山东省潍坊市2020届高考模拟(二模)数学参考答案
山东省潍坊市2020届高三第二次模拟考试数学试题含答案
16.已知函数
f
x
ln x,
2
x3
3x
2
A.甲是律师，乙是医生，丙是记者
B.甲是医生，乙是记者，丙是律师
C.甲是医生，乙是律师，丙是记者
D.甲是记者，乙是医生，丙是律师
4.以抛物线 E : x2 4 y 的焦点为圆心，且与 E 的准线相切的圆的方程为
A. x 12 y2 4
B. x 2 y 12 4
C. x 12 y2 4
潍坊市高考模拟考试
数学
2020．5 本试卷共 6 页．满分 150 分．考试时间 120 分钟． 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的学校、姓名、班级、座号、考号填涂在相应位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写 在本试卷上无效．
0, 0 的右焦点为 F，过点 F 且与 x 轴垂
直的直线与双曲线 C 的一条渐近线交于点 A（点 A 在第一象限），点 B 在双曲线 C 的渐近
线上，且 BF/OA，若 AB OB 0 ，则双曲线 C 的离心率为
23
A.
3
B. 2
C. 3
D.2
二、多项选择题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，选对但不全的得 3 分，有选错的得 0 分.
D. x2 y 12 4
1
5. 设 函 数 f x 为 奇 函 数 ， 且 当 x 0 时 ， f x ex cos x ， 则 不 等 式 f 2x 1 f x 2 0 的解集为
A. ,1
2020届高考数学大二轮刷题首选卷理数文档第一部分 考点三 复数
复数考点三一、选择题在复平2i，则复数z)已知i是虚数单位，复数i·z＝1－(2019·1．湖南衡阳三模)(面内对应的点位于．第二象限BA．第一象限．第四象限DC．第三象限C答案1－2i，i·解析∵复数z＝，－i，∴－i·i·z＝－i(1－2i)z＝－2C. 位于第三象限．故选，－1)则复数z在复平面内对应的点(－2i2＋) ＝5月三模)设复数z 满足i，则|z|＝((2019·2．山东潍坊z5 ．A．1 B5 3 ．D．CB答案i2＋i2＋2i2，故选＝5，∴＋＝解析∵＝i，∴z＝＋1＝1＝1－2i|z|4＝1＋2 iiziB.1z＋) 则下列说法正确的是)3．(2019·安徽芜湖5月模拟设复数z满足＝i，(z1i 的虚部为－．为纯虚数z BzA．2211－D．z－C．z＝i ||＝222D答案11121－＋z＝－，的虚部为－z，||，i－＝－z，z1z解析∵＋＝i∴∴z＝复数222221D.，故选i2，z1＝i|z|满足设复数)全国卷Ⅰ．4(2019·z－，)y，(在复平面内对应的点为x)(则．22221 1)＝＋y1 B．(A．(x＋1)x＋y－＝22221y＋1)＝D．x．x＋(y－1)1 ＝＋(CC答案i. y＝解析由已知条件，可得zx＋－i|＝1，y－∵|zi|＝1，∴|x＋i22C. ＝1.∴x 故选＋(y－1)2i|＋|1) 5．复数z)的共轭复数是＝((i为虚数单位i1＋i3－i＋3 ．A．B225555iD－．C．＋i 2222C答案?i15?－|1＋2i|55555－故＋，∴z＝i.＝由题意，得解析z＝＝＝i－22222i＋11＋iC.选a＋i(a∈zi6．已知为虚数单位，若复数＝R)的实部与虚部互为相反数，1－2i)则a＝(B5 ．－A．－151D．－C．－33D答案a?1＋2i?2a＋5aaa解析z＝＋i＝＋i＝＋i，∵复数z＝＋i(a∈R)552i?1－2i??1＋1－2i?2i1－的实部与虚部互为相反数，2a＋55a∴－＝，解得a＝－.故选D.3557．若复数z，z在复平面内的对应点关于虚轴对称，且z＝2＋i，i为虚数单112位，则zz＝()21A．－5 B．5i－4．－Di＋4．－C．答案A解析因为z＝2＋i在复平面内的对应点(2,1)关于虚轴(y轴)的对称点为(－12－4＝－5.z＝i故选A.2,1)，因此z＝－2＋i，z2212(a∈R)在复平面内对应的点在虚轴上，则|za＋i)|＝() 8．若复数z＝(A．1 B．3D．2 ．4CC答案222，在复平面内对应的点在虚轴上，知a0－1z＝(a＋i)＝a＝－1＋2ai由解析C.，故|z|＝2，故选即a＝±1，所以z＝±2i 二、填空题表示．若i为虚数单位，图中网格纸的小正方形的边长是1，复平面内点Z9z ________，则复数z．的共轭复数是复数2i－1答案－i2＋ii－2i2＋z解析复＝i，其共轭复数为－i.2i－2i2i1－11－2019i－110．(2019·湖北部分重点中学联考)＝________.i－1答案i201932?＋i＋i－i?1－i1112i解析＝＝＝＝＝i.2?＋ii?1－1－??i1－i1－1i ix＝cosx＋isinx(i11．欧拉公式：e为虚数单位)，由瑞士数学家欧拉发明，它建πi22立了三角函数与指数函数的关系，根据欧拉公式，(e)＝________.答案－1πiππ2??i2x22isin＋cos??＝－)(ex＋cose解析由＝xisin得＝i1.＝22??．a＝－1＋bi，其中a，b12．已知是实数，则复数a－bi在复平面内对应的i －1点位于第________象限．答案二a＝－1＋bi，得a＝(－1＋bi)(1－i)解析由＝(b－1)＋(b＋1)i，∴i1－，＝0b＋1??在复平面内对应的点的坐＋ii＝－2b＝－1，∴复数a－b即a＝－2，，－1a＝b? 2,1)，位于第二象限．标为(－三、解答题，试4i，－2＋，C分别表示0,3＋2i13．如图，平行四边形OABC，顶点O，A 求：Array→→表示的复数；BC(1)AO表示的复数，→表示的复数．(2)对角线CA→→，解＝－OA(1)∵AO→表示的复数为－3－2i，∴AO→→→表示的复数为－3－2i. ，∴BC∵＝AOBC→→→，(2)－OC∵＝OACA→表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. ∴CA51214．已知z＝cosα＋isinα，z＝cosβ－isinβ，且z－z＝＋i，求cos(α＋β)21121313的值．解∵z＝cosα＋isinα，z＝cosβ－isinβ，21512∴z－z＝(cosα－cosβ)＋i(sin α＋sinβ)＝＋i.211313．5?①，α－cosβ＝cos?13?∴12??②β＝.sinα＋sin1322，得2－2cos(α＋β由①)＋②＝1.1∴cos(α＋β)＝.2一、选择题1．(2019·安徽合肥第三次教学质量检测)已知i是虚数单位，复数z满足z＋z·i ＝3＋i，则复数z的共轭复数为()A．1＋2i B．1－2ii－2＋i 2．DC．C答案2i41333＋i＋i?＋i??－i?－zi.2＝＝＝＝z3·i＝＋i可化为＝－∴z，∵z解析z＋2?i－1??i＋1?i＋1i＋1－C.i2的共轭复数为z＝＋，故选，若向量，的坐标分别为Z已知点四川双流中学一模．2(2019·)Z，(1,0)(0,1)21→)对应的点位于，则复数zz(对应复数ZZ21B．第二象限A．第一象限．第四象限D C．第三象限B答案→z因为点解析Z＝Z，所以(0,1)，的坐标分别为Z，(1,0)Z(1,1)，即复数－2112B.对应点位于第二象限，故选在复平面)(2019·．3山东栖霞高考模拟已知复数为虚数单位－＋a(z＝i)(1i)(i))上，则实数x2y内对应的点在直线＝a(的值为1 AB．0 ．－1 D．－1 ．C3D答案．解析因为z＝(a＋i)(1－i)＝a＋1＋(1－a)i，对应的点为(a＋1,1－a)，因为点1在直线y＝2x上，所以1－a＝2(a＋1)，解得a＝－.故选D.3z34－z是其共轭复数，若＝a＋i，＋4．(2019·河南十所名校测试七)设复数z ＝55－zi，则实数a＝()A．4 B．3D．C．2 1C答案34a43a4z3??－－??a＋＋＝＋，则i＋＝ai，∴解析∵z＝a＋iiz＝a－i，又，∴555555??－z2.＝在a＋(1＋i)(i)a为实数为虚数单位，z(2019·5．北京昌平二模)已知复数＝－1)(复平面内对应的点位于第二象限，则复数z的虚部可以是11i ．Bi A．－2211 ．C．－D22D答案，－1<0a??，故选0<a<1i＋(i)(1＝－因为解析z1＋a＋＝a－1)a，所以即，>0a?D.6．设有下面四个命题：1 ∈z R；，则∈满足p：若复数z R1z2R z R z∈，则∈；满足：若复数pz2－，z：若复数pz；＝，则∈zz满足R zz2212311－. z R z：若复数p∈，则∈R4) (其中的真命题为，p，ppA．p．B4131．p．CD ，，ppp4232．B答案对．R)i(a，b∈b，∈R)，z＝a＋b设z＝a＋bi(a，b∈R)，z＝a＋bi(a解析2121122112iba－11为真命p R，所以bi＝a∈，则b＝0?z＝a＋于p，若∈R，即＝∈R2211zbb＋ia＋a2222时，0b≠a＝0，∈R，则ab＝，即(a＋bi)0.＝aab＋2i－b当题．对于p，若z∈R2＝bi)bi)(a＋zz∈R，即(a＋R z＝a＋bi＝bi，所以p为假命题．对于p，若∈/21132221－i－bi＝＝az，即a＋b＝＋ab)i∈R，则ab＋ab0.而za(a－bb)＋(ab221112112211221221为假命题．对，所以pb＝－b/ a＝a，＝－，bb.因为ab＋ab＝0??a＝a3112222111212－为真命题，故p∈R，所以a－bi＝bi∈R，则b＝0?az＝于p，若z∈R，即a＋44选B. ．下面四个命题中，7 ；a，bb∈R)的实部、虚部分别是①复数z＝a＋bi(a，对应的点构成一条直线；，则z＝|z －2i|z②复数满足|z＋1|2222 z|z|a|；＝a＝，可类比得到复数z的性质a③由向量的性质|202021. i＋i＝＋…＋④i为虚数单位，则1＋i) (正确命题的个数是B．0 1 A．3．2 ．DCD答案a)的实部为a，虚部为b，故正确；②设z＝解析①复数z＝a＋bi(a，b∈R，i(aa＋bb2i|计算得2a＋4－3＝0，故正确；③设z＝z)＋bi(a，b∈R，由|z＋1|＝|－2020222＝＋不成立，故错误；④1i＋i1＋…＋z R b∈)，当b≠0时，||i＝z，故正确．zP与M．已知复平面内，定点与复数m＝1＋2i(i为虚数单位)对应，动点8)m|＝2的点P的轨迹方程为(y＝x＋i对应，那么满足|z－22224 ＝2)＋(＋(y－2)y ＝2 －1)x．B(－xA．(－1)22224 ＋C．(x1)(＋y＋2)＝2 ＝2)＋y(＋1)＋x(．DB答案，|．－，－(mz由题意，解析知在复平面内，－对应的点为x1y2)则由z＝2|－m2222B.，故选4＝2)－y(＋1)－x(，即2＝?2－y?＋?1－x?得．二、填空题－－其中i)4(z(2019·广东韶关4月模拟)已知＝z是z的共轭复数，且满足(1＋9．________.＝|z|)i是虚数单位，则22答案?－i4?14－－－222＝2i，∴|z|＝|2z|＋解析由(1＋i)zz＝4，得，＝＝＝2－?1－i1＋??i?1＋i2.2＝的虚Im(z)表示复数z．(2019·天津北辰模拟)用Re(z)表示复数z的实部，用10－－)z)＋，其中Im(z是复数z的共轭复数，则Re(z部，若已知复数z满足z(1－i)＝7＋3i________.＝3－答案10i＋?43i＋?7＋3i??1＋i7－，则5i2－＝＝2＋5i，∴z＝解析由题意得，z＝＝2?ii?1－i??11－＋3.5＝－＋Im(z)＝2－Re(z)2＝bc＋bx＋c＝0－11．若2i是关于x的实系数方程x的一个复数根，则________.20－答案2－3＋2b＋c－i)＋b(2－i)＋c＝0，即2解析把复数根－i代入方程中，得(2，b＝－43＋2b＋c＝0，????20. bc(4＋b)i＝0，所以解得＝－故，5＋4b＝0，c＝??|z|z|＋|21zz@z＝(等式右边为普通运算)．若复数12．定义复数的一种新运算212－．z的最小值为＋y满足xy＝________22，则z@，i＋＝xyi，为虚数单位，且实数x2答案－|＋|z|z||2|z－22. ＋x＝yz＝解析@zz＝＝||22－2，4＋?2－x? z，所以＝＋由于xy22z@＝2－2. z2＝x故时，z@取最小值三、解答题．－10|. ＋3|13．设虚数z满足|2z＋15|z＝的值；z|(1)计算|az 若不存在，说明理由．(2)是否存在实数a，使＋∈R？若存在，求出a的值；za－R且b≠0)，则，z＝a－bia解(1)设z＝a＋bi(，b∈－∵|2z＋15|10|＝3|，z＋i|＋2bi|，＝3|(a ＋10)－b∴|(2a＋15)2222＋＝b3?a＋10?，∴?2a＋15?2＋?b?22223. b5＝75，∴|z|＝a∴a＝＋b＋az. a，使＋∈R(2)假设存在实数za d≠0)，，c＋di(cd∈R且设z＝?c－dic＋dia?dcaza ＋＋i＋则有＝＋＝22azaaadc＋d＋icdadacc??－??R＝＋＋，i∈2222ad＋cadc＋??add ，－∴＝022adc ＋22±c，＋a∵d≠0，∴＝d2253.＝±53由(1)知c ，∴＋da＝2＋mx＋n＝0，mz＋1为关于x的方程x，n14．(2019·辽宁省鞍山一中一模)设∈R的虚根，i为虚数单位．(1)当z＝－1＋i时，求m，n的值；(2)若n＝1，在复平面上，设复数z所对应的点为P，复数2＋4i所对应的点为Q，试求|PQ|的取值范围．解(1)因为z＝－1＋i，所以z＋1＝i，，＝0m?2?＝0，易得i则＋mi＋n1.n＝?(2)设z＝a＋bi(a，b∈R)，2，0＝1＋i)b＋1＋a(m＋i)b＋1＋a(则．22①0，1a＋1?＋＝＋?a＋1?－bm???于是②，b?＋mb＝02?a＋1?22，其＝＋b1＋2(a1)，代入①得，(a＋1)m因为b不恒为零，所以由②得＝－4i＋P是圆上任意一点．又复数2－几何意义是以(1,0)为圆心，1为半径的圆，即22＋1＝6，4|PQ|的最小值为4.?＋?PQ，所以对应的点为Q||的最大值为21＋所以|PQ|的取值范围是[4,6]．。
山东省潍坊市2020届高三模拟(二模)考试数学试卷
数学本试卷共6页．满分150分．考试时间120分钟． 注意事项：1．答题前，考生先将自己的学校、姓名、班级、座号、考号填涂在相应位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,7,2,3,4,5,2,3,6,7U UA B A C B ===⋂=，则A.{}1,4B.{}1,4,5C.{}4,5D.{}6,72.若复数1a iz i+=-在复平面内对应的点在第二象限内，则实数a 的值可以是 A.1B.0C.1-D.2-3.甲、乙、丙三人中，一人是律师，一个是医生，一人是记者.已知丙的年龄比医生大；甲的年龄和记者不同；记者的年龄比乙小.根据以上情况，下列判断正确的是 A.甲是律师，乙是医生，丙是记者 B.甲是医生，乙是记者，丙是律师 C.甲是医生，乙是律师，丙是记者D.甲是记者，乙是医生，丙是律师4.以抛物线2:4E xy =的焦点为圆心，且与E 的准线相切的圆的方程为A.()2214x y -+=B.()2214x y ++= C.()2214x y ++=D.()2214x y +-=5.设函数()f x 为奇函数，且当0x ≥时，()cos x f x e x=-，则不等式()()2120f x f x -+->的解集为A.(),1-∞B.1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C.1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D.()1,+∞6.《周髀算经》是中国古代重要的数学著作，其记载的“日月历法”曰：“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千百五二士岁，…，生数皆终，万物复苏，天以更元作纪历”.某老年公寓住有20位老人，他们的年龄（都为正整数）之和恰好为一遂，其中年长者已是奔百之龄（年龄介于90-100），其余19人的年龄依次相差一岁，则年长者的年龄为 A.94B.95C.96D.987.在四面体ABCD 中，ABC BCD ∆∆和均是边长为1的等边三角形，已知四面体ABCD 的四个顶点都在同一球面上，且AD 是该球的直径，则四面体ABCD 的体积为A.224B.212C.26D.248.已知O 为坐标原点，双曲线()222210,0x y C a a b-=>>：的右焦点为F ，过点F 且与x 轴垂直的直线与双曲线C 的一条渐近线交于点A （点A 在第一象限），点B 在双曲线C 的渐近线上，且BF/OA ，若0AB OB ⋅=u u u r u u u r，则双曲线C 的离心率为A.233B.2C.3D.2二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分. 9.我国是世界第一产粮大国，我国粮食产量很高，整体很安全.按照14亿人口计算，中国人均粮食产量约为950斤——比全球人均粮食产量高了约250斤.下图是中国国家统计局网站中2010-2019年，我国粮食产量（千万吨）与年末总人口（千万人）的条形图，根据下图可知在2010-2019年A.我国粮食年产量与年末总人口均逐年递增B.2011年我国粮食年产量的年增长率最大C.2015年-2019年我国粮食年产量相对稳定D.2015年我国人均粮食年产量达到了最高峰10.若1,0a b c <<->，则下列不等式中一定成立的是A.11a b a b->-B.11a b b a-<-C.()ln0b a ->D.c ca b b a ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11.在单位圆22:1O xy +=上任取一点(),P x y ，圆O 与x 轴正向的交点是A ，设将OA 绕原点O 旋转到OP 所成的角为θ，记,x y θ关于的表达式分别为()(),x f y g θθ==，则下列说法正确的是 A.()x f θ=是偶函数，()y g θ=是奇函数B.()x f θ=在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦为函数，()y g θ=在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦为减函数 C.()()102fg πθθθ⎡⎤+≥∈⎢⎥⎣⎦对于，恒成立D.函数()()22tf g θθ=+的最大值为33212.如图，平面α⋂平面,,l A C βα=是内不同的两点，B,D是β内不同的两点，且A,B,C,D ∉直线l ，M,N 分别是线段AB,CD 的中点.下列判断正确的是 A.若AB//CD ，则//MN l B.若M,N 重合，则//AC lC.若AB 与CD 相交，且//AC l ，则BD 可以与l 相交D.若AB 与CD 是异面直线，则MN 不可能与l 平行三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态.已知两条绳上的拉力分别是12,F F u u r u u r ，且12,F F u u r u u r与水平夹角均为1245102F F N ==ou u r u u u r ，，则物体的重力大小为_________N. 14.已知50sin tan 245ππααα⎛⎫⎛⎫∈-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，则__________. 15.植树造林，绿化祖国.某班级义务劳动志愿者小组参加植树活动，准备在一抛物线形地块上的ABCDGFG 七点处各种植一棵树苗，如图所示，其中A 、B 、C 分别与E 、F 、G 关于抛物线的对称轴对称.现有三种树苗，要求每种树苗至少种植一棵，且关于抛物线的对称轴对称的两点处必须种植同一种树苗，则共有不同的种植方法是_________.（用数字作答） 16.已知函数()32ln ,1231,1x x f x x x x ≥⎧=⎨-+<⎩，则[]1,x e ∈-时，()f x 的最小值为________，设()()()2g x f x f x a =-+⎡⎤⎣⎦，若函数()g x 有6个零点，则实数a 的取值范围是_________.(本题第一空2分，第二空3分)四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（10分）在ABC ∆中，角A,B,C 所对的边分别为,,23,3a b c a A π==，已知.（1）若4B π=，求b ；（2）求ABC ∆面积的最大值. 18.（2分） 已知数列{}n a 为正项等比数列，11a =；数列{}n b 满足21122333,b a b a b a b =++⋅⋅⋅()3232n n n a b n +=+-.（1）求n a ；（2）求11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .19.（12分）请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并作答. ①AB BC ⊥，②FC 与平面ABCD 所成的角为6π，③3ABC π∠=.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，PA ⊥平面ABCD ，且PA=AB=2,PD 的中点F.（1）在线段AB 上是否存在一点G ，使得AF//平面PCG ？若存在，指出G 在AB 上的位置并给以证明；若不存在，请说明理由.（2）若__________，求二面角F AC D --的余弦值. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 20.（12分）已知函数()()1ln ,x e f x a x g x x x=+=.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）证明：()()211ln e a f x g x x e x ⎛⎫=+-+> ⎪⎝⎭时，. 21.（12分）区块链技术被认为是继蒸汽机、电力、互联网之后，下一代颠覆性的核心技术.区块链作为构造信任的机器，将可能彻底改变整个人类社会价值传递的方式.2015年至2019年五年期间，中国的区块企业数量逐年增长，居世界前列.现收集我国近5年区块链企业总数量相关数据，如下表：注：参考数据5555111174.691,312.761,10.980,40.457ii i i i i i i i i yx y z x z ========∑∑∑∑（其中ln z y =）附：样本()(),1,2,,i i x y i n =⋅⋅⋅的最小二乘法估计公式为()()()$121niii ni i x x y y bay bx x x==--==--∑∑$$，. （1）根据表中数据判断，dx ya bx y ce =+=与（其中 2.71828e =⋅⋅⋅，为自然对数的底数）哪一个回归方程类型适宜预测未来几年我国区块链企业总数量？（给出结果即可，不必说明理由）（2）根据（1）的结果，求y 关于x 的回归方程（结果精确到小数点后第三位）；（3）为了促进公司间的合作与发展，区块联合总部决定进行一次信息化技术比赛，邀请甲、乙、丙三家区块链公司参赛.比赛规则如下：①每场比赛有两个公司参加，并决出胜负；②每场比赛获胜的公司与未参加此场比赛的公司进行下一场的比赛；③在比赛中，若有一个公司首先获胜两场，则本次比赛结束，该公司就获得此次信息化比赛的“优胜公司”.已知在每场比赛中，甲胜乙的概率为13，甲胜丙的概率为35，乙胜丙的概率为12.请通过计算说明，哪两个公司进行首场比赛时，甲公司获得“优胜公司”的概率最大？22.（12分）已知椭圆()()221222:121,x y C a b P F F a b+=>>0过点，，分别为椭圆C 的左、右焦点且121PF PF ⋅=-u u u r u u u r.（1）求椭圆C 的方程；（2）过P 点的直线1l 与椭圆C 有且只有一个公共点，直线2l 平行于OP （O 为原点），且与椭圆C 交于两。
山东省潍坊市2020年高考模拟 数学试题含答案纯word版(2020.2)
（Ⅱ）求二面角 的余弦值.
19.（12分）已知数列 的前 项和为 ，且 ，数列 满足 ， .
（I）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）记数列 的前 项和为 ，证明： .
20．（12分）某销售公司在当地 、 两家超市各有一个销售点，每日从同一家食品厂一次性购进一种食品，每件200元，统一零售价每件300元，两家超市之间调配食品不计费用，若进货不足食品厂以每件250元补货，若销售有剩余食品厂以每件150回收.现需决策每日购进食品数量，为此搜集并整理了 、 两家超市往年同期各50天的该食品销售记录，得到如下数据：
15．若一个圆柱的轴截面是面积为 的正方形，则该圆柱的外接球的表面积为__________．
16.已知函数 ，
①若 ，则不等式 的解集为__________；
②若存在实数 ，使函数 有两个零点，则 的取值范围是__________．
四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
9.下表是某电器销售公司2019年度各类电器营业收入占比和净利润占比统计表：
空调类
冰箱类
小家电类
其它类
营业收入 占比
净利润占比
则下列判断中正确的是
A.该公司2019年度冰箱类电器营销亏损
B.该公司2019年度小家电类电器营业收入和净利润相同
C.该公司2019年度净利润主要由空调类电器销售提供
D.剔除冰箱类电器销售数据后，该公司2019年度空调类电器销售净利润占比将会降低
A.甲B.乙C.丙D.丁
7.若 ， ， ，满足 ， ， ，则
A. B. C. D.
8.已知双曲线 的左右焦点分别为 ，圆 与双曲线在第一象限内的交点为 ，若 ，则双曲线的离心率为
2020年山东新高考数列精选模拟试题(含解析)
专题8 数列数列是高考重点考查的内容之一，命题形式多种多样，大小均有.其中，小题重点考查等差数列、等比数列基础知识以及数列的递推关系；解答题的难度中等或稍难，将稳定在中等难度.往往在利用方程思想解决数列基本问题后，进一步数列求和，在求和后可与不等式、函数、最值等问题综合.在考查等差数列、等比数列的求和基础上，进一步考查“裂项相消法”、“错位相减法”等，与不等式结合，“放缩”思想及方法尤为重要． 预测2020年将保持稳定，注意主观题与不等式、函数等相结合.一、单选题1．（2020届山东省淄博市高三二模）“十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为 ABC．D．2．（2020届山东省潍坊市高三下学期开学考试）已知数列{}n a 中，前n 项和为n S ，且23n n n S a +=，则1n n a a -的最大值为（ ） A ．3-B ．1-C ．3D ．13．（2020届山东省济宁市高三3月月考）在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关．”则下列说法错误的是（ ） A ．此人第二天走了九十六里路 B ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里.C ．此人第三天走的路程占全程的18D ．此人后三天共走了42里路若存在两项,m n a a32=，则14m n+的最小值为 A ．34B ．910C ．32D ．955．（2020届山东省青岛市高三上期末）已知数列{}n a 中,32a =,71a =.若1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列,则5a =( ) A ．23B ．32C ．43D ．34二、多选题6．（2020届山东省潍坊市高三模拟一）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若4524a a +=，648S =，则下列正确的是（ ） A ．12a =-B ．12a =C ．4d =D ．4d =-7．（2020·山东曲阜一中高三3月月考）在《增删算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关.”则下列说法正确的是（ ） A ．此人第二天走了九十六里路B ．此人第三天走的路程站全程的18C ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里D ．此人后三天共走了42里路8．（2020届山东省潍坊市高三模拟二）将n 2个数排成n 行n 列的一个数阵，如图：该数阵第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列（其中m ＞0）.已知a 11＝2，a 13＝a 61+1，记这n 2个数的和为S .下列结论正确的有（ ）A ．m ＝3B ．767173a =⨯C ．()1313j ij a i -=-⨯D ．()()131314n S n n =+- 9．（2020届山东省济宁市第一中学高三一轮检测）等差数列{}n a 是递增数列，满足753a a =，前n 项和为n S ，下列选择项正确的是（ ） A ． 0d >B ．10a <C ．当5n =时n S 最小D ．0n S >时n 的最小值为810．（2020·山东滕州市第一中学高三3月模拟）已知数列{}{},n n a b 满足1111312,2ln(),0n n n n n n n a a b b a b n N a b n*+++=+=++∈+> 给出下列四个命题，其中的真命题是（ ） A ．数列{}n n a b -单调递增； B ．数列{}n n a b + 单调递增； C ．数{}n a 从某项以后单调递增； D ．数列{}n b 从某项以后单调递增.三、填空题11．（2020届山东省烟台市高三模拟）已知数列{}n a 的前n 项和公式为221n S n n =-+，则数列{}n a 的通项公式为___．12．（2020届山东省潍坊市高三模拟一）九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏.在某种玩法中，用n a 表示解下()*9,n n n N≤∈个圆环所需移动的最少次数，{}na 满足11a=，且()()112122n n n a n a a n --⎧-⎪=⎨+⎪⎩为偶数为奇数，则解下5个圆环需最少移动________次.四、解答题13．（2020·山东高三模拟）已知各项均不相等的等差数列{}n a 的前4项和为414S =, 且137,,a a a 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式; （2）求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .14．（2020届山东省烟台市高三模拟）已知数列{}n a 的前n 项和238n S n n =+，{}n b 是等差数列，且1n n n a b b +=+.（Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）令1(1)(2)n n n nn a c b ++=+.求数列{}n c 的前n 项和n T . 15．（2020届山东省高考模拟）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12n n S a a =-（*n N ∈），数列{}n b 满足16b =，14n n nb S a =++（*n N ∈）． （Ⅰ）求数列{}n a 通项公式； （Ⅱ）记数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：12nT ＜． 16．（2020届山东省济宁市第一中学高三一轮检测）已知{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且23b =，39b =，11a b =，144a b =．（1）求{}n a 的通项公式；（2）设n n n c a b =+，求数列{}n c 的前n 项和．17．（2020届山东省济宁市第一中学高三二轮检测）已知数列{}n a 中，11a =，121n n a a n +=+-，n n b a n =+.（1）求证：数列{}n b 是等比数列; （2）求数列{}n a 的前n 项和n S .18．（2020·山东滕州市第一中学高三3月模拟）已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，其前n 项和为n S ，若2822a a +=，且4712,,a a a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若12111n n T S S S =+++，证明：34n T <. 19．（2020届山东省泰安市肥城市一模）记n S 为公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和，已知2219a a =，618S =.（1）求{}n a 的通项公式；（2）求n S 的最大值及对应n 的大小.20．（2020届山东省济宁市高三3月月考）已知数列{}n a 为公差不为0的等差数列，且139a a a 、、成等比数列，246a a +=.（1）求数列{}n a 的通项n a ； （2）设()21cos3n n n a b a π+=，求数列{}nb 的前2020项的和2020S.21．（2020届山东省菏泽一中高三2月月考）设数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知11a =,121n n S S +-=,n *∈N . (1)证明:{}1n S +为等比数列,求出{}n a 的通项公式; (2)若n nn b a =,求{}n b 的前n 项和n T ,并判断是否存在正整数n 使得1250n n T n -⋅=+成立?若存在求出所有n 值;若不存在说明理由.22．（2020届山东省潍坊市高三模拟一）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，34a =，627S =. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设2n an b =，记n T 为数列{}n b 的前n 项和.若124m T =，求m .23．（2020届山东省潍坊市高三模拟二）已知数列{a n }的首项为a 1＝1，且*12(1)()n n a a n N +=+∈.（Ⅰ）证明：数列{a n +2}是等比数列，并求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）设b n ＝log 2（a n +2）﹣log 23，求数列32n n b a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和n T .24．（2020届山东省六地市部分学校高三3月线考）数列{}n a 满足：123a a a +++()1312nn a +=- （1）求{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足3n na b n a =，求{}n b 的前n 项和n T .25．（2020届山东省潍坊市高三下学期开学考试）已知函数()log k f x x =（k 为常数，0k >且1k ≠）． （1）在下列条件中选择一个________使数列{}n a 是等比数列，说明理由； ①数列(){}n f a 是首项为2，公比为2的等比数列； ②数列(){}n f a 是首项为4，公差为2的等差数列；③数列(){}n f a 是首项为2，公差为2的等差数列的前n 项和构成的数列．（2）在（1）的条件下，当k =12241+=-n n n a b n ，求数列{}n b 的前n 项和n T . 26．（2020届山东济宁市兖州区高三网络模拟考）在①325256a a a b =+=，；②234323b a a b =+=，；③345298S a a b =+=，，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知等差数列{}n a 的公差为()1d d >，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ，且11a b d q ==，，____________．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式． （2）记nn na cb =，求数列{}n c ，的前n 项和n T ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 27．（2020·山东高三下学期开学）已知数列{}n a 满足123123252525253n n na a a a ++++=----…．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：11226n T ≤<． 28．（2020届山东省淄博市高三二模）已知数列{}n a 满足132a =，且()1112,22n n n a a n n *--=+≥∈N .（1）求证：数列{}2nn a 是等差数列，并求出数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S .29．（2020届山东省淄博市部分学校高三3月检测）已知数列{}n a 满足11a =，1431n n a a n +=+-，n n b a n =+.（1）证明：数列{}n b 为等比数列； （2）求数列{}n a 的前n 项和.30．（2020·2020届山东省淄博市高三二模）（本小题满分12分）设函数()()22ln 11x f x x x =+++.（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）如果对所有的x ≥0，都有()f x ≤ax ，求a 的最小值；（Ⅲ）已知数列{}n a 中， 11a =，且()()1111n n a a +-+=，若数列{}n a 的前n 项和为n S ，求证：11ln 2n n n na S a a ++>-.一、单选题1．（2020届山东省淄博市高三二模）“十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为 ABC． D．【答案】D 【解析】分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解.详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为所以1(2,)n n a n n N -+=≥∈， 又1a f =，则7781a a q f === 故选D.2．（2020届山东省潍坊市高三下学期开学考试）已知数列{}n a 中，前n 项和为n S ，且23n n n S a +=，则1n n a a -的最大值为（ ） A ．3- B ．1-C ．3D ．1【答案】C 【解析】当2n ≥ 时，1121,,33n n n n n n S a S a --++== 两式作差可得：11211213311n n n n n a n n n a a a a n n --+++=-⇒==+-- ， 据此可得，当2n = 时，1nn a a -的最大值为33．（2020届山东省济宁市高三3月月考）在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关．”则下列说法错误的是（ ）A ．此人第二天走了九十六里路B ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里.C ．此人第三天走的路程占全程的18D ．此人后三天共走了42里路【答案】C 【解析】由题意可知，每天走的路程里数构成以12为公比的等比数列，由S 6=378求得首项，再由等比数列的通项公式求第二天的，第三天的，后三天的路程，即可得到答案．4．（2020届山东省济宁市第一中学高三二轮检测）已知正项等比数列{}n a 满足：2853516,20a a a a a =+=，若存在两项,m n a a 32=，则14m n+的最小值为 A ．34B ．910C ．32D ．95【答案】A 【解析】因为数列{}n a 是正项等比数列，28516a a a ，3520a a +=，所以2285516a a a a ，516a =，34a =，所以253a a q =，2q ，451a a q ，11a =，1112n n n a a q --==，32=，所以1110222m n，12m n +=，414114112125n m mnm n mnm n431124520,0n m mnm n ，当且仅当2n m =时“=”成立， 所以14mn的最小值为34，故选A 。
山东省潍坊市2020届高三数学二模试题(附解析)
【详解】由甲的年龄和记者不同，记者的年龄比乙小，得到丙是记者，
从而排除 B 和 D；
由丙的年龄比医生大，得到乙不是医生（若乙是医生的话与记者的年龄比乙小相矛盾），从
而乙是律师，甲是医生．
故选：C.
【点睛】本题考查简单的合情推理，考查推理论证能力、总结归纳能力，考查化归与转化
思想，是基础题.
4.以抛物线 E : x2 4 y 的焦点为圆心，且与 E 的准线相切的圆的方程为（ ）
对于 D，2015 年我国人均粮食年产量达到了最高峰，约为 0.48 吨/人，故 D 正确． 故选：BCD 【点睛】本题主要考查条形图，考查学生的数据分析和运算求解能力，是基础题．
10.若 a b 1 ， c 0 则下列不等式中一定成立的是（ ）
a1 b1
A. a
b
C. ln(b a) 0
【详解】根据题意可知，这 20 个老人年龄之和为 1520，设年纪最小者年龄为 n，年纪最大
者为 m，m∈[90,100]， 则有 n+（n+1）+（n+2）+ +（n+18）+m＝19n+171+m＝1520，
则有 19n+m＝1349，则 m＝1349﹣19n，
所以 90≤1349﹣19n≤100，
【答案】BD 【解析】 【分析】
a1 b1
B. b
a
D.
a b
c
b a
c
对于
A：构造函数
y
x
1 x
，由函数在
(,
1)
上的单调性进行比较；
对于
B：构造函数
y
x
1 x
，由函数在
2020届高考数学大二轮刷题首选卷理数文档：第一部分 考点十二 数列综合问题
考点十二 数列综合问题一、选择题1．若数列{a n }满足a n ＋1＋a n ＝(－1)n ·n ，则数列{a n }的前20项的和为( ) A ．－100 B ．100 C ．－110 D ．110答案 A解析 由a n ＋1＋a n ＝(－1)n ·n ，得a 2＋a 1＝－1，a 3＋a 4＝－3，a 5＋a 6＝－5，…，a 19＋a 20＝－19，∴{a n }的前20项的和为a 1＋a 2＋…＋a 19＋a 20＝－1－3－…－19＝－1＋192×10＝－100.2．(2019·辽宁葫芦岛二模)九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合而为一”．在某种玩法中，用a n 表示解下n (n ≤9，n ∈N *)个圆环所需的最少移动次数，{a n }满足a 1＝1，且a n ＝⎩⎨⎧2a n －1－1(n 为偶数)，2a n －1＋2(n 为奇数)，则解下4个环所需的最少移动次数为( ) A ．7 B ．10 C ．12 D ．22 答案 A解析 依题意a 4＝2a 3－1＝2(2a 2＋2)－1＝2[2(2a 1－1)＋2]－1＝7，故选A. 3．(2019·西藏拉萨中学第二次月考)数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ≥1)，则a 6＝( )A ．3×44B ．3×44＋1C ．44D ．44＋1 答案 A解析 由a n ＋1＝3S n 得a n ＝3S n －1(n ≥2)，两式相减得a n ＋1－a n ＝3(S n －S n －1)＝3a n ，则a n ＋1＝4a n (n ≥2)，又a 1＝1，a 2＝3S 1＝3a 1＝3，∴a n ＝a 2q n －2＝3×4n －2(n ≥2)，即a 6＝3×44，故选A.4．等差数列{a n }中，a 1＋a 2＝125，a 2＋a 5＝4，设b n ＝[a n ]，[x ]表示不超过x 的最大整数，[0.8]＝0，[2.1]＝2，则数列{b n }的前8项和S 8＝( )A ．24B ．20C ．16D ．12答案 C解析 由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋d ＝125，2a 1＋5d ＝4⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝25⇒a n ＝1＋(n －1)×25＝25n ＋35⇒b 1＝b 2＝b 3＝1，b 4＝b 5＝2，b 6＝b 7＝b 8＝3⇒S 8＝16.5．已知数列{a n }的各项均为正数，a 1＝2，a n ＋1－a n ＝4a n ＋1＋a n ，若数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n ＋1＋a n 的前n 项和为5，则n ＝( )A ．35B ．36C ．120D ．121答案 C解析 用裂项相消法求数列的前n 项和．因为a n ＋1－a n ＝4a n ＋1＋a n，所以a 2n ＋1－a 2n ＝4，所以数列{a 2n }是首项为4，公差为4的等差数列，所以a 2n ＝4n ，因为数列{a n }的各项均为正数，所以a n ＝2n ，所以1a n ＋1＋a n ＝12×1n ＋1＋n＝12×(n ＋1－n )，所以S n ＝12×[(2－1)＋(3－2)＋…＋(n －n －1)＋(n ＋1－n )]＝12×(n ＋1－1)＝5，解得n ＝120，故选C.6．(2019·安徽宣城第二次调研)已知正项等比数列{a n }满足a 9＝a 8＋2a 7，若存在两项a m ，a n ，使得a m a n ＝2a 21，则1m ＋4n的最小值为( ) A ．2 2 B ．83 C ．3 D ．3 2答案 C解析 设等比数列的公比为q (q ＞0)，∵a 9＝a 8＋2a 7，∴a 7q 2＝a 7q ＋2a 7，∴q 2－q －2＝0，∴q ＝2或q ＝－1(舍去)，∵存在两项a m ，a n 使得a m a n ＝2a 21，∴a 21qm －1＋n －1＝2a 21，2m ＋n －2＝2，m ＋n －2＝1，m ＋n ＝3，∴1m＋4n＝13×⎝⎛⎭⎪⎫1m ＋4n (m ＋n )＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫n m ＋4m n ＋5≥13×9＝3，当且仅当m ＝1，n ＝2时等号成立．故选C. 7．(2019·浙江三校联考二)已知数列{a n }满足a 1＝a >0，a n ＋1＝－a 2n ＋ta n (n ∈N *)，若存在实数t ，使{a n }单调递增，则a 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)答案 A解析 由{a n }单调递增，得a n ＋1＝－a 2n ＋ta n >a n ，又a 1＝a >0，则a n >0，所以t >a n ＋1(n ∈N *)．n ＝1时，t >a ＋1.①n ＝2时，t >－a 2＋ta ＋1，即(a －1)t <(a ＋1)(a －1)．② 若a ＝1，②式不成立，不符合题意；若a >1，②式等价于t ＜a ＋1，与①式矛盾，不符合题意．排除B ，C ，D ，故选A.8．已知数列{a n }满足a 1a 2a 3…a n ＝2n 2(n ∈N *)，且对任意n ∈N *都有1a 1＋1a 2＋…＋1a n<t ，则t 的取值范围为( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞答案 D解析 ∵数列{a n }满足a 1a 2a 3…a n ＝2n 2(n ∈N *)，∴当n ＝1时，a 1＝2；当n ≥2时，a 1a 2a 3…a n －1＝2(n －1)2，可得a n ＝22n －1，∴1a n ＝122n －1，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 为等比数列，首项为12，公比为14.∴1a 1＋1a 2＋…＋1a n＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－14n 1－14＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n <23，∵对任意n ∈N *都有1a 1＋1a 2＋…＋1a n <t ，∴t 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞.二、填空题9．(2019·河北唐山二模)各项均为正数的数列{a n }满足a 1＝1，a n ·a n ＋2＝3a n ＋1(n ∈N *)，则a 5·a 2019＝________.答案 27解析 由a n ·a n ＋2＝3a n ＋1知n ≥2，a n －1·a n ＋1＝3a n ，两式相乘得a n －1·a n ＋2＝9，又a n ＋2·a n ＋5＝9，得a n －1＝a n ＋5，则数列周期为6，又a 1a 4＝9，则a 4＝9，故a 5·a 2019＝a 5·a 6×336＋3＝a 5·a 3＝3a 4＝27.10．已知a n ＝n －7n －52(n ∈N *)，设a m 为数列{a n }的最大项，则m ＝________.答案 8解析 因为函数y ＝x －7x －52在(－∞，52)，(52，＋∞)上单调递减，结合该函数图象可得a 8>a 9>…>1>a 1>a 2>…>a 7，即a 8为数列{a n }的最大项，故m ＝8.11．(2019·湖南株洲二模)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝4,4S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＋1(n ≥1)，则a n ＝________.答案 ⎩⎨⎧4(n ＝1)，3×4n －1(n ≥2) 解析 当n ≥2时，由4S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＋1，得4S n －1＝a 1＋a 2＋…＋a n ，∴4S n －4S n －1＝a n ＋1，即4a n ＝a n ＋1，∴a n ＋1a n ＝4(n ≥2)，又4S 1＝4a 1＝a 1＋a 2，a 1＝4，∴a 2＝12，∴当n ≥2时，a n ＝12×4n －2＝3×4n －1.又a 1＝4，不满足上式，所以所求通项公式为a n ＝⎩⎨⎧4(n ＝1)，3×4n －1(n ≥2).12．(2019·山东聊城三模)我国古代的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：如图，将1,2，…，9填入3×3的方格内，使三行、三列和两条对角线上的三个数字之和都等于15.一般地，将连续的正整数1,2,3，…，n 2填入n ×n 个方格中，使得每行、每列和两条对角线上的数字之和都相等，这个正方形叫做n 阶幻方．记n 阶幻方的对角线上的数字之和为N n ，如图三阶幻方的N 3＝15，那么N 9的值为________．答案369解析根据题意可知，幻方对角线上的数成等差数列，N3＝13×(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9)＝15，N4＝14×(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＋14＋15＋16)＝34，N5＝15×(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＋14＋15＋16＋17＋18＋19＋20＋21＋22＋23＋24＋25)＝65，…，∴N n＝1n×(1＋2＋3＋4＋5＋…＋n2)＝1n×n2(1＋n2)2＝n(n2＋1)2，故N9＝9×(92＋1)2＝9×41＝369.三、解答题13．(2019·辽宁丹东质量测试二)数列{a n}中，a1＝1，a n＋1＝a n＋2n＋1.(1)求{a n}的通项公式；(2)设b n＝14a n－1，求数列{b n}的前n项和．解(1)因为a n＋1＝a n＋2n＋1，所以当n≥2时，a n＝(a n－a n－1)＋(a n－1－a n－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝1＋3＋…＋(2n－1)＝n2. 由于a1＝1满足a n＝n2，所以所求{a n}的通项公式为a n＝n2.(2)因为b n＝14n2－1＝12⎝⎛⎭⎪⎫12n－1－12n＋1，所以数列{b n}的前n项和为T n＝b1＋b2＋…＋b n＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋…＋12n－1－12n＋1＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－12n＋1＝n2n＋1.14．(2019·山东烟台适应性练习)已知数列{a n}的前n项和S n满足S n＝2a n－2(n∈N *)，{b n }是等差数列，且a 3＝b 4－2b 1，b 6＝a 4.(1)求{a n }和{b n }的通项公式； (2)求数列{(－1)n b 2n }的前2n 项和T 2n . 解 (1)S n ＝2a n －2，当n ＝1时，得a 1＝2， 当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－2， 作差得a n ＝2a n －1(n ≥2)，所以数列{a n }是以2为首项，公比为2的等比数列， 所以a n ＝2n .设等差数列{b n }的公差为d ， 由a 3＝b 4－2b 1，b 6＝a 4， 所以8＝3d －b 1,16＝5d ＋b 1， 所以d ＝3，b 1＝1，所以b n ＝3n －2.(2)T 2n ＝(－b 21＋b 22)＋(－b 23＋b 24)＋…＋(－b 22n －1＋b 22n )＝3(b 1＋b 2)＋3(b 3＋b 4)＋…＋3(b 2n －1＋b 2n ) ＝3(b 1＋b 2＋…＋b 2n )， 又因为b n ＝3n －2，则T 2n ＝3×2n (b 1＋b 2n )2＝3n [1＋3×(2n )－2]＝18n 2－3n .一、选择题1．已知数列{b n }满足b 1＝1，b 2＝4，b n ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋sin 2n π2b n ＋cos 2n π2，则该数列的前23项的和为( )A ．4194B ．4195C ．2046D ．2047答案 A解析 由题意，得当n 为奇数时，b n ＋2＝2b n ，数列为以2为公比的等比数列，当n 为偶数时，b n ＋2＝b n ＋1，数列为以1为公差的等差数列，∴S 23＝(b 1＋b 3＋…＋b23)＋(b2＋b4＋…＋b22)＝1－2121－2＋11×4＋11×(11－1)2×1＝212－1＋44＋55＝4194.2．(2019·浙江金华十校模拟)等差数列{a n}，等比数列{b n}，满足a1＝b1＝1，a5＝b3，则a9能取到的最小整数是()A．－1 B．0C．2 D．3答案 B解析设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，由a1＝b1＝1，a5＝b3，可得1＋4d＝q2，则a9＝1＋8d＝1＋2(q2－1)＝2q2－1>－1，可得a9能取到的最小整数是0，故选B.3．中国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原则，例如《周髀算经》和《易经》里对二十四节气的晷(guǐ)影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其他节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的，下表为《周髀算经》对二十四节气晷影长的记录，其中115.146寸表示115寸146分(1寸＝10分)．已知《易经》中记录的冬至晷影长为130.0寸，夏至晷影长为14.8寸，那么《易经》中所记录的惊蛰的晷影长应为()A．72.4寸B．81.4寸C．82.0寸D．91.6寸答案 C解析设晷影长为等差数列{a n}，公差为d，a1＝130.0，a13＝14.8，则130.0＋12d＝14.8，解得d＝－9.6，∴a6＝130.0－9.6×5＝82.0，∴《易经》中所记录的惊蛰的晷影长是82.0寸．4．已知数列{a n }满足a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫13－a n ＋2(n >8)，a n －7(n ≤8)，若对于任意的n ∈N *都有a n >a n＋1，则实数a 的取值范围是( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1答案 D解析 ∵对于任意的n ∈N *都有a n >a n ＋1，∴数列{a n }单调递减，∴⎩⎪⎨⎪⎧13－a <0，0<a <1，即13<a <1.又由题意知a 9<a 8，即⎝ ⎛⎭⎪⎫13－a ×9＋2<a 8－7，解得a >12，故12<a <1.5．已知数列{a n }的首项a 1＝1，前n 项和为S n ，且满足2a n ＋1＋S n ＝2(n ∈N *)，则满足10011000<S 2n S n<1110的n 的最大值为( )A ．9B ．8C ．7D ．6答案 A解析 由2a n ＋1＋S n ＝2得2(S n ＋1－S n )＋S n ＝2，即S n ＋1＝12S n ＋1，S n ＋1－2＝12(S n －2)，且S 1－2＝a 1－2＝－1，所以S n －2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，S n ＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，所以S 2n S n ＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫122n －12－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122n1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫10011000，1110，即11000<⎝ ⎛⎭⎪⎫12n <110，4≤n ≤9，所以n 的最大值为9，故选A.6．(2019·陕西西安4月联考)已知函数f (x )＝21＋x 2，若等比数列{a n }满足a 1a 2019＝1，则f (a 1)＋f (a 2)＋f (a 3)＋…＋f (a 2019)＝( )A ．2019B ．20192C ．2D ．12答案 A 解析 ∵f (x )＝21＋x 2，∴f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝21＋x 2＋21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＝2.∵a 1a 2019＝1，∴f (a 1)＋f (a 2019)＝2，∵{a n }为等比数列，则a 1a 2019＝a 2a 2018＝…＝a 1009a 1011＝a 21010＝1.∴f (a 2)＋f (a 2018)＝…＝f (a 1009)＋f (a 1011)＝2，f (a 1010)＝1，即f (a 1)＋f (a 2)＋f (a 3)＋…＋f (a 2019)＝2×1009＋1＝2019.7．(2019·江西新八校联考二)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知(a 2017－1)2019＋2019a 2017＋(a 2017－1)2021＝2000，(a 2020－1)2019＋2019a 2020＋(a 2020－1)2021＝2038，则S 4036＝( )A ．2020B ．2038C ．4034D ．4036答案 D解析 由(a 2017－1)2019＋2019a 2017＋(a 2017－1)2021＝2000得 (a 2017－1)2019＋2019(a 2017－1)＋(a 2017－1)2021＝－19，① 由(a 2020－1)2019＋2019a 2020＋(a 2020－1)2021＝2038得 (a 2020－1)2019＋2019(a 2020－1)＋(a 2020－1)2021＝19，② 令f (x )＝x 2019＋2019x ＋x 2021， 则①式即为f (a 2017－1)＝－19， ②式即为f (a 2020－1)＝19，又f (－x )＋f (x )＝0，即f (x )是奇函数，则(a 2017－1)＋(a 2020－1)＝0，即a 2017＋a 2020＝2，∴S 4036＝2018(a 1＋a 4036)＝2018(a 2017＋a 2020)＝4036.故选D.8．(2019·广东韶关模拟)已知数列{a n }满足a 1＋12a 2＋13a 3＋…＋1n a n ＝n 2＋n (n ∈N *)，设数列{b n }满足b n ＝2n ＋1a n a n ＋1，数列{b n }的前n 项和为T n ，若T n <n n ＋1λ(n ∈N *)恒成立，则实数λ的取值范围为( )A ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫38，＋∞D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫38，＋∞答案 D解析 因为a 1＋12a 2＋13a 3＋…＋1n a n ＝n 2＋n ，所以当n ≥2时，a 1＋12a 2＋13a 3＋…＋1n －1a n －1＝(n －1)2＋(n －1)，则1n a n ＝2n ，故a n ＝2n 2(a 1＝2满足此式)，所以b n ＝2n ＋14n 2(n ＋1)2＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n 2－1(n ＋1)2，则T n ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋…＋1n 2－1(n ＋1)2＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1(n ＋1)2，由于T n <n n ＋1λ(n ∈N *)恒成立，故14⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1(n ＋1)2<n n ＋1λ，整理得λ>n ＋24n ＋4，因为y ＝n ＋24n ＋4＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ＋1在n ∈N *上单调递减，故当n ＝1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋14n ＋4max ＝38，所以λ>38，故选D.二、填空题9．(2019·辽宁沈阳质量监测三)数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2n －1，则数列b n ＝a 2n －7a n ＋6的最小值为________．答案 －6解析 由S n ＝2n －1，得a 1＝S 1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1－2n －1＋1＝2n －1，a 1＝1适合上式，∴a n ＝2n －1.则b n ＝a 2n －7a n ＋6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －722－254，∴当a n ＝4时，(b n )min ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4－722－254＝－6.10．(2019·辽宁沈阳东北育才学校第八次模拟)已知数列{a n }中，a 1＝1，S n 是数列{a n }的前n 项和，且对任意的r ，t ∈N *，都有S r S t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫r t 2，则a n ＝________.答案 2n －1解析 若r ＝n ，t ＝n ＋1，n ∈N *，则S n S n ＋1＝n 2(n ＋1)2，令S n ＝n 2k ，S n ＋1＝(n ＋1)2k ，则a 1＝S 1＝k ＝1，∴S n ＝n 2，S n ＋1＝(n ＋1)2，∴a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝(n ＋1)2－n 2＝2n ＋1＝2(n ＋1)－1，∴a n ＝2n －1，经验证，n ＝1时，满足a n ＝2n －1，所以a n ＝2n －1.11．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{a n }为12，13，23，14，24，34，15，25，35，45，…，1n ，2n ，…，n －1n ，…，若S k ＝14，则a k ＝________.答案 78解析 因为1n ＋2n ＋…＋n －1n ＝1＋2＋…＋n －1n ＝n 2－12，1n ＋1＋2n ＋1＋…＋n n ＋1＝1＋2＋…＋n n ＋1＝n 2，所以数列12，13＋23，14＋24＋34，…，1n ＋1＋2n ＋1＋…＋n n ＋1是首项为12，公差为12的等差数列，所以该数列的前n 项和T n ＝12＋1＋32＋…＋n 2＝n 2＋n 4.令T n ＝n 2＋n 4＝14，解得n ＝7，所以a k ＝78.12．(2019·河北衡水四月大联考)历史上数列的发展折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用，比如意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233，….即F (1)＝F (2)＝1，F (n )＝F (n －1)＋F (n －2)(n ≥3，n ∈N *)，此数列在现代物理、准晶体结构及化学等领域有着广泛的应用，若此数列被4整除后的余数构成一个新的数列{b n }，又记数列{c n }满足c 1＝b 1，c 2＝b 2，c n ＝b n －b n －1(n ≥3，n ∈N *)，则c 1＋c 2＋c 3＋…＋c 2019的值为________．答案 3解析 记“兔子数列”为{a n }，则数列{a n }每个数被4整除后的余数构成一个新的数列{b n }为{1,1,2,3,1,0,1,1,2,3,1,0，…}，可得数列{b n }构成一周期为6的数列，由题意得数列{c n }为{1,1,1,1，－2，－1,1,0,1,1，－2，－1,1,0,1,1，－2，－1，…}，观察数列{c n }可知该数列从第三项开始后面所有的数列构成一周期为6的数列，且每一周期的所有项的和为0，所以c 1＋c 2＋c 3＋…＋c 2019＝(c 1＋c 2)＋(c 3＋…＋c 2018)＋c 2019＝1＋1＋1＝3.三、解答题13．(2019·河北廊坊期中联合调研)已知数列{a n }满足a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝2－n ＋22n .(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)∵a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝2－n ＋22n ，∴当n ＝1时，a 1＝2－32＝12；当n ≥2，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)·a n －1＝2－n ＋12n －1， ∴na n ＝2－n ＋22n －⎝⎛⎭⎪⎫2－n ＋12n －1＝n 2n ，可得a n ＝12n ， 又∵当n ＝1时也成立，∴a n ＝12n .(2)∵b n ＝1a n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a n ＋1， ∴b n ＝2n (1＋2n )(1＋2n ＋1)＝12n ＋1－12n ＋1＋1， ∴T n ＝12＋1－122＋1＋122＋1－123＋1＋…＋12n ＋1－12n ＋1＋1＝13－12n ＋1＋1. 14．(2019·河北石家庄二中二模)已知等比数列{a n }满足a n <a n ＋1，a 2＋a 3＋a 4＝28，且a 3＋2是a 2，a 4的等差中项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n log 12a n ，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，对任意正整数n ，S n ＋(n ＋m )a n ＋1<0恒成立，试求m 的取值范围．解 (1)设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q .依题意得2(a 3＋2)＝a 2＋a 4，代入a 2＋a 3＋a 4＝28，得a 3＝8.因此a 2＋a 4＝20，即有⎩⎨⎧a 1q ＋a 1q 3＝20，a 1q 2＝8， 解得⎩⎨⎧ q ＝2，a 1＝2或⎩⎪⎨⎪⎧q ＝12，a 1＝32，又数列{a n }单调递增，则⎩⎨⎧ q ＝2，a 1＝2，故a n ＝2n .(2)∵b n ＝2n log 122n ＝－n ·2n ，∴－S n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n ，① －2S n ＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n －1)×2n ＋n ×2n ＋1，② ①－②，得S n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1 ＝2(1－2n )1－2－n ·2n ＋1＝2n ＋1－n ·2n ＋1－2.∵S n ＋(n ＋m )a n ＋1<0，∴2n ＋1－n ·2n ＋1－2＋n ·2n ＋1＋m ·2n ＋1<0， 对任意正整数n 恒成立，m ·2n ＋1<2－2n ＋1对任意正整数n 恒成立，即m <12n －1恒成立，∵12n －1>－1，∴m ≤－1，即m 的取值范围是(－∞，－1]．。
2020届高考数学大二轮刷题首选卷理数课件：第一部分 考点十四 空间中的平行与垂直关系
解析 因为在四边形 ABCD 中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠ BAD＝90°，所以 BD⊥CD，又平面 ABD⊥平面 BCD，且平面 ABD∩平面 BCD ＝BD，所以 CD⊥平面 ABD，则 CD⊥AB，又 AD⊥AB，所以 AB⊥平面 ADC， 则平面 ABC⊥平面 ADC，故选 D.
解 (1)证明：如图 1，在三棱柱 ABC－A1B1C1 中，连接 BM， 因为 BCC1B1 是矩形，所以 BC⊥BB1， 因为 AA1∥BB1，所以 AA1⊥BC， 又因为 AA1⊥MC，BC∩MC＝C， 所以 AA1⊥平面 BCM，所以 AA1⊥MB， 又因为 AB＝A1B，所以 M 是 AA1 的中点，
取 BC 的中点 P，连接 NP，AP， 因为 N 是 B1C 的中点，则 NP∥BB1 且 NP＝12BB1， 所以 NP∥MA 且 NP＝MA， 所以四边形 AMNP 是平行四边形，所以 MN∥AP， 又因为 MN⊄平面 ABC，AP⊂平面 ABC， 所以 MN∥平面 ABC.
(2)因为 AB⊥A1B，所以△ABA1 是等腰直角三角形， 设 AB＝ 2a，则 AA1＝2a，BM＝AM＝a. 在 Rt△ACM 中，AC＝ 2a，所以 MC＝a. 在△BCM 中，CM2＋BM2＝2a2＝BC2， 所以 MC⊥BM， 由(1)知，则 MC⊥AA1，BM⊥AA1， 如图 2，以 M 为坐标原点，M→A1，M→B，M→C的方向分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，
解析 命题①是线面平行的判定定理，正确；命题②因为垂直同一平面 的两条直线平行，所以过空间一定点有且只有一条直线与已知平面垂直，故 正确；命题③平面内无数条直线均平行时，不能得出直线与这个平面垂直， 故不正确；命题④因为两个相交平面都垂直于第三个平面，从而交线垂直于 第三个平面，故正确．故答案为①②④.
山东省潍坊市2020届高三第二次模拟考试(数学)
潍坊市高考模拟考试数 学2020．5本试卷共6页．满分150分．考试时间120分钟． 注意事项：1．答题前，考生先将自己的学校、姓名、班级、座号、考号填涂在相应位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,7,2,3,4,5,2,3,6,7U U A B A C B ===⋂=，则 A. {}1,4B. {}1,4,5C. {}4,5D. {}6,72.若复数1a iz i+=-在复平面内对应的点在第二象限内，则实数a 的值可以是 A.1B.0C. 1-D. 2-3.甲、乙、丙三人中，一人是律师，一个是医生，一人是记者.已知丙的年龄比医生大；甲的年龄和记者不同；记者的年龄比乙小.根据以上情况，下列判断正确的是 A.甲是律师，乙是医生，丙是记者 B.甲是医生，乙是记者，丙是律师 C.甲是医生，乙是律师，丙是记者D.甲是记者，乙是医生，丙是律师4.以抛物线2:4E x y =的焦点为圆心，且与E 的准线相切的圆的方程为 A. ()2214x y -+=B. ()2214x y ++=C. ()2214x y ++=D. ()2214x y +-=5.设函数()f x 为奇函数，且当0x ≥时，()cos x f x e x =-，则不等式()()2120f x f x -+->的解集为A. (),1-∞B. 1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C. 1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D. ()1,+∞6.《周髀算经》是中国古代重要的数学著作，其记载的“日月历法”曰：“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千百五二士岁，…，生数皆终，万物复苏，天以更元作纪历”.某老年公寓住有20位老人，他们的年龄（都为正整数）之和恰好为一遂，其中年长者已是奔百之龄（年龄介于90-100），其余19人的年龄依次相差一岁，则年长者的年龄为 A.94B.95C.96D.987.在四面体ABCD 中，ABC BCD ∆∆和均是边长为1的等边三角形，已知四面体ABCD 的四个顶点都在同一球面上，且AD 是该球的直径，则四面体ABCD 的体积为A.24B.12C.6D.48.已知O 为坐标原点，双曲线()222210,0x y C a a b-=>>：的右焦点为F ，过点F 且与x 轴垂直的直线与双曲线C 的一条渐近线交于点A （点A 在第一象限），点B 在双曲线C 的渐近线上，且BF/OA ，若0AB OB ⋅=u u u r u u u r，则双曲线C 的离心率为A. 3B.C.D.2二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分. 9.我国是世界第一产粮大国，我国粮食产量很高，整体很安全.按照14亿人口计算，中国人均粮食产量约为950斤——比全球人均粮食产量高了约250斤.下图是中国国家统计局网站中2010-2019年，我国粮食产量（千万吨）与年末总人口（千万人）的条形图，根据下图可知在2010-2019年A.我国粮食年产量与年末总人口均逐年递增B.2011年我国粮食年产量的年增长率最大C.2015年-2019年我国粮食年产量相对稳定D.2015年我国人均粮食年产量达到了最高峰10.若1,0a b c <<->，则下列不等式中一定成立的是A. 11a b a b->-B. 11a b b a-<-C. ()ln 0b a ->D. c ca b b a ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11.在单位圆22:1O x y +=上任取一点(),P x y ，圆O 与x 轴正向的交点是A ，设将OA 绕原点O 旋转到OP 所成的角为θ，记,x y θ关于的表达式分别为()(),x f y g θθ==，则下列说法正确的是 A. ()x fθ=是偶函数，()y g θ=是奇函数 B. ()x fθ=在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦为函数，()y g θ=在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦为减函数 C. ()()102f g πθθθ⎡⎤+≥∈⎢⎥⎣⎦对于，恒成立D.函数()()22t fg θθ=+的最大值为3312.如图，平面α⋂平面,,l A C βα=是内不同的两点，B,D 是β内不同的两点，且A,B,C,D ∉直线l ，M,N 分别是线段AB,CD 的中点.下列判断正确的是A.若AB//CD ，则//MN lB.若M,N 重合，则//AC lC.若AB 与CD 相交，且//AC l ，则BD 可以与l 相交D.若AB 与CD 是异面直线，则MN 不可能与l 平行 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态.已知两条绳上的拉力分别是12,F F u u r u u r ，且12,F F u u r u u r与水平夹角均为1245102F F N ==ou u r u u u r，，则物体的重力大小为_________N.14.已知50sin tan 24ππααα⎛⎫⎛⎫∈-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，则__________. 15.植树造林，绿化祖国.某班级义务劳动志愿者小组参加植树活动，准备在一抛物线形地块上的ABCDGFG 七点处各种植一棵树苗，如图所示，其中A 、B 、C 分别与E 、F 、G 关于抛物线的对称轴对称.现有三种树苗，要求每种树苗至少种植一棵，且关于抛物线的对称轴对称的两点处必须种植同一种树苗，则共有不同的种植方法是_________.（用数字作答） 16.已知函数()32ln ,1231,1x x f x x x x ≥⎧=⎨-+<⎩，则[]1,x e ∈-时，()f x 的最小值为________，设()()()2g x f x f x a =-+⎡⎤⎣⎦，若函数()g x 有6个零点，则实数a 的取值范围是_________.(本题第一空2分，第二空3分)四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（10分）在ABC ∆中，角A,B,C 所对的边分别为,,23,3a b c a A π==，已知.（1）若4B π=，求b ；（2）求ABC ∆面积的最大值.18.（2分）已知数列{}n a 为正项等比数列，11a =；数列{}n b 满足21122333,b a b a b a b =++⋅⋅⋅()3232n n n a b n +=+-.（1）求n a ；（2）求11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .19.（12分）请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并作答. ①AB BC ⊥，②FC 与平面ABCD 所成的角为6π，③3ABC π∠=.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，PA ⊥平面ABCD ，且PA=AB=2,PD 的中点F.（1）在线段AB 上是否存在一点G ，使得AF//平面PCG ？若存在，指出G 在AB 上的位置并给以证明；若不存在，请说明理由.（2）若__________，求二面角F AC D --的余弦值. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.20.（12分）已知函数()()1ln ,xe f x a x g x x x=+=.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）证明：()()211ln e a f x g x x e x ⎛⎫=+-+> ⎪⎝⎭时，.21.（12分）区块链技术被认为是继蒸汽机、电力、互联网之后，下一代颠覆性的核心技术.区块链作为构造信任的机器，将可能彻底改变整个人类社会价值传递的方式.2015年至2019年五年期间，中国的区块企业数量逐年增长，居世界前列.现收集我国近5年区块链企业总数量相关数据，如下表：注：参考数据5555111174.691,312.761,10.980,40.457ii i i i i i i i i yx y z x z ========∑∑∑∑（其中ln z y =）附：样本()(),1,2,,i i x y i n =⋅⋅⋅的最小二乘法估计公式为()()()$121niii nii x x y y bay bx x x ==--==--∑∑$$，. （1）根据表中数据判断，dxy a bx y ce =+=与（其中 2.71828e =⋅⋅⋅，为自然对数的底数）哪一个回归方程类型适宜预测未来几年我国区块链企业总数量？（给出结果即可，不必说明理由）（2）根据（1）的结果，求y 关于x 的回归方程（结果精确到小数点后第三位）；（3）为了促进公司间的合作与发展，区块联合总部决定进行一次信息化技术比赛，邀请甲、乙、丙三家区块链公司参赛.比赛规则如下：①每场比赛有两个公司参加，并决出胜负；②每场比赛获胜的公司与未参加此场比赛的公司进行下一场的比赛；③在比赛中，若有一个公司首先获胜两场，则本次比赛结束，该公司就获得此次信息化比赛的“优胜公司”. 已知在每场比赛中，甲胜乙的概率为13，甲胜丙的概率为35，乙胜丙的概率为12.请通过计算说明，哪两个公司进行首场比赛时，甲公司获得“优胜公司”的概率最大？22.（12分）已知椭圆()()221222:121,x y C a b P F F a b+=>>0过点，，分别为椭圆C 的左、右焦点且121PF PF ⋅=-u u u r u u u r.（1）求椭圆C 的方程；（2）过P 点的直线1l 与椭圆C 有且只有一个公共点，直线2l 平行于OP （O 为原点），且与椭圆C 交于两点A 、B ，与直线2x =交于点M （M 介于A 、B 两点之间）.（i ）当PAB ∆面积最大时，求2l 的方程；（ii ）求证：PA MB PB MA =，并判断12,,,l l PA PB 的斜率是否可以按某种顺序构成等比数列。
专题7.4 数列求和(讲)(解析版)
专题7.4 数列求和【考纲解读与核心素养】1.掌握等差数列、等比数列前 n 项和公式及其应用.2．培养学生的数学抽象、数学运算、数学建模、逻辑推理、直观想象等核心数学素养. 3.高考预测：（1）等差数列与等比数列综合确定基本量，利用“裂项相消法”“错位相减法”等求和. （2）简单的等差数列、等比数列求和..（3）往往以数列求和问题为先导，在解决数列基本问题后考查数列求和，在求和后再与不等式、函数、最值等问题综合.考查 “裂项相消法”、“错位相减法”较多. 4.备考重点:（1）灵活选用数列求和公式的形式，关注应用公式的条件； （2）熟悉分组求和法、裂项相消法及错位相减法．【知识清单】知识点1．数列求和1. 等差数列的前n 和的求和公式：11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+. 2．等比数列前n 项和公式 一般地，设等比数列123,,,,,n a a a a 的前n 项和是=n S 123n a a a a ++++，当1≠q 时，qq a S n n --=1)1(1或11n n a a qS q -=-；当1q =时，1na S n =（错位相减法）. 3. 数列前n 项和①重要公式：（1）1nk k ==∑123n ++++=2)1(+n n （2）1(21)nk k =-=∑()13521n ++++-=2n（3）31nk k ==∑2333)1(2121⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+++n n n（4）21nk k ==∑)12)(1(613212222++=++++n n n n②等差数列中，m n m n S S S mnd +=++； ③等比数列中，n m m n n m m n S S q S S q S +=+=+.【典例剖析】高频考点一 ：公式法、分组转化法求和【典例1】（2020届山东省济宁市第一中学高三二轮检测）已知数列{}n a 中，11a =，121n n a a n +=+-，n n b a n =+.（1）求证：数列{}n b 是等比数列; （2）求数列{}n a 的前n 项和n S . 【答案】（1）证明见解析 （2）()11222n n n n S ++=--【解析】（1）证明：因为121,n n n n a a n b a n +=+-=+所以()()()11121122n n n n n b a n a n n a n b ++=++=+-++=+=, 又因为11120b a =+=≠,则12n nb b +=, 所以数列{}n b 是首项为2,公比为2的等比数列. （2）由（1）知2n n n a n b +==,所以2nn a n =-,所以()()()()232122232nn S n =-+-+-+⋅⋅⋅+-()()232222123n n =+++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+()()()121211221222n n n n n n +-++=-=---【典例2】（2019·天津高考真题（理））设{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列.已知1122334,622,24a b b a b a ===-=+，.（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n c 满足111,22,1,,2,k k n kk n c c b n +⎧<<==⎨=⎩其中*k ∈N . （i ）求数列(){}221n n a c -的通项公式； （ii ）求()2*1ni ii a c n =∈∑N .【答案】（Ⅰ）31n a n =+；32nn b =⨯（Ⅱ）（i ）()221941n n n a c -=⨯-（ii ）()()2*211*12725212nn n i i i a c n n n --=∈=⨯+⨯--∈∑N N【解析】(Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q .依题意得()()262426262424124q d d q d d ⎧=+-=+⎪⎨=++=+⎪⎩，解得32d q =⎧⎨=⎩，故4(1)331n a n n =+-⨯=+，16232n nn b -=⨯=⨯.所以，{}n a 的通项公式为31n a n =+，{}n b 的通项公式为32nn b =⨯. (Ⅱ)(i )()()()()22211321321941n n n n n nn a c a b -=-=⨯+⨯-=⨯-.所以，数列(){}221n n a c -的通项公式为()221941n n na c -=⨯-.(ii )()22111n n i iiiii i a c a a c ===+-⎡⎤⎣⎦∑∑()2222111n niiii i a a c===+-∑∑()2212432n n n⎛⎫- ⎪=⨯+⨯ ⎪⎝⎭()1941n i i =+⨯-∑ ()()2114143252914n n n n ---=⨯+⨯+⨯--()211*2725212n n n n N --=⨯+⨯--∈.【总结提升】1．公式法：如果一个数列是等差、等比数列或者是可以转化为等差、等比数列的数列，我们可以运用等差、等比数列的前n 项和的公式来求和.对于一些特殊的数列（正整数数列、正整数的平方和立方数列等）也可以直接使用公式求和.2．分组转化法求和的常见类型(1)若a n ＝b n ±c n ，且{b n }，{c n }为等差或等比数列，可采用分组转化法求{a n }的前n 项和．(2)通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧b n ，n 为奇数，c n ，n 为偶数的数列，其中数列{b n }，{c n }是等比数列或等差数列，可采用分组转化法求和．3．分组转化求和法：有一类数列错误!未找到引用源。