空间点线面的位置关系(优质课)
(1)证明的主要依据是公理3： 如果两个平面相交，则这两个平面的公共点共线； 如果两个平面相交，那么一个平面内的直线和另一平面的交点
必在这两个平面的交线上.
(2)证明的常用方法： ①首先找出两个平面，再证这三个点都是这两个平面的公共点； ②选择其中两点确定一条直线，然后证明另一个点也在其上（一 般地，这条直线看作某两个平面的交线，往证第三个点也是两个 面的公共点）； ③证明三线共点问题：先证明两条直线交于一个点，再证明第三 条直线经过这个点（转化为证明点在线上的问题）
G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，连结EF，FG，GH，HE，求证：
EFGH是一个平行四边形.
证明：连结BD，
∵ EH是△ABD的中位线，
∴EH ∥BD且EH =
1 2
BD．
1
同理，FG ∥BD且FG = 2 BD．
∴EH ∥FG且EH =FG．
A
H E
D G
∴EFGH是一个平行四边形．
B
F
back
3.平面的基本性质
公理1： 经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.
①图形语言：
A B C
②符号语言：
A, B,C不共线 有且只有一个平面，使得A, B ,C
3.平面的基本性质
推论1 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面.
A B aC
已知点A a，求证过点A和直线a可以确定一个平面.
3.平面的基本性质
(4)公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.
符号表示: a // b,b // c a // c.
c
a
a
α
bc
注4：①平行具有传递性；
②该公理是判断空间两条直线平行的方法之一.即要证明两条 直线平行，一般利用第三条直线作为联系两直线的中间环节.
例 在正方体ABCD—A1B1C1D1中，直线AB与C1D1 ，AD1与 BC1是什么位置关系？为什么？
5.证明三点共线、三线共点的问题
空间四边形ABCD中，E，F分别是AB和CB上的点，G，H分别 是CD和AD上的点，且EH与FG相交于K. 求证：EH，BD，FG三条直线相交于同一点.
分析：
A
已知EH∩FG=K，要证EH，BD，FG共点. 即要证明B，D，K三点共线.
E
H
而BD是面ABD和面CBD的交线.
练习
5.判断下列命题是否正确:
(1)平面α与平面β相交,它们只有有限个公共点. ×
(2)经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个
平面. √ (3)经过两条相交直线,有且只有一个平面. √
(4)如果两个平面有三个不共线的公共点,那么这两个
平面重合. √
back
3.平面的基本性质
我们知道,在同一平面内, 如果两条直线都和第三条直线平行,
§4 空间图形的基本关系与公理
空间图形是丰富的，它由一些基本的图形： 点、线、面组成.认识清楚它们的位置关系，对 于我们认识空间图形是很重要的.
观察长方体，你能发现长方体的顶点、棱所在的直线， 以及侧面、地面之间的关系吗？
长方体由上下、前后、左右六个面围成，有些面是平行的， 有些面是相交的；有些棱所在的直线与面平行，有些棱所在 的直线与面相交；每条棱所在的直线都可以看作是某个面内 的直线等等.
那么这两条直线互相平行.在空间这一规律是否还成立呢?
D'
C'
观察：在右图的长方体中，
BB '// AA', DD '// AA'，那么 A'
B'
BB '与DD '平行吗？
D
C
A
B
观察 : 将一张纸如图进行折叠 , 则各折痕及边 a, b, c, d, e, …
之间有何关系？
abcde
a∥b ∥c ∥d ∥e ∥ …
又 D BD,CD, AD ,即AD, BD,CD共面.
4.点线共面问题
证明：一条直线与两条平行直线都相交，则这三条直线共面.
cB
已知：a//b，a∩c=A，b∩c=B. 求证：直线a，b，c共面.
Aa b
证明： 因为a//b，
所以直线a，b确定一个平面 .（推论3）
因为A∈a，B∈b，所以A∈，B∈.
不会！因为平面是无限延展的. 因此，两个平面有一个公共点，必然有无数个公共点， 并且这些公共点在一条直线上.
3.平面的基本性质
公理3：若两个不重合的平面有一个公共点， 则它们有且只有一条过该点的公共直线.
①图形语言：
P
l
②符号语言： P , P l P l
③该公理反映了平面与平面的位置关系：
解：1）∵AB∥A1B1， C1D1 ∥A1B1， D1
C1
∴ AB ∥ C1D1
A1
B1
2）∵AB ∥C1D1 ，且AB = C1D1
D
C
∴ ABC1D1为平行四边形
A
B
故AD1 ∥ BC1
练习：上例中，AA1与CC1，AC与A1C1的位置是什么关系？
例 已知ABCD是四个顶点不在同一个平面内的空间四边形，E，F，
A
又因为C, D分别为棱边的中点,
CD为 GEF的中位线.
B
DC // EF且DC 1 EF. 2
即DC // AB且DC 1 AB. 2
四边形ABCD为梯形.
back
4.点线共面问题
(1)证明的主要依据：公理1；公理2及其三个推论.
(2)证明的常用方法： ①纳入平面法：先由部分元素确定一个平面，再证明其余有关的 点、线在此平面内；
思考：
(1)不共面的四点可以确定多少个平面? 4 个 (2)共点的三条直线可以确定多少个平面? 1个或3个
3.平面的基本性质
公理2：若一条直线上的两点在一个平面内， 则这条直线在此平面内.
①图形语言：
A
l
B
②符号语言：Al, B l且A, B l
3.平面的基本性质
思考：两个平面会不会只有一个公共点呢？
β
如果一个平面被另一个平面挡住，
则这遮挡的部分用虚线画出来也可以不画。 α
.
1.空间点与直线的位置关系有两种：
①点A在直线上
A
记作： Al
②点B在直线外
记作： B b
2.空间点与平面的位置关系有两种：
①点B在平面内
记作： B
②点A在平面外
记作： A
l
B
b
A
B
3. 空间直线与平面的位置关系有三种：
C
“见中点找中点”构造三角形的中位线是证明平行的常用方法．
问1:若上例加上条件AC=BD，则四边形EFGH是一个什么图形？ 菱形
“见中点找中点”构造三角形的中连接EF ,
C
因为AE // BC且AE BC,
F
所以四边形ABFE为平行四边形.
AB // EF且AB EF.
练 已知a ，b ，a∩b=A，P∈b，PQ//a . 求证：PQ .
b Aa
P
Q
证明: PQ // a,直线PQ与a确定一个平面，设为. P,a .
又P b , a ,且P a.
由推论1，过P，a有且只有一个平面.
和重合，即有PQ .
5.证明三点共线、三线共点的问题
3.填空: (1)___不__在__同__一__直__线__上__的三点确定一个平面;
(2)两条 平行或 相交直线确定一个平面;
(3)有一个公共点的两个平面交于 唯一的一条直线.
4.下列命题正确的是( D) A. 经过三点确定一个平面 B.经过一条直线和一个点确定一个平面 C.四边形确定一个平面 D.两两相交且不共点的三条直线确定一个平面
(2)若E, F分别是AB, A1A的中点，求证：CE, D1F, DA三线共点.
D1
C1
A1
F
A
D M
E
B1 C
B
例 如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中， (1)判断下列命题是否正确，并说明理由：
A×. 直线AC1在平面CC1B1B内； B×. 点A,O,C可确定一个平面；
∵ l ∩a=A， l ∩b=B，∴ A∈，B∈. 又A∈l，B∈l，故l .
同理，直线b，c确定一个平面，且l .
∴平面与都过两相交直线b，l.
又∵两相交直线确定一个唯一的平面.
∴与重合.
故l与a，b，c共面.
证明两个平面重合是证明直线在平面内问题的重要方法.
4.点线共面问题
所以直线AB，AC确定一个平面.（推论2）
因为B∈AB，C∈AC，所以B∈，C∈， 故BC.（公理1）
因此直线AB，BC，CA共面.
4.点线共面问题
练 已知A, B,C l,D l,求证:直线AD,BD,CD共面.
D
Al B C 证明: D l.l与D确定平面 .
又 A, B,C l, l A, B,C .
3.平面的基本性质
公理2： 经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.
推论1 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面.
A B C
B
A
aC
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面.
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.
a
α
b
a
b
α
注3： 公理2及其三个推论是确定平面以及判断两个平面重合的依据， 是证明点、线共面的依据，也是作截面、辅助平面的依据.
②辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面，再证明其余元 素确定平面，最后证明平面、重合.
必在这两个平面的交线上.
(2)证明的常用方法： ①首先找出两个平面，再证这三个点都是这两个平面的公共点； ②选择其中两点确定一条直线，然后证明另一个点也在其上（一 般地，这条直线看作某两个平面的交线，往证第三个点也是两个 面的公共点）； ③证明三线共点问题：先证明两条直线交于一个点，再证明第三 条直线经过这个点（转化为证明点在线上的问题）
G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，连结EF，FG，GH，HE，求证：
EFGH是一个平行四边形.
证明：连结BD，
∵ EH是△ABD的中位线，
∴EH ∥BD且EH =
1 2
BD．
1
同理，FG ∥BD且FG = 2 BD．
∴EH ∥FG且EH =FG．
A
H E
D G
∴EFGH是一个平行四边形．
B
F
back
3.平面的基本性质
公理1： 经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.
①图形语言：
A B C
②符号语言：
A, B,C不共线 有且只有一个平面，使得A, B ,C
3.平面的基本性质
推论1 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面.
A B aC
已知点A a，求证过点A和直线a可以确定一个平面.
3.平面的基本性质
(4)公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.
符号表示: a // b,b // c a // c.
c
a
a
α
bc
注4：①平行具有传递性；
②该公理是判断空间两条直线平行的方法之一.即要证明两条 直线平行，一般利用第三条直线作为联系两直线的中间环节.
例 在正方体ABCD—A1B1C1D1中，直线AB与C1D1 ，AD1与 BC1是什么位置关系？为什么？
5.证明三点共线、三线共点的问题
空间四边形ABCD中，E，F分别是AB和CB上的点，G，H分别 是CD和AD上的点，且EH与FG相交于K. 求证：EH，BD，FG三条直线相交于同一点.
分析：
A
已知EH∩FG=K，要证EH，BD，FG共点. 即要证明B，D，K三点共线.
E
H
而BD是面ABD和面CBD的交线.
练习
5.判断下列命题是否正确:
(1)平面α与平面β相交,它们只有有限个公共点. ×
(2)经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个
平面. √ (3)经过两条相交直线,有且只有一个平面. √
(4)如果两个平面有三个不共线的公共点,那么这两个
平面重合. √
back
3.平面的基本性质
我们知道,在同一平面内, 如果两条直线都和第三条直线平行,
§4 空间图形的基本关系与公理
空间图形是丰富的，它由一些基本的图形： 点、线、面组成.认识清楚它们的位置关系，对 于我们认识空间图形是很重要的.
观察长方体，你能发现长方体的顶点、棱所在的直线， 以及侧面、地面之间的关系吗？
长方体由上下、前后、左右六个面围成，有些面是平行的， 有些面是相交的；有些棱所在的直线与面平行，有些棱所在 的直线与面相交；每条棱所在的直线都可以看作是某个面内 的直线等等.
那么这两条直线互相平行.在空间这一规律是否还成立呢?
D'
C'
观察：在右图的长方体中，
BB '// AA', DD '// AA'，那么 A'
B'
BB '与DD '平行吗？
D
C
A
B
观察 : 将一张纸如图进行折叠 , 则各折痕及边 a, b, c, d, e, …
之间有何关系？
abcde
a∥b ∥c ∥d ∥e ∥ …
又 D BD,CD, AD ,即AD, BD,CD共面.
4.点线共面问题
证明：一条直线与两条平行直线都相交，则这三条直线共面.
cB
已知：a//b，a∩c=A，b∩c=B. 求证：直线a，b，c共面.
Aa b
证明： 因为a//b，
所以直线a，b确定一个平面 .（推论3）
因为A∈a，B∈b，所以A∈，B∈.
不会！因为平面是无限延展的. 因此，两个平面有一个公共点，必然有无数个公共点， 并且这些公共点在一条直线上.
3.平面的基本性质
公理3：若两个不重合的平面有一个公共点， 则它们有且只有一条过该点的公共直线.
①图形语言：
P
l
②符号语言： P , P l P l
③该公理反映了平面与平面的位置关系：
解：1）∵AB∥A1B1， C1D1 ∥A1B1， D1
C1
∴ AB ∥ C1D1
A1
B1
2）∵AB ∥C1D1 ，且AB = C1D1
D
C
∴ ABC1D1为平行四边形
A
B
故AD1 ∥ BC1
练习：上例中，AA1与CC1，AC与A1C1的位置是什么关系？
例 已知ABCD是四个顶点不在同一个平面内的空间四边形，E，F，
A
又因为C, D分别为棱边的中点,
CD为 GEF的中位线.
B
DC // EF且DC 1 EF. 2
即DC // AB且DC 1 AB. 2
四边形ABCD为梯形.
back
4.点线共面问题
(1)证明的主要依据：公理1；公理2及其三个推论.
(2)证明的常用方法： ①纳入平面法：先由部分元素确定一个平面，再证明其余有关的 点、线在此平面内；
思考：
(1)不共面的四点可以确定多少个平面? 4 个 (2)共点的三条直线可以确定多少个平面? 1个或3个
3.平面的基本性质
公理2：若一条直线上的两点在一个平面内， 则这条直线在此平面内.
①图形语言：
A
l
B
②符号语言：Al, B l且A, B l
3.平面的基本性质
思考：两个平面会不会只有一个公共点呢？
β
如果一个平面被另一个平面挡住，
则这遮挡的部分用虚线画出来也可以不画。 α
.
1.空间点与直线的位置关系有两种：
①点A在直线上
A
记作： Al
②点B在直线外
记作： B b
2.空间点与平面的位置关系有两种：
①点B在平面内
记作： B
②点A在平面外
记作： A
l
B
b
A
B
3. 空间直线与平面的位置关系有三种：
C
“见中点找中点”构造三角形的中位线是证明平行的常用方法．
问1:若上例加上条件AC=BD，则四边形EFGH是一个什么图形？ 菱形
“见中点找中点”构造三角形的中连接EF ,
C
因为AE // BC且AE BC,
F
所以四边形ABFE为平行四边形.
AB // EF且AB EF.
练 已知a ，b ，a∩b=A，P∈b，PQ//a . 求证：PQ .
b Aa
P
Q
证明: PQ // a,直线PQ与a确定一个平面，设为. P,a .
又P b , a ,且P a.
由推论1，过P，a有且只有一个平面.
和重合，即有PQ .
5.证明三点共线、三线共点的问题
3.填空: (1)___不__在__同__一__直__线__上__的三点确定一个平面;
(2)两条 平行或 相交直线确定一个平面;
(3)有一个公共点的两个平面交于 唯一的一条直线.
4.下列命题正确的是( D) A. 经过三点确定一个平面 B.经过一条直线和一个点确定一个平面 C.四边形确定一个平面 D.两两相交且不共点的三条直线确定一个平面
(2)若E, F分别是AB, A1A的中点，求证：CE, D1F, DA三线共点.
D1
C1
A1
F
A
D M
E
B1 C
B
例 如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中， (1)判断下列命题是否正确，并说明理由：
A×. 直线AC1在平面CC1B1B内； B×. 点A,O,C可确定一个平面；
∵ l ∩a=A， l ∩b=B，∴ A∈，B∈. 又A∈l，B∈l，故l .
同理，直线b，c确定一个平面，且l .
∴平面与都过两相交直线b，l.
又∵两相交直线确定一个唯一的平面.
∴与重合.
故l与a，b，c共面.
证明两个平面重合是证明直线在平面内问题的重要方法.
4.点线共面问题
所以直线AB，AC确定一个平面.（推论2）
因为B∈AB，C∈AC，所以B∈，C∈， 故BC.（公理1）
因此直线AB，BC，CA共面.
4.点线共面问题
练 已知A, B,C l,D l,求证:直线AD,BD,CD共面.
D
Al B C 证明: D l.l与D确定平面 .
又 A, B,C l, l A, B,C .
3.平面的基本性质
公理2： 经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.
推论1 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面.
A B C
B
A
aC
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面.
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.
a
α
b
a
b
α
注3： 公理2及其三个推论是确定平面以及判断两个平面重合的依据， 是证明点、线共面的依据，也是作截面、辅助平面的依据.
②辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面，再证明其余元 素确定平面，最后证明平面、重合.
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第三节空间点线面的位置关系ppt课件
C．不可能平行 是异面直线相矛盾．
答案：C
D．不可能
相交
2．(2013· 东北三校联考)下列命题正确的个数为 ①经过三点确定一个平面； ②梯形可以确定一个平面；
(
)
③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；
④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合． A．0 C．2 B．1 D．3
解析：①④错误，②③正确． 答案：C
第三节空间点 线面的位置关 系
考纲要求： 点、直线、平面之间的位置关系 ①理解空间直线、平面位置关系的定义， 并了解如下可以作为推理 依据的公理和定理。 ◆公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上 所有的点在此平面内。 ◆公理 2：过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。 ◆公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只 有一个过该点的公共直线。 ◆公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 ◆定理： 空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行， 那 么这两个角相等或互补。 ② 以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理 解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理。
P∈α，
且P∈β⇒
_____
α∩ β ＝ l
该点的公共直线
___________ 且P∈l
二、空间直线的位置关系 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 共面直线 平行直线：同一平面内， 没有 公共点； 1．位置关系的分类 异面直线：不同在 任何 一个平面内，没有 公共点.
1．异面直线的判定常用的是反证法，先假设
两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，
由假设的条件出发，经过严格的推理，导出矛盾，
从而否定假设肯定两条直线异面．此法在异面直
8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系PPT课件(人教版)
4.在三棱锥S－ABC中，与SA是异面直线的是___直__线__B__C___.
2
课堂互动
题型剖析
题型一 空间中两直线位置关系的判定
【例1】 如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1，判断下列直线的位置关系：
①直线A1B与直线D1C的位置关系是___平__行___； ②直线A1B与直线B1C的位置关系是___异__面___； ③直线D1D与直线D1C的位置关系是__相__交____； ④直线AB与直线B1C的位置关系是___异__面___. 解析 根据题目条件知道直线D1D与直线D1C相交于D1点，所以③应该填 “相交”；直线A1B与直线D1C在平面A1BCD1中，且没有交点，则两直线 “平行”.所以①应该填“平行”；点A1、B、B1在一个平面A1BB1内，而 C不在平面A1BB1内，则直线A1B与直线B1C“异面”.同理，直线AB与直 线B1C“异面”.所以②④都应该填“异面”.
或异面，所以①错；如果一条直线与一个平面相交，那么在这个平面内作
过交点的直线都与这条直线相交，有无数条，所以②正确；对于③显然有
无数条；而④，也有可能相交，所以错误.
思维升华
空间中直线与平面只有三种位置关系：直线在平面内、直线与平面相交、直线 与平面平行.在判断直线与平面的位置关系时，这三种情形都要考虑到，避免忽 视遗漏.另外，我们可以借助空间几何图形，把要判断关系的直线、平面放在某 些具体的空间图形中，以便于作出正确判断，避免凭空臆断.
题型三 平面与平面的位置关系
【例3】 以下四个命题中，正确的命题有( A )
①在平面α内有两条直线和平面β平行，那么这两个平面平行； ②在平面α内有无数条直线和平面β平行，那么这两个平面平行； ③平面α内△ABC的三个顶点在平面β的同一侧且到平面β的距离相等且不为0，那 么这两个平面平行；
空间点线面位置关系复习省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
2．(2015·江苏高考)已知 l，m 是两条不同的直线，α，β 是两 个不同的平面，下列命题： ①若 l⊂α，m⊂α，l∥β，m∥β，则 α∥β； ②若 l⊂α，l∥β，α∩β＝m，则 l∥m； ③若 α∥β，l∥α，则 l∥β； ④若 l⊥α，m∥l，α∥β，则 m⊥β. 其中真命题___②__④___(写出所有真命题的序号)．
行
(×)
(2)三个平面两两相交，那么它们有三条交线
(× )
(3)已知两相交直线a，b，a∥平面α，则b∥α
(× )
(4)若一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，则这条直
线与另一平面的位置关系是平行或在此平面内
(√ )
• 提炼—记一记
• ①过直线外一点有( 且只有一 )条直线与已 知直线平行.
• ②过直线外一点有( 且只有一 )个平面与已 知直线垂直.
置关系是__b__与__α__相__交__或___b_⊂__α__或__b_∥__α___．
本节练习：课时跟踪检测(四十二)”
3.(必修2P55练习BT1改编)直线a,b,c两两平行,但不共面,经过其中
两条直线旳平面旳个数为 ( )
A.1
B.3
C.6
D.0
【解析】选B.如图所示,可知有3个平面.
4.(必修2P38练习BT3改编)两两相交旳三条直线最多可拟定 个平面.
【解析】当三条直线共点且不共面时,最多可拟定三个平面. 答案:3 5．若直线 a⊥b，且直线 a∥平面 α，则直线 b 与平面 α 的位
第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系
•高考考纲要求:
• 1. 能用符号语言表达空间中点线面旳位置关系; • 2. 了解空间直线、 平面位置关系旳定义， 并了解作为推理依
专题三小题专项2空间点线面的位置关系课件共59张PPT
中点，易知当菱形为 PBRD1 时，菱形中的锐角取得最小值，即∠PD1R 最小，设正
方体的棱长为 2，则 PD1＝RD1＝ 5，PR＝2 2，则由余弦定理，得 cos∠PD1R＝
PD212＋PDR1D·R21－D1PR2＝2×5＋55－×8 5＝15<
6－ 4
2＝cos 75°，所以∠PD1R>75°，故③不可
足 l∥n，则由 n⊥β，可得 l⊥β，所以 α⊥β，④正确。故选 D。
答案 D
考向二 异面直线所成的角
【例 2】 (1)(2021·东北三省四市联考)在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，AB＝2，BC ＝4，AA1＝4 3。过 BC 的平面分别交线段 AA1，DD1 于 M，N 两点，四边形 BCNM 为 正方形，则异面直线 D1M 与 BD 所成角的余弦值为( )
答案 C
(2)，给出下列命题：
①若 m∥α，n⊂α，则 m∥n；
②若 α∩β＝m，m∥n，且 n⊄α，n⊄β，则 n∥α，n∥β；
③若 n⊥α，m⊂β，α∥β，则 m⊥n；
④α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝m，n⊂γ，则 m⊥n。
其中真命题的个数是( )
得 OA⊥α，OB⊥β，故 OA⊥m，OB⊥m，则 m⊥γ，又 n⊂γ，所以 m⊥n，④为真
命题。综上，真命题的个数是 3。故选 C。
答案 C
方法悟通 判断空间中点、线、面的位置关系，主要依赖四个公理、平行关系和垂直关系的 有关定义及定理、性质，具体处理时可以构建长方体或三棱锥等模型，把要考查的点、 线、面融入模型中，判断会简洁明了。如果要否定一个结论，只需找到一个反例即可。
A．1
B．2
C．3
D．4
答 解析 对①，若 m∥α，n⊂α，则 m∥n 或 m，n 异面，故①为假命题。对②， 案 由线面平行的判定定理知，若 α∩β＝m，m∥n，且 n⊄α，n⊄β，则 n∥α，n∥β，② 与 解 为真命题。对③，若 n⊥α，α∥β，则 n⊥β，又 m⊂β，所以 m⊥n，③为真命题。 析 对④，设 α∩γ＝a，β∩γ＝b，在 γ 内取点 O，作 OA⊥a，OB⊥b，由 α⊥γ，β⊥γ，
空间点线面的位置关系教案(优.选)
空间点线面的位置关系（一）教学目标：1. 知识与技能（1） 理解空间直线、平面位置关系的定义； （2） 了解作为推理依据的公理和定理。
（3） 会根据定理和公理进行简单的线面关系的推理和证明，并能够进行简单的体积或面积运算2. 过程与方法（1） 通过对空间事物的观察，经历由具体到抽象的思维过程 （2） 通过对空间图形的描述和理解，体验由图形归纳性质的过程 3. 情感、态度与价值观（1） 由图形归纳性质的过程中，培养学生从具体到抽象的思维能力 （2） 又实际空间物体联想空间线面关系，使学生感受到数学在实际生活中的应用。
（二）教学重点和难点：1、教学重点：空间中线面平行和垂直关系的性质和判定；2、教学难点：线面平行和垂直关系判定和性质定理的应用。
（三）教学过程： 【复习引入】提问：空间中直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系有几种?如何来证明线线，线面，面面的平行和垂直？【新课讲授】根据空间具体事物，能够抽象地画出它的直观图形，并通过定理和公理进行推理证明是立体几何的基本问题之一．如何正确理解空间直线、平面的位置关系，能够通过定理和公理判断和推理证明平行和垂直关系是解决这个基本问题的途径。
1、高考数学（文科）考试说明的了解2、针对性训练及讲解： 题组一：（空间点线面位置关系的判断） （1）、已知两条不同直线l 1和l 2及平面a,则直线l 1//l 2的一个充分条件是 A 、l 1//a 且l 2//a B. l 1⊥a 且l 2⊥aC.l 1//a 且l 2⊂a D. l 1//a 且l 2⊂a（2）、已知βα,是两个不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，给出下列命题： ①若βαβα⊥⊂⊥，则m m ,；②若βαββαα//,////,,则，n m n m ⊂⊂；B 1A 1D 1C 1C DBAP③如果n m n m ,,,αα⊄⊂是异面直线，那么α与n 相交； ④若,//,m n m =⋂βα且βα⊄⊄n n ,，则βα////n n 且其中正确的命题是简单点拨：题组一主要是对线面、面面位置关系的判断以及根据平行或垂直有关的定理和公理进行判断，要求学生对性质和定理要熟悉。
高中数学(人教B版)必修第四册：空间中点、线、面的位置关系【精品课件】
AA₁=2
例 已知ABCD-A₁B₁C₁D₁ 是长方体，
且AB=4，AD=3，AA₁=2.
（3）求平面ADD₁A₁与平面BCC₁B₁
之间的距离.
两平面平行，则平面ADD₁A₁与
平面BCC₁B₁ 之间的距离即为
AB=4.
小 结
点在线上
点与线
共面
两条直线
点不在线上
异面
平行
相交
小 结
点在面上
点与面
相交
1.点与直线
2.两条直线
3.点与平面
4.直线与平面
5.两个平面
空间中的直线可看成这条直线上所有点组成的集合.
位置关系
符号表示
图形表示
位置关系
符号表示
a // l
图形表示
空间中的两条直线既不平行也不相交，则称这
两条直线异面.
两条直线异面，则它们不同
在任何一个平面内.
用平面衬托的方法表示
两直线异面.
α//β, ∀A∈ α, 过A作AB⊥ β于B,
则线段AB的长为与的距离.
例 已知ABCD-A₁B₁C₁D₁ 是长方体，
且AB=4，AD=3，AA₁=2.
（1）求点A到平面BCC₁B₁的距
离；
（2）求直线AB到平面A₁B₁C₁D₁的
距离；
（3）求平面ADD₁A₁与平面BCC₁B₁
之间的距离.
例 已知ABCD-A₁B₁C₁D₁ 是长方体，
反例：
)
例 判断下列命题的正误：
(2)若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直
线都平行.
反例：
(
×
)
例 判断下列命题的正误：
(3)若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直
例 已知ABCD-A₁B₁C₁D₁ 是长方体，
且AB=4，AD=3，AA₁=2.
（3）求平面ADD₁A₁与平面BCC₁B₁
之间的距离.
两平面平行，则平面ADD₁A₁与
平面BCC₁B₁ 之间的距离即为
AB=4.
小 结
点在线上
点与线
共面
两条直线
点不在线上
异面
平行
相交
小 结
点在面上
点与面
相交
1.点与直线
2.两条直线
3.点与平面
4.直线与平面
5.两个平面
空间中的直线可看成这条直线上所有点组成的集合.
位置关系
符号表示
图形表示
位置关系
符号表示
a // l
图形表示
空间中的两条直线既不平行也不相交，则称这
两条直线异面.
两条直线异面，则它们不同
在任何一个平面内.
用平面衬托的方法表示
两直线异面.
α//β, ∀A∈ α, 过A作AB⊥ β于B,
则线段AB的长为与的距离.
例 已知ABCD-A₁B₁C₁D₁ 是长方体，
且AB=4，AD=3，AA₁=2.
（1）求点A到平面BCC₁B₁的距
离；
（2）求直线AB到平面A₁B₁C₁D₁的
距离；
（3）求平面ADD₁A₁与平面BCC₁B₁
之间的距离.
例 已知ABCD-A₁B₁C₁D₁ 是长方体，
反例：
)
例 判断下列命题的正误：
(2)若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直
线都平行.
反例：
(
×
)
例 判断下列命题的正误：
(3)若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直
高考数学一轮复习 7.3 空间点、线、面之间的位置关系精品课件 理 新人教A版
∴EF∥GH.而EF∥AC，∴AC∥GH. ∴ AH = CG=3，即AH:HD=3:1.
HD GD
（2）证明：∵EF∥GH，且
EF AC
=
1，
3GH AC=1，4∴EF≠GH,∴四边形EFGH为梯形.
令EH∩FG=P,则P∈EH,而EH ⊂平面ABD， P∈FG，FG ⊂平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，
.
2.符号语言与数学语言的关系
数学符号语言 A∈a A∈ a A∈a
A∈ a
a⊆α
a∩b=A
数学表达语言 点A在直线a上 点A在直线a外 点A在平面α内 点A在平面α外 直线a在平面α内 直线a,b相交于点A
α∩β=a
平面α,β相交于直线a
二、空间两条直线的位置关系
1.空间两条直线的位置关系有三种：相交、平行、异面
考点五 异面直线所成的角
在空间四边形ABCD中， AB=CD且其所成的角 是60°，点M,N分别是 BC,AD的中点.求直线 AB与MN所成的角.
【分析】 本题首先要考虑将题目中的直线AB与 CD所成的角是60°反映在图形上 ，故要考虑添加辅 助线，通常取中点将其中的直线进行平移，从而得解.
【解析】取AC的中点P，连结PM,PN，则有
锐角(叫或做直异角面) 直
线a与b所成的角(或夹角).
三、空间直线与平面的位置关系
直线与平面的位置关系有且只有三种： （1）直线在平面内： 有无数个公共点 ；
（2）直线与平面相交： 有且只有一个公共点 ；
（3）直线与平面平行： 没有公共点 ，
直线与平面相交或平行的情况统称 直线在平面外 .
四、平面与平面的位置关系
PM∥AB，且PM= 12AB.PN∥CD，且PN=
HD GD
（2）证明：∵EF∥GH，且
EF AC
=
1，
3GH AC=1，4∴EF≠GH,∴四边形EFGH为梯形.
令EH∩FG=P,则P∈EH,而EH ⊂平面ABD， P∈FG，FG ⊂平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，
.
2.符号语言与数学语言的关系
数学符号语言 A∈a A∈ a A∈a
A∈ a
a⊆α
a∩b=A
数学表达语言 点A在直线a上 点A在直线a外 点A在平面α内 点A在平面α外 直线a在平面α内 直线a,b相交于点A
α∩β=a
平面α,β相交于直线a
二、空间两条直线的位置关系
1.空间两条直线的位置关系有三种：相交、平行、异面
考点五 异面直线所成的角
在空间四边形ABCD中， AB=CD且其所成的角 是60°，点M,N分别是 BC,AD的中点.求直线 AB与MN所成的角.
【分析】 本题首先要考虑将题目中的直线AB与 CD所成的角是60°反映在图形上 ，故要考虑添加辅 助线，通常取中点将其中的直线进行平移，从而得解.
【解析】取AC的中点P，连结PM,PN，则有
锐角(叫或做直异角面) 直
线a与b所成的角(或夹角).
三、空间直线与平面的位置关系
直线与平面的位置关系有且只有三种： （1）直线在平面内： 有无数个公共点 ；
（2）直线与平面相交： 有且只有一个公共点 ；
（3）直线与平面平行： 没有公共点 ，
直线与平面相交或平行的情况统称 直线在平面外 .
四、平面与平面的位置关系
PM∥AB，且PM= 12AB.PN∥CD，且PN=
6.3.空间点线面之间的位置关系课件高一下学期数学北师大版
(1)A∉α,a⊂α
.
(2)α∩β=a,P∉α,且P∉β
.
(3)a∩α=A
.
(4)α∩β=a,α∩γ=c,β∩γ=b,
a∩b∩c=O
.
答案(1)C (2)D (3)A (4)B
1.空间点与直线的位置关系 （1）点在直线上；（2）点在直线外.
2.空间点与平面的位置关系 （1）点在平面内；（2）点在平面外.
3．三个点可以确定平面的个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．1 或无数个
D [当这三点共线时可确定无数个平面，不共线时可确定一个平
面，故选 D.]
C 【解析】①中，点 M 是直线 AC 与 BD 的交点，点 M 在直线 AC 上，点 B 显然在直线 A1B1 外，故①正确； ②中，直线 AC 与 A1D1 不在一个平面内，不相交，故②错误； ③中，两平面没有公共点，即互相平行，故③正确； ④中，直线 AC 与平面 A1B1C1D1 平行，故④错误．]
b
a
b
a
新知探究 观察长方体ABCD－A1B1C1D1，棱A1D1所在的直线与棱BB1所在的直线
在同一平面内吗？它们是什么关系？
D1 A1
D A
C1 B1
C B
A1D1所在的直线与棱BB1所在的直线不在同一平面内，
它们是异面关系．
思考：分别在两个平面内的两条直线是否一定异面？ 答：不一定：它们可能异面，可能相交，也可能平行。
思考2：如何判断直线在平面内？
D1 A1
C1 B1
A，B两点在平面ABCD内，那么整条直线都在平面
D
C
A
B
ABCD内；
A，D1两点在平面A1ADD1内，那么直线AD1上所有的点