，矢量 的长度为复数的模，与 实轴的夹角为复数的辐 角
2.3 复数形式的运算
1、复数的数乘和共轭
数乘： k 为实数
虚轴 j
kC C
实轴
kC = ka + jkb
| kC | e j k ≥ 0 kC = | kC | e j ( +π ) k < 0
2、复数的加法和乘法
C1 、 C2 为复数， C1 = a1 + jb1 ， C2 = a2 + jb2
信号与系统-第2章
f (t)
K
两式相加:
cosωt =
1 2
(e
jωt
+
e
jωt )
(2-4)
0 K
t
两式相减:
sinωt =
1 2j
(e
jωt
－e
jωt )
(2-5)
(3) 复指数信号: f(t) = Ke st = Ke (σ+ jω)t
= Keσt (cosωt + j sinωt)
当 σ > 0 时为增幅振荡 ω = 0 时为实指数信号 σ < 0 时为衰减振荡
2
01
t
f(
1 2
t)
=
1 2
t
0
0＜t ＜4 其它
f(12 t)
2 0
4t
注意: 平移、反折和展缩都是用新的时间变量去代换原来的
时间变量, 而信号幅度不变.
t +2 －2＜t＜0 例2-5：已知 f(t) = －2t + 2 0＜t＜1
f (t)
2
0
其它
－2 0 1
t
求 f(2t－1),
f(
1 2
(1) 相加和相乘
信号相加: f t f1t f2 t fn t 信号相乘: f t f1t f2 t fn t
0 t＜0 例2-1：已知 f1(t) = sint t ≥ 0 , f2(t) =－sint, 求和积.
解: f1(t) + f2(t) =
－sint 0
t＜0 t≥0
0
t＜0
f1(t) f2(t) = －sin2t t ≥ 0 也可通过波形相加和相乘.
∞ t=0 作用: 方便信号运算.
信号与系统第2章
第二章 傅立叶变换
(5) 微分特性 如果 那么
（6）积分特性 如果 那么
如果F(0)=0
第二章 傅立叶变换
(7)卷积定理 1．时域卷积定理 如果 那么 (8)频域卷积定理 如果
那么
第二章 傅立叶变换
11周期信号的傅里叶变换
周期信号的频谱------用傅里叶级数表示。 非周期信号的频谱——用傅里叶变换表示。 周期信号的频谱可以用傅里叶变换表示吗？ （1）正弦、余弦信号的傅里叶变换 直流信号的博立叶变换为
n1 ) 2 n1 2
2 E sin( An T
2 E sin( An T
2
)
2
这里
2 1 T
Hale Waihona Puke n1第二章 2 E sin( An T
傅立叶变换
2
)
2
若: 2 An 0 （1） 2 （2） 2
该式表明：周期信号f(t)的傅里叶变换F(ω )是由一些冲击函数组成的， 并位于基波ω 1的整数倍处，冲击强度为f(t)的指数傅里叶级数的系数Cn 的2π 倍。
第二章 傅立叶变换
例4. 求周期单位冲激序列的傅里叶级数与傅里叶变换。
傅里叶级数为
第二章 傅立叶变换
例5. 求周期矩形脉冲信号的傅里叶级数和傅里叶变换 矩形脉冲信号f(t)的 傅里叶系数为：
第二章 傅立叶变换
例1已知矩形脉冲f1(t)如图(a)所示，其相位谱如图(b)所示， 将f1(t)右移τ /2得到如图（c）所示f2(t),试画出其相位谱。
由题意可知
根据时移特性，可得f2(t)的频谱函数 为
第二章 傅立叶变换
f2(t)幅度谱没有变化，其相位谱比图(b)滞后τ ω /2、如图（d）所示。要
信号与系统第二章习题与答案
第二章习题与答案1．求以下序列的z 变换并画出零极点图和收敛域。
分析：Z 变换概念∑∞-∞=-==n nzn x z X n x Z )()()]([，n 的取值是)(n x 的有值范围。
Z 变换的收敛域 是知足∞<=∑∞-∞=-M zn x n n)(的z 值范围。
解：(1) 由Z 变换的概念可知：∞====<<<<z z az a z az a z a az ,0 1, 11,1 零点为：极点为：即：且收敛域：)(21)()2(n u n x n⎪⎭⎫⎝⎛=)1(21)()3(--⎪⎭⎫⎝⎛-=n u n x n)1(,1)()4(≥=n nn x 为常数）00(0,)sin()()5(ωω≥=n n n n x 10,)()cos()()6(0<<+=r n u n Ar n x n Φω)1||()()1(<=a an x nnn nzaz X -∞-∞=⋅=∑)(nn n nn n z a za-∞=---∞=-∑∑+=1nn n nn n z a z a -∞=∞=∑∑+=01))(1()1()1)(1(1111212a z az a z a az az a za az az ---=---=-+-=-解：(2) 由z 变换的概念可知：n n nz n u z X -∞-∞=∑=)()21()( ∑∞=-=0)21(n n n z 12111--=z 211121><⋅z z 即：收敛域： 0 21==z z 零点为：极点为：解:（3）nn n z n u z X -∞-∞=∑---=)1()21()(∑--∞=--=1)21(n n n z∑∞=-=12n n n z zz212--= 12111--=z 21 12 <<z z 即：收敛域：0 21 ==z z 零点为：极点为： 解： (4) ∑-⋅∞==11)(n nz n z X∑∞--=-=•••11)(1)(n n z n n dz z dX 21)(11z z z n n -=-=∑∞=-- ，1||>z。
信号与系统讲义-2
f (t) u 3 10
p
u pf (t) 2p 10
u(t) (Ae5t B)U(t)
2 du(t) 10u(t) df (t)
dt
dt
u(t) 5Ae5t U(t) (A B)(t)
2(A B) 1 B0
u(t) 1 e5tU(t)V 2
H
(
p)
2p2 8p 3 ( p 1)( p 3)2
求系统的响应 y(t)。
解： D(p) (p 1)(p 3)2 0 p1 1 p2 p3 3
y0 (t) K1e t K 2e3t K 3te3t
y0 (0 ) K1 K2 =2 y0 (0 ) K1 3K 2 K3=1
3、共轭复根：(欠阻尼) 即 R 2 L C
uc Aet cos(dt ) Us
R 2L
,
d
02 2 , 0
1 LC
4
三、 RLC串联电路全响应
d 2uc dt 2
R L
duc dt
1 LC
uc
1 LC Us
(二阶常系数线性非齐次微分方程)
t<0 , K在2,有 uc (0 ) U0
C
uc Aep1t Be p2t Us
2、重根：(临界阻尼) 即
R2
L C
（自然频率、固有频率）
uc (A Bt)ept Us
3、共轭复根：(欠阻尼) 即 R 2 L C
uc Aet cos(dt ) Us
R 2L
d 02 2
《信号与系统》第二章总结
其中零状态响应rzs (t )由初始态为零时的方程求解而定 即rzs (t ) = rzsh (t ) + rzsp (t )
其中rzsh (t )和rzsp (t )分别为如下方程的齐次解和特解 zsp d n rzs (t ) d n −1rzs (t ) dr (t ) C0 + C1 + L + Cn −1 zs + Cn rzs (t ) dt n dt n −1 dt d m e(t ) d m −1e(t ) de(t ) = E + E1 + L + Em −1 + Em e(t ), m −1 0 dt m dt dt (k ) rzs (0− ) = 0
则h(t )为t ≥ 0+时满足起始态为零的微分齐次方程的解
n α t 当n > m时，h(t ) = ∑ Ak e k u (t ) k =1 （设特征方程的根为n个单根α k）
当n ≤ m时，h(t )还须含δ ( m − n ) (t )、δ ( m − n −1) (t )、 、δ (t ), L 而各项系数由Em决定
•连续时间系统的时域分析法：不通过任何变换，直接求解 求解系 求解 统的微分 微分、积分方程 方程。 微分 方程 •连续时间系统的时域分析方法：经典法，卷积法，算子法。
设n阶复杂系统激励信号为e(t )，响应信号为r (t )
其n阶微分方程为 d n r (t ) d n −1r (t ) dr (t ) C0 + C1 + L + Cn −1 + Cn r (t ) n n −1 dt dt dt d m e (t ) d m −1e(t ) de(t ) = E0 + E1 + L + Em −1 + Em e(t ) m m −1 dt dt dt
其中rzsh (t )和rzsp (t )分别为如下方程的齐次解和特解 zsp d n rzs (t ) d n −1rzs (t ) dr (t ) C0 + C1 + L + Cn −1 zs + Cn rzs (t ) dt n dt n −1 dt d m e(t ) d m −1e(t ) de(t ) = E + E1 + L + Em −1 + Em e(t ), m −1 0 dt m dt dt (k ) rzs (0− ) = 0
则h(t )为t ≥ 0+时满足起始态为零的微分齐次方程的解
n α t 当n > m时，h(t ) = ∑ Ak e k u (t ) k =1 （设特征方程的根为n个单根α k）
当n ≤ m时，h(t )还须含δ ( m − n ) (t )、δ ( m − n −1) (t )、 、δ (t ), L 而各项系数由Em决定
•连续时间系统的时域分析法：不通过任何变换，直接求解 求解系 求解 统的微分 微分、积分方程 方程。 微分 方程 •连续时间系统的时域分析方法：经典法，卷积法，算子法。
设n阶复杂系统激励信号为e(t )，响应信号为r (t )
其n阶微分方程为 d n r (t ) d n −1r (t ) dr (t ) C0 + C1 + L + Cn −1 + Cn r (t ) n n −1 dt dt dt d m e (t ) d m −1e(t ) de(t ) = E0 + E1 + L + Em −1 + Em e(t ) m m −1 dt dt dt
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第 2 章 连续信号与系统的时域分析
2.0 引 言
2.1 连续时间基本信号 2.2 卷积积分 2.3 系统的微分算子方程 2.4 连续系统的零输入响应 2.5 连续系统的零状态响应 2.6 系统微分方程的经典解法
2.0 引 言
信号与系统分析的基本任务：
在给定系统和输入的条件下，求解系统的
输出响应。
f2( ) c
f2(-)
1
2、反转：
-1
c
0
3、平移： 将f(-)沿时间轴平移t，t为参变量
f2(-) c
t>0时向右平移， t<0时向左平移
f2(t-) c
-1
0
f 2 (( t )) f 2 (t )
f2(t-) c
-1
0 t-1 t
t-1
t
-1
0
0
0
2 0
1
0
2 0
f1() f2(1-) 1 g(t)
f1() f2(2-)
0
2
0
0
t
以上可以归纳为下列情况：
f1( )
2
f1(t) f2(t)
g(t)
0
2
0
t
当t<0时，f1()f2(t-)=0，所以g1(t)=0
当0t2时，f1()与f2(t-) 有部分重迭， 积分限 0t，g2(t)为：
t-2
t 0
用图解法进行分段积分，求出g(t)
f1( ) 2 0 1 2 2 0
f1( ) 2 2 f2(1-) 0
f1( ) 2 2 0
f1 ( )
f2(-) 1 2
f1() f2(-)
f2(2-) 1
2 f2(3-)
1 2 0 3
f1() f2(3-) 1 3
t
f2 (t ) (t ) (t 2)
求 g (t )
f1 ( ) f 2 (t )d
f1( ) 2 0 2 1 0
f2( )
2
f2(-) 1 0 1 2 f2(t-)
（1）、图解法
首先将f2()反褶 再将f2(-)沿轴平移t
t d K f (t ) K f ( )d dt
例2：f1(t) 如图, f2(t) = e–tε(t)，求f1(t)* f2(t) 解法一： f1(t)* f2(t) = f1’(t)* f2 f1’(t) =δ (t) –δ (t –2)
f
( 1) 2 t (t ) e ( ) d e d (t ) e 0 t t 0
f1( ) 1 f2(1-) 2 c
f1( ) 1 f2(2-) 2 c
f1( )
f2(3-)
2
-1
0
f1() f2(-)
0
1
0
1
0
f1() f2(3-)
3
f1() f2(1-)
f1() f2(2-)
0
0 1 c
g(t)
0
2
0
1
2
t
以上可以归纳为下列情况：
g2 (t ) f1 ( ) f 2 (t )d
t
2e 1 d
0
0 t
2(1 e )
t
当2t<时，f2(t-) 完全落在f1()上，积 分限 t-2t，g3(t)为：
g3 (t ) 2e 1 d 2e (e 1)
随t取值不同，f2(t-)出现在不同位置
4、相乘：将f1()和 f2(t-)相乘
f1 ( ) 1 2 c f2(t-) f1()f2(t-)
c
t-1 0 t
t-1 0 t
c
f1()f2(t-)
5、积分
阴影的面积，即g(t)的值，是 一个t的函数
t-1 0
t
f1( ) 1 f2(-) c 2 c 1
= ε(t)+(-t+2)ε(t-2)-(-t+3)ε(t-3)
2.2 卷积积分
2.2.1 卷积的定义
已知定义在区间(-∞，∞)上的两个函数f1(t)和f2(t)，
则定义积分
f (t ) f1 ( ) f 2 (t )d
为f1(t)和f2(t)的卷积 (Convolution)， 简记为
指数因子的实部 表征了正弦振荡幅度的 指数变化情况， 0时指数增长， 0 时 指数衰减。指数因子的虚部 表征了正弦振 荡的角频率。
【例】：写出下图波形的 函数表示式 解：用基本信号表示为
f(t)=2[ε(t)-ε(t-1)]+[ε(t-1)-ε(t-2)] +(-t+3)[ε(t-2)-ε(t-3)]
1 0 2 t
f 1(t)
解： f1(t) =ε (t) –ε (t –2)
f1(t)* f2(t)= ε (t) * f2(t) –ε (t –2) * f2(t) ε (t) * f2(t)= f2 (-1)(t) 利用时移特性，有ε (t –2) * f2(t)= f2 (-1)(t –2) f1(t)* f2(t)=(1- e–t)ε(t) – [1- e–(t-2)]ε(t-2)
图2：门函数的波形
6、单位斜变信号
0, t 0 (t ) ( )d r (t ) t , t 0
1 t
其中：对一个信号积分记为：
f 1 (t )
f ( )d
t
7. 符号函数
定义
1 sgn(t ) 0 1
(t 0) (t 0) (t 0)
例 2.2 – 2 计算常数K与信号f(t)的卷积积分。 解: 直接按卷积定义， 可得
K f (t ) f (t ) K Kf ( )d
K [ f (t )波形的净面积 ]
常数K与任意信号f(t)的卷积值等于该信号波形净面积值的K倍。
如果应用卷积运算的微积分性质来求解，将导致
2. [ f1 ( ) * f 2 ( )] d [ f1 ( ) d ] * f 2 (t )
t
t
f1 (t ) * [ f 2 ( ) d ]
t
证：上式= ε(t) *[f1(t)* f2(t)] = [ε(t) *f1(t)] * f2(t) = f1(–1)(t) * f2(t)
f1(t)
1 2 1
f2(t)
1 3
2.2.3 卷积性质
一、卷积代数
满足乘法的三律： 1. 交换律： f1(t)* f2(t) =f2(t)* f1(t) 2. 分配律： f1(t)*[ f2(t)+ f3(t)] =f1(t)* f2(t)+ f1(t)* f3(t) 3. 结合律： [f1(t)* f2(t)]* f3(t)] =f1(t)*[ f2(t) * f3(t)]
sgn(t)
1 0
-1
可用阶跃信号表示
sgn(t ) 2 (t ) 1
8.复指数信号
复指数信号是指数因子为复数的指数信号，其 表示式为: f (t ) Ke st , 其中 s j 是复频率 s 的实部， 是其虚部。上 式用欧拉公式展开后，有
f (t ) Ke j t Ket cost jKet sint
f1(t)
1
f2(t)
c
2
t
1
t
1 0 t 2 f1 (t ) 0 其它
求解 f1(t) f2(t)
c 0 t 1 f 2 (t ) 0 其它
g (t ) f1 (t ) f 2 (t )
解：1、变量置换：
f1( ) 1 2
f1 ( ) f 2 (t )d
jwt jwt
3、指数信号 1）普通指数信号f(t)=a-t 2）复指数信号 f(t)=ejwt 注意复平面上的几个特殊点
欧拉公式：ejwt=cos(wt)+jsin(wt)
4、抽样信号 Sa(t)=sin(t)/(t) 另外： sinc(t)=sin(πt)/(πt) =Sa(πt)
特点：
(–1)(t)
f 1(t) 1 0 2 t
(t ) (1 e t ) (t )
f1(t)* f2(t)=(1- e–t)ε(t) – [1- e–(t-2)]ε(t-2)
四、卷积的时移特性
若 f(t) = f1(t)* f2(t)， 则 f1(t –t1)* f2(t –t2) = f1(t –t1 –t2)* f2(t) = f1(t)* f2(t –t1 –t2) = f(t –t1 –t2) 前例：f1(t) 如图, f2(t) = e–tε(t)，求f1(t)* f2(t)
2.1 连续时间基本信号
1、奇异信号
阶跃函数ε(t) 和冲击函数δ(t)都是奇异信号。
2、正弦信号
f(t)=Asin(wt+φ) 其中 T=2π/w
A
f (t)
T
o
t
－A
图 2.1 – 1 正弦信号
【注意】：正弦信号与指数信号的重要关系：欧拉 公式
e e sin(wt ) 2j jwt jwt e e cos( wt ) 2
f(t)*δ(n)(t) = f (n)(t) t 3. f(t)*ε(t) f ( ) (t ) d f ( ) d ε(t) *ε(t) = tε(t)
2.0 引 言
2.1 连续时间基本信号 2.2 卷积积分 2.3 系统的微分算子方程 2.4 连续系统的零输入响应 2.5 连续系统的零状态响应 2.6 系统微分方程的经典解法
2.0 引 言
信号与系统分析的基本任务：
在给定系统和输入的条件下，求解系统的
输出响应。
f2( ) c
f2(-)
1
2、反转：
-1
c
0
3、平移： 将f(-)沿时间轴平移t，t为参变量
f2(-) c
t>0时向右平移， t<0时向左平移
f2(t-) c
-1
0
f 2 (( t )) f 2 (t )
f2(t-) c
-1
0 t-1 t
t-1
t
-1
0
0
0
2 0
1
0
2 0
f1() f2(1-) 1 g(t)
f1() f2(2-)
0
2
0
0
t
以上可以归纳为下列情况：
f1( )
2
f1(t) f2(t)
g(t)
0
2
0
t
当t<0时，f1()f2(t-)=0，所以g1(t)=0
当0t2时，f1()与f2(t-) 有部分重迭， 积分限 0t，g2(t)为：
t-2
t 0
用图解法进行分段积分，求出g(t)
f1( ) 2 0 1 2 2 0
f1( ) 2 2 f2(1-) 0
f1( ) 2 2 0
f1 ( )
f2(-) 1 2
f1() f2(-)
f2(2-) 1
2 f2(3-)
1 2 0 3
f1() f2(3-) 1 3
t
f2 (t ) (t ) (t 2)
求 g (t )
f1 ( ) f 2 (t )d
f1( ) 2 0 2 1 0
f2( )
2
f2(-) 1 0 1 2 f2(t-)
（1）、图解法
首先将f2()反褶 再将f2(-)沿轴平移t
t d K f (t ) K f ( )d dt
例2：f1(t) 如图, f2(t) = e–tε(t)，求f1(t)* f2(t) 解法一： f1(t)* f2(t) = f1’(t)* f2 f1’(t) =δ (t) –δ (t –2)
f
( 1) 2 t (t ) e ( ) d e d (t ) e 0 t t 0
f1( ) 1 f2(1-) 2 c
f1( ) 1 f2(2-) 2 c
f1( )
f2(3-)
2
-1
0
f1() f2(-)
0
1
0
1
0
f1() f2(3-)
3
f1() f2(1-)
f1() f2(2-)
0
0 1 c
g(t)
0
2
0
1
2
t
以上可以归纳为下列情况：
g2 (t ) f1 ( ) f 2 (t )d
t
2e 1 d
0
0 t
2(1 e )
t
当2t<时，f2(t-) 完全落在f1()上，积 分限 t-2t，g3(t)为：
g3 (t ) 2e 1 d 2e (e 1)
随t取值不同，f2(t-)出现在不同位置
4、相乘：将f1()和 f2(t-)相乘
f1 ( ) 1 2 c f2(t-) f1()f2(t-)
c
t-1 0 t
t-1 0 t
c
f1()f2(t-)
5、积分
阴影的面积，即g(t)的值，是 一个t的函数
t-1 0
t
f1( ) 1 f2(-) c 2 c 1
= ε(t)+(-t+2)ε(t-2)-(-t+3)ε(t-3)
2.2 卷积积分
2.2.1 卷积的定义
已知定义在区间(-∞，∞)上的两个函数f1(t)和f2(t)，
则定义积分
f (t ) f1 ( ) f 2 (t )d
为f1(t)和f2(t)的卷积 (Convolution)， 简记为
指数因子的实部 表征了正弦振荡幅度的 指数变化情况， 0时指数增长， 0 时 指数衰减。指数因子的虚部 表征了正弦振 荡的角频率。
【例】：写出下图波形的 函数表示式 解：用基本信号表示为
f(t)=2[ε(t)-ε(t-1)]+[ε(t-1)-ε(t-2)] +(-t+3)[ε(t-2)-ε(t-3)]
1 0 2 t
f 1(t)
解： f1(t) =ε (t) –ε (t –2)
f1(t)* f2(t)= ε (t) * f2(t) –ε (t –2) * f2(t) ε (t) * f2(t)= f2 (-1)(t) 利用时移特性，有ε (t –2) * f2(t)= f2 (-1)(t –2) f1(t)* f2(t)=(1- e–t)ε(t) – [1- e–(t-2)]ε(t-2)
图2：门函数的波形
6、单位斜变信号
0, t 0 (t ) ( )d r (t ) t , t 0
1 t
其中：对一个信号积分记为：
f 1 (t )
f ( )d
t
7. 符号函数
定义
1 sgn(t ) 0 1
(t 0) (t 0) (t 0)
例 2.2 – 2 计算常数K与信号f(t)的卷积积分。 解: 直接按卷积定义， 可得
K f (t ) f (t ) K Kf ( )d
K [ f (t )波形的净面积 ]
常数K与任意信号f(t)的卷积值等于该信号波形净面积值的K倍。
如果应用卷积运算的微积分性质来求解，将导致
2. [ f1 ( ) * f 2 ( )] d [ f1 ( ) d ] * f 2 (t )
t
t
f1 (t ) * [ f 2 ( ) d ]
t
证：上式= ε(t) *[f1(t)* f2(t)] = [ε(t) *f1(t)] * f2(t) = f1(–1)(t) * f2(t)
f1(t)
1 2 1
f2(t)
1 3
2.2.3 卷积性质
一、卷积代数
满足乘法的三律： 1. 交换律： f1(t)* f2(t) =f2(t)* f1(t) 2. 分配律： f1(t)*[ f2(t)+ f3(t)] =f1(t)* f2(t)+ f1(t)* f3(t) 3. 结合律： [f1(t)* f2(t)]* f3(t)] =f1(t)*[ f2(t) * f3(t)]
sgn(t)
1 0
-1
可用阶跃信号表示
sgn(t ) 2 (t ) 1
8.复指数信号
复指数信号是指数因子为复数的指数信号，其 表示式为: f (t ) Ke st , 其中 s j 是复频率 s 的实部， 是其虚部。上 式用欧拉公式展开后，有
f (t ) Ke j t Ket cost jKet sint
f1(t)
1
f2(t)
c
2
t
1
t
1 0 t 2 f1 (t ) 0 其它
求解 f1(t) f2(t)
c 0 t 1 f 2 (t ) 0 其它
g (t ) f1 (t ) f 2 (t )
解：1、变量置换：
f1( ) 1 2
f1 ( ) f 2 (t )d
jwt jwt
3、指数信号 1）普通指数信号f(t)=a-t 2）复指数信号 f(t)=ejwt 注意复平面上的几个特殊点
欧拉公式：ejwt=cos(wt)+jsin(wt)
4、抽样信号 Sa(t)=sin(t)/(t) 另外： sinc(t)=sin(πt)/(πt) =Sa(πt)
特点：
(–1)(t)
f 1(t) 1 0 2 t
(t ) (1 e t ) (t )
f1(t)* f2(t)=(1- e–t)ε(t) – [1- e–(t-2)]ε(t-2)
四、卷积的时移特性
若 f(t) = f1(t)* f2(t)， 则 f1(t –t1)* f2(t –t2) = f1(t –t1 –t2)* f2(t) = f1(t)* f2(t –t1 –t2) = f(t –t1 –t2) 前例：f1(t) 如图, f2(t) = e–tε(t)，求f1(t)* f2(t)
2.1 连续时间基本信号
1、奇异信号
阶跃函数ε(t) 和冲击函数δ(t)都是奇异信号。
2、正弦信号
f(t)=Asin(wt+φ) 其中 T=2π/w
A
f (t)
T
o
t
－A
图 2.1 – 1 正弦信号
【注意】：正弦信号与指数信号的重要关系：欧拉 公式
e e sin(wt ) 2j jwt jwt e e cos( wt ) 2
f(t)*δ(n)(t) = f (n)(t) t 3. f(t)*ε(t) f ( ) (t ) d f ( ) d ε(t) *ε(t) = tε(t)