寿险精算第六章生存年金
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寿险精算习题及答案
寿险精算习题及答案习题第一章人寿保险一、n 年定期寿险【例4.1】设有100个40岁的人投保了1000元5年期定期寿险，死亡赔付在死亡年年末，利率为3%。
I 、如果各年预计死亡人数分别为1、2、3、4、5人，计算赔付支出； II 、根据93男女混合表，计算赔付支出。
解：I表4–1 死亡赔付现值计算表年份年内死亡人数赔付支出折现因子赔付支出现值（1）（2）（3）=1000*(2) （4）（5）=(3)*(4)1 1 1000 103.1- 970.872 2 2000 203.1- 1885.193 3 3000 303.1- 2745.434 4 4000 403.1- 3553.95 5 5 5000 503.1-4313.04 合计 ---15000---13468.48根据上表可知100张保单未来赔付支出现值为：48.13468)03.1503.1403.1303.1203.11(100054321=?+?+?+? +??-----（元）则每张保单未来赔付的精算现值为134.68元，同时也是投保人应缴的趸缴纯保费。
解：II表4–2 死亡赔付现值计算表年份年内死亡人数赔付支出折现因子赔付支出现值（1）（2）（3）=1000*(2) （4）（5）=(3)*(4) 1 1000*40q =1.650 1650 103.1- 1601.94 2 1000*40|1q =1.809 1809 203.1- 1705.16 3 1000*40|2q =1.986 1986 303.1- 1817.47 41000*40|3q =2.1812181403.1-1937.795 1000*40|4q =2.3912391 503.1-2062.50 合计 ---10017---9124.86根据上表可知100张保单未来赔付支出现值为：86.9124)03.103.103.103.103.1(1000540|4440|3340|2240|11402 =?+?+?+?+??-----q q q q q （元）则每张保单未来赔付的精算现值为91.25元，同时也是投保人应缴的趸缴纯保费。
保险精算生存金
调整策略
定期评估：根据市场环境和公司策略，定期对保险精算生存金进行调整。
风险控制：根据风险评估结果，对保险精算生存金进行调整，以降低风险。
客户需求：根据客户需求和市场反馈，对保险精算生存金进行调整，以提 高客户满意度。 竞争环境：根据市场竞争情况，对保险精算生存金进行调整，以提高竞争 力。
PART 5
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保险精算生存金的计算通常基于被保险人的年龄、性别、生命表数据和预定利率等因素，通过精算技 术来确定。
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保险精算生存金的给付通常在合同约定的时间点或期间内进行，例如每年或每几年给付一次。 给付的金额通常与合同约定的金额或比例相符，但也可能受到某些因素的影响，例如市场利 率的变化或公司的经营状况。
PART 1
保险精算生存金的定义
保险精算生存金的含义
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保险精算生存金是指在保险合同有效期内，被保险人生存的情况下，保险公司按照合同约定的金额或 比例给付给被保险人或受益人的保险金。
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保险精算生存金通常作为长期人寿保险合同的附加条款，旨在为被保险人提供一种经济保障，以应对 未来可能出现的生存风险。
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保险精算生存金
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目录
01
02
03
04
05
保险精算生 存金的定义
保险精算生 存金的计算 方法
保险精算生 存金的应用 场景
保险精算生 存金的评估 与调整
保险精算生 存金的未来 发展
保险精算生存金的未来发展
科技对保险精算生存金的影响
寿险精算_卓志_生存年金
Sx ( Ia) x ，Sx Nx Nx1 Nx2 ... Dx S x S x n nN x n ( Ia) x:n Dx
Sx Sxn ( I n a) x Dx S x 1 ( Ia) x Dx S x 1 S x n1 nN x n1 ( Ia) x:n Dx S x 1 S x n 1 ( I n a) x Dx
ax
( m)
1 (1 v m
1 m
2．延付n年的终身生存年金：
n
1 m
px v
2 m
2 m
px ...)
ax
( m)
n Ex a
(m) x
( m) xn (m) x
3．n年定期生存年金：
a
( m) x:n
a
na
1． a x:n
2． a x 3．
n
0
n
2
2.n年定期生存年金：
2 2
ax:n 1 vpx v
px ... v
n 1
N x N xn n 1 px Dx
3．延付n年的终身生存年金：
4．延付n年的m年定期生存年金：
N xn a n x Dx
N xn N xnm a nm x Dx
本章主要介绍生存年金的基本概 念，基本计算原理和不同条件下 的生存年金的计算方法。
一、（x）在n年期满生存所得的1单位的精 算现值
n
Ex v
n n
px
二、转换函数
Dx v lx
x
保险精算学生存年金精算现值
2.a x:n
a x:n
1
n Ex
3.a x:nm
a x:m
vm
m
px
a xm:n
4.ax
a x:n
n
ax
and
5.ax ax 1
6.a 1 a
x:n
x:n1
7.n ax n ax n Ex
8.n m ax a n1m x
and
n ax vn n pxaxn n Exaxn
ax
a x:n
1 vpx vt t px1 1 vpxax1 t 1
可以一直递推下去，而求出ax。
等价表达式：
ax 1 vax1 vqxax1 直观的解释：对(x)的终身生存年金趸缴净保费等于在x岁上规定 的1单位元给付加上x 1岁上的趸缴净保费在x岁上的值,再减去在 x x 1岁因死亡不能得到将来的ax1的部分. 对年龄x k,上式可以写成 :
6.2 生存年金精算现值
• 纯粹的生存保险 • 年付一次生存年金的精算现值 • 生存年金与寿险的关系 • 年付m次生存年金的精算现值 • 变额生存年金 • 生存年金的递推公式
6.2.1 纯粹的生存保险
生存保险是以被保险人生存为给付条件的保险，纯粹的 生存保险是在约定的保险期满时，如果被保险人存活将得到 规定的保险金额的保险。
N xn1
m 1 2m
Dxn
Dx
a(m)
nx
n
ax
m 1 2m
n
Ex
Nxn
m 1 2m
Dx
n
Dx
P123 eg6.10，6.11
6.2.5 变额生存年金
Ia x
k
k 0
1 vk
寿险精算学课件-生存年金
50:10
a
1A 50:10
1 0.55 7.5
50:10
0.06
0.5 0.55
连续给付延期生存年金
❖定义: m ax
❖ 种类
▪ 延期M年终身连续生存年金 ▪ 延期M年终身定期生存年金
❖ 适用领域
▪ 养老金
延期生存年金的计算
❖ 方法一：综合支付技巧
❖ 方法二：当期支付技巧
0
,0 T m
Y
a a ,T m
综合支付技巧
函数变换关系
期初支付定期生存年金
❖ 当期支付技巧
❖ 综合支付技巧
n1
a x:n
k Ex
k0
n1
vk 1 k px
k0
1
n
1
vk
1
lx k 0
lx k
a , K 0, , n 1
Y
K1
a ,K n
n
a E[Y ] x:n
n1
a k1
k qx
a n
n px
k0
期初支付终身 生存年金
期初支付定期 生存年金
与生存相关联的一次性给付
❖ n年定期生存
n Ex
A1 x:n
vn n px
❖ n Ex称为生存贴现因子，它具有如下性质 n Ex = t Ex E n t x t
❖ 延期寿险还可以表现为
m ax = m Ex ax m
m n ax = m Ex
a x:n
期初支付终身生存年金的概念
ax
x1
k Ex
Y
T
a ,T n
ax：n E(Y )
na
0T
t px
保险精算学-生存年金(2)
ax E(aT ) aT fT (t )dt
0
相关公式
（ 1 ）ax E (aT ) aT fT (t )dt
0
Байду номын сангаас
1 vt
0
t
px x t dt
1 zt 1 vt 1 （2）ax E (aT ) E ( ) E( ) (1 Ax )
以终身寿险为例，
E (vT ) E (v K 1 ) E (v S 1 ) Ax Ax v s 1ds
0 1
i
Ax
例6.4（例6.3续）
已知个体(x)的未来生存时间T的密度为
1 , 0t fT (t ) t 0, 其他 100, 0.05, x 30
t
t
x t px e
s ds
xt
e t
综合支付技巧 t 1 v 0.04 ax p dt (1 e 0.06t )e 0.04t dt 10 t x x t 0 0.06 0
当期支付技巧
t 0.06t 0.04t 0 0
t 0 0 70 70 0.05 t
1 1 e 0.0570 dt 0.277 70 0.05 70
a30
1 A30
1 0.277 14.458 0.05
例4.3答案
(2)
2
A30 v fT (t )dt e 0.1t
2t 0 0
70
70
第六章 生存年金
第三节
连续生存保险
简介
寿险精算第六章生存年金
例：某30岁的人购买了从60岁起的生存年金， 契约规定，在被保险人60岁～69岁时每年的 给付额为6000元，70岁～79岁每年的给付额 为7000元，80岁以后每年的给付额为8000元， 预定利率为6%，计算保单的趸缴净保费。
例：某30岁的人投保养老年金保险，保险契约 规定，如果被保险人存活到60岁，则确定给付 10年年金，若被保险人在60～69岁间死亡， 由其指定的受益人继续领取，直到领满10年为 止；如果被保险人在70岁仍然存活，则从70
lim
m
1 vt i(m)
1 vt
1.连续终身生存年金
（1）ax
E(a T
)
0
a T
fT (t)d t
1 vt
0
t
pxxtd t
(2) ax
0
vt
t
pxd
t
例：设随机变量T= T (x)的概率密度函数为
f (t) 0.015e0.015t (t 0), 利息力为0.05，试计算精算现值 ax
a&& x:n
m 1(1 2m
n Ex )
3.延期生存年金
• 延期m年终身生存年金（UDD假定）
m
a(h) x
m
ax
h 1 2h
m Ex
m
a&&x(h)
m
a&&x
h 1 2h
m Ex
• 延期m年n年定期生存年金 （UDD假定）
a(h)
mn x
m n ax
h 1 2h
(
m
Ex
mn
Ex )
m n a&&x(h)
a x:n
n 0
寿险精算_chapter_6-1(1)
净保费的厘定的假定条件
假定一:同性别,同年龄, 假定一:同性别,同年龄,同时参保的被 保险人的剩余寿命是独立同分布的. 保险人的剩余寿命是独立同分布的. 假定二: 假定二:被保险人的剩余寿命分布可以用 经验生命表进行拟合. 经验生命表进行拟合. 假定三: 假定三:保险公司可以预测将来的投资受 即预定利率). 益(即预定利率). 附表3 见p304附表 附表
中英文单词对照
趸缴纯保费 Net single premium 精算现值 Actuarial present value 死亡即刻赔付保险 Insurances payable at the moment of death 死亡年末给付保险 Insurances payable at the end of the year of death
被保障人群的大数性
保险公司依靠概率统计的原理计算出平均赔付并可预 测将来的风险. 测将来的风险.
有关保费
保费是投保人购买保险产品支付的价格 保费=净保费 净保费+附加保费 (毛)保费 净保费 附加保费 净保费补偿保单承诺的保险赔付 附加保费补偿保险公司的费用支出 趸缴保费 均衡保费
中英文单词对照
M x M x+n = Dx
现值随机变量的方差
Var ( zk ) = E ( z ) E ( zk ) = ∑ v
2 k 2 k =0
2
n 1
2 ( k +1)
k p x q x + k E ( zk )
2
A
1 x :n
= ∑v
k =0
n 1
2 ( k +1)
k px q x + k
x l x = 1000 (1 ) 105
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6.2.2 年付一次的生存年金精算现值
期初、期末支付的
终身生存年金 定期生存年金 延期生存年金 延期定期生存年金
1.终身生存年金
• (x)的每年1单位元期初付终身生存年金精算现值
a&&x k Ex vk k px
k 0
k 0
Dxk D k0 x
Nx Dx
它是一系列保险期逐步延长的纯粹生存保险之和
(1) 1 1 (1 i)n lx
n Ex vn n px
lxn
(2)
n Ex t Ex nt Ext
t Ex 1 E E n x nt xt
也叫精算累积因子和精算折现因子。
年龄
x
n Ex
1 现时值
t Ex
x+t
E nt xt
E nt xt n Ex
1
x+n
1
1 n Ex
1 E nt xt
提示：利用公式
ax
1 vt f (t) d t
0
答案：15.38
2.连续定期生存年金
n
(1)
a x
：n
0
a t
t
px
xtd t
n
px
a n
(2)
a x:n
n 0
vt
t
pxdt
例：设生存函数为 S(x) 1 x , 利息力 110
0.05 , 试计算精算现值 a 50 :10
提示：利用公式
岁起以生存为条件得到年金。如果年金每年支 付一次，一次支付6000元，预定利率为6%， 计算保单的趸缴净保费。
等额年金计算基数公式
险种
终身生存 年金
定期生存 年金
延期终身 生存年金
延期定期 生存年金
期初付
ax
Nx Dx
a&& Nx Nxn
x:n
Dx
m
ax
N xm Dx
m
a&& x:
n
Nxm
6.2 生存年金精算现值
6.2.1 生存年金的概念 生存年金（Life Annuity）是以被保险人
存活为条件，间隔相等的时期（年、半年、季、 月）支付一次保险金的保险类型。
注：在生存年金研究中，习惯用 n Ex 表示1单
位元纯生存保险的精算现值，即
n Ex
A1 x:n
vn n px
lx n Ex (1 i)n lxn
Nx Nxn Dx
• 期末付定期生存年金
n
n
a x:n
k Ex
vk k px
k 1
k 1
3.延期期初付生存年金
险种
延期m年初付 终身生存年金
延期m年期初付 n年定期生存年金
m a&&x k Ex
km
精算
现值
a&&x
a&& x:
m
mn1
m n a&&x
k Ex
km
a&& a&& x : mn x : m
＊期初付和期末付年金之间的关系
a&&x ax 1
m a&&x m ax m Ex
a&& x:n
1 a x:n
n Ex
m a&&x m1 ax
a&& 1 a
x:n
x : n1
m n a&&x m1 n ax
例：对于（30）的从60岁起每年6000元的生 存年金，预定利率为6%。根据附表2求保单 的趸缴净保费。
988427
例：计算（25）购买40年定期纯生存险的趸缴 纯保费，假定i＝6％，保险金额为1万元。
解：10000 40 E25 10000 v40 40 p25 10000 D65 D25 10000 18537.44 811.675（元） 228384.94
＊利率和生者利下的累积系数和折现系数：
lim
m
1 vt i(m)
1 vt
1.连续终身生存年金
（1）ax
E(a T
)
0
a T
fT (t)d t
1 vt
0
t
pxxtd t
(2) ax
0
vt
t
pxd
t
例：设随机变量T= T (x)的概率密度函数为
f (t) 0.015e0.015t (t 0), 利息力为0.05，试计算精算现值 ax
• 期末付终身生存年金
ax k Ex vk k px a&&x 1
k 1
k 1
例：某人现年30岁，欲在其生存期间每年年 初向保险公司领取50元，则此人在30岁时的 趸缴净保费是多少？
2.定期生存年金
• 期初付定期生存年金
a&& x:n
n1
k Ex
k 0
n1
vk k px
k 0
Nxmn Dx
期末付
ax
N x1 Dx
a Nx1 Nxn1
x:n
Dx
m
ax
N xm1 Dx
m
a x:n
N 连续生存年金
＊连续年金
1年支付m次，每次支付1/m的t年期期
末付年金现值为
a(m) t
1 vt i(m)
当m趋于无穷大时为连续年金，有
a t
lim a(m) m t
例：某30岁的人购买了从60岁起的生存年金， 契约规定，在被保险人60岁～69岁时每年的 给付额为6000元，70岁～79岁每年的给付额 为7000元，80岁以后每年的给付额为8000元， 预定利率为6%，计算保单的趸缴净保费。
例：某30岁的人投保养老年金保险，保险契约 规定，如果被保险人存活到60岁，则确定给付 10年年金，若被保险人在60～69岁间死亡， 由其指定的受益人继续领取，直到领满10年为 止；如果被保险人在70岁仍然存活，则从70
a x:n
n 0
vt
t
pxdt
3.延期m年连续生存年金
m
ax
ax
a x :m
1
(A x:m
Ax )
m Ex axm
4.延期m年n年定期连续生存年金
m n ax
a x : mn
a x:m
1 (A A )
x:m
x : mn
m Ex
a xm : n
6.2.4. 生存年金与寿险的关系
例：某人立有遗嘱：其子年满21岁时可获得 其5万元遗产。其子现年12岁，因有急事需提 前支取这笔遗产。若利率为6%，利用附表1的 生命表求其子现在可以支取的金额。
解：500009 E12 50000 v9 9 p12
500001.069 l21 l12
500001.069 983226 29439.2 (元)
m Ex a&&xm
m
Ex
a&& xm
:
n
延期期末付生存年金
险种
精算 现值
延期m年期末 终身生存年金
m ax
k Ex
k m1
ax
a x:m
m Ex axm
延期m年期末付 n年定期生存年金
m n 1
m n ax
k Ex
k m1
a a
x : mn
x:m
m Ex
a xm : n
例：某人30岁时购买了从60岁起年支付额为 10000元的终身生存年金，求其趸缴净保费。 如果他在68.8岁时死亡，求此人所获年金在 30岁时的现值（假定利率为6% ）。