2002年高考.全国卷.文科数学试题及答案
2002年普通高等学校招生全国统一考试数学（文史类）及答案本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分．第I 卷1至2页．第II 卷3至9页．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）直线01)1(=+++y x a 与圆0222=-+x y x 相切，则a 的值为 （A ）1,1- （B ）2.2- （C ）1 （D ）1-（2）复数3)2321(i +的值是 （A ）i - （B ）i （C ）1- （D ）1 （3）不等式0|)|1)(1(>-+x x 的解集是（A ）}10|{<≤x x （B ）0|{<x x 且}1-≠x （C ）}11|{<<-x x （D ）1|{<x x 且}1-≠x （4）函数xa y =在]1,0[上的最大值与最小值这和为3，则a ＝ （A ）21 （B ）2 （C ）4 （D ）41 （5）在)2,0(π内，使x x cos sin >成立的x 的取值范围是（A ）)45,()2,4(ππππ （B ）),4(ππ （C ）)45,4(ππ （D ）)23,45(),4(ππππ （6）设集合},412|{Z k k x x M ∈+==，},214|{Z k k x x N ∈+==，则（A ）N M = （B ）N M ⊂ （C ）N M ⊃ （D ）∅=N M（7）椭圆5522=+ky x 的一个焦点是)2,0(，那么=k（A ）1- （B ）1 （C ）5 （D ）5-（8）一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，那么这个圆锥轴截面顶角的余弦值是 （A ）43 （B ）54 （C ）53 （D ）53- （9）10<<<<a y x ，则有（A ）0)(log <xy a （B ）1)(log 0<<xy a （C ）2)(log 1<<xy a （D ）2)(log >xy a （10）函数c bx x y ++=2（),0[+∞∈）是单调函数的充要条件是 （A ）0≥b （B ）0≤b （C ）0>b （D ）0<b （11）设)4,0(πθ∈，则二次曲线122=-θθtg y ctg x 的离心率取值范围（A ）)21,0( （B ）)22,21( （C ）)2,22( （D ）),2(+∞ （12）从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有（A ）8种 （B ）12种 （C ）16种 （D ）20种第II 卷(非选择题共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线．（13）据新华社2002年3月12日电，1985年到2000年间。
我国农村人均居住面积如图所示，其中，从 年2000年的五年间增长最快。
（14）函数xxy +=12（),1(+∞-∈x ）图象与其反函数图象的交点为 （15）72)2)(1(-+x x 展开式中3x 的系数是（16）对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：①焦点在y 轴上；②焦点在x 轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④抛物线的通径的长为5；⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为)1,2(。
能使这抛物线方程为x y 102=的条件是第 （要求填写合适条件的序号） 三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （17）如图，某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似满足函数b x A y ++=)sin(ϕω （1）求这段时间的最大温差； （2）写出这段时间的函数解析式；（18）甲、乙物体分别从相距70米的两处同时相向运动。
甲第1分钟走2米，以后每分钟比前1分钟多走1米，乙每分钟走5米。
（1）甲、乙开始运动后几分钟相遇？（2）如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1米，乙继续每分钟走5米，那么开始运动几分钟后第二相遇？（19）四棱锥ABCD P -的底面是边长为a 的正方形，⊥PB 平面ABCD 。
（1）若面PAD 与面ABCD 所成的二面角为︒60，求这个四棱锥的体积；（2）证明无论四棱锥的高怎样变化。
面PAD 与面PCD 所成的二面角恒大于︒90（20）设函数1|2|)(2+-+=x x x f ，R x ∈ （1）讨论)(x f 的奇偶性； （2）求)(x f 的最小值。
（21）已知点P 到两定点)0,1(-M 、)0,1(N 距离的比为2，点N 到直线PM 的距离为1，求直线PN 的方程。
（22）（本小题满分12分，附加题满分4分）（I ）给出两块相同的正三角形纸片（如图1，图2），要求用其中一块剪拼成一个三棱锥模型，另一块剪拼成一个正三棱柱模型，使它们的全面积都与原三角形的面积相等，请设计一种剪拼方法，分别用虚线标示在图1、图2中，并作简要说明； （II ）试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小； （III ）（本小题为附加题，如果解答正确，加4分，但全卷总分不超过150分） 如果给出的是一块任意三角形的纸片（如图3），要求剪栟成一个直三棱柱，使它的全面积与给出的三角形的面积相等。
请设计一种剪拼方法，用虚线标示在图3中，并作简要说明。
参考答案（13）1995 2000 （14）)1,1(),0,0( （15）1008 （16）②⑤ 三、解答题 （17）解：（1）由图示，这段时间的最大温差是201030=-℃ （2）图中从6时到14时的图象是函数b x A y ++=)sin(ϕω的半个周期∴614221-=⋅ωπ，解得8πω= 由图示，10)1030(21=-=A 20)3010(21=+=b这时，20)8sin(10++=ϕπx y将10,6==y x 代入上式，可取43πϕ=综上，所求的解析式为20)438sin(10++=ππx y （]14,6[∈x ） （18）解：（1）设n 分钟后第1次相遇，依题意，有7052)1(2=+-+n n n n ，整理得0140132=-+n n ，解得7=n ，20-=n （舍） 第1次相遇是在开始后7分钟．（2）设n 分钟后第2次相遇，依题意，有70352)1(2⨯=+-+n n n n ，整理得0420132=-+n n ，解得15=n ，28-=n （舍） 第2次相遇是在开始后15分钟．（19）解（1）∵⊥PB 平面ABCD ，∴BA 是PA 在面ABCD 上的射影，∴DA PA ⊥ ∴PAB ∠是面PAD 与面A B C D 所成二面角的平面角，︒=∠60PAB而PB 是四棱锥ABCD P -的高，a tg AB PA 360=︒⋅=∴3233331a a a V ABCD P =⋅⋅=- （2）证：不论棱锥的高怎样变化，棱锥侧面PAD 与PCD 恒为全等三角形．作DP AE ⊥，垂足为E ，连结EC ，则CDE ADE ∆≅∆．∴EC AE =，︒=∠90CED ，故CFA ∠是面PAD 与面PCD 所成的二面角的平面角． 设AC 与DB 相交于点O ，连结EO ，则AC EO ⊥．a AD AE OA a =<<=22在△AEC 中，0)2)(2(2)2(cos 2222<-+=⋅⋅-+=∠AEOA AE OA AE EC AE OA EC AE AEC 所以，面PAD 与面PCD 所成的二面角恒大于︒90（20）解：（I ）3)2(=f ,7)2(=-f ，由于)2()2(f f ≠-，)2()2(f f -≠- 故)(x f 既不是奇函数，也不是偶函数．（2）⎪⎩⎪⎨⎧<+-≥-+=2123)(22x x x x x x x f由于)(x f 在),2[+∞上的最小值为3)2(=f ，在)2,(-∞内的最小值为43)21(=f 故函数)(x f 在),(∞-∞内的最小值为43 （21）解：设P 的坐标为),(y x ，由题意有2||||=PN PM ，即2222)1(2)1(y x y x +-⋅=++，整理得01622=+-+x y x因为点N 到PM 的距离为1，2||=MN所以︒=30PMN ，直线PM 的斜率为33±直线PM 的方程为)1(33+±=x y 将)1(33+±=x y 代入01622=+-+x y x 整理得0142=+-x x 解得32+=x ，32-=x则点P 坐标为)31,32(++或)31,32(+--)31,32(--+或)31,32(---直线PN 的方程为1-=x y 或1+-=x y ．（22）解（I ）如图1，沿正三角形三边中点连线折起，可拼得一个正三棱锥．如图2，正三角形三个角上剪出三个相同的四边形，其较长的一组邻边边长为三角形边长的41，有一组对角为直角，余下部分按虚线折起，可成一个缺上底的正三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个正三棱锥的上底．（II ）依上面剪拼方法，有锥柱V V >．推理如下：设给出正三角形纸片的边长为2，那么，正三棱锥与正三棱柱的底面都是边长为1的正三角形，其面积为43．现在计算它们的高： 36)2332(12=⋅-=锥h ，633021=︒=tg h 柱． 02422343)9663(43)31(>-=⋅-=⋅=-锥柱锥柱－h h V V所以锥柱V V >．（III ）如图3，分别连结三角形的内心与各顶点，得三条线段，再以这三条线段的中点为顶点作三角形．以新作的三角形为直棱柱的底面，过新三角形的三个顶点向原三角形三边作垂线，沿六条垂线剪下三个四边形，可心拼成直三棱柱的上底，余下部分按虚线折起，成为一个缺上底的直三棱柱，即可得到直三棱柱．。
2004年高考.全国卷Ⅰ.文科数学试题及答案(河南、河北、山东、山西、安徽、江西等地区)
2004年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅰ）(河南、河北、山东、山西、安徽、江西等地区)文科数学（必修+选修I ）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分. 共150分. 考试时间120分钟.第I 卷（选择题 共60分）参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ） 如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率P n (k)=C kn P k (1－P)n －k一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.1．设集合U={1，2，3，4，5}，A={1，2，3}，B={2，5}，则A ∩（ U B ）= （ ）A ．{2}B ．{2，3}C ．{3}D ． {1，3}2．已知函数=-=+-=)(,21)(,11lg )(a f a f x x x f 则若 （ ）A ．21B ．－21 C ．2D ．－2 3．已知a +b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a +3b |= （ ）A ．7B ．10C ．13D ．4 4．函数)1(11≥+-=x x y 的反函数是（ ）A ．)1(222<+-=x x x y B ．)1(222≥+-=x x x yC ．)1(22<-=x x x yD ．)1(22≥-=x x x y 5．73)12(xx -的展开式中常数项是（ ）A ．14B ．－14C ．42D ．－42 6．设)2,0(πα∈若,53sin =α则)4cos(2πα+= （ ）A ．57B ．51C ．27D ．4球的表面积公式S=42R π其中R 表示球的半径， 球的体积公式V=334R π， 其中R 表示球的半径7．椭圆1422=+y x 的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则||2PF = （ ）A ．23 B ．3C ．27 D ．48．设抛物线x y 82=的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是（ ）A ．]21,21[- B ．[－2，2] C ．[－1，1] D ．[－4，4]9．为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象（ ）A ．向右平移6π个单位长度B ．向右平移3π个单位长度C ．向左平移6π个单位长度D ．向左平移3π个单位长度10．已知正四面体ABCD 的表面积为S ，其四个面的中心分别为E 、F 、G 、H ，设四面体EFGH 的表面积为T ，则ST等于 （ ）A ．91 B ．94 C ．41 D ．31 11．从1，2，……，9这九个数中，随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为偶数的概率是 （ ）A ．95B ．94 C ．2111 D ．2110 12．已知ca bc ab a c c b b a ++=+=+=+则,2,2,1222222的最小值为 （ ）A ．3－21 B ．21－3 C ．－21－3 D ．21+3第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13．不等式x +x 3≥0的解集是 .14．已知等比数列{,384,3,}103==a a a n 中则该数列的通项n a = .15．由动点P 向圆x 2+y 2=1引两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，∠APB=60°，则动点P 的轨迹方程为 .16．已知a 、b 为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a 、b 在α上的射影有可能是 .①两条平行直线 ②两条互相垂直的直线 ③同一条直线④一条直线及其外一点在一面结论中，正确结论的编号是 （写出所有正确结论的编号）.三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）等差数列{n a }的前n 项和记为S n .已知.50,302010==a a （Ⅰ）求通项n a ； （Ⅱ）若S n =242，求n.18．（本小题满分12分）求函数xxx x x x f 2sin 2cos sin cos sin )(2244-++=的最小正周期、最大值和最小值.19．（本小题满分12分）已知13)(23+-+=x x ax x f 在R 上是减函数，求a 的取值范围. 20．（本小题满分12分）从10位同学（其中6女，4男）中随机选出3位参加测验.每位女同学能通过测验的概率均为54，每位男同学能通过测验的概率均为53.试求： （I ）选出的3位同学中，至少有一位男同学的概率；（II ）10位同学中的女同学甲和男同学乙同时被选中且通过测验的概率.21．（本小题满分12分）如图，已知四棱锥 P —ABCD ，PB ⊥AD ，侧面PAD 为边长等于2的正三角形，底面ABCD 为菱形，侧面PAD 与底面ABCD 所成的二面角为120°.（I ）求点P 到平面ABCD 的距离；（II ）求面APB 与面CPB 所成二面角的大小. 22．（本小题满分14分）设双曲线C ：1:)0(1222=+>=-y x l a y ax 与直线相交于两个不同的点A 、B.（I ）求双曲线C 的离心率e 的取值范围： （II ）设直线l 与y 轴的交点为P ，且.125PB PA =求a 的值.2004年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（必修+选修I ）参考答案一、选择题DBCBABCCBACB二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13．{x |x ≥0} 14．3·2n －3 15．422=+y x 16．①②④三、解答题17．本小题主要考查等差数列的通项公式、求和公式，考查运算能力.满分12分.解：（Ⅰ）由,50,30,)1(20101==-+=a a d n a a n 得方程组⎩⎨⎧=+=+.5019,30911d a d a ……4分 解得.2,121==d a 所以 .102+=n a n ……7分（Ⅱ）由242,2)1(1=-+=n n S d n n na S 得方程 .24222)1(12=⨯-+n n n ……10分 解得).(2211舍去或-==n n ………12分18．本小题主要考查三角函数基本公式和简单的变形，以及三角函数的有关性质.满分12分.解：xx xx x x x f cos sin 22cos sin )cos (sin )(22222--+=.212sin 41)cos sin 1(21)cos sin 1(2cos sin 122+=+=--=x x x x x x x所以函数)(x f 的最小正周期是π，最大值是,43最小值是.41…………12分 19．本小题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数单调性的基本方法，考查综合运用数学知识解决问题的能力.满分12分.解：函数f (x )的导数：.163)(2-+='x ax x f ………………3分（Ⅰ）当0)(<'x f （R x ∈）时，)(x f 是减函数.)(01632R x x ax ∈<-+ .3012360-<⇔<+=∆<⇔a a a 且所以，当))((,0)(,3R x x f x f a ∈<'-<知由时是减函数；………………9分（II ）当3-=a 时，133)(23+-+-=x x x x f =,98)31(33+--x ………………6分由函数3x y =在R 上的单调性，可知 当3-=a 时，R x x f ∈)((）是减函数；（Ⅲ）当3->a 时，在R 上存在一个区间，其上有,0)(>'x f所以，当3->a 时，函数))((R x x f ∈不是减函数. 综上，所求a 的取值范围是（].3,-∞-………………12分20．本小题主要考查组合，概率等基本概念，独立事件和互斥事件的概率以及运用概率知识 解决实际问题的能力，满分12分. 解：（Ⅰ）随机选出的3位同学中，至少有一位男同学的概率为1－6531036=C C ；………………6分（Ⅱ）甲、乙被选中且能通过测验的概率为.1254535431018=⨯⨯C C ；………………12分21．本小题主要考查棱锥，二面角和线面关系等基本知识，同时考查空间想象能力和推理、运算能力.满分12分.（I ）解：如图，作PO ⊥平面ABCD ，垂足为点O.连结OB 、OA 、OD 、OB 与AD 交于点E ，连结PE.∵AD ⊥PB ，∴AD ⊥OB ，∵PA=PD ，∴OA=OD ，于是OB 平分AD ，点E 为AD 的中点，所以PE ⊥AD. 由此知∠PEB 为面PAD 与面ABCD所成二面角的平面角，………………4分 ∴∠PEB=120°，∠PEO=60°由已知可求得PE=3∴PO=PE ·sin60°=23233=⨯， 即点P 到平面ABCD 的距离为23.………………6分 （II ）解法一：如图建立直角坐标系，其中O 为坐标原点，x 轴平行于DA.)43,433,0(),0,233,0(),23,0,0(的坐标为中点G PB B P .连结AG.又知).0,233,2(),0,23,1(-C A 由此得到：,0).0,0,2(),23,233,0(),43,43,1(=⋅=⋅-=-=--=PB BC PB GA 于是有所以θ,.⊥⋅⊥等于所求二面角的平面角，…………10分 于是,772||||cos -=⋅=BC GA θ 所以所求二面角的大小为772arccos-π.…………12分 解法二：如图，取PB 的中点G ，PC 的中点F ，连结EG 、AG 、GF ，则AG ⊥PB ，FG//BC ，FG=21BC. ∵AD ⊥PB ，∴BC ⊥PB ，FG ⊥PB ，∴∠AGF 是所求二面角的平面角.……9分 ∵AD ⊥面POB ，∴AD ⊥EG.又∵PE=BE ，∴EG ⊥PB ，且∠PEG=60°. 在Rt △PEG 中，EG=PE ·cos60°=23. 在Rt △PEG 中，EG=21AD=1. 于是tan ∠GAE=AE EG=23， 又∠AGF=π－∠GAE. 所以所求二面角的大小为π－arctan23.…………12分 22．（本小题主要考查直线和双曲线的概念和性质，平面向量的运算等解析几何的基本思想和综合解题能力.满分14分. 解：（I ）由C 与t 相交于两个不同的点，故知方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=-.1,1222y x y ax 有两个不同的实数解.消去y 并整理得 （1－a 2）x 2+2a 2x －2a 2=0. ① ……2分.120.0)1(84.012242≠<<⎪⎩⎪⎨⎧>-+≠-a a a a a a 且解得所以双曲线的离心率分的取值范围为即离心率且且6).,2()2,26(226,120.11122+∞≠>∴≠<<+=+=e e e a a aa a e（II ）设)1,0(),,(),,(12211P y x B y x A.125).1,(125)1,(,125212211x x y x y x =-=-∴=由此得 ……8分 由于x 1，x 2都是方程①的根，且1－a 2≠0，分所以由得消去所以14.1317,06028912,,.12125,1212172222222222 =>=----=--=a a a a x a a x a a x。
2002年全国统一高考文科数学试卷
第1页（共14页） 2002年全国统一高考数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）直线(1)10a x y +++=与圆2220x y x +-=相切，则a 的值为( )A ．1-B ．2-C ．1 D2．（5分）复数31()2的值是( ) A ．1- B ．1 C ．i - D ．i3．（5分）不等式(1)(1||)0x x +->的解集是( )A ．{|01}x x <„B ．{|0x x <且1}x ≠-C ．{|11}x x -<<D ．{|1x x <且1}x ≠-4．（5分）函数x y a =在[0，1]上的最大值与最小值的和为3，则(a = )A ．12B ．2C ．4D ．145．（5分）在(0,2)π内，使sin cos x x >成立的x 的取值范围是( )A ．(4π，)(2ππ⋃，5)4π B ．(4π，)π C ．(4π，5)4π D ．(4π，5)(4ππ⋃，3)2π 6．（5分）设集合1{|24k M x x ==+，}k Z ∈，1{|42k N x x ==+，}k Z ∈，则( ) A ．M N = B ．M N ⊂ C ．M N ⊃ D ．M N =ΦI 7．（5分）椭圆2255x ky +=的一个焦点是(0,2)，那么k 等于( )A ．1-B ．1 CD．8．（5分）一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积与半球的体积恰好相等，则圆锥轴截面顶角的余弦值是( )A ．34B ．43C ．35-D ．359．（5分）已知01x y a <<<<，则有( )A ．log ()0a xy <B ．0log ()1a xy <<C ．1log ()2a xy <<D ．log ()2a xy >10．（5分）函数2([0,))y x bx c x =++∈+∞是单调函数的充要条件是( )A ．0b …B ．0b „C ．0b >D ．0b <。
2009年全国统一高考真题数学试卷(文科)(全国卷ⅰ)(含答案解析版)
2009年全国统一高考数学试卷（文科）（全国卷Ⅰ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）sin585°的值为（）A．B．C．D．2．（5分）设集合A={4，5，7，9}，B={3，4，7，8，9}，全集U=A∪B，则集合∁U（A∩B）中的元素共有（）A．3个B．4个C．5个D．6个3．（5分）不等式＜1的解集为（）A．{x|0＜x＜1}∪{x|x＞1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|﹣1＜x＜0}D．{x|x＜0}4．（5分）已知tana=4，cotβ=，则tan（a+β）=（）A．B．﹣C．D．﹣5．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率为（）A．B．2C．D．6．（5分）已知函数f（x）的反函数为g（x）=1+2lgx（x＞0），则f（1）+g（1）=（）A．0B．1C．2D．47．（5分）甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学．若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（）A．150种B．180种C．300种D．345种8．（5分）设非零向量、、满足，则=（）A．150°B．120°C．60°D．30°9．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影D为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为（）A．B．C．D．10．（5分）如果函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点（，0）中心对称，那么|φ|的最小值为（）A．B．C．D．11．（5分）已知二面角α﹣l﹣β为60°，动点P、Q分别在面α、β内，P到β的距离为，Q到α的距离为，则P、Q两点之间距离的最小值为（）A．1B．2C．D．412．（5分）已知椭圆C：+y2=1的右焦点为F，右准线为l，点A∈l，线段AF 交C于点B，若=3，则||=（）A．B．2C．D．3二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（x﹣y）10的展开式中，x7y3的系数与x3y7的系数之和等于．14．（5分）设等差数列{a n}的前n的和为S n，若S9=72，则a2+a4+a9=．15．（5分）已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M．若圆M的面积为3π，则球O的表面积等于．16．（5分）若直线m被两平行线l1：x﹣y+1=0与l2：x﹣y+3=0所截得的线段的长为，则m的倾斜角可以是①15°②30°③45°④60°⑤75°其中正确答案的序号是（写出所有正确答案的序号）三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，公比是正数的等比数列{b n}的前n项和为T n，已知a1=1，b1=3，a3+b3=17，T3﹣S3=12，求{a n}，{b n}的通项公式．18．（12分）在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a2﹣c2=2b，且sinAcosC=3cosAsinC，求b．19．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，AD=，DC=SD=2，点M在侧棱SC上，∠ABM=60°（I）证明：M是侧棱SC的中点；（Ⅱ）求二面角S﹣AM﹣B的大小．20．（12分）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局．（Ⅰ）求再赛2局结束这次比赛的概率；（Ⅱ）求甲获得这次比赛胜利的概率．21．（12分）已知函数f（x）=x4﹣3x2+6．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设点P在曲线y=f（x）上，若该曲线在点P处的切线l通过坐标原点，求l的方程．22．（12分）如图，已知抛物线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点．（Ⅰ）求r的取值范围；（Ⅱ）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标．2009年全国统一高考数学试卷（文科）（全国卷Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）sin585°的值为（）A．B．C．D．【考点】GE：诱导公式．【分析】由sin（α+2kπ）=sinα、sin（α+π）=﹣sinα及特殊角三角函数值解之．【解答】解：sin585°=sin（585°﹣360°）=sin225°=sin（45°+180°）=﹣sin45°=﹣，故选：A．【点评】本题考查诱导公式及特殊角三角函数值．2．（5分）设集合A={4，5，7，9}，B={3，4，7，8，9}，全集U=A∪B，则集合∁U（A∩B）中的元素共有（）A．3个B．4个C．5个D．6个【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】根据交集含义取A、B的公共元素写出A∩B，再根据补集的含义求解．【解答】解：A∪B={3，4，5，7，8，9}，A∩B={4，7，9}∴∁U（A∩B）={3，5，8}故选A．也可用摩根律：∁U（A∩B）=（∁U A）∪（∁U B）故选：A．【点评】本题考查集合的基本运算，较简单．3．（5分）不等式＜1的解集为（）A．{x|0＜x＜1}∪{x|x＞1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|﹣1＜x＜0}D．{x|x＜0}【考点】7E：其他不等式的解法．【分析】本题为绝对值不等式，去绝对值是关键，可利用绝对值意义去绝对值，也可两边平方去绝对值．【解答】解：∵＜1，∴|x+1|＜|x﹣1|，∴x2+2x+1＜x2﹣2x+1．∴x＜0．∴不等式的解集为{x|x＜0}．故选：D．【点评】本题主要考查解绝对值不等式，属基本题．解绝对值不等式的关键是去绝对值，去绝对值的方法主要有：利用绝对值的意义、讨论和平方．4．（5分）已知tana=4，cotβ=，则tan（a+β）=（）A．B．﹣C．D．﹣【考点】GP：两角和与差的三角函数．【专题】11：计算题．【分析】由已知中cotβ=，由同角三角函数的基本关系公式，我们求出β角的正切值，然后代入两角和的正切公式，即可得到答案．【解答】解：∵tana=4，cotβ=，∴tanβ=3∴tan（a+β）===﹣故选：B．【点评】本题考查的知识点是两角和与差的正切函数，其中根据已知中β角的余切值，根据同角三角函数的基本关系公式，求出β角的正切值是解答本题的关键．5．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率为（）A．B．2C．D．【考点】KC：双曲线的性质；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】11：计算题．【分析】先求出渐近线方程，代入抛物线方程，根据判别式等于0，找到a和b 的关系，从而推断出a和c的关系，答案可得．【解答】解：由题双曲线的一条渐近线方程为，代入抛物线方程整理得ax2﹣bx+a=0，因渐近线与抛物线相切，所以b2﹣4a2=0，即，故选：C．【点评】本小题考查双曲线的渐近线方程直线与圆锥曲线的位置关系、双曲线的离心率，基础题．6．（5分）已知函数f（x）的反函数为g（x）=1+2lgx（x＞0），则f（1）+g（1）=（）A．0B．1C．2D．4【考点】4R：反函数．【专题】11：计算题．【分析】将x=1代入即可求得g（1），欲求f（1），只须求当g（x）=1时x的值即可．从而解决问题．【解答】解：由题令1+2lgx=1得x=1，即f（1）=1，又g（1）=1，所以f（1）+g（1）=2，故选：C．【点评】本小题考查反函数，题目虽然简单，却考查了对基础知识的灵活掌握情况，也考查了运用知识的能力．7．（5分）甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学．若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（）A．150种B．180种C．300种D．345种【考点】D1：分类加法计数原理；D2：分步乘法计数原理．【专题】5O：排列组合．【分析】选出的4人中恰有1名女同学的不同选法，1名女同学来自甲组和乙组两类型．【解答】解：分两类（1）甲组中选出一名女生有C51•C31•C62=225种选法；（2）乙组中选出一名女生有C52•C61•C21=120种选法．故共有345种选法．故选：D．【点评】分类加法计数原理和分类乘法计数原理，最关键做到不重不漏，先分类，后分步！8．（5分）设非零向量、、满足，则=（）A．150°B．120°C．60°D．30°【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．【分析】根据向量加法的平行四边形法则，两个向量的模长相等可构成菱形的两条相邻边，三个向量起点处的对角线长等于菱形的边长，这样得到一个含有特殊角的菱形．【解答】解：由向量加法的平行四边形法则，∵两个向量的模长相等∴、可构成菱形的两条相邻边，∵∴、为起点处的对角线长等于菱形的边长，∴两个向量的夹角是120°，故选：B．【点评】本小题考查向量的几何运算、考查数形结合的思想，基础题．向量知识，向量观点在数学．物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体．9．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影D为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为（）A．B．C．D．【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】首先找到异面直线AB与CC1所成的角（如∠A1AB）；而欲求其余弦值可考虑余弦定理，则只要表示出A1B的长度即可；不妨设三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长为1，利用勾股定理即可求之．【解答】解：设BC的中点为D，连接A1D、AD、A1B，易知θ=∠A1AB即为异面直线AB与CC1所成的角；并设三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长为1，则|AD|=，|A1D|=，|A1B|=，由余弦定理，得cosθ==．故选：D．【点评】本题主要考查异面直线的夹角与余弦定理．10．（5分）如果函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点（，0）中心对称，那么|φ|的最小值为（）A．B．C．D．【考点】HB：余弦函数的对称性．【专题】11：计算题．【分析】先根据函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点中心对称，令x=代入函数使其等于0，求出φ的值，进而可得|φ|的最小值．【解答】解：∵函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点中心对称．∴∴由此易得．故选：A．【点评】本题主要考查余弦函数的对称性．属基础题．11．（5分）已知二面角α﹣l﹣β为60°，动点P、Q分别在面α、β内，P到β的距离为，Q到α的距离为，则P、Q两点之间距离的最小值为（）A．1B．2C．D．4【考点】LQ：平面与平面之间的位置关系．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】分别作QA⊥α于A，AC⊥l于C，PB⊥β于B，PD⊥l于D，连CQ，BD 则∠ACQ=∠PBD=60°，在三角形APQ中将PQ表示出来，再研究其最值即可．【解答】解：如图分别作QA⊥α于A，AC⊥l于C，PB⊥β于B，PD⊥l于D，连CQ，BD则∠ACQ=∠PDB=60°，，又∵当且仅当AP=0，即点A与点P重合时取最小值．故选：C．【点评】本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，以及空间中直线与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．12．（5分）已知椭圆C：+y2=1的右焦点为F，右准线为l，点A∈l，线段AF 交C于点B，若=3，则||=（）A．B．2C．D．3【考点】K4：椭圆的性质．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】过点B作BM⊥x轴于M，设右准线l与x轴的交点为N，根据椭圆的性质可知FN=1，进而根据，求出BM，AN，进而可得|AF|．【解答】解：过点B作BM⊥x轴于M，并设右准线l与x轴的交点为N，易知FN=1．由题意，故FM=，故B点的横坐标为，纵坐标为±即BM=，故AN=1，∴．故选：A．【点评】本小题考查椭圆的准线、向量的运用、椭圆的定义，属基础题．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（x﹣y）10的展开式中，x7y3的系数与x3y7的系数之和等于﹣240．【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题．【分析】首先要了解二项式定理：（a+b）n=C n0a n b0+C n1a n﹣1b1+C n2a n﹣2b2++C n r a n﹣r b r++C n n a0b n，各项的通项公式为：T r=C n r a n﹣r b r．然后根据题目已知求解即可．+1【解答】解：因为（x﹣y）10的展开式中含x7y3的项为C103x10﹣3y3（﹣1）3=﹣C103x7y3，含x3y7的项为C107x10﹣7y7（﹣1）7=﹣C107x3y7．由C103=C107=120知，x7y3与x3y7的系数之和为﹣240．故答案为﹣240．【点评】此题主要考查二项式定理的应用问题，对于公式：（a+b）n=C n0a n b0+C n1a n ﹣1b1+C n2a n﹣2b2++C n r a n﹣r b r++C n n a0b n，属于重点考点，同学们需要理解记忆．14．（5分）设等差数列{a n}的前n的和为S n，若S9=72，则a2+a4+a9=24．【考点】83：等差数列的性质．【分析】先由S9=72用性质求得a5，而3（a1+4d）=3a5，从而求得答案．【解答】解：∵∴a5=8又∵a2+a4+a9=3（a1+4d）=3a5=24故答案是24【点评】本题主要考查等差数列的性质及项与项间的内在联系．15．（5分）已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M．若圆M的面积为3π，则球O的表面积等于16π．【考点】LG：球的体积和表面积．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】由题意求出圆M的半径，设出球的半径，二者与OM构成直角三角形，求出球的半径，然后可求球的表面积．【解答】解：∵圆M的面积为3π，∴圆M的半径r=，设球的半径为R，由图可知，R2=R2+3，∴R2=3，∴R2=4．∴S=4πR2=16π．球故答案为：16π【点评】本题是基础题，考查球的体积、表面积的计算，理解并能够应用小圆的半径、球的半径、以及球心与圆心的连线的关系，是本题的突破口，解题重点所在，仔细体会．16．（5分）若直线m被两平行线l1：x﹣y+1=0与l2：x﹣y+3=0所截得的线段的长为，则m的倾斜角可以是①15°②30°③45°④60°⑤75°其中正确答案的序号是①或⑤（写出所有正确答案的序号）【考点】I2：直线的倾斜角；N1：平行截割定理．【专题】11：计算题；15：综合题；16：压轴题．【分析】先求两平行线间的距离，结合题意直线m被两平行线l1与l2所截得的线段的长为，求出直线m与l1的夹角为30°，推出结果．【解答】解：两平行线间的距离为，由图知直线m与l1的夹角为30°，l1的倾斜角为45°，所以直线m的倾斜角等于30°+45°=75°或45°﹣30°=15°．故填写①或⑤故答案为：①或⑤【点评】本题考查直线的斜率、直线的倾斜角，两条平行线间的距离，考查数形结合的思想．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，公比是正数的等比数列{b n}的前n项和为T n，已知a1=1，b1=3，a3+b3=17，T3﹣S3=12，求{a n}，{b n}的通项公式．【考点】8M：等差数列与等比数列的综合．【专题】11：计算题．【分析】设{a n}的公差为d，数列{b n}的公比为q＞0，由题得，由此能得到{a n}，{b n}的通项公式．【解答】解：设{a n}的公差为d，数列{b n}的公比为q＞0，由题得，解得q=2，d=2∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1，bn=3•2n﹣1．【点评】本小题考查等差数列与等比数列的通项公式、前n项和，基础题．18．（12分）在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a2﹣c2=2b，且sinAcosC=3cosAsinC，求b．【考点】HR：余弦定理．【分析】根据正弦定理和余弦定理将sinAcosC=3cosAsinC化成边的关系，再根据a2﹣c2=2b即可得到答案．【解答】解：法一：在△ABC中∵sinAcosC=3cosAsinC，则由正弦定理及余弦定理有：，化简并整理得：2（a2﹣c2）=b2．又由已知a2﹣c2=2b∴4b=b2．解得b=4或b=0（舍）；法二：由余弦定理得：a2﹣c2=b2﹣2bccosA．又a2﹣c2=2b，b≠0．所以b=2ccosA+2①又sinAcosC=3cosAsinC，∴sinAcosC+cosAsinC=4cosAsinCsin（A+C）=4cosAsinC，即sinB=4cosAsinC由正弦定理得，故b=4ccosA②由①，②解得b=4．【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用．属基础题．19．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，AD=，DC=SD=2，点M在侧棱SC上，∠ABM=60°（I）证明：M是侧棱SC的中点；（Ⅱ）求二面角S﹣AM﹣B的大小．【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系；MJ：二面角的平面角及求法．【专题】11：计算题；14：证明题．【分析】（Ⅰ）法一：要证明M是侧棱SC的中点，作MN∥SD交CD于N，作NE⊥AB交AB于E，连ME、NB，则MN⊥面ABCD，ME⊥AB，设MN=x，则NC=EB=x，解RT△MNE即可得x的值，进而得到M为侧棱SC的中点；法二：分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，并求出S点的坐标、C点的坐标和M点的坐标，然后根据中点公式进行判断；法三：分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，构造空间向量，然后数乘向量的方法来证明．（Ⅱ）我们可以以D为坐标原点，分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，我们可以利用向量法求二面角S﹣AM﹣B的大小．【解答】证明：（Ⅰ）作MN∥SD交CD于N，作NE⊥AB交AB于E，连ME、NB，则MN⊥面ABCD，ME⊥AB，设MN=x，则NC=EB=x，在RT△MEB中，∵∠MBE=60°∴．在RT△MNE中由ME2=NE2+MN2∴3x2=x2+2解得x=1，从而∴M为侧棱SC的中点M．（Ⅰ）证法二：分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，则．设M（0，a，b）（a＞0，b＞0），则，，由题得，即解之个方程组得a=1，b=1即M（0，1，1）所以M是侧棱SC的中点．（I）证法三：设，则又故，即，解得λ=1，所以M是侧棱SC的中点．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，又，，设分别是平面SAM、MAB的法向量，则且，即且分别令得z1=1，y1=1，y2=0，z2=2，即，∴二面角S﹣AM﹣B的大小．【点评】空间两条直线夹角的余弦值等于他们方向向量夹角余弦值的绝对值；空间直线与平面夹角的余弦值等于直线的方向向量与平面的法向量夹角的正弦值；空间锐二面角的余弦值等于他的两个半平面方向向量夹角余弦值的绝对值；20．（12分）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局．（Ⅰ）求再赛2局结束这次比赛的概率；（Ⅱ）求甲获得这次比赛胜利的概率．【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．【专题】12：应用题．【分析】根据题意，记“第i局甲获胜”为事件A i（i=3，4，5），“第j局甲获胜”为事件B i（j=3，4，5），（1）“再赛2局结束这次比赛”包含“甲连胜3、4局”与“乙连胜3、4局”两个互斥的事件，而每局比赛之间是相互独立的，进而计算可得答案，（2）若“甲获得这次比赛胜利”，即甲在后3局中，甲胜2局，包括3种情况，根据概率的计算方法，计算可得答案．【解答】解：记“第i局甲获胜”为事件A i（i=3，4，5），“第j局甲获胜”为事件B i（j=3，4，5）．（Ⅰ）设“再赛2局结束这次比赛”为事件A，则A=A3•A4+B3•B4，由于各局比赛结果相互独立，故P（A）=P（A3•A4+B3•B4）=P（A3•A4）+P（B3•B4）=P（A3）P（A4）+P（B3）P （B4）=0.6×0.6+0.4×0.4=0.52．（Ⅱ）记“甲获得这次比赛胜利”为事件H，因前两局中，甲、乙各胜1局，故甲获得这次比赛胜利当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局，从而B=A3•A4+B3•A4•A5+A3•B4•A5，由于各局比赛结果相互独立，故P（H）=P（A3•A4+B3•A4•A5+A3•B4•A5）=P（A3•A4）+P（B3•A4•A5）+P（A3•B4•A5）=P（A3）P（A4）+P（B3）P（A4）P（A5）+P（A3）P（B4）P（A5）=0.6×0.6+0.4×0.6×0.6+0.6×0.4×0.6=0.648【点评】本小题考查互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率，解题之前，要分析明确事件间的关系，一般先按互斥事件分情况，再由相互独立事件的概率公式，进行计算．21．（12分）已知函数f（x）=x4﹣3x2+6．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设点P在曲线y=f（x）上，若该曲线在点P处的切线l通过坐标原点，求l的方程．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】16：压轴题．【分析】（1）利用导数求解函数的单调性的方法步骤进行求解．（2）根据已知，只需求出f（x）在点P处的导数，即斜率，就可以求出切线方程．【解答】解：（Ⅰ）令f′（x）＞0得或；令f′（x）＜0得或因此，f（x）在区间和为增函数；在区间和为减函数．（Ⅱ）设点P（x0，f（x0）），由l过原点知，l的方程为y=f′（x0）x，因此f（x0）=f′（x0）x0，即x04﹣3x02+6﹣x0（4x03﹣6x0）=0，整理得（x02+1）（x02﹣2）=0，解得或．所以的方程为y=2x或y=﹣2x【点评】本题比较简单，是一道综合题，主要考查函数的单调性、利用导数的几何意义求切线方程等函数基础知识，应熟练掌握．22．（12分）如图，已知抛物线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点．（Ⅰ）求r的取值范围；（Ⅱ）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标．【考点】IR：两点间的距离公式；JF：圆方程的综合应用；K8：抛物线的性质．【专题】15：综合题；16：压轴题．【分析】（1）先联立抛物线与圆的方程消去y，得到x的二次方程，根据抛物线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点的充要条件是此方程有两个不相等的正根，可求出r的范围．（2）先设出四点A，B，C，D的坐标再由（1）中的x二次方程得到两根之和、两根之积，表示出面积并求出其的平方值，最后根据三次均值不等式确定得到最大值时的点P的坐标．【解答】解：（Ⅰ）将抛物线E：y2=x代入圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）的方程，消去y2，整理得x2﹣7x+16﹣r2=0（1）抛物线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点的充要条件是：方程（1）有两个不相等的正根∴即．解这个方程组得，．（II）设四个交点的坐标分别为、、、．则直线AC、BD的方程分别为y﹣=•（x﹣x1），y+=（x﹣x1），解得点P的坐标为（，0），则由（I）根据韦达定理有x1+x2=7，x1x2=16﹣r2，则∴令，则S2=（7+2t）2（7﹣2t）下面求S2的最大值．由三次均值有：当且仅当7+2t=14﹣4t，即时取最大值．经检验此时满足题意．故所求的点P的坐标为．【点评】本题主要考查抛物线和圆的综合问题．圆锥曲线是高考必考题，要强化复习．。
2022全国甲卷文科数学试卷真题和答案
2022全国甲卷文科数学试卷真题和答案转眼间，这一年的高考已经结束了，有人表示，今年高考数学真的是太难了，那么大家都看过它的试题及答案吗？下面是小编给大家带来的2022全国甲卷文科数学真题和答案，以供大家参考！2022全国甲卷文科数学真题和答案高考数学实用的快速解题方法1.熟悉基本的解题步骤和解题方法解题的过程，是一个思维的过程。
对一些基本的、常见的问题，前人已经总结出了一些基本的解题思路和常用的解题程序，我们一般只要顺着这些解题的思路，遵循这些解题的步骤，往往很容易找到习题的答案。
2.审题要认真仔细对于一道具体的习题，解题时最重要的环节是审题。
审题的第一步是读题，这是获取信息量和思考的过程。
读题要慢，一边读，一边想，应特别注意每一句话的内在涵义，并从中找出隐含条件。
有些学生没有养成读题、思考的习惯，心里着急，匆匆一看，就开始解题，结果常常是漏掉了一些信息，花了很长时间解不出来，还找不到原因，想快却慢了。
所以，在实际解题时，应特别注意，审题要认真、仔细。
3.认真做好归纳总结在解过一定数量的习题之后，对所涉及到的知识、解题方法进行归纳总结，以便使解题思路更为清晰，就能达到举一反三的效果，对于类似的习题一目了然，可以节约大量的解题时间。
4.熟悉习题中所涉及的内容解题、做练习只是学习过程中的一个环节，而不是学习的全部，你不能为解题而解题。
解题时，我们的概念越清晰，对公式、定理和规则越熟悉，解题速度就越快。
因此，我们在解题之前，应通过阅读教科书和做简单的练习，先熟悉、记忆和辨别这些基本内容，正确理解其涵义的本质，接着马上就做后面所配的练习，一刻也不要停留。
5.学会画图画图是一个翻译的过程，把解题时的抽象思维，变成了形象思维，从而降低了解题难度。
有些题目，只要分析图一画出来，其中的关系就变得一目了然。
尤其是对于几何题，包括解析几何题，若不会画图，有时简直是无从下手。
因此，牢记各种题型的基本作图方法，牢记各种函数的图像和意义及演变过程和条件，对于提高解题速度非常重要。
2002年江西省高考文科数学试题
2002年普通高等学校招生全国统一考试（数学）文及答案本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分．第I 卷1至2页．第II 卷3至9页．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．直线01)1(=+++y x a 与圆0222=-+x y x 相切，则a 的值为 A ．1,1-B ．2.2-C ．1D ．1-2．复数3)2321(i +的值是 A ．i -B ．iC ．1-D ．13．不等式0|)|1)(1(>-+x x 的解集是 A ．}10|{<≤x x B ．0|{<x x 且}1-≠x C ．}11|{<<-x xD ．1|{<x x 且}1-≠x4．函数xa y =在]1,0[上的最大值与最小值这和为3，则a ＝ A ．21B ．2C ．4D ．41 5．在)2,0(π内，使x x cos sin >成立的x 的取值范围是A ．)45,()2,4(ππππ B ．),4(ππC ．)45,4(ππD ．)23,45(),4(ππππ 6．设集合},412|{Z k k x x M ∈+==，},214|{Z k k x x N ∈+==，则A ．N M =B ．N M ⊂C ．N M ⊃D ．∅=N M7．椭圆5522=+ky x 的一个焦点是)2,0(，那么=k A ．1-B ．1C ．5D ．5-8．一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，那么这个圆锥轴截面顶角的余弦值是 A ．43B ．54C ．53D ．53-9．10<<<<a y x ，则有 A ．0)(log <xy aB ．1)(log 0<<xy aC ．2)(log 1<<xy aD ．2)(log >xy a10．函数c bx x y ++=2（),0[+∞∈）是单调函数的充要条件是 A ．0≥b B ．0≤bC ．0>bD ．0<b11．设)4,0(πθ∈，则二次曲线122=-θθtg y ctg x 的离心率取值范围A ．)21,0(B ．)22,21( C ．)2,22(D ．),2(+∞12．从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有 A ．8种 B ．12种 C ．16种 D ．20种第II 卷(非选择题共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线．13．据新华社2002年3月12日电，1985年到2000年间．我国农村人均居住面积如图所示，其中，从 年2000年的五年间增长最快． 14．函数xxy +=12（),1(+∞-∈x ）图象与其反函数图象的交点为 15．72)2)(1(-+x x 展开式中3x 的系数是16．对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：①焦点在y 轴上；②焦点在x 轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④抛物线的通径的长为5；⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为)1,2(． 能使这抛物线方程为x y 102=的条件是第 （要求填写合适条件的序号） 三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．如图，某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似满足函数b x A y ++=)sin(ϕω（1）求这段时间的最大温差； （2）写出这段时间的函数解析式；18．甲、乙物体分别从相距70米的两处同时相向运动．甲第1分钟走2米，以后每分钟比前1分钟多走1米，乙每分钟走5米． （1）甲、乙开始运动后几分钟相遇？（2）如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1米，乙继续每分钟走5米，那么开始运动几分钟后第二相遇？19．四棱锥ABCD P -的底面是边长为a 的正方形，⊥PB 平面ABCD ．（1）若面PAD 与面ABCD 所成的二面角为︒60，求这个四棱锥的体积；（2）证明无论四棱锥的高怎样变化．面PAD 与面PCD 所成的二面角恒大于︒9020．设函数1|2|)(2+-+=x x x f ，R x ∈ （1）讨论)(x f 的奇偶性； （2）求)(x f 的最小值．21．已知点P 到两定点)0,1(-M 、)0,1(N 距离的比为2，点N 到直线PM 的距离为1，求直线PN 的方程． 22．（本小题满分12分，附加题满分4分）（I ）给出两块相同的正三角形纸片（如图1，图2），要求用其中一块剪拼成一个三棱锥模型，另一块剪拼成一个正三棱柱模型，使它们的全面积都与原三角形的面积相等，请设计一种剪拼方法，分别用虚线标示在图1、图2中，并作简要说明； （II ）试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小； （III ）（本小题为附加题，如果解答正确，加4分，但全卷总分不超过150分） 如果给出的是一块任意三角形的纸片（如图3），要求剪栟成一个直三棱柱，使它的全面积与给出的三角形的面积相等．请设计一种剪拼方法，用虚线标示在图3中，并作简要说明．参考答案一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案DCCBCBBCDADB二、填空题（13）1995 （14）)1,1(),0,0( （15）1008 （16）②⑤ 三、解答题 （17）解：（1）由图示，这段时间的最大温差是201030=-℃ （2）图中从6时到14时的图象是函数b x A y ++=)sin(ϕω的半个周期∴614221-=⋅ωπ，解得8πω=由图示，10)1030(21=-=A 20)3010(21=+=b这时，20)8sin(10++=ϕπx y将10,6==y x 代入上式，可取43πϕ=综上，所求的解析式为20)438sin(10++=ππx y （]14,6[∈x ） （18）解：（1）设n 分钟后第1次相遇，依题意，有7052)1(2=+-+n n n n ，整理得0140132=-+n n ，解得7=n ，20-=n （舍） 第1次相遇是在开始后7分钟．（2）设n 分钟后第2次相遇，依题意，有70352)1(2⨯=+-+n n n n ，整理得0420132=-+n n ，解得15=n ，28-=n （舍） 第2次相遇是在开始后15分钟．（19）解（1）∵⊥PB 平面ABCD ，∴BA 是PA 在面ABCD 上的射影，∴DA PA ⊥∴PAB ∠是面PAD 与面ABCD 所成二面角的平面角，︒=∠60PAB而PB 是四棱锥ABCD P -的高，a tg AB PA 360=︒⋅=∴3233331a a a V ABCD P =⋅⋅=- （2）证：不论棱锥的高怎样变化，棱锥侧面PAD 与PCD 恒为全等三角形．作DP AE ⊥，垂足为E ，连结EC ，则CDE ADE ∆≅∆．∴EC AE =，︒=∠90CED ，故CFA ∠是面PAD 与面PCD 所成的二面角的平面角． 设AC 与DB 相交于点O ，连结EO ，则AC EO ⊥．a AD AE OA a =<<=22在△AEC 中，0)2)(2(2)2(cos 2222<-+=⋅⋅-+=∠AEOA AE OA AE EC AE OA EC AE AEC 所以，面PAD 与面PCD 所成的二面角恒大于︒90（20）解：（I ）3)2(=f ,7)2(=-f ，由于)2()2(f f ≠-，)2()2(f f -≠- 故)(x f 既不是奇函数，也不是偶函数．（2）⎪⎩⎪⎨⎧<+-≥-+=2123)(22x x x x x x x f由于)(x f 在),2[+∞上的最小值为3)2(=f ，在)2,(-∞内的最小值为43)21(=f 故函数)(x f 在),(∞-∞内的最小值为43 （21）解：设P 的坐标为),(y x ，由题意有2||||=PN PM ，即2222)1(2)1(y x y x +-⋅=++，整理得01622=+-+x y x因为点N 到PM 的距离为1，2||=MN所以︒=30PMN ，直线PM 的斜率为33±直线PM 的方程为)1(33+±=x y 将)1(33+±=x y 代入01622=+-+x y x 整理得0142=+-x x 解得32+=x ，32-=x则点P 坐标为)31,32(++或)31,32(+--)31,32(--+或)31,32(---直线PN 的方程为1-=x y 或1+-=x y ．（22）解（I ）如图1，沿正三角形三边中点连线折起，可拼得一个正三棱锥．如图2，正三角形三个角上剪出三个相同的四边形，其较长的一组邻边边长为三角形边长的41，有一组对角为直角，余下部分按虚线折起，可成一个缺上底的正三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个正三棱锥的上底．（II ）依上面剪拼方法，有锥柱V V >．推理如下：设给出正三角形纸片的边长为2，那么，正三棱锥与正三棱柱的底面都是边长为1的正三角形，其面积为43．现在计算它们的高： 36)2332(12=⋅-=锥h ，633021=︒=tg h 柱． 02422343)9663(43)31(>-=⋅-=⋅=-锥柱锥柱－h h V V所以锥柱V V >．（III ）如图3，分别连结三角形的内心与各顶点，得三条线段，再以这三条线段的中点为顶点作三角形．以新作的三角形为直棱柱的底面，过新三角形的三个顶点向原三角形三边作垂线，沿六条垂线剪下三个四边形，可心拼成直三棱柱的上底，余下部分按虚线折起，成为一个缺上底的直三棱柱，即可得到直三棱柱．。
2023年全国乙卷文科高考数学试题+答案解析
绝密★启用前2023年普通高等学校招生全国统一考试(全国乙卷∙文科)数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.2+i 2+2i 3 =()A.1B.2C.5D.5【答案】C【解析】∵2+i 2+2i 3=2-2i -1=1-2i ，∴|2+i 2+2i 3|=1-2i =12+(-2)2=5，选C 。
2.设全集U ={0,1,2,4,6,8},集合M ={0,4,6},N ={0,1,6},则M ⋃C U N =()A.{0,2,4,6,8} B.{0,1,4,6,8}C.{1,2,4,6,8}D.U【答案】A【解析】∵N ={2,4,8},∴M ⋃C U N ={0,2,4,6,8}，选A.3.如图，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格小正方形的边长为1，则该零件的表面积为()A.24B.26C.28D.30【答案】D【解析】如图所示，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =2, AA 1=3,点H ,I ,J ,K 为所在棱上靠近点B 1，C 1，D 1，A 1的三等分点，O ,L ,M ,N 为所在棱的中点，则三视图所对应的几何体为长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1去掉长方体ONIC 1-LMHB 1之后所得的几何体，该几何体表面积为：2×(2×2)+4×(2×3)-2×(1×1)=30，选D 。
4.在△BC 中，内角A,B,C 的对边分别是a,b,c,若acosB -bcosA =c,且C =π5，则∠B =()A.π10B.π5C.3π10D.2π5【答案】C【解析】∵sinAcosB -sinBcosA =sinC,即sinAcosB -sinBcosA =sin (A +B )=sinAcosBsinBcosA,∴sinBcosA =0,∵B ∈(0，π)，∴sinB >0,∴cosA =0,A =π2，∴B =π-A -C =3π10，选C 。
2000年高考.全国卷.文科数学试题及答案
2000年普通高等学校招生全国统一考试数学（文史类）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷(非选择题）两部分。
第I卷1至2页。
第II卷3至8页.共150分。
考试时间120分钟.第I卷(选择题60分）注意事项：1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答,不能答在试题卷上。
3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回。
参考公式：三角函数的积化和差公式正棱台、圆台的侧面积公式其中c′、c分别表示上、下底面周长，l表示斜高或母线长其中S′、S分别表示上、下底面积，h表示高一、选择题：本大题共12分，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.（1）设集合A=｛x|x∈Z且—10≤x≤—1}，B={x｜x∈Z且｜x|≤5｝，则A∪B中的元素个数是（A）11 （B)10 （C)16 （D）15（2）在复平面内，把复数对应的向量按顺时针方向旋转，所得向量对应的复数是（A)（B）(C）（D）（3)一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是，这个长方体对角线的长是（A）（B） (C）6 （D)（4）已知sinα>sinβ，那么下列命题成立的是（A)若α、β是第一象限角，则cosα>cosβ（B）若α、β是第二象限角，则tgα〉tgβ（C)若α、β是第三象限角，则cosα>cosβ（D）若α、β是第四象限角，则tgα>tgβ（５）函数y=—xcosx的部分图象是（６）《中华人民共和国个人所得税法》规定,公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分希累进计算.全月应纳税所得额税率不超过500元的部分5％超过500元至2000元的部分10％超过2000元至5000元的部分15％……某人一月份应交纳此项税款26。
高考数学真题2011年—2018年新课标全国卷(1卷、2卷、3卷)文科数学试题分类汇编—9.数列
2011年—2018年新课标全国卷文科数学分类汇编9．数列一、选择题(2015·新课标Ⅰ，文7)已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和，若S 8=4S 4，则a 10=()A ．172B ．192C ．10D ．12（2015·新课标Ⅱ，文5）设n S 是等差数列}{n a 的前n 项和，若3531=++a a a ，则=5S （）A.5B.7C.9D.11（2015·新课标Ⅱ，文9）已知等比数列}{n a 满足411=a ，)1(4453-=a a a ，则=2a （）A.2B.1C.21 D.81（2014·新课标Ⅱ，文5）等差数列{a n }的公差为2，若a 2，a 4，a 8成等比数列，则{a n }的前n 项S n =（）A ．(1)n n +B ．(1)n n -C ．(1)2n n +D ．(1)2n n -(2013·新课标Ⅰ，文6)设首项为1，公比为23的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则()．A ．S n ＝2a n －1B ．S n ＝3a n －2C ．S n ＝4－3a nD ．S n ＝3－2a n(2012·新课标Ⅰ，文12)数列{n a }满足1(1)21n n n a a n ++-=-，则{n a }的前60项和为（）A ．3690B ．3660C ．1845D ．1830二、填空题(2015·新课标Ⅰ，文13)数列{a n }中，a 1=2，a n +1=2a n ，S n 为{a n }的前n 项和，若S n =126，则n =．（2014·新课标Ⅱ，文16）数列}{n a 满足nn a a -=+111，2a =2，则1a =_________.(2012·新课标Ⅰ，文14)等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3230S S +=，则公比q =_____．三、解答题(2018·新课标Ⅰ，文17)已知数列{}n a 满足11a =，()121n n na n a +=+，设nn a b n=．（1）求123b b b ，，；（2）判断数列{}n b 是否为等比数列，并说明理由；（3）求{}n a 的通项公式．(2018·新课标Ⅱ，文17)记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求n S ，并求n S 的最小值．(2018·新课标Ⅲ，文17)等比数列{}n a 中，15314a a a ==，．（1）{}n a 的通项公式；⑵记n S 为{}n a 的前n 项和．若63m S =，求m ．(2017·新课标Ⅰ，文17)记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知22S =,36S =-．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求n S ，并判断1n S +，n S ，2n S +是否成等差数列．（2017·新课标Ⅱ，文17）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }的前n 项和为T n ，a 1=-1，b 1=1，a 2+b 2=2.（1）若a 3+b 3=5，求{b n }的通项公式；（2）若T 3=21，求S 3.(2017·新课标Ⅲ，文17)设数列{}n a 满足()123212n a a n a n +++-= ．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列21n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和．(2016·新课标Ⅰ，文17)已知{}n a 是公差为3的等差数列，数列{}n b 满足12111==3n n n n b b a b b nb +++=1，，．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求{}n b 的前n 项和．（2016·新课标Ⅱ，文17）等差数列{a n }中，a 3+a 4=4，a 5+a 7=6．（Ⅰ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）设b n =[lg a n ]，求数列{b n }的前10项和，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]=0，[2.6]=2.(2016·新课标Ⅲ，文17)已知各项都为正数的数列{}n a 满足11a =，211(21)20n n n n a a a a ++---=．（1）求23,a a ；（2）求{}n a 的通项公式．(2014·新课标Ⅰ，文17)已知{}n a 是递增的等差数列，2a ，4a 是方程2560x x -+=的根。
2022年全国高考文科数学(甲卷)试题及答案解析
2022年普通高等学校招生全国统一考试（甲卷）文科数学}，则A⋂B=( )1.设集合A={−2,−1,0,1,2}，B={x|0≤x<52A. {0,1,2}B. {−2,−1,0}C. {0,1}D. {1,2}2.某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如图：则( )A. 讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%B. 讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%C. 讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D. 讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差3.若z=1+i，则|iz+3z−|=( )A. 4√5B. 4√2C. 2√5D. 2√24.如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为( )A. 8B. 12C. 16D. 205.将函数f(x)=sin(ωx+π3)(ω>0)的图像向左平移π2个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则ω的最小值是( )A. 16B. 14C. 13D. 126.从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为( )A. 15B. 13C. 25D. 237.函数f(x)=(3x−3−x)cosx在区间[−π2,π2]的图像大致为( )A. B.C. D.8.当x=1时，函数f(x)=alnx+bx取得最大值−2，则f′(2)=( )A. −1B. −12C. 12D. 19.在长方体ABCD−A1B1C1D1中，已知B1D与平面ABCD和平面AA1B1B所成的角均为30∘，则( )A. AB=2ADB. AB与平面AB1C1D所成的角为30∘C. AC=CB1D. B1D与平面BB1C1C所成的角为45∘10. 甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为和，体积分别为和若，则A. √5B. 2√2C. √10D.5√10411. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为13，A 1，A 2分别为C 的左、右顶点，B 为C 的上顶点．若BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−1，则C 的方程为( )A. x 218+y 216=1 B.x 29+y 28=1C.x 23+y 22=1D. x 22+y 2=112. 已知9m =10，a =10m −11，b =8m −9，则( )A. a >0>bB. a >b >0C. b >a >0D. b >0>a13. 已知向量a ⃗ =(m,3)，b ⃗ =(1,m +1).若a ⃗ ⊥b ⃗ ，则m =______.14. 设点M 在直线2x +y −1=0上，点(3,0)和(0,1)均在⊙M 上，则⊙M 的方程为______.15. 记双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率为e ，写出满足条件“直线y =2x 与C 无公共点”的e 的一个值______.16. 已知△ABC 中，点D 在边BC 上，∠ADB =120∘，AD =2，CD =2BD.当ACAB 取得最小值时，BD =______.17. 甲、乙两城之间的长途客车均由A 和B 两家公司运营．为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：准点班次数 未准点班次数 A 240 20 B21030(2)能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？ 附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d).P(K 2≥k) 0.100 0.050 0.010 k2.7063.8416.63518. 记S n 为数列{a n }的前n 项和．已知2S nn+n =2a n +1.(1)证明：{a n }是等差数列；(2)若a 4，a 7，a 9成等比数列，求S n 的最小值．19. 小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒．包装盒如图所示：底面ABCD 是边长为8(单位：cm)的正方形，△EAB ，△FBC ，△GCD ，△HDA 均为正三角形，且它们所在的平面都与平面ABCD 垂直． (1)证明：EF//平面ABCD ；(2)求该包装盒的容积(不计包装盒材料的厚度).20.已知函数f(x)=x3−x，g(x)=x2+a，曲线y=f(x)在点(x1,f(x1))处的切线也是曲线y=g(x)的切线．(1)若x1=−1，求a；(2)求a的取值范围．21.设抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，点D(p,0)，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，|MF|=3.(1)求C的方程；(2)设直线MD，ND与C的另一个交点分别为A，B，记直线MN，AB的倾斜角分别为α，β.当α−β取得最大值时，求直线AB的方程．22.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为{x=2+t6,y=√t(t为参数)，曲线C2的参数方程为{x=−2+s6,y=−√s(s为参数).(1)写出C1的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C3的极坐标方程为2cosθ−sinθ=0，求C3与C1交点的直角坐标，及C3与C2交点的直角坐标．23.已知a，b，c均为正数，且a2+b2+4c2=3，证明：(1)a+b+2c≤3；(2)若b=2c，则1a +1c≥3.答案解析1.【答案】A【解析】解：集合A ={−2,−1,0,1,2}，B ={x|0≤x <52}， 则A⋂B ={0,1,2}. 故选：A.利用交集定义直接求解．本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】B【解析】解：对于A ，讲座前问卷答题的正确率从小到大为： 60%，60%，65%，65%，70%，75%，80%，85%，90%，95%， ∴讲座前问卷答题的正确率的中位数为：(70%+75%)=72.5%，故A 错误； 对于B ，讲座后问卷答题的正确率的平均数为：110(80%+85%+85%+85%+85%+90%+90%+95%+100%+100%)=89.5%>85%，故B 正确；对于C ，由图形知讲座前问卷答题的正确率相对分散，讲座后问卷答题的正确率相对集中，∴讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差，故D 错误； 对于D ，讲座后问卷答题的正确率的极差为：100%−80%=20%， 讲座前正确率的极差为：95%−60%=35%，∴讲座后问卷答题的正确率的极差小于讲座前正确率的极差，故D 错误． 故选：B.对于A ，求出讲座前问卷答题的正确率的中位数进行判断；对于B ，求出讲座后问卷答题的正确率的平均数进行判断；对于C ，由图形知讲座前问卷答题的正确率相对分散，讲座后问卷答题的正确率相对集中，进行判断；对于D ，求出讲座后问卷答题的正确率的极差和讲座前正确率的极差，由此判断D.本题考查命题真假的判断，考查散点图、中位数、平均数、标准差、极差等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.【答案】D【解析】解：z =1+i ，∴iz +3z −=i +i 2+3(1−i)=i −1+3−3i =2−2i ， 则|iz +3z −|=√22+(−2)2=2√2. 故选：D.先求出iz +3z −=i +i 2+3(1−i)=2−2i ，由此能求出|iz +3z −|.本题考查复数的运算，考查复数的运算法则、复数的模等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.【答案】B【解析】解：由多面体的三视图得该多面体是一正四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1， 四棱柱的底面是直角梯形ABCD ，如图，AB =4，AD =2，AA 1=2，AA 1⊥平面ABCD ， ∴该多面体的体积为：V =12(4+2)×2×2=12.故选：B.由多面体的三视图得该多面体是一正四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1，四棱柱的底面是直角梯形ABCD ，AB =4，AD =2，AA 1=2，AA 1⊥平面ABCD ，由此能求出该多面体的体积．本题考查多面体的体积的求法，考查多面体的三视图等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．5.【答案】C【解析】解：将函数f(x)=sin(ωx +π3)(ω>0)的图像向左平移π2个单位长度后得到曲线C ，则C 对应函数为y =sin(ωx +ωπ2+π3)，∵C 的图象关于y 轴对称，∴ωπ2+π3=kπ+π2，k ∈Z ，即ω=2k +13，k ∈Z ，则令k =0，可得ω的最小值是13， 故选：C.由题意，利用函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，三角函数的图象和性质，求得ω的最小值．本题主要考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，三角函数的图象和性质，属于中档题．6.【答案】C【解析】解：根据题意，从6张卡片中无放回随机抽取2张，有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15种取法，其中抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数有(1,4)，(2,4)，(2,6)，(3,4)，(4,5)，(4,6)，共6种情况，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率P=615=25；故选：C.根据题意，用列举法分析“从6张卡片中无放回随机抽取2张”和“抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数”的情况数目，由古典概型公式计算可得答案．本题考查古典概型的计算，注意古典概型的计算公式，属于基础题．7.【答案】A【解析】解：f(x)=(3x−3−x)cosx，可知f(−x)=(3−x−3x)cos(−x)=−(3x−3−x)cosx=−f(x)，函数是奇函数，排除BD；当x=1时，f(1)=(3−3−1)cos1>0，排除C.故选：A.判断函数的奇偶性，结合函数的特殊值判断点的位置，推出选项即可．本题考查函数的奇偶性以及函数的图象的判断，是中档题．8.【答案】B【解析】解：由题意f(1)=b=−2，则f(x)=alnx−2x，则f′(x)=ax +2x2=ax+2x2，∵当x=1时函数取得最值，可得x=1也是函数的一个极值点，∴f′(1)=a+2=0，即a=−2.∴f′(x)=−2x+2x2，易得函数在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，故x=1处，函数取得极大值，也是最大值，则f′(2)=−2×2+222=−12.故选：B.由已知求得b，再由题意可得f′(1)=0求得a，得到函数解析式，求其导函数，即可求得f′(2).本题考查导数的应用，考查导数最值与极值的关系，考查运算求解能力，是中档题．9.【答案】D【解析】解：如图所示，连接AB1，BD，不妨令AA1=1，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AD⊥面AA1B1B，BB1⊥面ABCD，所以∠B1DB和∠DB1A分别为B1D与平面ABCD和平面AA1B1B所成的角，即∠B1DB=∠DB1A=30∘，所以在Rt△BDB1中，BB1=AA1=1，BD=√3,B1D=2，在Rt△ADB1中，DB1=2，AD=1,AB1=√3，所以AB=√2，CB1=√2，AC=√3，故选项A，C错误，由图易知，AB在平面AB1C1D上的射影在AB1上，所以∠B1AB为AB与平面AB1C1D所成的角，在Rt△ABB1中，sin∠B1AB=BB1AB1=1√3=√33，故选项B错误，如图，连接B1C，则B1D在平面BB1C1C上的射影为B1C，所以∠DB1C为B1D与平面BB1C1C所成的角，在Rt△DB1C中，B1C=√2=DC，所以∠DB1C=45∘，所以选项D正确，故选：D.不妨令AA1=1，可根据直线与平面所成角的定义，确定长方体的各棱长，即可求解．本题考查了直线与平面所成角，属于中档题．10.【答案】C【解析】解：如图，甲，乙两个圆锥的侧面展开图刚好拼成一个圆，设圆的半径(即圆锥母线)为3，甲、乙两个圆锥的底面半径分别为r 1，r 2，高分别为ℎ1，ℎ2， 则2πr 1=4π，2πr 2=2π，解得r 1=2，r 2=1， 由勾股定理可得ℎ1=√5,ℎ2=2√2，故选：C.设圆的半径(即圆锥母线)为3，甲、乙两个圆锥的底面半径分别为r 1，r 2，高分别为ℎ1，ℎ2，则可求得r 1=2，r 2=1，ℎ1=√5,ℎ2=2√2，进而求得体积之比． 本题考查圆锥的侧面积和体积求解，考查运算求解能力，属于中档题．11.【答案】B【解析】解：由椭圆的离心率可设椭圆方程为x 29m 2−y 28m 2=1(m >0)，则A 1(−3m,0),A 2(3m,0),B(0,2√2m)， 由平面向量数量积的运算法则可得：BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3m,−2√2m)⋅(3m,−2√2m)=−9m 2+8m 2=−1，∴m 2=1，则椭圆方程为x 29−y 28=1.故选：B.首先设出椭圆方程，然后结合平面向量的数量积运算法则可得椭圆方程． 本题主要考查椭圆方程的求解，平面向量数量积的坐标运算等知识，属于中等题．12.【答案】A【解析】解：∵9m =10，∴m =log 910，∵1=log 99<log 910<log 9√729=32∴1<m <32，构造函数f(x)=x m −x −1(x >1)， f′(x)=mx m−1−1，令f′(x)>0，解得：x>m1 1−m由上述有∴1<m<32，可得0<x<1，故f(x)在(1,+∞)单调递增，故f(10)>f(8)，又因为f(9)=9log910−9−1=0，故a>0>b，故选：A.首先由9m=10得到m=log910，可大致计算m的范围，观察a，b的形式从而构造函数f(x)=x m−x−1(x>1)，利用f(x)的单调性比较f(10)与f(8)大小关系即可．本题主要考查构造函数比较大小，属于较难题目．13.【答案】−34【解析】解：∵向量a⃗=(m,3)，b⃗ =(1,m+1).a⃗⊥b⃗ ，∴a⃗⋅b⃗ =m+3(m+1)=0，则m=−34，故答案为：−34.由题意，利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算法则，计算求得m的值．本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算法则，属于基础题．14.【答案】(x−1)2+(y+1)2=5【解析】解：由点M在直线2x+y−1=0上，可设M(a,1−2a)，由于点(3,0)和(0,1)均在⊙M上，∴圆的半径为√(a−3)2+(1−2a−0)2=√(a−0)2+(1−2a−1)2，求得a=1，可得半径为√5，圆心M(1,−1)，故⊙M的方程为(x−1)2+(y+1)2=5，故答案为：(x−1)2+(y+1)2=5.设出圆心坐标(a,1−2a)，根据半径相等，求得a 的值，可得圆心和半径，从而得到圆的标准方程．本题主要考查求圆的标准方程的方法，关键是确定圆心和半径，属于基础题．15.【答案】2(e∈(1,√5)内的任意一个值都满足题意)【解析】解：双曲线C：x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为e，e=ca，双曲线的渐近线方程为y=±bax，直线y=2x与C无公共点，可得ba <2，即b2a2<4，即c2−a2a2<4，可得1<e<√5，满足条件“直线y=2x与C无公共点”的e的一个值可以为：2.故答案为：2(e∈(1,√5)内的任意一个值都满足题意).求出双曲线渐近线方程，利用直线y=2x与C无公共点，推出a，b的不等式，即可得到离心率的范围．本题考查双曲线的简单性质的应用，离心率的求法，是中档题．16.【答案】√3−1【解析】解：设BD=x，CD=2x，在三角形ACD中，b2=4x2+4−2⋅2x⋅2⋅cos60∘，可得：b2=4x2−4x+4，在三角形ABD中，c2=x2+4−2⋅x⋅2⋅cos120∘，可得：c2=x2+2x+4，要使得ACAB 最小，即b2c2最小，b2 c2=4x2−4x+4x2+2x+4=4−12x+1+3x+1，其中x+1+3x+1≥2√3，此时b2c2≥4−2√3，当且仅当x+1=√3时，即x=√3−1时取等号，故答案为：√3−1.首先设出BD，CD，在两个三角形中分别表示AC，BC，继而ACAB =b2c2=4x2−4x+4x2+2x+4=4−12x+1+3x+1，从而利用均值不等式取等号的条件即可．本题主要考查余弦定理及均值不等式的应用，属于中档题．17.【答案】解：(1)A公司一共调查了260辆车，其中有240辆准点，故A公司准点的概率为240260=1213；B公司一共调查了240辆车，其中有210辆准点，故B公司准点的概率为210240=78；(2)由题设数据可知，准点班次数共450辆，未准点班次数共50辆，A公司共260辆，B 公司共240辆，∴K2=500×(240×30−210×20)2260×240×450×50=3.2>2.706，∴有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关．【解析】(1)根据题设数据直接计算即可；(2)由题设数据代入公式直接计算即可得出结论．本题考查概率计算以及独立性检验，考查运算求解能力，属于基础题．18.【答案】解：(1)证明：由已知有：2S n+n2=2na n+n⋯①，把n换成n+1，2S n+1+(n+1)2=2(n+1)a n+1+n+1⋯②，②-①可得：2a n+1=2(n+1)a n+1−2na n−2n，整理得：a n+1=a n+1，由等差数列定义有a n为等差数列；(2)由已知有a72=a4⋅a9，设等差数列a n的首项为x，由(1)有其公差为1，故(x+6)2=(x+3)(x+8)，解得x=−12，故a1=−12，所以a n=−12+(n−1)×1=n−13，故可得：a1<a2<a3<⋯<a12<0，a13=0，a14>0，=−78，故S n在n=12或者n=13时取最小值，S12=S13=(−12+0)×132故S n的最小值为−78.【解析】(1)由已知令n=n+1做差可得递推关系从而证明，(2)由a4，a7，a9成等比数列，求出首项，利用等差数列通项公式找出a n正负分界点计算即可．本题主要考查利用数列递推关系求通项及等差数列前n项和的最小值，属于中档题．19.【答案】(1)证明：如图所示，将几何体补形为长方体，做EE′⊥AB于点E′，做FF′⊥BC于点F′，由于底面为正方形，△ABE，△BCF均为等边三角形，故等边三角形的高相等，即EE′=FF′，由面面垂直的性质可知EE′，FF′均与底面垂直，则EE′//FF′，四边形EE′F′F为平行四边形，则EF//E′F′，由于EF不在平面ABCD内，E′F′在平面ABCD内，由线面平行的判断定理可得EF//平面ABCD.(2)解：易知包装盒的容积为长方体的体积减去四个三棱锥的体积，其中长方体的高AA1=EE′=4√3，长方体的体积V1=8×8×4√3=256√3cm3，一个三棱锥的体积V2=13×(12×4×4)×4√3=32√33cm3，则包装盒的容积为V=V1−4V2=256√3−4×32√33=6403√3cm3.【解析】(1)将几何体补形之后结合线面平行的判断定理即可证得题中的结论；(2)首先确定几何体的空间特征，然后结合相关的棱长计算其体积即可．本题主要考查线面平行的判定，空间几何体体积的计算等知识，属于中等题．20.【答案】解：(1)由题意可得f′(x)=3x2−1，则切线的斜率k=f′(−1)=2，且f(−1)=0，故切线方程为y=2(x+1)，即2x−y+2=0，由g′(x)=2x=2可得x=1，则切点坐标为(1,1+a)，由于切点在直线2x−y+2=0上，故2−(1+a)+2=0，解得a=3.(2)由题意可得f′(x)=3x2−1，当x<−√33时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当−√33<x<√33时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x>√33时，f′(x)>0，f(x)单调递增，且函数的零点为x1=1，x2=−1，x3=0，绘制函数f(x)和函数g(x)的图象如图所示，观察可得，当a =−1时，函数f(x)和函数g(x)在点(1,1)处有公共点，函数存在公切线， 当a <−1时，函数f(x)和函数g(x)不存在公切线， 当a >−1时，函数f(x)和函数g(x)存在公切线， 则实数a 的取值范围是[−1,+∞).【解析】(1)由题意结合函数的切线方程即可确定实数a 的值； (2)由题意结合函数图象即可确定实数a 的取值范围．本题主要考查利用导数研究函数的切线方程，利用导数研究函数的图象，数形结合的数学思想等知识，属于中等题．21.【答案】解：(1)由题意可知，当x =p 时，y 2=2p 2，得y M =√2p ，可知|MD|=√2p ，|FD|=p2.则在Rt △MFD 中，|FD|2+|DM|2=|FM|2，得(p2)2+(√2p)2=9，解得p =2. 则C 的方程为y 2=4x ；(2)设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，A(x 3,y 3)，B(x 4,y 4)， 由(1)可知F(1,0)，D(2,0)，则tanα=k MN =y 1−y2x 1−x 2=y 1−y 2y 124−y 224=4y1+y 2，又N 、D 、B 三点共线，则k ND =k BD ，即y 2−0x 2−2=y 4−0x 4−2，∴y 2−0y 224−2=y 4−0y 424−2， 得y 2y 4=−8，即y 4=−8y 2；同理由M 、D 、A 三点共线，得y 3=−8y 1.则tanβ=y 3−y 4x 3−x 4=4y 3+y 4=y 1y 2−2(y 1+y 2).由题意可知，直线MN 的斜率不为0，设l MN ：x =my +1， 由{y 2=4x x =my +1，得y 2−4my −4=0， y 1+y 2=4m ，y 1y 2=−4，则tanα=44m =1m ，tanβ=−4−2×4m =12m ， 则tan(α−β)=tanα−tanβ1+tanαtanβ=1m −12m1+12m ⋅1m=12m+1m，当m >0时，tan(α−β)=12m+1m≤2√2m⋅1m=√24；当m <0时，tan(α−β)无最大值，∴当且仅当2m =1m ，即m =√22时，等号成立，tan(α−β)取最大值，此时AB 的直线方程为y −y 3=4y 3+y 4(x −x 3)，即4x −(y 3+y 4)y +y 3y 4=0，又∵y 3+y 4=−8y 1−8y 2=−8(y 1+y 2)y 1y 2=8m =4√2，y 3y 4=−8y 1⋅−8y 2=−16，∴AB 的方程为4x −4√2y −16=0，即x −√2y −4=0.【解析】(1)由已知求得|MD|=√2p ，|FD|=p2，则在Rt △MFD 中，利用勾股定理得p =2，则C 的方程可求；(2)设M ，N ，A ，B 的坐标，写出tanα与tanβ，再由三点共线可得y 3=−8y 1，y 4=−8y 2；由题意可知，直线MN 的斜率不为0，设l MN ：x =my +1，联立直线方程与抛物线方程，化为关于y 的一元二次方程，利用根与系数的关系可得y 1+y 2=4m ，y 1y 2=−4，求得tanβ与tanα，再由两角差的正切及基本不等式判断，从而求得AB 的方程． 本题考查抛物线方程的求法，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查运算求解能力，属难题．22.【答案】解：(1)由{x =2+t6,y =√t (t 为参数)，消去参数t ， 可得C 1的普通方程为y 2=6x −2(y ≥0)； (2)由{x =−2+s6,y =−√s (s 为参数)，消去参数s ， 可得C 2的普通方程为y 2=−6x −2(y ≤0). 由2cosθ−sinθ=0，得2ρcosθ−ρsinθ=0， 则曲线C 3的直角坐标方程为2x −y =0.联立{y =2x y 2=6x −2，解得{x =12y =1或{x =1y =2，∴C 3与C 1交点的直角坐标为(12,1)与(1,2)；联立{y =2x y 2=−6x −2，解得{x =−12y =−1或{x =−1y =−2，∴C 3与C 2交点的直角坐标为(−12,−1)与(−1,−2).【解析】(1)消去参数t ，可得C 1的普通方程；(2)消去参数s ，可得C 2的普通方程，化C 3的极坐标方程为直角坐标方程，然后联立直角坐标方程求解C 3与C 1、C 3与C 2交点的直角坐标．本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查运算求解能力，是基础题．23.【答案】证明：(1)∵a ，b ，c 均为正数，且a 2+b 2+4c 2=3，∴由柯西不等式知，(a 2+b 2+4c 2)(12+12+12)≥(a +b +2c)2， 即3×3≥(a +b +2c)2，∴a +b +2c ≤3； 当且仅当a =b =2c ，即a =b =1，c =12时取等号； (2)由(1)知，a +b +2c ≤3且b =2c ， 故0<a +4c ≤3，则1a+4c ≥13， 由权方和不等式可知，1a +1c =12a+224c ≥9a+4c ≥3，即1a +1c ≥3.【解析】(1)由已知结合柯西不等式证明；(2)由已知结合(1)中的结论，再由权方和不等式证明．本题考查不等式的证明，考查柯西不等式与权方和不等式的应用，是中档题．。
2002年高考试题数学文科-(全国卷)
2002年普通高等学校招生全国统一考试（数学）文及答案本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分．第I 卷1至2页．第II 卷3至9页．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．直线01)1(=+++y x a 与圆0222=-+x y x 相切，则a 的值为 A ．1,1-B ．2.2-C ．1D ．1-2．复数3)2321(i +的值是 A ．i -B ．iC ．1-D ．13．不等式0|)|1)(1(>-+x x 的解集是 A ．}10|{<≤x x B ．0|{<x x 且}1-≠x C ．}11|{<<-x xD ．1|{<x x 且}1-≠x4．函数xa y =在]1,0[上的最大值与最小值这和为3，则a ＝ A ．21B ．2C ．4D ．41 5．在)2,0(π内，使x x cos sin >成立的x 的取值范围是A ．)45,()2,4(ππππB ．),4(ππC ．)45,4(ππD ．)23,45(),4(ππππ6．设集合},412|{Z k k x x M ∈+==，},214|{Z k k x x N ∈+==，则A ．N M =B ．N M ⊂C ．N M ⊃D ．∅=N M7．椭圆5522=+ky x 的一个焦点是)2,0(，那么=k A ．1-B ．1C ．5D ．5-8．一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，那么这个圆锥轴截面顶角的余弦值是 A ．43B ．54C ．53D ．53-9．10<<<<a y x ，则有 A ．0)(log <xy aB ．1)(log 0<<xy aC ．2)(log 1<<xy aD ．2)(log >xy a10．函数c bx x y ++=2（),0[+∞∈）是单调函数的充要条件是 A ．0≥b B ．0≤bC ．0>bD ．0<b11．设)4,0(πθ∈，则二次曲线122=-θθtg y ctg x 的离心率取值范围A ．)21,0(B ．)22,21( C ．)2,22(D ．),2(+∞12．从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有 A ．8种 B ．12种 C ．16种 D ．20种第II 卷(非选择题共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线．13．据新华社2002年3月12日电，1985年到2000年间．我国农村人均居住面积如图所示，其中，从 年2000年的五年间增长最快． 14．函数xxy +=12（),1(+∞-∈x ）图象与其反函数图象的交点为 15．72)2)(1(-+x x 展开式中3x 的系数是16．对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：①焦点在y 轴上；②焦点在x 轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④抛物线的通径的长为5；⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为)1,2(． 能使这抛物线方程为x y 102=的条件是第 （要求填写合适条件的序号） 三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．如图，某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似满足函数b x A y ++=)sin(ϕω（1）求这段时间的最大温差； （2）写出这段时间的函数解析式；18．甲、乙物体分别从相距70米的两处同时相向运动．甲第1分钟走2米，以后每分钟比前1分钟多走1米，乙每分钟走5米． （1）甲、乙开始运动后几分钟相遇？（2）如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1米，乙继续每分钟走5米，那么开始运动几分钟后第二相遇？19．四棱锥ABCD P -的底面是边长为a 的正方形，⊥PB 平面ABCD ．（1）若面PAD 与面ABCD 所成的二面角为︒60，求这个四棱锥的体积；（2）证明无论四棱锥的高怎样变化．面PAD 与面PCD 所成的二面角恒大于︒9020．设函数1|2|)(2+-+=x x x f ，R x ∈ （1）讨论)(x f 的奇偶性； （2）求)(x f 的最小值．21．已知点P 到两定点)0,1(-M 、)0,1(N 距离的比为2，点N 到直线PM 的距离为1，求直线PN 的方程． 22．（本小题满分12分，附加题满分4分）（I ）给出两块相同的正三角形纸片（如图1，图2），要求用其中一块剪拼成一个三棱锥模型，另一块剪拼成一个正三棱柱模型，使它们的全面积都与原三角形的面积相等，请设计一种剪拼方法，分别用虚线标示在图1、图2中，并作简要说明； （II ）试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小； （III ）（本小题为附加题，如果解答正确，加4分，但全卷总分不超过150分） 如果给出的是一块任意三角形的纸片（如图3），要求剪栟成一个直三棱柱，使它的全面积与给出的三角形的面积相等．请设计一种剪拼方法，用虚线标示在图3中，并作简要说明．参考答案一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案DCCBCBBCDADB二、填空题（13）1995 （14）)1,1(),0,0( （15）1008 （16）②⑤ 三、解答题（17）解：（1）由图示，这段时间的最大温差是201030=-℃ （2）图中从6时到14时的图象是函数b x A y ++=)sin(ϕω的半个周期∴614221-=⋅ωπ，解得8πω= 由图示，10)1030(21=-=A 20)3010(21=+=b这时，20)8sin(10++=ϕπx y将10,6==y x 代入上式，可取43πϕ= 综上，所求的解析式为20)438sin(10++=ππx y （]14,6[∈x ）（18）解：（1）设n 分钟后第1次相遇，依题意，有7052)1(2=+-+n n n n ，整理得0140132=-+n n ，解得7=n ，20-=n （舍）第1次相遇是在开始后7分钟．（2）设n 分钟后第2次相遇，依题意，有70352)1(2⨯=+-+n n n n ，整理得0420132=-+n n ，解得15=n ，28-=n （舍） 第2次相遇是在开始后15分钟．（19）解（1）∵⊥PB 平面ABCD ，∴BA 是PA 在面ABCD 上的射影，∴DA PA ⊥ ∴PAB ∠是面PAD 与面ABCD 所成二面角的平面角，︒=∠60PAB 而PB 是四棱锥ABCD P -的高，a tg AB PA 360=︒⋅=∴3233331a a a V ABCD P =⋅⋅=- （2）证：不论棱锥的高怎样变化，棱锥侧面PAD 与PCD 恒为全等三角形．作DP AE ⊥，垂足为E ，连结EC ，则CDE ADE ∆≅∆．∴EC AE =，︒=∠90CED ，故CFA ∠是面PAD 与面PCD 所成的二面角的平面角． 设AC 与DB 相交于点O ，连结EO ，则AC EO ⊥．a AD AE OA a =<<=22在△AEC 中，0)2)(2(2)2(cos 2222<-+=⋅⋅-+=∠AEOA AE OA AE EC AE OA EC AE AEC 所以，面PAD 与面PCD 所成的二面角恒大于︒90（20）解：（I ）3)2(=f ,7)2(=-f ，由于)2()2(f f ≠-，)2()2(f f -≠- 故)(x f 既不是奇函数，也不是偶函数．（2）⎪⎩⎪⎨⎧<+-≥-+=2123)(22x x x x x x x f由于)(x f 在),2[+∞上的最小值为3)2(=f ，在)2,(-∞内的最小值为43)21(=f 故函数)(x f 在),(∞-∞内的最小值为43 （21）解：设P 的坐标为),(y x ，由题意有2||||=PN PM ，即2222)1(2)1(y x y x +-⋅=++，整理得01622=+-+x y x因为点N 到PM 的距离为1，2||=MN所以︒=30PMN ，直线PM 的斜率为33±直线PM 的方程为)1(33+±=x y 将)1(33+±=x y 代入01622=+-+x y x 整理得0142=+-x x 解得32+=x ，32-=x则点P 坐标为)31,32(++或)31,32(+--)31,32(--+或)31,32(---直线PN 的方程为1-=x y 或1+-=x y ．（22）解（I ）如图1，沿正三角形三边中点连线折起，可拼得一个正三棱锥．如图2，正三角形三个角上剪出三个相同的四边形，其较长的一组邻边边长为三角形边长的41，有一组对角为直角，余下部分按虚线折起，可成一个缺上底的正三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个正三棱锥的上底．（II ）依上面剪拼方法，有锥柱V V >．推理如下：设给出正三角形纸片的边长为2，那么，正三棱锥与正三棱柱的底面都是边长为1的正三角形，其面积为43．现在计算它们的高： 36)2332(12=⋅-=锥h ，633021=︒=tg h 柱． 02422343)9663(43)31(>-=⋅-=⋅=-锥柱锥柱－h h V V所以锥柱V V >．（III ）如图3，分别连结三角形的内心与各顶点，得三条线段，再以这三条线段的中点为顶点作三角形．以新作的三角形为直棱柱的底面，过新三角形的三个顶点向原三角形三边作垂线，沿六条垂线剪下三个四边形，可心拼成直三棱柱的上底，余下部分按虚线折起，成为一个缺上底的直三棱柱，即可得到直三棱柱．。