信号与线性系统分析第二章
信号与系统第二章第一讲
则相应于1的k阶重根，有k项：
( A1t k 1 A2t k 2 Ak 1t Ak )e1t ( Ai t k i )e1t
i 1
k
例2-3
信 号 与 系 统
求如下所示的微分方程的齐次解。
Hale Waihona Puke d3 d2 d r (t ) 7 2 r (t ) 16 r (t ) 12r (t ) e(t ) 3 dt dt dt
等式两端各对应幂次的系数应相等，于是有：
信 号 与 系 统
特解为： 联立解得：
3B1 1 4 B1 3B2 2 2 B 2 B 3 B 0 2 3 1
统
线性时不变系统
线性的常系数微分方程
按照元件的约束特性及 系统结构的约束特性
也即：
具体系统物理模型
常系数微分方程建立
（1）元件端口的电压与电流约束关系
iR (t ) R
信 号 与 系 统
vR (t )
C
vR (t ) iR (t ) R
dvC (t ) iC (t ) C dt
vR (t ) Ri R (t )
与
时域经典法就是直接求解系统微分方程的方法。这种方 系 法的优点是直观，物理概念清楚，缺点是求解过程冗繁，应 用上也有局限性。所以在20世纪50年代以前，人们普遍喜欢 统 采用变换域分析方法(例如拉普拉斯变换法)，而较少采用时 域经典法。20世纪50年代以后，由于δ(t)函数及计算机的普 遍应用，时域卷积法得到了迅速发展，且不断成熟和完善， 已成为系统分析的重要方法之一。时域分析法是各种变换域 分析法的基础。
信 号 与 系 统
is (t )
信号与系统分析第二章 连续时间系统的时域分析
第二章 连续时间系统的时域分析
2.1.1
对系统进行分析时, 首先要建立系统的数学模型。 对于电的系统, 只要利用理想的电路元件, 根据基尔霍 夫定律, 就可以列出一个或一组描述电路特征的线性 微分方程。 现举例来说明微分方程的建立方法。
第二章 连续时间系统的时域分析
例2.1 图2.1所示为RLC串联电路, 求电路中电流i(t) 与激励e(t)之间的关系。
第二章 连续时间系统的时域分析
(3)
y(t) C 1 e t C 2 e 6 t5 2c 0 1o 2 t)s 5 3 (s0i2 n t) (
D(p)y(t)=N(p)f(t)
y(t) N(p) f (t) D(P)
式(2.15)中的 N ( p ) 定义为转移算子, 用H(p)表示,
D (P)
(2.14) (2.15)
H (p ) N D ( (P p ) ) b a m n p p m n a b n m 1 1 p p n m 1 1 a b 1 1 p p a b 0 0 (2.16)
t0
解 (1) 齐次解。 由例2.4 yh (t)=C1e-t+C2e-6t
第二章 连续时间系统的时域分析
(2) 特解。 查表2.2, yp(t)=B1cos (2t)+B2sin(2t)
－14B1+2B2－6=0 2B1+14B2=0
于是,
B15201,
B2530
yp(t)5 20 c 1o2ts) (530 si2 nt)(
第二章 连续时间系统的时域分析
3. 用算子符号表示微分方程, 不仅书写简便, 而且在建 立系统的数学模型时也很方便。 把电路中的基本元件R、 L、 C的伏安关系用微分算子形式来表示, 可以得到相应 的算子模型, 如表2.1所示。
第二章 线性系统分析
也就是说，理想的线性时不变系统 , 其输出 是输入的单调、线性比例函数。在这种关系上所 确定的测试系统的传输特性称为静态特性。
定度曲线：表示静态特性方程的图形称为测试系统 的定度曲线（特性曲线、校准曲线、标定曲线、定 标曲线）。 定度曲线是以输入x作为自变量，对应输出y作为因 变量，在直角坐标系中绘出的图形。
第二章 线性系统分析
测试系统与线性系统 线性系统分析基础 测试系统的传输特性 系统的噪声干扰与抑制
一、测试系统与线性系统
测试系统是指由传感器、信号调理电路、 信号处理电路、记录显示设备组成并具有获取 某种信息之功能的整体。
对象 传感器 变换装置
记录 显示 装置 处理 装置
测试系统基本要求 测试系统的输出信号能够真实地反映被测物理量 (输入信号)的变化过程，不使信号发生畸变，即 实现不失真测试。
系统分析的三类问题： 1)当输入、输出是可测量的(已知)，则可推断系统的传输特性。 (系统辨识) 2)当系统特性已知，输出可测量，则可推断导致该输出的输 入量。(反求) 3)如果输入和系统特性已知，则可以推断和估计系统的输出 量。(预测)
2、系统特性的描述： 系统特性的描述通常可用下列微分方程表达：
测量系统的静态特性有灵敏度、非线性度和回程误差。
1、灵敏度
若系统的输入x有一增量△x，引起输出y发生相 应变化△y时，则定义灵敏度S为: S=△y/△x
当系统的输出和输入具 有同一量纲时，则灵敏 度是一个无量纲的数。 常用“增益”或“放大 倍数”来替代灵敏度。
线性系统的灵敏度为常数，特性曲线是一条直线。 非线性系统的特性曲线是一条曲线，其灵敏度随 输入量的变化而变化。通常用一条参考直线代替 实际特性曲线（拟合直线），拟合直线的斜率作 b0 y 为测试系统的平均灵敏度。 s a0 x 灵敏度反映了测试系统对输入量变化反应的能力， 灵敏度愈高，测量范围往往愈小，稳定性愈差。 （合理选取） 当测试系统由多个相互独立的环节构成时，其总 灵敏度等于各环节灵敏度的乘积。 S=S1×S2×S3
信号与线性系统分析第2章
e t
cos t sin t
Pe t (不等于特征根） t （P t P )e (等于特征单根） 1 0
（Pr t r Pr 1t r 1 P0 )e t (等于r重特征根）
例：f1(t), f2(t)如图，求f1(t)* f2(t) 解： f1(t) = 2ε (t) –2ε (t –1) f2(t) = ε (t+1) –ε (t –1) f1(t)* f2(t) = 2 ε (t)* ε (t+1) –2 ε (t)* ε (t –1) –2ε (t –1)* ε (t+1) +2ε (t –1)* ε (t –1) 由于ε (t)* ε (t) = tε (t) 据时移特性，有 f1(t)* f2(t) = 2 (t+1) ε (t+1) - 2 (t –1) ε (t –1) –2 tε (t) +2 (t –2) ε (t –2)
f (t ) f1 ( ) f 2 (t )d
为f1(t)与f2(t)的卷积积分，简称卷积；记为 f(t)= f1(t)*f2(t) 注意：积分是在虚设的变量τ下进行的，τ为积分变量， t为参变量。结果仍为t 的函数。
y zs (t )
f ( )h(t ) d f (t ) * ) d
▲ ■ 第 13 页
2 .任意信号作用下的零状态响应
f ( t) 根据h(t)的定义： δ(t)
LTI系统 零状态
yzs(t) h(t) h(t -τ) f (τ) h(t -τ)
由时不变性：
信号与系统王明泉版本~第二章习题解答
第2章 线性时不变连续系统的时域分析2.1 学习要求（1）会建立描述系统激励与响应关系的微分方程；（2）深刻理解系统的完全响应可分解为：零输入响应与零状态响应，自由响应与强迫响应，瞬态响应与稳态响应；（3）深刻理解系统的零输入线性与零状态线性，并根据关系求解相关的响应； （4）会根据系统微分方程和初始条件求解上述几种响应； （5）深刻理解单位冲激响应的意义，并会求解；（6）深刻理解系统起始状态与初始状态的区别，会根据系统微分方程和输入判断0时刻的跳变情况； （7）理解卷积运算在信号与系统中的物理意义和运算规律，会计算信号的卷积。
； 2.2 本章重点（1）系统（电子、机械）数学模型（微分方程）的建立； （2）用时域经典法求系统的响应； （3）系统的单位冲激响应及其求解；（4）卷积的定义、性质及运算，特别是()t δ函数形式与其它信号的卷积； （5）利用零输入线性与零状态线性，求解系统的响应。
2.3 本章的知识结构2.4 本章的内容摘要2.4.1系统微分方程的建立电阻：)(1)(t v Rt i R R =电感：dtt di L t v L L )()(= )(d )(1)(0t i v Lt i L tL L +=⎰∞-ττ 电容：dtt dv C t i C C )()(= ⎰+=tt L C C t i i Ct v 0)(d )(1)(0ττ 2.4.2 系统微分方程的求解 齐次解和特解。
齐次解为满足齐次方程t n t t h e c e c e c t y 32121)(λλλ+⋅⋅⋅++=当特征根有重根时，如1λ有k 重根，则响应于1λ的重根部分将有k 项，形如t k t k t k t k h e c te c e t c e t c t y 111112211)(λλλλ++⋅⋅⋅++=--- 当特征根有一对单复根，即bi a +=2,1λ，则微分方程的齐次解bt e c bt e c t y at at h sin cos )(21+= 当特征根有一对m 重复根，即共有m 重ib a ±=2,1λ的复根，则微分方程的齐次解bt e t c bt te c bt c t y at m m at h cos cos cos )(121-+⋅⋅⋅++= bt e t d bt te d bt e d at m m at at sin sin sin 121-+⋅⋅⋅+++ 特解的函数形式与激励函数的形式有关。
《信号与系统分析基础》第二章部分习题参考答案
第二章部分习题参考答案2-6 试求下列各函数1()f t 与2()f t 之卷积。
121212(-)01(1) ()() ()() (0) ()()()(-) ()(-)11(1) 0(2) ()t tt t tt t f t u t f t e u t f t f t f f t d u eu t d e e d e e e t f t ααταατααταατττττττααδ-+∞-∞+∞---∞--==>*===⋅=⋅=-≥=⎰⎰⎰，解：，2121212() ()cos(45)()()()cos[()45] cos(45)(3) ()(1)[()(1)] ()(1)(2) ()()t f t t f t f t t d t f t t u t u t f t u t u t f t f t ωδτωττω+∞-∞=+*=-+=+=+--=---*⎰，解：，解：ττ222221211211()(-1)(-1)-2(-2)(-2)(-1)(-1)-(-2)(-2)2211-(-2)(-2)(-3)(-3)-(-2)(-2)(-3)(-3)22()*()()1,()0123, (1-)(1)21(1)--(12ttf t t u t t u t t u t t u t t u t t u t t u t t u t f t f t f t t f t t t dt t ft t t t τττ=+++=<=<<+=+-=++⎰222-112222212111)-222123, (1-)(1)-221()2(1)-2(1-)(-1)211121---152223, ()*()0.t t t t t t d t f t t t t t t t t t t t f t f t ττττ-+=<<+=+=+++=+++=++>=⎰121221--(4) cos , (1)-(-1)()*()()(-) [(1)-(-1)][cos(-)] cos[(1)]-cos[(-1)]f t t f t t t f t f t f f t d t t t d t t ωδδτττδδωττωω+∞∞+∞∞==+==+⋅=+⎰⎰ -212-212--2-220(5) ()(), ()sin ()()()*()()sin(-)(-) sin(-)sin t t ttt tf t e u t f t t u t f t f t f t e u t u t d e t d ee d τττττττττ+∞∞==⋅==⋅⋅⋅=⋅=⋅⎰⎰⎰-12-(-)--0022-(-)-33-2-3(6) ()2[()-(-3)], ()4()-(-2)0, ()0.02,()2488-825, 88()8(-)5, ()0.t tt t t tt t t t t f t e u t u t f t u t u t t f t t f t e d e e e t ft ed ef t e e e t f t ττττττ-==<=<<==⋅=<<===>=⎰⎰2-8 求阶跃响应为32()(21)()t t s t e e u t --=-+的LTI （线性时不变）系统对输入()()t x t e u t =的响应。
信号与线性系统分析总结
•两个周期信号x(t)，y(t)的周期分别为T1和T2，若其周期之比T1/T2为有理数，则其 和信号x(t)+y(t)仍然是周期信号，其周期为T1和T2的最小公倍数。
总结
➢ 能量信号与功率信号
将信号f (t)施加于1Ω电阻上，它所消耗的瞬时功率为| f (t) |2， 在区间(–∞ , ∞)的能量和平均功率定义为
-2 -1 0 1 2 3 ki
总结
例2 f1(k) ={0， 2 ， 1 ， 5，0} ↑k=1
f2(k) ={0， 3 ， 4，0，6，0} ↑k=0
解:
3 ， 4， 0， 6
×—————2 ，——1 ，—5 15 ，20， 0， 30
3 ， 4， 0， 6 6 ，8， 0， 12 + ———————————— 6 ，11，19，32，6，30
总结
第二章 连续系统的时域分析
➢系统的时域求解，冲激响应，阶跃响应。
➢时域卷积： f1 (t) * f2 (t) f1 ( ) f2 (t )d
图解法一般比较繁琐，但若只求某一时刻卷积 值时还是比较方便的。确定积分的上下限是关
f1(-τ)
键。
f 1( τt )
2
f1(2-τ)
f1(t)、 f2(t)如图所示，已知f(t) = f2(t)* f1(t)，求f(2) =？
*
d
n f 2 (t dtn
)
t
t
t
[
f1
(
)
*
f 2 ( )]d
[
f1 ( ) d ] *
f 2 (t)
f1 (t) *[
信号处理与系统分析 第2章线性时不变系统
从波形的角度来观察离散时间信号，它可以 看成是由许多加权了的单位冲激信号组合 而成的
x[n] x[1] [n 1] x[0] [n] x[2] [n 2]
对于任意的离散时间信号：
累加序号 自变量
加权值 移位的冲激信号
x[n]
k
x[k ] [n k ]
n
卷积公式是无穷多项求和，而我们实际遇到的常 常是有限长度序列，特别是在计算机离线处理的场 合，因为计算机不可能处理无穷多的信息。 在进行有限长度的序列的卷积时候，长度为N和M 的2个序列作卷积时，反转序列从左到右进入重叠 直至移出重叠，只有存在重叠项时，卷积和才可能 非零。 卷积序列的长度为M+N-1。
求解系统响应的卷积方法是系统分析的重要工具。
单位冲激响应h[n]完全描述了线性时不变系统的变换 规律。不同的系统输入，都在h[n]的作用下产生相应的 响应，因此，给定了一个LTI系统的单位冲激响应h[n]就 等于给定了该系统。
从计算某一个特定点的角度来看
yy [n [n 0]
k k
第2章 线性时不变系统
线性时不变（简称LTI，Linear， Time-invariant）系统
为什么引入LTI ？
如果不对系统的性质加以限制，那么分析 一个系统将是十分困难的。 给系统加上线性和时不变性的限制，那么 系统的分析将变得十分简便。 LTI系统的分析还为非线性系统的分析方法 提供了思路。例如，线性时不变系统可以 用冲激响应来表达，非线性系统可以用 Volterra级数来表达。
上式应该理解为许多以为n自变量的函数的相 加，而不是数值相加。
许多移了位的冲激信号的加权和，构成了x[n] 。
特别地，我们有
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齐次方程的特征根为 ： –1， – 2 零输入响应： yzi (t) = Czi1e –t + Czi2e –2t yzi(0+)=yzi(0-)= y(0-)
yzi (0 ) C zi 1 C zi 2 2 y zi (0 ) C zi 1 2C zi 2 1
n an1n1 a1 a0 0
i i 1,2, n
齐次解的形式由特征根定:
特征根λ n个单实特征根 r重实根
2 a j 1对共轭复根 1，
i 1
待定系数Ci在求得全解 后由初始条件定
yh ( t )
齐次解
ci e
n
i t
(cr 1t r 1 cr 2 t r 2 c1t c0 )e t
y(t ) 2C1e 2t 3C2e 3t e t
由已知条件： y(0) 2, y(0) 1
y(0) C1 C 2 1 2 y(0) 2C1 3C 2 1 1
C1 3，C2 2 联立求解得：
齐次解 特解 2t 3t t y( t ) 3 e 2 e e ,t 0 自由响应 强迫响应
a 1, b 2, c 5
对等号两端从0-到0+进行积分
0 0
y(t ) (t ) 2 (t ) r 1(t )
0 0 0 0
y(0 ) y(0 ) (t )dt 2 (t )dt r1 (t )dt
y(0 ) y(0 ) 2
j 0 n j
y ( t ) bi f ( i ) ( t )
( j) i 0
m
an=1
高等数学中经典解法：完全解 = 齐次解 + 特解。
y(t ) yh (t ) y p (t )
第 4页
1. 齐次解
齐次方程： 特征方程： 特征根：
y n ( t ) an1 y n1 ( t ) a1 y1 ( t ) a0 y( t ) 0
yzs ( t ) : 系统的初始状态为零时，仅由输入信号引起的
响应。 方程为非齐次方程:
a
j 0
n
j
( j) yzs ( t ) ai f ( i ) ( t ) i 0
n
( j) (0 ) 0 初始状态: yzs 若微分方程的特征根均为单根,则其零状态响应为：
y zs ( t ) C zsj e
( j) zi
yzi (t ) C zij e
( j) zi
j 1
n
jt
例1：描述某系统的微分方程为 y”(t) + 3y’(t) + 2y(t) = 2f ’(t) + 6f(t) 已知y(0-)=2，y’(0-)=1，f(t)=ε(t) 求该系统的零输入响应、零状态响应和全响应。 解：求解零输入响应
第二章 连续系统的时域分析
概述： 1.LTI连续系统的时域分析： 建立线性微分方程并 求出响应与激励关系 时域分析法：函数的变量----t 2.特点：比较直观、物理概念清楚，是学习各种变换 域分析法的基础 经典法 3.时域分析法主要内容： 零输入响应和零状态响应 冲击响应与卷积积分
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第二章 连续系统的时域分析
• 配平的原理：微分方程左右两端的δ(t)及各阶导数 应该平衡，令
y(t ) a (t ) b (t ) c (t ) r 0(t )
y(t ) a (t ) b (t ) r 1(t )
y( t ) a ( t ) r 2( t )
第 12 页
0 0 0 0 0 0 0 0
y(0 ) y(0 ) 5
已知
y(0 ) 1
y(0 ) 4
第 13 页
三.零输入响应
yzi ( t ) :没有外加输入信号，只由起始状态所产生的响应；
微分方程为齐次方程，即：
a
j 0
n
j
yzi ( t ) 0
j
y(t ) 2 y(t ) y(t ) f (t ) 2 f (t ) • 已知 y(0 ) 1, y(0 ) 1, f (t ) (t ),求y(0 )和y(0 )
• 解：
y(t ) 2 y(t ) y(t ) (t ) 2 (t )
第 9页
3. 全解
自由响应
强迫响应
完全解 = 齐次解 + 特解
注意：特解中待定系数：特解带入非齐次方程，对比求；
齐次解中待定系数：在全解求得后由初始条件定。 • 齐次解的函数形式：仅与系统本身的特性有关 与激励f(t)的函数形式无关 又叫固有响应或自由响应 •特解的函数形式： 由激励确定 又叫强迫响应
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二．关于0-和0+值
t=0-
f(t)接入 t=0
t=0+
t
y(j)(0-) 初始状态或起始值 反映的是历史状态 与激励f(t)无关
可能变化
f(t)
y(j)(0+)
（0-、 f(t)）共同决定0+
=右侧是否包含δ(t)、δ (t)--冲击函数匹配法
第 11 页
,
0-和0+初始值举例
• 例：描述某LTI系统的微分方程为
若其特征根均为单根，则其零输入响应:
yzi (t ) C zij e
j 1 n
jt
Czij-----待定系数
由于输入为零，故初始值:
( j) ( j) yzi (0) yzi (0) y( j ) (0),( j 0,1, , n 1)
第 14 页
四. 零状态响应
j 1
n
jt
y p (t )
y zs ( t ) 3 yzs ( t ) 2 yzs ( t ) 2 (t ) 6 ( t )
yzs (0 ) y 初始状态： zs (0 ) 0 先求：yzs (0 ), yzs (0 )
( j) yzs (0 ) 0
y zs ( t ) a ( t ) r 0( t ) y zs ( t ) r 1( t ) y zs ( t ) r 2( t )
代入微分方程得： a 2
yzs (0 ) yzs (0 ) 0, y zs (0 ) yzs (0 ) 2 2
• • • • 2.1 2.2 2.3 2.4 LTI连续系统的响应 冲激响应和阶跃响应 卷积积分 卷积积分的性质
第 2页
§2.1 LTI连续系统的响应
一、微分方程的经典解 二、关于0-与0+值 三、零输入响应 四、零状态响应 五、全响应
第 3页
一、微分方程的经典解
对于单输入-单输出系统的激励为f(t)，响应为 y(t)，则描述LTI连续系统激励与响应之间关系的数 学模型是n阶常系数线性微分方程，它可写为： y(n)(t) + an-1y (n-1)(t) + …+ a1y(1)(t) + a0y (t) = bmf(m)(t) + bm-1f (m-1)(t) + …+ b1f(1)(t) + b0f (t) 或缩写为： a
a (t ) (2a b) (t ) (a 2b c) (t ) [r0 (t ) 2r1 (t ) r2 (t )] (t ) 2 (t )
等号两端 (t ) 及其各阶导数的系数应分别相等
a 1, b 2a 0, c 2b a 2
且
y（j) (0-) = yzi (j)(0-) + yzs (j)(0-)
y（j) (0+) = yzi (j)(0+) + yzs(j)(0+)
( j) yzs (0 ) 0
( j) ( j) yzi (0) yzi (0) y( j ) (0)
第 17 页
零输入响应和零状态响应举例
y(0 ) 1 已知 y(0 ) 1 对等号两端从0-到0+进行积分 y(t ) (t ) 2 (t ) 5 (t ) r 0(t )
y(0 ) y(0 ) (t )dt 2 (t )dt 5 (t )dt r0 (t )dt
C cos(t ) D sin( t )e at 或Ae at cos(t ), Ae at C jD
r重共轭复根
第 5页
2. 特解
特解的函数形式与激励函数形式有关如下表，将特 解函数式→代入原方程，比较定出待定系数。
激励f(t) 常数 响应y(t)的特解yp(t) 常数
(t ) 3 y 当t>0时， yzs zs ( t ) 2 yzs ( t ) 6
j 1
n
jt
y p (t )
其中：Czsj---待定系数
yp(t)---特解
第 15 页
五. 全响应
由y(j)(0+)
n
由yzi(j)(0+)
y(t) = yzi(t) + yzs(t)
i t
由yzs(j)(0+)
jt
n
y( t ) C i e y p ( t ) C zij e
i 1
n
j 1
C zsj e
j 1
jt
y p (t )
自由响应
强迫响应
零输入响应