【5月北京市海淀区高三一模数学】北京市海淀区2020届高三年级第二学期阶段性测试数学试卷含答案
2024届北京市第十二中学高三下学期统练(一)数学试题
2024届北京市第十二中学高三下学期统练（一）数学试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知向量(1,2),(3,1)a b =-=-，则（ ） A ．a ∥bB ．a ⊥bC ．a ∥(a b -)D ．a ⊥( a b -)2．已知函数()()sin f x A x =+ωϕ（其中0A >，0>ω，0ϕπ<<）的图象关于点5,012M π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称，且与点M 相邻的一个最低点为2,33N π⎛⎫- ⎪⎝⎭，则对于下列判断： ①直线2x π=是函数()f x 图象的一条对称轴；②点,012π⎛⎫-⎪⎝⎭是函数()f x 的一个对称中心； ③函数1y =与()351212y f x x ππ⎛⎫=-≤≤⎪⎝⎭的图象的所有交点的横坐标之和为7π. 其中正确的判断是（ ） A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③3．已知直三棱柱中111ABC A B C -，120ABC ∠=︒，2AB =，11BC CC ==，则异面直线1AB 与1BC 所成的角的正弦值为（ ）．A B C D 4．()()52122xx --的展开式中8x的项的系数为（ ）A ．120B ．80C ．60D ．405．过抛物线()220y px p =>的焦点F 作直线与抛物线在第一象限交于点A ，与准线在第三象限交于点B ，过点A 作准线的垂线，垂足为H .若tan 2AFH ∠=，则AF BF=（ ）A ．54B ．43C ．32D ．26．已知(1)nx +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ）． A ．122B ．112C ．102D ．927．若[]x 表示不超过x 的最大整数(如[]2.52=，[]44=，[]2.53-=-)，已知2107n n a ⎡⎤=⨯⎢⎥⎣⎦，11b a =，()*110,2n n n b a a n n -=-∈≥N ，则2019b =（ ）A ．2B ．5C ．7D ．88．已知双曲线2222:1x y a bΓ-=(0,0)a b >>的一条渐近线为l ，圆22:()4C x c y -+=与l 相切于点A ，若12AF F ∆的面积为23，则双曲线Γ的离心率为（ ）A ．2B ．233C ．73D ．2139．如图，在平面四边形ABCD 中，满足,AB BC CD AD ==，且10,8AB AD BD +==，沿着BD 把ABD 折起，使点A 到达点P 的位置，且使2PC =，则三棱锥P BCD -体积的最大值为（ ）A ．12B ．122C 162D ．16310．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，O 为坐标原点，1F 、2F 为其左、右焦点，点G 在C 的渐近线上，2F G OG ⊥，16|||OG GF =，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A ．22y x =±B ．3y x =C ．y x =±D ．2y x =11．函数()()241xf x x x e =-+⋅的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．12．若21i iz =-+，则z 的虚部是A ．3B ．3-C ．3iD ．3i -二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
【5月北京市海淀区高三一模语文】北京市海淀区2020届高三年级第二学期阶段性测试语文试卷含答案
海淀区高三年级第二学期阶段性测试语文试题2020春本试卷共10页，150分。
考试时长150分钟。
考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。
一、本大题共5小题，共18分。
阅读下面的材料，完成1-5题。
材料一寒风凛冽的严冬，生活在北京的鸟类多是麻雀、喜鹊等留鸟。
到了春暖花开、草长莺飞的季节，京城的鸟会多起来，因为夏候鸟来了。
在众多的夏候鸟中，最著名的要数北京雨燕。
1870年，英国著名鸟类学家罗伯特•斯温侯在北京采集到了这种鸟的标本，并将其命名为“北京雨燕”。
北京雨燕翅膀呈细长而尖的镰刀形，尾羽有分叉，体重只有31-41克，体长169-184毫米。
成鸟的体羽多为黑褐色，喉部呈灰白色，胸腹部有白色细纵纹。
喙呈短三角形，口裂非常宽大，能够使它们在飞行中兜捕到大量农林害虫，包括蚊、蝇、虻等。
北京雨燕是典型的夏候鸟。
每年4月底，它们飞抵北京，繁殖、育雏，再于当年8月离开，飞往远方过冬。
它们具有超强的导航定向能力，常多年返回同一地点，有延用旧巢的习性。
北京雨燕具有高超的飞行本领，飞行速度可达每小时110-200公里。
在风雨到来之前，它们常常作超低空飞行表演，流矢一般掠地而过，成为天气变化的一种标志。
雨燕身形小巧，在高空飞行时很少扇翅，尖长的翅膀能提供强大的升力。
展开双翅时，雨燕能够长距离地滑翔；向内收起翅膀时，又能够高速冲刺追捕飞虫。
它们飞行技术高超，可是脚爪却很细弱，四趾向前，无法握住树枝，也就无法借此腾跃，要想飞起来，就只能在从高处向下落的过程中展翅飞翔。
这种生理结构特性决定了其迁徙到京城之后，会选择在高耸的城楼、高大的皇城建筑和古塔筑巢。
这些建筑飞檐翘角，梁、標、椽纵横交错，形成一个个“人造洞穴”，为雨燕提供了理想的集群繁殖之所和起飞滑翔的平台。
北京雨燕，是极少数以“北京"命名的野生动物之一。
春夏季节的黄昏，从太庙到雍和宫，从天安门到内外城的城门楼、箭楼，从天坛到十三陵，从通州的燃灯塔到海淀的慈寿寺塔，以及景山、颐和园等处的楼台亭阁，雨燕倾巢而出，伴随着此起彼伏的尖锐叫声，一道道黑色的剪影划过天空，成为古都北京引人注目的景观。
海淀区2024-2025学年第一学期期中高三数学试题
海淀区2024—2025学年第一学期期中练习高三数学2024.11本试卷共6页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合{|01}A x x x =≤>或，{2,0,1,2}B =−，则AB =（A ）{2,2}−（B ）{2,1,2}− （C ）{2,0,2}−（D ）{2,0,1,2}−（2）若复数z 满足i 1i z ⋅=−，则z =（A ）1i −− （B ）1i −+ （C ）1i −（D ）1i +（3）若0a b <<，则下列不等式成立的是（A ）22a b < （B ）2a ab < （C ）b aa b> （D ）2b a a b +>（4）已知sin ()cos xf x x=，则π()4f '（A ）1 （B ）2 （C ）1−（D ）2−（5）下列不等式成立的是（A ）0.3log 0.21< （B ）0.20.31< （C ）0.2log 0.30<（D ）0.30.21>（6）若2,,()23,x x a f x x x a ⎧≥⎪=⎨+<⎪⎩为增函数，则a 的取值范围是（A ）[1,)+∞（B ）[3,)+∞（C ）[1,3]−（D ）(,1][3,)−∞−+∞（7）若向量(,1)x =a ，(1,)y =−b ，则下列等式中，有且仅有一组实数,x y 使其成立的是（A ）0⋅=a b （B ）||||2+=a b （C ）||||=a b （D ）||2+=a b（8）大面积绿化增加了地表的绿植覆盖，可以调节小环境气温，好的绿化有助于降低气温日较差（一天气温的最高值与最低值之差）.下图是甲、乙两地某一天的气温曲线图. 假设除绿化外，其它可能影响甲、乙两地温度的因素均一致，则下列结论中错误．．的是（A ）由上图推测，甲地的绿化好于乙地（B ）当日6时到12时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率 （C ）当日12时到18时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率 （D ）当日比存在一个时刻，甲、乙两地气温的瞬时变化率相等（9）设无穷等差数列的前项积为n T . 若10a <，则“n T 有最大值”是“公差0d ≥”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（10）已知数列{}n a 满足1(1)n n n a ra a +=−（1,2,3,n =），1(0,1)a ∈，则（A ）当2r =时，存在n 使得1n a ≥ （B ）当3r =时，存在n 使得0n a <（C ）当3r =时，存在正整数N ，当n N >时，1n n a a +> （D ）当2r =时，存在正整数N ，当n N >时，112024n n a a +−<第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
【精品解析】北京市海淀区2020届高三数学5月高考二模试题解析 理 (教师版)
精品解析：北京市海淀区2020届高三5月高考二模数学（理）试题解析（教师版）【试题总体说明】本套试卷的题型分布与2020年北京高考题没有区别，延续了北京的8、6、6分布， 6道大题的考点与以往也没有什么不同，分别涉及了三角函数、立体几何、概率、函数大题、解析几何、新题型。
1．命题覆盖面广，琐碎知识考察力度加大。
这套前14道小题，几乎没有高中同一章节的 内容，考察内容十分分散。
其实，这是新课标的一个重要特点。
新课标的理科教材与原大 纲相比，内容有增无减，增加了算法、三视图、积分、几何概型、平面几何、参数方程极 坐标等许多内容，而这些内容一定要体现在高考试卷中。
本套试题的小题1-6,9-13等试题 难度较低，考查学生的基础知识掌握情况.2.中档题较少，新颖试题难度较大。
这次试题中的7设计比较新颖，考查学生的空间想象 能力；8、14题都是综合问题，第8题是以函数为背景考查命题真假，计算量较大；第14 题考查抛物线的定义和轨迹问题，考察学生综合运用知识的能力，稍有失误就会失分。
3.解答题中规中矩，体现知识的综合性，考查学生的素质和能力.这次解答题的命题点与以往是没有变化的，变化的只是具体的题目。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）若sin cos 0θθ<，则角θ是 （A ）第一或第二象限角 （B ）第二或第三象限角 （C ）第三或第四象限角 （D ）第二或第四象限角 【答案】D 【解析】sin cos 0sin 0cos 0,sin 0cos 0,θθθθθθθθ，在第四象限；，在第二象限.<?>><（2）已知命题p ：0x ∃∈R ，021x =．则p ⌝是 （A ）0x ∀∈R ，021x ≠ （B ）0x ∀∉R ，021x ≠ （C ）0x ∃∈R ，021x ≠（D ）0x ∃∉R ，021x ≠【答案】A【解析】0x ∃∈⇒R 0x ∀∈R ，021x =⇒021x ≠，故答案为A.（3）直线11x ty t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）的倾斜角的大小为（A ）4-π （B ）4π （C ）2π （D ）34π 【答案】D【解析】将直线方程化为普通方程为2,1tan ,y x k θθ=-+\=-=\=34π. （4）若整数,x y 满足1,1,3,2x y x y y ìïïï-?ïïï+?íïïïï£ïïî则2x y +的最大值是 （A ）1（B ）5（C ）2 （D ）3【答案】B【解析】画出可行域，可知2,z x y =+过点B 53(,)22时取得最大值5.（5）已知点12,F F 是椭圆2222x y +=的两个焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么12PF PF +u u u r u u u u r的最小值是（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）22 【答案】C【解析】根据椭圆的对称性可知，设P ¢是P 关于原点的对称点，也在椭圆上，故12=,PF PF PP u u u ru u u r u u u u r ¢+显然当P ¢和P 为短轴的两个端点时，取得最小值为2b=2.（6）为了得到函数2log 1y x =-的图象，可将函数2log y x =的图象上所有的点的（A ）纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标不变，再向右平移1个单位长度 （B ）纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标不变，再向左平移1个单位长度（C ）横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移1个单位长度 （D ）横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移1个单位长度 【答案】A 【解析】221log 1=log (1),2y x x Q =--22log log (1)y x yx \=?-?21log (1),2x - yABC故纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标不变，再向右平移1个单位长度得到函数的图像，答案为A 。
北京市海淀区2025届高考数学全真模拟密押卷含解析
北京市海淀区2025届高考数学全真模拟密押卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数3()cos ln ||f x x x x x =+在[,0)(0,]ππ-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．2．设a ，b 是非零向量，若对于任意的R λ∈，都有a b a b λ-≤-成立，则 A ．//a bB ．a b ⊥C ．()-⊥a b aD ．()-⊥a b b3．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若816S =，61a =，则数列{}n a 的公差为（ ） A ．32B ．32-C ．23D ．23-4．在ABC ∆中，0OA OB OC ++=，2AE EB =，AB AC λ=，若9AB AC AO EC ⋅=⋅，则实数λ=( ) A 3B 3C 6 D ．625．一艘海轮从A 处出发，以每小时24海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是（ ）A ．62海里B ．63海里C ．82海里D ．83海里6．若,x y 满足约束条件02636x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩，则2z x y =+的最大值为（ ）A ．10B ．8C ．5D ．37．当输入的实数[]230x ∈，时，执行如图所示的程序框图，则输出的x 不小于103的概率是（ ）A ．914B ．514C ．37D ．9288．设实数x 、y 满足约束条件1024x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则23z x y =+的最小值为（ ）A ．2B ．24C ．16D ．149．已知函数()sin(2)4f x x π=-的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位后得到函数()sin(2)4g x x π=+的图象，则ϕ的最小值为（ ）A ．4π B ．38π C ．2π D ．58π 10．已知随机变量i ξ满足()()221kkk i i i P k C p p ξ-==-，1,2i =，0,1,2k =.若21211p p <<<，则（ ） A ．()()12E E ξξ<，()()12D D ξξ< B ．()()12E E ξξ<，()()12D D ξξ> C ．()()12E E ξξ>，()()12D D ξξ<D ．()()12E E ξξ>，()()12D D ξξ>11．已知AB 是过抛物线24y x =焦点F 的弦，O 是原点，则OA OB ⋅=（ ） A ．－2B ．－4C ．3D ．－312．已知命题p ：若1a >，1b c >>，则log log b c a a <；命题q ：()00,x ∃+∞，使得0302log x x <”，则以下命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧B ．()p q ∧⌝C ．()p q ⌝∧D ．()()p q ⌝∧⌝二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年5月海淀高三一模数学
海淀区高三年级第二学期阶段性测试数 学 2020春本试卷共6页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）在复平面内，复数i(2i)-对应的点位于（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限（D ）第四象限（2）已知集合{ |0 3 }A x x =<<，A B =I { 1 }，则集合B 可以是（3）已知双曲线2221(0)y x b b-=>的离心率为5，则b 的值为（A ）1 （B ）2 （C ）3（D ）4（4）已知实数a ，b ，c 在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（A ）b a c a -<+ （B ）2c ab < （C ）c cb a> （D ）||||b c a c <（5）在61(2)x x-的展开式中，常数项为（A ）120-（B ）120 （C ）160- （D ）160（A ）{ 1 2 }， （B ）{ 1 3 }， （C ）{ 0 1 2 }，， （D ）{ 1 2 3 }，，1 1 22（6）如图，半径为1的圆M 与直线l 相切于点A ，圆M 沿着直线l 滚动.当圆M 滚动到圆M '时，圆M '与直线l 相切于点B ，点A 运动到点A '，线段AB 的长度为3π2，则点M '到直线BA '的距离为 （A ）1 （B ）3 （C 2（D ）12（7）已知函数()||f x x m =-与函数()g x 的图象关于y 轴对称.若()g x 在区间(1,2)内单调递减，则m 的取值范围为 （A ）[1,)-+∞ （B ）(,1]-∞- （C ）[2,)-+∞（D ）(,2]-∞-（8）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥中最长棱的棱长为（A 5 （B ）22（C ）23（D 13（9）若数列{}n a 满足1= 2 a ，则“p ∀，r *∈N ，p r p r a a a +=”是“{}n a 为等比数列”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（10）形如221n+（n 是非负整数）的数称为费马数，记为n F .数学家费马根据0F ,1F ,2F ,3F ,4F 都是质数提出了猜想：费马数都是质数.多年之后，数学家欧拉计算出5F 不是质数，那么5F 的位数是（参考数据：lg20.3010≈） （A ）9 （B ）10 （C ）11（D ）12第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
海淀区2024届高三一模数学试题及答案
海淀区2023-2024学年第二学期期中练习高三数学2024.4本试卷共9页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合 题目要求的一项。
1. 已知全集{}22U x x =-≤≤，集合{}12A x x =-≤<，则U C A =A.(2,1)--B.[2,1]--C.{}(2,1)2--D.{}[2,1)2--2. 若复数z 满足i 1i z ⋅=+，则z 的共轭复数z =A.1i +B.1i -C.1i -+D.1i --3. 已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和. 若122a a =，公差0d ≠，0m S =，则m 的值为A.4B.5C.6D.74. 已知向量,a b 满足||2=a ，(2,0)=b ，且||2+=a b ，则,<>=a bA.π6B.π3 C .2π3D.5π65. 若双曲线2222 1 (0,0)x y a b a b-=>>上的一点到焦点(的距离比到焦点的距离大b ，则该双曲线的方程为A.2214x y -=B.2212x y -= C.2212y x -= D.2214y x -= 6. 设,αβ是两个不同的平面，,l m 是两条直线，且m α⊂，l α⊥. 则“l β⊥”是“//m β”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7. 已知3, 0()lg(1),0x x f x x x ⎧≤=⎨+>⎩，函数()f x 的零点个数为m ，过点(0,2)与曲线()y f x =相切的直线的条数为n ，则,m n 的值分别为A.1,1B.1,2C.2,1D.2,28. 在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，终边在第三象限. 则A.sin cos tan ααα-≤B.sin cos tan ααα-≥C.sin cos tan ααα⋅<D.sin cos tan ααα⋅>9. 函数()f x 是定义在(4,4)-上的偶函数，其图象如图所示，(3)0f = . 设()f x '是()f x 的导函数，则关于x 的不等式(1)()0f x f x '+⋅≥的解集是 A.[0,2] B.[3,0][3,4)- C.(5,0][2,4)-D.(4,0][2,3)-10. 某生物兴趣小组在显微镜下拍摄到一种黏菌的繁殖轨迹，如图1 . 通过观察发现，该黏菌繁殖符合如下规律：①黏菌沿直线繁殖一段距离后，就会以该直线为对称轴分叉（分叉的角度约为60︒），再沿直线繁殖，；②每次分叉后沿直线繁殖的距离约为前一段沿直线繁殖的距离的一半. 于是，该组同学将整个繁殖过程抽象为如图2所示的一个数学模型：黏菌从圆形培养皿的中心O 开始，沿直线繁殖到11A ，然后分叉向21A 与22A 方向继续繁殖，其中21112260A A A ∠=︒，且1121A A 与1122A A 关于11OA 所在直线对称，11211122111,2A A A A O A ==.若114cm OA =，为保证黏菌在繁殖过程中不会碰到培养皿壁，则培养皿的半径r *(,cm)r ∈N 单位:至少为A.6B.78D.9第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
2020届海淀区高三期中数学试卷及答案
海淀区高三年级第一学期期中练习数 学(理科) 2013.11本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 已知集合{1,1,2}A =-，{|10}B x x =+≥，则A B =( A )A. {1,1,2}-B. {1,2}C. {1,2}-D. {2}2. 下列函数中，值域为(0,)+∞的函数是( C )A. ()f x =B. ()ln f x x =C. ()2x f x =D. ()tan f x x =3. 在ABC ∆中，若tan 2A =-，则cos A =( B )B.D. 4. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点(0,0),(0,1),(1,2),(,0)O A B C m -，若//OB AC ，则实数m 的值为( C )A. 2-B. 12-C. 12D. 25.若a ∈R ，则“2a a >”是“1a >”的（ B ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6. 已知数列{}n a 的通项公式2(313)nn a n =-，则数列的前n 项和n S 的最小值是（ B ） A. 3SB. 4SC. 5SD. 6S7. 已知0a >，函数2πsin ,[1,0),()21,[0,),x x f x ax ax x ⎧∈-⎪=⎨⎪++∈+∞⎩若11()32f t ->-，则实数t 的取值范围为（ D ） A. 2[,0)3- B. [1,0)- C. [2,3) D. (0,)+∞8. 已知函数sin cos ()sin cos x xf x x x+=，在下列给出结论中：① π是()f x 的一个周期；② ()f x 的图象关于直线x 4π=对称； ③ ()f x 在(,0)2π-上单调递减. 其中，正确结论的个数为（ C ） A. 0个B.1个C. 2个D. 3个二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分。
北京市海淀区2020届高三第二学期期末考试(二模)试题 数学【解析版】
北京市海淀区2020届高三第二学期期末考试（二模）试题 数学【解析版】一、选择题.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1.若全集U =R ，{|1}A x x =<，{|1}B x x =>-，则（ ） A. A B ⊆ B. B A ⊆C. U B C A ⊆D. U C A B ⊆【答案】D 【解析】 【分析】计算{}1U C A x x =≥，再依次判断每个选项得到答案.【详解】U =R ，{|1}A x x =<，{|1}B x x =>-，则{}1U C A x x =≥，故U C A B ⊆，D 正确；A B ⊄且B A ⊄，U B C A ⊄，ABC 错误；故选：D.【点睛】本题考查了集合的包含关系，补集运算，属于简单题. 2.下列函数中，值域为[0,)+∞且为偶函数的是（ ） A. 2yx B. |1|y x =-C. cos y x =D. ln y x =【答案】A 【解析】 【分析】由题意结合函数奇偶性与函数的值域分别进行检验，即可得解． 【详解】对于A ，由()22x x -=可得函数2yx 为偶函数，且2yx 的值域为[)0,+∞，故A 正确；对于B ，由11x x --=+可得|1|y x =-为非奇非偶函数，故B 错误； 对于C ，函数cos y x =的值域为[]1,1-，故C 错误； 对于D ，函数ln y x =的值域为(),-∞+∞，故D 错误. 故选：A.3.若抛物线212y x =的焦点为F ，点P 在此抛物线上且横坐标为3，则||PF 等于（ ） A. 4 B. 6C. 8D. 10【答案】B 【解析】 【分析】直接利用抛物线焦半径公式得到答案. 【详解】根据题意：63622p PF x =+=+=. 故选：B.【点睛】本题考查了抛物线焦半径公式，属于简单题.4.已知三条不同的直线l ，m ，n 和两个不同的平面αβ，，下列四个命题中正确的为（ ） A. 若//m α，//n α，则//m n B. 若//l m ，m α⊂，则//l α C. 若//l α，//l β，则//αβ D. 若//l α，l β⊥，则αβ⊥【答案】D 【解析】 【分析】根据直线和平面，平面和平面的位置关系，依次判断每个选项得到答案. 【详解】A. 若//m α，//n α，则//m n ，或,m n 相交，或,m n 异面，A 错误； B. 若//l m ，m α⊂，则//l α或l α⊂，B 错误； C. 若//l α，//l β，则//αβ或,αβ相交，C 错误； D. 若//l α，l β⊥，则αβ⊥，D 正确.故选：D. 【点睛】本题考查了直线和平面，平面和平面的位置关系，意在考查学生的推断能力和空间想象能力. 5.在ABC 中，若7a =，8b =，1cos 7B =-，则A ∠的大小为（ ） A.6πB.4π C.3π D.2π 【答案】C 【解析】根据同角三角函数关系得到43sin 7B =，再利用正弦定理得到答案. 【详解】1cos 7B =-，,2B ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故243sin 1cos B B =-=， 根据正弦定理：sin sin a b A B =，故43737sin 8A ⨯==，0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故3A π=. 故选：C.【点睛】本题考查了同角三角函数关系，正弦定理，意在考查学生的计算能力和转化能力. 6.将函数()sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象向左平移3π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则()g x =（ ）A. sin 26xB. 2sin 23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭C. cos2xD. cos2x -【答案】C 【解析】 【分析】由题意结合函数图象平移的规律及诱导公式即可得解. 【详解】由题意()sin 2sin 2cos 2362g x x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 故选：C.【点睛】本题考查了三角函数的图象变换与诱导公式的应用，考查了运算求解能力，属于基础题. 7.某三棱锥的三视图如图所示，如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该三棱锥的体积为（ ）A.23B.43C. 2D. 4【解析】 【分析】如图所示：三棱锥1C BDE -为三视图对应几何体，计算体积得到答案.【详解】如图所示：在边长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为CD 中点， 则三棱锥1C BDE -为三视图对应几何体.111121223323BDE V S CC =⋅=⨯⨯⨯⨯=△.故选：A.【点睛】本题考查了根据三视图求体积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 8.对于非零向量a ，b ，“2()2a b a a +⋅=”是“a b =”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】分别判断充分性和必要性：取2b a =，,3a b π=，满足2()2a b a a +⋅=，而a b ≠；a b =时，2()2a b a a +⋅=，得到答案.【详解】2()2a b a a +⋅=，则222a a b a +⋅=，即2a b a ⋅=， 取2b a =，,3a b π=，此时满足2()2a b a a +⋅=，而a b ≠；当a b =时，2()2a b a a +⋅=.故“2()2a b a a +⋅=”是“a b =”的必要而不充分条件. 故选：B【点睛】本题考查了必要不充分条件，意在考查学生的计算能力和推断能力.9.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点O 为底面ABCD 的中心，点P 在侧面11BB C C 的边界及其内部运动．若1D O OP ⊥，则11D C P △面积的最大值为（ ）25B.555 D. 25【答案】C 【解析】 【分析】取1BB 的中点F ，由题意结合正方体的几何特征及平面几何的知识可得1OD OC ⊥，1OD OF ⊥，由线面垂直的判定与性质可得1OD CF ⊥，进而可得点P 的轨迹为线段CF ，找到1C P 的最大值即可得解. 【详解】取1BB 的中点F ，连接OF 、1D F 、CF 、1C F ，连接DO 、BO 、OC 、11D B 、1D C ，如图：因为正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2， 所以11B F BF ==,2DO BO OC ===，11122D B DC ==1BB ⊥平面ABCD ，1BB ⊥平面1111D C B A ，11C D ⊥平面11BB C C ，所以22116OD OD DD =+=223OF OB BF =+2211113D F D B B F =+=，所以22211OD OF D F +=，22211OD OC D C +=，所以1OD OC ⊥，1OD OF ⊥， 由OCOF O =可得1OD ⊥平面OCF ，所以1OD CF ⊥，所以点P 的轨迹为线段CF ， 又221111152C F B C B F C C =+=>=,所以11D C P △面积的最大值1111125522S C F D C =⋅=⨯=. 故选：C.【点睛】本题考查了正方体几何特征的应用，考查了线面垂直的判定与性质，关键是找到点P 的轨迹，属于中档题.10.为了预防新型冠状病毒的传染，人员之间需要保持一米以上的安全距离．某公司会议室共有四行四列座椅，并且相邻两个座椅之间的距离超过一米，为了保证更加安全，公司规定在此会议室开会时，每一行、每一列均不能有连续三人就座．例如下图中第一列所示情况不满足条件（其中“√”表示就座人员）．根据该公司要求，该会议室最多可容纳的就座人数为（ ）A. 9B. 10C. 11D. 12【答案】C 【解析】 【分析】考虑每一列最多有3个人，故最多有12个人，排除12人的情况，将11人的情况作图得到答案. 【详解】考虑每一列最多有3个人，故最多有12个人；若人数为12，则每一列的空位置必须在2行或者第3行，则会产生第1行和第4行有连续的3个人，不满足；而11个人满足，如下图： 故选：C.【点睛】本题考查了逻辑推理，意在考查学生的理解能力和推理能力.第二部分（非选择题）二、填空题.11.若复数(2)()i a i -+为纯虚数，则实数a =______． 【答案】12-【分析】由题意结合复数的乘法运算可得()()(2)()212i a i a a i -+=++-，再由纯虚数的概念即可得解. 【详解】由题意()()(2)()212i a i a a i -+=++-， 由复数(2)()i a i -+为纯虚数可得21020a a +=⎧⎨-≠⎩，解得12a =-.故答案为：12-. 【点睛】本题考查了复数的运算及纯虚数的概念，考查了运算求解能力，关键是对于概念的掌握，属于基础题.12.已知双曲线E 的一条渐近线方程为y x =，且焦距大于4，则双曲线E 的标准方程可以为______．（写出一个即可）【答案】22133y x -=（满足(2212x y λλλ-=>或)2λ<-即可）. 【解析】 【分析】由题意结合双曲线的渐近线可设双曲线E 的标准方程为()2210x y λλλ-=≠，按照0λ>、0λ<讨论，结合双曲线的焦距分别求得λ的取值范围即可得解. 【详解】双曲线E 的一条渐近线方程为y x =，∴设双曲线E 的标准方程为()2210x y λλλ-=≠，当0λ>时，该双曲线的焦距为22λ224λ>，解得2λ>； 当0λ<时，该双曲线的焦距为2λ-224λ->，解得2λ<-；∴双曲线的标准方程为(2212x y λλλ-=>或)2λ<-，令3λ=可得双曲线的标准方程为22133y x -=.故答案为：22133y x -=（满足(2212x y λλλ-=>或)2λ<-即可）. 【点睛】本题考查了双曲线性质的应用，考查了运算求解能力，关键是对于双曲线相关概念的熟练应用，属于基础题.13.数列{}n a 中，12a =，12n n a a +=，*n N ∈．若其前k 项和为126，则k =______． 【答案】6 【解析】 【分析】直接利用等比数列求和公式得到答案.【详解】根据题意{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，故11222212612kk k S +-==-=-，解得6k =. 故答案为：6.【点睛】本题考查了等比数列求和，属于简单题.14.已知点(2,0)A ，(1,2)B ，(2,2)C ，AP AB AC =-，O 为坐标原点，则AP =______，OP 与OA 夹角的取值范围是______．【答案】 (1). 1 (2). 06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】由题意结合平面向量的相关知识可得1AP AB AC CB =-==，即可得点P 在以(2,0)A 为圆心，1为半径的圆上，结合平面向量夹角的概念数形结合即可得解. 【详解】由题意可得()1,0AB AC CB -==-， 所以1AP AB AC CB =-==；则点P 在以(2,0)A 为圆心，1为半径的圆上，如图：由图可知，当OP 与OA 夹角最小值为0，当直线OP 与圆A 相切时，OP 与OA 夹角取最大值，连接AP ， 易得POA ∠为锐角且1sin 2AP POA OA ∠==， 所以6POA π∠=，所以此时OP 与OA 夹角的取值范围是06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故答案为：1；06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查了平面向量线性运算及其坐标表示、平面向量模的求解，考查了平面向量夹角的概念与数形结合思想，属于中档题.15.已知函数1,0()ln ,0ax x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，给出下列三个结论：①当2a =-时，函数()f x 的单调递减区间为(,1)-∞； ②若函数()f x 无最小值，则a 的取值范围为(0,)+∞；③若1a <且0a ≠，则b R ∃∈，使得函数()y f x b =-.恰有3个零点1x ，2x ，3x ，且1231x x x =-． 其中，所有正确结论的序号是______． 【答案】②③【解析】 【分析】由题意结合函数单调性的概念举出反例可判断①；画出函数的图象数形结合即可判断②；由题意结合函数图象不妨设12301x x x <<<<，进而可得11b x a -=，2b x e -=，3bx e =，令111b x a-==-验证后即可判断③；即可得解.【详解】对于①，当2a =-时，由201e -<<，22(0)1()ln 2f f e e--=<==，所以函数()f x 在区间(,1)-∞不单调递减，故①错误；对于②，函数1,0()ln ,0ax x f x x x +≤⎧=⎨>⎩可转化为1,0()ln ,01ln ,1ax x f x x x x x +≤⎧⎪=-<≤⎨⎪>⎩，画出函数的图象，如图：由题意可得若函数()f x 无最小值，则a 的取值范围为(0,)+∞，故②正确；对于③，令()0y f x b =-=即()f x b =，结合函数图象不妨设12301x x x <<<<， 则1231ln ln ax x x b +=-==，所以11b x a -=，2b x e -=，3bx e =，所以231b b x x e e -⋅=⋅=， 令111b x a-==-即1b a =-+， 当0a <时，11b a =-+>，()0y f x b =-=存在三个零点，且1231x x x =-，符合题意； 当01a <<时，011b a <=-+<，()0y f x b =-=存在三个零点，且1231x x x =-，符合题意； 故③正确.故答案为：②③.【点睛】本题考查了分段函数单调性、最值及函数零点的问题，考查了运算求解能力与数形结合思想，合理使用函数的图象是解题的关键，属于中档题.三、解答题.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.16.已知{}n a 是公差为d 的无穷等差数列，其前n 项和为n S ．又______，且540S =，是否存在大于1的正整数k ，使得1k S S =？若存在，求k 的值；若不存在，说明理由． 从①14a =，②2d =-这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答． 注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】见解析 【解析】 【分析】选①14a =时，根据求和公式得出2d =，再由求和公式得出234k k +=，求解即可得出结论；选②2d =-时，根据求和公式得出112a =，进而得出213k S k k =-+，解方程21312k k -+=，即可得出结论；【详解】选①14a = ∵{}n a 是等差数列 ∴1(1)2n n n S na d -=+∵14a =，540S = ∴5201040S d =+= ∴2d =∵23k S k k =+，114S a ==∵1k S S = ∴234k k +=(1)(4)0k k -+=∴1k =或4k =-（舍去）∴不存在1k >，使得1k S S = 选②2d =- ∵{}n a 是等差数列 ∴1(1)2n n n S na d -=+∵2d =-，540S = ∴112a =∴213k S k k =-+，1112S a ==∵1k S S = ∴21312k k -+=(12)(1)0k k --=∴1k =或12k = ∵121k =>∴存在1k >，使得1k S S =【点睛】本题主要考查了等差数列前n 项和基本量的计算，属于中档题.17.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//BC AD ，90ADC ∠=︒，112BC CD AD ===，E 为线段AD 的中点，PE ⊥底面ABCD ，点F 是棱PC 的中点，平面BEF 与棱PD 相交于点G ．（1）求证：//BE FG ； （2）若PC 与AB 所成的角为4π，求直线PB 与平面BEF 所成角的正弦值．【答案】（1）见解析（2）23【解析】 【分析】（1）首先证明四边形BCDE 为平行四边形，得到//BE CD ，然后可得//BE 平面PDC ，然后由线面平行的性质定理可证//BE FG ；（2）以E 为原点，EA 为x 轴，EB 为y 轴，EP 为z 轴建立空间直角坐标系，设(0,0,)P p ，首先利用PC与AB 所成的角为4π求出2p =，然后算出平面BEF 的法向量坐标和PB 的坐标，然后可算出答案. 【详解】（1）证明：因为E 为AD 中点，且12BC AD =所以DE BC =，又因为//AD BC ，所以//DE BC 所以四边形BCDE 为平行四边形所以//BE CD ，因为BE ⊄平面PDC ，CD ⊂平面PDC ，所以//BE 平面PDC 因为BE ⊂平面BEGF ，平面BEGF ⋂平面PDC FG = 所以//BE FG（2）由（1）可得//BE CD因为90ADC ∠=︒，所以90AEB =︒∠，且PE ⊥平面ABCD所以以E 为原点，EA 为x 轴，EB 为y 轴，EP 为z 轴建立空间直角坐标系设(0,0,)P p ，A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(1,1,0)-PC (1,1,)p =--，(1,1,0)AB =-，因为PC 与AB 所成角为4π所以2 cos,2||||PC ABPC ABPC AB⋅==，(0)p>解得2p=所以(0,0,2)P，112,,222F⎛⎫-⎪⎪⎝⎭，(0,0,0)E(0,1,2)PB=-，(0,1,0)EB=，112,,222EF⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭设平面BEF得一个法向量(,,)n x y z=EB nEF n⎧⋅=⎨⋅=⎩，可得122yx z=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，可取(2,0,1)n=设直线PB与平面BEF所成的角为α||2sin|cos,|3||||PB nPB nPB nα⋅=〈〉==【点睛】向量法是求立体几何中的线线角、线面角、面面角时常用方法，计算能力是解题的关键.18.为了推进分级诊疗，实现“基层首诊、双向转诊、急慢分治、上下联动”的诊疗模式，某地区自2016年起全面推行家庭医生签约服务．已知该地区居民约为2000万，从1岁到101岁的居民年龄结构的频率分布直方图如图1所示．为了解各年龄段居民签约家庭医生的情况，现调查了1000名年满18周岁的居民，各年龄段被访者签约率如图2所示．（1）估计该地区年龄在71~80岁且已签约家庭医生的居民人数；（2）若以图2中年龄在71~80岁居民签约率作为此地区该年龄段每个居民签约家庭医生的概率，则从该地区年龄在71~80岁居民中随机抽取两人，求这两人中恰有1人已签约家庭医生的概率；（3）据统计，该地区被访者的签约率约为44%．为把该地区年满18周岁居民的签约率提高到55%以上，应着重提高图2中哪个年龄段的签约率?并结合数据对你的结论作出解释．【答案】（1）56万，（2）0.42，（3）应着重提高31-50这个年龄段的签约率，见解析.【解析】【分析】（1）先由图1算出年龄在71-80岁的居民人数，然后由图2得到年龄在71-80岁的居民签约率，即可算出答案；（2）由图2得到年龄段在71-80的每个居民签约家庭医生的概率，然后即可算出答案；（3）根据图1算出每个年龄段的人数，然后结合签约率即可得到答案.【详解】（1）由题知该地区居民约为2000万，由图1知，该地区年龄在71-80岁的居民人数为0.00410200080⨯⨯=万.由图2知，年龄在71-80岁的居民签约率为0.7，所以该地区年龄在71-80岁且已签约家庭医生的居民人数为：800.756⨯=万.（2）由题知此地区年龄段在71-80的每个居民签约家庭医生的概率为0.7P=，且每个居民之间是否签约都是独立的，所以设“从该地区年龄在71-80岁居民中随机抽取两人”为事件B，随机变量为x，这两人中恰有1人已签约家庭医生的概率为：()111210.70.30.42P x C==⨯=（3）由图1，2知：年龄段该地区人数（万）签约率%18-30 0.005102000100⨯⨯=0.018102000360⨯⨯=大于360，小于46030.331-40，41-50 (0.0210.016)102000740+⨯⨯=37.1 51-60 0.015102000300⨯⨯=55.7 61-70 0.010*********⨯⨯=61.7 71-80 0.00410200080⨯⨯=7080以上 (0.00250.0005)10200060+⨯⨯=75.8由以上数据可知这个地区在31-50这个年龄段的人为740万，基数较其他年龄段是最大的，且签约率为37.1%，非常低，所以为把该地区满18周岁居民的签约率提高到55%以上，应着重提高31-50这个年龄段的签约率. 【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用和概率的求法，考查了学生的阅读能力和计算能力，属于基础题.19.已知椭圆W ：22221x y a b +=(0)a b >>过(0,1)A ，(0,1)B -两点，离心率为32.（1）求椭圆W 的方程；（2）过点A 的直线l 与椭圆W 的另一个交点为C ，直线l 交直线2y =于点M ，记直线BC ，BM 的斜率分别为12k k ，，求12k k 的值．【答案】（1）2214x y +=（2）1234k k =-【解析】 【分析】（1）根据题意可得b ，由离心率可得,a c 关系，求解即可得到椭圆的标准方程；（2）设直线l : 1y kx =+，与直线方程联立求出C 的坐标，再求出M ，根据斜率公式即可求出. 【详解】（1）由题意可知22231c a b b c a ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪+=⎪⎪⎩，解得213a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩ 所以椭圆W 的方程为2214x y +=.（2）由题意可知，直线l 斜率存在且不为0，设直线l ：1y kx =+，由22144y kx x y =+⎧⎨+=⎩得()224180k x kx ++= 所以2841C kx k -=+，在直线l ：1y kx =+中，令2y =，得1M x k =，即1,2M k ⎛⎫⎪⎝⎭所以2112241144c c c c c y kx k k k k x x x k k+++===+=-=- 2331k k k== 所以1213344k k k k =-⨯=-. 【点睛】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和椭圆的位置关系,直线的斜率公式，考查化简运算能力、推理能力,属于中档题.20.已知函数()(sin cos )xf x e x x =+． （1）求()f x 的单调递增区间； （2）求证：曲线()y f x =在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有且只有一条斜率为2的切线． 【答案】（1）2,222k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k Z ∈（2）见解析【解析】 【分析】（1）根据函数解析式，求得导函数()f x '，令()0f x '>即可求得()f x 的单调递增区间； （2）曲线()y f x =在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有且只有一条斜率为2的切线，等价于在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上方程cos 1x e x =有唯一解，构造函数()cos xg x e x =，求得导函数()g x '，并判断()g x '的符号，确定()g x 的单调性与极值，从而判断出()0f x '=在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上存在唯一一个零点，即可证明结论.【详解】（1）函数()(sin cos )xf x e x x =+,x ∈R ， 则()(sin cos )(cos sin )2cos xxxf x e x x e x x e x '=++-=，令()2cos 0xf x e x '=>得2,222x k k ππππ⎛⎫∈-+⎪⎝⎭，k Z ∈， ∴()f x 单调递增区间为2,222k k ππππ⎛⎫-+⎪⎝⎭，k Z ∈ （2）原命题等价于：在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上，方程cos 1xe x =有唯一解， 设()cos xg x e x =，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭则()cos sin 2sin 4x x xg x e x e x e x π⎛⎫'=-=- ⎪⎝⎭此时，x ，()g x '，()g x 变化情况如下：x0,4π⎛⎫⎪⎝⎭ 4π ,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭()g x ' +-()g x极大值此时，()g x 在0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，且(0)1g =，42142g e ππ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，()g x 在,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，且02g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴()cos 1xg x e x ==在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上存在唯一一个根， ()2cos 20x f x e x '=-=在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上存在唯一一个零点，∴曲线()y f x =在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有且仅有一条斜率为2的切线. 【点睛】本题考查了由导函数判断函数的单调区间，函数零点、方程的根与函数单调性的综合应用，构造函数法分析函数的单调性与极值，属于中档题.21.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点．对任意的点(,)P x y ，定义OP x y =+．任取点11()A x y ，，22()B x y ，，记12()A x y '，，21()B x y '，，若此时2222OA OB OA OB ''+≥+成立，则称点A ，B 相关．（1）分别判断下面各组中两点是否相关，并说明理由； ①(2,1)A -，(3,2)B ；②(4,3)C -，(2,4)D ．（2）给定*n N ∈，3n ≥，点集{}(,),,,n x y n x n n y n x y Z Ω=-≤≤-≤≤∈． （i ）求集合n Ω中与点(1,1)A 相关的点的个数；（ii ）若n S ⊆Ω，且对于任意的A ，B S ∈，点A ，B 相关，求S 中元素个数的最大值． 【答案】（1）①相关；②不相关.（2）（i ）245n +个（ii ）81n -. 【解析】 【分析】（1）根据所给定义，代入不等式化简变形可得对应坐标满足的关系，即可判断所给两个点的坐标是否符合定义要求.（2）（i ）根据所给点集，依次判断在四个象限内满足的点个数，坐标轴上及原点的个数，即可求得集合n Ω中与点(1,1)A 相关的点的个数；（ii ）由（1）可知相关点满足()()12120x x y y --≥，利用分类讨论证明()()11221x y x y +-+≥，即可求得S 中元素个数的最大值．【详解】若点()11,A x y ，()22,B x y 相关，则()12,A x y '，()21,B x y ，而OP x y =+， 不妨设11220,0,0,0x y x y ≥≥≥≥， 则由定义2222OA OBOA OB ''+≥+可知()()()()222211221221x y x y x y x y +++≥+++，化简变形可得()()12120x x y y --≥，（1）对于①(2,1)A -，(3,2)B ；对应坐标取绝对值，代入可知(23)(12)0--≥成立，因此相关； ②对应坐标取绝对值，代入可知(42)(34)0--<，因此不相关.（2）（i ）在第一象限内，(1)(1)0x y --≥，可知1x n ≤≤且1y n ≤≤，有2n 个点；同理可知，在第二象限、第三象限、第四象限也各有2n 个点.在x 轴正半轴上，点()1,0满足条件；在x 轴负半轴上，点()1,0-满足条件；在y 轴正半轴上，点()0,1满足条件；在y 轴负半轴上，点()0,1-满足条件；原点()0,0满足条件；因此集合n Ω中共有245n +个点与点(1,1)A 相关.（ii ）若两个不同的点()11,A x y ，()22,B x y 相关，其中1x ，20x ≥，1y ，20y ≥，可知()()12120x x y y --≥.下面证明()()11221x y x y +-+≥.若12x x =，则12y y ≠，成立；若12x x >，则12y y ≥，若12x x <，则12y y ≤，亦成立.由于()()1122()(00)2x y x y n n n +-+≤+-+=，因此最多有21n 个点两两相关，其中最多有21n -个点在第一象限；最少有1个点在坐标轴正半轴上，一个点为原点.因此S 中元素个数的最大值为4(21)21181n n -+⋅+=-.【点睛】本题考查了集合中新定义的应用，对题意的理解与分析能力的要求较高，属于难题.。
北京市海淀区2020届高三二模数学试卷分析(2020.6)
渗透模型思想，提升数学应用意识，感悟数学的价值
坚持能力立意，关注数学核心素养
2020/6/5
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学生需要尝试从多角度的思考，多方法的观察，多 层次的分析，找到解决问题的切入点。从而能够考 查学生对事物存在变化和事物整体结构、功能和作 用的认识，以及对事物发展过程的理解和把握。
——任子朝 教育部考试中心
2020/6/5
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如图， A, B 是半径为 2 的圆周上的定点， P 为圆周上的动点， APB 是锐角，大小为 ．
图中阴影区域的面积的最大值为
（A） 4
A
（C） 2 + 2cos
（D） 2 + 2sin
P
B
2020/6/5
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设集合 A ={(x, y) | x − y 1,ax + y 4, x − ay 2}, 则
所以 x12 + y12 = x22 + y22 .
因为
x12 4
+
y12
= 1, x22 4
+
y22
=1，
所以 3x12 4
=
3x22 4
，即 x1
= x2 .
所以点 B 在坐标轴上，矛盾.
2020/6/5
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设函数 f (x) = xea−x + bx ，曲线 y = f (x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程为 y = (e −1)x + 4 ． （Ⅰ）求 a, b 的值； （Ⅱ）求 f (x) 的单调区间．
2020/6/5
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改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式 之一．为了解某校学生上个月 A，B 两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽 取了 100 人，发现样本中 A，B 两种支付方式都不使用的有 5 人，样本中仅使用 A 和仅使 用 B 的学生的支付金额分布情况如下：