1卢瑟福模型-2

微分截面：
2 dN a e Z1Z 2 c ( ) a 4 0 E Nntd 16 sin 4 2
2
•单位面积内每个靶核，单位入射粒子、单位立体角 内的散射粒子数。
•靶的单位面积内的每个靶原子核，将α 粒子散射到
θ 方向单位立体角的概率。
•散射到θ 方向立体角dΩ 内的α 粒子数：
1
Z1Z 2 e 2 2 d ( ) Nnt ( ) 4 3 4 0 2Mv 2 90 sin 2 1 2 Z1Z 2e 2 2 ( ) Nnt ( ) 4 2 4 0 2Mv
2
1
2
180

cos

散射角θ ≥600的α 粒子数：
Z1Z 2 e 2 2 d N ' ( ) Nnt ( ) 4 3 4 0 2Mv 2 60 sin 2
所以当靶核质量不太大时，最小距离修正为：
(rm ) min
Z1Z 2 e 2 4 0 Ec 1
练习： 质量分别为 m1 和 m2 的粒子，坐标分别为 r1 和 r2 。引入质心坐标 R 和相对坐标 r ：
R (m1r1 m2 r2 ) /( m1 m2 )
m1m2 M m1 m2 （折合质量） m m 1 2 pr PM R
试证明：
r r1 r2
P p1 p2
2 1 2 2
1 p (m2 p1 m1 p2 ) M
p2 P2
p p 2m1 2m2 2 2M
[例] 化学上用符号 X 表示原子的组成，其中X代表元 素符号，Z表示原子核内的质子数，A表示原子核内质 d m b n Y 子数与中子数之和．已知 a X 和 c 的电子层排 布完全相同，则下列关系正确的是（ ） （A） b-a = d-c （C） a-n = c+m （B） a+n = c-m （D） b-n = d+m [ C ]
dN c ( ) Nntd a2 16 sin
4

Nntd
2 单位面积内的靶原子数为 1.93 107 g / m3 23 1 6 6 . 022 10 mol 10 m nt N At 1 197 g mol A
8 2 5.9 1022 m2 5.9 10 fm
dN c ( ) Nntd a2 16 sin
4

2
Nntd
•其他入射粒子也适用，只是 a 值有差异。
dN a2 § 4 卢瑟福公式的实验验证 c ( ) Nntd 16 sin 4 2 (1)在同一粒子源（能量一定）和同一散射物的情况下，在θ 角 方向单位立体角中的粒子数与 sin4(/2) 成反比； dN sin 4 常数
卢瑟福的一个学生——丹麦物理学家尼尔斯 · 玻尔(Niles
Bohr)在卢瑟福的“行星模型”的基础之上于1913年提出了原 子的量子理论，即“玻尔模型”。
作 业
习题 1-3， 1-7， 1-9
d 2
(2) 用同一粒子源和同一种材料的散射物，在同一散射角处， 被散射的α 粒子数与散射物厚度t成正比； dN
d t
(3)用同一散射物，在同一散射角，散射的粒子数与α 粒子能量 E dN 2 的平方成反比； E 常数
d
(4) 散射粒子数与 Z2 成正比 ,Z 是原子核的正电荷数（质子数）， dN 从而可以测定Z。 Z
2 dN 1 Z Z e 1 2 2 1 2 解：由 ( ) nt ( ) d 可得 2 N 4 0 2Mv 4 sin 2 θ ≥90o的α 粒子数占全部入射粒子的百分比
N dN 1 2 Z1Z 2 e 2 1 ( ) nt ( ) d 2 N N 4 0 2Mv 4 sin 2 180 cos 2 1 2 Z1Z 2 e 2 2 d ( ) nt ( ) 4 3 4 0 2Mv 2 90 sin 2
2
1
2
180

cos

Z1Z 2 e 2 ( ) Nnt ( ) 4 3 2 4 0 2Mv
2
1
2
散射角θ ≥600的α 粒子数与θ ≥900的α 粒子数之比：
N ' 3 N
[例] 设将106个能量为5.3MeV的 粒子打在厚度为1微 米的金属箔上，金的原子序数Z=79，原子量A=197，密 度 1.93 104 kg m3。离金属箔距离L为10cm处， 20 方向有一个面积S为 1cm2 的计数器。求散射进计数器 的 粒子的数目。 解：利用卢瑟福散射公式，有
a rm 1 csc 2 2
(rm ) min
Z1Z 2 e 2 4 0 E 1
由于入射粒子和靶核都在运动，所以真正能转化为库 仑势的不是入射粒子的全部实验室系动能 E，而是入 射粒子与靶核间的相对运动动能，即质心系能量 Ec 。 (质心系中两粒子动能之和：)
1 mm' 2 m' 1 2 v' E Ec m v' 2 m m' m m' 2
卢瑟福原子模型
原子核
电子
§ 5：行星模型的意义及困难 一、卢瑟福模型提出的意义： 1.提出了原子的核式结构，开创了核物理学。 2.卢瑟福散射开辟了一条研究微观粒子结构的新途径。 3.粒子散射实验还为材料分析提供了一种手段。 二、卢瑟福“行星模型”的困难：
1.原子的稳定性 2.原子的同一性
3.原子的再生性
79 150 1.44 fm MeV ctg 7.68MeV 2
3.97 fm
b/fm 10 100
θ 1120 16.90
（2）α 粒子与金原子核间的最近距离多大？ a rm 1 csc 2 2
θ ＝150o 时，α 粒子离原子核的最近距离
Z1Z 2e 2 1 Z1Z 2e 2 1 rm (1 )k (1 ) 2 4 0 Mv 2 E K sin sin 2 2 1
计数器对散射靶 所张的立体角
S 1cm 2 2 0.01 2 L (10cm)
所以 dN ( ) Nntd c
2 2
a2 16 sin
4

2
Nntd
e Z1Z 2 d Nnt 4 E 0 16 sin 4 2
2 79 0.01 10 5.9 10 fm 1.44 fm MeV 20 5 . 3 MeV 16 sin 4 2
6 8 2
2
75
即散射进计数器的粒子数为75个。
思考题1：
粒子与原子核发生对心碰撞，试比较下列哪种情况下 粒子离核的最近距离更小：
A B 核在碰撞前后保持静止不动； 核原来静止，碰撞后有运动。
m' Ec EL m m'
思考题2： 粒子散射实验的数据在散射角很小(θ <15o)时与理论值 差得较大，是什么原因?
1

8.54 10 8.54 10 %
6
4
[例] 一束α 粒子垂直射到一重金属箔上，求α 粒子被 金属箔散射后，散射角θ ≥600的α 粒子数与散射角 θ ≥900的α 粒子数之比。
解： 散射角θ ≥900的α 粒子数：
N dN
2 Z Z e 1 2 2 1 2 ( ) Nnt ( ) d 2 4 0 2Mv 4 sin 2
2
Z1Z 2 e 2 ( ) nt ( ) 4 2 4 0 2Mv
2
1
2
180

90

2
cos sin
3

2 d

2
Z1Z 2 e 2 ( ) N At ( ) 4 (2 1) 2 4 0 A 2Mv
2
4 23 1 . 932 10 6 . 022 10 7 (9 109 ) 2 10 197 10 3 79 (1.6 10 19 ) 2 2 [ ] 4 3.14 27 7 2 4 1.66 10 (1.597 10 )
2 1 1 Z Z e Mv 2 Mv'2 1 2 2 2 4 0 rm
角动量守恒： 所以
Mvb Mv' rm

Z1Z 2 e 2 rm 2 4 0 Mv 1
1 1 sin / 2
即
a rm 1 csc 2 2
a rm 1 csc 2 2
2
d
1913年盖革和马斯顿又仔细地进行了 粒子散射的实验，结 果完全证实了上述前三项关系，第四项几年后也被证实。
表1 粒子在不同角度的散射
原子核大小的估计
在推导卢瑟福公式时，认为原子核是一个点，但实际上 原子核具有一定尺寸。 粒子达到离原子核的最小距离就是原子核半径的上限。 设 粒子离原子核很远时的速度是 v，达到离原子核最 小距离rm处的速度是v 。 能量守恒：
9 10
9
79 (1.6 10 19 ) 2 7.68 10 1.6 10
6
1 9
1 (1 ) 150 sin 2
3.0110 14 m
[例] α 粒子的速度为1.597×107m/s，正面垂直入射于 厚度为10-7m、密度为1.932×104kg/m3的金箔。求散 射在θ ≥90o的α 粒子占全部入射粒子的百分比。
A Z
[例] 卢瑟福散射的 α 粒子的动能为7.68 MeV，金箔的 原子序数 Z= 79 。（ 1 ）散射角 150 o 对应的瞄准距离多 大？（2）α 粒子与金原子核间的最近距离多大？ 解：（1）由库仑散射公式得
e2 Z b ctg 4 0 E 2
a b ctg 2 2