线性代数-第三单元测试
线性代数练习册第三章部分答案（本）
线性代数练习册第三章部分答案（本）第三章⾏列式及其应⽤§3-1 ⾏列式的定义⼀、填空题。
1、⾏列式a bc d=__ad bc -___;112213141---=____-24____. 2、⾏列式111112121200000a a a ab bc cd d =______0_____. 3、已知⾏列式1111111111111111D -=-----,则32M =___4__;32A =___-4__. 4、已知排列2145697m n 为奇排列，则m =__8_;n =__3_. 5、4阶⾏列式中含1331a a 且符号为负的项是____13223144a a a a -____.⼆、选择题。
1、⽅程0110001x x x=的实根为__C___. （A ）0; （B ）1; （C ）-1; （D ）2.（A ）18; （B ）19; （C ）20; （D ）21 4、n 阶⾏列式00102000D n = 的值为__D ___.（A ）!n ; （B ）!n -; （C ）(1)!nn -; （D ）(1)2(1)!n n n --.5、⾏列式312111321111x x x x x--中4x 的系数为__A____.(A ）-1; （B ）1; （C ）2; （D ）3.三、计算下列⾏列式1、12110001- 解：3331212110(1)(1)111001r +--=-按展开2、1010120012301234解：44432101010112004(1)120123012312341014120243、1132101123011002-- 解：414113211310111013223012303100210001300133033c c --------=--按r 展开四、设排列12n a a a 的逆序数为k ，证明排列11n n a a a - 的逆序数为(1)2n n k --. 证明：设i a 在排列12n a a a 的逆序数为i k ，则12n k k k k +++= ，且i a 在排列11n n a a a - 的逆序数为i t ，则i i i k t n a +=-，所以，i i i t n a k =--，所以，排列11n n a a a - 的逆序数为12112122122(1)()()2n n n n n n a k n n n t t t n a k n a k a a k k a k k ---=--+++=--+--++++++++=-（另解：因为12n a a a 中的任两个不同的元素,i j a a 必在排列12n a a a或排列11n n a a a - 中构成逆序且只能在其中⼀个中构成逆序，所以排列12n a a a 和11n n a a a - 的逆序数之和等于从n 个元素中任取两个不同数的组合数kn C ，即11n n a a a - 的逆序数为(1)§3-2 ⾏列式的性质与计算⼀、填空题。
线性代数第三章习题及答案
习 题 3-11．设)1,0,2(-=α，)4,2,1(-=β，求32-αβ．解：)11,4,8()8,4,2()3,0,6()4,2,1(2)1,0,2(323--=---=---=-βα 2．设)4,3,2,1(=α，)3,4,1,2(=β，且324+=αγβ，求γ． 解：由324+=αγβ得αβγ232-= 所以)0,27,1,25()6,29,3,23()6,8,2,4()4,3,2,1(23)3,4,1,2(2-=-=-=γ。
3．试问下列向量β能否由其余向量线性表示，若能，写出线性表示式：（1）)1,2(-=β，)1,1(1=α，)4,2(2-=α；（2）)1,1(-=β，)1,1(1=α，)1,0(2=α，)0,1(3=α； （3）)1,1,1(=β，)1,1,0(1-=α，)2,0,1(2=α，)0,1,1(3=α；（4）)1,2,1(-=β，)2,0,1(1=α，)0,8,2(2-=α，0α（5）),,,(4321k k k k =β，)0,0,0,1(1=e ，)0,0,1,0(2=e ，)0,1,0,0(3=e ，)1,0,0,0(4=e ． 解：（1）设2211ααβx x +=，即)4,2()4,2()1,1()1,2(212121x x x x x x -+=-+=-从而⎩⎨⎧-=-=+14222121x x x x ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==21121x x所以β能由21,αα线性表示，表示式为2121ααβ+=。
（2）设332211αααβx x x ++=，即),()0,1()1,0()1,1()1,1(2131321x x x x x x x ++=++=-从而⎩⎨⎧-=+=+112131x x x x ，有无穷解⎪⎩⎪⎨⎧-=--==cx c x cx 11321所以β能由321,,ααα线性表示，表示式不唯一，为321)1()1(αααβc c c -+--+= （c 为任意常数）（3）设332211αααβx x x ++=即)2,,()0,1,1()2,0,1()1,1,0()1,1,1(213132321x x x x x x x x x +-++=++-=从而⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+=+1211213132x x x x x x ，因为010********≠=-，所以有唯一解，解为⎪⎩⎪⎨⎧===011321x x x所以β能由321,,ααα线性表示，且表示式为3210αααβ⋅++=（4）设2211ααβx x +=，即)2,8,2()0,8,2()2,0,1()1,2,1(222121x x x x x x -+=-+=-从而⎪⎩⎪⎨⎧-==-=+1228121221x x x x ，由②，③式得211-=x ，412-=x 代入①式11)41(221≠-=-⋅+-所以该方程组无解， 即β不能由21,αα线性表示。
线性代数第3章习题答案2011
1
.
0 1 3 3
解: 因为向量个数大于向量维数，所以向量组线性 相关。
二. 填空题
(1) 已知向量组 1 1,2,1T , 2 1,0,2T ,
3 1,8,k T 线性相关, 则k = _2_.
解: 令 k11 k22 k33 , 则有:
k1(1,1, 2)T k2 (1, 0, 2)T k3(1, 8, k) (0, 0, 0, 0)
1 1 2 1 1 2
∴向量组线性无关.
2 1 3
(4)
=
4
,
4
,
0
.
3 1 2
解: 设k1 k2 k3
2 1 3 0
即有
k1
4
k2
4
k3
0
0
,
3 1 2 0
也即有
42kk11
k2 4k2
3k3
0 0
3k1 k2 2k3 0
是否线性无关？
解:
1 0 0L 1 1 0L
01
0 0 1 1 m1
D 0 1 1 L 0 0 0 m为偶数 L L L L L L 2 0 m为奇数 0 0 0L 1 1
当m为偶数时，方程组有非零解，则向量组线性相关
当m为奇数时，方程组有零解，则向量组线性无关。
五. 设有向量组 1 (1,2,3)T ,2 (1,1,4)T ,3 (3,3,2)T
a0c 解: 要使 1,2,3 线性无关, 则有 b c 0 2abc 0,
所以 a , b , c 需满足a·b·c≠0.
0ab
(3)n维单位向量组1,2,L ,n都可由向量组 1,2,L ,r 线性表示, 则r____ n . 解: 因为n维单位向量组 1,2,L ,n 线性无关, 且每个向量都能由向量组1,2,L ,r 线性表示,
线性代数同步练习册第三章(20题,15页)
第三章向量组及其相关性1、求下列方程组的一般解.(1)1341234123420320 2530 x x xx x x xx x x x+-=⎧⎪-+-+=⎨⎪-+-=⎩(2)123123123252323214612x x xx x xx x x-+=-⎧⎪+-=⎨⎪-+-=⎩2、试将(4,11,3)Tβ=表示为12(1,3,2),(3,2,1),T Tαα==3(2,5,1)Tα=--的线性组合.3、试将(1,2,1,1)Tβ=表示为12(1,1,1,1),(1,1,1,1),T Tαα==--34(1,1,1,1),(1,1,1,1)T Tαα=--=--的线性组合.4、已知123(1,1,0),(2,0,1),(2,5,),T T T t ααα===试问t 为何值时3α可由12,αα线性表示.5、选择题(1) 已知向量组1234,,,αααα线性无关，则下列向量组中线性无关的是（C ）（A ）12233441,,,αααααααα++++; （B ）12233441,,,αααααααα----; （C ）12233441,,,αααααααα+++-; （D ）12233441,,,αααααααα++--.(2) 若,,αβγ线性无关，,,αβδ线性相关，则（D ）（A ）α必可由,,βγδ线性表示; （B ）β必不可由,,αγδ线性表示; （C ）δ必不可由,,αβγ线性表示; （D ）δ必可由,,αβγ线性表示.(3) n 维向量组12,,,(3)m m n ααα≤≤线性无关的充分必要条件是（D ）（A ）存在一组不全为零的数12,,,m k k k ，使11220m m k k k ααα+++≠;（B ）12,,,m ααα中任意两个向量线性无关;（C ）12,,,m ααα中存在一个向量，它不能由其余向量线性表示; （D ）12,,,m ααα中任意一个向量都不能由其余向量线性表示.(4)向量组123,,ααα线性无关，112223,,βααβαα=-=-331t βλαα=-也线性无关，则,t λ满足（B ）();();()1;()2A t B t C t D t λλλλ=≠==≠.6、求下列向量组的一个极大线性无关组，并将其余向量用此极大线性无关组线性表示.(1)12(1,2,3,0),(1,2,0,3),T T αα==--3(2,4,6,0),T α=45(1,2,1,0),(0,0,1,1)T T αα=--=.(2)123(1,1,2,4),(0,3,1,2),(1,1,2,0),T T T ααα=-==-45(3,0,7,14),(2,1,5,6)T T αα==.(3) 123(1,4,2),(1,2,4),(2,5,1),T T T ααα=-=-=-45(4,5,2),(5,4,4)T T αα=-=-.(4)12(1,3,5,1),(2,1,3,4),T T αα=-=--3(5,1,1,7),T α=-4(3,3,1,1)T α=--.(5)12(1,0,2,3,4),(7,1,0,1,3),T T αα=-=-3(1,4,9,6,22),T α=-- 4(6,4,1,9,2)T α=.7、已知向量组123,,ααα线性无关，试证向量组1223,αα+23134,5αααα++亦线性无关.8、向量组12,,,s ααα线性无关,112,βαα=+223,,βαα=+1s s βαα=+，试讨论向量组12,,,s βββ的线性相关性.9、设n 维向量123,,ααα线性相关，且满足123230ααα-+=. 试说明对于任意的n 维向量β，参数123,,λλλ满足什么条件时，向量组112233,,αλβαλβαλβ+++线性相关.10、已知向量组12,,,s ααα线性无关，矩阵A 可逆.求证向量组12,,,s A A A ααα线性无关.11、已知向量组123(1,3,0,5),(1,2,1,4),(1,1,2,3),T T T ααα===4(1,3,6,1)T α=--5(1,,3,)T a b α=的秩为2. 试求b a ,的值，并求向量组的一个极大线性无关组，且将其余向量用该极大线性无关组线性表示.12、已知矩阵11313134,1598A --⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭求()r A .13、矩阵21837230753258010320A ⎛⎫⎪--⎪= ⎪-⎪⎝⎭,求矩阵A 的秩并写出A 的一个最高阶非零子式.14、a 取何值时，矩阵23653014114589A a --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭的秩是2.15、已知4R 的两组基123{,,}ααα与123{,,}βββ，且123{,,}ααα到123{,,}βββ的过渡矩阵为211112113⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭，向量α在基123{,,}ααα下的坐标为(1,1,3)T. 试求α在基123{,,}βββ下的坐标.16、已知向量空间4R 的两组基： ( I ) 1234(1,1,0,0),(1,2,0,0),(0,0,1,1),(0,0,1,2)αααα==== ( II )1234(2,1,0,0),(3,1,0,0),(0,0,2,3),(0,0,1,2)ββββ====(1) 求由基( I )到基( II )的过渡矩阵;(2) 求向量12342αββββ=++-在基( I )下的坐标.17、已知向量组123(1,1,0,0),(0,0,1,1),(1,0,0,4),T T T ααα===4(0,0,0,2)T α=是R 4的一组基, 设12(1,0,0,0),(0,1,0,0),T T εε==34(0,0,1,0),(0,0,0,1)T T εε==为自然基. 试求由基1234,,,αααα到基1234,,,εεεε的过渡矩阵，并求3ε在基1234,,,αααα下的坐标.18、设123,,ααα是3R 的一组标准正交基，且112321233123122212221,,333333333βαααβαααβααα=+-=++=--(1)证明123,,βββ也是3R 的一组标准正交基;(2)证明基123,,ααα到基123,,βββ的过渡矩阵为正交矩阵; (3)求向量1232αααα=+-在基123,,βββ下的坐标.19、设(1,1,1)T α=，(1,2,2)T β= (1) 求一个与,αβ都正交的非零向量γ；(2) 利用施密特正交化方法，把向量组{},,αβγ化为标准正交基20、设βααα,,,321均为n 维非零列向量，且321,,ααα线性无关，β与321,,ααα分别正交，试问321,,ααα，β是否线性无关？并给出证明.第三章 向量组及其相关性 自测题一、判断题：( ) 1、如果两个向量组的秩相等，那么它们必然是等价向量组. ( ) 2、若向量组123,,ααα线性无关，124,,ααα线性相关，则4α必可由123,,ααα线性表示. ( ) 3、设12,,,n ααα是一组n 维向量且n 维单位向量12,,,n εεε可被它们线性表出，那么12,,,n ααα线性无关.( ) 4、设123...,r βααα=+++ 213...,,r βααα=+++⋅⋅⋅ 121...r r βααα-=+++，那么1212{,,}{,,}r r r r βββααα⋅⋅⋅≤⋅⋅⋅.( ) 5、设1123(,,),T a a a α=2123(,,),T b b b α=3123(,,),T c c c α=则三条直线0i i i a x b y c ++=，22(0,1,2,3)i i a b i +≠=交于一点的充要条件是123,,ααα线性相关且12,αα线性无关.( ) 6、如果一个向量组线性无关，那么它的任何一个非空的部分组也线性无关.( ) 7、m n >是n 维向量组12m ,,ααα线性相关的必要条件.( ) 8、若123,,ααα线性无关，则122331,,αααααα+++线性无关. ( ) 9、正交的向量组必定不含零向量.( ) 10、如果A 是n 阶矩阵且0A =，则A 的每一个行向量都是其余各行向量的线性组合. 二、填空题1、设(2,1,5)Tα=-，(1,1,1)Tβ=-，则αβ+＝ ，32αβ-＝ .2、设1(1,1,1)Tα=，2(1,2,3)Tα=，3(1,3,)Tt α=，则当=t 时它们线性相关.3、设123(,1,1),(0,2,3),(1,2,1)T T T k ααα===, 则当k 时，123,,ααα线性无关.4、已知向量组123(1,2,3,4),(2,3,4,5),(3,4,5,6),T T T ααα===4(4,5,6,7)T α=，则该向量组的秩是 .5、若⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=t A 31322101,且()3r A =,则 .6、设13014221x A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，()2r A =，则x = . 7、设三阶方阵 ()()1212,,,,2,3A B αγγβγγ==- , 其中αβγγ,,,12 均是三维列向量且1,33A B =-=, 则A B += .8、设12312,,,,αααββ均为4维列向量, 且矩阵1231(,,,)A αααβ=,1223(,,,)B ααβα=, 32112(,,,)C αααββ=+,如果||,||A a B b ==，则行列式||C = .9、已知矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=11334221t A 的列向量线性相关，则=t .10、设矩阵0100001000010000⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，则3A 的秩为 11、若A 为n 阶可逆矩阵，则()r A *= .12、设123,,a a a 是3维向量空间3R 的一组基，则由基12311,,23a a a 到基122331,,+++a a a a a a 的过渡矩阵为13、在3R 中，向量(1,2,2),(1,0,1)T T αβ==-的夹角是 ，αβ-= .14、设向量4(1,1,0,1),(1,2,2,0),TTR αβ=--=-∈那么向量,αβ的夹角为 .15、已知(1,2,3),(5,1,),T Tk αβ=--= 那么k = 时,向量α与β正交.16、从2R 的基12(1,0),(1,1),T Tαα==-到基12(1,1),(1,2)T T ββ==的过渡矩阵为 .17、(2,0,0)T β=在基1(1,1,0)T α=，2(1,0,1)T α=，3(0,1,1)T α=下的坐标是 .18、设向量(1,,)Ta b α=与向量12(2,2,2),(3,1,3)T T αα==都正交,则a =_ _，b = .19、设a b A c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭是正交阵，则=+bd ac .20、设A 是正交矩阵，j α是A 的第j 列，则j α与j α的内积等于 .三、求向量组1234(2,1,3,1),(3,1,2,0),(1,3,4,2),(4,3,1,1)T T T Tαααα=-=-=-=-的一个极大无关组，并将其余向量用此极大无关组线性表示.四、求矩阵11221511061λλ-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A 的秩.五、已知向量组123(1,1,1,3),(1,3,5,1),(2,6,10,)T T T a ααα==--=-- ,4(4,1,6,10)T a α=+ 线性相关. 试求a 的值并确定该向量组的一个极大线性无关组.六、已知123(1,2,1),(,1,10),(1,,6),(2,5,1)T T T T ααλαλβ==-=--= ,试分析λ的取值情况使得(1)β可由123,,ααα线性表出，表示方式唯一； (2)β可由123,,ααα线性表出，表示方式不唯一； (3)β不能由123,,ααα线性表出.七、试利用施密特正交化方法，把向量组()10,1,1T α=,()21,0,1Tα=,()31,1,0Tα=化为标准正交基.八、设11232123,2,βαααβααα=++=++312323,βααα=++如果321,,ααα线性无关，证明：321,,βββ也线性无关.。
《线性代数》第3章习题解答(rr)
1．已知向量：112[5,1,3,2,4],34[3,7,17,2,8],T T ααα=--=-- 求1223αα+ 解:∵ 21{[3,7,17,2,8][15,3,9,6,12]}4T T α=----- 1[12,4,8,8,4][3,1,2,2,1]4T T=-----=-∴ 1223[10,2,6,4,8][9,3,6,6,3][19,1,0,10,11]TTTαα+=-+-=2.设 12[2,5,1,3],[10,1,5,10],T T αα==3123[4,1,1,1],3()2()5()0T ααααααα=--++-+=并且 求 α解:∵ 1236325αααα=+-[6,15,3,9][20,2,10,20][20,5,5,5][6,12,18,24],T T TT=+--=∴ [1,2,3,4].T α=3.判断下列命题是否正确，为什么？ (1)如果当 120m k k k ==== 时， 11220m m k k k ααα+++= 成立， 则向量组12,,m ααα 线性相关解：不正确.如：[][]121,2,3,4T Tαα==，虽然 12000,αα+=但12,αα线性无关。
(2) 如果存在m 个不全为零的数12,,,,m k k k 使11220,m m k k k ααα+++≠ 则向量组12,,,m ααα 线性无关。
解： 不正确. 如[][]11121,2,2,4,1,2,TTk αα====存在k 使121220,,.αααα+≠但显然线性相关(3) 如果向量组12,,,m ααα 线性无关,则其中任何一个向量都不能由其余向量线性表出. 解： 正确。
（反证）如果组中有一个向量可由其余向量线性表示，则向量组 12,,,m ααα 线性相关，与题没矛盾。
(4) 如果向量组123,,ααα线性相关，则3α一定可由12,αα线性表示。
解：不正确。
例如：[][][]1230,0,0,0,1,0,0,0,1,TTTααα===向量组123,,ααα线性相关，但3α不能由12,αα线性表示。
线代第三章习题解答
第三章 行列式习题3.13-1-6.用定义计算行列式（1）()2,1,0,,,0000000222211114=≠=i d c b a d c b a d c b a D i i i i解：设444⨯=ija D 则4D 中第1行的非0元为113111,b a a a ==，故11,3j =同法可求：2342,4;1,3;2,4j j j ===∵4321,,,j j j j 可组成四个4元排列 1 2 3 4，1 4 3 2，3 2 1 4，3 4 1 2，故4D 中相应的非0项有4项，分别为2211d b c a ，,2211c b d a -2211d a c b -，2211c a d b 其代数和即为4D 的值，整理后得 ()()122112214d c d c b a b a D --=(2)010...0002 0000...000 0n D n =M M MM解：由行列式的定义121212()12(1)n n nj j j n j j nj j j j D a a a τ=-∑L L L仅当12,,,n j j j L 分别取2，3,…,n-1,n,1 时，对应项不为零，其余各项都为零12121()(231)1212231(1)(1)(1)(1)(1)12(1)!n n n j j j n n j j nj n n n n D a a a a a a a n n ττ---=-=-=-⋅=-⋅L L L L L习题3.23.2-2.证明(1)0sin cos 2cos sin cos 2cos sin cos 2cos 222222=γγγβββααα证明:22222222222222132222222cos sin cos sin cos cos sin cos sin cos sin cos cos sin cos sin cos sin cos cos sin c c αααααααβββββββγγγγγγγ-=-+-左0= (2) 322)(11122b a b b a a b ab a -=+证明:23222212()()2()11001c c a ab ab b b a a b b a b a b c c a ba b b a b a b a b --------==---左右=-=3)(b a(3) 121211221100001000001n n n n n n n n x x x a x a x a x a x a a a a a x-------=+++++-+L L M M MO M M L L L证明: 按最后一行展开，得1211000000010001000(1)(1)0001000010010001n n n n x x a a x x x ++----=-+-----L L LL O M M M M M O M M L L LL 左321220000100000000100(1)(1)000100000000100001n n n x x x x a a x x +----+-++----L L LL L M M M OM M M M M O M M L L LL211000010()(1)00010000n x x x a x x--++--L LM MM O M M L L 222222121221(1)(1)(1)(1)()(1)n n n n n n n n n n a a x a x a x x a x ----=-+-+-++-++-L 2211221n n n n n n a a x a x a x a x x ----=++++++=L 右3=2-3．计算下列行列式 （1）11111100((1))((1))0x a a a x a a x a x a x n a x n a a a xa a xx a-=+-=+--L L L L L LM M O M M M O M M M O M LLL])1([)(1a n x a x n -+-=-(2)()()()()()()111(1)211111111()1(1)(1)111111nnnn n n n n n n n n nnna a a n a a a n a a a n D a a a n a a a n a a a n ---++---------==-------L L L LM MOMMM O ML L LL（最后一行（n+1）行依次与第n,n-1,…,2,1行交换，经过n 次交换；再将新的行列式的最后一行（即原来的n 行）依次换到第二行，经过n-1次交换；。
线性代数第三章习题
矩阵的加法满足交换律和结合 律，即A + B = B + A，(A + B) + C = A + (B + C)。
数与矩阵的乘法
数与矩阵的乘法定义为该数与矩阵中每一个元素相乘，即kA = [kaij]m×n，其中k 是一个数，A是一个m×n的矩阵。
数与矩阵的乘法满足分配律和结合律，即k(A + B) = kA + kB，(k + l)A = kA + lA， k(lA) = (kl)A。
03
逆矩阵与矩阵的秩
逆矩阵的定义和性质
定义：设A为n阶方阵，若存在n阶方阵B， 使得AB=BA=I（I为单位矩阵），则称B 为A的逆矩阵，记为A^(-1)。
若A、B均可逆，则AB也可逆，且 (AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1)。
若A可逆，则A的逆矩阵也可逆，且 (A^(-1))^(-1)=A。
应用实例
1
2
图像处理中的PCA（主成分分析）方法就利用了 特征值和特征向量的概念来进行数据降维和特征 提取。
3
在推荐系统中，可以利用特征值和特征向量的概 念来进行用户和物品的相似度计算，从而提高推 荐算法的准确性。
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线性代数第三章习
目录
CONTENTS
• 矩阵的基本概念和性质 • 行列式及其性质 • 逆矩阵与矩阵的秩 • 线性方程组与矩阵的应用 • 特征值与特征向量
01
矩阵的基本概念和
性质
矩阵的定义和表示
矩阵是一个由数值组成的矩形阵 列，其大小由行数和列数确定。
矩阵通常用大写字母表示，如A、 B、C等，而行列数通常用小写 字母m和n表示，其中m表示行
线性代数第三章习题及解答
解：取 α1 = (1, 0, 0)T , α2 = (0, 1, 0)T , β1 = (−1, 0, 0)T , β2 =
(0, −1, 0) α1 + α2 + β1 + β2 = 0, 但 α1 , α2 线性无关， 且 β1 , β2 也线性无关 (3) 若只有当 λ1 , . . . , λm 全为 0 时，等式 λ1 α1 + · · · + λm αm + λ1 β1 +· · ·+λm βm = 0 才能成立， 则 α1 , α2 , . . . , αm 线性无关， β1 , β2 , . . . , βm
证明：因为 n = R(e1 , . . . , en ) ≤ R(α1 , . . . , αn ) ≤ n 于是 R(α1 , . . . , αn ) = n， 则 α1 , α2 , . . . , αn 线性无关
7. 设向量组 α1 , α2 , . . . , αm 线性相关，且 α1 ̸= 0, 证明：存在某
2
(0, 0, 0)T , β3 = (−1, −1, 1)T 5. 利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大线性无关
组， 并把其余列向量用最大线性无关组线性表示 . 25 31 17 43 75 94 53 132 (1) 75 94 54 134 25 32 20 48 25 31 17 43 25 31 17 75 94 53 132 0 1 2 解： 75 94 54 134 −→ 1 3 0 25 32 20 48 0 1 3 α1 α2 α3 α4 25 31 17 43 1 0 0 8 5 0 1 2 3 0 1 0 −1 −→ 0 0 1 2 −→ 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 于是最大线性无关向量组之一为 α1 , α2 , α3
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一、判断题 10’
1. 可逆矩阵A 总可以只经若干次初等行变换化为单位矩阵E 。
（ ）
2. 若A 可逆，则对矩阵)(E A 施行若干次初等行变换和初等列变换，当A 变为E 时，相应地E 变为1
-A ，故求得A 的逆矩阵。
（ ） 3. 对于矩阵A ，总可以只经过初等行变换把它化为标准形。
（ ） 4. 若A ，B 都是n 阶可逆矩阵，则A 总可以经过初等行变换化为B 。
（ ） 5. 设矩阵A 的秩为r ，则A 中所有1-r 阶子式必不是零。
（ ） 6. 若A ，B 均为n 阶非零方阵且O AB =, 则A 的秩n A R <)(。
（ ） 7 从矩阵n m A ⨯（1>n ）中划去一列得到矩阵B ，则)()(B R A R >。
( ) 8. 设B A ,均为n m ⨯矩阵，若)()(B R A R =，则A 与B 必有相同的标准形。
（ ） 9. 在秩为r 的矩阵A 中，有可能存在值为零的r 阶子式。
（ ） 10.设A 为n m ⨯矩阵，若AY AX =，且n A R =)(，则Y X =。
（ ）
二、
单项选择题30’
1. 设A ⎪
⎪⎭⎫
⎝⎛=333231
232221
131211
a a a a a a a a a ，B =⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛---=323332
31
12131221222322
11222a a a a a a a a
a a a a , 1P ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100001010,2P ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=100210001,
则B =（ ）
(A) A P P 21 (B) 1211--AP P (C) 21P AP (D) 1
112--AP P 。
2. 若矩阵,,A B C 满足=A BC ，则（ ）.
(A)()()R R =A B (B) ()()R R =A C (C)()()R R ≤A B (D)()max{(),()}R R R ≥A B C
3. 设A 为3阶方阵，将A 的第1列与第2列交换得矩阵B ，再把B 的第2列加到第3列得矩阵C ，则满足C AQ =的可逆矩阵Q 为（ ）
(A) ⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛101001010 (B) ⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛100101010 (C) ⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛110001010 (D) ⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛100001110
4. 下列矩阵中不是初等矩阵的矩阵是（ ）
(A) ⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛-10001001π (B)
⎪⎪⎪
⎭⎫
⎝⎛110100001 (C) ⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛010100001 (D) ⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-100010001。
5. 已知⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛=96342321t Q ，P 为三阶非零矩阵，且满足O PQ =，则（ ）
(A) 6=t 时，1)(=P R (B) 6=t 时，2)(=P R (C) 6≠t 时，1)(=P R (D) 6≠t 时，2)(=P R 。
6设A 为n m ⨯矩阵，B 为m n ⨯矩阵，则线性方程组0)(=x AB （ ）
(A) 当m n >时仅有零解 (B) 当m n >时必有非零解
(C) 当n m >时仅有零解 (D) 当n m >时必有非零解
7.. 设A 为n m ⨯矩阵，它的秩为r A R =)(，则非齐次线性方程组b Ax = （ ） (A) m r =时必有解 (B) n r =时有唯一解 (C) n m =时有唯一解 (D) n r <时有无穷多解
8 设A 为n m ⨯矩阵，0=Ax 是非齐次线性方程组b Ax =所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是 （ ）
(A) 若0=Ax 只有零解，则b Ax =有唯一解 (B) 若0=Ax 有非零解，则b Ax =有无穷多解 (C) 若b Ax =有无穷多解，则0=Ax 只有零解 (D) 若b Ax =有无穷多解，则0=Ax 有非零解
9.已知线性方程组⎪⎩⎪
⎨⎧=++=++=++10
3236224321
321321x x x x x x x x ax 有无穷多解，则=a （ ）
（A ）1 (B) 2 (C) －1 (D) －2
10．若非齐次线性方程组=Ax b 中方程个数少于未知数个数，那么( ).
(A) =Ax b 必有无穷多解； (B) 0=Ax 必有非零解； (C) 0=Ax 仅有零解； (D) 0=Ax 一定无解.
三、填空题10’
1、设⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛211111111321x x x a a a 有无穷多解，则=a ；
2、 已知方程组⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+0312123212
1321x x x a a 无解，则=a ；
3、、已知矩阵 ⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝
⎛45
3251014022
32211a a a 且3)(=A R ，则=a ； 4、．设线性方程组b AX =的增广矩阵通过初等行变换化为⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤⎢
⎢⎢
⎢⎣⎡--000
0120004131
0621
31，线性方程组的一般解中自由未知量的个数为 ；
5、齐次线性方程组0=AX 的系数矩阵为⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=000020103211A 则此方程组的一般解为 .
四、解答题 50’
1、求齐次线性方程组的非零解 ⎪⎪⎩⎪⎪
⎨⎧=+--+=+--+=-++-=+--+0
755540433330
20
254321
54321
5432154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
2、设有线性方程组 ⎪⎪
⎩⎪⎪
⎨⎧=-+++=+++=-+++=++++b
x x x x x x x x x a
x x x x x x x x x x 54321
54325432154321334536223231，问 b a ,取何值时有解？当有
解时，求其通解。
3、常数b a ,取何值时，线性方程组⎪⎩
⎪
⎨⎧-=+=++=-+210230
34az y b z y x z y x 有唯一解、无解、有无穷解？
并在有无穷解时求通解。
4、用初等变换法求解下列各题：
（1）. 设⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=121011322A , 求1
-A ;
（2）求解矩阵方程X A AX +=，其中⎪⎪⎪
⎭⎫
⎝⎛=010312022A 。
（3）求⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛-------81507313
1213123得秩，及最高阶的非零子式。
附加题：
1、设A 是n 阶可逆方阵，将A 的第i 行和第j 行互换得到的矩阵记为B 。
（1）证明B 可逆，并指出1
-A 与1
-B 之间的关系； （2） 求1
-AB。