【全国市级联考word】北京市朝阳区2018届高三二模数学(文)试题

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北京市朝阳区达标名校2018年高考二月仿真备考数学试题含解析

北京市朝阳区达标名校2018年高考二月仿真备考数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．ABC ∆ 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知22cos a c b A +=，则角B 的大小为（） A ．23π B ．3π C ．6π D ．56π 2．已知数列{}n a 满足11a =,1n n a a n --=(2n ≥),则数列{}n a 的通项公式n a =( ) A ．()112n n + B ．()1312n n - C ．2n n 1-+ D ．222n n -+3．棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -内有一个内切球O ，过正方体中两条异面直线AB ，11A D 的中点,P Q 作直线，则该直线被球面截在球内的线段的长为（）A ．2 B ．21- C ．2D ．14．已知(cos ,sin )a αα=，()cos(),sin()b αα=--，那么0a b =是()4k k Z παπ=+∈的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均相等，侧棱1AA ⊥平面ABC ，过1AB 作平面α与1BC 平行，设平面α与平面11ACC A 的交线为l ，记直线l 与直线,,AB BC CA 所成锐角分别为αβγ，，，则这三个角的大小关系为( )A ．αγβ>>B ．αβγ=>C ．γβα>>D ．αβγ>=6．已知函数()cos(2)3f x x π=+，则下列结论错误的是( )A ．函数()f x 的最小正周期为πB ．函数()f x 的图象关于点,0π⎛⎫⎪对称C ．函数()f x 在2,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 D ．函数()f x 的图象可由sin 2y x =的图象向左平移12π个单位长度得到7．设a=log 73，13b log 7=，c=30.7，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．b a c <<8．若向量(0,2)m =-，(3,1)n =，则与2m n +共线的向量可以是（） A ．(3,1)-B ．(1,3)-C ．(3,1)--D ．(1,3)--9．大衍数列，米源于我国古代文献《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释我国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和.已知该数列前10项是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则大衍数列中奇数项的通项公式为（）A ．22n n -B ．212n -C ．212n (-)D ．22n10． “中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二.问物几何？现有这样一个相关的问题：将1到2020这2020个自然数中被5除余3且被7除余2的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，则该数列各项之和为（） A ．56383B ．57171C ．59189D ．6124211．已知函数e 1()e 1x x f x -=+，()0.32a f =，()0.30.2b f =，()0.3log 2c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．b a c <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．c a b <<12．下列函数中，值域为R 的偶函数是（） A ．21y x =+B ．x x y e e -=-C ．lg y x =D ．2y x =二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2018北京朝阳高三二模文科数学试题(含答案

北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学学科测试（文史类）2018．5（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合{}2320A x x x =-+<，{}1B x x =≥，则=ABA ．(],2-∞B ．()1+∞，C ．()12，D ．[)1+∞， 2.计算()21i -=A.2iB. 2i -C. 2i -D. 2+i3.已知,x y 满足不等式组220101,x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，，则3z y x =-的最小值是A.1B.3-C.1-D.72-4.在ABC △中，ππ1,,64a A B =∠=∠=，则c =A.5.“01a <<且01b <<”是“log 0a b >”A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6. 如图，角α，β均以Ox 为始边，终边与单位圆O 分别交于点A ，B ，则OA OB ⋅=A. sin()αβ-B. sin()αβ+C. cos()αβ-D. cos()αβ+7.已知定义在R 上的奇函数()f x 在[0,)+∞上单调递减，且0a b +>，0b c +>，0a c +>，则()()()f a f b f c ++的值A ．恒为正B ．恒为负C ．恒为0D ．无法确定8.某校中国象棋社团组织比赛.采用单循环赛制，即要求每个参赛选手必须且只须和其他选手比赛一场，胜者得2分，负者得0分，平局两人各得1分.若冠军获得者得分比其他人都多，且获胜场次却比其他人都少.则本次比赛的参赛人数至少为 A. 5 B. 6 C. 7 D.8第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． 9.执行如图所示的程序框图，则输出的S = ．10.双曲线22143x y -=的焦点坐标是_________，渐近线方程是___________．11. 已知0,0x y >>，且满足4x y +=，则lg lg x y +的最大值为 .12. 已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是_________.13.在平面直角坐标系xOy 中，点P （不过原点）到x 轴，y 轴的距离之和的2倍等于点P 到原点距离的平方.则点P 的轨迹所围成的图形的面积是 .14. 如图，已知四面体ABCD 的棱AB //平面α，且AB =，其余的棱长均为1．四面体ABCD 以AB 所在的直线为轴旋转x 弧度，且四面体ABCD 始终在水平放置的平面α的上方．如果将四面体ABCD 在平面α内正投影面积看成关于x 的函数，记为()S x ，则函数()S x 的最小正周期为；()S x 的最小值为．俯视图三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15． (本小题满分13分)已知函数()2sin (sin cos )f x x x x a =+-的图象经过点(,1)2π，a ∈R ．（Ⅰ）求a 的值，并求函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）当[0,]2x π∈时，求函数()f x 的最小值．16．(本小题满分13分)已知数列{}n a 的前n 项和2(,,*)n S pn qn p q n =+∈∈R N ，且143,24a S ==．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设2n a n b =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．某市的一个义务植树点，统计了近10年栽种侧柏和银杏的数据（单位：株），制表如下：平均数；（Ⅱ）从统计的数据中，在栽种侧柏与银杏数量之差的绝对值不小于300株的年份中，任意抽取2年，恰有1年栽种侧柏的数量比银杏数量多的概率.18．(本小题满分14分)如图,在四棱锥P ABCD -中，△PBC 是等腰三角形，且3PB PC ==.四边形ABCD 是直角梯形，ABDC ，AD DC ⊥，5,4,3AB AD DC ===.（Ⅰ）求证：AB //平面PDC ；（Ⅱ）当平面PBC ⊥平面ABCD 时，求四棱锥P ABCD -的体积；（Ⅲ）请在图中所给的五个点,,,,P A B C D 中找出两个点，使得这两点所在直线与直线BC垂直，并给出证明．．.已知椭圆2222:1(0)x y W a b a b +=>>，其左顶点A 在圆22:4O x y +=上（O 为坐标原点）．（I ）求椭圆W 的方程；(II) 过点A 作直线AQ 交椭圆W 于另外一点Q ，交y 轴于点R .P 为椭圆W 上一点,且//OP AQ ，求证：2AQ AR OP⋅为定值.20． (本小题满分13分)已知函数()e xf x x =，()1g x ax =+，a ∈R .（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线与直线()y g x =垂直，求a 的值；（Ⅱ）若方程()()0f x g x -=在(2,2)-上恰有两个不同的实数根，求a 的取值范围; （Ⅲ）若对任意1[2,2]x ∈-，总存在唯一的2(,2)x ∈-∞，使得21()()f x g x =，求a 的取值范围.北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学学科测试答案（文史类） 2018．5二、填空题（本题满分30分）三、解答题（本题满分80分） 15. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）根据题意得2sin(sin cos )1222a πππ+-=，即2(10)1a +-=，解得1a =． ()2s i n (s i n c o sf x x x x =+- 22sin 2sin cos 1x x x =+-sin 2cos 2x x =-)4x π=-．由222242k x k πππ-+π≤-≤+π（k ∈Z ），得322244k x k ππ-+π≤≤+π，所以388k x k ππ-+π≤≤+π，所以函数()f x 的单调递增区间是3[,88k k k ππ-+π+π](∈)Z ．……………7分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知())4f x x π=-．当[0,]2x π∈时，2[,]444x ππ3π-∈-，所以sin(2)124x π-≤-≤．所以1()f x -≤≤ 所以当244x ππ-=-，即0x =时，()f x 取得最小值1-．……………13分 16. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）根据题意得3,16424.p q p q +=⎧⎨+=⎩即3,4 6.p q p q +=⎧⎨+=⎩. 解得1,2.p q =⎧⎨=⎩ 所以22n S n n =+. 当2n ≥时，221(2)[(1)2(1)]21nn n a S S n n n n n -=-=+--+-=+．因为13211a ==⨯+也适合上式，所以21(*)n a n n =+∈N . ……………7分（Ⅱ）因为23121242n n n n b b +++==，且131228a b ===，所以数列{}n b 是以8为首项，4为公比的等比数列，所以8(14)8(41)143n nn T -==--．……………… 13分17. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）这10年中栽种银杏数量的中位数为3700株.设平均数为x ，则34003300360036003700420044003700+4200+4200=383010x +++++++=株.……… 4分（Ⅱ）根据表中数据，满足条件的年份有2009，2010，2011，2013，2014共5年.从这5年中抽取2年，有2009，2010；2009，2011；2009，2013；2009，2014；2010，2011；2010，2013；2010，2014；2011，2013；2011，2014；2013，2014共10种情况.设事件A 表示“任取2年，恰有1年栽种侧柏的数量比银杏的数量多”.则事件A 包括2009，2010；2009，2013；2009，2014；2010，2011；2011，2013；2011，2014共6种情况.所以63()==105P A . 答：任取2年，恰有1年栽种侧柏的数量比银杏的数量多的概率为35………………13分 18. （本小题满分14分）证明：（Ⅰ）因为ABDC ，又因为AB PDC ⊄平面，DC PDC ⊂平面，所以//AB 平面PDC ． ……3分（Ⅱ）取BC 中点F ，连接PF .又因为PB PC =，所以PF BC ⊥，又因为平面PBC ⊥平面ABCD ，平面PBC平面ABCD =BC ，所以PF ⊥平面ABCD .在直角梯形ABCD 中，因为ABDC ，且AD DC ⊥，4,3AD DC ==，5AB =，所以BC =1=(35)4162ABCD S +⨯=梯形.又因为3PB =，BF ,所以2PF =.所以1132162333P ABCD ABCD V S PF -=⋅=⋅⋅=梯形.……………… 9分（Ⅲ）,A P 点为所求的点. 证明如下：连接,AF AC . 在直角梯形ABCD 中，因为AB DC ，且AD DC ⊥，4,3AD DC ==，所以5AC =.因为5AB =，点F 为BC 中点，所以AF BC ⊥. 又因为BC PF ⊥,AFPF F =，所以BC PAF ⊥平面.又因为PA PAF ⊂平面，所以PA BC ⊥.…………14分 19. （本小题满分14分）解：（I ）因为椭圆W 的左顶点A 在圆22:4O x y +=上，令0y =，得2x =±，所以2a =．，所以c e a ==，所以c =所以2221b a c =-=，所以W 的方程为2214x y +=．…………5分 (II)证明：设00(,)P x y ，易知00x ≠，有222200001,444x y x y 即+=+=，设(,)Q Q Q x y ，直线AQ 方程为00(2)y y x x =+，联立22001,4(2).x y y y x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩即 22222200000(4)161640x y x y x y x +++-=，即2222000440x y x y x ++-=，所以2024Q x y -+=-，即2024Q x y =-，所以，2200224244Q x y y +=-+=-. 故有：2022002(44)22=2Q x AQ AR AQ AR y OPOPx x x OP+⋅-⨯⋅=⋅==. …………14分. 20. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题意可知()(1)x f x x e '=+，(0)1f '=，因为曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线与直线()y g x =垂直，所以1a =-.……………… 3分（Ⅱ）令()()()h x f x g x =-，(2,2)x ∈-.则()(1)e ,()(2)e 0x x h x x a h x x '''=+-=+>所以，()h x '在区间(2,2)-上单调递增.依题意，(2)0(2)0h h '-<⎧⎨'>⎩ ，解得221(,3e )e a ∈-.所以0(2,2)x ∃∈-，使得0()0h x '=，即00(1)e 0x x a +-=, 于是()h x 的最小值为0000()e 1x h x x ax =--.依题意，0(2)0(2)0()0h h h x ->⎧⎪>⎨⎪<⎩，，，因为000020000000()e 1e (1)e 1e 10x x x x h x x ax x x x x =--=-+-=--<,所以，解得22111(,e )e 22a ∈+-.……………… 8分（Ⅲ） ()(1)e x f x x '=+⋅，令()0f x '=，得1x =-.当(,1)x ∈-∞-时，()0f x '<，函数()f x 为减函数；当(12)x ∈-，时，()0f x '>，函数()f x 为增函数. 所以函数()f x 的最小值1(1)ef -=-. 又2(2)2e f =.显然当0x <时，()0f x <.令2()e ,1x t x x x =<-.则2()(2)e .x t x x x '=+令()0t x '=，得2x =-或0.所以()t x 在()2-∞-，内为增函数，在()21--，内为减函数. 所以max 24()(2)1et x t =-=<.所以2e 1x x <. 又1x <-，所以1e x x x>. 而当1x <-时，()11,0x ∈-，所以当(],1x ∈-∞-时，1(),0e f x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭；当(1,0)x ∈-时，1(),0e f x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭.(1) 当0a =时，()1g x =，符合题意； (2) 当0a >时，易得()[21,21]g x a a ∈-++.依题意2210212e a a -+≥⎧⎨+<⎩，，所以21,21e ,2a a ⎧≤⎪⎪⎨⎪<-⎪⎩所以此时102a <≤.(3) 当0a <，则()[2121]g x a a ∈+-+，，依题意2210212e a a +≥⎧⎨-+<⎩，，所以21,21e ,2a a ⎧≥-⎪⎪⎨⎪>-+⎪⎩所以102a -≤<. 综上11[,]22a ∈-. ……………13分。

2018北京市各城区二模数学(文科)分类汇编之数列含答案

2018市各城区二模数学（文科）分类汇编之数列含答案【西城二模】15．（本小题满分13分）在等差数列{}n a 和等比数列{}n b 中，111a b ==，22a b =，432a b +=．（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求数列{}n n a b +的前n 项和n S ．解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ．依题意，得21,2(13).d q d q +=⎧⎨++=⎩………………2分解得2,3,d q =⎧⎨=⎩或1,0.d q =-⎧⎨=⎩（舍去）………………4分所以21n a n =-，13n n b -=．………………6分（Ⅱ）因为1213n n n a b n -+=-+，………………7分所以21[135(21)](1333)n n S n -=++++-+++++………………9分[1(21)]13213nn n +--=+-………………11分 2312n n -=+．………………13分【海淀二模】（15）（本小题13分）已知等差数列{}n a 满足1223n n a a n +-=+ （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n n a b +是首项为1，公比为2的等比数列，求数列{}n b 的前n 项和.15．（本小题13分）解：（Ⅰ）方法1：因为数列{}n a 是等差数列，所以212n n n a a a +++=. 因为3221+=-+n a a n n ，所以223n a n +=+. 所以，当3n ≥时，2(2)321n a n n =-+=-. 所以21(1,2,3,).n a n n =-=………………6分方法2：设等差数列{}n a 的公差为d ，因为3221+=-+n a a n n ，所以21322527.a a a a -=⎧⎨-=⎩所以11+2537.a d a d =⎧⎨+=⎩所以112.a d =⎧⎨=⎩所以1(1)21(1,2,3,)n a a n d n n =+-=-=………………6分（Ⅱ）因为数列{}n n a b +是首项为1，公比为2的等比数列，所以12n n n a b -+=因为21n a n =-，所以12(21)n n b n -=--.设数列{}n b 的前n 项和为n S ，则1(1242)[135(21)]n n S n -=++++-++++-12(121)122n n n -+-=-- 221n n =--所以数列{}n b 的前n 项和为221.n n --. ………………13分【东城二模】（15）（本小题13分）已知{}n a 是公差为2等差数列，数列{}n b 满足11b =，212b =，且1(1)n n n a b nb ++=．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求{}n b 的前n 项和n S ．（15）（共13分）解：（Ⅰ）因为1(1)n n n a b nb ++=，所以121(1)1a b b +=⨯．因为11b =，212b =，所以11a =．因为等差数列{}n a 的公差为2，所以21n a n =-，*n ∈N ．……………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知21n a n =-．因为1(1)n n n a b nb ++=，所以11(21)12n n b n b n +==-+．所以数列{}n b 是首项为1，公比为12的等比数列．所以数列{}n b 的前n 项和n S 11()122[1()]1212nn -==--，*n ∈N ．……………13分【XX 二模】16.已知数列{}n a 的前n 项和2n S pn qn =+（p ，q ∈R ，*n ∈N ）且13a =，424S =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2n a n b =，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【解析】解:（Ⅰ）∵数列{}n a 的前n 项和为2n S pn qn =+∴当1n =时,11a S p q ==+当2n ≥时,21(1)(1)n S p n q n -=-+-∴221()[(1)(1)]2nn n a S S pn qn p n q n pn q p -=-=---+-=+-检验1a p q =+符合2n a pn q p =+-∴数列{}n a 的通项公式为2n a pn q p =+-∵12(1)(2)2,()n na a p n q p pn q p p p +-=++--+-=∈R∴{}n a 是等差数列,设公差为d ∵143,24a S ==∴414342S a d ⨯=+解得2d = ∴数列{}n a 的通项公式为*3(1)221()n a n n n =+-⨯=+∈N（Ⅱ）由（Ⅰ）可知21n a n =+∴2122n a n nb +==设数列{}n b 的前n 项和为n T , 则12124242424n n nT -=⨯+⨯++⨯+⨯1212(4444)n n -=++++4(14)214n -=⨯- 8(41)3n -=所以数列{}n b 的前n 项和为8(41).3n n T -=【丰台二模】（16）（本小题共13分）已知数列{}n a 的前n 项和2=3n S n ，等比数列{}n b 满足11=3a b ，242b b a =．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求数列21{}n b -的前n 项和n T ．（16）（本小题共13分）解：（Ⅰ）因为23n S n =，所以113a S ==．…………………1分当2n ≥时，1n n n a S S -=-2233(1)n n =--63n =-．…………………3分因为当1n =时，16133a ⨯-==，…………………4分所以数列{}n a 的通项公式是63n a n =-．…………………5分（Ⅱ）设数列{}n b 的公比为q ．因为113a b =，所以11b =．…………………6分因为242b b a ⋅=，所以239b =．…………………8分因为2310b b q =>，所以33b =，且23q =．…………………10分因为{}n b 是等比数列，所以21{}n b -是首项为11b =，公比为23q =的等比数列．…………………11分所以212(1())131(31)1132n n nn b q T q --===---．即1(31)2nn T =-．…………………13分【昌平二模】 16.（本小题13分）已知数列{}n a 满足1211,2a a ==，数列{}n b 是公差为2的等差数列，且11n n n n b a a na +++=. （I ）求数列{}n b 的通项公式；（II ）求数列{}n a 前n 项的和n S . 16.（共13分）解：（Ⅰ）因为11n n n nb a a na +++=，所以1221b a a a += . 又因为1212a a =1，=, 所以11b =.所以数列{}n b 的通项公式是2-1n b n =. --------------------7分（Ⅱ）由（Ⅰ）知2-1n b n =，且11n n n n b a a na +++=.所以11(21)n n nn a a na ++-+=，得到112n n a a += .所以数列{}n a 是以1为首项，12为公比的等比数列. 那么数列{}n a 前n 项和111()222112nn n S --==--.--------------------13分【顺义二模】15.（本小题满分13分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且151, 3.a a =-=. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式;（Ⅱ）若数列{}n b 满足2n a n b =,求数列{}n b 的前n 项和.【房山二模】（15）（本小题13分）已知等差数列{}n a 满足1210a a +=，432a a -=．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设等比数列{}n b 满足23b a =，37b a =．问：5b 与数列{}n a 的第几项相等？解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ．因为432a a -=，所以2d =．又因为1210a a +=，所以1210a d +=，故14a =．所以42(1)22n a n n =+-=+(1,2,)n =．…………6分（Ⅱ）设等比数列{}n b 的公比为q ．因为238b a ==，3716b a ==，所以2q =，14b =．所以5154264b -=⨯=．由6422n =+得31n =．所以5b 与数列{}n a 的第31项相等．…………13分。

北京市朝阳区2018届高三上学期期末考试数学(文)试题含答案

北京市朝阳区2018届高三上学期期末考试数学(文)试题含答案北京市旭日区 2019-2020 学年度第一学期期末质量检测高三年级数学学科试卷（文史类）2018．1（考试时间120 分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40 分）和非选择题（共110 分）两部分第一部分（选择题共 40分）一、选择题：本大题共8 小题，每题 5 分，共 40 分．在每题给出的四个选项中，选出切合题目要求的一项．1.已知会合 A = { x | x( x - 2) < 0}， B = { x |ln x > 0}，则A I B是A．{}B．{x | x > 2} x | x > 0C．{}D．{x | 0 < x < 2} x |1 < x < 22．已知i 为虚数单位，设复数z知足z i 3 ，则 z =A．3B． 10C． 4D． 103．某便利店记录了 100 天某商品的日需求量（单位：件），整理得下表：日需求量 n1415161820频次0． 10． 20．30．20． 2试预计该商品日均匀需求量为A．16B．16.2C．16.6D．16.84．“sin2”是“ cos2 =0 ”的2A．充足而不用要条件 B ．必需而不充足条件C．充足必需条件D．既不充足也不用要条件5．以下函数中，是奇函数且在(0,1) 内是减函数的是① f (x)x31x x② f (x) （）③ f ( x)sin x ④f ( x)2 e xA．①③B．①④C．②③D．③④6．某四棱锥的三视图如下图，网格纸上小正方形的边长为1，则该四棱锥的体积为A．4B．4 3C．42D． 4 2 37．阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题: 平面内到两定点距离之比为常数k （ k0 且 k 1 ）的点的轨迹是圆．后代将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A, B 间的距离为2，动点P与A，B距离之比为2，当 P,A,B不共线时，PAB 面积的最大值是A．2 2B． 2C． 2 2D．2338．如图，PAD 为等边三角形，四边形ABCD 为正方形，平面PAD平面 ABCD ．若点 M 为平面ABCD内的一个动点，且知足MP MC，则点 M 在正方形ABCD及其内P部的轨迹为A．椭圆的一部分B．双曲线的一部分A DC．一段圆弧MD．一条线段B C第二部分（非选择题共 110 分）开始二、填空题：本大题共 6 小题，每题 5 分，共30 分．把答案填在答题卡上．9．履行如下图的程序框图，输出S 的值为．i=1 ， S=2 10．已知双曲线C的中心在原点，对称轴为坐标轴，它的一个焦点与抛物线y28x 的焦点S=i ·S重合，一条渐近线方程为x y0，则双曲线 C 的方程是．i=i+1uuur uuur11．已知菱形ABCD的边长为2，BAD 60o，则 AB BC．x y 40,否i>4?是12．若变量x， y 知足拘束条件5x y 4 0, 则x2y2的最小值为．输出Sx 5y 40,结束13．高斯说过，他希望能够借助几何直观来认识自然界的基本问题．一位同学遇到启迪，按以下步骤给出了柯西不等式的“图形证明”：a d a Ddcb CbAbc cd B a（ 1）左图矩形中白色地区面积等于右图矩形中白色地区面积；（ 2）左图暗影地区面积用a,b, c, d 表示为；（ 3）右图中暗影地区的面积为a2b2c2 d 2 sin BAD；（ 4）则柯西不等式用字母a,b, c, d 能够表示为ac bd 22b2 )(c2d2 ) ．( a请简单表述由步骤（3）到步骤（ 4）的推导过程：．14．如图，一位同学从P1处观察塔顶B及旗杆顶A，得仰角分别为和 90o.退后 l (单位 m)至点P2处再观察塔顶B，仰角变成本来的一半，设塔CB 和旗杆BA都垂直于地面，且C ，12CB的高为m；旗杆BA的高为m. P，P 三点在同一条水平线上，则塔（用含有和的式子表示）ABC P1P2三、解答题：本大题共 6 小题，共80 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（本小题满分13 分）已知函数 f ( x) (sin x cos x)2cos2x ．（Ⅰ）求 f ( x) 的最小正周期；（Ⅱ）求证：当x0,时， f ( x)0 ．216．（本小题满分 13 分）已知由实数组成的等比数列{ a n} 知足 a1， a1 a3 a5．（Ⅰ）求数列 { a n } 的通项公式；（Ⅱ）求 a2a4a6...a2n．17．（本小题满分13 分）2017 年，世界乒乓球锦标赛在德国的杜赛尔多夫举行．整个竞赛出色纷呈，参赛选手显现出很高的竞技水平，为观众奉献了多场出色对决．图1（扇形图）和表 1 是此中一场关键竞赛的部分数据统计．两位选手在此次竞赛中击球所使用的各项技术的比率统计如图1．在乒乓球竞赛中，接发球技术是指回接对方发球时使用的各样方法．选手乙在竞赛中的接发球技术统计如表1，此中的前 4 项技术统称反手技术，后 3 项技术统称为正手技术．图 1选手乙的接发球技术统计表技术反手拧球反手搓球反手拉球反手拨球正手搓球正手拉球正手挑球使用次数202241241得分率55%50%0%75%41．7%75%100%表 1（Ⅰ）察看图1，在两位选手共同使用的8 项技术中，差别最为明显的是哪两项技术？（Ⅱ）乒乓球接发球技术中的拉球技术包含正手拉球和反手拉球．从表 1 统计的选手乙的所有拉球中任取两次，起码抽出一次反手拉球的概率是多少？（Ⅲ）假如仅从表 1 中选手乙接发球得分率的稳固性来看（不考虑使用次数），你以为选手乙的反手技术更稳固仍是正手技术更稳固？（结论不要求证明）18．（本小题满分 14 分）如图，在三棱柱 ABC A1 B1C1中，底面 ABC 为正三角形，侧棱AA1底面 ABC．已知 D是BC的中点， AB AA1 2 ．A1（Ⅰ）求证：平面AB1D平面 BB1C1C ；B1C1（Ⅱ）求证：A1C ∥平面 AB1D ；（Ⅲ）求三棱锥A1AB1D 的体积．AB DC 19．（本小题满分14 分）已知椭圆 C : x2y21(b0)的一个焦点坐标为(2,0) ．5b2b2（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；（Ⅱ）已知点 E(3,0)，过点 (1,0)的直线 l （与 x 轴不重合）与椭圆C交于M,N两点，直线 ME 与直线x 5订交于点 F ，试证明：直线FN 与 x 轴平行．20．（本小题满分13 分）已知函数f ( x)x cos xa ， a R ．（Ⅰ）求曲线yf ( x) 在点x处的切线的斜率；（Ⅱ）判断方程f (x)0（2f ( x)为f (x) 的导数）在区间0,1内的根的个数，说明原因；（Ⅲ）若函数F ( x)x sin xcos xax 在区间0,1内有且只有一个极值点，求a 的取值范围．北京市旭日区 2019-2020 学年度第一学期期末质量检测高三年级数学试卷答案（文史类）2018.1一、（40 分）号答案1C 2B 3D4A 5A 6B 7A 8D二、填空（ 30 分）号91011 12 13 14ac bd ；两个要点：x 2 y 2（ 1）两中的暗影部l sin ;答案482821l cos 22分面相等；sin（ 2） | sin BAD |1 .三、解答（ 80 分） 15. （本小分 13 分）解：（Ⅰ）因f ( x) sin 2 x cos 2 x sin 2xcos2x1 sin 2x cos 2x2 sin(2 x) 1.4因此函数 f (x) 的最小正周期.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，f ( x)2 sin(2 x4) 1 ．当 x0,， 2x[ , 4] ，24 4sin(2 x)[,1] ，422 sin(2 x) 1 [0,1] .4当 2x4, 即 x0 ， f ( x) 获得最小 0 ．4因此当 x0,， f ( x)0 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13 分216.（本小分 13 分）a1=2q2q4 ) 42.解：（Ⅰ）由可得 2(1a1a3 a5由数列各数，解得，.因此数列的通公式或.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分（Ⅱ）当，a2 a4 a6...a2n= 4(14n ) 4 (4n1)；143当，a2a4a6...a2n =(4)(14n ) 4(1 4n) . ⋯ 13 分14317.（本小分 13 分）解：（Ⅰ）依据所扇形的数据可知，差别最著的是正手搓球和反手球两技.⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分（Ⅱ）依据表 1 的数据可知，手乙的反手拉球 2 次，分A,B,正手拉球 4 次，分a,b,c,d.从六次拉球中任取两次，共15 种果，分是: AB,Aa, Ab,Ac,Ad,Ba, Bb ，Bc, Bd, ab，ac, ad, bc, bd,cd.此中起码抽出一次反手拉球的共有9 种，分是:AB, Aa， Ab，Ac, Ad, Ba, Bb，Bc, Bd.从表 1 的手乙的全部拉球中任取两次，起码抽出一次反手拉球的概率93⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分P.155（Ⅲ）正手技更定 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13 分18.（本小分 14 分）（Ⅰ）明：由已知ABC 正三角形，且 D 是BC的中点，因此AD BC ．因棱AA1底面ABC ，AA1 // BB1，因此 BB1底面 ABC ．又因 AD底面 ABC ，因此BB1AD .而B1BI BC B ,因此 AD平面 BB1C1C ．因 AD平面 AB1 D ，因此平面 AB1D平面 BB1C1C ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分（Ⅱ）明：接A1 B ， A1BI AB1E，接 DE．A1由已知得，四形 A1ABB1正方形， E A1B的中点.CB1因 D 是BC的中点，1因此 DE // AC1．EA 又因 DE平面 AB1D ，BD CAC1平面AB1D，因此 A1C ∥平面 AB1D ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分（Ⅲ）由（Ⅱ）可知A1C ∥平面 AB1 D ，因此 A1与C到平面AB1D的距离相等，因此V A1AB1D VC AB1D．由及 AB AA1 2 ，得 BB12，且 S ACD3 2．因此VC AB1D VB1 ACD1S ACD BB11323，3323因此三棱 A1AB1 D 的体 V A1AB1 D3．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14 分319.（本小分 14 分）c2,25, b2 1 .解：（Ⅰ）由意可知因此 aa25b2.因此 C 的方程x 2y 21.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3 分5（Ⅱ）①当直l 的斜率不存在，此 MNx . D (1,0) ，直 x 5 与 x 订交于点 G ，易得点 E(3,0) 是点 D (1,0) 和点 G(5,0) 的中点，又因 | MD | | DN | ，因此 |FG | |DN |.因此直 FN // x .②当直 l 的斜率存在，直 l 的方程 yk (x 1)(k0) ，M ( x 1 , y 1), N ( x 2 , y 2 ) .因点E(3,0) ，因此直 ME 的方程 yy 1 ( x 3) .x 1 3令 x5 ，因此 y Fx 1 y 1 (5 3) 2y1 .3x 1 3y k( x 1),5k 2 ) x 210k 2x 5(k21) 0.由5 y 2 消去 y 得 (1x 2 5然0恒建立 .因此 x 1x 210 k 2 , x 1 x 2 5(k 2 1) .5k 2 1 5k 2 1因 y 2y Fy 22 y 1 y 2 ( x 1 3) 2 y 1k( x 2 1)(x 13) 2k ( x 1 1)x 1 3x 1 3x 13k[ x 1 x 2 3( x 1 x 2 ) 5]k[ 5( k 21) 3 10k 2 5]5k21 5k2 1x 1 3x 1 35k k 2 1 6k 2 5k 2 10 ，5k21x 1 3因此 y 2y F .因此直FN // x .上所述，因此直FN // x .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 14 分北京市朝阳区2018届高三上学期期末考试数学(文)试题含答案20. （本小分13 分）解：（Ⅰ） f (x)cos x xsin x . kππ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分f ().22（Ⅱ） g( x)f( x) ， g ( x)sin x(sin x x cos x)2sin x x cos x .当 x (0,1)， g ( x) 0 ，函数g( x) 减函数.又因 g(0) 10， g (1)cos1sin10,因此有且只有一个x0(0,1) ，使 g( x0 )0建立 .因此函数 g( x) 在区0,1 内有且只有一个零点，即方程 f ( x)0 在区0,1内有且只有一个数根 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分（Ⅲ）若函数在区内有且只有一个极点，因为，即在区内有且只有一个零点，且在两异号 .因当，函数减函数，因此在上，，即建立，函数增函数；在上，，即建立，函数减函数.函数在获得极大 f (x0 ) .当，然函数在区内有且只有一个零点，但在两同号，不足在区内有且只有一个极点的要求.因为，然.若函数在区内有且只有一个零点，且在两异号，只要足：. 即，解得.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13 分。

朝阳区2018学年度高三年级第二学期统一考试(一)

朝阳区2018学年度高三年级第二学期统一考试（一）数学学科测试（理工类）第I 卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知全集{1,2,3,4,5}U =，集合{3,4},{2,3,5}A B ==，那么集合()U A Bð等于（）A.{1,2,3,4,5}B.{3,4}C.{1,3,4}D.{2,3,4,5}2. 设i 是虚数单位，复数tan 45z =-o sin 60i ×o ，则2z 等于（）A.74-B.14-C.74D.14+ 3. 若数列{}n a 是公比为4的等比数列，且12a =，则数列2{log }n a 是（） A.公差为2的等差数列 B.公差为lg 2的等差数列 C.公比为2的等比数列 D.公比为lg 2的等比数列4. 设a 为常数，函数2()43f x x x =-+. 若()f x a +为偶函数，则a 等于（）A.-2B. 2C. -1D.1 5. 已知直线a 和平面a ，那么//a a 的一个充分条件是（）A.存在一条直线b ，//,a b b a ÌB.存在一条直线b ，,a b b a ^^C.存在一个平面,,//a ββαβ⊂ D.存在一个平面,,a ββαβ⊥⊥6. 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为4的两个全等的等腰十角三角形。

若该几何体的体积为V ，并且可以用n 个这样的几何体拼成一个棱长为4的正方体，则V ，n 的值是（） A ．2,32==n VB ．3,364==n V C ．6,332==n V D ．V=16，n=47．设 ,a b ÎR ，且(1)<0b a b ++，(1)<0b a b +-，则 ( )A.1a >B.1a <-C. 11a -<<D. ||1a > 8. 函数f (x )的定义域为D ，若对于任意12,x x D Î，当12x x <时，都有12()()f x f x £，则称函数()f x 在D 上为非减函数.设函数f (x )在[0，1]上为非减函数，且满足以下三个条件：○1(0)0f =； ○21()()32xf f x =； ○3(1)1()f x f x -=-. 则1()2010f 等于（） A.1128 B.1256 C. 1512 D.164第II 卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.某校为了解高三同学寒假期间学习情况，抽查了100名同学，统计他们每天平均学习时间,绘成频率分布直方图（如图）.则这100名同学中学习时间在6~8小时内的人数为 _______.10．如图，AB 为O 的直径，且8AB = ，P 为OA 的中点，过P 作O 的弦CD ，且:3:4CP PD =，则弦CD 的长度为 .A B11．给定下列四个命题：①“6x π=”是“1sin 2x =”的充分不必要条件；②若“p q ∨”为真，则“p q ∧”为真； ③若a b <，则22am bm <； ④若集合A B A = ，则A B ⊆.其中为真命题的是（填上所有正确命题的序号）.12．在二项式25()ax x -的展开式中，x 的系数是10-，则实数a 的值为 .13．已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点，焦点在x 轴上，左右焦点分别为12,F F ，且它们在第一象限的交点为P ，12PF F ∆是以1PF 为底边的等腰三角形.若110PF =，双曲线的离心率的取值范围为(1,2).则该椭圆的离心率的取值范围是 .14．在平面直角坐标系中，点集22{(,)|1}A x y x y =+≤，{(,)|4,0,,340}B x y x y x y =≤≥-≥，则（1）点集1111{(,)3,1,(,)}P x y x x y y x y A ==+=+∈所表示的区域的面积为_____；（2）点集12121122{(,),,(,),(,)}Q x y x x x y y y x y A x y B ==+=+∈∈所表示的区域的面积为 .三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)（本小题满分13分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且34C π=，sin 5A =. （Ⅰ）求sinB 的值；（Ⅱ）若5c a -=，求ABC ∆的面积.(16) （本小题满分13分）在某校组织的一次篮球定点投篮比赛中，两人一对一比赛规则如下：若某人某次投篮命中，则由他继续投篮，否则由对方接替投篮. 现由甲、乙两人进行一对一投篮比赛，甲和乙每次投篮命中的概率分别是13，12.两人共投篮3次，且第一次由甲开始投篮. 假设每人每次投篮命中与否均互不影响.（Ⅰ）求3次投篮的人依次是甲、甲、乙的概率；（Ⅱ）若投篮命中一次得1分，否则得0分. 用ξ表示甲的总得分，求ξ的分布列和数学期望．(17) （本小题满分14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，每个侧面均为正方形，D 为底边AB 的中点，E 为侧棱1CC 的中点.（Ⅰ）求证：CD ∥平面1A EB ；（Ⅱ）求证：1AB ⊥平面1A EB ；（Ⅲ）求直线1B E 与平面11AAC C 所成角的正弦值.(18)（本小题满分13分）已知函数322()(1)3mx f x ax b x =++-，, , m a b ∈R ．（Ⅰ）求函数()f x 的导函数()f x '；（Ⅱ）当1m =时，若函数()f x 是R 上的增函数，求z a b =+的最小值；（Ⅲ）当1a =，b =()f x 在(2, )+∞上存在单调递增区间，求m 的取值范围．(19)（本小题满分13分）已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为12，且经过点3(1, )2-，过点(2, 1)P 的直线l 与椭圆C 在第一象限相切于点M ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）求直线l 的方程以及点M 的坐标；（Ⅲ）是否存在过点P 的直线1l 与椭圆C 相交于不同的两点,A B ，满足2PA PB PM ⋅= ？若存在，求直线1l 的方程；若不存在，请说明理由．（20）(本小题共13分)已知数列{}n a 中，11a =，21(0a a a =-≠且1)a ≠，其前n 项和为n S ，且当2n ≥时，1111n n n S a a +=-．（Ⅰ）求证：数列{}n S 是等比数列；（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅲ）若4a =，令19(3)(3)nn n n a b a a +=++，记数列{}n b 的前n 项和为n T ．设λ是整数，问是否存在正整数n ，使等式13758n n T a λ++=成立？若存在，求出n 和相应的λ值；若不存在，请说明理由．（考生务必将第Ⅱ卷所有题目的答案写在答题卡上，在试卷上作答无效）朝阳区2018学年度高三年级第二学期统一考试（一）数学测试（理工类）答案一、选择题:二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）9．30 10．7 11．①，④12．1 13．12(,)3514．π；18π+.三、解答题:(15)解：（Ⅰ）因为34Cπ=，sin A=，所以cos A==由已知得4B Aπ=-.所以sin sin()sin cos cos sin444B A A Aπππ=-=-==.…………………………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知34Cπ=，所以sin C=且sin B=由正弦定理得sin Asin5ac C==.又因为5c a-=所以5c=，a=所以15sin522ABCS ac B∆===. …………………………13分(16) （Ⅰ）解：记 “3次投篮的人依次是甲、甲、乙” 为事件A .由题意，得122()339P A =⨯=．答：3次投篮的人依次是甲、甲、乙的概率是29． …………………… 5分（Ⅱ）解：由题意，ξ的可能取值为0，1，2，3，则212125(0)323239P ξ==⨯+⨯⨯=，211121(1)323333P ξ==⨯⨯+⨯=，1122(2)33327P ξ==⨯⨯=，1111(3)33327P ξ==⨯⨯=．所以，x 的分布列为：x 的数学期望012393272727E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. …………… 13分(17) 解法一：证明：（Ⅰ）设11AB A B 和的交点为O ,连接EO ，连接OD .因为O 为1AB 的中点，D 为AB 的中点, 所以 OD ∥1BB 且112OD BB =.又E 是1CC所以 EC ∥1BB 且112EC BB =,所以 EC ∥OD 且EC OD =.所以，四边形ECOD 为平行四边形.所以EO ∥又CD ⊄平面1A BE ,EO ⊂平面1A BE ,则CD ∥平面1A BE . ………………5分 (Ⅱ) 因为三棱柱各侧面都是正方形，所以1BB AB ⊥，1BB BC ⊥. 所以1BB ⊥平面ABC .因为CD ⊂平面ABC ，所以1BB CD ⊥. 由已知得AB BC AC ==，所以CD AB ⊥, 所以CD ⊥平面11A ABB .由（Ⅰ）可知EO ∥CD ，所以EO ⊥平面11A ABB . 所以EO ⊥1AB .因为侧面是正方形，所以11AB A B ⊥.又1EO A B O = ，EO ⊂平面1A EB ，1A B ⊂平面1A EB ,所以1AB ⊥平面1A BE . ………………………………………10分（Ⅲ）解: 取11AC 中点F ，连接1, B F EF . 在三棱柱111ABC A B C -中，因为1BB ⊥平面ABC ，所以侧面11ACC A ⊥底面111A B C .因为底面111A B C 是正三角形，且F 是11AC 中点，所以111B F AC ⊥，所以1B F ⊥侧面11ACC A .所以EF 是1B E 在平面11ACC A 上的射影. 所以1FEB ∠是1B E 与平面11AAC C 所成角.111sin B F BE F B E ∠==…………………………………………14分解法二：如图所示，建立空间直角坐标系. 设边长为2，可求得(0,0,0)A ，(0,2,0)C 1(0,2,2)C ，1(0,0,2)A ，,0)B ，1B (0,2,1)E ，1,0)2D ，1,1)2O . （Ⅰ）易得，3,0)2CD =- ， 3(,,0)22EO =- . 所以CD EO = ，所以EO ∥CD .又CD ⊄平面1A BE ,EO ⊂平面1A BE ,则CD ∥平面1A BE . ………………5分（Ⅱ）易得，1,2)AB =，1,2)A B =- ，1(0,2,1)A E =-所以11110, 0AB A B AB A E ⋅=⋅= .所以1111, .AB A B AB A E ⊥⊥又因为111A B A E =A ，111,A B A E A BE ⊂平面，所以1AB ⊥平面1A BE . …………………………………………… 10分（Ⅲ）设侧面11AAC C 的法向量为(,,)x y z =n ,因为(0,0,0)A , (0,2,0)C ,1(0,2,2)C ，1(0,0,2)A ，所以1(0,2,0), (0,2,2)AC AC ==，1(,1)B E =-.由 10,0,AC AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 得0,0.y y z =⎧⎨+=⎩解得0,0.y z ì=ïïíï=ïî 不妨令(1,0,0)=n ，设直线1B E 与平面11AAC C 所成角为α．所以111sin cos ,B E B E B Eα⋅=<>===⋅ n n n . 所以直线1B E 与平面11AAC C． ………………………14分 (18)（Ⅰ）解：22()2(1)f x mx ax b '=++-． …………………………………3分（Ⅱ）因为函数()f x 是R 上的增函数，所以()0f x '≥在R 上恒成立.则有2244(1)0a b ∆=--≤，即221a b +≤．设cos ,sin a r b r θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，01r ≤≤），则(cos sin )sin()4z a b r πθθθ=+=+=+.当sin()14πθ+=-，且1r =时，z a b =+取得最小值（可用圆面的几何意义解得z a b =+的最小值 ………………………8分（Ⅲ）①当0m >时，2()21f x mx x '=+-是开口向上的抛物线，显然()f x '在(2, )+∞上存在子区间使得()0f x '>，所以m 的取值范围是(0, )+∞．②当0m =时，显然成立．③当0m <时，2()21f x mx x '=+-是开口向下的抛物线，要使()f x '在(2, )+∞上存在子区间使()0f x '>，应满足 0, 12, 1()0,m m f m≥<-'-> 或0,12,(2)0. m m f <⎧⎪⎪-<⎨⎪'>⎪⎩解得102m -<≤，或3142m -<<-，所以m 的取值范围是3(, 0)4-．则m 的取值范围是3(, )4-+∞． …………………………………………13分(19)解：（Ⅰ）设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>，由题意得22222191,41,2.a b c a a b c ⎧+=⎪⎪⎨=⎪⎪=+⎩解得24a =，23b =，故椭圆C 的方程为22143x y +=． ……………………4分（Ⅱ）因为过点(2, 1)P 的直线l 与椭圆在第一象限相切，所以l 的斜率存在，故可设直线l 的方程为(2)1y k x =-+．由221,43(2)1,x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩得222(34)8(21)161680k x k k x k k +--+--=． ① 因为直线l 与椭圆相切，所以222[8(21)]4(34)(16168)0k k k k k ∆=---+--=. 整理，得32(63)0k +=. 解得12k =-．所以直线l 方程为11(2)1222y x x =--+=-+．将12k =-代入①式，可以解得M 点横坐标为1，故切点M 坐标为3(1, )2．……9分（Ⅲ）若存在直线1l 满足条件，设直线1l 的方程为1(2)1y k x =-+，代入椭圆C 的方程得22211111(34)8(21)161680k x k k x k k +--+--=．因为直线1l 与椭圆C 相交于不同的两点,A B ，设,A B 两点的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ，所以222111111[8(21)]4(34)(16168)32(63)0k k k k k k ∆=---+--=+>．所以112k >-．又1112218(21)34k k x x k -+=+，21112211616834k k x x k --=+，因为2PA PB PM ⋅= ，即12125(2)(2)(1)(1)4x x y y --+--=，所以221215(2)(2)(1)||4x x k PM --+==．即 2121215[2()4](1)4x x x x k -+++=，所以222111111222111161688(21)445[24](1)3434344k k k k k k k k k ---+-++==+++，解得112k =±．因为,A B 为不同的两点，所以112k =. 于是存在直线1l 满足条件，其方程为12y x =． …………………………13分（20）（共14分）解：（Ⅰ）当2n ≥时，11+111111n n n n n n nS a a S S S S +-=-=---，化简得211(2)n n n S S S n -+=≥，又由1210,0S S a =≠=≠，可推知对一切正整数n 均有0n S ≠， ∴数列{}n S 是等比数列． ---------------- 4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知等比数列{}n S 的首项为1，公比为a ，∴1n n S a -=．当2n ≥时，21(1)n n n n a S S a a --=-=-，又111a S ==，∴21,(1),(1),(2).n n n a a a n -=⎧=⎨-≥⎩----------8分（Ⅲ）当4,2a n =≥时，234n n a -=⨯，此时 22119934(3)(3)(343)(343)n n n n n n n a b a a ---+⨯⨯==++⨯+⨯+ 221213411(41)(41)4141n n n n n -----⨯==-++++，又111293(3)(3)8a b a a ==++， ∴213,(1)811,(2)4141n n n n b n --⎧=⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩++ 1138T b ==，当2n ≥时，1222212131111()()841414141n n n n T b b b ----=+++=+-++-++++ 171841n -=-+．若1n =，则等式13758n n T a λ++=为37858λ+=，52λ=不是整数，不符合题意．若2n ≥，则等式13758n n T a λ++=为11717841548n n λ---+=+⨯，15541n λ-=-+ λ 是整数，∴141n -+是5的因数．∴当且仅当2n =时，1541n -+是整数， ∴4λ=综上所述，当且仅当4λ=时，存在正整数2n =，使等式13758n n T a λ++=成立。

【全国市级联考】北京市朝阳区2018届高三二模数学(文)试题

【全国市级联考】北京市朝阳区2018届高三二模数学（文）试题第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2|320A x x x =-+<，{}|1B x x =≥，则AB =（）A ．(2]-∞，B ．(1)+∞，C ．(12)，D ．[1)+∞，2.计算2(1)i -=（）A ．2iB ．2i -C ．2i -D ．2i +3.已知x ，y 满足不等式220101x y x y y --⎧⎪+-⎨⎪⎩，，≤≥≤则3z y x =-的最小值是（）A ．1B ．3-C ．1-D ．72- 4.在ABC △中，1a =，6A π∠=，4B π∠=，则c =（） AB5.“01a <<且01b <<”是“log 0a b >”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C.充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6.如图，角α，β均以Ox 为始边，终边与单位圆O 分别交于点A ，B ，则OA OB ⋅=（）A ．sin()αβ-B ．sin()αβ+ C.cos()αβ-D ．cos()αβ+7.已知定义在R 上的奇函数()f x 在[0)+∞，上单调递减，且0a b +>，0b c +>，，0a c +>，则()()()f a f b f c ++的值（）A ．恒为正B ．恒为负C.恒为0D ．无法确定8.某校象棋社团组织中国象棋比赛，采用单循环赛制，即要求每个参赛选手必须且只须和其他选手各比赛一场，胜者得2分，负者得0分，平局两人各得1分.若冠军获得者得分比其他人都多，且获胜场次比其他人都少，则本次比赛的参赛人数至少为（）A ．4B ．5C.6D ．7第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9.执行如图所示的程序框图，则输出的S = .10.双曲线22143x y -=的焦点坐标是；渐近线方程是 . 11.已知0x >，0y >，且满足4x y +=，则lg lg x y +的最大值为 .12.已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是 .13.在平面直角坐标系xOy 中，点P （不过原点）到x 轴，y 轴的距离之和的2倍等于点P 到原点距离的平方，则点P 的轨迹所围成的图形的面积是．14.如图，已知四面体ABCD 的棱AB ∥平面α，且AB =1.四面体ABCD 以AB 所在的直线为轴旋转x 弧度，且始终在水平放置的平面α上方.如果将四面体ABCD 在平面α内正投影面积看成关于x 的函数，记为()S x ，则函数()S x 的最小值为；()S x 的最小正周期为．三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知函数()2sin (sin cos )f x x x x a =+-的图象经过点(1)2π，，a ∈R . （1）求a 的值，并求函数()f x 的单调递增区间；（2）若当[0]2x π∈，时，求函数()f x 的最小值. 16.已知数列{}n a 的前n 项和2n S pn qn =+（p ，q ∈R ，*n ∈N ）且13a =，424S =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2n a n b =，求数列{}n b 的前n 项和n T .17.（1）根据表中数据写出这10年内银杏数列的中位数，并计算这10年栽种银杏数量的平均数；（2）从统计的数据中，在栽种侧柏与银杏数量之差的绝对值不小于300株的年份中，任意抽取2年，恰有1年栽种侧柏的数列比银杏数量多的概率.18.如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PBC ⊥平面ABCD .PBC △是等腰三角形，且3PB PC ==.四边形ABCD 是直角梯形，AB DC ∥，AD DC ⊥，5AB =，4AD =，3DC =（1）求证：AB ∥平面PDC ；（2）当平面PBC ⊥平面ABCD 时，求四棱锥P ABCD -的体积；（3）请在图中所给的五个点P ，A ，B ，C ，D 中找出两个点，使得这两点所在的直线与直线BC 垂直，并给出证明.19.已知椭圆W ：22221x y a b+=（0a b >>，其左顶点A 在圆O ：224x y +=上（O 为坐标原点）.（1）求椭圆W 的方程；（2）过点A 作直线AQ 交椭圆W 于另外一点Q ，交y 轴于点R ，P 为椭圆W 上一点，且OP AQ ∥，求证：2AQ AROP ⋅为定值.20.已知函数()x f x xe =，()1g x ax =+，a ∈R .（1）若曲线()y f x =在点(0(0))f ，处的切线与直线()y g x =垂直，求a 的值；（2）若方程()()0f x g x -=在(22)-，上恰有两个不同的实数根，求a 的取值范围；（3）若对任意1[22]x ∈-，，总存在唯一的2(2)x ∈-∞，，使得21()()f x g x =，求a 的取值范围.。

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北京市朝阳区高三年级第二次综合练习
数学学科测试（文史类）
第Ⅰ卷（共40分）
一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合{}2|320A x x x =-+<，{}|1B x x =≥，则A B =（）
A ．(2]-∞，
B ．(1)+∞，
C ．(12)，
D ．[1)+∞，
2.计算2(1)i -=（）
A ．2i
B ．2i -
C ．2i -
D ．2i +
3.已知x ，y 满足不等式220101
x y x y y --⎧⎪+-⎨⎪⎩，
，≤≥≤则3z y x =-的最小值是（）
A ．1
B ．3-
C ．1-
D ． 72- 4.在ABC
△中，1a =，6A π∠=，4B π
∠=，则c =（）
A ．622+
B ．62
2- C.6
2 D ．2
2
5.“01a <<且01b <<”是“log 0a b >”的（）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C.充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
6.如图，角α，β均以Ox 为始边，终边与单位圆O 分别交于点A ，B ，则OA OB ⋅=（）
A ．sin()αβ-
B ．sin()αβ+ C.cos()αβ- D ．cos()αβ+
7.已知定义在R 上的奇函数()f x 在[0)+∞，上单调递减，且0a b +>，0b c +>，，0a c +>，则
()()()f a f b f c ++的值（）
A ．恒为正
B ．恒为负 C.恒为0 D ．无法确定
8.某校象棋社团组织中国象棋比赛，采用单循环赛制，即要求每个参赛选手必须且只须和其他选手各比赛一场，胜者得2分，负者得0分，平局两人各得1分.若冠军获得者得分比其他人都多，且获胜场次比其他人都少，则本次比赛的参赛人数至少为（）
A ．4
B ．5 C.6 D ．7
第Ⅱ卷（共110分）
二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）
9.执行如图所示的程序框图，则输出的S = .
10.双曲线2
2
143x y -=的焦点坐标是；渐近线方程是 .
11.已知0x >，0y >，且满足4x y +=，则lg lg x y +的最大值为 .
12.已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是 .
13.在平面直角坐标系xOy 中，点P （不过原点）到x 轴，y 轴的距离之和的2倍等于点P 到原点距离的平
方，则点P 的轨迹所围成的图形的面积是．
14.如图，已知四面体ABCD 的棱AB ∥平面α，且2AB =，其余的棱长均为1.四面体ABCD 以AB 所在的直线为轴旋转x 弧度，且始终在水平放置的平面α上方.如果将四面体ABCD 在平面α内正投影面积看成关于x 的函数，记为()S x ，则函数()S x 的最小值为；()S x 的最小正周期为．
三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15.已知函数()2sin (sin cos )f x x x x a =+-的图象经过点(1)2π
，，a ∈R .
（1）求a 的值，并求函数()f x 的单调递增区间；
（2）若当[0]2x π
∈，时，求函数()f x 的最小值.
16.已知数列{}n a 的前n 项和2n S pn qn =+（p ，q ∈R ，*n ∈N ）且13a =，424S =.
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设2n a n b =，求数列{}n b 的前n 项和n T .
17. 年份 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 侧柏 3200 3600 3300 3900 3500 3300 3900 3600 4100 4000 银杏 3400 3300 3600 3600 3700 4200 4400 3700 4200 4200
（1）根据表中数据写出这10年内银杏数列的中位数，并计算这10年栽种银杏数量的平均数；
（2）从统计的数据中，在栽种侧柏与银杏数量之差的绝对值不小于300株的年份中，任意抽取2年，恰有1年栽种侧柏的数列比银杏数量多的概率.
18.如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PBC ⊥平面ABCD .PBC △是等腰三角形，且3PB PC ==.四边形ABCD 是直角梯形，AB DC ∥，AD DC ⊥，5AB =，4AD =，3DC =
（1）求证：AB ∥平面PDC ；
（2）当平面PBC ⊥平面ABCD 时，求四棱锥P ABCD -的体积；
（3）请在图中所给的五个点P ，A ，B ，C ，D 中找出两个点，使得这两点所在的直线与直线BC 垂直，并给出证明.
19. 已知椭圆W ：22
221x y a b +=（0a b >>）的离心率为3
2，其左顶点A 在圆O ：224x y +=上（O 为坐标
原点）.
（1）求椭圆W 的方程；
（2）过点A 作直线AQ 交椭圆W 于另外一点Q ，交y 轴于点R ，P 为椭圆W 上一点，且OP AQ ∥，求证：2AQ AR
OP ⋅为定值.
20. 已知函数()x f x xe =，()1g x ax =+，a ∈R .
（1）若曲线()y f x =在点(0(0))f ，处的切线与直线()y g x =垂直，求a 的值；
（2）若方程()()0f x g x -=在(22)-，上恰有两个不同的实数根，求a 的取值范围；
（3）若对任意1[22]x ∈-，，总存在唯一的2(2)x ∈-∞，，使得21()()f x g x =，求a 的取值范围.。