线性代数A章节练习题(2015)

c c xc c
d d d xd
第二章 矩阵 选择题 1 设 n 阶矩阵 A, B, C 满足 AB BC CA E ，则 A2 B 2 C 2 （
）
(A) 3E
(B) 2 E
2
(C) E
(D) 0 ).
2 设 A 是 3 阶可逆矩阵，且 A 3 A 0 ，则 A1 (
2 2 2
准型，并求出正交变换。 2 问 取何值时，二次型
2 2 f x12 4 x2 4 x3 2x1 x2 2 x1 x3 4 x2 x3
为正定二次型？
证明题 1 证明：满足 A3 A2 2 A 2E 的实对称矩阵 A 是正定的。
2 已知矩阵 A， B 为 n 阶正定矩阵,证明: （1） 矩阵 AB 的特征值都大于零； （2）若 AB BA ，则 AB 为正定矩阵。
2 1 p3 p4 0 1
(1).求齐次方程组 Ax 0 的一个基础解系。(2). 求 Ax b 的通解。 证明题： 1 设向量组 1 , 2 , 3 线性无关， 证明： 向量组 1 1 , 2 1 2 , 3 1 2 3 线 性无关. 2 设 是非齐次线性方程组 Ax b 的一个解， 1 , 2 ,
2 2 （D） k1 2 k2 ( 1 2 ) 1 2
）
（B） k1 2 k2 ( 2 1 )
1 2
2 设 1 , 2 , 3 是线性方程组 Ax 0 的基础解系，则它的另一个基础解系是（ （A）三个与 1 , 2 , 3 等秩的向量组 （C） 1 , 2 3 , 1 2 3
*
, nr 是对应齐次线性方程
组的一个基础解系，证明 ⑴ * , 1 , 2 ,
, nr 线性无关； , * nr 线性无关.
⑵ * , * 1 , * 2 ,
第四章 矩阵的相似对角化 选择题： 1 设向量 (2,2,0,0), (0,0,1,1) ，则
1 二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) x1 2 x2 3x3 2 x1 x2 8x1 x3 的矩阵 A
1 2 3 x1 2 二次型 f x1 , x2 , x3 x1 , x2 , x3 0 1 2 x2 对应的矩阵为： 1 0 3 x 3
3
，
1 2
2 若 3 阶方阵 A 有一个特征值为 2 ，且 A 6, tr A 6 ，则 A 的所有特征值为 3 已知三阶方阵 A 的特征值为 1，2，-1，则 E 2 A1 计算题
2 0 0 1 1 设 A 0 3 2 ，求一个正交矩阵 Q 使得 Q AQ 为对角矩阵。 0 2 3
） （D） A
T
4 下列矩阵与可逆矩阵 A 有相同的特征值的是（ （A） A 填空题：
1
（B） A
2
（C） A E
1 1 1 在欧氏空间 R 中，设 1 3 , 2 0 ，则内积 1 2 , 1 2 4 5
求B
1 1 1 1 ，矩阵 X 满足 A* X A1 2 X ，其中 A* 为 A 的伴随矩阵， 2 设矩阵 A 1 1 1 1 1
求X . 证明题： 设 A 为 n 阶矩阵，且满足 A A ，证明： R( A E ) R( A) n .
（A）3
（B）－27 ).
（C）
1 27
（D）
1 3
3 下列命题正确的是(
（A） 若 A2 O ，则 A O (C) 若 AB O ， 且 A 可逆， 则BO
（B） 若 A2 A ，则 A O 或 A I （D） 若 AX AY ， 且AO， 则 X Y ). （D） 秩(A)≤k
）
1 若 5 元线性方程组 AX b 的基础解系由四个线性无关的解向量构成，则 R A __ 2 若向量组 1 ( , 1, 1 ), 2 ( 1, , 1 ), 3 ( 1, 1, ) 线性相关，则 3 已知向量 (1, 1, 2) 与向量 (2, 2, x) 正交，则 x ＝
证明题： 1 设 A, B 均为正交阵，证明： AB 仍为正交阵。 2 已知 A 为 3 阶方阵， 1, 2 , 3 为 A 的三个不同的特征值， 1, 2 , 3 分别为相应的特征向量， 又 1 2 3 ，试证： , A , A2 线性无关. 第五章 二次型 选择题： 1 二次型 f x1 , x2 , x3 , x4 2 x1 x2 2 x1 x4 2 x2 x3 2 x3 x4 的秩为 （ （A）1 （B）2 （C）3 ） （D）4 ）
T
. ．
T
计算题
x1 3x2 x3 0 1 设线性方程组 x1 4 x2 ax3 b ， 问当参数 a, b 取何值时， 2 x x 3x 5 3 1 2
(1). 此方程组无解? (2). 此方程组有唯一解? (3). 此方程组有无穷多解?
x1 x 2 x3 3 2 为何值时，线性方程组 x1 x 2 x3 2 有唯一解，无解和有无穷多解？当方程 x x x 2 2 3 1
0 1 2 0
）
0 1 0 （A） 0 2 0 0 2 0
填空题
2
3 0 0 （B） 0 2 0 0 0 5
2 2
2 0 0 1 0 0 （C） 0 1 0 （D） 0 2 0 0 0 1 0 0 1
2
第三章 线性方程组 选择题： 1 已知 1 , 2 是线性方程组 AX b 的两个不同的解， 1 , 2 是对应导出组 AX 0 的基础 解系，则 AX b 的通解是（ （A） k1 2 k2 (1 2 ) ）
1 2
2 2 （C） k1 2 k2 ( 1 2 ) 1 2
4 已知矩阵 A 的一个 k 阶子式不等于 0，则秩(A)满足(
（A） 秩(A)>k
填空题
（B）秩(A)≥k
（C） 秩(A)=k
3 4 1 1 已知 A 则A ＝ ， 2 1
.
B
1 2 1 2
0
1 2 1 2
0
则 B 1 ＝ 0 ， 1
（B）三个与 1 , 2 , 3 等价的向量组 （D） 1 2 , 2 3 , 3 1
3 设 A 为 m n 矩阵，齐次线性方程组 Ax o 仅有零解的充分条件是（ (A) A 的行向量线性相关；(B) A 的行向量线性无关； (C) A 的列向量线性相关；(D) A 的列向量线性无关. 填空题：
线性代数章节练习题
第一章 行列式 选择题 1 设 A 与 B 为 n 阶矩阵，则下列结论正确的是（ （A） （C） ）
A B A B
（B） （D）
AB BA
A B A B
AB A B
2a13 3a 23 （ ） a33
（D）-6d
a11 a12 2 如果行列式 a 21 a 22 a31
.
0

.
2 设 A 和 B 都是 n 阶可逆阵，若 C
2
0 B C 1 = ，则 A 0
1
3 已知矩阵 A 满足 A +6 A 3E 0 ，则 ( A 2 E ) = 计算题
.
3 0 1 1 设 AB A 2B ，且 A 1 1 0 , 0 1 4
）
1 若三维向量 1 , 2 , 3 组成的三阶矩阵为 A (1 , 2 ,3 ) ，且 A 2 ，则行列式
1 2 2
2
3 ＝
1 , B 2 ，那么 A(2 B)1 2
， B*
2 设 A, B 是 n 阶矩阵， A
3 多项式 P( x)
1 a a2 a3
2 已知 A 为三阶实对称矩阵，秩 r ( A) 2 , 1 ( 0， 1， 0 ) , 2 ( 1， 0， 1) ,是
T T
A 对应特征值 1 2 3 的特征向量，试求：
（1） A 的另一个特征值 3 及其特征向量 3 ； （2） 矩阵 A ，矩阵 A 。
n
2 下列矩阵是正定矩阵的是 （ （A）
1 2 2 4
（B）
2 2 2 3
0 0 合同的是（ 5
（C）
4 5 5 2
（D）
3 2 2 3
2 3 下列矩阵中与矩阵 0 0
组有无穷多解时求其通解。
1 2 1 3 4 9 0 10 3. 设 1 , 2 , 3 , 4 . 求此向量组的秩和一个极大无关 1 1 3 7 0 3 1 7
与 的夹角 （

( D)
2
）
( A)
4
( B)
2
(C )
）
2 设 A 的特征值为 1，1，0，则（
（A）A 可相似对角化 （B）A 不可相似对角化 3 下列方阵不一定是可逆矩阵的是（ ）
（C）A 可逆
（D）A 不可逆
( A)
正交矩阵
( B) 正定矩阵
(C ) 对称矩阵
( D) 过渡矩阵
3 若二次型 f x1 , x2 , x3 5x1 5x2 cx3 2 x1 x2 6 x1 x3 6 x2 x3 的秩为 2，则 c
2 2 2
计算题： 1 用正交变换法化二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) 4 x1 4 x2 4 x3 4 x1 x2 4 x1 x3 4 x2 x3 为标
1 b b2 b3
1 c c2 c3
1 x x2 x3
（其中 a, b, c 是互不相同的数）的根是
.
计算题：
1 计算行列式
3 3 1 1 2 1 1 1 1 1
1 1
1 2
， 2 计算行列式 3
2 2 0 0
3 0 3 0
n 0 0 . n
4 1 1 5
n
Leabharlann Baidu
3 计算行列式
xa a a a
b xb b b
组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。 4 设 A 为 4 阶方阵，4 维列向量 b 0 ， R( A) 2 。若 p1 , p2 , p3 , p4 都是非齐次方程组
2 2 Ax b 的解向量，且满足 p1 p2 , 0 4
3 0 p2 p3 , 1 2
（A） 2d
a13 2a11 a 23 d , 那么 3a 21 a33
2a12 3a 22
a32
a31 a32
（C）-d
（B）3d
x y z 0 3 已知齐次线性方程组 x 3 y z 0 仅有零解，则（ y z 0
（A） 0 且 1 ; （C） 0 ; 填空题： （B） 0 或 1 ; （D） 1 .