高中数学导学案抛物线及其标准方程

2. 3.1 抛物线及其标准方程一、学习目标1.掌握抛物线的定义、几何图形,会推导抛物线的标准方程2.能够利用给定条件求抛物线的标准方程3.通过“观察”、“思考”、“探究”与“合作交流”等一系列数学活动，培养学生观察、类比、分析、概括的能力以及逻辑思维的能力，使学生学会数学思考与推理，学会反思与感悟，形成良好的数学观。

并进一步感受坐标法及数形结合的思想二、学习重点抛物线的定义及标准方程三、学习难点抛物线定义的形成过程及抛物线标准方程的推导（关键是坐标系方案的选择）四、学习过程（一）复习旧知 在初中，我们学习过了二次函数2y ax bx c =++，知道二次函数的图象是一条抛物线 例如：（1）24y x =，（2）24y x =-的图象（自己画出函数图像）（二）学习新课1.抛物线的定义探究1观察抛物线的作图过程，探究抛物线的定义：抛物线的定义：思考：若F 在l 上呢？（学生思考、讨论、画图）2.抛物线的标准方程要求抛物线的方程，必须先建立直角坐标系.探究2 设焦点F 到准线l 的距离为(0)p p >，你认为应该如何选择坐标系求抛物线的方程？按照你建立直角坐标系的方案，求抛物线的方程.讨论：小组讨论建系方案及其对应的方程，你认为哪种建系方案使方程更简单？ 推导过程：我们把方程22(0)y px p =>叫做抛物线的标准方程，它表示的抛物线的焦点坐标是,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，准线方程是2p x =-。

在建立椭圆、双曲线的标准方程的过程中，选择不同的坐标系得到了不同形式的标准方程，对于抛物线，当我们选择如图三种建立坐标系的方法，我们也可以得到不同形式的抛物线的标准方程： （学生分前两排，中间两排，后面两排三组分别计算三种情况，一起填充表格）图形 标准方程 焦点坐标 准线方程(三)例题例1（1）已知抛物线的标准方程是26y x =，求它的焦点坐标和准线方程,（2）已知抛物线的焦点是()0,2F -，求它的标准方程.解：变式训练1：(1) 已知抛物线的准线方程是x =—41，求它的标准方程. (2) 已知抛物线的标准方程是2y 2+5x =0,求它的焦点坐标和准线方程.解：例2 点M 与点F （4，0）的距离比它到直线l :x +5=0的距离小1，求点M 的轨迹方程. 解：变式训练2：在抛物线y 2=2x 上求一点P ，使P 到焦点F 与到点A （3，2）的距离之和最小.解：(四)小结1、抛物线的定义；2、抛物线的四种标准方程；3、注意抛物线的标准方程中的字母P 的几何意义.(五)课后练习1.抛物线y 2=ax (a ≠0)的准线方程是 ( )(A )4a x =-；(B)x =4a ；(C)||4a x =- ；(D)x =||4a 2.抛物线21x my =（m ≠0）的焦点坐标是（ ） (A ) （0，4m ）或（0，4m -）；(B) （0，4m ） (C) （0，m 41）或（0，m 41-）；(D) （0，m 41） 3.根据下列条件写出抛物线的标准方程:(1)焦点是F (0,3)，(2)焦点到准线的距离是2.4.求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：(1)y 2=20x ；(2)x 2+8y =0.5.点M 到点（0，8）的距离比它到直线y ＝－7的距离大1，求M 点的轨迹方程.2.3.1 抛物线及其标准方程 一、教学目标1.掌握抛物线的定义、几何图形,会推导抛物线的标准方程2.能够利用给定条件求抛物线的标准方程3.通过“观察”、“思考”、“探究”与“合作交流”等一系列数学活动，培养学生观察、类比、分析、概括的能力以及逻辑思维的能力，使学生学会数学思考与推理，学会反思与感悟，形成良好的数学观。

并进一步感受坐标法及数形结合的思想二、教学重点抛物线的定义及标准方程三、教学难点抛物线定义的形成过程及抛物线标准方程的推导（关键是坐标系方案的选择）四、教学过程（一）复习旧知在初中，我们学习过了二次函数2y ax bx c =++，知道二次函数的图象是一条抛物线 例如：（1）24y x =，（2）24y x =-的图象（展示两个函数图象）：（二）讲授新课1.课题引入在实际生活中，我们也有许多的抛物线模型，例如1965年竣工的密西西比河河畔的萨尔南拱门,它就是用不锈钢铸成的抛物线形的建筑物。

到底什么样的曲线才可以称做是抛物线？它具有怎样的几何特征？它的方程是什么呢？这就是我们今天要研究的内容.（板书：课题§2.4.1 抛物线及其标准方程）2.抛物线的定义信息技术应用（课堂中展示画图过程）先看一个实验：如图：点F 是定点，l 是不经过点F 的定直线，H 是l 上任意一点，过点H 作MH l ⊥，线段FH 的垂直平分线m 交MH 于点M 。

拖动点H ，观察点M 的轨迹，你能发现点M 满足的几何条件吗？（学生观察画图过程，并讨论）可以发现，点M 随着H 运动的过程中，始终有|MH|=|MF|,即点M 与定点F 和定直线l 的距离相等。

（也可以用几何画板度量|MH|，|MF|的值）（定义引入）：我们把平面内与一个定点F 和一条定直线l （l 不经过点F ）距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线.（板书）思考？若F 在l 上呢？（学生思考、讨论、画图）此时退化为过F 点且与直线 l 垂直的一条直线.3.抛物线的标准方程从抛物线的定义中我们知道，抛物线上的点(),M x y 满足到焦点F 的距离与到准线l 的距离相等。

那么动点(),M x y 的轨迹方程是什么，即抛物线的方程是什么呢？要求抛物线的方程，必须先建立直角坐标系.问题 设焦点F 到准线l 的距离为(0)p p >，你认为应该如何选择坐标系求抛物线的方程？按照你建立直角坐标系的方案，求抛物线的方程.（引导学生分组讨论，回答，并不断补充常见的几种建系方法，叫学生应用投影仪展示计算结果） 1 2 3222(0)y px p p =-> 222(0)y px p p =+> 22(0)y px p =>注意：1.标准方程必须出来，此表格在黑板上板书。

2.若出现比较复杂建系方案，可以以引入的字母参数较多为由，先排除计算3.强调P 的意义。

4.教师说明曲线方程与方程的曲线：从上述过程可以看到，抛物线上任意一点的坐标都满足方程，以方程的解(),x y 为坐标的点到抛物线的焦点的距离与到准线的距离相等，即方程的解为坐标的点都在抛物线上。

所以这些方程都是抛物线的方程.（选择标准方程）师：观察4（3）个建系方案及其对应的方程，你认为哪种建系方案使方程更简单？ （学生选择，说明1.对称轴 2.焦点 3.方程无常数项，顶点在原点）推导过程：取过焦点F 且垂直于准线l 的直线为x 轴，x 轴与l 交于K ，以线段K F 的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系，如右图所示，则有F （2p ,0）,l 的方程为x =—2p .设动点M （x ,y ），由抛物线定义得：2)2(22p x y px +=+- 化简得y 2=2px (p ＞0) 师：我们把方程22(0)y px p =>叫做抛物线的标准方程，它表示的抛物线的焦点坐标是,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，准线方程是2p x =-。

师：在建立椭圆、双曲线的标准方程的过程中，选择不同的坐标系得到了不同形式的标准方程，对于抛物线，当我们选择如图三种建立坐标系的方法，我们也可以得到不同形式的抛物线的标准方程： （学生分前两排，中间两排，后面两排三组分别计算三种情况，一起填充表格）图形 标准方程焦点坐标 准线方程y 2=2px (p ＞0) （2p ,0） x =—2p y 2=—2px (p ＞0) （—2p ,0） x =2px 2=2py (p ＞0) （0,2p ） y =—2px 2=—2py (p ＞0) （0,—2p ） y =2p (三)例题讲解例1（1）已知抛物线的标准方程是26y x =，求它的焦点坐标和准线方程,（2）已知抛物线的焦点是()0,2F -，求它的标准方程.解：（1）∵抛物线方程为y 2=6x∴p =3，则焦点坐标是（23，0），准线方程是x =—23. （2）∵焦点在y 轴的负半轴上，且2p =2，∴p =4 则所求抛物线的标准方程是：x 2=—8y.变式训练1：(1) 已知抛物线的准线方程是x =—41，求它的标准方程. (2) 已知抛物线的标准方程是2y 2+5x =0,求它的焦点坐标和准线方程.解(1)∵焦点是F （0，3），∴抛物线开口向上，且2p =3，则p =6∴所求抛物线方程是x 2=12y(2)∵抛物线方程是2y 2+5x =0，即y 2=—25x ，∴p =45 则焦点坐标是F (—85,0)，准线方程是x =85 例2 点M 与点F （4，0）的距离比它到直线l :x +5=0的距离小1，求点M 的轨迹方程. 解：如右图所示，设点M 的坐标为（x ,y )由已知条件可知，点M 与点F 的距离等于它到直线x +4=0的距离.根据抛物线的定义，点M 的轨迹是以F （4，0）为焦点的抛物线. ∵2p =4，∴p =8 因为焦点在x 轴的正半轴上，所以点M 的轨迹方程为y 2=16x .变式训练2：在抛物线y 2=2x 上求一点P ，使P 到焦点F 与到点A （3，2）的距离之和最小. 解：如下图所示，设抛物线的点P 到准线的距离为|P Q|由抛物线定义可知：|PF |=|P Q|∴|PF |+|P A |=|P Q|+|P A | 显然当P 、Q 、A 三点共线时，|P Q|+|P A |最小.∵A (3,2)，可设P （x 0,2)代入y 2=2x 得x 0=2故点P 的坐标为（2，2）.(四)小结1、抛物线的定义；2、抛物线的四种标准方程；3、注意抛物线的标准方程中的字母P 的几何意义.(五)课后练习。