全国大学生数学竞赛(非数学类)模拟试题含参考答案

k = 1,2,,2n −1. 证明：
∫b f (x)dx ≤ (b − a)2n+1(n!)2 M .
a
(2n)!(2n +1)!
六、（本题满分 16 分）
∑ 设ϕ(x) = x (−1 ≤ x ≤ 1) ，且ϕ(x + 2) = ϕ(x) .现在定义 f (x) = ∞ 3 nϕ(4n x) ，证明：
1.设 x0
>
0, xn
=
ln(1 +
xn−1 )(n
=
1,2,)
，则
lim
n→∞
nxn
=
.
1
∫ 2.设 f (x) = ln x − t dt ，则 max f (x) =
0
0≤ x≤1
.
3.设 Σ1：x92
+
y2 4
+ z2
= 1， Σ2
: z2
=
x2
+
y 2 ， Γ 为 Σ1 与 Σ 2 的交线，则椭球面 Σ1 在 Γ 上
n=0 4 f (x) 在 R1 上处处连续但处处不可微.
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绝密★启用前
第九届全国大学生数学竞赛初赛模拟试题（三）
（非数学类）
题号
一
二
三
四
五
满分
30
12
12
14
16
得分
注意：
1.所有答案都需写在试卷密封线右边，写在其他纸上一律无效； 2.密封线左边请勿答题，密封线外不得有姓名及相关标记； 3.如果答题空白不够，可写在当页背面，并标明题号.
1.将函数
f (x) =
x2 4
−
πx 2
在
[0,π
]
上展成余弦级数，设
an（
n
=
1,2,
）为其
Fourier 系数，
∞
∑ 则数项级数 an 的和为
.
n=1
∫ ∑ 2. 11 − x ∞ x 2n dx =
0 ln x n=0
.
∫ 3.设 ρ(ξ ) = 1
y
π (ξ − x)2 + y 2
， f (y) =
为 Laplace 算子.
六、（本题满分 16 分）
记将序列 an
=
1 n
（ n ∈N+）分母中含有数字
9 的数全部删去得到的序列为 bn .
证明：
∞
∑ （1） bn 收敛； n=1
∞
∑ （2） bn < 30. n=1
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面的方程.
五、（本题满分 16 分）
设 P ∈R3， B(P,δ ) 是以 P 为球心，δ 为半径的球， ∂B(P,δ ) 为其边界.
∫∫ 证明：若在 B(P,δ ) 上 u 满足 ∆u
=
0 ，则 u(P)
=
1 4πδ 2
udS. 其中 ∆
∂B( P,δ )
=
∂2 ∂x 2
+
∂2 ∂y 2
+
∂2 ∂z 2
.
二、（本题满分 12 分）
设三角形的三个顶点分别位于曲线 f (x, y) = 0 ，ϕ(x, y) = 0 ，ψ (x, y) = 0 上，证明：若
三角形的面积达到极值，则曲线在三角形顶点处的法线都通过该三角形的垂心.
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三、（本题满分 12 分）
各点的切平面到原点距离的最大值为
.
∫4.
π 2
arctan(2
tan
x)dx
=
0
tan x
.
{ } ∫∫ 5.设区域 Dε
=
(x, y) 0 ≤ x ≤ 1 − ε ,0 ≤ y ≤ 1 − ε
，则 lim dxdy = ε →0+ Dε 1 − xy
.
二、（本题满分 12 分）
∑ ∑ （1）证明：对任意正整数 m ，有 1 = m n (−1)m−1Cmn ；
+∞
1
ξ − x 2 ρ(ξ )dξ ，其中ξ，x 为任意实数， y 为
−∞
正实数，则 f (x) 的表达式为
.
∫ ∑x ∞ (−1)n t 2n+1 dt − x 2
0
4. lim n=0
2n (2n + 1)!
2=
.
x→0
x3 (3 1 + x − e x )
5.微分方程 y"−2xy'−4 y = 0 满足初值条件 y(0) = 0 和 y'(0) = 1 的解为
m n=1 k =1
k
∑∞
1
（2）求
2017
.
∏ k=1 (k + m)
m=0
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三、（本题满分 14 分）
∫∫∫ 计算三重积分 xyzdxdydz ，其中 Ω 位于第一象限，由下列曲面所围成：x2 + y 2 = mz ， Ω
x 2 + y 2 = nz ， xy = a 2 ， xy = b2 ， y = αx ， y = βx ，其中 0 < a < b ， 0 < α < β ， 0 < m < n.
第九届全国大学生数学竞赛初赛模拟试题（二）
（非数学类）
题号
一
二
三
四ห้องสมุดไป่ตู้
五
满分
30
12
14
14
14
得分
注意：
1.所有答案都需写在试卷密封线右边，写在其他纸上一律无效； 2.密封线左边请勿答题，密封线外不得有姓名及相关标记； 3.如果答题空白不够，可写在当页背面，并标明题号.
六
总分
16
100
一、填空题（本题满分 30 分，共 5 小题，每小题 6 分）
设函数 f (x) 在[a,b] 上五次可微，证明：在 (a, b) 内存在ξ ，使得
f (b)
=
f (a) +
1 6
(b
−
a)
f '(a) +
f
'
(b)
+
4
f
'
a
+ 2
b
−
1 (b − a)5 2880
f
(5) (ξ ).
四、（本题满分 14 分）
求经过三条平行直线 L1 : x = y = z ， L2 : x −1 = y = z + 1， L3 : x = y + 1 = z −1 的圆柱
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第九届全国大学生数学竞赛初赛模拟试题（一）
（非数学类）
题号
一
二
三
四
五
满分
30
12
12
14
16
得分
注意：
1.所有答案都需写在试卷密封线右边，写在其他纸上一律无效； 2.密封线左边请勿答题，密封线外不得有姓名及相关标记； 3.如果答题空白不够，可写在当页背面，并标明题号.
六
总分
16
100
一、填空题（本题满分 30 分，共 5 小题，每小题 6 分）
六
四、（本题满分 14 分）
设 f (x) 在 (−∞,+∞) 上连续可微，且 sup e−x2 f '(x) < +∞.证明：
x∈( −∞ , +∞ )
sup xe−x2 f (x) < +∞.
x∈( −∞ , +∞ )
五、（本题满分 14 分）
设函数 f (x) 在[a, b] 上有 2n 阶连续导数且 f (2n) (x) ≤ M ， f (k) (a) = f (k) (b) = 0. 其中