3.1.1有理指数幂及其运算
高中数学第三章基本初等函数(ⅰ)3.1.1实数指数幂及其运算bb高一数学
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计算：
(1)(－1．8)0＋32－2·3
3382－
1＋ 0.01
93；
(2)14－12·0.1（－2·4（aba－31b）－33）12(a＞0，b＞0)．
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解：(1)原式＝1＋232·28732－10＋923 ＝1＋232·322－10＋27＝29－10＝19． (2)原式＝412·0．12·23·a32·a32·b－b32 －32
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条件求值问题的解法 (1)求解此类问题应注意分析已知条件，通过将已知条件中的 式子变形(如平方、因式分解等)，寻找已知式和待求式的关系， 可考虑使用整体代换法． (2)利用整体代换法解决分数指数幂的计算问题，常常运用完 全平方公式及其变形公式．
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4 （－3）4×2． A．0 个 C．2 个
B．1 个 D．3 个
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解析：选 A．3 6a3＝3 6·a≠2a；3 －2<0，而6 （－2）2>0； －34 2<0，而4 （－3）4×2>0．
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3．把根式 a a化成分数指数幂是( )
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2．把下列根式表示为分数指数幂的形式，把分数指数幂表示 为根式的形式：
3
(1)(a－b)－4(a＞b)；(2)
5
（ab）2；(3)
3
（x－1）5；
(4) 1 ；(5)(a－b)37． 3 a2
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人教B版数学高一版必修1学案实数指数幂及其运算(1)
数学人教B 必修1第三章3.1.1 实数指数幂及其运算1．理解有理指数幂的含义，会用幂的运算法则进行有关计算． 2．通过具体实例了解实数指数幂的意义．3．通过本节的学习，进一步体会“用有理数逼近无理数”的思想，可以利用计算器或计算机实际操作，感受“逼近”的过程．1．整数指数幂(1)正整指数幂的定义：______＝n a a a a ⋅⋅⋅⋅个(n ∈N ＋)． (2)正整指数幂的运算法则： ①a m ·a n ＝______； ②(a m )n ＝______；③a m ÷a n ＝____________(m ＞n ，a ≠0)； ④(ab )n ＝________； ⑤⎝⎛⎭⎫a b n ＝a n bn (b ≠0)．在上述法则③中，限定m ＞n ，如果取消这种限制，则正整指数幂就推广到了整数指数幂．但要规定a 0＝1(a ≠0)．a －n ＝1an (a ≠0，n ∈N ＋)．这样一来，上面的五条运算法则就可以归纳为三条：①a m ·a n ＝______； ②(ab )n ＝______； ③(a m )n ＝______.同时，将指数的范围扩大到了整数．【做一做1】已知a ＞0，m ，n 为整数，则下列各式中正确的有( ) A ．a m÷a n＝m naB ．a n ·a m ＝a m ·nC ．(a n )m ＝a m ＋nD ．1÷a n ＝a 0－n 2．根式(1)根式的定义：式子______叫做根式，这里n 叫做________，a 叫做________．(2)n 次方根的定义：如果存在实数x ，使得______(a ∈R ，n ＞1，n ∈N ＋)，则____叫做____的n 次方根．(3)n 次方根的性质：①在实数范围内，正数的奇次方根是一个______，负数的奇次方根是一个______，零的奇次方根是____．设a ∈R ，n 是大于1的奇数，则a 的n 次方根是________．②在实数范围内，正数的偶次方根是________________的数，零的偶次方根是______，负数的偶次方根________．设a ≥0，n 是大于1的偶数，则a 的n 次方根是________．其中________叫做a 的n 次算术根．(4)根式的性质：①(na )n ＝____(n ＞1，且n ∈N ＋)；②na n＝⎩⎪⎨⎪⎧，当n 为奇数时， ，当n 为偶数时.正数开方要分清，根指奇偶大不同， 根指为奇根一个，根指为偶双胞生． 负数只有奇次根，算术方根零或正， 正数若求偶次根，符号相反值相同． 负数开方要慎重，根指为奇才可行， 根指为偶无意义，零取方根仍为零．【做一做2】计算3(－8)3＋4(3－2)4－(2－3)2＝________. 3．分数指数幂(1)如不特别说明，我们约定底数a ＞0.于是，正分数指数幂可定义为1na =________(a ＞0)；m na =________(a ＞0，m ，n ∈N ＋，且mn 为既约分数)．负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相同，同样可定义为m na-=________(a ＞0，m ，n ∈N ＋，且mn为既约分数)．(2)有理指数幂的运算法则：①a αa β＝a α＋β(a ＞0，α，β∈Q )； ②(a α)β＝a αβ(a ＞0，α，β∈Q )；③(ab )α＝a αb α(a ＞0，b ＞0，α∈Q )．0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义，有理指数幂的三条运算法则实际上可推广到实数指数幂．【做一做3－1】把根式a a 化成分数指数幂是( )A ．32()a - B ．32()a -- C ．32a - D ．32a【做一做3－2】计算：23×31.5×612. 4．无理指数幂教材中通过实例利用______的思想理解无理指数幂的意义． 一般地，无理指数幂a α(a ＞0，α是无理数)是一个确定的实数． 另外，我们要熟记经常要用的公式：(1)a －b ＝(a －b )(a ＋b )(a ＞0，b ＞0)； (2)a ±2ab ＋b ＝(a ±b )2(a ＞0，b ＞0)． 【做一做4】判断正误： (1)23是一个有理数．( )(2)23不是一个确定的数，而是一个近似值．( ) (3)23没有意义．( ) (4)23是一个实数．( )一、辨析(n a )n 和na n剖析：(na )n 是实数a 的n 次方根的n 次幂，其中实数a 的取值由n 的奇偶性来决定： ①当n 为大于1的奇数时，a ∈R .例如，(327)3＝27，(5－32)5＝－32，(70)7＝0； ②当n 为大于1的偶数时，a ≥0.例如，(427)4＝27，(3)2＝3，(60)6＝0；若a ＜0，式子(na )n 无意义，例如，(－2)2，(4－54)4均无意义．由此只要(n a )n 有意义，其值恒等于a ，即(na )n ＝a .na n 是实数a n 的n 次方根，是一个恒有意义的式子，不受n 的奇偶性限制，a ∈R .但是这个式子的值受n 的奇偶性限制：①当n 为大于1的奇数时，其值为a ，即n a n ＝a ，例如，3(－2)3＝－2，56.15＝6.1； ②当n 为大于1的偶数时，其值为|a |，即n a n ＝|a |.例如，434＝3，(－3)2＝|－3|＝3.由此n a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，n ＝2k －1，k ∈N ＋，且k >1，|a |，n ＝2k ，k ∈N ＋.二、根式与分数指数幂互化的条件探究剖析：(1)引入分数指数幂之后，任何有意义的根式都能化成分数指数幂，即na ＝1na ，这时被开方数a 即是分数指数幂的底数，根指数的倒数即是分数指数幂的幂指数，显然1na 是m na 当m ＝1时的特例．(2)分数指数幂的意义来源于根式，而要使na m 对任意的n ∈N ＋且n ＞1都有意义，必须限定a ＞0，否则，当a ＝0时，若m ＝0或mn 为分母是偶数的负分数，mn a 没有意义；当a ＜0时，若m 为奇数，n 为偶数，m na 没有意义．(3)我们可以从一实例看看为什么会加上这个限制条件，如：－3＝3－27＝1236(27)(27)-=-6(－27)2＝6729＝3.为什么会出现－3＝3这种情况？看看错在了哪里？因为这里的－3＜0，在1236(27)(27)-=-中发生了错误，分数的分子、分母扩大相同的倍数分数值不变，有这个性质，必须限制条件“a ＞0”或“a ＞0，b ＞0”．在进行幂和根式的化简时，一般是先将根式化成幂的形式，并化小数指数幂为分数指数幂，且尽可能地统一成分数指数幂的形式，再利用幂的性质进行化简、求值、计算，以利于运算，达到化繁为简的目的．对于根式计算结果，并不强求统一的表示形式，一般用分数指数幂的形式来表示．如果有特殊要求，则按要求给出结果，但结果中不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既含有分母又含有负指数，即结果必须化为最简形式．题型一 简单的指数幂运算 【例1】计算：(1)2312527-⎛⎫⎪⎝⎭； (2)230.008-； (3)34812401-⎛⎫⎪⎝⎭； (4)(2a ＋1)0； (5)⎣⎡⎦⎤56－⎝⎛⎭⎫35－1－1.分析：在幂的运算中，首先观察幂的底数，如果幂的底数能化成幂的形式时(如(1)(2)(3))，就先把幂的底数写成幂的形式，再进行幂的乘、除、乘方、开方运算，这样比较简便．在幂的运算中，对于形如m 0的式子，要注意对底数m 是否为零进行讨论，因为只有在m ≠0时，m 0才有意义；而对于形如⎝⎛⎭⎫b a －n的式子，我们一般是先变形为⎝⎛⎭⎫a b n ，然后再进行运算．反思：在进行有关幂的运算时，要注意化归思想的运用；另外化繁为简一直是我们解题的一条基本原则．熟悉幂的运算条件和幂的运算性质是正确解题的关键．题型二 利用根式的性质化简根式 【例2】化简下列各式： (1)3a 3； (2)2 010(x －4)2 010； (3)a 6； (4)2 011(x －7)2 011.分析：根据n a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，n 为奇数，|a |，n 为偶数来化简．反思：通过对本题的解答，大家一定要注意区分好n a n 与(na )n 的形式，并且要建立分类讨论的思想意识．题型三 根式与分数指数幂的互化【例3】(1)把2112 011-化为根式为__________；(2)把1(x ≠0)化为分数指数幂的形式为__________；(3)b ＞0)化为分数指数幂的形式为__________．反思：通过本例题，我们能得到如下结论：(1)分数指数幂不表示相同因式的乘积，而是根式的另一种写法，分数指数幂与根式可以相互转化．(2)当所求根式含有多重根号时，由里向外用分数指数幂形式写出，然后再用性质进行化简．题型四 整体代入法求值 【例4】已知11223a a-+=，求a ＋a －1，a 2＋a －2的值．分析：本题主要考查分数指数幂及其应用．观察到11221a a -=，对已知等式两边平方即可求解．反思：本题是已知代数式的值求其他代数式的值，通常又简称为“知值求值”．解决此类题目要从整体上把握已知的代数式和所求的代数式的特点，常以整体代入来求值．【例5】已知x ＋y ＝12，xy ＝9，且x ＜y ，求11221122x y x y-+的值．分析：此题不宜采用直接求值的方法，要考虑把x ＋y 及xy 整体代入求值．反思：整体代入法在条件求值中非常重要，也是高中数学中一种重要的解题方法．在此题的解题过程中，不宜求出x ，y 后再代入，而应考虑把x ＋y 及xy 整体代入求值．1下列等式中一定成立的有( ) ①36a 3＝2a ；②3－2＝6(－2)2；③－342＝4(－3)4×2.A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2当2－x 有意义时，化简x 2－4x ＋4－x 2－6x ＋9的结果为( ) A ．2x －5 B ．－2x －1 C ．－1 D ．5－2x 3求下列各式的值：(1)(325－125)÷45；(2)a 3a ·5a 3(a ＞0)．答案： 基础知识·梳理1．(1)a n (2)①a m ＋n ②a mn ③a m －n ④a n b n ①a m ＋n ②a n b n ③a mn【做一做1】D 只有选项D 是按照幂的运算法则进行的．选项A 应为a m －n ，选项B 应为a m ＋n ，选项C 应为a mn .2．(1)n a 根指数 被开方数 (2)x n ＝a x a (3)①正数 负数 零 n a ②两个绝对值相等符号相反 零 没有意义 ±n a na (4)①a ②a |a |【做一做2】－8 原式＝－8＋|3－2|－(2－3)＝－8＋2－3－2＋3＝－8.3．(1)n a n a m 1m na【做一做3－1】D【做一做3－2】解：23×31.5×612＝1113262323(32)2⎛⎫⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭＝1111113323623236-+++⨯=⨯=. 4．逼近【做一做4】(1)× (2)× (3)× (4)√ 典型例题·领悟【例1】解：(1)2233331255273--⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝5－23－2＝3252＝925. (2)2223223310.008(0.2)0.25255----⎛⎫===== ⎪⎝⎭.(3) 33444481324017--⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝3－37－3＝7333＝34327. (4)(2a ＋1)0＝⎩⎨⎧1， a ≠－12，无意义， a ＝－12.(5)⎣⎡⎦⎤56－⎝⎛⎭⎫35－1－1＝⎝⎛⎭⎫56－53－1 ＝⎝⎛⎭⎫－56－1＝－65. 【例2】解：(1)3a 3＝a . (2)2 010(x －4)2 010＝|x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≥4，4－x ，x <4.(3)a 6＝(a 3)2＝|a 3|＝⎩⎪⎨⎪⎧a 3，a ≥0，－a 3，a <0.(4)2 011(x －7)2 011＝x －7.【例3】(1)1112 0112(2)35x-(3)19b利用m na=a ＞0，m ，n ∈N ＋，且mn 为既约分数)和1m nmna a-=(a ＞0，m ，n ∈N ＋，且mn 为既约分数)转化即可．(1)原式＝12 011211＝1112 0112；(2)==＝3591353511()x x x-==.(3)原式＝2221211()3334394[()]b bb ---⨯⨯-==.【例4】解：∵11223a a-+=，∴211229a a -⎛⎫+= ⎪⎝⎭.∴a ＋2＋a －1＝9.∴a ＋a －1＝7.∴(a ＋a －1)2＝49，∴a 2＋2＋a －2＝49.∴a 2＋a －2＝47.【例5】解：211221122111111 222222x yx yx y x y x y⎛⎫-⎪-⎝⎭=⎛⎫⎛⎫++-⎪⎪⎝⎭⎝⎭＝12 ()2()x y xyx y+--.①∵x＋y＝12，xy＝9，②∴(x－y)2＝(x＋y)2－4xy＝122－4×9＝108. ∵x＜y，∴x－y＝－6 3.③将式②③代入式①，得11122211229x yx y-==+随堂练习·巩固1．A 36a3＝36·a≠2a；3－2＜0，而6(－2)2＞0；－342＜0，而4(－3)4×2＞0.2．C由2－x有意义，得x≤2，∴原式＝(x－2)2－(x－3)2＝|x－2|－|x－3|＝2－x－(3－x)＝－1.3．解：(1)原式＝23 23132 3241455 (55)55--÷=＝213155 3424124 5555 ---=-.(2)原式＝1319 3325103152aa aa a--==⋅.。
有理数指数幂运算法则
有理数指数幂运算法则有理数指数幂运算是数学中的一个重要概念，它涉及到有理数的乘方运算。
在学习有理数指数幂运算法则之前，我们首先需要了解什么是有理数、指数和乘方运算。
有理数是可以表示为两个整数的比值的数，包括正整数、负整数、零以及分数。
指数是表示一个数的乘方的方式，例如，a^n中的n就是指数，表示将a连乘n次。
乘方运算是指数的具体计算过程，比如2^3就表示2连乘3次，结果为8。
有理数指数幂运算法则包括以下几个重要的概念和规则：1. 有理数的乘方有理数的乘方是指将一个有理数连乘若干次。
当指数为正整数时，乘方的计算比较简单，例如2^3=2*2*2=8。
当指数为负整数时，乘方的计算涉及到倒数的概念，例如2^(-3)=1/(2*2*2)=1/8。
当指数为0时，任何非零数的0次方都等于1，即a^0=1(a≠0)。
2. 乘方的性质有理数的乘方具有一些重要的性质，包括乘法性质、除法性质、幂的乘法性质和幂的除法性质。
乘法性质指的是同底数的乘方相乘时，底数不变，指数相加，即a^m * a^n = a^(m+n)。
除法性质指的是同底数的乘方相除时，底数不变，指数相减，即a^m / a^n =a^(m-n)。
幂的乘法性质指的是幂的乘方等于底数不变，指数相乘，即(a^m)^n = a^(m*n)。
幂的除法性质指的是幂的除法等于底数不变，指数相除，即(a/b)^m = a^m / b^m。
3. 有理数指数幂的运算有理数指数幂的运算是指在乘方的基础上，引入有理数指数的概念。
当指数为有理数时，乘方的计算涉及到开方的概念，例如2^(1/2)表示对2进行开平方，结果为根号2。
有理数指数幂的运算可以通过化简指数为整数的乘方运算来进行，例如2^(3/2)可以化简为(2^3)^(1/2)=8^(1/2)=根号8。
4. 有理数指数幂的运算法则有理数指数幂的运算法则包括以下几点：- 当指数为正整数时，按照普通乘方运算法则进行计算；- 当指数为负整数时，先将底数取倒数，然后按照普通乘方运算法则进行计算；- 当指数为0时，结果为1；- 当指数为分数时，可以化简为整数乘方或开方运算，然后按照普通乘方运算法则进行计算。
高中新课程数学(新课标人教B)必修1《有理指数幂及其运算》课件
• MATHEMATICS n数学第三章基本初等函数（I）3. 1指数与指数函数3. 1.1实数指数幕及其运算【课标要求】1.理解有理指数幕的含义，会用幕的运算法则进行有关运算.2.了解实数指数幕的意义.【核心扫描】1-根式与分数指数幕的互化.（重点）2.根式的性质.（易混点）3.有理指数幕运算性质的应用.（难点）KEQIANTANJIUXUEXI》课前探究学习挑战自我［点点落实自学导引1."次方根的概念（1）如果存在实数兀，使得心,则X叫做。
的〃次方根.（2）当紡有意义的时候，式子黑叫做根式,这里"叫做根指数,a叫做被开方数.2.根式的性质（1）（般）"=丄（卅＞1 且〃UN+）；（卅为奇数且〃＞1, 〃WN+）（〃为偶数且卅＞1, 〃UN+）\a\3.分数指数幕的定义:(1)规定正数的正分数指数幕的意义是：in _Q 去二(Q〉() 9 "、m w N 9 且刃〉1 )；(2)规定正数的负分数指数幕的意义是(°〉()山、m. e N * ,且几 > 1)；(3)0的正分数指数幕为(),0的负分数指数幕4.有理数指数幕的运算性质(l}aa=ar+s(a>0,厂、泻Q)；(2)@丫= _(a>0,厂、$WQ)；(3YabY=arbr(a>0, b>0,胆Q)・试一试：分数指数幕血及（乙（nN,且叫"互质）的底数有何取值范围？提不（帀='Q,当m为奇数时，底数a e R,当m为偶数时,dM（）;_2l_ ["〃‘二石亍当尬为奇数时，HO且＜/ e R，当肌为偶数时，a > 0.想一想：防（〃WN+）与（裁）"（”WN+）对任意实数a都有意义吗？提示式子勺刁（“WN+）对任意实数a都有意义；而式子（第）"（〃WN+）,当n为奇数时，对任意实数a都有意义；当n 为偶数时，对负数a没有意义.名师点睛1.根式紡的符号：根式紡的符号由根指数〃的奇偶性及被开方数Q的符号共同确定；当〃为偶数时，。
高中数学：3.1.1.2有理指数幂及其运算
（3）正数的奇次方根是一个，负数的奇次方根是一个，
都表示为。
2、正数 的正 次方根叫做 的 次。
3、当 有意义的时候， 叫做， 叫做。
☆合作探究达成共识
1、等式 与 一定成立吗？
2、正分数指数幂：
若 ，那么 ；
若 ，那么 ；
3、负分数指数幂： 。
4、至此，我们已经把整数指数幂推广到有理指数幂，设 ，对任意有理数 有如下三条运算法则：
学习难点
体会指数的变化过程。
☆旧知回顾（引入新课）
1、如果 ，则 叫做 的（或）。
当 时，有个平方根，它们互为，正平方根为，负平方根为；
当 时， =；
当 时，在实数范围内没有平方根。
2、如果 ，则 叫做 的（或）。
在实数范围内 有个立方根，记作。☆自主预习1源自如果存在实数 ，使得 ，则 叫做。
（1）正数的偶次方根有两个，它们互为相反数，分别记为；
课题
3.1.1.2有理指数幂及其运算
课型
合作课
学习目标
１、知识与技能：知道根式、有理指数幂的定义，能运用有理指数幂的运算法则解决一些计算问题。
２、过程与方法：学生通过阅读教材，自主学习、组内合作交流、讨论探究；
３、情感、态度与价值观：通过指数范围的不断扩充，让学生体会数学知识的形成过程。
学习重点
有理指数幂的运算法则及其应用。
（1） （2） （3）
☆基础训练
1、计算：
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
2、用分数指数幂表示下列各式
（1） （2）
（3） （4）
☆我的收获与困惑
师生反思：
有理数指数幂的运算
有理数指数幂的运算有理数指数幂是数学中的一个重要概念，它涉及到数的运算、指数、幂等基本概念。
在本文中，我们将讨论有理数指数幂的基本运算法则以及一些应用。
定义：有理数指数幂是指一个有理数作为底数，一个有理数作为指数，两者运算所得的结果。
有理数指数幂的基本运算法则如下：1. 同底数幂相乘，指数相加对于同一有理数a的幂am和an，当底数相同时，指数相加得到新的指数，即 am × an = am+n。
2. 同底数幂相除，指数相减对于同一有理数a的幂am和an，当底数相同时，指数相减得到新的指数，即 am ÷ an = am-n。
3. 幂的幂，指数相乘对于同一有理数a的幂am，当将其作为指数时，指数相乘得到新的指数，即 (am)n = amn。
4. 乘方与开方互为逆运算对于有理数a，m和n为任意整数，(am)n = amn。
5. 0的指数为1，1的任何指数为1任何有理数a的0次方都等于1，即 a^0 = 1；而1的任何指数都等于1，即 1^n = 1。
有理数指数幂的运算法则在实际生活和数学问题中有着广泛的应用。
应用一：科学计数法科学计数法是一种用于表示过大或过小数的方法。
它由两个因子组成，一个是大于等于1且小于10的实数，另一个是10的整数次方。
科学计数法可以简化大数或小数的书写和运算，并方便进行数字间的比较。
应用二：利息计算在金融领域，利息计算通常涉及有理数指数幂的运算。
例如，计算复利时，每年的利息是本金的一定比例，当利息再次投资时，利息也会得到增加。
这种增加的过程可以用有理数指数幂来表示和计算。
应用三：导数和微分在微积分中，导数和微分等运算都涉及到有理数指数幂的计算。
导数表示了函数在某一点处的变化率，微分则是对函数进行近似线性的变换。
这些运算常常会用到有理数指数幂的法则来简化计算过程。
总结：有理数指数幂运算是数学中一个重要的概念，它应用广泛，并且有着严格的运算法则。
通过熟悉和掌握这些运算法则，我们可以更加方便地处理数学问题，以及在实际生活中应用数学知识。
高中数学 第三章 基本初等函数(Ⅰ)3.1 指数与指数函数 3.1.1 有理指数幂及其运算同步测控
有理指数幂及其运算同步测控我夯基,我达标1.把根式52)(2---b a 改写成分数指数幂的形式为( ) A.-2(a-b)52- B.-2(a-b)52-C.-2(a52--b52-)D.-2(a52--b52-)解析：原式可化为-2（a-b ）52-.答案：A2.下列根式、分数指数幂的互化中，正确的是…( ) A.x -=(-x)21(x≠0)B.x31-=3x -C.(yx )43-=43)(x y (xy≠0)D.62y =y 31(y<0)解析：根据根式、分数指数幂的意义，可得选项C 正确. 答案：C3.当a 、b∈R ，下列各式总能成立的是( )A.)(66b a -=a-bB.8822)(b a +=a 2+b 2C.4444b a -=a-bD.1010)(b a +=a+b解析：取a=0,b=1,A 不成立;取a=0,b=-1,C 不成立;取a=-1,b=-1,D 不成立;因为a 2+b 2≥0, 所以B 正确. 答案：B4.下列说法中正确的命题个数是( ) (1)-2是16的四次方根 (2)正数的n 次方根有两个 (3)a 的n 次方根就是n a (4)n n a =a(a≥0) A.1B.2C.3D.4解析：从n 次方根和n 次根式的概念入手，认清各概念与各符号之间的关系.此题主要目的是分清n 次方根是什么和有几个，进一步明确根式进行简单运算的依据. (1)是正确的,由(-2)4=16可验证. (2)不正确，要对n 分奇偶讨论.(3)不正确，a 的n 次方根可能有一个值，可能有两个值，而n a 只表示一个确定的值,它叫根式.(4)正确，根据根式运算的依据，当n 为奇数时，n n a =a 是正确的，当n 为偶数时，若a≥0，则有n n a =a ，综上，当a≥0时，无论n 为何值均有n n a =a 成立. 答案：B5.若a m=2，a n=3，则a 23n m -=__________.解析：先求ma3，nm a-3,n m aa 3=38，∴a 23nm -=38=362. 答案：362 6.化简107532aa a a ••（a ＞0）＝________.解析：先将根式化成分数指数幂再运算.原式＝57107532107212a a aa a ==••-+--.答案：57a 7.计算：（1）3253--(22710)32-+0.5-2；（2）1.531-×(67-)0+80.25×42+(323⨯)632)32(--. 分析:指数为小数时化为分数的形式，底数为根式时，化为指数式，并根据运算法则的顺序进行计算.解：（1）原式=(25)53--(2764)32-+(21)-2 =2-3-［(43)3］32+22=16981-+4 =1657. （2）原式=(32)31×1+(23)41×241+(231)6×(321)6-［(32)32］21=(32)31+(23×2)41+22×33-(32)31=2+4×27=110.我综合,我发展8.设α、β是方程5x 2+10x+1=0的两个根.则2α·2β=____________,(2α)β=_________. 解析：利用一元二次方程根与系数的关系得α+β,αβ.由题意得α+β=-2,αβ=51,则2α·2β=2α+β＝2-2=41,(2α)β=2αβ=251.答案：412519.已知x 31+x31-=4，求（1）x+x -1，（2）x 21+x21-的值.分析:题中（1）x+x -1是(x 31)3+(x31-)3可以用立方和公式求解，同时知道x 值是正数.求出x+x-1后再反用完全平方公式就能找到求x 21+x 21-的途径.解：（1）∵x 31+x 31-=4,∴x+x -1=(x 31+x 31-)(x 32-1+x32-)=(x 31+x31-)［(x 31+x31-)2-3］=4(42-3) =52.（2）∵x>0,∴x 21+x 21->0.∵x+x -1=52, ∴x 21+x21-=22121)(-+xx =12-++x x =6354252==+.10.已知a<b<0，n>1,n∈N *,化简n n b a )(-+n n b a )(-.分析:由a 的n 次方根的概念，对于根指数n ，要区分它为正偶数和正奇数的情况，增强分类讨论的意识.特别是正偶数的情况，开方以后的结果要带有绝对值符号，再根据已知条件去掉绝对值符号.解：当n 是奇数时，原式=(a-b)+(a+b)=2a;当n 是偶数时，原式=|a-b|+|a+b|=(b-a)+(-a-b)=-2a. 所以n n b a )(-+n n b a )(- =⎩⎨⎧-.,2,,2为偶数为奇数n a n a11.已知x 21+x 21-=3，求23222323-+-+--x x x x 的值. 分析:已知条件x 21+x21-=3较为复杂，需要整理后再使用，同时注意对平方差（和）、立方差（和）等常用公式的识别. 解：∵x 21+x 21-=3，∴(x 21+x 21-)2=9,即x+x -1=7.∵x 23+x 23-=(x 21+x 21-)(x-1+x -1),∴x 23+x23-=3×(7-1)=18.∵x 2+x -2=(x+x -1)2-2=47, ∴原式=314515247318==--.我创新,我超越12.如图3-1-1，P 1是一块半径为1的半圆形纸板，在P 1的左下端剪出一个半径为21的半圆形纸板P 2，然后依次剪出一个更小的半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）形纸板P 3，P 4，…，P n ，则P n 的半径r n 是__________.图3-1-1解析：由已知可得r 1=（21）0，r 2=（21）1，r 3=（21）2，r 4=（21）3，依次类推r n =（21）n-1.答案：（21）n-113.化简: （1）246-; （2）154-.分析:（1）题中246-的小根号前是-4，化为-2得826-，容易找到4+2=6,4×2=8；（2）中154-小的根号前没有2，变出2得154-=21528-，而5+3=8,5×3=15. 解：（1）原式＝22)2(2222+•⨯- =22|22|)22(2-=-=-.（2）原式＝21528- =2)3(352)5(22+••-=2)35(- =2|35|-=235-=2610-.14.已知2x=a 21+a21-(a ＞1),求1122---x x x 的值.分析:思路一是直接代入求值,比较烦琐,思路二是注意观察研究规律:(x+12-x )(12--x x )=1,先从化简表达式入手.在分数指数幂的运算中,还要注意公式的变式使用,如a 21+b 21=2121ba b a --,a+b=(a 31+b 31)(a 32-a 31b 31+b 32)等.解法一:∵(2x)2=(a 21+a 21-)2=a+2+a -1,∴x 2=41a+21+41a -1. ∴x 2-1=41a 21-+41a -1=41(a 21-a 21-)2.∴1-x 2=21(a 21-a 21-).∴原式=)(21)(21)(21212121212121-----+-a a a a a a =212212121-=---a aa a . 解法二:)1)(1()1(111222222-+---+-=---x x x x x x x x x x=1)1(122-+-x x x=21×21(a 21+a 21-)(a 21-a 21-)+41a 21-+41a -1=41(a-a -1)+41a 21-+41a -1 =21-a .。
3。1。1有理指数幂及其运算2
利用整数指数幂的运算性质推出分数指数幂的运算性质。
让学生理解推倒过程。
教学过程与内容
师生活动与设计意图
备注
三、指导应用，培养能力：
例1 是一个什么样的数呢？
例2化简下列各式：
四、归纳小结，反思提高：
1、分数指数幂的运算性质
2、掌握有理指数幂的运算。
五、布置作业：96页练习B2
抚顺五中高中数学教案上课时间：年月日
课题：§3.1.1有理指数幂及其运算
第课时/周
教师
知识与技能目标：理解分数指数幂的概念，理解有理指数幂的含义，掌握幂的运算。
过程与方法目标：用类比的思想来完成实数指数幂的学习。借助计算器或计算机进一步体会“用有理数逼近无理数”的数学思想。
情感、态度与价值观目标：指数幂的教学中，充分利用计算器或计算机进行实际操作，感受“逼近过程。
重点：分数指数幂的概念及其运算。
难点：实数指数幂的意义。
教具：
教学过程与内容
师生活动与设计意图
备注
一、问题导入，创设情景：
提问1、整数指数幂的运算性质。
2、n次方根的定义。
二、讲授新课，探索新知：
我们可以把整数指数幂的运算法则推广到正分数指数幂，例如指数幂的意义相同，同样可定义：
通过例题让学生熟练掌握分数指数幂的运算性质。
帮助学生分析如何解题。
让学生总结这节所学的分数指数幂的运算性质。
本课时注意问题：
注意分数指数幂运算性质的推导过程。
复
备
存在问题及修改：
学生由根式转化为分数指数幂有些困难。
教学一得：
应多做一些练习让学生熟练掌握分数指数幂的运算。
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教学目标：根式、分数指数幕的概念以及利用分数指数的运算性质进行指数的运算. 教学重点：分数指数幕的概念和分数指数的运算性质•本小节的难点是根式的概念和
分数指数幕的概念•关键是理解分数指数幕和根式的意义.
教学过程：
(1)指数概念的扩充：指数的概念是由乘方概念推广而来的。
相同因数相
乘aaa…a = a n导出乘方，这里的n为正整数。
从复习初中内容开始，首先将n n个
推广为全体整数；然后把乘方、开方统一起来，推广为有理指数；最后，在实数范围内建立起指数概念•
(2)分数指数幕是根式的另一种表示，根式的运算可利用分数指数幕与根式之间的关系转化为分数指数幕的运算•对于问题计算化简的结果，不强求统一用何种形
式来表示.但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.
(3)随着指数范围的扩充，幕的运算性质逐步合并且简化•正整数指数幕的运
算性质如下：
当指数的范围扩大到整数集二之后，幕的运算性质可由5条合并为3条，即:
这3条性质都要遵守零指数幕、负整数指数幕的底数不能等于0的规定.
当指数的范围扩充到有理数集 /以至实数集：后，幕的运算性质仍然是上述
3.1.1 有理指数幕及其运算(一)
（p尹0,且曲e N+）
③〔祇；|宀；
④打
喘»
3条，但要遵守负实数指数幕的底数不能等于
0的规定.
(4) 例1:先化简再用计算机求值 1
(1) (9 -4 ・.5)2 2.31'4
(2) ( . m m 2 -1 . m —「m 2
-1 (其中 m = 8.3) 1 1
例2:已知：a 「a^ =2求下列各式的值
(1) a 2 a ； (2) a 3 a ； (3) a 4
a*.
课堂练习：第97页练习A,练习B
小结：本节学习了根式、分数指数幕的概念以及利用分数指数的运算性质进
行指数的运算.
课后作业：第100页习题3-1A 第1题
精美句子
1、善思则能“从无字句处读书”。
读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了 它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。
读大海，读出了它气势磅礴的 豪情。
读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。
2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂； 幸福是“春种一粒粟，秋收
千颗子”的收获•幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏， 疑义相与析”的愉悦。
幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨 声，花落知多少”的恬淡。
幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。
幸福是“壮 志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。
幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐” 的胸怀。
幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。
3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中, 我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我 们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。
4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。
鲜花，如果害怕凋谢，那它 永远不能开放。
矿石，如果害怕焚烧(熔炉)，那它永远不能成钢(炼成金子)。
蜡烛， 如果害怕熄灭(燃烧)，那它永远不能发光。
航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达 彼岸。
5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。
井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄 了。
笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。
山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚 了。
水例3:化简:
a
2b
中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。
空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就大了。
空中的雁！当你离开队伍时，危险就大了。
地下的煤！你燃烧自己后，贡献就大了
6、朋友是什么？
朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。
朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。
7、一粒种子，可以无声无息地在泥土里腐烂掉，也可以长成参天的大树。
一块铀块，可以平庸无奇地在石头里沉睡下去，也可以产生惊天动地的力量。
一个人，可以碌碌无为地在世上厮混日子，也可以让生命发出耀眼的光芒。
8、青春是一首歌，她拨动着我们年轻的心弦；青春是一团火，她点燃了我们沸腾的热血；青春是一面旗帜，她召唤着我们勇敢前行；青春是一本教科书，她启迪着我们的智慧和心灵。