中考专题复习——初中最基本的尺规作图总结与典型例题

初中基本尺规作图总结与典型例题一、理解“尺规作图”的含义1. 在几何中，我们把只限定用直尺（无刻度）和圆规来画图的方法，称为尺规作图．其中直尺只能用来作直线、线段、射线或延长线段；圆规用来作圆和圆弧．由此可知，尺规作图与一般的画图不同，一般画图可以动用一切画图工具，包括三角尺、量角器等，在操作过程中可以度量，但尺规作图在操作过程中是不允许度量成分的．2. 基本作图：（1）用尺规作一条线段等于已知线段；（2）用尺规作一个角等于已知角. 利用这两个基本作图，可以作两条线段或两个角的和或差.二、熟练掌握尺规作图题的规范语言1. 用直尺作图的几何语言：①过点×、点×作直线××；或作直线××；或作射线××；②连结两点××；或连结××；③延长××到点×；或延长（反向延长）××到点×，使××＝××；或延长××交× ×于点×；2. 用圆规作图的几何语言：①在××上截取××＝××；②以点×为圆心，××的长为半径作圆（或弧）；③以点×为圆心，××的长为半径作弧，交××于点×；④分别以点×、点×为圆心，以××、××的长为半径作弧，两弧相交于点×、× .三、了解尺规作图题的一般步骤尺规作图题的步骤：1.已知：当作图是文字语言叙述时，要学会根据文字语言用数学语言写出题目中的条件；2.求作：能根据题目写出要求作出的图形及此图形应满足的条件；3. 作法：能根据作图的过程写出每一步的操作过程.当不要求写作法时，一般要保留作图痕迹.对于较复杂的作图，可先画出草图，使它同所要作的图大致相同，然后借助草图寻找作法.在目前，我们只要能够写出已知，求作，作法三步（另外还有第四步证明）就可以了，而且在许多中考作图题中，又往往只要求保留作图痕迹，不需要写出作法，可见在解作图题时，保留作图痕迹很重要.尺规作图的定义：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。

最基本,最常用的尺规作图通常称基本作图。

一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的。

五种基本作图：1、作一条线段等于已知线段；2、作一个角等于已知角；3、作已知线段的垂直平分线；4、作已知角的角平分线；5、过一点作已知直线的垂线；题目一：作一条线段等于已知线段。

已知：如图，线段a . 求作：线段AB，使AB = a . 作法：（1）作射线AP；（2）在射线AP上截取AB=a . 则线段AB就是所求作的图形。

题目二：作已知线段的中点。

已知：如图，线段MN.求作：点O，使MO=N（O即O是MN的中点）作法：（１）分别以M、N为圆心，大于的相同线段为半径画弧，两弧相交于P，Q；（２）连接PQ交MN于O．则点O就是所求作的ＭＮ的中点。

（试问：PQ与ＭＮ有何关系？）题目三：作已知角的角平分线。

已知：如图，∠ AOB，求作：射线OP, 使∠ AOP＝∠ BOP（即OP平分∠ AOB）。

作法：（1）以O为圆心，任意长度为半径画弧，分别交OA，OB于M，N；（2）分别以M、Ｎ为圆心，大于的相同线段为半径画弧，两弧交∠ AOB内于Ｐ；（3）作射线OP。

则射线OP就是∠ AOB的角平分线。

题目四：作一个角等于已知角请自己写出“已知”“求作”并作出图形，不写作法）题目五：已知三边作三角形。

已知：如图，线段a，b，c. 求作：△ ABC，使AB = c，AC = b，BC = a. 作法：（1）作线段AB = c；（2）以A为圆心b 为半径作弧，以B为圆心a 为半径作弧与前弧相交于C；（3）连接AC，BC。

则△ ABC就是所求作的三角形题目六：已知两边及夹角作三角形。

已知：如图，线段m，n, ∠ . 求作：△ ABC，使∠A=∠ ，AB=m，AC=n. 作法：（1）作∠ A=∠ ；（2）在AB上截取AB=m ,AC=n；（3）连接BC。

则△ ABC就是所求作的三角形。

初中尺规作图典型例题归纳题目七：已知两角及夹边作三角形。

已知：如图，∠ ，∠ ，线段m . 求作：作法：△ ABC，使∠ A=∠ ，∠ B=∠ ,AB=m.（1）作线段AB=m；（2）在AB的同旁作∠A=∠ ，作∠ B=∠ ，∠A与∠ B的另一边相交于C。

则△ABC就是所求作的图形（三角形）典型例题一例已知线段a、b，画一条线段，使其等于a 2b ．分析 所要画的线段等于 a 2b ，实质上就是 a b b ．画法：1．画线段 AB a ．2．在 AB 的延长线上截取 BC 2b ．线段 AC 就是所画的 线段． 说明1．尺规作图要保留画图痕迹，画图时画出的所有点和线不可随意擦去．2．其它作图都可以通过画基本作图来完成，写画法时，只需用一句话来概括叙述基本 作图．典型例题二例 如下图，已知线段 a 和 b ，求作一条线段 AD 使它的长度等于 2a － b ．错解 如图（ 1），（1）作射线 AM ；（ 2）在射线 AM 上截取 AB=BC=a ，CD=b ，则线段 AD 即为所求． 错解分析 主要是作图语言不严密，当在射线上两次截取时，要写清是否顺次，而在 求线段差时，要交待截取的方向．图（1）图（ 2）正解 如图（ 2），（1）作射线 AM ；（ 2）在射线 AM 上，顺次截取 AB=BC=a ； （3）在线段 CA 上截取CD=b ，则线段 AD 就是所求作的线段．典型例题三错解 如图（ 2），1）作射线 O 1M 1 ；（ 2）在图（ 1），以 O 为圆心作弧，交 OM 于点 A ，交 ON 于点 B ； 3）以O 1为圆心作弧，交O 1M 1于C ；（4）以C 为圆心作弧，交于点 D ；（5）作射线O 1D ．则∠ CO 1D 即为所求的角．错解分析作图过程中出现了不准确的作图语言，在作出一条弧时，应表达为：以某例点为圆心，以其长为半径作弧．正解如图（2），（1）作射线O1M 1 ；（2）在图（1）上，以O为圆心，任意长为半径作弧，交OM于点A，交ON于点B；（3）以O1为圆心，OA的长为半径作弧，交O1M1于点C；（4）以C为圆心，以AB的长为半径作弧，交前弧于点D；（5）过点D作射线O1D．则∠ CO1D 就是所要求作的角．典型例题四例如下图，已知∠ α及线段a，求作等腰三角形，使它的底角为α ，底边为a．分析先假设等腰三角形已经作好，根据等腰三角形的性质，知两底角∠ B=∠ C=∠α ，底边BC=a，故可以先作∠ B=∠ α ，或先作底边BC =a．作法如下图（1）∠MBN=∠α；（2）在射线BM 上截取BC=a；（3）以 C 为顶点作∠ PCB=∠α，射线CP 交BN 于点A．△ ABC 就是所要求作的等腰三角形．说明画复杂的图形时，如一时找不到作法，一般是先画出一个符合条件的草图，再根据这个草图进行分析，逐步寻找画图步骤．典型例题五例如图（1），已知直线AB 及直线AB 外一点C，过点 C 作CD∥AB （写出作法，画出图形）．分析根据两直线平行的性质，同位角相等或内错角相等，故作一个角∠ECD=∠ EFB 即可．作法如图（2）．图（1）图（2）（1）过点 C 作直线EF，交AB 于点F；（2）以点 F 为圆心，以任意长为半径作弧，交FB 于点P，交EF 于点Q；（3）以点 C 为圆心，以FP 为半径作弧，交CE 于M 点；（4）以点M 为圆心，以PQ 为半径作弧，交前弧于点 D ；（5）过点 D 作直线CD，CD 就是所求的直线．说明作图题都应给出证明，但按照教科书的要求，一般不用写出，但要知道作图的原由．典型例题六例如下图，△ ABC 中，a=5cm，b=3cm，c=3.5cm，∠ B=36 ，∠C= 44 ，请你从中选择适当的数据，画出与△ ABC 全等的三角形（把你能画的三角形全部画出来，不写画法但要在所画的三角形中标出用到的数据）．分析本题实质上是利用原题中的 5 个数据，列出所有与△ ABC 全等的各种情况，依据是SSS、SAS、AAS 、ASA ．解与△ ABC 全等的三角形如下图所示．典型例题七例正在修建的中山北路有一形状如下图所示的三角形空地需要绿化．拟从点 A 出发，将△ ABC 分成面积相等的三个三角形，以便种上三种不同的花草，请你帮助规划出图案（保留作图痕迹，不写作法）．（ 2003 年，桂林）分析 这是尺规作图在生活中的具体应用．要把△ ABC 分成面积相等的三个三角形， 且都是从A 点出发，说明这三个三角形的高是相等的，因而只需这三个三角形的底边也相 等，所以只要作出 BC 边的三等分点即可．作法 如下图，找三等分点的依据是平行线等分线段定理．典型例题八例 已知∠ AOB ，求作∠ AOB 的平分线 OC ．12）分别以 D 、E 为圆心，以大于 DE 的长为半径作弧，两弧交于 C 点；23）作射线 OC ，则 OC 为∠AOB 的平分线．错解 作法 2）如图（ 1）（ 1）以 O 为圆心，任意长为半径作弧，分别交 1分别以 D 、E 为圆心，以大于 DE 的长为半径作弧，两弧相交于 2 连结 OC ，则 OC 就是∠ AOB的平分线． OA 、OB 于 D 、 E两点； C 点；（3） 错解分析 对角平分线的概念理解不够准确而致误．作法（ 3）中连结 一条线段， 而角平分线应是一条射线．OC ，则 OC 是正解 （1） 如图（ 2） 以点 O 为圆心， 任意长为半径作弧，分别交 OA 、OB 于 D 、E 两点；图（2）典型例题九例 如图（ 1）所示，已知线段 a 、b 、h （ h <b ）． 求作△ ABC ，使 BC=a ， AB=b ， BC 边上的高 AD=h ．图（ 1）错解 如图（ 2）， （ 1）作线段 BC=a ；（ 2）作线段 BA=b ，使 AD ⊥BC 且 AD=h ． 则△ABC 就是所求作的三角形．错解分析 ①不能先作 BC ；②第 2 步不能同时满足几个条件，完全凭感觉毫无根据； ③未考虑到本题有两种情况． 对于这种作图题往往都是按照由里到外的顺序依次作图， 如本 题先作高 AD ，再作 AB ，最后确定 BC ．图（ 2）正解 如图（ 3）．1）作直线 PQ ，在直线 PQ 上任取一点 2）在 DM 上截取线段 DA=h ； 3）以 A 为圆心，以 b 为半径画弧交射线4）以 B 为圆心，以 a 为半径画弧，分别交射线 BP 和射线 BQ 于C 1和 C 2； 5）连结 AC 1、 AC 2 ，则△ ABC 1 （或△ ABC 2 ）都是所求作的三角形．典型例题十例 如下图，已知线段 a ，b ，求作 Rt △ABC ，使∠ ACB=90°， BC=a ，AC=b （用直尺 和圆规作图，保留作图痕迹） ．分析 本题解答的关键在于作出∠ ACB=90 °，然后确定 A 、B 两点的位置， 作出△ ABC ．作法 如下图图（3）D ，作 DM ⊥PQ ；DP 于 B ；（1）作直线MN：（2）在MN 上任取一点C，过点C作CE⊥MN；（3）在CE 上截取CA=b，在CM 上截取CB =a；（4）连结AB，△ ABC 就是所求作的直角三角形．说明利用基本作图画出所求作的几何图形的关键是要先分析清楚作图的顺序．若把握不好作图顺序，要先画出假设图形．典型例题十求作：（1）BC 边上的高；（2）BC 边上的中线（写出作法，画出图形）．分析（1）作BC 边上的高，就是过已知点A作BC 边所在直线的垂线；（2）作BC 边上的中线，要先确定出BC 边的中点，即作出BC 边的垂直平分线．作法如下图（1）①在直线CB 外取一点P，使A、P在直线CB 的两旁；②以点 A 为圆心，AP 为半径画弧，交直线CB 于G、H 两点；1③分别以G、H 为圆心，以大于GH 的长为半径画弧，两弧交于 E 点；2④作射线AE，交直线CB于 D 点，则线段AD 就是所要求作的△ ABC 中BC 边上的高．1（2）①分别以B、C为圆心，以大于BC 的长为半径画弧，两弧分别交于M、N两点；2②作直线MN ，交BC 于点F；③连结AF，则线段AF 就是所要求作的△ ABC中边BC 上的中线．说明在已知三角形中求作一边上的高线、中线、角平分线时，首先要把握好高线、中线、角平分钱是三条线段；其次，高线、中线的一个端点必须是三角形中这边所对的顶点，而关键是找出另一个端点．典型例题十二例 如图（ 1）所示，在图中作出点 C ，使得 C 是∠ MON 平分线上的点，且 AC=OC ．分析 由题意知，点 C 不仅要在∠MON 的平分线上，且点 C 到 O 、A 两点的距离要相 等，所以点 C 应是∠ MON 的平分线与线段 OA 的垂直平分线的交点．作法 如图（ 2）所示 （ 1）作∠ MON 的平分线 OP ；（ 2）作线段 OA 的垂直平分线 EF ，交 OP 于点 C ，则点 C 就是所要求作的点． 说明 （ 1）根据题意弄清要求作的点的特征是到各直线距离相等，还是到各端点距离相等．2）两条直线交于一点．典型例题十三例 如下图，已知线段 a 、b 、∠ α、∠β． 求作梯形 ABCD ，使 AD=a ，BC=b ， 分析 假定梯形已经作出，作 AE ∥DC 交 BC 于 E ，则 AE 将梯形分割为两部分，一部 分是△ ABE ，另一部分是 AECD ．在△ ABE 中，已知∠ B=∠α，∠AEB=∠β，BE=b-a ，所以，可以首先把它作出来，而后作出AECD ．作法 如下图．（ 1）作线段 BC=b ； （ 2）在 BC 上截取 BE=b-a ；（3）分别以 B 、E 为顶点，在 BE 同侧作∠ EBA=∠α，∠AEB=∠β，BA 、EA 交于 A ； （4）以 EA 、EC 为邻边作 AECD ． 四边形 ABCD 就是所求作的梯形．说明 基本作图是作出较简单图形的基础，三角形是最简单的多边形，它是许多复杂 图形的基础．因此，要作一个复杂的图形，常常先作一个比较容易作出的三角形，然后以此 为基础，再作出所求作的图形．典型例题十四图（2）图（ 1）例 如下图，在一次军事演习中，红方侦察员发现蓝方指挥部在 A 区内，到铁路与公 路的距离相等，且离铁路与公路交叉处 B 点 700 米，如果你是红方的指挥员，请你在图示 的作战图上标出蓝方指挥部的位置．（2002 年，青岛） 分析 依据角平分线的性质可以知道，蓝方指挥部必在 A 区内两条路所夹角的平分线 上，然后由蓝方指挥部距 B 点的距离，依据比例尺，计算出图上的距离为 3.5cm ，就可以确定出蓝方指挥部的位置．解 如下图，图中 C 点就是蓝方指挥部的位置．典型例题十五例 如图（ 1 ），已知有公共端点的线段求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） AB 、BC ．求作⊙ O ，使它经过点 A 、 B 、C （要2002 年，大连）图（1）分析 因为 A 、B 、C 三点在⊙ O 上，所以OA=OB=OC=R ．根据到线段 AB 、BC 各端点 距离相等的点在线段的垂直平分线上，故分别作线段AB 、BC 垂直平分线即可．解 如图（ 2 ）说明 角平分线的性质、线段垂直平分线的性质在作图题中的应用是近几年中考中的 又一道风景，它往往与实际问题紧密联系在一起．典型例题十六例 如图，是一块直角三角形余料， C 90 ．工人师傅要把它加工成一个正方形零 件，使C 为正方形的一个顶点，其余三个顶点分别在AB 、BC 、AC边上．试协助工人师傅用尺规画出裁割线．分析要作出符合条件的正方形，可先作出有三个角90°的四边形，并设法让相邻为的一组边相等即可．作法如图．① 作ACB的角平分线CD，交AB 于点G；②过G 点分别作AC、BC 的垂线，垂足为E、F．则四边ECFG 就是所要求作的正方形．形基础训练AB＋2CD.1、已知线段AB和CD，如下图，求作一线段，使它的长度等于2、如图，已知∠ A、∠ B，求作一个角，使它等于∠ A-∠B.3、如图作△ ABC，使得BC=a 、AC=b 、AB=c4、如图，画一个等腰△ ABC，使得底边BC=a ，它的高AD=ha5、如图，已知∠ AOB及M、N两点，求作：点P，使点P到∠ AOB的两边距离相等，且到M、N的两点也距离相等。