北师大初一数学上册行程问题
北师大版2024新版七年级数学上册第五章课件：5.3 课时3 行程问题
探究新知
假设爸爸追上小明用了x分钟.
小明5 min走的 路程：80×5
小明在爸爸追时 走的路程：80x
80×5
80x
180x
追上
爸爸追赶小明时走的路程：180x
探究新知
假设爸爸追上小明用了x分钟.
小明 爸爸
80×5
80x
180x
追上
【分析】当爸爸追上小明时，两人所行路程相等， 小明走的总时间－爸爸追的时间=5 min.
探究新知
小明 爸爸
80×5
80x
180x
解：(1)设爸爸追上小明用了x min.
根据题意，得 180x=80x＋80×5.
化简，得
100x=400. x=4.
因此，爸爸追上小明用了4 min．
追上
探究新知
小明每天早上要在7：50之前赶到距家1 000 m的学校上学. 一天，小明以80 m/min的速度出发，5 min后，小明的爸爸发现 他忘了带语文书.于是，爸爸立即以180 m/min的速度去追小明， 并且在途中追上了他.
追及问题
探究新知
小华
小明
他俩能相遇，第一次相遇时 小华比小明多跑了一圈.
同时同地，同向而行 等量关系：小华路程-小明路程=操场一周的长度.
探究新知
等量关系：小华路程-小明路程=操场一周的长度.
解：设经过x秒两人第一次相遇.
依题意，得 15x-5x=400，
解得
x=40.
所以，经过40秒两人第一次相遇.
北师大数学初一上-行程问题-专题分类整理-带部分答案
行程问题一、弄清行程问题中基本的量和它们之间的关系。
行程问题中有三个基本量：速度、时间、路程。
这三个量之间的关系是：路程＝时间×速度：速度＝路程/时间时间＝路程/速度二、行程问题常见类型1、普通相遇问题。
2、追及（急）问题。
3顺（逆）水航行问题。
4、跑道上的相遇（追急）问题三、行程问题中的等量关系所谓等量关系就是意义相同的量能用等量连接的关系。
若路程已知，则应找时间的等量关系和速度的等量关系；若速度已知，则应找时间的等量关系和路程的等量关系；若时间已知，则找路程的等量关系和速度的等量关系。
在航行问题中还有两个固定的等量关系，就是：顺水速度＝静水速度＋水流速度逆水速度＝静水速度＋水流速度【通讯员问题】牢牢把握住关键隐含条件——时间相等。
【火车过桥问题】桥长＋车长=路程速度×过桥时间=路程【火车错车或超车问题】A车长＋B车长=路程速度和×错车时间=错车路程速度差×超车时间=超车路程【流水行船】船速：在静水中的速度水速：河流中水流动的速度顺水船速：船在顺水航行时的速度逆水速度：船在逆水航行时的速度相遇问题1、甲乙两人在一条长400 米的环形跑道上跑步，甲的速度是每分钟跑360米，乙的速度是每分钟跑240米。
两人同时同地同向跑，几秒后两人第一次相遇？分析：本题属于环形跑道上的追及问题，两人同时同地同向而行，第一次相遇时，速度快者比速度慢者恰好多跑一圈，即等量关系为：甲走的路程-乙走的路程=4002.为了迎接2008年北京奥运会，小区倡导大家锻炼身体，聪聪和明明兄弟两人决定每天早起跑步，明明每秒跑4米，聪聪每秒跑6米，如果他们站在百米跑道的两端同时相向起跑，那么几秒后两人相遇？分析：①用线段图表示为：聪聪x秒跑的路程：明明x秒跑的路程：②用符号语言表示为（即列方程）：3.甲乙两人在环形跑道上练习跑步。
已知环形跑道一圈长400米，乙每秒跑6米，甲的速度是乙的4/3倍。
北师大七年级上册追赶小明的行程问题分解
（1）当甲乙两人背向 而行时:
解：设X分钟后两人第 一次相遇，则：
110X+90X=400
200X=400
X=2
答：2分钟后两人第一 次相遇。
(2)当甲乙两人同向而行 时：
解：设X分钟后两人第 一次相遇，则：
110X-90X=400
20X=400
X=20
答： 20分钟后两人第一 次相遇.
1.会借线段图分析行程问题. 2.各种行程问题中的规律及等量关系. a.同向追及问题： ①同地不同时：乙先走一段后甲追
甲
乙
环形跑道问题
已知：V甲>V乙 图一所示实为 相遇问题
甲 乙
环形跑道问题
图二所示实为 追及问题
例4 甲、乙两人在400米的环形跑道上散步， 甲每分钟走110米，乙每分钟走90米，两人同时 从一个地点出发，几分钟后两人第一次相遇。
分析：在环形跑道上运动，分两种情况： （1）背向而行： 甲的行程＋乙的行程=跑道一圈的周长 （2）同向而行： 甲的行程－乙的行程=跑道一圈的周长
A地（甲列车）
甲列车走 过的路程 60X
乙列车走过 的路程80X
（乙列车）B地
A、B两地的距离140千米
解：设两车出发x小时后相遇，则： 60x+80x=140 140x=140 x=1
答:两车出发1小时后相遇。
怎样画线段图呢？
相遇问题
练习3:甲列车从A地开往B地，速度是60千米/ 小时;甲列车出发半小时后，乙列车从B地出发 开往A地，速度是90千米/小时，已知A、B两地 相距200千米，乙列车出发后几小时两车相遇？
练习2：甲、乙两人相距100米，同时同向 而行，甲从A地每秒走8米，乙从B地每秒走 6米，如果甲在乙后，那么甲出发几秒追上 乙？
北师大版(2024)七年级数学上册 第五章 习题课件 第9课 一元一次方程的应用(3)——行程问题
4. (BS七上P151改编)一天早晨，乐乐以80米/分的速度 上学，5分钟后乐乐的爸爸发现他忘了带数学书，爸 爸立即骑自行车以280米/分的速度去追乐乐，并且 在途中追上了他，请解决以下问题： (1)爸爸追上乐乐用了多长时间？
解：(1)设爸爸追上乐乐用了x分钟，则此时乐乐出门
(x＋5)分钟．依题意，得280x＝80(x＋5)，解得x＝2.
答：爸爸追上乐乐用了2分钟．
(2) 爸爸追上乐乐后，乐乐搭爸爸的自行车回到学校，
结果提前了10分钟到校，若爸爸搭上乐乐后的骑行
速度为240米/分，求乐乐家离学校有多远． 解：(2)设爸爸搭上乐乐到学校共骑行了s米． 依题意，得 s s 10 ，解得s＝1 200.
3 答：11张用A方法裁剪，8张用B方法裁剪，可使裁剪出 的侧面和底面恰好全部用完，能做20个盒子．
300 m的隧道需要20 s的时间．隧道的顶上有一盏灯，
垂直向下发光，灯泡照在火车上的时间是10 s. 求这
列火车的长度． 解：设这列火车的长度为x m．依题意，得 300 x x ，解得x＝300.
20 10
答：这列火车的长度为300 m．
7．用长方形硬纸板做三棱柱盒子，每个盒子由3个矩形 侧面和2个正三角形底面组成，硬纸板可以按如图两 种方法进行裁剪．(裁剪后边角料不再利用)
第五章 一元一次方程 第9课 一元一次方程的应用(3)——
行程问题
1. 甲、乙两人从相距18千米的两地同时出发相向而行， 若甲的平均速度是4千米/时，乙的平均速度是5千米/ 时，则两人骑__2__小时后相遇．
2. 一辆慢车的速度为80千米/时，一辆快车的速度为100 千米/时，慢车在前，快车在后，两车之间的距离为 60千米，快车几小时追上慢车？
5.3 第3课时 行程问题(课件)北师大版(2024)数学七年级上册
(2)对于同向同地不同时的问题，如图所示，甲的行程＝乙 先走的路程＋乙后走的路程．
注意：同向而行注意始发时间和地点．
三 相遇问题
例4 小明家离学校2.9公里，一天小明放学走了5分钟之后，他爸爸开 始从家出发骑自行车去接小明，已知小明每分钟走60米，爸爸骑自行 车每分钟骑200米，请问小明爸爸从家出发几分钟后接到小明？
归纳总结
两人从两地出发相向而行的行程问题称为相遇问题． 往往根据路程之和等于总路程列方程．如图所示，甲的行程＋乙的 行程＝两地距离．
练一练
A，B两地相距60千米，甲、乙两人分别从A，B两地出发相向而 行，甲的速度是8千米/时，乙的速度是6千米/时．经过多长时间两人 相距4千米？
A
8x
4
60
6x B
260+260x=300x。 解这个方程，得 x=6.5。 因此，小华用 6.5 min 追上小明。
变式训练：如果小明起跑后1min 小华开始反向跑，那么小华起跑后多长 时间两人首次相遇?
分
同时同地 相背而行
析
小华 小明
解：设经过x秒两人第一次相遇， 依题意，得
260x+300x=400-260。 解得x= 0.25。 因此，小华起跑后 0.25 min 两人首次相遇。
分析：本题是行程问题，故有： 路程=平均速度×时间； 时间=路程÷平均速度.
但涉及水流速度，必须要掌握： 顺水速度=船速+水速； 逆水速度=船速－水速.
方法一
解：设甲、乙两地的距离为x 千米， 等量关系：逆水所用时间－顺水所用时间=1.5
依题意，得 x x 1.5
18 2 18 2 解方程，得 x =120 答：甲乙两地之间的距离为120千米.
北师大数学七年级上册一元一次方程之行程问题
一元一次方程（四）——行程问题【基本关系式】（1）行程问题中的三个基本量及其关系：路程=速度×时间时间＝路程÷速度速度＝路程÷时间（2）基本类型①相遇问题：快行距＋慢行距＝原距②追及问题：快行距－慢行距＝原距【经典例题】例题1.甲、乙两站相距480公里，一列慢车从甲站开出，每小时行90公里，一列快车从乙站开出，每小时行140公里。
（1）慢车先开出1小时，快车再开。
两车相向而行。
问快车开出多少小时后两车相遇（2）两车同时开出，相背而行多少小时后两车相距600公里（3）两车同时开出，慢车在快车后面同向而行，多少小时后快车与慢车相距600公里（4）两车同时开出同向而行，快车在慢车的后面，多少小时后快车追上慢车（5）慢车开出1小时后两车同向而行，快车在慢车后面，快车开出后多少小时追上慢车此题关键是要理解清楚相向、相背、同向等的含义，弄清行驶过程。
故可结合图形分析。
（1）分析：相遇问题，画图表示为：等量关系是：慢车走的路程+快车走的路程=480公里。
解：设快车开出x小时后两车相遇，由题意得，140x+90(x+1)=480解这个方程，230x=390,23161 x 答：快车开出23161小时两车相遇 （2）分析：相背而行，画图表示为：等量关系是：两车所走的路程和+480公里=600公里。
解：设x 小时后两车相距600公里，由题意得，(140+90)x+480=600解这个方程，230x=120 ∴ x= 2312 答：2312小时后两车相距600公里。
（3）分析：等量关系为：快车所走路程－慢车所走路程+480公里=600公里。
解：设x 小时后两车相距600公里，由题意得，(140－90)x+480=600 50x=120 ∴x=答：小时后两车相距600公里。
（4）分析：追及问题，画图表示为：等量关系为：快车的路程=慢车走的路程+480公里。
解：设x 小时后快车追上慢车。
由题意得，140x=90x+480 解这个方程，50x=480 ∴ x=答：小时后快车追上慢车。
初中数学北师大七年级上册第五章一元一次方程行程问题PPT
1 相反数的概念；
2 相反数的性质；
3
相反数的求法。
谢 谢！
⑵甲、乙两站的路程为284千米，一列慢车从甲站开往乙站，每小时行驶48千米； 慢车行驶了1小时后，另有一列快车从乙站开往甲站，每小时行驶70千米。 快车行驶了几小时与慢车相遇？
变式训练
变式题 已知 a 0 ，简化下列各数的符号，并说出是正数、负数？
① a ；
② a ；
③ a ；
④ a ；
⑤ a .
⑺50 m 的短跑比赛用了10 s ，则速度为 ⑸50 m 的短跑比赛用了 t s ，则速度为 ⑹ s m 的短跑比赛用了 t s ，则速度为
km / hh h
a
直线型相遇问题
探究一：同时不同地的相向而行 小明家距离学校1000米，一天下午小明以80米每分钟的速度从学校回家 ，同时爸爸以160米每分钟的速度从家去学校，问经过多久父子相遇？
知识回顾
1.行程问题的基础：路程、速度、时间三者之间的数量关系
路程=
×
即：
（s表示路程，v表示速度，t表示时间）
速度＝
即：
（s表示路程，v表示速度，t表示时间）
时间＝
即：
（s表示路程，v表示速度，t表示时间）
2.行程问题中常见量的单位 路程 千米 米 速度 千米/时 米/秒 时间 小时 分钟 秒
知识回顾
⑴甲、乙两站的路程为360千米，一列快车从乙站开出，每小时行驶72千米； 一列慢车从甲站开出，每小时行驶48千米．两列火车同时开出，相向而行， 经过多少小时相遇？
⑵甲、乙骑自行车同时从相距65千米的两地相向而行，2小时相遇．甲比 乙每小时多骑2.5千米，求乙的时速。
探究二：不同时不同地的相向而行
北师大版七年级上册第五章《一元一次方程》复习资料：行程问题
行程问题
往返问题（去的路程=回的路程）变速重复行走（第一次走的路程=第二次走的路程）
两次不同方式表示同一个量
例1：一艘船从甲码头到乙码头顺流行驶,用了2小时;从乙码头返回甲码头逆流行驶,用了2.5小时.已知水流的速度是3千米/时,求船在静水中的平均速度.
例2：甲从A城去B城,第一天甲车每小时行驶35千米,感觉到的比较晚，第二天甲车每小时行驶40千米,结果发现比第一天提前半小时到达B城.则A,B两城间相距多少千米?
例3.甲、乙两车同时从A城去B城,甲车每小时行驶35千米,乙车每小时行驶40千米,结果乙车比甲车提前半小时到达B城.则A,B两城间相距多少千米?
1
例4：甲、乙两车同时、同地出发去同一目的地，甲车每小时行40千米，乙车每小时行35千米。
途中甲车因故障修车用了3小时，结果甲车比乙车迟1小时到达目的地。
两地间的路程是多少千米？
例5：家住山脚下的孔明同学想从家出发登山游玩，据以往的经验，他获得如下信息：
(1)他下山时的速度比上山时的速度每小时快1千米；
(2)他上山2小时到达的位置，离山顶还有1千米；
(3)抄近路下山，下山路程比上山路程近2千米；
(4)下山用1小时．
根据上面信息，他做出如下计划：
(1)在山顶游览1小时；
(2)中午12：00回到家吃中餐．
若依据以上信息和计划登山游玩，请问：孔明同学应该在什么时间从家出发？
2。
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行程问题
（行程问题可以采用画示意图的辅助手段来帮助理解题意，并注意两者运动时出发的时间和地点）
★要掌握行程中的基本关系：路程＝速度×时间。
★相遇问题（相向而行）：甲走的路程+乙走的路程=全路程
★追及问题（同向而行）：
①同时不同地：甲的时间=乙的时间甲走的路程-乙走的路程=原来甲、乙
相距的路程（甲追乙，甲的速度比乙大，甲追上乙。
）
②同地不同时；甲的时间=乙的时间-时间差甲的路程=乙的路程
（乙先走，甲后走，甲的速度比乙大，甲追上乙。
）
★环形跑道上的相遇和追及问题：
同地反向而行的等量关系是两人所走的路程和=一圈的路程；
同地同向而行的等量关系是两人所走的路程差=一圈的路程。
★船（飞机）航行问题：
顺水（风）速度＝静水（无风）中速度＋水（风）流速度；
逆水（风）速度＝静水（无风）中速度－水（风）流速度。
★车上（离）桥问题：
①车上桥指车头接触桥到车尾接触桥的一段过程，所走路程为一个车长。
②车离桥指车头离开桥到车尾离开桥的一段路程，所走的路程为一个车长
③车过桥指车头接触桥到车尾离开桥的一段路程，所走路成为一个车长+桥长
④车在桥上指车尾接触桥到车头离开桥的一段路程，所行路成为桥长-车长
相遇追击问题
一、相遇问题：若甲乙分别从两地同时出发相向而行，则相遇时甲乙路程之和等于两地的距离。
二、追及问题：若甲乙分别从两地同时出发同向而行，则甲追上乙时甲乙路程之差等于两地的距离。
1.小亮、小科从学校到县城去，小亮每小时走4km ，小科每小时走6km ，小亮先出发1h ，结果小科还比小亮早到1h ，若设学校与县城间的距离为s ，则以下方程正确的是（ ） A.1614-=+s s B.164-=S S C.16
14+=-S S D.1614+=-s s 2、甲乙两地相距460千米．A 、B 两车分别从甲、乙两地开出，A 车每小时行驶60千米，B 车每小时行驶48千米．
（l ）两车同时开出，相向而行，出发后多少小时两车相遇？
（2）两车相向而行，A 车提前半小时出发；B 车开出后多少小时两车相遇？相遇地点距离甲地多远？
（3）两车同向同时开出，B 车在前，出发后多少小时A 车追上B 车？
（4）两车背向而行，同时出发，行驶多少小时两车相距960千米？
（5）两车相向而行，同时出发，相遇后两车继续前进，当A 车到达乙地时，B 车距甲地多远？
3．甲、乙两站相距36千米，一列漫车从甲站出发，每小时 行52千米，一列快车从乙站出发，每小时行70千米，两车同时出发，同向而行，快车在后，______小时追上慢车．
4、甲、乙两人练习100米赛跑，甲每秒跑7米，乙每秒跑6.5米，如果甲让乙先跑1秒，那么甲经过几秒可以追上乙？
5、甲、乙两地相距40千米，摩托车的速度是32千米/时，摩托车与汽车都从甲地出发并同时到达乙地，已知摩托车比汽车早出发15分钟，求汽车的速度是多少？
6、A 、B 两地相距150千米。
一辆汽车以每小时50千米的速度从A 地出发，另一辆汽车以每小时40千米的速度从B 地出发，两车同时出发，相向而行，问经过几小时，两车相距30千米？
环形跑道问题
（1）甲乙从同一地点同时同向出发，甲乙路程之差等于环形跑道的周长
（2）甲乙从同一地点同时背向出发，甲乙路程之和等于环形跑道的周长
1、环形跑道400米，小明跑步每秒行9米，爸爸骑车每秒行16米，两人同时同地反向而行，经过______秒两人相遇．
2、甲、乙两人在环形跑道上练习跑步，已知环形跑道一圈长400米，乙每秒钟跑6米， 甲的速度是乙速度的3
4倍。
（1）甲、乙同时同地同向出发，经过多长时间二人首次相遇？
（2）如果甲、乙两人在跑道上相距8米处同时背向出发，那么经过多少秒两人首次相遇？
（3）如果乙在甲的前面8米处同时同向出发，那么经过多少秒两人首次相遇？
（4）如果甲在乙的前面8米处同时同向出发，那么经过多少秒两人首次相遇？
3、甲、乙两人在周长是400米的环形跑道上散步．若两人从同地同时背道而行，则经过2分钟就相遇．若两人从同地同时同向而行，则经过20分钟后两人相遇．已知甲的速度较快，求二人散步时的速度．
4、乙两人都以不变速度在400米的环形跑道上跑步，两人在同一地方同时出发同向而行，甲的速度为100米/分，乙的速度是甲速度的2
3倍 问（1）经过多少时间后两人首次相遇（2）第二次相遇呢？
5、运动场跑道400m,小红跑步的速度是爷爷的3
5，倍,他们从同一起点沿跑道的同一方向同时出发,5分钟后小红第一次追上了爷爷.
（1）求他们的跑步速度？（2）几分钟后小红与爷爷第二次相遇？
（3）如果小红追上爷爷后立即转身沿相反方向跑，几分钟后小红又一次与爷爷相遇？
三、航行问题 顺水速度=静水速度+水流速度 逆水速度=静水速度—水流速度
1. 已知轮船在河流中来往航行于A 、B 两个码头之间，顺流航行全程需7小时，逆流航行全程需9小时，已知水流速度为每小时3km ，求A 、B 两码头间的路程？若设A 、B 两码头间的路程为xkm ，则所列方程为：（ ）
A. B. C. D.
2、一架飞机在两个城市之间飞行，风速为24千米/小时，顺风飞行需要2小时50分，逆风飞行需要3小时，求两个城市之间的飞行路程？
3、一只船从甲码头到乙码头是顺流行驶，用了2小时；从乙码头返回到甲码头是逆流行驶，用了2.5小时。
如果水流的速度是3千米/小时，求船在静水中的速度？
4、一船在两码头之间航行，顺水需4小时，逆水4个半小时后还差8公里，水流每小时2公里，求两码头之间的距离？
5、小李和同学在“五一”假期去森林公园玩，在溪边的A 码头租了一艘小艇，逆流而上，划行速度约4千米/时.到B 地后沿原路返回,速度增加了50%,回到A 码头比去时少花了20分钟.求A,B 两地之间的路程.
6、某人骑自行车在平路上每时行12千米，上坡路每时行8千米，下坡路每时行15千米.已知一段路中的平路长28千米，某人骑车去时用了5时，回来时用了4时39分，问这段路的上坡和下坡各是多少千米？
7、汽车上坡时每小时行28千米，下坡时每小时行35千米，汽车从A 地到B 地时，下坡路比上坡路的2倍少14千米，按原路返回时，所需要的时间比去时多12分钟，求汽车从A 到B 时，行驶的上坡路和下坡路各是多少千米？
8、从甲地到乙地，先下山后走平路，某人骑自行车从甲地以每小时12千米的速度下山，而以每小时9千米速度通过平路，到乙地55分钟。
他回来时以每小时8千米的速度通过平路，而以每小时4千米速度上山，回到甲地用1
12
小时，求甲、乙两地的距离。
1、一列快车长168米，一列慢车长184米，如果两车相向而行，从相遇到离开需4秒，如果同向而行，从快车追及慢车到离开需16秒钟，求两车的速度。
2、两列迎面行驶的火车，A列速度为20米每秒，B列速度为25米每秒，若A 列车长200米，B列车长160米，则两车错车的时间是几秒？
3、方方以每分钟60米的速度沿铁路边步行，一列长252米的货车从对面而来，从他身边通过用了12秒钟，求列车的速度。
4、甲乙两人沿铁路相对而行，速度都是每秒14米，一列货车经过甲身边用了8秒，经过乙身边用了7秒，求货车车身长度以及火车速度。
相遇追击
1、某部队执行任务，以每小时8千米的速度前进，通讯员在队尾接到命令后把命令传给排头，然后立即返回排尾，通讯员来回的速度均为12千米/小时，共用了14.4分钟，求队伍的长是多少？
2. 一队学生去校外进行军事野营训练，他们以5千米/时的速度行进，走了18分钟，此时，学校要将一个紧急通知传给队长，通讯员从学校出发骑自行车以14千米/时的速度按原路追上去。
通讯员用多少时间可以追上学生队伍？
3、一队学生去军事训练，走到半路，队长有事要从队头通知到队尾，通讯员以18米/分的速度从队头至队尾又返回，已知队伍的行进速度为14米/分。
问：(1)若已知队长320米，则通讯员几分钟返回？
(2)若已知通讯员用了25分钟，则队长为多少米？
4、一个自行车队进行训练，训练时所有队员都以35千米/时的速度独自前进，突然，1号人员以45千米/时的速度独自行进，行进10千米后掉转车头仍以45千米/时的速度往回骑，直到与其他队员会合。
1号队员从离队开始到与队员重新会合，经过了多少时间？。