2020届四川省凉山州高考数学一诊试卷(文科)(含答案)
2020年四川省凉山州高考一诊试卷数学（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={1，2}，B={-1，1，a+1}，且A⊆B，则a=（）A. 1B. 0C. -1D. 22.在复平面内，复数z=（1+i）（2-i）对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.抛物线x2+3y=0的准线方程为（）A. x=B. x=-C. y=D. y=-4.已知2||=||，（-）⊥，则与的夹角是（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°5.如图所示的程序框图，若输出值y=1，则输入值x的集合是（）A. {0，1}B. {1，2}C. {0，2}D. {1}6.污染防治是全面建成小康社会决胜期必须坚决打好的三大攻坚战之一．凉山州某地区2019年空气质量为“良”的天数共为150天，若要在2021年使空气质量为“良”的天数达到216天，则这个地区空气质量为“良”的天数的年平均增长率应为（）（精确到小数点后2位）A. 0.13B. 0.15C. 0.20D. 0.227.函数f（x）=A sin（ωx+φ）（其中A＞0，）的图象如图所示，为了得到g（x）=A sinωx的图象，则只要将f（x）的图象（）A. 向右平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向左平移个单位长度8.△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知a=，b cos A=sin B，则A=（）A. B. C. D.9.已知平面α，β，γ和直线l，则“α∥β”的充分不必要条件是（）A. α内有无数条直线与β平行B. l⊥α且l⊥βC. γ⊥α且γ⊥βD. α内的任何直线都与β平行10.函数f（x）=，其图象的对称中心是（）A. （0，1）B. （1，-1）C. （1，1）D. （0，-1）11.已知点M为直线x+y-3=0上的动点，过点M引圆x2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，则点P（0，-1）到直线AB的距离的最大值为（）A. B. C. D.12.若函数f（x）=x2-ax+b ln x在区间（1，2）上有两个极值点，则b的可能取值为（）A. 3B. 4C. 5D. 6二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.计算：2lg=______．14.已知0＜α＜，tanα=，则sinα+cosα=______．15.在一个长方体形的铁盒内有一个小球，铁盒共一顶点的三个面的面积分别是、、，则小球体积的最大值为______．16.如图，直线PT和AB分别是函数f（x）=x3-3x过点P（2，2）的切线（切点为T）和割线，则切线PT的方程为______；若A（a，f（a）），B（b，f（b））（b＜a＜2），则a+b=______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.S n为等差数列{a n}的前n项和，a1=1，S3=9．（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n=a2n-1+a2n，求数列{b n}的前n项和T n．18.如在某次数学考试中，从甲乙两个班各抽取10名学生的数学成绩进行统计分析，两个班样本成绩的茎叶图如图所示．（1）用样本估计总体，若根据茎叶图计算得甲乙两个班级的平均分相同，求x（x＜10，x∈N）的值；（2）从甲班的样本不低于90分的成绩中任取2名学生的成绩，求这2名学生的成绩不相同的概率．19.在△ABC中（图1），AB=5，AC=7，D为线段AC上的点，且BD=CD=4，以BD为折线，把△BDC翻折，得到如图2所示的图形，M为BC的中点，且AM⊥BC，连接AC．（1）求证：AB⊥CD；（2）求四面体ABCD外接球的表面积．20.已知函数f（x）=（e=2.71828…为自然对数的底数）•（1）若a≠0，试讨论f（x）的单调性；（2）对任意x∈（0，+∞）均有e x+x2-ax+1≥0，求a的取值范围．21.已知椭圆C：的离心率为，且与双曲线有相同的焦点•（l）求椭圆C的方程；（2）直线l与椭圆C相交于A，B两点，点M满足，点P（1，），若直线MP斜率为，求△ABP面积的最大值及此时直线l的方程．22.在平面直角坐标系xOy中，点M的坐标为（1，0），在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，直线l的方程为ρcosθ+ρsinθ-1=0．（1）判断点M与直线l的位置关系；（2）设直线l与曲线C：（t为参数，t∈R）相交于A，B两点，求点M到A，B两点的距离之积．23.已知f（x）=|x+a|．（1）若a=2，求不等式f（2x-2）＜3的解集；（2）若f（x）+f（x-2）≥m2+m对任意，x∈R恒成立，求m的取值范围．答案和解析1.【答案】A2.【答案】A3.【答案】C4.【答案】C5.【答案】C6.【答案】C7.【答案】B8.【答案】D9.【答案】B10.【答案】D11.【答案】D12.【答案】A13.【答案】214.【答案】15.【答案】16.【答案】y=2 -217.【答案】解：（1）等差数列{a n}的公差设为d，由a1=1，S3=9，可得3+×3×2d=9，解得d=2，则a n=1+2（n-1）=2n-1；（2）b n=a2n-1+a2n=2（2n-1）-1+4n-1=8n-4，则前n项和T n=4+12+…+（8n-4）=n（4+8n-4）=4n2．18.【答案】解：（1）设样本甲、乙两班的平均成绩分别为、，则=（70×3+80×3+90×2+100×2+5×3+3+7×6）=89，=（70×2+80×3+90×4+100+8×2+3×2+1+2+4+5+x+9）=84+，∵甲乙两个班级的平均分相同，∴84+=89，解得x=7．（2）由茎叶图得甲班的样本中成绩不低于90分的学生有4人，记他们的成绩分别为，A2，B，C，其中，，A2表示成绩为97分的两名学生的成绩，B，C分别表示成绩为105分和107分的两名学生的成绩，则从这4名学生中任取两名学生的成绩，不同的取法有6种，分别为：{A1，A2}，{A1，B}，{A1，C}，{A2，B}，{A2，C}，{B，C}，这2名学生的成绩不相同包含的基本事件有5种，分别为：{A1，B}，{A1，C}，{A2，B}，{A2，C}，{B，C}，∴这2名学生的成绩不相同的概率P=．19.【答案】解：（1）证明：在图①中，AC=7，BD=CD=4，∴AD=3，在△ABD中，AB=5，AD=3，BD=4，∵AD2+BD2=AB2，∴BD⊥CD，翻折后仍有BD⊥CD，又AD，BD都在面ABD，AD∩BD=D，∴CD⊥面ABD，AB在面ABD内，∴AB⊥CD；（2）由（1）知，四面体ABCD可补为一个以DA，DB，DC为长，宽，高的长方体，所以四面体ABCD外接球的半径R==，所以四面体ABCD的外接球的表面积S=4πR2=41π．20.【答案】解：（1）函数的定义域{x|x≠0}，∵f′（x）=，当a＞0时，若x∈（1，+∞），f′（x）＞0，函数单调递增，若x∈（-∞，0），（0，1），f′（x）＜0，函数单调递减，当a＜0时，若x∈（1，+∞），f′（x）＜0，函数单调递减，若x∈（-∞，0），（0，1），f′（x）＞0，函数单调递增，（2）由题意可得，a，令h（x）=，x＞0，则h′（x）=，令g（x）=e x+x+1，则g′（x）=e x+1＞0恒成立，故g（x）在（0，+∞）上单调递增，故g（x）＞g（0）=1，即e x+x+1＞0，故当x∈（0，1）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，当x∈（1，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，当x=1时，函数h（x）取得最小值h（1）=e+2，故a的范围为（-∞，e+2]．21.【答案】解：（1）由题意，双曲线的焦点（±1，0）所以由题意知椭圆中：c=1，e==，b2=a2-c2，解得：a2=4，b2=3，所以椭圆的方程为：；（2）∵，∴M为线段AB的中点，又k MP==k PO，1）当M为坐标原点时，①当AB的斜率不存在时，此时，A，B为短轴的两个端点，S△ABP=2b•|x P|==，②当AB的斜率存在时，设的斜率为k，设A（x，y），B（x'，y'），则直线AB：y=kx（k）代入椭圆方程整理：（3+4k2）x2-12=0，x+x'=0，xx'=，∴|AB|===4，P到直线AB的距离d=，所以S ABP=•|AB|•d=2=，令t=6-12k，∴==，∵要得面积S△ABP的最大值，则t＞0，t+≥24，∴=3，这时t=，即t=12，∴6-12k=12，k=-时等号成立，∴（S△ABP）max=2，直线方程为：y=-x．2）当M不为原点时，由k MP=k OP=，∴M，O，P三点共线，∴k MO=，设A（x，y），B（x'，y'），M（x0，y0），l AB的斜率为：k AB，x+x'=2x0，y+y'=2y0，=，因为A，B在椭圆上：，∴+=0，∴1+=0，∴1+•k AB=0，即1+=0，∴k AB=-，设直线l AB：y=-x+m代入椭圆整理得：x2-mx+m2-3=0，△=m2-4（m2-3）＞0，m2＜4，x+x'=m，xx'=m2-3∴|AB|==•，P到直线AB的距离为：d==2，∴S△ABP==••2=•，令g（m）=（2-m）3（2+m），（-2＜m＜2），g'（m）=-4（2-m）2（m+1），m∈（-2，-1），g'（m）＞0，g（m）单调递增，m∈（-1，2），g'（m）＜0，g（m）单调递减，所以g（-1）=27，∴S△ABP）max=，∴直线AB的方程：y=--1，max综上所述，面积的最大值为，直线AB的方程：y=--1．22.【答案】解：（1）l在平面直角坐标系的方程为x+y-1=0，将M（1，0）代入得1+0-1=0，∴点M在直线l上．（2）曲线C的直角坐标系为y2=4x，直线l的参数方程为，（t为参数），将直线l的参数方程代入抛物线方程y2=4x，得：，∴点M到A，B两点的距离之积为：|t1t2|=8．23.【答案】解：（1）当a=2时，f（2x-2）＜3即|2x-2+2|＜3，解得，故所求不等式的解集为；（2）f（x）+f（x-2）=|x+a|+|x+a-2|≥|x+a-x-a+2|=2，∴只需2≥m2+m成立即可，∴-2≤m≤1，即实数m的取值范围为[-2，1]．。
2020年高考(文科)数学一诊试卷(Word解析版)
2020年高考（文科）数学一诊试卷一、选择题1．已知集合A＝{0，1，2，3，4，5}，B＝{x|x＝2n，n∈N}，则A∩B＝（）A．{0，2，4}B．{2，4}C．{1，3，5}D．{1，2，3，4，5} 2．已知复数，则|z|＝（）A．B．5C．13D．3．已知非零向量，给定p：∃λ∈R，使得，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．若2sin，则tanα＝（）A．4B．3C．﹣4D．﹣35．已知双曲线的一条渐近线过点（2，﹣1），则它的离心率是（）A．B．C．D．6．已知集合，从A中任选两个角，其正弦值相等的概率是（）A．B．C．D．7．近五年来某草场羊只数量与草场植被指数两变量间的关系如表所示，绘制相应的散点图，如图所示：年份123451.40.90.750.60.3羊只数量（万只）草地植被指数 1.1 4.315.631.349.7根据表及图得到以下判断：①羊只数量与草场植被指数成减函数关系；②若利用这五组数据得到的两变量间的相关系数为|r1，去掉第一年数据后得到的相关系数为r2，则|r1|＜|r2|；③可以利用回归直线方程，准确地得到当羊只数量为2万只时的草场植被指数；以上判断中正确的个数是（）A．0B．1C．2D．38．已知函数，且a＝f（0.20.2），b＝f（log34），，则a、b、c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．b＞c＞a9．已知圆锥的顶点为A，高和底面的半径相等，BE是底面圆的一条直径，点D为底面圆周上的一点，且∠ABD＝60°，则异面直线AB与DE所成角的正弦值为（）A ．B ．C ．D ．10．已知函数f（x）＝sinωx（sinωx+cosωx）（ω＞0），若函数f（x）的图象与直线y＝1在（0，π）上有3个不同的交点，则ω的范围是A．（，]B．（，]C．（，]D．（，]11．已知点M（﹣4，﹣2），抛物线x2＝4y，F为抛物线的焦点，l为抛物线的准线，P为抛物线上一点，过P做PQ⊥l，点Q为垂足，过P作抛物线的切线l1，l1与l交于点R，则|QR|+|MR|的最小值为（）A．B．C．D．512．已知定义在R上的函数f（x），f'（x）是f（x）的导函数，且满足xf'（x）﹣f（x）＝x2e x，f（1）＝e，则f（x）的最小值为（）A．﹣e B．e C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知函数，则．14．已知向量，满足||，向量，夹角为120°，且（）⊥，则向量||＝．15．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且，a＝8，，则c＝．16．大自然是非常奇妙的，比如蜜蜂建造的蜂房．蜂房的结构如图所示，开口为正六边形ABCDEF，侧棱AA'、BB'、CC'、DD'、EE'、FF'相互平行且与平面ABCDEF垂直，蜂房底部由三个全等的菱形构成．瑞士数学家克尼格利用微积分的方法证明了蜂房的这种结构是在相同容积下所用材料最省的，因此，有人说蜜蜂比人类更明白如何用数学方法设计自己的家园．英国数学家麦克劳林通过计算得到∠B′C′D′＝109°28′16''．已知一个房中BB'＝5，AB＝2，tan54°44′08''，则此蠊房的表面积是．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．在等差数列{a n}中，a1＝﹣8，a2＝3a4．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，T n为数列{b n}的前n项和，若，求n的值．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底前ABCD为平行四边形，点P在面ABCD内的射影为A，PA＝AB＝1，点A到平面PBC的距离为，且直线AC与PB垂直．（Ⅰ）在棱PD找点E，使直线PB与平面ACE平行，并说明理由；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求三棱锥P﹣EAC的体积．19．甘肃省是土地荒漠化较为严重的省份，一代代治沙人为了固沙、治沙，改善生态环境，不断地进行研究与实践，实现了沙退人进．2019年，古浪县八步沙林场“六老汉”三代入治沙群体作为优秀代表，被中宣部授予“时代楷模”称号．在治沙过程中为检测某种固沙方法的效果，治沙人在某一实验沙丘的坡顶和坡腰各布设了50个风蚀插钎，以测量风蚀值（风蚀值是测量固沙效果的指标之一，数值越小表示该插钎处被风吹走的沙层厚度越小，说明固沙效果越好，数值为0表示该插针处没有被风蚀）通过一段时间的观测，治沙人记录了坡顶和坡腰全部插钎测得的风蚀值（所测数据均不为整数），并绘制了相应的频率分布直方图．（I）根据直方图估计“坡腰处一个插钎风蚀值小于30”的概率；（Ⅱ）若一个插钎的风蚀值小于30，则该数据要标记“*”，否则不标记．根据以上直方图，完成列联表：标记不标记合计坡腰坡顶合计并判断是否有95%的把握认为数据标记“*”与沙丘上插钎所布设的位置有关？（Ⅲ）坡顶和坡腰的平均风蚀值分别为和，若||＞20cm，则可认为此固沙方法在坡顶和坡腰的固沙效果存在差异，试根据直方图计算和（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），并判断该固沙方法在坡顶和坡腰的固沙效果是否存在差异．附：K2．P（K2≥k）0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.828 20．已知点F为椭圆（a＞b＞0）的一个焦点，点A为椭圆的右顶点，点B为椭圆的下顶点，椭圆上任意一点到点F距离的最大值为3，最小值为1．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若M、N在椭圆上但不在坐标轴上，且直线AM∥直线BN，直线AN、BM的斜率分别为k1和k2，求证：k1•k2＝e2﹣1（e为椭圆的离心率）．21．已知函数（a∈R且a≠0）．（Ⅰ）当a时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性与单调区间；（Ⅲ）若y＝f（x）有两个极值点x1，x2，证明：f（x1）+f（x2）＜9﹣lna．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为，曲线C2的直角坐标方程为．（Ⅰ）若直线l与曲线C1交于M、N两点，求线段MN的长度；（Ⅱ）若直线l与x轴，y轴分别交于A、B两点，点P在曲线C 2上，求的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣1|+|2x+2|，g（x）＝|x+2|+|x﹣2a|+a．（Ⅰ）求不等式f（x）＞4的解集；（Ⅱ）对∀x1∈R，∃x2∈R，使得f（x1）≥g（x2）成立，求a的取值范围．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A＝{0，1，2，3，4，5}，B＝{x|x＝2n，n∈N}，则A∩B＝（）A．{0，2，4}B．{2，4}C．{1，3，5}D．{1，2，3，4，5}【分析】利用交集定义直接求解．解：∵集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{x|x＝2n，n∈N}，∴A∩B＝{2，4}．故选：B．【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2．已知复数，则|z|＝（）A．B．5C．13D．【分析】利用复数的运算法则求出z，再求其模长即可．解：因为复数2＝i（2+i）+2＝1+2i；∴|z|；故选：A．【点评】本题考查了复数的运算法则，复数的模长，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．已知非零向量，给定p：∃λ∈R，使得，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】由q可得向量同向共线，进而判断出关系．解：由q可得向量同向共线，∴q⇒p，反之不成立．∴p是q的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题考查了向量共线定理、简易逻辑，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．若2sin，则tanα＝（）A．4B．3C．﹣4D．﹣3【分析】由题意利用诱导公式、二倍角的正弦公式以及同角三角函数的基本关系，求得tanα的值．解：若2sin，即2cos•（﹣sin）＝2•，即﹣sin，∴，故tanα＝﹣4，故选：C．【点评】本题主要考查诱导公式、二倍角的正弦公式以及同角三角函数的基本关系，属于基础题．5．已知双曲线的一条渐近线过点（2，﹣1），则它的离心率是（）A．B．C．D．【分析】根据题意可知（2，﹣1）在y x上，可得a2＝4b2，即可得到离心率．解：由题可知（2，﹣1）在双曲线的渐近线y x上，则a＝2b，即a2＝4b2，所以e，故选：A．【点评】本题考查双曲线离心率的求法，根据条件表示出a、b关系是关键，属于中档题．6．已知集合，从A中任选两个角，其正弦值相等的概率是（）A．B．C．D．【分析】从A中任选两个角，基本事件总数n，其正弦值相等包含的基本事件个数m，由此能求出其正弦值相等的概率．解：∵集合，sin sin，，sin sin，，从A中任选两个角，基本事件总数n，其正弦值相等包含的基本事件个数m，∴其正弦值相等的概率是p．故选：B．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7．近五年来某草场羊只数量与草场植被指数两变量间的关系如表所示，绘制相应的散点图，如图所示：年份123451.40.90.750.60.3羊只数量（万只）草地植被指数 1.1 4.315.631.349.7根据表及图得到以下判断：①羊只数量与草场植被指数成减函数关系；②若利用这五组数据得到的两变量间的相关系数为|r1，去掉第一年数据后得到的相关系数为r2，则|r1|＜|r2|；③可以利用回归直线方程，准确地得到当羊只数量为2万只时的草场植被指数；以上判断中正确的个数是（）A．0B．1C．2D．3【分析】根据两组数据的相关性，对题目中的命题判断正误即可．解：对于①，羊只数量与草场植被指数成负相关关系，不是减函数关系，所以①错误；对于②，用这五组数据得到的两变量间的相关系数为|r1，因为第一组数据（1.4，1.1）是离群值，去掉后得到的相关系数为r2，其相关性更强，所以|r1|＜|r2|，②正确；对于③，利用回归直线方程，不能准确地得到当羊只数量为2万只时的草场植被指数，只是预测值，所以③错误；综上知，正确的判断序号是②，共1个．故选：B．【点评】本题考查了数据分析与线性相关性的判断问题，是基础题．8．已知函数，且a＝f（0.20.2），b＝f（log34），，则a、b、c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．b＞c＞a【分析】推导出0＜0.20.2＜0.20＝1，log34＞1，1，由此能比较三个数的大小．解：∵函数的减区间为（﹣∞，0），增区间为（0，+∞），0＜0.20.2＜0.20＝1，log34＞1，1，∵a＝f（0.20.2），b＝f（log34），，∴b＞c＞a．故选：D．【点评】本题考查三个数的大小的判断，考查指数函数、对数函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9．已知圆锥的顶点为A，高和底面的半径相等，BE是底面圆的一条直径，点D为底面圆周上的一点，且∠ABD＝60°，则异面直线AB与DE所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【分析】建立直角坐标系．不妨设OB＝1．高和底面的半径相等，得OE＝OB＝OA，OA⊥底面DEB，利用向量夹角公式即可得出．解：如图所示，建立直角坐标系．不妨设OB＝1．因为高和底面的半径相等，∴OE＝OB＝OA，OA⊥底面DEB．∵点D为底面圆周上的一点，且∠ABD＝60°，∴AB＝AD＝DB；∴D为的中点则O（0，0，0），B（0，﹣1，0），D（1，0，0），A（0，0，1），E（0，1，0），∴（0，﹣1，﹣1），（﹣1，1，0），∴cos，，∴异面直线AM与PB所成角的大小为．∴异面直线AB与DE所成角的正弦值为．故选：A．【点评】本题考查了异面直线所成的角，本题转化为向量的夹角，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10．已知函数f（x）＝sinωx（sinωx+cosωx）（ω＞0），若函数f（x）的图象与直线y＝1在（0，π）上有3个不同的交点，则ω的范围是A．（，]B．（，]C．（，]D．（，]【分析】先根据两角和与差的三角函数个数化简解析式，再把问题转化为sin（2）有三个根，借助于正弦函数的性质即可求解．解：因为函数f（x）＝sinωx（sinωx+cosωx）（1﹣cos2ωx）sin2ωx sin（2）（ω＞0），∵函数f（x）的图象与直线y＝1在（0，π）上有3个不同的交点；即sin（2）1有3个根；∴sin（2）有三个根；∵x∈（0，π）；∴2∈（，2ωπ）；∵2π2ωπ2π⇒ω．故选：C．【点评】本题主要考查两角和与差的三角函数以及方程根的个数问题的求解，属于综合性题目．11．已知点M（﹣4，﹣2），抛物线x2＝4y，F为抛物线的焦点，l为抛物线的准线，P为抛物线上一点，过P做PQ⊥l，点Q为垂足，过P作抛物线的切线l1，l1与l交于点R，则|QR|+|MR|的最小值为（）A．B．C．D．5【分析】画出图形，设出P的坐标，结合抛物线的定义，转化说明|QR|+|MR|的最小值就是MF的距离即可．解：设P（m，），则过P的切线的斜率为：k，Q（m，﹣1），k PQ，k PQ ＞k＝﹣1，根据抛物线的定义，|PF|＝|PQ|．l1为FQ的垂直平分线，|RF|＝|RQ|，|QR|+|MR|的最小值为|MF|5，故选：D．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查数形结合以及转化思想计算能力，是中档题．12．已知定义在R上的函数f（x），f'（x）是f（x）的导函数，且满足xf'（x）﹣f（x）＝x2e x，f（1）＝e，则f（x）的最小值为（）A．﹣e B．e C．D．【分析】构造函数，则e x，设F（x）＝e x+c，即f（x）＝xe x+cx，又f（1）＝e得c＝0，所以f（x）＝xe x，再利用导数即可求得f（x）的最小值．解：由xf'（x）﹣f（x）＝x2e x，构造函数，则e x，所以可以设F（x）＝e x+c，即，f（x）＝xe x+cx，又因为f（1）＝e得c＝0，所以f（x）＝xe x，由f'（x）＝e x（x+1）＝0得x＝﹣1，所以当x＜﹣1时f'（x）＜0，即f（x）在（﹣∞，﹣1）上为减函数，当x＞﹣1时f'（x）＞0，f（x）在（﹣1，+∞）上为增函数，所以，故选：D．【点评】本题主要考查了构造函数，以及利用导数研究函数的最值，是中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知函数，则4．【分析】先求出f（log 2），从而f（），由此能求出结果．解：∵函数，∴f（log 2），∴f（）＝2．故答案为：4．【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14．已知向量，满足||，向量，夹角为120°，且（）⊥，则向量||＝．【分析】由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式可得||•||cos，2，及||的值，而||展开可求出其值．解：因为（）⊥，所以（）•0，即2＝0，因为||，向量，夹角为120°，整理可得2＝||•||cos，2，即﹣2＝||•（），所以||＝2，所以||故答案为：．【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，及和向量的模的求法，两个向量的数量积公式的应用，属于基础题．15．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且，a＝8，，则c＝9．【分析】根据可求出cos C，进而求出sin C．由可得sin A，最后利用正弦定理求出c的值．解：由得，∴．显然，结合，∴，∴．∵a＝8，由正弦定理得，即，∴c＝9．故答案为：9．【点评】本题考查正余弦定理的应用及二倍角公式等知识点．同时考查学生的逻辑推理、数学运算等数学核心素养．属于基础题．16．大自然是非常奇妙的，比如蜜蜂建造的蜂房．蜂房的结构如图所示，开口为正六边形ABCDEF，侧棱AA'、BB'、CC'、DD'、EE'、FF'相互平行且与平面ABCDEF垂直，蜂房底部由三个全等的菱形构成．瑞士数学家克尼格利用微积分的方法证明了蜂房的这种结构是在相同容积下所用材料最省的，因此，有人说蜜蜂比人类更明白如何用数学方法设计自己的家园．英国数学家麦克劳林通过计算得到∠B′C′D′＝109°28′16''．已知一个房中BB'＝5，AB＝2，tan54°44′08''，则此蠊房的表面积是216．【分析】连接BD，B′D′，则由题意BD∥B′D′，BD＝B′D′＝6，由OB′C′D′为菱形，可求OC′＝2•6，B′C′＝3，进而可求CC′，可求S，即可计算得解S表面积的值．梯形BB′CC′解：连接BD，B′D′，则由题意BD∥B′D′，BD＝B′D′＝6，∵OB′C′D′为菱形，∠B′C′D′＝109°28′16''，tan54°44′08''，∴OC′＝2•26，B′C′＝3，∴CC′＝BB′4，∴S梯形BB′CC′27，∴S表面积＝63216．故答案为：216．【点评】本题主要考查了勾股定理在解三角形中的应用，考查了菱形的性质，考查了数形结合思想的应用，属于中档题．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．在等差数列{a n}中，a1＝﹣8，a2＝3a4．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，T n为数列{b n}的前n项和，若，求n的值．【分析】（Ⅰ）先设公差为d，由a1＝﹣8，a2＝3a4，求出d，进而求出a n；（Ⅱ）先利用（1）中求出的a n求b n，再利用裂项相消法求T n，从而解决n的值得问题．解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差是d，由a1＝﹣8，a2＝3a4得：﹣8+d＝3（﹣8+3d）解得d＝2，所以a n＝﹣10+2n；（Ⅱ）由（Ⅰ）知a n＝﹣10+2n，∴，所以T n＝2[（）+（）+…+（）]，由T n解得n＝9．【点评】本题主要考查等差数列及裂项相消法求和，属于基础题．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底前ABCD为平行四边形，点P在面ABCD内的射影为A，PA＝AB＝1，点A到平面PBC的距离为，且直线AC与PB垂直．（Ⅰ）在棱PD找点E，使直线PB与平面ACE平行，并说明理由；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求三棱锥P﹣EAC的体积．【分析】（Ⅰ）点E为PD中点时直线PB与面ACE平行．连接BD，交AC点O，说明OE∥PB，然后证明PB与平面ACE平行（Ⅱ）说明AC⊥平面PAB，则AC⊥AB，设AC＝x，通过等体积法转化求解即可．解：（Ⅰ）点E为PD中点时直线PB与面ACE平行．证明：连接BD，交AC点O，则点O为BD的中点，因为点E为PD中点，故OE为△PDB的中位线，则OE∥PB，OE⊂平面ACE，PB⊄平面ACE，所以PB与平面ACE平行．（Ⅱ）根据题意AC⊥PB，PA⊥底面ABCD，AC⊂底面ABCD，则有AC⊥PA，PA∩PB ＝P，所以AC⊥平面PAB，则AC⊥AB设AC＝x，，得AC＝1，则．【点评】本题考查几何体的体积的求法，直线与平面平行的判断定理与形状的应用，是基本知识的考查．19．甘肃省是土地荒漠化较为严重的省份，一代代治沙人为了固沙、治沙，改善生态环境，不断地进行研究与实践，实现了沙退人进．2019年，古浪县八步沙林场“六老汉”三代入治沙群体作为优秀代表，被中宣部授予“时代楷模”称号．在治沙过程中为检测某种固沙方法的效果，治沙人在某一实验沙丘的坡顶和坡腰各布设了50个风蚀插钎，以测量风蚀值（风蚀值是测量固沙效果的指标之一，数值越小表示该插钎处被风吹走的沙层厚度越小，说明固沙效果越好，数值为0表示该插针处没有被风蚀）通过一段时间的观测，治沙人记录了坡顶和坡腰全部插钎测得的风蚀值（所测数据均不为整数），并绘制了相应的频率分布直方图．（I）根据直方图估计“坡腰处一个插钎风蚀值小于30”的概率；（Ⅱ）若一个插钎的风蚀值小于30，则该数据要标记“*”，否则不标记．根据以上直方图，完成列联表：标记不标记合计坡腰坡顶合计并判断是否有95%的把握认为数据标记“*”与沙丘上插钎所布设的位置有关？（Ⅲ）坡顶和坡腰的平均风蚀值分别为和，若||＞20cm，则可认为此固沙方法在坡顶和坡腰的固沙效果存在差异，试根据直方图计算和（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），并判断该固沙方法在坡顶和坡腰的固沙效果是否存在差异．附：K2．P（K2≥k）0.0500.0100.001 k 3.841 6.63510.828【分析】（I）利用频率分布直方图计算“坡腰处一个插钎风蚀值小于30”的频率值；（Ⅱ）由频率分布表填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；（Ⅲ）计算和，求出||，即可得出结论．解：（I）设“坡腰处一个插钎风蚀值小于30”的事件为C，则P（C）＝0.08+0.16+0.36＝0.6；（Ⅱ）由频率分布表，填写列联表如下：标记不标记合计坡腰302050坡顶203050合计5050100由表中数据，计算K24＞3.841，所以有95%的把握认为数据标记“*”与沙丘上插钎所布设的位置有关；（Ⅲ）计算0.08×5+0.16×15+0.36×25+0.24×35+0.12×45+0.04×55＝25.8（cm），0.04×5+0.12×15+0.24×25+0.32×35+0.20×45+0.08×55＝32.6（cm），且||＝4.8＜20，所以判断该固沙方法在坡顶和坡腰的固沙效果没有差异．【点评】本题考查了频率分布直方图与独立性检验的应用问题，是中档题．20．已知点F为椭圆（a＞b＞0）的一个焦点，点A为椭圆的右顶点，点B为椭圆的下顶点，椭圆上任意一点到点F距离的最大值为3，最小值为1．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若M、N在椭圆上但不在坐标轴上，且直线AM∥直线BN，直线AN、BM的斜率分别为k1和k2，求证：k1•k2＝e2﹣1（e为椭圆的离心率）．【分析】（Ⅰ）由题意可知，a+c＝3，a﹣c＝1，可求出a，c的值，再利用b2＝a2﹣c2求出b的值，即可得到椭圆的标准方程；（Ⅱ）设直线AM的斜率为k，则直线BN的斜率也为k，所以直线AM的方程为y＝k （x﹣2），直线BN的方程为y＝kx，联立直线AM与椭圆方程求出点M的坐标，联立直线BN与椭圆方程求出点N的坐标，再利用斜率公式分别求出k1，k2，化简k1•k2，从而得到k1•k2＝e2﹣1．解：（Ⅰ）由题意可知，，解得，∴b2＝a2﹣c2＝3，∴椭圆的标准方程为：；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，A（2，0），B（0，），设直线AM的斜率为k，则直线BN的斜率也为k，故直线AM的方程为y＝k（x﹣2），直线BN的方程为y＝kx，由得：（3+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣12＝0，∴，∴，，∴，由得：，∴，，∴，∴，，∴k1k2•，又∵，∴k1•k2＝e2﹣1．【点评】本题主要考查了椭圆方程，以及直线与椭圆的位置关系，考查了韦达定理得应用，是中档题．21．已知函数（a∈一、选择题且a≠0）．（Ⅰ）当a时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性与单调区间；（Ⅲ）若y＝f（x）有两个极值点x1，x2，证明：f（x1）+f（x2）＜9﹣lna．【分析】（Ⅰ）因为a时，f′（x）＝2x⇒f′（1）＝﹣1，易求f（1）＝2，从而可得曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）由题意可知f′（x）＝2x（x＞0），令﹣x2+2x﹣a ＝0，通过对△＝12﹣4a符号的分析，即可求得函数f（x）的单调性与单调区间；（Ⅲ）依题意，f′（x）0有两个正根x1，x2，则△＝12﹣4a＞0，x1+x2＝2，x1•x2＝a＞0，f（x1）+f（x2）＝2（x1+x2）﹣aln（x1x2）（）+1＝﹣alna+a+7，利用分析法，若要f（x1）+f（x2）＜9﹣lna，即要alna﹣lna﹣a+2＞0，构造函数g（x）＝xlnx﹣lnx﹣x+2，通过对其导数的分析，存在x0∈（1，2），使得g （x0）＝0，且g（x0）为（1，2）上的最小值，g（x0）＝x0lnx0﹣x0﹣lnx0+2＝3﹣（x0），利用对勾函数的单调性即可证得结论成立．解：（Ⅰ）因为a时，，所以f′（x）＝2x，那么f′（1）＝﹣1，f（1）＝2，所以曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为：y﹣2（x﹣1），即x+y ﹣21＝0，（Ⅱ）由题意可知f（x）的定义域为（0，+∞），因为f′（x）＝2x，由﹣x2+2x﹣a＝0可得：△＝12﹣4a＞0，即a＜3时，有x1，x2，x1＞x2，又当x∈（0，3）时，满足x1＞x2＞0，所以有x∈（0，x2）和（x1，+∞）时，f′（x）＜0，即f（x）在区间（0，x2）和（x1，+∞）上为减函数．又x∈（x2，x1）时，f′（x）＞0，即f（x）在区间（x2，x1）上为增函数．当a＜0时，有x1＞0，x2＜0，则x∈（0，x1）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数；x∈（x1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；当a≥3时，△≤0，f′（x）≤0恒成立，所以f（x）在（0，+∞）为减函数，综上所述，当a＜0时，在（0，3），f（x）为增函数；在（3，+∞），f（x）为减函数；当0＜a＜3时，f（x）在区间（0，3）和（3，+∞）上为减函数，在（3，3），f（x）为增函数；当a≥3时，在（0，+∞）上，f（x）为减函数．（Ⅲ）因为y＝f（x）有两个极值点x1，x2，则f′（x）0有两个正根x1，x2，则△＝12﹣4a＞0，x1+x2＝2，x1•x2＝a＞0，即a∈（0，3），所以f（x1）+f（x2）＝2（x1+x2）﹣aln（x1x2）（）+1＝﹣alna+a+7，若要f（x1）+f（x2）＜9﹣lna，即要alna﹣lna﹣a+2＞0，构造函数g（x）＝xlnx﹣lnx﹣x+2，则g′（x）＝1+lnx1＝lnx，且在（0，3）上为增函数，又g′（1）＝﹣1＜0，g′（2）＝ln20，所以存在x0∈（1，2），使得g（x0）＝0，即lnx0，且x∈（1，x0）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，x∈（x0，2）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，所以g（x）在（1，2）上有最小值g（x0）＝x0lnx0﹣x0﹣lnx0+2＝3﹣（x0），又因为x0∈（1，2），则x0∈（2，），所以g（x0）＞0在x0∈（1，2）上恒成立，即f（x1）+f（x2）＜9﹣lna成立．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值，考查导数的几何意义的应用，突出考查函数与方程思想、分类讨论思想及等价转化思想的综合运用，考查了逻辑推理能力与综合运算能力，属于难题．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为，曲线C2的直角坐标方程为．（Ⅰ）若直线l与曲线C1交于M、N两点，求线段MN的长度；（Ⅱ）若直线l与x轴，y轴分别交于A、B两点，点P在曲线C 2上，求的取值范围．【分析】（Ⅰ）直接利用参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换的应用求出结果．（Ⅱ）利用直线和曲线的位置关系的应用建立等量关系，进一步求出范围．解：（Ⅰ）直线l的参数方程为（t为参数），转换为直角坐标方程为x+y﹣1＝0，曲线C1的极坐标方程为，转换为直角坐标方程为x2+y2﹣2x+2y＝0，转换为标准式为（x﹣1）2+（y+1）2＝2，所以圆心（1，﹣1）到直线x+y﹣1＝0的距离d，所以弦长|MN|＝2．（Ⅱ）线C2的直角坐标方程为．转换为直角坐标方程为x2+y2＝4，转换为参数方程为（0≤θ≤π）．由于A（1，0），B（0，1），点P在曲线C2上，故P（2cosθ，2sinθ），所以，，（0≤θ≤π），所以2，故：，所以．【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣1|+|2x+2|，g（x）＝|x+2|+|x﹣2a|+a．（Ⅰ）求不等式f（x）＞4的解集；（Ⅱ）对∀x1∈R，∃x2∈R，使得f（x1）≥g（x2）成立，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）将函数化为分段函数的形式，再分类讨论分别解不等式，最后把每种情况的解集取并集即可；（Ⅱ）易知f（x）min＝2，g（x）≥|2a+2|+a，结合题意可知2≥|2a+2|+a，由此求得实数a的取值范围．解：（Ⅰ），∴f（x）＞4即为或或，∴或x∈∅或x＞1，∴不等式的解集为；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当x＝﹣1时，f（x）min＝2，g（x）＝|x+2|+|x﹣2a|+a≥|（x+2）﹣（x﹣2a）|+a＝|2a+2|+a，由题意，对∀x1∈R，∃x2∈R，使得f（x1）≥g（x2）成立，故f（x）min≥g（x）min，即2≥|2a+2|+a，解得﹣4≤a≤0，∴实数a的取值范围为[﹣4，0]．【点评】本题考查绝对值不等式的解法以及不等式的恒成立问题，同时也涉及了绝对值不等式性质的运用，属于基础题．。
四川省凉山州2020届高三第二次诊断性检测数学(文科)试题 Word版含解析
凉山州2020届高中毕业班第二次诊断性检测数学（文科） 第I 卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题每题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1. 已知集合2{|log (1)2},,A x x B N =-<=则AB =（ ）A. {}2345，，，B. {}234，，C. {}1234，，， D.{}01234，，，， 【答案】B 【解析】 【分析】解对数不等式可得集合A ，由交集运算即可求解.【详解】集合2{|log (1)2},A x x =-<解得{}15,A x x =<<,B N =由集合交集运算可得{}{}152,3,4A B x x N ⋂=<<⋂=， 故选：B .【点睛】本题考查了集合交集的简单运算，对数不等式解法，属于基础题. 2. 设i 为虚数单位，复数()()1z a i i R =+-∈，则实数a 的值是（ ） A. 1B. -1C. 0D. 2【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算化简，由复数的意义即可求得a 的值. 【详解】复数()()1z a i i R =+-∈， 由复数乘法运算化简可得()11a a i z =++-，所以由复数定义可知10a -=，解得1a =， 故选：A.【点睛】本题考查了复数的乘法运算，复数的意义，属于基础题. 3. 等比数列{},n a 若3154,9a a ==则9a =（ ） A. ±6 B. 6 C. -6 D.132【答案】B 【解析】 【分析】根据等比中项性质代入可得解，由等比数列项的性质确定值即可. 【详解】由等比数列中等比中项性质可知，23159a a a ⋅=，所以96a ==±，而由等比数列性质可知奇数项符号相同，所以96a =， 故选：B.【点睛】本题考查了等比数列中等比中项的简单应用，注意项的符号特征，属于基础题. 4. 若2()(1)()f x x ax a R =+∈，则“23a =”是“()327f =”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】根据充分必要性的判定，依次判断是否具有充分性和必要性即可. 【详解】函数2()(1)()f x x ax a R =+∈，当23a =时，22()13f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则22(3)313273f ⎛⎫=⨯+⨯⎪⎭= ⎝，所以“23a =”是“()327f =”的充分条件；当()327f =时，代入可得23(13)27a ⨯+=，解得23a =或43a =-，因而“23a =”不是“()327f =”的必要条件， 综上可知“23a =”是“()327f =”的充分不必要条件， 故选：B.【点睛】本题考查了充分必要条件的概念及简单判断，属于基础题. 5. 曲线24x y =在点()2,t 处的切线方程为（ ）A. 1y x =-B. 23y x =-C. 3y x =-+D.25y x =-+【答案】A 【解析】 【分析】将点代入解析式确定参数值，结合导数的几何意义求得切线斜率，即可由点斜式求的切线方程.【详解】曲线24x y =，即214y x =， 当2x =时，代入可得21124t =⨯=，所以切点坐标为()2,1， 求得导函数可得12y x '=， 由导数几何意义可知1212k y ='=⨯=， 由点斜式可得切线方程为12y x -=-，即1y x =-， 故选：A.【点睛】本题考查了导数的几何意义，在曲线上一点的切线方程求法，属于基础题. 6. 阅读如图的程序框图，若输出的值为25，那么在程序框图中的判断框内可填写的条件是（ ）A. 5i >B. 8i >C. 10i >D. 12i >【答案】C 【解析】 【分析】根据循环结构的程序框图，带入依次计算可得输出为25时i 的值，进而得判断框内容. 【详解】根据循环程序框图可知，0,1S i == 则1,3S i ==，4,5S i ==， 9,7S i ==， 16,9S i ==， 25,11S i ==，此时输出S ，因而9i =不符合条件框的内容，但11=i 符合条件框内容，结合选项可知C 为正确选项， 故选：C.【点睛】本题考查了循环结构程序框图的简单应用，完善程序框图，属于基础题.7. 若双曲线22214x y b -=的离心率2e =，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离为（ ）A. B. 2D. 1【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线的解析式及离心率，可求得,,a b c 的值；得渐近线方程后，由点到直线距离公式即可求解.【详解】双曲线22214x y b -=的离心率2e =，则2a =，c e a ==，解得c =()，所以b ===则双曲线渐近线方程为y =±20y ±=，不妨取右焦点，则由点到直线距离公式可得d ==，故选：C.【点睛】本题考查了双曲线的几何性质及简单应用，渐近线方程的求法，点到直线距离公式的简单应用，属于基础题.8. 将函数()2cos 2f x x x =-向左平移6π个单位，得到()g x 的图象，则()g x 满足（ ） A. 图象关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称，在区间0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数B. 函数最大值为2，图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C. 图象关于直线6x π=对称，在,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为1 D. 最小正周期为π，()1g x =在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π有两个根【答案】C 【解析】 【分析】由辅助角公式化简三角函数式，结合三角函数图象平移变换即可求得()g x 的解析式，结合正弦函数的图象与性质即可判断各选项.【详解】函数()2cos 2f x x x =-，则()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭， 将()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭向左平移6π个单位， 可得()2sin 22sin 2666g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 由正弦函数的性质可知，()g x 的对称中心满足2,6x k k Z ππ+=∈，解得,122k x k Z ππ=-+∈，所以A 、B 选项中的对称中心错误；对于C ，()g x 的对称轴满足22,62x k k Z πππ+=+∈，解得,6x k k Z ππ=+∈，所以图象关于直线6x π=对称；当,123x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，52,636x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，由正弦函数性质可知[]2sin 21,26x π⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以在,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为1，所以C 正确； 对于D ，最小正周期为22ππ=，当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，22,663x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，由正弦函数的图象与性质可知，2sin 216x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭时仅有一个解为0x =，所以D 错误；综上可知，正确的为C ， 故选：C.【点睛】本题考查了三角函数式的化简，三角函数图象平移变换，正弦函数图象与性质的综合应用，属于中档题.9. 若函数()f x 的图象如图所示，则()f x 的解析式可能是（ ）A. ()x e xf x x +=B. 21()x f x x-=C. 2()x e x f x x-=D. 21()x f x x +=【答案】C 【解析】 【分析】根据函数解析式，结合特殊值与极限值法，即可判断解析式.【详解】根据函数图像可知，当1x =时，()0f x >，对于B 选项21()x f x x-=，其211(1)01f -==，所以排除B ；当x →+∞时，由图像可知()f x →+∞，对于D 选项21()x f x x+=，当x →+∞时()0f x →，所以排除D ；对于A ，()=1x x e x e f x x x +=+，当x →-∞时，由指数函数性质可知0xey x=→，即x →-∞时()1f x →，所以排除A ； 所以C正确选项，故选：C.【点睛】本题考查了由函数图像判断解析式，注意特殊值与极限值等方法的使用，属于基础题.10. 如图，长方体1111ABCD A B C D -中，1236AB AA ==，112A P PB =，点T 在棱1AA 上，若TP ⊥平面PBC .则1TP B B ⋅=（ ）A. 1B. 1-C. 2D. 2-【答案】D 【解析】 【分析】根据线面垂直的性质，可知TP PB ⊥；结合112A P PB =即可证明11PTA BPB ∆≅∆，进而求得1TA .由线段关系及平面向量数量积定义即可求得1TP B B ⋅. 【详解】长方体1111ABCD A B C D -中，1236AB AA ==， 点T 在棱1AA 上，若TP ⊥平面PBC . 则TP PB ⊥，112A P PB =则11PTA BPB ∠=∠，所以11PTA BPB ∆≅∆， 则111TA PB ==，所以11cos TP B B TP B B PTA ⋅=⋅⋅∠22⎛⎫=⨯=- ⎝， 故选：D.【点睛】本题考查了直线与平面垂直的性质应用，平面向量数量积的运算，属于基础题. 11. 已知12log 13a =131412,13b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，13log 14c =，则,,a b c 的大小关系为（ ）A. a b c >>B. c a b >>C. b c a >>D.a cb >>【答案】D 【解析】 【分析】由指数函数的图像与性质易得b 最小，利用作差法，结合对数换底公式及基本不等式的性质即可比较a 和c 的大小关系，进而得解.【详解】根据指数函数的图像与性质可知1314120131b ⎛⎫<= ⎪⎭<⎝，由对数函数的图像与性质可知12log 131a =>，13log 141c =>，所以b 最小； 而由对数换底公式化简可得1132log 13log 14a c -=-lg13lg14lg12lg13=- 2lg 13lg12lg14lg12lg13-⋅=⋅ 由基本不等式可知()21lg12lg14lg12lg142⎡⎤⋅<+⎢⎥⎣⎦，代入上式可得()2221lg 13lg12lg14lg 13lg12lg142lg12lg13lg12lg13⎡⎤-+⎢⎥-⋅⎣⎦>⋅⋅221lg 13lg1682lg12lg13⎛⎫- ⎪⎝⎭=⋅11lg13lg168lg13lg16822lg12lg13⎛⎫⎛⎫+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⋅((lg13lg lg130lg12lg13+⋅-=>⋅所以a c >， 综上可知a c b >>， 故选：D.【点睛】本题考查了指数式与对数式的化简变形，对数换底公式及基本不等式的简单应用，作差法比较大小，属于中档题.12. 一个超级斐波那契数列是一列具有以下性质的正整数:从第三项起，每一项都等于前面所有项之和(例如:1，3，4，8，16…).则首项为2，某一项为2020的超级斐波那契数列的个数为（ ） A. 3 B. 4C. 5D. 6【答案】A 【解析】 【分析】根据定义，表示出数列的通项并等于2020.结合n 的正整数性质即可确定解的个数. 【详解】由题意可知首项为2，设第二项为t ，则第三项为2t +，第四项为()22t +，第五项为()222t +⋅⋅⋅第n 项为()322,*,n t n t N -+∈、且3n ≥， 则()3222020n t -+=， 因为2202025101=⨯⨯， 当3n -的值可以为0,1,2； 即有3个这种超级斐波那契数列，故选：A.【点睛】本题考查了数列新定义的应用，注意自变量的取值范围，对题意理解要准确，属于中档题.第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二，填空题(共4小题，每小题5分，共20分)13. 从甲、乙、丙、丁四个人中任选两名志愿者，则甲被选中的概率是 ． 【答案】【解析】试题分析：从甲、乙、丙、丁四个人中任选两名志愿者有（甲，乙）、（甲，丙）、（甲，丁）、（乙，丙）、（乙，丁）、（丙，丁）六种取法，其中甲被选中有（甲，乙）、（甲，丙）、（甲，丁）三种，所以甲被选中的概率为考点：本小题主要考查古典概型概率的求解.点评：求古典概型概率时，要保证每一个基本事件都是等可能的.14. 定义在R 上的奇函数()f x 满足()()11f x f x +=-，并且当01x ≤≤时()21xf x =-，则()123f =___ 【答案】1- 【解析】 【分析】根据所给表达式，结合奇函数性质，即可确定函数()f x 对称轴及周期性，进而由01x ≤≤的解析式求得()123f 的值.【详解】()f x 满足()()11f x f x +=-， 由函数对称性可知()f x 关于1112x xx ++-==对称，且令1x x =+，代入可得()()2f x f x +=-，由奇函数性质可知()()f x f x -=-，所以()()2f x f x +=- 令2x x =+，代入可得()()()42f x f x f x +=-+=， 所以()f x 是以4为周期的周期函数，则()()()()123431111f f f f =⨯-=-=-当01x ≤≤时()21xf x =-， 所以()11211f =-=，所以()()12311f f =-=-，故答案为：1-.【点睛】本题考查了函数奇偶性与对称性的综合应用，周期函数的判断及应用，属于中档题. 15. 已知平面向量a ，b 的夹角为3π,(3,1)a =，且||3a b -=，则||b =____ 【答案】1 【解析】 【分析】根据平面向量模的定义先由坐标求得a ，再根据平面向量数量积定义求得a b ⋅；将a b -化简并代入即可求得||b . 【详解】(3,1)a =，则()32a ==，平面向量a ，b 的夹角为3π，则由平面向量数量积定义可得1cos 232a b a b b b π⋅=⋅=⨯⨯=，根据平面向量模的求法可知2223a b a a b b -=-⋅+=，2423b b -+=，解得1b =， 故答案为：1.【点睛】本题考查了平面向量模的求法及简单应用，平面向量数量积的定义及运算，属于基础题.16. 数学家狄里克雷对数论，数学分析和数学物理有突出贡献，是解析数论的创始人之一.函数1,()0,x D x x ⎧⎪=⎨⎪⎩为有理数为无理数，称为狄里克雷函数.则关于()D x 有以下结论:①()D x 的值域为[]01，;②()(),x R D x D x ∀∈-=; ③()(),T R D x T D x ∀∈+=;④(1)(2020)45;D D D D ++++=其中正确的结论是_______(写出所有正确的结论的序号) 【答案】② 【解析】 【分析】确定④.【详解】对于①，由定义可知，当x 为有理数时()1D x =；当x 为无理数时()0D x =，则值域为{}0,1，所以①错误；对于②，因为有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，所以满足()(),x R D x D x ∀∈-=，所以②正确；对于③，因为T R ∈，当x 为无理数时，x T +可以是有理数，也可以是无理数，所以③()(),T R D x T D x ∀∈+=错误；对于④，由定义可知(1)(2020)D D D D ++++2(1)(44)(2)(3)(2020)D D D D D D D D D =+++++++++44=，所以④错误；综上可知，正确的为②. 故答案为：②.【点睛】本题考查了新定义函数的综合应用，正确理解题意是解决此类问题的关键，属于中档题.三，解答题(解答过程应写出必要的文字说明，解答步骤.共70分)17. 传染病的流行必须具备的三个基本环节是:传染源，传播途径和人群易感性.三个环节必须同时存在，方能构成传染病流行.呼吸道飞沫和密切接触传播是新冠状病毒的主要传播途径，为了有效防控新冠状病毒的流行，人们出行都应该佩戴口罩.某地区已经出现了新冠状病毒的感染病人，为了掌握该地区居民的防控意识和防控情况，用分层抽样的方法从全体居民中抽出一个容量为100的样本，统计样本中每个人出行是否会佩戴口罩的情况，得到下面列联表:（1）用样本估计总体，分别估计青年人、中老年人出行戴口罩的概率. （2）能否有99.9%的把握认为是否会佩戴口罩出行的行为与年龄有关？【答案】（1）青年人出行戴口罩概率56；老年人出行戴口罩概率12.（2）有99.9%的把握认为是否会佩戴口罩出行的行为与年龄有关. 【解析】 【分析】（1）根据列联表，即可求得青年人、中老年人出行戴口罩的概率；（2）跟列联表及公式，代入即可求得观测值2K .结合临界值表即可作出判断. 【详解】（1）根据列联表可知，抽取青年人共501060+=人，其中带口罩的有50人， 所以青年人戴口罩的概率为505606=； 抽取老年人共202040+=人，戴口罩的有20人， 所以老年人戴口罩的概率为201402=. （2）假设是否会佩戴口罩出行的行为与年龄无关，由列联表及公式可得()221005020102012.69810.82860407030K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，因而有99.9%把握认为是否会佩戴口罩出行的行为与年龄有关. 【点睛】本题考查了独立性检验思想的简单应用，属于基础题.18. 如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，点M 是棱PC 的中点，()2,0AB PD t t ==>.(1)若2t =，证明：平面DMA ⊥平面PBC ；(2)若三棱锥C DBM -的体积为43求三棱锥B PAC -的体积. 【答案】（1）证明见解析；（2）83.【解析】 【分析】（1）根据四棱锥的特征，可证明BC ⊥平面PDC ，从而BC DM ⊥；而由等腰三角形性质DM PC ⊥可知，所以DM ⊥平面PBC ，进而由面面垂直的判定定理证明平面DMA ⊥平面PBC ；（2）过M 作MN DC ⊥，连接,DB BM .由43C DBM M DBC V V --==可求得t .即可由棱锥的体积公式求得B PAC P ABC V V --=.【详解】（1）证明：由题意PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ， 则PD BC ⊥四边形ABCD 为正方形，则BC CD ⊥， 且PD CD D ⋂=，则BC ⊥平面PDC ，又DM ⊂平面PDC ， 所以BC DM ⊥，由2AB PD ==且点M 是棱PC 的中点， 所以DM PC ⊥, 而BC PC C ⋂=， 所以DM ⊥平面PBC ，而DM ⊂平面DMA ，所以由面面垂直的判定定理可得平面DMA ⊥平面PBC ； （2）过M 作MN DC ⊥，连接,DB BM .则1114223223C DBM M DBC V V t --⎛⎫==⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭， 解得4t =，所以118224323B PAC P ABC V V --⎛⎫==⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了线面垂直与面面垂直的判定定理，三棱锥体积的求法，属于基础题. 19. 如图，平面四边形ABCD 中，23D π∠=，5sin cos 13BAC B ∠=∠=，13AB =.（1）求AC ；（2）求四边形ABCD 面积的最大值. 【答案】（1）12；（2）12330S = 【解析】 【分析】（1）根据同角三角函数式可求得cos sin BAC B ∠=∠，结合正弦和角公式求得()sin sin B BCA AC B ∠∠=+∠，即可求得2BCA π∠=，进而由三角函数（2）设,,AD x DC y ==根据余弦定理及基本不等式，可求得xy 的最大值，结合三角形面积公式可求得ADC S ∆的最大值，即可求得四边形ABCD 面积的最大值. 【详解】（1）5sin cos 13BAC B ∠=∠=，则由同角三角函数关系式可得12cos sin 13BAC B ∠=∠==，则()sin sin B BCA AC B ∠∠=+∠sin co cos sin s B B AC B AC B ∠+∠⋅=⋅∠∠551212113131313=⨯⨯=+， 则2BCA π∠=，所以12sin 131213AC AB B =⋅=⨯=. （2）设,,AD x DC y ==在DAC ∆中由余弦定理可得2222cos AC DA DC DA DC ADC =+-⋅⋅∠，代入可得22144x y xy =++，由基本不等式222x y xy +≥可知1442xy xy -≥，即48xy ≤，当且仅当x y == 由三角形面积公式可得1sin 2ADC S xy ADC ∆=∠1482≤⨯=1125302ACB S ∆=⨯⨯=，所以四边形ABCD 面积的最大值为30S =.【点睛】本题考查了正弦和角公式化简三角函数式的应用，余弦定理及不等式式求最值的综合应用，属于中档题.20. 设33()(4)log (01).11a f x a x x a a a a =--+>≠--且 （1）证明:当4a =时，()ln 0x f x +≤；（2）当1≥x 时()0f x ≤，求整数a 的最大值.（参考数据：20.69,3 1.10ln ln ≈≈，5 1.61,7 1.95ln ln ≈≈）【答案】（1）证明见解析；（2）5a =. 【解析】 【分析】（1）将4a =代入函数解析式可得()1f x x =-+，构造函数()ln 1g x x x =-+，求得()g x '并令()0g x '=，由导函数符号判断函数单调性并求得最大值，由()max 0g x =即可证明()0g x ≤恒成立，即不等式得证.（2）对函数求导，变形后讨论当1a >时的函数单调情况：当()()413ln a a a--≤时，可知满足题意；将不等式化简后构造函数()2543ln ,1g a a a a a =-+->，利用导函数求得极值点与函数的单调性，从而求得最小值为()3g ，分别依次代入检验()()()()3,4,5,6g g g g ⋅⋅⋅的符号，即可确定整数a 的最大值；当()()413ln a a a-->时不满足题意，因为求整数a 的最大值，所以01a <<时无需再讨论.【详解】（1）证明：当4a =时代入()f x 可得()1f x x =-+， 令()ln 1g x x x =-+，()0,x ∈+∞， 则()111xg x x x-'=-=， 令()0g x '=解得1x =，当()0,1x ∈时()0g x '>，所以()ln 1g x x x =-+在()0,1x ∈单调递增， 当()1,x ∈+∞时()0g x '<，所以()ln 1g x x x =-+在()1,x ∈+∞单调递减， 所以()()max 1ln1110gx g ==-+=，则()ln 10g x x x =-+≤，即()ln 0x f x +≤成立.（2）函数33()(4)log (01).11a f x a x x a a a a =--+>≠--且 则()()()41343ln (),1ln 11ln a a xa af x x x a a x a a----'=-=≥--，若1a >时，当()()413ln a a a--≤时，()0f x '<，则()f x 在[)1,+∞时单调递减，所以()()10f x f ≤=，即当1≥x 时()0f x ≤成立； 所以此时需满足()()1413ln a a a a >⎧⎪--⎨≤⎪⎩的整数解即可，将不等式化简可得2543ln a a a -+≤， 令()2543ln ,1g a a a a a =-+->则()()()2213325325,1a a a a g a a a a a a+---'=--==> 令()0g a '=解得3a =，当()1,3a ∈时()0g a '<，即()g a 在()1,3a ∈内单调递减， 当()3,a ∈+∞时()0g a '>，即()g a 在()3,a ∈+∞内单调递增， 所以当3a =时()g a 取得最小值，则()2335343ln 323ln 30g =-⨯+-=--<，()2445443ln 43ln 40g =-⨯+-=-<，()2555543ln543ln543 1.610g =-⨯+-=-≈-⨯<， ()()2665643ln 6103ln 2ln3103 1.790g =-⨯+-=-+≈-⨯>所以此时满足2543ln a a a -+≤的整数a 的最大值为5a =；当()()413ln a a a-->时，在()()411,2ln a a x a⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦时()0f x '>，此时()()10f x f >=，与题意矛盾，所以不成立.因为求整数a 的最大值，所以01a <<时无需再讨论，综上所述，当1≥x 时()0f x ≤，整数a 的最大值为5a =.【点睛】本题考查了导数在证明不等式中的应用，导数与函数单调性、极值、最值的关系和应用，构造函数法求最值，并判断函数值法符号，综合性强，属于难题.21. 已知12(),100(1)F F -，，分别是椭圆2222:1,(0)x y C a b a b+=>>的左焦点和右焦点，椭圆C的离心率为,5AB 、是椭圆C 上两点，点M 满足12BM BA =. (1)求C 的方程；(2)若点M 在圆221x y +=上，点O 为坐标原点，求OA OB ⋅的取值范围.【答案】（1）22154x y +=；（2）1111,45⎡⎫--⎪⎢⎣⎭. 【解析】 【分析】（1）根据焦点坐标和离心率，结合椭圆中,,a b c 的关系，即可求得,,a b c 的值，进而得椭圆的标准方程.（2）设出直线AB 的方程为y kx m =+，由题意可知M 为AB 中点.联立直线与椭圆方程，由韦达定理表示出1212,x x x x +，由判别式>0∆可得2254k m +>；由平面向量的线性运算及数量积定义，化简OA OB ⋅可得2114OA OB AB ⋅=-，代入弦长公式化简；由中点坐标公式可得点M 的坐标，代入圆的方程221x y +=，化简可得()2222542516k mk +=+，代入数量积公式并化简，由换元法令21t k =+，代入可得()()()20812051259t t OA OB t t -⋅=-⨯--，再令1s t =及52s ω=-，结合函数单调性即可确定1625950ωω++的取值范围，即确定()()()20851259t t t t ---的取值范围，因而可得OA OB ⋅的取值范围.【详解】（1）12(),100(1)F F -，，分别是椭圆2222:1,(0)x y C a b a b+=>>的左焦点和右焦点，则1c =，椭圆C则15c e a a ===解得a = 所以222514b a c =-=-=，所以C 的方程为22154x y +=.（2）设直线AB 的方程为y kx m =+，点M 满足12BM BA =，则M 为AB 中点，点M 在圆221x y +=上，设()()1122,,,A x y B x y ，联立直线与椭圆方程22154y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，化简可得()22254105200k x kmx m +++-=，所以212122210520,,5454km m x x x x k k --+==++则()()()222104545200km k m ∆=-⨯+⨯->，化简可得2254k m +>， 而()()OA OB OM MA OM MB ⋅=+⋅+2OM OM MB MA OM MA MB =+⋅+⋅+⋅22OM MB =-2114AB =-由弦长公式代入可得22111144OA OB AB ⋅=-=-22211454k k ⎛⎫+⎪=-⨯ ⎪+⎝⎭M 为AB 中点，则()121222254,,225454M M k x x b x x km mx y k k +++-====++点M 在圆221x y +=上，代入化简可得()2222542516k mk +=+，所以()22222154180454k k m OA OB k ++-⋅=-⨯⨯+ ()()()()222212012120542516k k k k ++=-⨯++ 令21t k =+，则()()()20812051259t t OA OB t t -⋅=-⨯--，1t ≥，令1,01s s t=<≤，则()()()()()82020820819512595259525t t s tt t s s t t ---==----⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()()4525259s s s -=--令[)52,3,5s ωω=-∈，则52s ω-=， 所以()()()()()4521616255259559950s s s ωωωωω-==--++++， 因为()25950f ωωω=++在[)3,5ω∈内单调递增，所以1643,252516950ωω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦++，即()()()20843,512592516t t t t -⎛⎤∈ ⎥--⎝⎦所以()()()2081111120,5125945t t OA OB t t -⎡⎫⋅=-⨯∈--⎪⎢--⎣⎭【点睛】本题考查了椭圆的标准方程求法，直线与椭圆的位置关系综合应用，由韦达定理研究参数间的关系，平面向量的线性运算与数量积运算，弦长公式的应用及换元法在求取值范围问题中的综合应用，计算量大，属于难题.请考生在第22，23两题中选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 22. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为x ty t=⎧⎨=⎩(t 为参数)，直线l 与曲线:C ()2211x y -+=交于A B 、两点.(1)求AB 的长；(2)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，设点P 的极坐标为34π⎛⎫ ⎪⎝⎭，求点P 到线段AB 中点M 的距离.【答案】（1 ;（2）2. 【解析】 【分析】（1）将直线的参数方程化为直角坐标方程，由点到直线距离公式可求得圆心到直线距离，结合垂径定理即可求得AB 的长；（2）将P 的极坐标化为直角坐标，将直线方程与圆的方程联立，求得直线与圆的两个交点坐标，由中点坐标公式求得M 的坐标，再根据两点间距离公式即可求得PM .【详解】（1）直线l 的参数方程为x ty t =⎧⎨=⎩(t 为参数)，化为直角坐标方程为y x =，即0x y -= 直线l 与曲线:C ()2211x y -+=交于A B 、两点. 则圆心坐标为()1,0，半径为1，则由点到直线距离公式可知d =所以2AB ==（2）点P 的极坐标为34π⎛⎫ ⎪⎝⎭，化为直角坐标可得()2,2-，直线l 的方程与曲线C 的方程联立()2211y xx y =⎧⎪⎨-+=⎪⎩，化简可得20x x -=， 解得0,1x x ==，所以A B 、两点坐标为()()001,1，、，所以11,22M ⎛⎫⎪⎝⎭，由两点间距离公式可得PM ==【点睛】本题考查了参数方程与普通方程转化，极坐标与直角坐标的转化，点到直线距离公式应用，两点间距离公式的应用，直线与圆交点坐标求法，属于基础题. 23. 设()()2,0f x x x a a =-->. (1)当1a =时，求不等式()1f x ≥-的解集； (2)若()1f x ≤，求a 的取值范围. 【答案】（1）1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）[)1,+∞. 【解析】 【分析】（1）将1a =代入函数解析式，并代入不等式，分类讨论解绝对值不等式即可得解. （2）将解析式代入不等式，讨论0x ≤、0x a <≤和x a >三种情况，结合不等式解集性质即可求得a 的取值范围. 【详解】（1）将1a =代入可得()21f x x x =--，代入不等式可得不等式211x x --≥-当0x <时，不等式可化为()211x x --⨯-≥-，解得1≥x ，与0x <矛盾，所以无解； 当01x ≤≤时，不等式可化为()211x x -⨯-≥-，解得13x ≥，所以解集为113x ≤≤；当1x >时，不等式可化为()211x x -⨯-≥-，解得3x ≤，所以解集为13x <≤；综上所述，不等式()1f x ≥-的解集为1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦.（2）由()1f x ≤代入解析式可得21x x a --≤，()0a >，当0x ≤时，去绝对值化简可得()21x a x --⨯-≤，解得21x a ≤+，对于任意0a >恒成立； 当0x a <≤时，去绝对值化简可得()21x a x -⨯-≤，解得213a x +≤，则需满足213a a +≤，解得1a ≥；当x a >时，去绝对值化简可得()21x x a -⨯-≤，解得21a x -≤，则需满足21a a -≥，解得1a ≥，综上所述，a 的取值范围为[)1,+∞.【点睛】本题考查了分类讨论解绝对值不等式，绝对值不等式求参数的取值范围问题，属于中档题.。
2020届四川省凉山州高三第一次诊断性检测数学（文）试题（解析版）
2020届四川省凉山州高三第一次诊断性检测数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}1,2A =，{}1,1,1B a =-+且A B ⊆，则a =（ ） A ．1 B ．0C ．1-D ．2【答案】A【解析】由题知：12a +=，解得：1a =. 【详解】因为A B ⊆，所以，解得：1a =. 故选：A 【点睛】本题考查集合的子集关系，理解子集的概念是关键，属于简单题. 2．在复平面内，复数(1i)(2i)z =+-对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】A ．【解析】试题分析：(1)(2)3z i i i =+-=+，∴对应的点为(3,1)，位于第一象限． 【考点】复数的乘除和乘方．3．抛物线230x y +=的准线方程为（ ） A ．34x =B ．32x =-C ．34y =D ．32y =-【答案】C【解析】将抛物线230x y +=方程化为标准方程23x y =-，由抛物线的标准方程可得其准线方程. 【详解】由抛物线230x y +=有23x y =-, 根据抛物线的标准方程可得32p =. 则其准线方程为：34y = 故选：C 【点睛】本题考查由抛物线的方程求准线方程，属于基础题.4．已知2a b =，()a b a -⊥，则a 与b 的夹角是（ ） A ．30 B ．45︒ C ．60︒ D ．90︒【答案】C【解析】由()a b a -⊥有()=0a b a -⋅得2=a b a ⋅，再代入向量的夹角公式可求解. 【详解】由()a b a -⊥有()=0a b a -⋅. 即2=a b a ⋅，又2a b =.则221cos ,22aa b a b a ba⋅〈〉===⋅. 由a 与b 的夹角在[0,]π内. 所以a 与b 的夹角为3π. 故选：C. 【点睛】本题考查向量的夹角，向量的数量积的运算,属于基础题.5．如图所示的程序框图，若输出值1y =，则输入值x 的集合是（ ）A ．{}0,1B ．{}1,2C ．{}0,2D ．{}1【答案】C【解析】将输出的值1y =，沿着“是”，“否”两条路线反代回去，即可求出x 的值. 【详解】若输入的1x >，则输出2log 1y x ==，则2x =. 若输入的1x ≤，则输出11()112x y -=-=,则0x =.则输入值x 的集合是: {}0,2 故选：C 【点睛】本题考查程序框图，根据输出的结果计算输入的初始值，属于基础题.6．污染防治是全面建成小康社会决胜期必须坚决打好的三大攻坚战之一.凉山州某地区2019年空气质量为“良”的天数共为150天，若要在2021年使空气质量为“良”的天数达到216天，则这个地区空气质量为“良”的天数的年平均增长率应为（ ）（精确到小数点后2位） A ．0.13 B ．0.15 C ．0.20 D ．0.22【答案】C【解析】设空气质量为“良”的天数的年平均增长率为x ，则2021年使空气质量为“良”的天数2216150(1)x =+，然后求解方程得出答案.【详解】设空气质量为“良”的天数的年平均增长率为x ，则2021年使空气质量为“良”的天数2216150(1)x =+即2216(1) 1.44150x +==，解得：0.20x = 故选：C. 【点睛】本题主要考查平均变化率，增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量(1⨯+增长率)n,属于基础题.7．函数()()sin f x A x =+ωϕ（其中0A >，2πϕ<）的图象如图所示，为了得到()sin g x A x ω=的图象，则只要将()f x 的图象（ ）A ．向右平移6π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向左平移3π个单位长度【答案】B【解析】根据图像有2A =,724632T πππ=-=,得到函数的最小正周期，根据周期公式可求出ω，然后求出()f x 和()g x 的解析式，再根据相位变换得到答案. 【详解】 根据图像有2A =,724632T πππ=-=, 所以22||T ππω==,则||=1ω. 不妨取=1ω，又2=03f π⎛⎫ ⎪⎝⎭有2sin =03πϕ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 得22,3k k Z πϕππ+=+∈,又2πϕ<.所以=3πϕ，即()sin 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，()sin g x x = 所以由()sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭向右平移3π个单位长度可得()sin g x x =的图像. 故选：B 【点睛】本题考查三角函数的图像性质，根据图像求解析式，三角函数的图像变换，属于中档题. 8．ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .已知3a =cos sin b A B =，则A =（ ） A ．12πB ．6πC ．4π D ．3π【解析】由cos sin b A B =有1sin cos b B A =,再由正弦定理有sin sin a b A B=,即1cos A=,可解出答案. 【详解】由cos sin b A B =有1sin cos b B A=,由正弦定理有sin sin a bA B=, 又a =1cos A=.所以tan A =因为A 为ABC 的内角，则3A π=.故选：D 【点睛】本题考查正弦定理的应用，属于中档题.9．已知平面α，β，γ和直线l ，则“αβ∥”的充分不必要条件是（ ） A ．α内有无数条直线与β平行 B ．l α⊥且l β⊥ C ．γα⊥且γβ⊥D ．α内的任何直线都与β平行 【答案】B【解析】选择“αβ∥”的充分不必要条件，是分析哪个选项能推出αβ∥，反之不成立. 【详解】A. α内有无数条直线与β平行,则,αβ可能相交或平行，故不能推出αβ∥.B. l α⊥且l β⊥,则αβ∥. 反之不成立，满足条件.C. γα⊥且γβ⊥,则,αβ 可能相交或平行，故不能推出αβ∥.D. α内的任何直线都与β平行是αβ∥的充要条件.【点睛】本题考查充分条件的判断，面面平行的判断，属于基础题.10．函数()22sin 2x x xf x xπ⎛⎫++- ⎪⎝⎭=，其图象的对称中心是（ ） A ．()0,1 B ．()1,1-C ．()1,1D ．()0,1-【答案】D【解析】()22sin 2cos 2=1x x x x f x x x xπ⎛⎫++- ⎪⎝⎭=+-,设2cos g()xx x x=+，则g()x 为奇函数，而()f x 的图像是g()x 的图像向下平移1个单位得到的，从而得到答案. 【详解】由()22sin 2cos 2=1x x xx f x x x xπ⎛⎫++- ⎪⎝⎭=+-， 设2cos g()xx x x=+，则g()x 为奇函数,其图像关于原点成中心对称. 所以()()1f x g x =-,()f x 的图像是g()x 的图像向下平移1个单位得到的.所以()f x 的图像关于点(0,1)- 成中心对称. 故选：D 【点睛】本题考查函数的奇偶性，考查函数图像的对称性，属于基础题.11．已知点M 为直线30x y +-=上的动点，过点M 引圆221x y +=的两条切线，切点分别为A ，B ，则点()0,1P -到直线AB 的距离的最大值为（ ）A ．32B ．53C．2D．3【答案】D【解析】设00(,)M x y ，先求出直线AB 的方程001x x y y ⋅+⋅=，由M 点在直线30x y +-=上，得出直线AB 过定点,从而求出答案.设00(,)M x y ,过点M 引圆221x y +=的两条切线，切点分别为A ，B .则A ，B 两点在以OM 为直径的圆:22000x x x y y y -⋅+-⋅=上.又A ，B 在圆221x y +=上，所以AB 为两圆的公共弦，将两圆方程联立相减得：001x x y y ⋅+⋅=，即直线AB 的方程001x x y y ⋅+⋅=又点M 在直线30x y +-=上，则003y x =-，代入直线AB 的方程.00(3)1x x y x ⋅+⋅-=,得直线AB 过定点11(,)33N ，所以点()0,1P -到直线AB 的距离：||3d PN ≤==. 故选：D. 【点睛】本题考查圆的切线方程，直线过定点问题，点到直线的距离的最值问题,属于难题. 12．若函数()21ln 2f x x ax b x =-+在区间()1,2上有两个极值点，则b 的可能取值为（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】A【解析】函数()f x 的导函数为()2=b x ax bf x x a x x-+'-+=，函数()f x 在区间()1,2上有两个极值点，即方程20x ax b -+=在()1,2内有两个不等实数根，根据二次方程根的分布找出条件，从而达到答案. 【详解】()2=b x ax bf x x a x x-+'-+=, 函数()21ln 2f x x ax b x =-+在区间()1,2上有两个极值点, 即方程20x ax b -+=在()1,2内有两个不等实数根.所以2=401221420a baa ba b⎧->⎪⎪<<⎪⎨⎪-+>⎪-+>⎪⎩以为b纵坐标，a为横坐标画出不等式满足的平面区域.曲线214b a=与直线1b a=-相切于点(2,1)，曲线214b a=与直线24b a=-相切于点(4,4).根据选项，则b的可能取值在选项中只能为3.故选：A.【点睛】本题考查极值存在的条件，考查线性规划解决问题，是导数的综合应用，属于难题.二、填空题13．计算：)02lg521+=______。
2020年四川省第一次高考模拟考试文科数学试题与答案
2020年四川省第一次高考模拟考试文科数学试题与答案（满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
|﹣1＜x＜5}，集合A＝{1，3}，则集合∁U A的子集的个数是（）1. 设全集U＝{x NA. 16B. 8C. 7D. 42. 下列各式的运算结果为纯虚数的是（）A. i（1+i）2B. i2（1﹣i）C. （1+i）2D. i（1+i）3. 为比较甲、以两名篮球运动员的近期竞技状态,选取这两名球员最近五场比赛的得分制成如图所示的茎叶图,有以下结论：①甲最近五场比赛得分的中位数高于乙最近五场比赛得分的中位数；②甲最近五场比赛得分平均数低于乙最近五场比赛得分的平均数；③从最近五场比赛的得分看，乙比甲更稳定；④从最近五场比赛的得分看，甲比乙更稳定。
其中所有正确结论的编号为（）A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④4. 已知直线，直线为，若则( )A．或 B．C ．D ．或5. 已知,条件甲：；条件乙：,则甲是乙的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 轴截面为正方形的圆柱的外接球的体积与该圆柱的体积的比值为（ ） A ． B ．C ．D ．7. 在中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，，则角B=（ ）A.B. C.D.8. 执行如图所示的程序框图，输出的S=（ ）A. 25B. 9C. 17D. 209. 设直线1:210l x y -+=与直线A 的交点为A ；,P Q 分别为12,l l 上任意两点，点M 为,P Q 的中点，若12AM PQ =，则m 的值为（ ） A. 2B. 2-C. 3D. 3-10.在V ABC 中，sin B A =，BC =4C π=，则=AB （ ）B. 5C. D.11. 已知函数，若，且函数存在最小值，则实数的取值范围为（ ） A.B.C. D. 12.已知三棱锥的底面的顶点都在球的表面上，且，，，且三棱锥的体积为，则球的体积为（ ） A.B.C.D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
四川省凉山州高三数学上学期第一次诊断性检测试题文
四川省凉山州高三数学上学期第一次诊断性检测试题 文第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}{}013,1,2,3,4,5,A x x B =≤-<=则A B ⋂=（ ） A ．{}1,2 B ．{}1,2,3 C ．{}1,2,3,4 D ．{}1,2,3,4,52.复数11ii+-的实部和虚部分别为,a b ，则a b +=（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3.方程3139log x =的解集为（ ） A ．14⎧⎫⎨⎬⎩⎭B ．{}4C ．13⎧⎫⎨⎬⎩⎭D ．19⎧⎫⎨⎬⎩⎭4.ABC ∆中，2sin A π⎛⎫ ⎪⎝⎭+，则2A tan =（ ）A．2 D1 5.n S 为正项等差数列{}n a 的前n 项和，3579,a a a tS ++=则t =（ ） A ．3 B ．13 C ．2 D ．236. 电路制造在半导体芯片表面上的集成电路称为薄膜()—thin film 集成电路，集成电路对于离散晶体管有成本和性能两个主要优势.从存放有编号分别为1,2,3,,8⋯的芯片的盒子中，有放回地取1000次，每次取一张芯片并记下编号.统计结果如下:则取到号码为奇数的频率为（ ）A ．0.5B ．0.49C ．0.51D ．0.487. 直线2y x =+和双曲线2213x y -=的渐近线相交于,A B 两点，则线段AB 的长度为(（ ） A ．． D 8. 抛物线2:C y ax =在点()1,a 处的切线方程为210x y --=，则C 的焦点坐标为（ ）A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,04⎛⎫ ⎪⎝⎭9. 已知ABC 为等边三角形，2,AB =设点,D E 满足21,,33BD DC BE BA BC AD ==+与BE 交于点,P 则BP BC ⋅（ ）A ．12 B ．83C ．1D ．2 10. 日常生活中，有各式各样精美的糖果包装礼盒.某个铁皮包装礼盒的平面展开图是由两个全等的矩形，两个全等的三角形和一个正方形所拼成的多边形(如图)，矩形的长为12,cm 矩形的宽和正方形的边长均为8cm .若该包装盒内有一颗球形硬糖的体积为3Vcm ，则V 的最大值为（ ）A 642B 322C ．32πD ．2563π 11. 设椭圆()222:124x y C a a +=>的左、右焦点分别为12,F F ，直线:l y x t =+交椭圆C 于点,A B ，若1F AB ∆的周长的最大值为12,则C 的离心率为（ ）A 35 C 22 D ．5912.a 克糖水中含有b 克糖，糖的质量与糖水的质量比为ba，这个质量比决定了糖水的甜度，如果再添加m克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，对应的不等式为()0,0b m ba b m a m a+>>>>+.若132153452,10,20x log x log x log ===，则（ ）A ．123x x x <<B ．132x x x <<C ．312x x x <<D ．321x x x <<第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.()()1,2,,1a b x ==-，若a b ⊥，则x =_ ．14.定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x +-=.当0x ≥时，(),f x x =则不等式()f x x ≤的解集用区间表示为 ．15.设n S 为数列{}n a 的前n 项和，121,2a a ==，且()220n n a a n N ++-=∈，则15S = ． 16.在空间中，过A 点作平面ϒ的垂线，垂足为B ，记作:()B f A ϒ=. 关于两个不同的平面,αβ有如下四个命题:①若//αβ，则存在点Р满足()()a f P f P β=. ②若αβ⊥，则存在点Р满足()()a f P f P β=.③若//,αβ则不存在点Р满足()()()()a a f f P f f P ββ=.④若对空间任意一点Р，恒有()()()()a a f f P f f P ββ=，则αβ⊥.其中所有真命题的序号是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 2020年1月24日，中国疾控中心成功分离中国首株新型冠状病毒毒种.6月19日，中国首个新冠mRNA 疫苗获批启动临床试验，截至2020年10月20日，中国共计接种了约6万名受试者.为了研究年龄与疫苗的不良反应的统计关系，现从受试者中采取分层抽样抽取100名，其中大龄受试者有30人，舒张压偏高或偏低的有10人，年轻受试者有70人，舒张压正常的有60人.()1根据已知条件完成下面的22⨯列联表，并据此资料你是否能够以99%的把握认为受试者的年龄与舒张压偏高或偏低有关?()2在上述100人中，从舒张压偏高或偏低的所有受试者中采用分层抽样抽取6人，若从抽出的6人中任取2人，求取出的2人都是大龄受试者的概率. 运算公式:()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++对照表:k 2.706 3.841 6.635 10.82818.已知函数()()(0,0,02)f x sin x πλωϕλωϕ=+>><<的部分图象如图所示，A 为图象与x 轴的交点，,B C 分别为图象的最高点和最低点，ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c ABC ∆的面积()22234S a c b =+-.()1求ABC 的角B 的大小;()2若3b =，点B 的坐标为1,3λ⎛⎫⎪⎝⎭，求()f x 的最小正周期及ϕ的值.19.如图，四棱锥—P ABCD 中，PA ⊥底面1,//,,222ABCD AD BC ABC AB BC AD π∠====，且PA=a ，E ，F 分别为,PC PB 的中点.()1若2a =，求证;PB ⊥平面ADEF ;()2若四棱锥P ABCD -的体积为2,求直线PC 与平面ABCD 所成角的正切值20.椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点为()2,0-，且椭圆C 经过点()0,1P ，直线1)20(y kx k k =+-≠与C 交于,A B 两点(异于点P ).()1求椭圆C 的方程;()2证明:直线PA 与直线PB 的斜率之和为定值，并求出这个定值21.设函数()()22()f x x a x alnx a R =+--∈.()1若1a =，求()f x 的极值; ()2讨论函数()f x 的单调性;()3若*n N ∈，证明:()()222212312341n ln n n +++⋯<+++. 请考生在第22、23两题中选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 22. [选修4-4:坐标系与参数方程]已知直线l 的参数方程为2x ty t m =⎧⎨=-⎩(t 为参数)，若以直角坐标系xOy 的O 点为极点，Ox 方向为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=.()1求直线l 的倾斜角和曲线C 的直角坐标方程;()2若直线l 与曲线C 交于,A B 两点，设点()0,2P -，求PA PB +.23. [选修4-5;不等式选讲]已知()1,,0,,1221a b a b b x x +=∀∈+∞+≥-++恒成立.()1若0,0a b >>，求1b a b+的最小值; ()2求x 的取值范围.数学（文科）参考答案及评分意见评分说明:1.本解法给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解答与本解法不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则2.对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变试题的内容及难度可视影响的程度决定后续部分的给分，但不得超过该部分的正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分3.解答右侧所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4.只给整数分数，选择题不给中间分.一、选择题1-5:BAACB 6-10:BABD A 11、12：BB 二、填空题 13.2 14.(][],10,1-∞-⋃ 15.50916. ②③④三、解答题17. 解:()122⨯列联表如下:()2210010601020 4.762 6.63530702080K ⨯⨯-⨯∴=≈<⨯⨯⨯所以，没有99%的把握认为受试者的年龄与舒张压偏高或偏低有关.()2由题意得，采用分层抽样抽取的6人中，大龄受试者有3人，设他们为123,,A A A 年轻受试者有3人，设他们为123,,a a a . 则从这6人中取出2人包含的基本事件:{}1213111213{}{}{}{},,,,,A A A A A a A a A a 、、 {}2321222331{}{}{}{,,,},,A A A a A a A a A a 、 {}{}{}{}{}3233121323,,,,,A a A a a a a a a a共有15种，其中取出的2人都是大龄受试者的有3种. 所以，取出的2人都是大龄受试者的概率31155P == 18.解:()2223S a c b =+-①∴由余弦定理得S = 又12S acsinB =312accosB acsinB ∴= 即3tanB =()0,B π∈3B π∴=()2由题意得，2,3,3a cb B π===∴由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得2224433c c c cos π+-=即1c =设边BC 与x 轴的交点为,D 则ABD ∆为正三角形3λ∴=且2AD = ∴函数()f x 的最小正周期为22πωπ∴== ()()3f x x πϕ=∴+又点133A ⎛ ⎝⎭在函数()f x 的图像上133f ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭333πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭即13sin πϕ⎛⎫ ⎪⎝⎭+=2,32k k Z ππϕπ∴+=+∈， 即2,6k k Z πϕπ=+∈又02πϕ<<6πϕ∴=19.解:()1PA ⊥平面ABCD 且AD ⊂平面ABCD,PA AD ∴⊥∵在底面ABCD 中，//,2AD BC ABC π∠=,AD AB ∴⊥而,PA AB A ⋂=AD ∴⊥平面,PAB PB ⊂平面,PAB,AD PB ∴⊥又在PAD ∆中，2,PA AB F ==是PB 的中点,AF PB ∴⊥ ,AD AF A ⋂=PB ∴⊥平面ADEF .()2连结AC ，则直线C 与平面ABCD 所成的角为PCA ∠底面ABCD 的面积()124262S =⨯+⨯=∴四棱锥P ABCD -的体积122,3S PA PA =⋅==1,PA ∴=PA ⊥平面ABCD,PA AC ∴⊥在Rt PAC ∆中，1,22PA AC ==222tan PCA ∴∠==∴直线PC 与平面ABCD20.解:()1由题意得:1c b == 则2223a b c =+=∴椭圆方程为2213x y +=()2解法一（常规方法):设()()1122,,,A x y B x y ，联立222113y kx k x y =+-+=⎧⎪⎨⎪⎩ 化简可得:()()()22316211210k x k k x k k ++-+-=， 直线1)20(y kx k k =+-≠与椭圆C 交于A B 、两点0,∴∆>即()()()221231214810k k k k ⎡⎤+-=-⎣⎦-->解得:01k << 由韦达定理()121222621121,3()311k k k k x x x x k k --+=-=++()121221121211PA PB y y k k x y x y x x x x --∴+=+=+-+ ()()121212222kx x k x x x x +-+=()()226621121211211212k k k k kk k k k-+--===-- ∴直线PA PB 、得斜率和为定值1.解法二（构造齐次式):由题直线1)20(y kx k k =+-≠恒过定点()2,1--①当直线AB 不过原点时，设直线AB 为()()11*mx n y +-=则221mx n --=即12m n +=-有12m n =--由2213x y +=有()()2231610y x y +-+-= 则()()()22316110x y y mx n y +-⎡⎤⎣-+-⎦+=整理成关于,1x y -的齐次式: ()()()2236161 0n y mx y x +-+-+=， 进而两边同时除以2x ，则()21366110y m x n y x -⎛⎫+-⎛⎫++= ⎪⎝⎭⎪⎝⎭令1y k x-= 则121216116213636PA PBn y y m k k x x n n⎛⎫-- ⎪--⎝⎭∴+=+=-==++ ②当直线AB 过原点时，设直线AB 的方程为()()00001,,,,2y x A x y B x y =-- 0000001121212PA PB y y y k k x x x --∴+=+==⨯= 综合①②直线PA 与直线PB 的斜率之和为定值1. 21.解:()()1f x 的定义域为()0,+∞ 当1a =时，()()2111'21()x x f x x x x+-=--= 若()'0f x >，则1x >， 若()'0f x <，则01x <<()f x ∴在()0,1上单调递减，在(1,)+∞上单调递增. ()()10f x f ∴==极小值，没有极大值.()()()()()()212'220x a x af x x a x x x+-=-+-=> 1当0a ≥时，若()'0f x >，则1x >，若()'0f x <，则01x <<()f x ∴在()0,1上单调递减，在(1,)+∞上单调递增2当012a<-<，即20a -<<时，若()'0f x >， 则02ax <<-或1x >，若()'0f x <，则12ax -<<()f x ∴在,12a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在()0,1,2()a-+∞上单调递增3︒当12a-=，即2a =-时，()'0f x ≥恒成立，()f x ∴在()0,+∞上单调递增. 4当12a->，即2a <-时，若()'0f x >，则01x <<或2ax >-;若()'0f x <，则12ax <<()f x ∴在(1,)2a-上单调递减，在(),1,()02a-+∞上单调递增综上所述:1当2a <-时，()f x 在(1,)2a -上单调递减，在(),1,()02a-+∞上单调递增; 2当2a =-时，()f x 在()0,+∞上单调递增; 3当20a -<<时，()f x 在,12a ⎛-⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在0,1,()2a -+∞⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 4当0a ≥时，()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增; ()3由()1知()2f x x x lnx =--在()0,1上为减函数()0,1x ∴∈时，()210x x lnx f -->=2x x lnx ∴-> 令1nx n =+，得()221nx x n -=+()2111nn n ln ln n n n +∴->=-++， 即11n n ln ln n n +>+222132432,,22334ln ln ln ∴>>>，11n n ln ln n n +>+将以上各式左右两边相加得()2222341123ln 2ln ln ln 232341n nn n ++++⋅⋅⋅+>+++⋅⋅⋅++()()222212312341n ln n n ∴+>+++⋅⋅⋅++22.()1解:将直线:2(x t l t y t =⎧⎨=-⎩为参数)化为直角坐标系方程为:20x y --=∴直线的斜率为1， 即直线的倾斜角为4π由曲线C 的极坐标方程:2cos ρθ=变形得22cos ρρθ=， 2220x y x ∴+-=所以，曲线C 得直角坐标系方程为2220x y x +-=.()2将直线l 化为标准参数方程为:'2'x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩('t 为参数)代入22:20C x y x +-=中，整理得:2'40t '-+=181620,∆=-=>设,A B 所对应的参数分别是12','t t12''0t t +=，12''40t t =>，120,0t t ''∴>>1212''''PA PB t t t t =++∴+==(其他解法算出,A B 两点的坐标分别为()2,0,1,1-（）. PA PB +=2x ty t =⎧⎨=-⎩得212320,3t t t t -+=∴+=23.解:()11,0,0a b a b +=>>113b ba bbaa b a b a b +∴+++=++≥(当1b aa b a b ⎧=⎪⎨⎪+=⎩即12a b ==时，等号成立) 1b a b ∴+的最小值为3()12221b x x a b +≥-++由()1知2213x x ∴-++≤ 1313x x <-⎧∴⎨-+≤⎩或112213x x x -≤≤⎧⎨-++≤⎩或12213x x x >⎧⎨-++≤⎩ 解得:01x ≤≤或413x <≤所以，x 的取值范围为40,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦;。
凉山州2020届高中毕业班第一次诊断性测试题 文科数学答案
........................................1 分
2
f
'( x)
=
axex - aex x2
=
aex(x -1) x2 ...............................................2 分
3d即îíì9a1==31a1
+
3d
得：
îíìad1
=1 =2
..................................................................4
分
∴ an = 2n -1
..........................................................................................................................6 分
当 a < 0 时， f (x) 在 (1，+ ¥) 单调递减，在 (- ¥，0)，(0，1)单调递增。
...............6 分
(2)由已知得：a £ ex + x2 +1.........................................................................8分 x
3 2
=
kPO
............................................................5 分
1）当 M 为坐标原点时
1° 当 AB 的斜率不存在时，此时 A、B 为短轴的两个端点
【2020年高考必备】四川省凉山州高考数学一诊试卷(文科)及解析
四川省凉山州高考数学一诊试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）已知集合A={x|0＜x≤6}，B={x∈N|2x＜33}，则集合A∩B的元素个数为（）A．6 B．5 C．4 D．32．（5分）命题“∀x＞1，”的否定是（）A．∀x＞1，B．∀x≤1，C．∃x0＞1，D．∃x0≤1，3．（5分）已知Z=，则Z•=（）A．B．0 C．1 D．4．（5分）已知f（x）=sin（x﹣）﹣1，则f（x）的最小正周期是（）A．2πB．πC．3πD．4π5．（5分）以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的长轴的两个三等分点，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．6．（5分）已知锐角α满足cos（α﹣）=cos2α，则sinαcosα等于（）A．B．﹣ C．D．﹣7．（5分）执行如图所示的程序框图，当输出S=210时，则输入n的值为（）A．6 B．7 C．8 D．98．（5分）已知点M的坐标（x，y）满足不等式组，N为直线y=﹣2x+2上任一点，则|MN|的最小值是（）A．B．C．1 D．9．（5分）在△ABC中，a2tanB=b2tanA，则△ABC是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰或直角三角形10．（5分）设y=f（x）是R上的奇函数，且f（x）在区间（0，+∞）上递减，f （2）=0，则f（x）＞0的解集是（）A．（﹣∞，﹣2）B．（0，2） C．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）D．（﹣2，0）∪（0，2）11．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画的是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．3 B．C．7 D．12．（5分）若函数f（x）=4﹣x2+alnx满足∀x＞0，有f（x）≤3成立，则a的取值范围是（）A．{2}B．（，2]C．[2，3） D．（1，2]二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）设向量=（1，﹣2），=（6，m），若⊥，则m=．14．（5分）我国古代数学名著《张邱建算经》有“分钱问题”：今有与人钱，初一人与三钱，次一人与四钱，次一人与五钱，以次与之，转多一钱，与讫，还敛聚与均分之，人得一百钱，问人几何？意思是：将钱分给若干人，第一人给3钱，第二人给4钱，第三人给5钱，以此类推，每人比前一人多给1钱，分完后，再把钱收回平均分给各人，结果每人分得100钱，问有多少人？则题中的人数是．15．（5分）已知各项为正的等比数列{a n}中，a2a3=16，则数列{log2a n}的前四项和等于．16．（5分）已知函数f（x）=，则方程f（1+x2）=f（2x）的解集是．三、解答题（本大题共5小题，共70分）17．（12分）设数列{a n}a n=2n﹣1．（1）求数列{a n}的前n项和；（2）设数列{b n}满足b n=2，求数列{a n b n}的n项和．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，AB⊥AD，AB=1，AD=2，AC=CD=．（1）求证：PD⊥平面PAB；（2）求四面体PACD的体积．19．（12分）共享单车的推广给消费者带来全新消费体验，迅速赢得广大消费者的青睐，然而，同时也是露出管理、停放、服务等方面的问题，为了了解公众对共享单车的态度（“提倡”或“不提倡”），某调研小组随机的对不同年龄段50人进行调查，将调查情况整理如下表：年龄[15，20）[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）[40，45）[45，50）[50，55）人76876565并且，年龄[20，25）和[40，45）的人中持“提倡”态度的人数分别为5和3，再从这两个年龄段中各随机抽取2人征求意见．（1）求年龄在[20，25）中被抽到的2人都持“提倡”态度的概率；（2）求年龄在[40，45）中被抽到的2人至少1人持“提倡”态度的概率．20．（12分）若A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆E：+y2=1上位于x轴上方两点，且x1+x2=2．（1）若y1+y2=1，求线段AB的垂直平分线的方程；（2）求直线AB在y轴上截距的最小值．21．（12分）定义运算a⊗b=，设函数f（x）=x⊗（2﹣x）．（1）用代数方法证明：函数f（x）的图象关于直线x=1对称；（2）设g（x）=m2x+2+m，若f（e x）≤g（x）在区间[0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围．请考生在第22、23两题中选一题作答．[选修4-4：坐标系与参数方程] 22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x 轴非负半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=6sinθ．（1）求圆C的直角坐标方程；（2）若点P（1，2），设圆C与直线l交于点A，B，求证：|PA|×|PB|为定值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=|2x+2|﹣|x﹣2|．（1）求不等式f（x）＞2的解集；（2）x∈R，f（x）≥t2﹣t恒成立，求实数t的取值范围．2018年四川省凉山州高考数学一诊试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）已知集合A={x|0＜x≤6}，B={x∈N|2x＜33}，则集合A∩B的元素个数为（）A．6 B．5 C．4 D．3【解答】解：集合A={x|0＜x≤6}，B={x∈N|2x＜33}={0，1，2，3，4，5}，则集合A∩B={1，2，3，4，5}，其元素个数为5，故选B．2．（5分）命题“∀x＞1，”的否定是（）A．∀x＞1，B．∀x≤1，C．∃x0＞1，D．∃x0≤1，【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“∀x＞1，”的否定是∃x0＞1，故选：C．3．（5分）已知Z=，则Z•=（）A．B．0 C．1 D．【解答】解：∵Z=，∴Z•=|Z|2=．故选：C．4．（5分）已知f（x）=sin（x﹣）﹣1，则f（x）的最小正周期是（）A．2πB．πC．3πD．4π【解答】解：f（x）=sin（x﹣）﹣1，则f（x）的最小正周期是T=2π．故选：A．5．（5分）以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的长轴的两个三等分点，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的长轴的两个三等分点，则有2b=，即a=3b，则c==2b，则椭圆的离心率e==；故选：D．6．（5分）已知锐角α满足cos（α﹣）=cos2α，则sinαcosα等于（）A．B．﹣ C．D．﹣【解答】解：由cos（α﹣）=cos2α，得，∴，∵α∈（0，），∴sinα+cosα＞0，则cosα﹣sinα=．两边平方得：，∴sin．故选：A．7．（5分）执行如图所示的程序框图，当输出S=210时，则输入n的值为（）A．6 B．7 C．8 D．9【解答】解：由题意，模拟执行程序，可得程序框图的功能是计算S=n×（n﹣1）×…×5的值，由于S=210=7×6×5，可得：n=7，即输入n的值为7．故选：B．8．（5分）已知点M的坐标（x，y）满足不等式组，N为直线y=﹣2x+2上任一点，则|MN|的最小值是（）A．B．C．1 D．【解答】解：点M的坐标（x，y）满足不等式组的可行域如图：点M的坐标（x，y）满足不等式组，N为直线y=﹣2x+2上任一点，则|MN|的最小值，就是两条平行线y=﹣2x+2与2x+y﹣4=0之间的距离：d==．故选：B．9．（5分）在△ABC中，a2tanB=b2tanA，则△ABC是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰或直角三角形【解答】解：∵a2tanB=b2tanA，∴由正弦定理可得：sin2AtanB=sin2BtanA，∴由sinA≠0，sinB≠0，可得：sinAcosA=sinBcosB，∴sin2A=sin2B，∴2A=2B，或2A+2B=π，∴A=B或A+B=，∴△ABC是等腰或直角三角形．故选：D．10．（5分）设y=f（x）是R上的奇函数，且f（x）在区间（0，+∞）上递减，f （2）=0，则f（x）＞0的解集是（）A．（﹣∞，﹣2）B．（0，2） C．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）D．（﹣2，0）∪（0，2）【解答】解：根据题意，函数f（x）是奇函数，在区间（0，+∞）上单调递减，且f （2）=0，则函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，且f（﹣2）=﹣f（2）=0，当x＞0时，若f（x）＞0，必有0＜x＜2，当x＜0时，若f（x）＞0，必有x＜﹣2，即f（x）＞0的解集是（﹣∞，﹣2）∪（0，2）；故选：C．11．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画的是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．3 B．C．7 D．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是由一个长方体切去一个三棱锥所得的组合体，长方体的长，宽，高分别为：2，1，2，体积为：4，切去的三棱锥的长，宽，高分别为：2，1，1，体积为：，故组合体的体积V=4﹣=，故选：B12．（5分）若函数f（x）=4﹣x2+alnx满足∀x＞0，有f（x）≤3成立，则a的取值范围是（）A．{2}B．（，2]C．[2，3） D．（1，2]【解答】解：函数f（x）=4﹣x2+alnx满足∀x＞0，有f（x）≤3成立⇔x2﹣1﹣alnx≥0对∀x＞0恒成立．令g（x）=x2﹣1﹣alnx，，①当a≤0时，g′（x）≥0恒成立，g（x）在（0，+∞）单调递增，而g（1）=0，故不符合题意；②当a＞0时，令g′（x）=0，x，g（x）在x=处有极小值，而g（1）=0∴，∴a=2，故选：A二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）设向量=（1，﹣2），=（6，m），若⊥，则m=3．【解答】解：根据题意，向量=（1，﹣2），=（6，m），若⊥，则•=1×6+（﹣2）×m=0，故答案为：3．14．（5分）我国古代数学名著《张邱建算经》有“分钱问题”：今有与人钱，初一人与三钱，次一人与四钱，次一人与五钱，以次与之，转多一钱，与讫，还敛聚与均分之，人得一百钱，问人几何？意思是：将钱分给若干人，第一人给3钱，第二人给4钱，第三人给5钱，以此类推，每人比前一人多给1钱，分完后，再把钱收回平均分给各人，结果每人分得100钱，问有多少人？则题中的人数是195．【解答】解：设共有n人，根据题意得；3n+=100n，解得n=195；∴一共有195人．故答案为：195．15．（5分）已知各项为正的等比数列{a n}中，a2a3=16，则数列{log2a n}的前四项和等于8．【解答】解：各项为正的等比数列{a n}中，a2a3=16，可得a1a4=a2a3=16，即有log2a1+log2a2+log2a3+log2a4=log2（a1a2a3a4）=log2256=8．故答案为：8．16．（5分）已知函数f（x）=，则方程f（1+x2）=f（2x）的解集是{x|x≥0} ．【解答】解：∵函数f（x）=，方程f（1+x2）=f（2x），∴当x＜0时，2=e2x+1，解得x=0，不成立；当x≥0时，f（1+x2）=f（2x）=2，成立．∴方程f（1+x2）=f（2x）的解集是{x|x≥0}．故答案为：{x|x≥0}．三、解答题（本大题共5小题，共70分）17．（12分）设数列{a n}a n=2n﹣1．（1）求数列{a n}的前n项和；（2）设数列{b n}满足b n=2，求数列{a n b n}的n项和．【解答】解：（1）数列{a n}的通项公式：a n=2n﹣1，则：数列为首项为1，公差为2的等差数列．所以：，（2）设数列{b n}满足b n=2=22n=4n，则：{a n b n}的通项公式为：，则：+…+（2n﹣1）•4n①，+…+（2n﹣1）•4n+1②，①﹣②得：﹣（2n﹣1）•4n+1﹣4．解得：，整理得：．当n=1时，T1=4，当n≥2时，，对n=1也成立，故，n∈N*．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，AB⊥AD，AB=1，AD=2，AC=CD=．（1）求证：PD⊥平面PAB；（2）求四面体PACD的体积．【解答】（1）证明：∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，AB ⊥AD，AB⊂平面ABCD，∴AB⊥平面PAD，∵PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD，又PD⊥PA，且PA∩AB=A，∴PD⊥平面PAB；（2）解：取AD中点O，连接PO，则PO⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，∴PO⊥平面ABCD，∵PA⊥PD，PA=PD，AD=2，∴PO=1．在△ACD中，由AD=2，AC=CD=，可得．∴．19．（12分）共享单车的推广给消费者带来全新消费体验，迅速赢得广大消费者的青睐，然而，同时也是露出管理、停放、服务等方面的问题，为了了解公众对共享单车的态度（“提倡”或“不提倡”），某调研小组随机的对不同年龄段50人进行调查，将调查情况整理如下表：年龄[15，20）[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）[40，45）[45，50）[50，55）人数76876565并且，年龄[20，25）和[40，45）的人中持“提倡”态度的人数分别为5和3，再从这两个年龄段中各随机抽取2人征求意见．（1）求年龄在[20，25）中被抽到的2人都持“提倡”态度的概率；（2）求年龄在[40，45）中被抽到的2人至少1人持“提倡”态度的概率．【解答】解：（1）年龄在[20，25）中共有6人，其中持“提倡”态度的人数为5，其中抽两人，基本事件总数n==15，被抽到的2人都持“提倡”态度包含的基本事件个数m==10，∴年龄在[20，25）中被抽到的2人都持“提倡”态度的概率p==．（2）年龄在[40，45）中共有5人，其中持“提倡”态度的人数为3，其中抽两人，基本事件总数n′==10，年龄在[40，45）中被抽到的2人至少1人持“提倡”态度包含的基本事件个数m′==9，∴年龄在[40，45）中被抽到的2人至少1人持“提倡”态度的概率p′==．20．（12分）若A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆E：+y2=1上位于x轴上方两点，且x1+x2=2．（1）若y1+y2=1，求线段AB的垂直平分线的方程；（2）求直线AB在y轴上截距的最小值．【解答】解：（1）设AB的中点为M，则M（1，）由，得=0∴⇒即k AB=﹣，∴线段AB的垂直平分线的斜率为．∴线段AB的垂直平分线的方程为y﹣=，即9x﹣2y﹣8=0为所求．（2）设直线AB：y=kx+m．由得（1+9k2）x2+18kmx+9m2﹣9=0，x1+x2=﹣=2．⇒9k2+9km+1=0…①∵A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆E：+y2=1上位于x轴上方两点，∴k＜0，m ＞0…②△=（18km）2﹣4（1+9k2）（9m2﹣9）＞0⇒9k2﹣m2+1＞0…③，结合①②得m=（﹣k）+，当且仅当k=﹣时，取等号．此时，k=﹣满足③．∴直线AB在y轴上截距的最小值为．21．（12分）定义运算a⊗b=，设函数f（x）=x⊗（2﹣x）．（1）用代数方法证明：函数f（x）的图象关于直线x=1对称；（2）设g（x）=m2x+2+m，若f（e x）≤g（x）在区间[0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）f（x）=x⊗（2﹣x）==1﹣|1﹣x|设点（x0，y0）为y=f（x）上任意一点，则f（2﹣x0）=（1﹣|2﹣x0﹣1|）=（1﹣|1﹣x0|）=（1﹣|x0﹣1|）=y0=f（x0）∴f（2﹣x0）=f（x0），令2﹣x0=1+x，则x0=1﹣x，∴f（1+x）=f（1﹣x），即x=1是函数f（x）的对称轴，∴函数f（x）的图象关于直线x=1对称，（2）∵x∈[0，+∞），∴e x≥1，∴f（e x）=2﹣e x，∵f（e x）≤g（x）在区间[0，+∞）上恒成立，∴2﹣e x≤m2x+2+m，∴﹣e x≤m2x+m，∵﹣e x≤﹣1，∴m2x+m≥﹣1，当m=0时，恒成立，当m≠时，∴y=m2x+m在[0，+∞）为增函数，∴y≥m，∴m≥﹣1，故m的取值范围为[﹣1，+∞）．请考生在第22、23两题中选一题作答．[选修4-4：坐标系与参数方程] 22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x 轴非负半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=6sinθ．（1）求圆C的直角坐标方程；（2）若点P（1，2），设圆C与直线l交于点A，B，求证：|PA|×|PB|为定值．【解答】解：（1）圆C的方程为ρ=6sinθ．转化为直角坐标方程：x2+y2﹣6y=0．证明：（2）点P（1，2），设圆C与直线l交于点A，B，把直线l的参数方程为（t为参数），代入x2+y2﹣6y=0，整理得：t2+2（cosα﹣sinα）t﹣7=0，（t1和t2为A和B对应的参数），则：t1•t2=﹣7（定值），故：|PA|×|PB|=|t1t2|=7为定值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=|2x+2|﹣|x﹣2|．（1）求不等式f（x）＞2的解集；（2）x∈R，f（x）≥t2﹣t恒成立，求实数t的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）=|2x+2|﹣|x﹣2|=，当x＜﹣1时，不等式即﹣x﹣4＞2，求得x＜﹣6，∴x＜﹣6．当﹣1≤x＜2时，不等式即3x＞2，求得x＞，∴＜x＜2．当x≥2时，不等式即x+4＞2，求得x＞﹣2，∴x≥2．综上所述，不等式的解集为{x|x＞或x＜﹣6}．（2）由以上可得f（x）的最小值为f（﹣1）=﹣3，若∀x∈R，f（x）≥t2﹣t恒成立，只要﹣3≥t2﹣t，即2t2﹣7t+6≤0，求得≤t≤2．。
四川省2020年高考数学一模试卷(I)卷
四川省2020年高考数学一模试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、一.填空题 (共12题；共14分)1. （1分）设（，是虚数单位），满足，则 ________.2. （1分） (2016高一下·泰州开学考) 已知集合A={x|x﹣2≥0}，B={x|0＜log2x＜2}，则A∩B=________．3. （2分）(2017·嘉兴模拟) 若的展开式各项系数之和为64，则 ________；展开式中的常数项为________．4. （2分）(2014·北京理) 设双曲线C经过点（2，2），且与﹣x2=1具有相同渐近线，则C的方程为________；渐近线方程为________．5. （1分）已知线性方程组的增广矩阵为，若该线性方程组解为，则实数a=________ ．6. （1分） (2017高一下·徐州期末) 执行如图所示的流程图，则输出的k的值为________．7. （1分）平面直角坐标系中，方程|x|+|y|=1的曲线围成的封闭图形绕y轴旋转一周所形成的几何体的体积为________ ．8. （1分）(2019·云南模拟) 已知数列的前项和为，若，则使成立的的最大值是________．9. （1分）如图为△ABO水平放置的直观图△A′B′O′，由图判断△ABO中，AB，BO，BD，OD由小到大的顺序是________．10. （1分）在△ABC中，∠B=90°，AB=BC=1．点M满足=2，则=________11. （1分）函数的零点个数为________ .12. （1分）已知Sn为数列{an}的前n项和，且满足a1=1，anan+1=3n（n∈N+），则S2014=________二、二.选择题 (共4题；共8分)13. （2分）已知函数f（x）=sinx﹣acosx图象的一条对称轴为，记函数f（x）的两个极值点分别为x1 ， x2 ，则|x1+x2|的最小值为（）A .B .C .D . 014. （2分） (2016高二上·长春期中) 下列命题中假命题是（）A . ∃x∈R，lgx=0B . ∃x∈R，sinx+cosx=C . ∀x∈R，x2+1≥2xD . ∀x∈R，2x＞015. （2分）定义：若函数f（x）的图象经过变换T后所得图象对应函数的值域与f（x）的值域相同，则称变换T是f（x）的同值变换．下面给出四个函数及其对应的变换T，其中T不属于f（x）的同值变换的是（）A . f（x）=，T将函数f（x）的图象关于y轴对称B . f（x）=，T将函数f（x）的图象关于x轴对称C . f（x）=2x+3，T将函数f（x）的图象关于点（﹣1，1）对称D . ， T将函数f（x）的图象关于点（﹣1，0）对称16. （2分） (2016高三上·清城期中) 下列四个命题，其中正确命题的个数（）①若a＞|b|，则a2＞b2②若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d③若a＞b，c＞d，则ac＞bd④若a＞b＞o，则＞．A . 3个B . 2个C . 1个D . 0个三、解答题 (共5题；共55分)17. （10分）(2020·漯河模拟) 如图在四棱锥中，底面为正方形，为等边三角形，平面平面 .（1）证明：平面平面；（2）若，为线段的中点，求三棱锥的体积.18. （10分） (2016高二上·淄川开学考) 已知向量 =（sinx，﹣2cosx）， =（sinx+ cosx，﹣cosx），x∈R．函数f（x）= • ．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值．19. （10分） (2019高三上·吉林月考) 极坐标系与直角坐标系有相同的长度单位，以原点为极点，以轴正半轴为极轴.已知曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数）.（1）求的直角坐标方程；（2）设坐标为，与的公共点为，，求的值.20. （5分）已知数列{an}的前n项和为Sn ，且an是Sn与2的等差中项，数列{an}中，b1=1，点P（bn ，bn+1）在直线x﹣y+2=0上．（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式an和bn；（Ⅱ）设cn=an•bn ，求数列{cn}的前n项和Tn ．21. （20分） (2017高三上·静海开学考) 已知函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b（a＞0）．（1）在区间[2，3]上的最大值为4，最小值为1，求实数a，b的值；（2）若b=1，对任意x∈[1，2），g（x）≥0恒成立，则a的范围；（3）若b=1，对任意a∈[2，3]，g（x）≥0恒成立，则x的范围；（4）在（1）的条件下记f（x）=g（|x|），若不等式f（log2k）＞f（2）成立，求实数k的取值范围．参考答案一、一.填空题 (共12题；共14分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、二.选择题 (共4题；共8分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共5题；共55分)17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、21-3、21-4、。
凉山州2020届高中毕业班第二次诊断性测试题 文科数学答案
所以，有99.9%的把握认为是否戴口罩出行与年龄有关 .............................12
分
18.(1)法一：证明：Q PD ^ 平面ABCD \ PD ^ CD, PD ^ BC Q四边形ABCD为正方形，AB=2 \CD=2, BC ^ CD 又PD=2 \ DPCD是等腰直角三角形 而点M 是PC的中点 \ DM ^ PC........................................................................2分 Q PD ^ BC, BC ^ CD且PD Ç CD=D \ BC ^ 平面PCD Q DM Ì 平面PCD \ BC ^ DM ...........................................................................4分 又BC Ç PC = C \ DM ^ 平面PBC......................................................................5分 Q DM Ì 平面ADM \平面ADM ^ 平面PBC..............................................................6分
=（1
+
k
2
)
5m2 4+
- 20 5k 2
-
km
10km 4 + 5k 2
+ m2
= 9m2
-20k2 -20 4 + 5k 2
=
9
´
(4 + 25k
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2020届四川省凉山州高考数学一诊试卷(文科)
2020届四川省凉山州高考数学一诊试卷（文科）学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={1，2}，B={-1，1，a+1}，且A⊆B，则a=（）A. 1B. 0C. -1D. 22.在复平面内，复数z=（1+i）（2-i）对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第3.抛物线x2+3y=0的准线方程为（）A. x=34B. x=-32C. y=34D. y4.已知2|a⃗|=|b⃗ |，（a⃗-b⃗ ）⊥a⃗，则a⃗与b⃗ 的夹角是（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 95.如图所示的程序框图，若输出值y=1，则输入值x的集合是（）A. {0，1}B. {1，2}C. {0，2}D. {1}6.污染防治是全面建成小康社会决胜期必须坚决打好的三大攻坚战之一．凉山州某地区2019年空气质量为“良”的天数共为150天，若要在2021年使空气质量为“良”的天数达到216天，则这个地区空气质量为“良”的天数的年平均增长率应为（）（精确到小数点后2位）A. 0.13B. 0.15C. 0.20D. 07.函数f（x）=A sin（ωx+φ）（其中A＞0，|φ|＜π2）的图象如图所示，为了得到g（x）=A sinωx的图象，则只要将f（x）的图象（）A. 向右平移π6个单位长度B. 向右平移π3个单位长度C. 向左平移π6个单位长度D. 向左平移π3个单位长度8.△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知a=√3，b cos A=sin B，则A=（）A. π12B. π6C. π4D. π39.已知平面α，β，γ和直线l，则“α∥β”的充分不必要条件是（）A. α内有无数条直线与β平行B. l⊥α且l⊥βC. γ⊥α且γ⊥βD. α10.函数f（x）=2sin(x+π2)+x2−xx，其图象的对称中心是（）A. （0，1）B. （1，-1）C. （1，1）D. （11.已知点M为直线x+y-3=0上的动点，过点M引圆x2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，则点P（0，-1）到直线AB的距离的最大值为（）A. 32B. 53C. √112D. √12.若函数f（x）=12x2-ax+b ln x在区间（1，2）上有两个极值点，则b的可能取值为（）A. 3B. 4C. 5D. 6二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.计算：2lg√2+lg5+(√2−1)0=______．14.已知0＜α＜π2，tanα=43，则sinα+cosα=______．15.在一个长方体形的铁盒内有一个小球，铁盒共一顶点的三个面的面积分别是√2、√3、√6，则小球体积的最大值为______．16.如图，直线PT和AB分别是函数f（x）=x3-3x过点P（2，2）的切线（切点为T）和割线，则切线PT的方程为______；若A（a，f（a）），B（b，f（b））（b＜a＜2），则a+b=______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.S n为等差数列{a n}的前n项和，a1=1，S3=9．（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n=a2n-1+a2n，求数列{b n}的前n项和T n．18.如在某次数学考试中，从甲乙两个班各抽取10名学生的数学成绩进行统计分析，两个班样本成绩的茎叶图如图所示．（1）用样本估计总体，若根据茎叶图计算得甲乙两个班级的平均分相同，求x（x＜10，x∈N）的值；（2）从甲班的样本不低于90分的成绩中任取2名学生的成绩，求这2名学生的成绩不相同的概率．19.在△ABC中（图1），AB=5，AC=7，D为线段AC上的点，且BD=CD=4，以BD为折线，把△BDC翻折，得到如图2所示的图形，M为BC的中点，且AM⊥BC，连接AC．（1）求证：AB⊥CD；（2）求四面体ABCD外接球的表面积．20. 已知函数f （x ）=ae x x（e =2.71828…为自然对数的底数）•（1）若a ≠0，试讨论f （x ）的单调性；（2）对任意x ∈（0，+∞）均有e x +x 2-ax +1≥0，求a 的取值范围．21. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的离心率为12，且与双曲线x 2−y 2=12有相同的焦点•（l ）求椭圆C 的方程；（2）直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，点M 满足AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，点P （1，32），若直线MP 斜率为32，求△ABP 面积的最大值及此时直线l 的方程．22. 在平面直角坐标系xOy 中，点M 的坐标为（1，0），在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，直线l 的方程为ρcosθ+ρsinθ-1=0． （1）判断点M 与直线l 的位置关系；（2）设直线l 与曲线C ：{x =t 2y =2t（t 为参数，t ∈R ）相交于A ，B 两点，求点M 到A ，B 两点的距离之积．23.已知f（x）=|x+a|．（1）若a=2，求不等式f（2x-2）＜3的解集；（2）若f（x）+f（x-2）≥m2+m对任意，x∈R恒成立，求m的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：因为集合A ={1，2}，且A ⊆B ，所以A 是B 的子集，则A 中有的元素，B 中都有， 则2∈B ，因为B ={-1，1，a +1}，且需要满足集合中元素的互异性， 所以2=a +1， 即a =1 故选：A ． 2.【答案】A【解析】【分析】本题考查复数的运算及其几何意义，属基础题． 化简复数z 后可得其对应点为（3，1），从而可解. 【解答】解：z =（1+i ）（2-i ）=3+i ， 故z 对应的点在第一象限， 故选：A ． 3.【答案】C【解析】解：抛物线x 2+3y =0即：x 2=-3y 的准线方程为：y =34． 故选：C ．4.【答案】C【解析】解：由2|a ⃗ |=|b ⃗ |，（a ⃗ -b ⃗ ）⊥a ⃗ ， 所以（a ⃗ -b ⃗ ）•a⃗ =0， 即a ⃗ 2-a⃗ •b ⃗ =0， 所以a ⃗ •b ⃗ =a ⃗ 2=|a⃗ |2， 所以cosθ=a⃗ ⋅b ⃗ |a⃗ |×|b ⃗ |=|a ⃗ |2|a ⃗ |×2|a ⃗ |=12； 又θ∈[0°，180°]， 所以a ⃗ 与b ⃗ 的夹角是θ=60°． 故选：C ．5.【答案】C【解析】解：根据程序框图知，该程序运行后输出函数y ={log 2x ，x ＞1(12)x−1−1，x ≤1； 当x ≥1时，令y =log 2x =1，解得x =2； 当x ＜1时，令y =(12)x−1-1=1，解得x =0；综上知，输出值y =1时，输入值x 的集合是{0，2}．故选：C ． 6.【答案】C【解析】解：设年平均增长率为x ，则150（1+x ）2=216， ∴(1+x)2=216150=1.44，则1+x =1.20，得x =0.20．∴这个地区空气质量为“良”的天数的年平均增长率应为0.20． 故选：C ．设年平均增长率为x ，则150（1+x ）2=216，由此求解x 值得答案．7.【答案】B【解析】解：设f （x ）的周期为T ，根据函数的图象， 可得：T 4=7π6-2π3，得T =2π，由2πω=π，可得ω=1． ∵A ＞0，函数的最小值为-2， ∴A =2．函数表达式为f （x ）=2sin （x +φ）， 又∵当x =7π6时，函数有最小值，∴7π6+φ=-π2+2k π（k ∈Z ），解之得φ=-5π3+2k π（k ∈Z ）， ∵|φ|＜π2，∴取k =1，得φ=π3，因此，函数的表达式为f （x ）=2sin （x +π3）， 由此可得函数g （x ）=2sin x =f （x -π3），∴将函数f （x ）的图象右移π3个单位长度，即可得到g （x ）=2sin x 的图象． 故选：B ．由函数f （x ）的最值求出A ，求出函数的周期并利用周期公式算出ω．再由当x =7π6时函数有最小值，建立关于φ的等式解出φ，从而得到f （x ）．最后根据函数图象平移的公式加以计算，可得答案．8.【答案】D【解析】解：∵a =√3，b cos A =sin B ， ∴√3b cos A =a sin B ，∴由正弦定理可得sin A sin B =√3sin B cos A ， ∵B 是三角形内角，sin B ≠0， ∴tan A =√3，∴由A 是三角形内角，可得：A =π3．故选：D ． .【答案】B【解析】解：由α内有无数条直线与β平行，不能得到α∥β，故A 不是α∥β的充分条件；由l ⊥α且l ⊥β，得α∥β，反之，由α∥β，不一定有l ⊥α且l ⊥β，故B 是α∥β的充分不必要条件；由γ⊥α且γ⊥β，不能得到α∥β，故C 不是α∥β的充分条件；由α内的任何直线都与β平行，可得α∥β，反之，由α∥β，可得α内的任何直线都与β平行，故D 是α∥β的充分必要条件． 故选：B ．10.【答案】D【解析】解：f （x ）=2sin(x+π2)+x 2−x x=2cosx+x 2−x x=2cosx+x 2x-1，设g （x ）=2cosx+x 2x，则g （x ）是奇函数，g （x ）关于（0，0）对称，则f （x ）=g （x ）-1，则f （x ）关于（0，-1）对称， 故选：D ．11.【答案】D【解析】解：设M （a ，3-a ），切点坐标为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 设直线MA 上任意一点Q （x ，y ），由AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OA⃗⃗⃗⃗⃗ =0，得（x -x 1，y -y 1）（x 1，y 1）=0，化简得xx 1+yy 1=1， 同理直线MA 的方程为xx 2+yy 2=1，因为（a ，3-a ）都在直线MA ，MB 上，且A ，B 都满足上面两式，。