找规律、程序运算和定义新运算

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第4讲规律探究与新定义运算

b 2 b5 b8 b11 （3）一组按规律排列的式子： − , 2 , − 3 , 4 ，…，(ab≠0)，其中第 7 个式子是 a a a a 3n −1 b 个式子是。(n 为正整数) (−1)n n a
例 3．（1）有一列数 1，1，2，3，5，8，13，21，…，那么第 9 个数是 34 ；
4．观察下列图形，它们是按照一定规律排列的，按照此规律第 n 个图形有多少个太阳？
5．如图，一只青蛙在圆周上标有数字的五个点上跳，若它停在奇数点上，则下一次沿顺时针方向跳两个点；若停在偶数点上，则下一次沿逆时针方向跳一个点。若青蛙从数 1 这点开始跳，第 1 次跳到数 3 那个点，如此，求经 2015 次跳后它停的点所对应的数。
n(a1 + an ) (a1 表示首项，an 表示末项，n 表示项数) 2 a − an q （2）等比数列求和公式：Sn= 1 (q≠1) (a1 表示首项，an 表示未顶，q 表示公比) 1− q
（1）等差数列求和公式：S= 例 1．（1）观察规律：2，8，14，20，26，32，…，依此规律，第 7 个数是（2）观察一列有规律的数：4，8，16，32，…，它的第 2018 个数是。
b 2 b5 b8 b11 （3）一组按规律排列的式子： − , 2 , − 3 , 4 ，…，(ab≠0)，其中第 7 个式子是 a a a a
式子是。(n 为正整数)
，第 n 个
例 3．（1）有一列数 1，1，2，3，5，8，13，21，…，那么第 9 个数是
；
（2）一个叫巴尔末的瑞士中学教师成功地从光谱数据 ,
第四讲规律探究与新定义运算
知识模块一、数字、数表与图形的规律知识梳理常见的数列规律： 1．等差数列：（1）1，3，5，7，9，…，2n−1 (n 为正整数) （2）2，4，6，8，10，…，2n (n 为正整数) （3）5，8，11，14，17，…，3n+2 (n 为正整数) 2．等比数列：（1）2，4，8，16，32，…，2n (n 为正整数) （2）1，2，4，8，16，…，2n−1 (n 为正整数) 3．平方数列及衍生：（1）1，4，9，16，25，…，n2 (n 为正整数) （2）2，5，10，17，26，…，n2+1 (n 为正整数) （3）0，3，8，15，24，…，n2−1 (n 为正整数) 4．三角数列及衍生：（1）1，3，6，10，15，21，…，

第07讲_定义新运算与找规律(二)_例题

定义新运算与找规律（二）整式的加减100％第七讲定义新运算与找规律（二）课程预览定义新运算与找规律（二）定义新运算找规律趣味课堂定义新运算：是指用一个符号和已知运算表达式表示一种新的运算．需要注意的是，除了新定义的运算，其余的运算仍需按照原来的运算律进行．注意：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序． ②每个新定义的运算符号只能在本题中使用．程序运算：程序运算是定义新运算中的一种特殊类型，解题的关键是要准确理解新程序的数学意义，进而转化为数学问题．例1．（1）若A ❀B 表示()()3A B A B +⨯-，则()32-❀()23-=________．（2）定义新运算为1b a b a a b =-+-M ，则()()2612=M M M _______．（3）运算*按右表定义，如321*=，那么()()2413***的值为（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4（4）已知a ，b 是任意有理数，我们规定：2a a b b ⊕=+，()1ba b a ⊗=--，那么()()42112⊗⊗⊕⊕=⎡⎤⎣⎦__________．（5）定义运算“∆”，对于两个有理数a 、b ，有()a b ab a b ∆=-+，则()()2211m m ∆-∆∆=⎡⎤⎣⎦________．* 1 2 3 4 1 1 2 3 4 2 3 1 4 2 3 2 1 3 4 44321课堂笔记点点精讲定义符号定义符号定义程序定义新运算板块一定义新运算第七讲定义新运算与找规律（二）例2．定义运算：()()()()1111121a b a a a a b b∆=++++++-，（1）当4321x ∆=时，x =___________；（2）当2105y ∆=时，y =___________；（3）当20152016m n ∆=时，m =___________，n =___________．例3．（1）定义一种新运算“⊕”：S a b =⊕，其运算原理如图1所示的程序框图，则式子5436⊕-⊕=___________．（2）对正整数n 定义()!11n n n =⨯-⨯⨯，如图2是求10!的程序框图，则在判断框内应填的条件是（） A ．10i < B ．10i > C ．11i ≤D ．10i ≤定义程序开始输入a 、b()1S a b =+()1S b a =+?a b >输出S 结束是否图1图2开始输入ns s i =⨯输出S结束否 1i =，1s =1i i =+ 是例4．按如图所示的程序计算，若开始输入的x 的值为48，我们发现第一次输出的结果为24，第二次输出的结果为12，……，请你探索第2015次输出的结果为______________．1. 定义运算“*”：a ba b a b⨯*=+．（1）20151111*****=个________________；（2）若20155526a a a a ******=个，则a =________________．2. 下图程序输出结果为________________．点点精练 1a =，1b =2b b =是否3a ≤1a a =+开始结束输出结果输入x5x +12x 输出x 为奇数x 为偶数第七讲定义新运算与找规律（二）常见数列： 1 3 5 7 9 …… 21n -（n 为正整数）2 4 6 8 10 …… 2 4 8 16 32 …… 2 5 10 17 26 …… 03 8 15 24 …… 2 6 12 20 30 …… 1 3 6 10 15 ……11 23 5…… （斐波那契数列）x -x +x -x +x -…… x + x -x + x -x +……例5．定义一个新的数字i ，已知21i =-，4221i i i =⋅=，54i i i i =⋅=，以此类推，则2016i =______．例6．定义：a 是不为1的有理数，我们把11a-称为a 的差倒数．如：2的差倒数是1112=--，1-的差倒数是111(1)2=--．已知113a =-，2a 是1a 的差倒数，3a 是2a 的差倒数，4a 是3a 的差倒数，…，依次类推，则2016a =_______．例7．一列数0b ，1b ，2b ，…，具有下面的规律，21n n b b +=，221n n n b b b ++=+，若01b =，则2015b =_______．课堂笔记点点精讲找规律数字规律表格规律板块二找规律数字字母规律图形规律例8．定义一种对于三位数abc （a 、b 、c 不完全相同）的“F 运算”：重排的三个数位上的数字，计算所得最大三位数和最小三位数的差（允许百位数字为0）．（1）579经过三次“F 运算”得__________；（2）假设abc 中a b c >>，则abc 经过一次“F 运算”得______（用代数式表示）；（3）猜想：任意一个三位数经过若干次“F 运算”都会得到一个定值_______．例9．由于()()()111nn n ⎧-⎪-=⎨⎪⎩为奇数为偶数，所以我们通常把()1n -称为符号系数．（1）一组按规律排列的式子：2b a -，52b a ，83b a -，114b a，…（0ab ≠），其中第7个式子是_______，第n 个式子是________（n 为正整数）．（2）观察下列单项式：13x -，2215x ，3335x -，4463x ，…按此规律，第五个单项式是________，第n 个单项式是__________；（3）计算：()122n a b a b+-+-；（4）请你根据（2）式写出一个当n 为偶数时值为1，当n 为奇数时值为0的式子．例10．（1）观察下列等式：111122⨯=-，222233⨯=-，333344⨯=-，…，则n 个等式是______________________；（2）已知2222233+=⨯，2333388+=⨯，244441515+=⨯，…，若288a ab b+=⨯（a 、b 为正整数），则a b +=___________；第七讲定义新运算与找规律（二）（3）何小旭在一本书中发现了下面三个奇怪的等式：11313122+=⨯；558.218.213636+=⨯；121231312525+=⨯何小旭想除了上述三个之外应该还有这样奇怪的式子，于是何小旭进一步研究，不但写出了很多奇怪的等式，还找到了内在的规律：如果一个数为()bb a a>，另一个数为______时（用a 、b 表示），可以构成类似上述奇怪的等式．例11．如图，正方形ABCD 、DEFH 的边长都是5cm ，点P 从点D 出发，到点A ，然后沿箭头所指方向运动（经过点D 时不拐弯），则从出发开始连续运动2014cm 时，它离______点最近，此时它距该点_________cm ．例12．如图，已知青蛙在圆周上标有数字的五个点上跳，若它停在奇数点上，则下一次沿顺时针方向跳两个点；若它停在偶数点上，则下一次沿逆时针方向跳一个点．若青蛙从标有数字5的顶点开始跳，第一次跳后落在标有数字2的顶点上，第二次跳落在标有数字1的顶点上，…，则第2016次跳后所停的顶点对应的数字为（） A ．5B ．2C ．3D ．4例13．一个纸环链，纸环按红黄绿蓝紫的顺序重复排列，截去其中一部分，剩下部分如图所示，则被截去部分纸环的个数可能是（） A ．2012B ．2013C ．2014D ．2015红黄绿蓝紫红黄绿黄绿蓝紫图形规律ABDEFH12345例14．正整数按下图的规律排列．请写出第20行，第21列的数字_________．例15．已知2m ≥，2n ≥，且m 、n 均为正整数，若将n m 进行如下方式的“分解”，则：（1）在52的“分解”中最大的数是__________；（2）若3m 的“分解”中最小的数是31，则m =_________．例16．在右表中，我们把第i 行第j 列的数记为a ij (其中i ，j 都是不大于5的正整数)，对于表中的每个数a ij ，规定如下：当i j ≥时，1ij a =；当i j <时，0ij a =．例如：当2i =，1j =时，211ij a a ==．按此规定，13a =_____；表中的25个数中，共有_____个1；计算：111122133144155i i i i i a a a a a a a a a a ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅的值为________．表格规律1251017...4361118 (9)871219...1615141320 (25242322)21......↓↓↓↓←↓↓↓←←↓↓←←←↓←←←←第一列第二列第三列第四列第五列第一行第二行第三行第四行第五行1 1 233322 3 5 7 9 3235 427 94325 27 2911 343 a 11 a 12 a 13 a 14 a 15a 21a 22 a 23 a 24 a 25 a 31a 32 a 33 a 34 a 35 a 41a 42 a 43 a 44 a 45 a 51a 52 a 53 a 54 a 55第七讲定义新运算与找规律（二） 1. 2015201523+的个位数字是________．2. 探究数学“黑洞”：“黑洞”原指非常奇怪的天体，它体积小，密度大，吸引力强，任何物体到了它那里都别想“爬”出来．无独有偶，数字中也有类似的“黑洞”满足某种条件的所有数，通过一种运算，都能被它“吸”进去，无一能逃脱它的魔掌．譬如：任意找一个3的倍数的数，先把这个数的每一个数位上的数字都立方，再相加，得到一个新数，然后把这个新数的每一个数位上的数字再立方，求和，…，重复运算下去，就能得到一个固定的数T ，我们称它为数字“黑洞”．则T =_______．3. 已知下列等式：①3211=②332123+=③33321236++=④33332123410+++=……由此规律可知，第n 个等式是_______________________．4. 右图为手的示意图，在各个手指间标记字母A 、B 、C 、D ．请你按图中箭头所指方向（即A →B →C →D →C →B →A →B →C →…的方式）从A 开始数连续的正整数：1，2，3，4，…，当数到12时，对应的字母是______；当字母C 第201次出现时，恰好数到的数是______；当字母C 第21n +次出现时（n 为正整数），恰好数到的数是___________（用含n 的代数式表示）．点点精练横扫学霸1.把一数轴折成如图所示，第1段为1个单位长度，第2段为2个单位长度，第3段为3个单位长度，…，点O处有一个圆，圆上刻一指针，开始指针朝东，圆周为4个单位长度，圆紧贴数轴沿着数轴的正方向滚动，当圆与点A接触时，指针指向_______（东、南、西、北），当圆与2012所对应的点接触时，指针指向_______（东、南、西、北）．2.观察下列等式：1223113221⨯=⨯；1334114331⨯=⨯；2335225332⨯=⨯；3447337443⨯=⨯；⨯=⨯；…6228668226以上每个等式中两边数字分别对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律，我们成这类的等式为“数字对称等式”．（1）根据上述格式反应的规律填空，使式子成为“数字对称等式”；①______⨯275=572⨯_______；②请写一个“数字对称等式”：______⨯______=_______⨯_______；（2）设这类等式左边两位数的十位数为a，个位数字为b，且29≤+≤，写出表示“数a b字对称等式”一般规律式子（含a、b，不化简）；第七讲定义新运算与找规律（二）3. 将1，2，3，…，100，这100个自然数任意分成50组，每组两个数，将其中一个数记为a ，另一个数记为b ，代入代数式()13a b a b +--中计算，求出其结果，50组都代入后可得50个值，求这50个值的和的最小值．4. 记12n n S a a a =+++，令12n n S S S T n +++=，称n T 为1a ，2a ，……，n a 这列数的“理想数”．已知1a ，2a ，……，500a 的“理想数”为2004，求15，1a ，2a ，……，500a 的“理想数”．。

找规律程序运算定义新运算

找规律程序运算定义新运算Modified by JEEP on December 26th, 2020.第五讲找规律、程序运算、定义新运算板块一数列、数表找规律一般规律发现需要“观察、归纳、验证”有时要通过类比联想才能找到隐含条件。

数列规律：【例1】观察下列一组数：12，34，56，78，…，它们是按一定规律排列的。

那么这一组数的第k 个数是_______。

（k 为正整数）【例2】找规律，并按规律填上第五个数：357924816--，，，，，第n 个数为：。

（n 为正整数）【例3】有一列数12-，25，310-，417，…，那么第7个数是。

第n 个数为（n 为正整数）。

【例4】若一组按规律排成的数的第n 项为()1n n + （n 为正整数），则这组数的第10项为；若一组按规律组成的数为：2，6，12-，20，30，42-，56，72，90-，…，则这组数的第3n （n 为正整数）项是。

【例5】一组按规律排列的式子：2b a -，52b a ，83b a -，114b a，…（0ab ≠），其中第7个式子是，第n 个式子是（n 为正整数）。

【例6】有一列数1，1，2，3，5，8，13，21…，那么第9个数是。

【例7】瑞士中学教师巴尔末成功地从光谱数据95，1612，2521，3632，…中得到巴尔末公式，从而大开光谱奥妙的大门。

请你按这种规律写出第7个数据是 .第n 个分数为。

【例8】按一定规律排列的一列数：11234691319，，，，，，，，，…按此规律排列下去，19后面的数应为。

【例9】探索规律：观察下面算式，解答问题：21342+==；213593++==；21357164+++==；213579255++++== ①请猜想1357919++++++=_________；②请猜想13579(21)(21)(23)n n n ++++++-++++=____________；③请你用上述规律计算：10310510720032005+++++数列规律：【例10】如下图是与杨辉三角形有类似性质的三角形数垒，a b ，是某行的前两个数，当7a =时，b = 。

【精品】第03讲定义新运算与找规律(学生版)A4

f (a3) ，…
则 a3 ______， a1 a2 a3
a2014 ______________
题模二：图形类
例 2.2.1 如图，图①是一块边长为 1，周长记为 P1 的正三角形纸板，沿图①的底边剪去一块边长为
1 的正三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形纸板（即其边长为前 2
a、 b，都有 a
A． 25
B． m2 1
C． 5
b
2
b
1 ，例如 7
D． 26
2
2
2
1
5，
随练 1.3 定义一种新运算：观察下列式：
1⊙ 3=1× 4+3=7 3 ⊙（﹣ 1） =3× 4﹣1=11 5 ⊙ 4=5× 4+4=24 4 ⊙（﹣ 3） =4× 4﹣
3=13
（ 1）请你想一想： a⊙ b=
n 果为 2k （其中
k 是使得
n 2k 为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取
n 6 ，则：
6
F② 第 1次
3
F① 第 2次
10
F② 第 3次
5，若 n 1 ，则第 2 次“ F 运算”的结果是 _______ ；若 n 13 ，则
；
（ 2）若 a≠ b，那么 a⊙ b
b⊙ a（填入“ =”或“≠”）
（ 3）若 a⊙（﹣ 2b） =4，请计算（ a﹣ b）⊙（ 2a+b）的值．
随练 1.4 符号 f 表示一种新运算，它对一些数的运算结果如下：（1） f 1 0， f 2 1 ， f 3 2 ， f 4 3 ，
（2） f 1 2 ， f 1 3 ， f 1 4 ， f 1 5，

1-3-1_定义新运算

【例 9】一般我们都认为手枪指向谁，谁好像是有危险的，下面的规则同学们能看懂吗规定：警察小偷 = 警察，警察小偷 = 小偷．那么：（猎人小兔）（山羊白菜） = ．
模块二、反解未知数型
【例 10】如果 a△b 表示 (a − 2) × b ,例如 3 △ 4 = ( 3 − 2) × 4 = 4 ,那么,当 a△5=30 时, a= .
【例 14】规定： A○B 表示 A、 B 中较大的数， A△B 表示 A、 B 中较小的数．若（A○5＋B△3） × （B○5+ A△3）＝96，且 A、 B 均为大于 0 的自然数， A×B 的所有取值为．（8 级）
模块三、观察规律型
【例 15】如果 1 2 3 （3 ※1 ＝ 2＋11 ＝2 ※ 3＋22＋222 ※3 ＝ 4＋33＋333＋333＋3333 ※×5 ） 2 。
【例 12】定义 a ∗ b 为 a 与 b 之间（包含 a 、 b ）所有与 a 奇偶性相同的自然数的平均数，例如：
7 ∗ 14=(7+9+11+13) ÷ 4=10 ， 18 ∗ 10=(18+16+14+12+10) ÷ 5=14 ．在算术中填入恰当的自然数后可使等式成立，那么所填的数是多少？
，
请
计
算
1 1 f , f ; { f (1)} , f (1) 的值。 3 3
【巩固】 M ∗ N 表示 ( M + N ) ÷ 2, (2008 ∗ 2010) ∗ 2009 = ____
【巩固】规定运算“☆”为：若 a>b，则 a☆b=a＋b；若 a=b，则 a☆b=a－b＋1；若 a<b，则 a☆b=a×b。那么，（2 ☆3 ）＋（ 4 ☆4 ）＋（ 7 ☆= ） 5 。

第09讲_定义新运算与找规律(一)_例题

定义新运算与找规律（一）整式的加减66.7％课程预览定义新运算与找规律（一）定义新运算找规律趣味课堂第九讲定义新运算与找规律（一）定义新运算：是指用一个符号和已知运算表达式表示一种新的运算．需要注意的是，除了新定义的运算，其余的运算仍需按照原来的运算律进行．注意：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序． ②每个新定义的运算符号只能在本题中使用．程序运算：程序运算是定义新运算中的一种特殊类型，解题的关键是要准确理解新程序的数学意义，进而转化为数学问题．例1．（1）若A B *表示3A B +，则57=*________．（2）定义一种运算：ab b a =，则23=________，()5-3=________．（3）定义新运算为()1a b a b ∆=+÷，则()634∆∆=_______．（4）定义运算“△”，对于两个有理数a 、b ，有()a b ab a b ∆=-+，例如：()323232615-∆=-⨯--+=-+=-，则()()11m -∆-=________．（5）已知a ，b 是任意有理数，我们规定：1a b a b ⊕=+-，2a b ab ⊗=-，那么()()6835⊕⊕⊗=__________．例2．（1）如果()2a b a b ∆=-⨯，例如()34=3244∆-⨯=，那么，当530a ∆=时，a =_____．（2）规定新运算※：32a b a b =-※，若()417x =※※，则x =_________，当5x ※比5x ※大5时，x =_________．（3）定义新运算为1a ab bφ+=，①求()234φφ的值；②若4 1.35x φ=，则x 的值为多少？课堂笔记点点精讲定义符号定义符号定义程序定义新运算板块一定义新运算例3．（1）如图是一个运算程序，当输入2-时，输出的数值为___________；（2）根据如图所示的运算程序计算，当输出为8.1时，输入的数值为___________．例4．有一种数据转换器规定了如图运算：（1）若输入1x =-，则输出y =_______；（2）若输出2y =，则输入x =________．例5．按下列程序来计算：（1）如果2x =，应该运算______次才停止；（2）若果输入一个数后该程序永不停止，则称“程序遇到bug ”，若x 为使程序遇到bug 的最大数，则x =______________．1. 对于任意有理数a ，b ，定义运算“*”：a b a b a b *=⨯--．求124*的值．2. 对于任意有理数a ，b ，规定2a bab +=．（1）24235⎛⎫= ⎪⎝⎭_________；（2）311462x =，求此时x 的值．点点精练定义程序输入x 22x -23x +输出yx 为奇数x 为偶数开始输入x乘4减3是否>260输出x结束是否输入x 乘负9个位十位交换小数点左移一位输出输入x()212-()2÷-输出第九讲定义新运算与找规律（一） 3. 下图是一个简单的运算程序，若输入x 的值为2-，则输出的数值为_______．常见数列： 1 3 5 7 9 …… 21n -（n 为正整数）2 4 6 8 10 …… 2 4 8 16 32 …… 2 5 10 17 26 …… 03 8 15 24 …… 2 6 12 20 30 …… 1 3 6 10 15 ……11 23 5…… （斐波那契数列）x -x +x -x +x -…… x + x -x + x -x +……例6．找规律填数或代数式：（1）1，2，3，4，______（2）1，11，______，1111，11111 （3）______，16，112，120，130（4）1x +，21x +，______，81x + （5）x -，2x ，3x -，4x ，______（6）x ，42x ，73x ，104x ，______课堂笔记点点精讲找规律数字规律表格规律板块二找规律数字字母规律输入x229x -0>输出结果是否图形规律例7．（1）2，4，6，8，10，12，……，则第n 项为____________；（2）12，17，22，27，32，37，42，47，……，则第n 项为_____________；（3）1，1-，1，1-，1，1-，……，则第n 项为_____________；（4）1，2-，3，4-，5，6-，……，则第n 项为____________；（5）a ，2a ，3a ，4a ，5a ，……，则第n 项为____________；（6）212a ，4232a -，6352a ，8472a -，……，则第n 项为____________；（7）2a b -，542a b ，893a b -，11164a b，……，则第n 项为_____________；（8）观察等式：222211⨯=+，333322⨯=+，444433⨯=+，……，则第n 个等式为__________．例8．（1）已知数列如下：2，a ，b ，c ，3-，1……，其中任意三个相邻的数之和相等，则第2015个数为_________．（2）定义数列如下：()()211,2,1n a n n ==+，如()1211411a ==+，()2211921a ==+，再定义数列如下：()()()122111n n b a a a =---，如()113212b a =-=， ()()21242113b a a =--=，则n b =__________．例9．有一长条型链子，其外型由边长为1公分的正六边形排列而成．图表示此链之任一段花纹，其中每个黑色六边形与6个白色六边形相邻．若链子上有35个黑色六边形，则此链子共有几个白色六边形？（） A ．140B ．142C ．210D ．212例10．观察下列图形：它们是按一定的规律排列的，依照此规律，第2015图形共有____________个笑脸.图形规律第1个第2个第3个第4个第九讲定义新运算与找规律（一）例11．根据如图中箭头的指向规律，从2013到2014再到2015，箭头的方向是以下图示中的（） A ．B ．C ．D ．例12．下列图形按照一定规律组成，第一图形中共有2个三角形，第二个图形中共有8个三角形，第三个图形中共有14个三角形……，依此规律第5个图形中三角形的个数是（）． A ．22B ．24C ．26D ．28例13．四个电子宠物排座位，一开始，小鼠、小猴、小兔、小猫分别坐在1、2、3、4号座位上（如图所示），以后它们不停地变换位置，第一次上下两排交换，第二次是在第一次交换位置后，再左右两列交换位置，第三次再上下两排交换，第四次再左右两列交换……这样一直下去，则第2016次交换位置后，小兔所在的位号是（）……A ．1B ． 2C ．3D ．4例14．现有33 的方格，每个小方格内均有数目不同的点图，要求方格内每一行，每一列以及每一条对角线上的三个点图的点数之和均相等．图中给出了部分点图．则P 处所对应的点图是（） A ．B ．C ．D ．第3个第2个第1个表格规律123 4鼠猴兔猫兔猫鼠猴猫兔猴鼠例15．下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的：……根据此规律，可确定x 的值为（） A ．135B ．170C ．209D ．2521. （1）1，4，7，10，13，……，则第n 项为____________；（2）1-，1，1-，1，1-，1，……，则第n 项为_____________；（3）a ，3a ，5a ，7a ……，则第n 项为____________；（4）2ab -，23ab ，34ab -，45ab ，则第n 项为____________．2. （1）假设有足够多的黑白围棋子，按照一定的规律排成一行，如图：请问第2015个棋子是黑色的还是白色的？（2）假设仍有足够多的黑白围棋子，按照一定的规律排成一行，如图：请问第2015个棋子是黑色的还是白色的？3. 在下面格正方形中的四个数都有一定的规律，按此规律得出a b c ++=____________．点点精练 2 6 3204105 54 第1个第2个第3个第4个1 42 93 84 35a 20 bx0 3 4132 5 6314 7 8576 a bc第九讲定义新运算与找规律（一）1. 定义对x 的运算()233f x x x =-+，计算：（1）()1f =__________，()()12f f f +=⎡⎤⎣⎦__________；（2）记()()1f x f x =，()()()2f x f f x =，()()()()3f x f f f x =，依次类推，则()21f =__________，()20150f = __________．2. （1）2，4，2，4，2，4，2，4，……，则第n 项为_____________．（2）1，23，13，427，……，则第n 项为_____________．（3）222a b ，546a b -，10612a b ，17820a b -，……，则第n 项为_____________．3. 如图，根据规律，问号格内的图形应该是（）A ．B ．C ．D ．横扫学霸。

找规律及定义新运算

板块一、找规律模块一、代数中的找规律【例1】 ⑴点1A 、2A 、3A 、…、 n A 〔n 为正整数〕都在数轴上．点1A 在原点O 的左边，且11AO =；点2A 在点1A 的右边，且212A A =；点3A 在点2A 的左边，且323A A =；点4A 在点3A 的右边，且434A A =；……，依照上述规律，点2008A 、2009A 所表示的数分别为〔〕．A ．2008、2009-B ．2008-、2009C ．1004、1005-D ．1004、1004-⑵如图，点A 、B 对应的数是a 、b ，点A 在3-、2-对应的两点〔包括这两点〕之间移动，点B 在1-、0对应的两点〔包括这两点〕之间移动，那么以下四式的值，可能比2008大的是〔〕．A ．b a -B ．1b a -C ．11a b-D ．2()a b -【巩固】 ⑴〔2008中考〕一组按规律排列的式子：2-b a ，52b a ，83-b a ，114b a，…(0≠ab )，其中第7个式子是，第n 个式子是(n 为正整数)．⑵〔2008年中考〕搭建如图①的单顶帐篷需要17根钢管，这样的帐篷按图②、图③的方式串起来搭建，那么串7顶这样的帐篷需要根钢管.①②③【例2】 ⑴〔2010年中考〕右图为手的示意图，在各个手指间标记字母A B C D ，，，。

请你按图中箭头所指方向(即...A B C D C B A B C →→→→→→→→→的方式)从A 开场数连续的正整数1，2，3，4…，当数到12时，对应的字母是；当字母C 第201次出现时，恰好数到的数是；当字母C 第2n +1次出现时(n 为正整数)，恰好数到的数是(用含n 的代数式表示)。

⑵〔2010中考〕将正方体骰子〔相对面上的点数分别为1和6、2和5、3和4〕放置于水平桌面上，如图1．在图2中，将骰子向右翻滚90︒，然后在桌面上按逆时针方向旋转90︒，那么完成一次变换．假设骰子的初始位置为图1所示的状态，那么按上述规那么连续完成10次变换后，骰子朝上一面的点数是〔〕A ．6B ．5C ．3D ．2⑶〔2010中考〕观察以下图形及图形所对应的算式，根据你发现的规律计算181624...8n +++++〔n 是正整数〕的结果为〔〕DC B A找规律及定义新运算图1 图2向右翻滚90°逆时针旋转90°1+8="1+8+16="1+8+16+24="……A ．2(21)n +B ．2(21)n -C ．2(2)n +D ．2n【巩固】 ⑴观察以下由棱长为1的小立方体摆成的图形，寻找规律：如图1中：共有1 个小立方体，其中1个看得见，0个看不见；如图2中：共有8个小立方体，其中7个看得见，1个看不见；如图3中：共有27个小立方体，其中有19个看得见，8个看不见；……，那么第6个图中，看不见的小立方体有个．⑵〔2010日照中考〕古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：他们研究过图1中的13610...，，，，，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的14916...，，，，，这样的数为正方形数．以下数中既是三角形数又是正方形数的是〔〕A ．15B ．25C ．55D ．1225⑶〔2010〕如图，是用棋子摆成的图案，摆第1个图案需要7枚棋子，摆第2个图案需要19枚棋子，摆第3个图案需要37枚棋子，按照这样的方式摆下去，那么摆第6个图案需要枚棋子，摆第n 个图案需要枚棋子．⑷〔2010中考〕下面两个多位数1248624……、6248624……，都是按照如下方法得到的：将第一位数字乘以2，假设积为一位数，将其写在第2位上，假设积为两位数，那么将其个位数字写在第2位。

第3节找规律、定义新运算和程序运算

第三节找规律、定义新运算和程序运算1．找规律解题思维过程：从简单、局部或特殊情况入手，经过提炼、归纳和猜想，探索规律，获得结论．有时还需要通过类比联想才能找到隐含条件．一般有下列几个类型：(1)一列数的规律：把握常见几类数的排列规律及每个数与排列序号n之间的关系．(2)一列等式的规律：用含有字母的代数式总结规律，注意此代数式与序号n之间的关系．(3)图形（图表）规律：观察前几个图形，确定每个图形中图形的个数或图形总数与序号n之间的关系．(4)图形变换的规律：找准循环周期内图形变换的特点，然后用图形变换总次数除以一个循环变换周期，进而观察商和余数．(5)数形结合的规律：观察前n项（一般前3项）及利用题中的已知条件，归纳猜想一般性结论，常见的数列规律：(1)1，3，5，7，9，…，2n－1（n为正整数）．(2)2，4，6，8，10，…，2n（n为正整数）．(3)2，4，8，16，32，…，2n（n为正整数）．(4)2，5，10，17，26，…，n2＋1（n为正整数）．(5)0，3，8，15，24，…，n2－1（n为正整数）．(6)2，6，12，20，…，n(n＋1)（n为正整数）．(7)－x，＋x，x，＋x，－x，＋x，…，(－1)n x（n为正整数）．(8)＋x，－x，＋x，－x，＋x，－x，…，(－1)n＋1x（n为正整数）．(9)特殊数列：①斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，…，从第三个数开始每一个数等于与它相邻的前两个数的和．②三角形数：1，3，6，10，15，21，…，[]12n n+．2．定义新运算(1)基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加、减、乘、除的运算，然后按照基本运算过程、运算律进行运算，(2)注意事项：①新的运算不一定符合运算律，特别注意运算顺序．②每个新定义的运算符号只能在本题中使用．3．程序计算解题的关键是要准确理解新程序的数学意义，进而转化为数学问题．4．数学能力：探究、归纳总结和知识迁移的能力．本节重点讲解：两大能力，三种题型（找规律、定义新运算和程序计算）．三、全能突破基础演练1. 根据图2－3－1中数字的规律，在图形中填空．2．观察下面一列整式：12x 2y ,－16x 4y 4, 112x 8y 9，－12x 16 y 16，…，照此规律第6个整式是，第n 个(n ≥1且为整数)整式是．3．正整数按图2－3－2中的规律排列．请写出第45行，第46列的数字．4．图2－3－3所示是某广场用地板铺设的部分图案，中央是一块正六边形的地板砖，周围是正三角形和正方形的地板砖，从里向外的第1层包括6个正方形和 6个正三角形，第2层包括6个正方形和18个正三角形，以此递推，第10层中含有正三角形个数是个． 5．如图2－3－4所示，给正五边形的顶点依次编号为1，2，3，4，5，若从某一顶点开始，沿正五边形的边顺时针行走，顶点编号的数字是几，就走几个边长，则称这种走法为一次“移位”，如：小宇在编号为3的顶点时，那么他应走3 个边长，即从3→4→5→1为第一次”移位”，这时他到达编号为1的顶点；然后从1→2为第二次“移位”，若小宇从编号为 2的顶点开始，第10次“移位”后，则他所处顶点的编号是；笫2012次“移位”后，则他所处顶点的编号是． 6．观察下列等式：① 42－12＝3×5； ② 52－22＝3×7； ③ 62－32＝3×9； ④ 72－42＝3×11 ……则第n （n 是正整数）个等式为．7．我们规定一种运算：a bc d＝ad－bc，若421x x＝0，则x＝．8．魔术师为大家表演魔术，他请观众想一个数，然后将这个数按图2－3－5所示的步骤操作: 乘以3 减去6 除以3 加上7 告诉魔术师结果图2-3-5魔术师立刻说出观众想的那个数．(1) 如果小明想的数是－1，那么他告诉魔术师的结果应该是；(2) 如果小聪想了一个数并告诉魔术师结果为93，那么魔术师立刻说出小聪想的那个数是；(3) 观众又进行了几次尝试，魔术师都能立刻说出他们想的那个数，请你说出其中的奥妙．能力提升9．已知：41＝4，42＝16，43＝64，44＝256，45＝1024，…，以上算式结果的个位数字分别为4，6，4，6，…，按照上面的研究方法确定20062007＋20072006的个位数字为( )A．3B．4C．5D．610．如图2－3－6所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是．11．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：他们研究过图2－3－7(a)中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2－3－7(b)中的1，4，9，16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )A．15B．25C．55D．122512．(1) 探究数字“黑洞”：“黑洞”原指非常奇怪的天体，它的体积小，密度大，吸引力强，任何物体到它那里都别想再“爬出来”，无独有偶，数字中也有类似的“黑洞”，满足某种条件的所有数，通过一种运算，都能被它“吸”进去，无一能逃脱它的魔掌，譬如：任意找一个3的倍数，先把这个数每个数位上的数字都立方，再相加，得到一个新的数，然后把这个新数每个数位上的数字立方再求和，重复运算下去，就能得到一个固定的数T，我们称它为数字“黑洞”，T为何具有如此魔力，通过认真的观察、分析，你一定能发现它的奥秘！此短文中的T是．(2) 任取一个自然数串，数出这个数中的偶数字个数、奇数字个数及所有数字的个数，用这3个数组成下一个数字串，重复上述程序，就能得到一个固定的数，我们称它为数字“黑洞”，则这个固定的数为．13．在下表中，我们把第i行第j列的数记为a i,j（其中i，j都是不大于5的正整数），对于表中的每个数a i,j规定如下：当i≥j时，a i,j＝1；当i＜j时，a i,j＝0．例如：当i＝2，j＝1时，a i,j＝a2,1 ＝1．按此规定，a1,3＝；表中的25个数中，共有个1；计算a1,1·a i,1＋a1,2·a i,2＋a1,3·a i,3＋a1,4·a i,4＋a1,5·a i,5的值为．14．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密），已知加密规则如图2－3－8所示，例如，明文1，2，3，4对应密文5，7，18，16．当接收方收到密文14，9，23，28时，则解密得到的明文为．15．已知，m≥2，n≥2，且m，n均为正整数，如果将m n进行如图2－3－9所示方式的“分解”，那么下列三个叙述：①在25的“分解”中最大的数是11．②在43的“分解”中最小的数是13．③若m3的“分解”中最小的数是23，则m等于5．其中正确的是．11a，12a，13a，14a，15a，21a，22a，23a，24a，25a，31a，32a，33a，3,4a3,5a4,1a4,2a4,3a4,4a4,5a5,1a5,2a5,3a5,4a5,5a16．有一个运算程序，当aΘb＝n（n为常数）时，则(a＋1)b＝n＋1，a(b＋1)＝n－2，若1Θ1＝2则2012Θ2012＝．17．按图2－3－10所示的程序计算：是x+的值>500 输出结果输入x计算51否图2-3-10若输入x＝100，输出结果是501，若输入x＝25，输出结果是631，若开始输入的x值为正整数，最后输出的结果为556，则开始输入的x的可能值为．18. 如图2－3－11所示，从左到右，在每个小格子中都填人一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等．9 ＆＃x6- 2 ……图2-3-11(1) 可求得x＝，第2012个格子中的数为．(2) 判断：前m个格子中所填整数之和是否可能为2012？若能，求出m的值；若不能，请说明理由．19．阅读图2－3－12并回答下列问题：(1)若A为785，则E＝；(2)按框图流程，取不同的三位数A，所得E的值都相同吗？如果相同，请说明理由；如果不同，请求出E的所有可能的值；(3)将框图中的第一步变为“任意写一个个位数字不为0的三位数A，它的百位数字减去个位数字所得的差大于．．2”，其余的步骤不变，请猜想E的值是否为定值？并对你猜想的结论加以证明．中考链接20．（2010．北京）图2－3－13所示为手的示意图，在各个手指间标记字母A，B，C，D．请你按图中箭头所指方向（即A→B→C→D→C→B→A→B→C→…的方式）从A开始数连续的正整数1，2，3，4，…，当数到12时，对应的字母是；当字母C第201次出现时，恰好数到的数是；当字母C第2n＋1次出现时（n为正整数），恰好数到的数是（用含n的代数式表示）．21．（贵阳市中考题改编）符号“f ”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下： ①f (1)＝0，f (2)＝1，f (3)＝2，f (4)＝3，… ②12f ⎛⎫=⎪⎝⎭2，13f ⎛⎫= ⎪⎝⎭3，14f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 4，15f ⎛⎫= ⎪⎝⎭5，… 利用以上规律计算：12012f ⎛⎫⎪⎝⎭－f (2012)＝．22．(1)（2009年．咸宁）如图2－3－14所示的运算程序中，若开始输入的x 值为96，我们发现第 1次输出的结果为48，第2次输出的结果为24，…，第2009次输出的结果为．(2)(山东临沂中考)计算机中常用十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A ～F共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表所示例如，用十六进制表示：5＋A ＝F ，3＋F ＝12，E ＋D ＝1B ，则A ×C ＝．巅峰突破23．图2－3－15所示是一个流程图，图中“结束”处的计算结果是．24．对于两数a 和b ，给定一种运算“#”：a #b ＝a ＋b －ab ，则在下列等式中：①a #b ＝b #a ； ②a #0＝a ； ③(a #b )#c ＝a #(b #c )．正确的是 (填序号)．25．正整数n 小于100，并满足等式236n n n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦＝n ，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，这样的正整数n 有多少个？十六进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ABCDEF十进制 012345678910 11 12 13 14 15。

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【例2】⑶(海淀区期末考试)探索规律：观察下面算式，解答问题： 1 3 4 22 ； 1 3 5 9 32 ； 1 3 5 7 16 42 ； 1 3 5 7 9 25 52 ③请你用上述规律计算 ③请你用上述规律计算： 103 105 107 2003 2005
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【例2】⑶(海淀区期末考试)探索规律：观察下面算式，解答问题： 1 3 4 22 ； 1 3 5 9 32 ； 1 3 5 7 16 42 ； 1 3 5 7 9 25 52 ①请猜想 1 3 5 7 9 19 _________；
开始写下1 乘-2 写结果
【例4】⑵(北师大附中初一期中考试) 如下图所示是计算机程序计算，若开始输入，则最后输入 x＝2出的结果是_______。输入 x的值计算1＋x－2x2 ＜-5 是否输出结果
你乘-2 2 已经5次了吗否结束是
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【例5】⑴若规定一种新运算， 1 1 ，如果 ab ab (a 1)(b A) 1 2 1 ，那么 2001 2002 ____。 2
【例3】⑶将正整数依次按下表规律排成四列，将数依次按表规律排成列则根据表中的排列规律，数2009应排的位置是第行第列。第1列第2列第3列第4列 1 2 3 第1行 6 5 4 第2行 7 8 9 第3行 12 11 10 第4行 ……
【例4】⑴ (第17届希望杯) 如图是一个流程图，图中“结束”处的图中结束处的计算结果是_____。
【例2】⑴有一列数1，1，2，3，5，8，13， 21……..，那么第9个数是____; ⑵瑞士中学教师巴尔末成功地从光谱数 9 16 25 36 据，，，， …中得到巴尔末公 5 12 21 32 式，从而打开光谱奥妙的大门。请你按这种规律写出第7个数据是_____。第 n个分数为______。
【例3】⑴如图是与杨辉三角形有类似性质的三图是与杨角有类似质的角形数垒，a，b是某行的前两个数，当a＝7时，b＝_____。 1 2 2 3 4 3 4 7 7 4 5 11 1 4 11 5 · · · · · · · · a b · · · · · · ·
2Hale Waihona Puke 【例3】⑵ 观察表一，寻找规律，表二、表三分别是从表一中选取的一部分， ab 则a＝ _____ ，＝_____。 2 0 1 2 3 … 1 3 5 7 … 2 5 8 11 … 11 3 7 11 15 … 14 11 13 …………… a 17 b 表一表二表三
【例8】(西城外国语期中) 有一列数，按一定规律排成1，-2，4， -8 8，16，-32 32，…，其中某三个相邻数其中某三个相邻数的和是3072，则这三个数中最小的数是______。
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【例6】 x、y表示两个数，规定新运算“ ”及 “ ”如下：x y mx ny ，xy kxy，其中m、n、k均为自然数，已知 1 2 5， (2 3) 4 64 ，求 (1 2) 3的值。
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【例7】观察下表，依据表格数据排列的规律，观察表依表数排列的规律数2008在表格中出现的次数共有___次。 1 2 3 4 … 2 4 6 8 … 3 6 9 12 … 4 8 12 16 … ……………
【例1】⑴(海淀区期末考试) 若一组按规律排成的数的第n项为 n(n＋1)(n为正整数)，则这组数的第 10项为；若一组按规律组成的数为：2，6，-12 12，20，30，-42 42，56， 72，-90，…，则这组数的第3n(n为正整数)项是____。
【例1】⑵( (2008北京中考) b 2 b5 b8 一组按规律排列的式子：，2 ， 3， a a a 11 b …(ab 0 )，其中第7个式子是， a4 ____，第n个式子是____(n为正整数)。
【例2】⑶(海淀区期末考试)探索规律：观察下面算式，解答问题： 1 3 4 22 ； 1 3 5 9 32 ； 1 3 5 7 16 42 ； 1 3 5 7 9 25 52 ②请猜想 1 3 5 7 9 (2n 1) (2n 1) (2n 3) ____；
找规律程序运算和定义新运算找规律、程序运算和定义新运算
一、数列、数表找规律数列数表找规律 ⑴合理的猜想是正确解决找规律问题的前奏，它的思路一般是从简单的、局部的、特殊的情况出发，经过提炼、归纳。猜想未知，寻找一般规律，获取新结论。 ⑵一般规律发现需要“观察、归纳、验证”有时要通过类比联想才能找到隐含条件。
【例5】⑵有一个运算程序，可以使 a b n (n为常数)时，得 (a 1) b n 1 ， a (b 1) n 2 。现在已知 1 1 2 ，那么 2009 2009 _____。
【例5】⑶对于正整数a、b、c，d，规定 1 b a b ＜＜3 ， 1 ，若 ad bc d 4 c d 则 b d _____。