寿险精算学人大王晓军第七章课后答案
人大统计学院保险精算学课程大纲
人大统计学院保险精算学课程大纲教师：王晓军，黄向阳，王燕英文教材：, Actuarial Mathematics, edition, The Society of Actuarial,1997.中文参考教材：王晓军等，保险精算学，中国人民大学出版社，1995。
该教材1996年12月获北京市第四届哲学社会科学优秀成果二等奖，1999年12月获国家统计局第三届全国高等学校优秀统计教材奖。
本课程总课时：72课程教学18周，每周4课时第一章：利息理论基础本章课时：10一、学习的目的和要求1、要求了解利息的各种度量2、掌握常见利息问题的求解原理3、掌握年金问题求解的基本原理和常用技巧4、了解收益率的概念及各种场合下收益率的计算方法5、掌握分期偿还与偿债基金的原理并能确定分期偿还表与偿债基金表。
二、主要内容第一节：利息的度量一、利息的定义二、利息的度量三、变利息第二节：利息问题求解原则一、利息问题求解四要素二、利息问题求解的原则第三节：年金一、年金的定义和分类二、基本年金三、一般年金第四节：收益率一、收益率的概念二、收益率的唯一性判别三、再投资率四、基金的利息度量第五节：分期偿还表和偿债基金一、分期偿还表二、偿债基金第二章生命表函数与生命表构造本章课时：6一、学习的目的与要求1、理解常用生命表函数的概率意义及彼此之间的函数关系2、了解生存函数与生命表的关系并掌握寿险生命表的特点与构造原理3、掌握各种分数年龄假定下，分数年龄的生命表函数的估计方法二、主要内容第一节生命表函数一、生存函数二、剩余寿命三、死亡效力第二节生命表的构造一、有关寿命分布的参数模型二、生命表的起源三、生命表的构造四、选择与终极生命表第三节有关分数年龄的假设一、使用背景二、基本原理三、常用假定第三章人寿保险趸缴纯保费的厘定本章课时：10一、学习目的与要求1、掌握寿险趸缴纯保费的厘定原理2、理解寿险精算现值的意义，掌握寿险精算现值的表达方式及计算技巧3、认识常见的寿险产品并掌握各种产品趸缴纯保费的厘定及寿险精算现值方差的计算4、理解趸缴纯保费的现实意义及递推公式的含义5、认识计算基数并能使用计算基数计算趸缴纯保费二、主要内容第一节人寿保险趸缴纯保费厘定的原理一、人寿保险简介二、人寿保险趸缴纯保费厘定的原理第二节死亡即刻赔付保险趸缴纯保费的厘定一、定额受益保险二、两全保险三、延期保险四、变额受益保险第三节死亡年末赔付保险趸缴纯保费的厘定一、各种情况下的死亡年末赔付保险趸缴纯保费的厘定二、死亡即刻赔付与死亡年末赔付的关系第四节递归方程公式一及理解公式二及理解公式三及理解公式四及理解第五节计算基数一、什么是计算基数二、常用计算基数三、用计算基数表示常见寿险的趸缴纯保费第四章生存年金本章课时：8一、学习目的与要求1、理解生存年金的概念2、掌握各种场合计算生存年金现时值的原理和技巧。
保险精算第二版习题及答案
保险精算（第二版）第一章：利息的基本概念 练 习 题1．已知()2a t at b =+，如果在0时投资100元，能在时刻5积累到180元，试确定在时刻5投资300元，在时刻8的积累值。
2．(1)假设A(t)=100+10t, 试确定135,,i i i 。
(2)假设()()100 1.1nA n =⨯，试确定 135,,i i i 。
3．已知投资500元，3年后得到120元的利息，试分别确定以相同的单利利率、复利利率投资800元在5年后的积累值。
4．已知某笔投资在3年后的积累值为1000元，第1年的利率为 110%i =，第2年的利率为28%i =，第3年的利率为 36%i =，求该笔投资的原始金额。
5．确定10000元在第3年年末的积累值:(1)名义利率为每季度计息一次的年名义利率6%。
(2)名义贴现率为每4年计息一次的年名义贴现率6%。
6．设m ＞1，按从大到小的次序排列()()m m d d i i δ<<<<。
7．如果0.01t t δ=，求10 000元在第12年年末的积累值。
、8．已知第1年的实际利率为10%，第2年的实际贴现率为8%，第3年的每季度计息的年名义利率为6%，第4年的每半年计息的年名义贴现率为5%，求一常数实际利率，使它等价于这4年的投资利率。
9．基金A 以每月计息一次的年名义利率12%积累，基金B 以利息强度6t tδ=积累，在时刻t (t=0)，两笔基金存入的款项相同，试确定两基金金额相等的下一时刻。
10. 基金X 中的投资以利息强度0.010.1t t δ=+(0≤t ≤20), 基金Y 中的投资以年实际利率i 积累；现分别投资1元，则基金X 和基金Y 在第20年年末的积累值相等，求第3年年末基金Y 的积累值。
11. 某人1999年初借款3万元，按每年计息3次的年名义利率6%投资，到2004年末的积累值为（ ）万元。
A. 7.19B. 4.04C. 3.31D. 5.2112.甲向银行借款1万元，每年计息两次的名义利率为6%，甲第2年末还款4000元，则此次还款后所余本金部分为（ ）元。
保险精算第章习题答案人民大学出版社
小学五年级数学下册复习教学知识点归纳总结;期末测试试题习题大全人教版五年级下册数学知识点一、图形的变换1、轴对称图形：把一个图形沿着某一条直线对折;两边能够完全重合;这样的图形叫做轴对称图形;这条直线叫做对称轴.2、成轴对称图形的特征和性质：①对称点到对称轴的距离相等；②对称点的连线与对称轴垂直；③对称轴两边的图形大小形状完全相同.3、物体旋转时应抓住三点：①旋转中心；②旋转方向；③旋转角度.旋转只改变物体的位置;不改变物体的形状、大小.二、因数与倍数1、因数和倍数：如果整数a能被b整除;那么a就是b的倍数;b就是a的因数.2、一个数的因数的求法：一个数的因数的个数是有限的;最小的是1;最大的是它本身;方法是成对地按顺序找.3、一个数的倍数的求法：一个数的倍数的个数是无限的;最小的是它本身;没有最大的;方法时依次乘以自然数.4、2、5、3的倍数的特征：个位上是0、2、4、6、8的数;都是2的倍数.个位上是0或5的数;是5的倍数.一个数各位上的数的和是3的倍数;这个数就是3的倍数.5、偶数与奇数：是2倍数的数叫做偶数0也是偶数;不是2的倍数的数叫做奇数.6、质数和和合数：一个数;如果只有1和它本身两个因数的数叫做质数或素数;最小的质数是2.一个数;如果除了1和它本身还有别的因数的数叫做合数;最小的合数是4.三、长方体和正方体1、长方体和正方体的特征：长方体有6个面;每个面都是长方形特殊的有一组对面是正方形;相对的面完全相同；有12条棱;相对的棱平行且相等；有8个顶点.正方形有6个面;每个面都是正方形;所有的面都完全相同；有12条棱;所有的棱都相等；有8个顶点.2、长、宽、高：相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高.3、长方体的棱长总和=长＋宽＋高×4 正方体的棱长总和=棱长×124、表面积：长方体或正方体6个面的总面积叫做它的表面积.5、长方体的表面积=长×宽＋长×高＋宽×高×2 S=ab＋ah＋bh×2正方体的表面积=棱长×棱长×6 用字母表示：S=6、表面积单位：平方厘米、平方分米、平方米相邻单位的进率为1007、体积：物体所占空间的大小叫做物体的体积.8、长方体的体积=长×宽×高用字母表示：V=abh 长=体积÷宽×高宽=体积÷长×高高=体积÷长×宽正方体的体积=棱长×棱长×棱长用字母表示：V= a×a×a9、体积单位：立方厘米、立方分米和立方米相邻单位的进率为100010、长方体和正方体的体积统一公式：长方体或正方体的体积=底面积×高 V=Sh11、体积单位的互化：把高级单位化成低级单位;用高级单位数乘以进率；把低级单位聚成高级单位;用低级单位数除以进率.12、容积：容器所能容纳物体的体积.13、容积单位：升和毫升L和ml 1L=1000ml 1L=1000立方厘米 1ml=1立方厘米14、容积的计算：长方体和正方体容器容积的计算方法跟体积的计算方法相同;但要从里面量长、宽、高.四、分数的意义和性质1、分数的意义：把单位“1”平均分成若干份;表示这样的一份或几份的数;叫做分数.2、分数单位：把单位“1”平均分成若干份;表示这样的一份的数叫做分数单位.3、分数与除法的关系：除法中的被除数相当于分数的分子;除数相等于分母;用字母表示：a÷b= b≠0.4、真分数和假分数：分子比分母小的分数叫做真分数;真分数小于1.分子比分母大或分子和分母相等的分数叫做假分数;假分数大于1或等于1.由整数部分和分数部分组成的分数叫做带分数.5、假分数与带分数的互化：把假分数化成带分数;用分子除以分母;所得商作整数部分;余数作分子;分母不变.把带分数化成假分数;用整数部分乘以分母加上分子作分子;分母不变.6、分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数0除外;分数的大小不变;这叫做分数的基本性质.7、最大公因数：几个数共有的因数叫做它们的公因数;其中最大的一个叫做最大公因数.8、互质数：公因数只有1的两个数叫做互质数.两个数互质的特殊判断方法：①1和任何大于1的自然数互质.②2和任何奇数都是互质数.③相邻的两个自然数是互质数.④相邻的两个奇数互质.⑤不相同的两个质数互质.⑥当一个数是合数;另一个数是质数时除了合数是质数的倍数情况下;一般情况下这两个数也都是互质数.9、最简分数：分子和分母只有公因数1的分数叫做最简分数.10、约分：把一个分数化成和它相等;但分子和分母都比较小的分数;叫做约分.11、最小公倍数：几个数共有的倍数叫做它们的公倍数;其中最小的一个叫做最小公倍数.12、通分：把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数;叫做通分.13、特殊情况下的最大公因数和最小公倍数：①成倍数关系的两个数;最大公因数就是较小的数;最小公倍数就是较大的数.②互质的两个数;最大公因数就是1;最小公倍数就是它们的乘积.14、分数的大小比较：同分母的分数;分子大的分数就大;分子小的分数就小；同分子的分数;分母大的分数反而小;分母小的分数反而大.15、分数和小数的互化：小数化分数;一位小数表示十分之几;两位小数表示百分之几;三位小数表示千分之几……;去掉小数点作分子;能约分的必须约成最简分数；分数化小数;用分子除以分母;除不尽的按要求保留几位小数.五、分数的加法和减法1、同分母分数的加减法：同分母分数相加、减;分母不变;只把分子相加减.2、异分母分数的加减法：异分母分数相加、减;先通分;再按照同分母分数加减法的方法进行计算.3、分数加减混合运算的运算顺序与整数加减混合运算的顺序相同.在一个算式中;如果含有括号;应先算括号里面的;再算括号外面的；如果只含有同一级运算;应从左到右依次计算.六、打电话1、逐个法：所需时间最多；2、分组法：相对节约时间；3、同时进行法：最节约时间.1. 因为2×6=12;我们就说2和6是12的因数;12是2的倍数;也是6的倍数.不能单独说谁是倍数或因数2. 求一个数的因数;用乘法一对一对找;写的时候一般都是从小到大排列的3. 求一个数的倍数;用一个数去乘1、乘2、乘3、乘4……4. 一个数的最小因数是1;最大的因数是它本身;一个数的因数的个数是有限的.5. 一个数的最小的倍数是它本身;没有最大的倍数;一个数的倍数的个数是无限的.6. 个位上是 0;2;4;6;8的数;都是2的倍数;也是偶数.7. 自然数中;是2的倍数的数叫做偶数0也是偶数.不是2的倍数的数叫奇数.8. 个位上是0或者5的数;都是5的倍数.9. 个位是0的数;既是2的倍数;又是5的倍数.10. 一个数各位上的和是3的倍数;这个数就是3的倍数.11. 只有1和它本身两个因数的数叫做质数或素数;除了1和它本身还有别的因数的数叫做合数.1既不是质数;也不是合数.12. 整数按因数的个数来分类：1;质数;合数.整数按是否是2的倍数来分类：奇数;偶数13. 将合数分解成几个质数相乘的形式就叫做分解质因数.分解质因数用短除法;把36分解质因数是14. 最小的质数是2;最小合数是4;最小奇数是1;最小偶数是0;同时是2;5;3倍数的最小数是30;最小三位数是12015. 奇数加奇数等于偶数.奇数加偶数等于奇数.偶数加偶数等于偶数.16. a是c的倍数;b是c的倍数;那么a+b的和是c的倍数;c是a+b和的因数;a－b的差是c的倍数;c是a－b差的因数.17. 如果一个图形沿着一条直线对折;两侧的图形能够完全重合;这个图形就是轴对称图形.折痕所在的这条直线叫做对称轴.18. 轴对称图形特征：对应点到对称轴的距离相等;对应点连线垂直于对称轴19. 长方体有6个面.每个面都是长方形可能有两个相对的面是正方形;相对的面大小相等完全相同.20. 长方体有12条棱;分为三组;相对的4条棱长度相等.21. 长方体有8个顶点.22. 相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高23. 正方体有6个面; 6个面都是正方形 ;6个面完全相等;正方体有12条棱; 12条棱长度都相等;正方体有8个顶点24. 长方体棱长之和：长+宽+高×4 长×4+宽×4+高×425. 正方体棱长之和：棱长×1226. 长方体正方体6个面的总面积;叫做它的表面积.27. 长方体表面积=长×宽+宽×高+长×高×2 或长方体表面积=长×宽×2+宽×高×2+长×高×228. 正方体表面积=棱长×棱长×629. 计量体积要用体积单位;常用的体积单位有立方厘米;立方分米;立方米;可以分别写成cm3 dm3 m330. 棱长是1cm的正方体;体积是1 cm3;棱长是1cm的正方体;体积是1 dm3;棱长是1cm的正方体;体积是1 m331. 长方体所含体积单位的数量就是长方体的体积.长方体的体积=长×宽×高;v=abh;正方体体积=棱长×棱长×棱长;v=a3 =a×a×a a3表示3个a相乘32. 相邻两个体积单位间的进率是1000;相邻两个面积单位间的进率是1000;相邻两个长度单位间的进率是10;1立方米=1000立方分米;1立方分米=1立方厘米;1升=1000毫升;1立方米=1000000立方厘米;计量容积一般用体积单位;计量液体的体积;用升和毫升33. 一个物体、一些物体等都可以看作一个整体;一个整体可以用自然数1来表示;通常把它叫做单位“1”.34. 把单位“1”平均分成若干份;表示这样的一份或几份的数叫做分数.例如：表示把单位“1”平均分成7份;表示这样的3份.其中表示一份的数叫做分数单位.35. 米表示1 把5米看作单位“1”;把单位“1”平均分成8份;表示这样的1份;就是米;算式：5÷8=米2 把1米看作单位“1”;把单位“1”平均分成8份;表示这样的5份;就是米;算式：1÷8=米;5个米就是米36. 当整数除法得不到整数的商时;可以用分数表示除法的商.在用分数表示整数除法的商时;分数的分子相当于除法的被除数;分数的分母相当于除法的除数;除号相当于分数中的分数线.除数不能为0区别：分数是一种数;除法是一种运算37. 分子比分母小的分数叫真分数;真分数小于 1.分子比分母大或分子和分母相等的分数叫做假分数;假分数大于或等于1.38. 带分数包括整数部分和分数部分.假分数化成带分数;用分子除以分母所得的商作为带分数的整数部分;余数作为分子;分母不变.带分数化成假分数时;用整数部分和分母相乘再加分子所得结果作分子;分母不变.39. A是B的几分之几用A÷B40. 分数的分子和分母同时乘或除以相同的数0除外;分数的大小不变.这叫做分数的基本性质.41. 几个数公有的因数;叫做这几个数的公因数.其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数.通常把每个数分解质因数;把它们所有的公有质因数相乘;来求最大公因数.42. 如果两个数的公因数只有1;这两个数是互质数.两个连续自然数；两个质数；1和其他自然数一定是互质数.43. 分子和分母只有公因数1的分数叫做最简分数.把一个分数化成和它相等;但分子分母比较小的分数;叫做约分.44. 几个数公有的倍数;叫做这几个数的公倍数.其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数.通常把每个数分解质因数;把它们所有的公有质因数和独有质因数相乘;来求最小公倍数.45. 把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数公分母;叫做通分.46. 求三个数的最大公因数和最小公倍数时;可以先求其中两个数的最大公因数和最小公倍数;用求出的最大公因数和最小公倍数再与第三个数求最大公因数和最小公倍数.47. 如果两个数是倍数关系;那么两个数的最大公因数是较小数;最小公倍数是较大数.48. 如果两个数公因数只有1;那么这两个数的最大公因数是1;最小公倍数是它们的乘积.49. 两个数公因数只有1的几种特殊情况：1和其他自然数;相邻两个自然数;两个质数.50. 分数化成小数：用分子除以分母化成小数.小数化成分数：把小数写成分母是10;100;1000……的分数;然后再化成最简分数.。
保险精算习题及答案
第一章：利息的基本概念练 习 题1．已知()2a t at b =+，如果在0时投资100元，能在时刻5积累到180元，试确定在时刻5投资300元，在时刻8的积累值。
(0)1(5)25 1.80.8,125300*100(5)300180300*100300*100(8)(64)508180180a b a a b a b a a a b ===+=⇒===⇒=+= 2．(1)假设A(t)=100+10t, 试确定135,,i i i 。
135(1)(0)(3)(2)(5)(4)0.1,0.0833,0.0714(0)(2)(4)A A A A A A i i i A A A ---======(2)假设()()100 1.1nA n =⨯，试确定 135,,i i i 。
135(1)(0)(3)(2)(5)(4)0.1,0.1,0.1(0)(2)(4)A A A A A A i i i A A A ---======3．已知投资500元，3年后得到120元的利息，试分别确定以相同的单利利率、复利利率投资800元在5年后的积累值。
11132153500(3)500(13)6200.08800(5)800(15)1120500(3)500(1)6200.0743363800(5)800(1)1144.97a i i a i a i i a i =+=⇒=∴=+==+=⇒=∴=+=4．已知某笔投资在3年后的积累值为1000元，第1年的利率为 110%i =，第2年的利率为28%i =，第3年的利率为 36%i =，求该笔投资的原始金额。
123(3)1000(0)(1)(1)(1)(0)794.1A A i i i A ==+++⇒=5．确定10000元在第3年年末的积累值:(1)名义利率为每季度计息一次的年名义利率6%。
(2)名义贴现率为每4年计息一次的年名义贴现率6%。
(4)12341()410000(3)10000(1)11956.18410000(3)10000111750.0814i a i a =+=⎛⎫ ⎪=+= ⎪ ⎪⎝⎭6．设m ＞1，按从大到小的次序排列()()m m d di i δ<<<<。
保险精算学(王晓军等)
保险精算学
中国人民大学统计学院 主讲教师： 王晓军 黄向阳 王 燕
教材
指定教材
Kellison,S.G.，Theory of Interest，2nd Edition,SOA，1991. Bowers,N.L，Actuarial Mathematics，2nd Edition，SOA，1997. 王晓军等，保险精算学，中国人民大学出版社， 1995。
参考资料
课程结构
基础
利息理论基础 生命表基础
核心
保费计算 责任准备金计算 多重损失模型 保单的现金价值与红利 特殊年金与保险 寿险定价与负债评估
拓展
第一章
利息理论基础
利息理论要点
利息的度量 利息问题求解的原则 年金 收益率 分期偿还表与偿债基金
第一节
t 0.05(1 t )2
例1.4答案
1、1000 10 1000 100.05 1648 72 e e .
10
2、 1000 0 e
0.05(1t )
2
dt
1000 e
0.05 0 1 t 10
1046 50 .
三、变利息
寿险精算习题及答案
习题第一章人寿保险一、n 年定期寿险【例4.1】设有100个40岁的人投保了1000元5年期定期寿险，死亡赔付在死亡年年末，利率为3%。
I 、如果各年预计死亡人数分别为1、2、3、4、5人，计算赔付支出； II 、根据93男女混合表，计算赔付支出。
解：I表4–1 死亡赔付现值计算表根据上表可知100张保单未来赔付支出现值为：48.13468)03.1503.1403.1303.1203.11(100054321=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯-----（元）则每张保单未来赔付的精算现值为134.68元，同时也是投保人应缴的趸缴纯保费。
解：II表4–2 死亡赔付现值计算表根据上表可知100张保单未来赔付支出现值为：86.9124)03.103.103.103.103.1(1000540|4440|3340|2240|11402=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯-----q q q q q （元）则每张保单未来赔付的精算现值为91.25元，同时也是投保人应缴的趸缴纯保费。
【例4.2】某人在40岁时投保了10000元3年期定期寿险，死亡赔付在死亡年年末，利率为5%。
根据93男女混合表计算：I 、单位趸缴纯保费；II 、单位赔付现值期望的方差；III 、（总）趸缴纯保费； 解：I 、单位趸缴纯保费为，)()(424023414024040|2340|1240240|11|3:40q p v q p v vq q v q v vq q v Ak k k ++=++=⨯=∑=+]05.1001993.0)001812.01()00165.01(05.1001812.0)00165.01(05.100165.0[32⨯-⨯-+⨯-+=00492793.0=（元）。
II 、单位赔付现值期望的方差为，00444265.0)()()()(21|3:4040|2640|1440221|3:40240|)1(221|3:401|3:402=-++=-⨯=-∑=+A q v q v q v A q v AAk k k III 、趸缴纯保费为，28.49100001|3:40=⨯A （元） 【例4.3】某人在50岁时投保了100000元30年期定期寿险，利率为8%。
寿险精算基础智慧树知到课后章节答案2023年下山东大学
寿险精算基础智慧树知到课后章节答案2023年下山东大学山东大学绪论单元测试1.寿险精算是以概率论和数理统计为工具，研究人寿保险中的寿命分布规律、寿险赔付规律、保险费率厘定、责任准备金的计提、保险现金价值的计算等问题的一门学科。
（）答案:对第一章测试1.现在存入一储蓄账户3万元，第2年底存入1万元，第四年末账户累积到5万元，求此账户实质利率（）答案:6.54%2.下列选项中，已知按季度换算的的年名义利率6%，那么5000元在3年末的积累值为（）元。
答案:5467.23.下列选项中，基金A按实际利率6%计息，基金B按年利率8%计息，在20年的年末两个基金之和为10000，在第10年底基金B金额是基金A的两倍，求第5年底时两个基金账户的价值和为（）答案:3451.54.下列选项中，与按季度换算的年贴现率等价的（每4年换算一次的年名义利率）=（）答案:5.下列选项中，向基金A投资5000元，按积累，基金Y也投资5000元，前3年按照半年换算的年名义利率8%计息，三年以后按年实际利率i计息。
4年末时两个基金账户值相同，求i=（ )答案:0.0786.下列选项中，已知，求 =（）0.05717.下列选项中，年金A月末支付8总共支付3年，年金B每月末支付10共支付1.5年，假设月实际利率为i，两个年金现值相同，求i=（）答案:8%8.下列选项中，永续年金A每年底支付15，等差递增型永续年金B每年末支付1、2、3、…，年金A和B采用相同的年利率i计息，且现值相同，求i=（）答案:7.1%9.张先生从银行贷款20万元，计划每半年还款一次，等额偿还，4年还清。
采用按半年换算的年名义利率7%计息，求每次还款的金额为（）元。
答案:2909510.对于利率为i，已知，则i=（）。
答案:第二章测试1.已知（）答案:0.0012.已知(x)剩余寿命T服从密度函数为的分布，求=（）。
答案:3.已知（）答案:4.下列选项中，假设非整数年龄服从Balducci调和加权平均假设，的正确表达式是（）。
寿险精算学(chenxu)
《保险法》规定
财产保险业务，包括财产损失保险，责任
保险，信用保险等保险业务 人身保险业务包括人寿保险，健康保险， 意外伤害保险等业务。 同一保险人不得同时兼营财产保险业务和 人身保险业务。 但是，经营财产保险业务的保险公司经保 险监督管理机构核定，可经营短期健康保 险业务和意外伤害保险业务。
死亡效力
死亡效力与密度函数的关系
f ( x) x s( x) x exp{ s ds}
0 x
死亡效力表示剩余寿命的密度函数 g (t )
s( x) s( x t ) G (t ) 1 t px s( x) d d s ( x) s ( x t ) s ( x t ) x t g (t ) G (t ) t px x t dt dt s( x) s( x)
整值剩余寿命
( 定义：x) 未来存活的完整年数，简记
K ( x) k , k T ( x) k 1, k 0,1,
K ( x)
概率函数
Pr( K ( x) k ) Pr( k T ( x) k 1)
k 1
qx k qx k px k 1 px
k px qx k k qx
剩余寿命的期望与方差
期望剩余寿命： x) 剩余寿命的期望值(均值),简记 (
ex E (T ( x)) td (1 t px ) t px dt
0 0 o
o
ex
剩余寿命的方差
Var (T ( x)) E (T ( x ) 2 ) E (T ( x)) 2 2 t t p x dt ex
保单组中条件：