《弧长与扇形的面积》

《弧长与扇形的面积》教案1

教学目标

【知识与技能】

理解并掌握弧长公式的推导过程，会运用弧长公式进行计算.

【过程与方法】

经历弧长公式的推导过程，进一步培养学生探究问题的能力.

【情感态度】

调动学生的积极性，在组织学生自主探究，相互交流合作的学习中培养学生的钻研精神. 教学重点

弧长公式及其运用.

教学难点

运用弧长公式解决实际问题.

教学过程

一、情境导入，初步认识

如图是某城市摩天轮的示意图，点O 是圆心，半径r 为15m ，点A 、B 是圆上的两点，圆心角∠AOB =120°.你能想办法求出AB 的长度吗？

【教学说明】学生根据AB 是120°是

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周长可直接求出AB 的长，为下面推导出弧长公式打好基础.

二、思考探究，获取新知 问题1在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧长_______.

【教学说明】在前面学习的圆心角定理知识，同圆或等圆中若圆心角、弦、弧三者有一组量相等，则另外两组量也分别相等，结论自然不难得出.

问题2 1度的圆心角所对的弧长l =_____.

问题3 半径为R 的圆中，n 度的圆心角所对的弧长l =______.

【分析】在解答(1)的基础上，教师引导分析，让学生自主得出结论，这样对公式的推导，学生就不容易质疑了.

结论:半径为r 的圆中，n °的圆心角所对的弧长l 为

·2360180

n n r l r ππ== 注：已知公式中l 、r 、n 的其中任意两个量，可求出第三个量.

三、典例精析，掌握新知

例1已知圆O 的半径为30cm ，求40度的圆心角所对的弧长.(精确到0.1cm ) 解：()40302020.91801803

n R l cm πππ⨯⨯===≈.

答：40度的圆心角所对的弧长约为20.9cm .

【教学说明】此题是直接导用公式.

例2如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，∠B =15°，以C 为圆心，CA 为半径的圆交点D ，若AC =6，求弧AD 的长.

【分析】要求弧长，必须知道半径和该弧所对的圆心角的度数，即只需求出∠ACD 的度数即可.

解:连接CD .

因为∠B =15°，∠BCA =90°，

所以∠A =90°-∠B =90°-15°=75°.

又因为CA =CD ，所以∠CDA =∠A =75°.

所以∠DCA =180°-2∠A =30°.

所以AD 的长=306180

π⨯=π. 【教学说明】在求弧长的有关计算时，常作出该弧所对应的圆心角.

例3如图为一个边长为10cm 的等边三角形，木板ABC 在水平桌面绕顶点C 沿

顺时针方向旋转到△A ′B ′C 的位置.求顶点A 从开始到结束所经过的路程为多少？

解：由题可知∠A ′CB ′=60°.

∴∠ACA ′=120°.A 点经过的路程即为AA ′的长.等边三角形的边长为10cm .即AA ′的半径为10cm .

∴AA ′的长=12010201803

ππ⨯= (cm ). 答：点A 从开始到结束经过的路程为

203πcm . 【教学说明】弧长公式在生活中的应用是难点，关键是找出所在的圆心角的度数和所在圆的半径，问题就容易解决了.

练习题：1、如课本图，是一个闹钟正面的内、外轮廓线.内轮廓线由一段圆弧和一条弦AB 组成，圆心为O ，半径为3.2cm ，圆心角∠AOB =83°，求内轮廓线的圆弧的长度.

2、如课本图，一块铅球比赛场地是由一段80°的圆心角所对的圆弧和两条半径围城的，若该比赛场地的周界是34m ，求它的半径OA 长（精确到0.1m ）.

四、运用新知，深化理解

1.一个扇形的圆心角为60°，它所对的弧长为2πcm ，则这个扇形的半径为( ) A .6cm B .12cm

C .

D cm

2.如图，五个半圆中邻近的半圆相切，两只小虫同时出发，以相同的速度从

点A 到点B ，甲虫沿着1ADA 、12A EA 、23A FA 、3A GB 的路线爬行，乙虫沿着路线ACB 爬行，则下列结论正确的是( )

A .甲先到

B 点 B .乙先到B 点

C .甲乙同时到达

D .无法确定

3.如果一条弧长等于l ，它所在圆的半径等于R ，这条弧所对的圆心角增加1°，则它的弧长增加( )

A .1n

B .180R π

C .180l R π

D .1360

4.(山东泰安中考)如图，AB 与⊙O 相切于点B ，AO 的延长线交⊙O 于点C ，连结BC ，若∠ABC =120°，OC =3，则BC 的长为()

A .π

B .2π

C .3π

D .5π

第4题图 第5题图

5.一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平线无滑动翻滚(如图)，那么B 点从开始到结束时所走过的路径长度是______.

【教学说明】在弧长公式及其运用的题目中，多是一些基础题，关键是理解公式的推导过程后，在l 、n 、r 中只知道其中任意两个量，就可求出第三个量了.

【答案】1.A 2.C 3.B 4.B 5.43π

五、师生互动，课堂小结

1.师生共同回顾本小节的知识点.

2.通过本节课的学习，你掌握了那些新知识，还有哪些疑问？请与同伴交流.

【教学说明】1.n °的圆心角所对的弧长180

n R l π=.