浙教版初中数学九年级下册-1.2 锐角三角函数的计算
浙教版初中数学 重点知识精选
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1.2 有关三角函数的计算（1）
一、教学目标 1． 通过观察、猜想、比较、具体操作等数学活动，学会用计算器求一个锐角的三角 函数值。 2．经历利用三角函数知识解决实际 问题的过程，促进观察、分析、归纳、交流等能 力的发展。 3．感受数学与生活的密切联系，丰富数学学习的成功体验，激发学生继续学习 的好 奇 心，培养学生与他人合作交流的意识。 二、教材分析 在生活中，我们会经常遇到这样的问题，如测量建筑物的高度、测量江河的宽度、船 舶的定位等，要解决这样的问题，往往要应用到三角函数知识。在上节课中已经学习了 30°， 45°，60°角的三角函数值，可以进行一些特定情况下的计算，但是生活中的问 题，仅仅依靠这三个特殊角度的三角函数值来解决是不可能的。本节课让学生使用计算器 求三角函数值，让他们从繁重的计算中解脱出来，体验发现并提 出问题、分析问题、探究 解决方法直至最终解决问题的过程。[来源:学.科.网 Z.X.X.K] 三、学校及学生状况分析 九年级的学生年龄一般在 15 岁左右，在这个阶段，学生以抽象逻辑思维为主要发展趋 势，但在很大程度上，学生仍然要依靠具体的经验材料和操作活动来理解抽象的逻辑关 系。另外，计算器的使用可以极大减轻学生的负担。因此，依据教材中提供的背景材料， 辅以计算器的使用，可以使学生更好地解决问题。 学生自小学起就开始使用计算器，对计算器的操作比较熟悉。同时，在前面的课程中 学生已经学习了锐角三角函数的定义，30°，45°，60°角的三角函数值以及与它们相关 的简单计算，具备了学习本节课的知识和技能。 四、教学设计 (一)复习提问[来源:学科网] 1．梯子靠在墙 上，如果梯子与地面的夹角为 60°，梯子的长度为 3 米，那么梯子底 端到墙的距离有几米? 学生活动：根据题意，求出数值。 2．在生活中，梯子与地面的夹角总是 60°吗? 不是，可以出现各种角度，60°只是一种特殊现象。 图 1(二)创设情境引入课题 1如图 1，当登山缆车的吊箱经过点 A 到达点 B 时，它走过了 200 m。已知缆车的路线与 平面的夹角为∠A＝16 °，那么缆车垂直上升的距离是多少? 哪条线段代表缆车上升的垂直距离? 线段 BC。 利用哪个直角三角形可以求出 BC? 在 Rt△ABC 中，BC＝ABsin 16°，所以 BC＝200sin 16°。 你知道 sin 16°是多少吗?我们可以借助科学计算器求锐角三角形的三角函数值。 那么， 怎样用科学计算器求三角函数呢? 用科学计算器求三角函数值，要用 sin cos 和 tan 键。教师活动：(1)展示下表；(2)按表 口述，让学生学会求 sin16°的值。按键顺序显示结果 sin 16°sin16=sin 16°=0275 637 355 学生活动：按表中所列顺序求出 sin 16°的值。
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你能求出 cos 42°，tan 85°和 sin 72°38′25″的值吗? 学生活动：类比求 sin 16°的方法，通过猜想、讨论、相互学习，利用计算器求相应的三 角函数值(操作程序如下表)： 按键顺序显示结果 cos 42°cos42 =cos 42°=0743 144 825tan 85°tan85=tan 85°=11 430 052 3sin 72°38′25″sin72D′M′S 38D′M′S2 5D′M′S=sin 72°38′25″→ 0954 450 321 师：利用科学计算器解决本节一开始的问题。 生：BC＝200sin 16°≈5212(m)。 说明：利用学生的学习兴趣，巩固用计算器求三角函数值的操作方法。 (三)想一想 师：在本节一开始的问题中，当缆车继续由点 B 到达点 D 时，它又走过了 200 m，缆车 由点 B 到达点 D 的行驶路线与 水平面的夹角为∠β＝42°，由此你还能计算什么? 学生活动：(1)可以求出第二次上升的垂直距离 DE，两次上升的垂直距离之和，两次 经过的水平距离，等等。(2)互相补充并在这个过程中加深对三角函数的认识。 (四)随堂练习 1．一个人由山底爬到山顶，需先爬 40°的山坡 300 m，再爬 30°的山坡 100 m，求山 高(结果精确到 0．1 m)。 2．如图 2，∠DAB＝56°，∠CAB＝50°，AB＝20 m，求图中避雷针 CD 的长度(结果精 确到 0．01 m)。 图2图3 (五)检测 如图 3，物华大厦离小伟家 60 m，小伟从自家的窗中眺望大厦，并测得大厦顶部的仰角是 45°，而大厦底部的俯角是 37°，求大厦的高度(结果精确到 01 m)。 说明：在学生练习的同时，教师要巡视指导，观察学生的学习情况，并针对学生的困难给 予及时的指导。[来源:Z#xx#] (六)小结 学生谈学习本节的感受，如本节课学习了哪些新知识，学习过程中遇到哪些困难，如 何解决困难，等等。 (七)作业 1．用计算器求下列各式的值： (1)tan 32°；(2)cos 2453°；(3)sin 62°11′；(4)tan 39°39′39″。 图 42如图 4，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距 180 m 的 P，Q 两点分别 测定对岸一棵树 T 的位置，T 在 P 的正南方向，在 Q 的南偏西 50°的方向，求河宽(结果精 确到 1 m)。 五、教学反思 1．本节是学习用计算器求三角函数值并加以实际应用的内容，通过本节的学习，可以 使学生充分认识到三角函数知识在现实世界中有着广泛的应用。本节课的知识点不是很 多，但是学生通过积极参与课堂，提高了分析问题和解决问题的能力，并 且在意志力、自 信心和理性精神 等方面得到了良好的发展。 2．教师作为学生学习的组织者、引导者、合作者和帮助者，依据教材特点创设问题情 境，从学生已有的知识背景和活动经验出发，帮助学生取得了成功。
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[来源:] ，就能走向成功的第一步 教师不光要传授知识，还要告诉学生学会生活。数学思维
可以让他们更理性地看待人生
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(初中精品)第一章解直角三角形 锐角三角函数 学年浙教版九年级数学下册
【知识梳理】一、锐角三角函数的概念如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 所对的边BC 记为a ，叫做∠A 的对边，也叫做∠B 的邻边，∠B 所对的边AC 记为b ，叫做∠B 的对边，也是∠A 的邻边，直角C 所对的边AB 记为c ，叫做斜边．锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即sin A aA c ∠==的对边斜边；锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即cos A bA c ∠==的邻边斜边；锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA ，即tan A aA A b∠==∠的对边的邻边.同理sin B b B c ∠==的对边斜边；cos B aB c∠==的邻边斜边；tan B b B B a ∠==∠的对边的邻边．要点诠释：(1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化． (2)sinA ，cosA ，tanA 分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，，，不能理解成sin 与∠A ，cos 与∠A ，tan 与∠A 的乘积．书写时习惯上省略∠A 的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan ∠AEF ”，不能写成“tanAEF ”；另外，、、常写成、、．(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在． (4)由锐角三角函数的定义知：当角度在0°<∠A<90°间变化时，，，tanA ＞0．锐角三角函数BCa bc二、特殊角的三角函数值锐角30°45° 160°要点诠释：(1)通过该表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角．(2)仔细研究表中数值的规律会发现：、、的值依次为、、，而、、的值的顺序正好相反.三、锐角三角函数之间的关系如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．(1)互余关系：，；(2)平方关系：；(3)倒数关系：或；(4)商数关系：．【典型例题】考点一锐角三角函数值的求解策略【例1】如图,在方格纸中,点A,B,C都在格点上,则tan∠ABC的值是()A.2B.12C.√55D.√5【例2】如图,A,B,C是小正方形的顶点,且每个小正方形的边长均为1,则tan∠BAC的值为()A.12B.1C.√33D.√3【变式训练】1.如图，若点A的坐标为(1,√3),则sin∠1=.2. 如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（）A．2 B． C． D．考点二已知三角函数求边长,则BC的长为()【例3】如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=15,sin B=35A.3B.9C.4D.12【变式训练】,则AB的长是()1. 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,tan A=12A.2B.8C.2√5D.4√5,则斜边AB上的高为.2.在Rt△ABC中,∠C=90°,若AB=5,sin A=35考点三特殊角的三角函数值的计算【例5】求+tan60°﹣【例6】已知△ABC中的∠A与∠B满足（1﹣tanA）2+|sinB﹣|=0（1）试判断△ABC的形状．（2）求（1+sinA）2﹣2﹣（3+tanC）0的值．【变式训练】1. 6tan230°﹣sin60°﹣2sin45°2. sin60°﹣4cos230°+sin45°•tan60°+(√3-tanβ)2=0,则对此三角形的形状描3.若α,β是一个三角形的两个锐角,且满足sinα-√32述最准确的是 ( ) A .等腰三角形 B .直角三角形C .等边三角形D .等腰直角三角形考点三 锐角三角函数的拓展探究与应用【例6】通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(sad)．如图1①，在△ABC 中，AB ＝AC ，顶角A 的正对记作sadA ，这时sadA BCAB==底边腰．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：(1)sad60°＝________．(2)对于0＜A ＜180°，∠A 的正对值sadA 的取值范围是_______．(3)如图1②，已知sinA ＝35，其中∠A 为锐角，试求sadA 的值．【变式训练】如图,定义:在Rt △ABC 中,锐角α的邻边与对边的比叫做∠α的余切,记作cot α,即cot α=∠α的邻边∠α的对边=ACBC .根据上述角的余切定义,解答下列问题:(1)cot30°= ;(2)已知tan A=34,其中∠A 为锐角,则cot A 的值为 .【强化练习】1. 如图,以点O 为圆心,半径为1的弧交坐标轴于A ,B 两点,P 是AB⏜上一点(不与点A ,B 重合),连结PO,设∠POB=α,则点P的坐标是()A.(sinα,sinα)B.(cosα,cosα)C.(cosα,sinα)D.(sinα,cosα)2. 如图,已知AB是☉O的直径,弦CD⊥AB,AC=2√2,BC=1,那么sin∠ABD的值是.3.在Rt△ABC中,若2AB=AC,则cos C=.,AD是BC边上的高线.4. 如图,在△ABC中,∠B=45°,AC=5,cos C=35(1)求AD的长;(2)求△ABC的面积.5. 如图所示，AB是⊙O的直径，且AB＝10，CD是⊙O的弦，AD与BC相交于点P，若弦CD ＝6，试求cos∠APC的值．【典型例题】考点一 锐角三角函数值的求解策略【例1】如图,在方格纸中,点A ,B ,C 都在格点上,则tan ∠ABC 的值是 ( )A .2B .12C .√55D .√5【答案】A【例2】如图,A ,B ,C 是小正方形的顶点,且每个小正方形的边长均为1,则tan ∠BAC 的值为( )A .12B .1C .√33D .√3【答案】B【解析】如图,连结BC ,则BC ⊥AB.答案及解析=1.在Rt△ABC中,AB=BC=√22+12=√5,∴tan∠BAC=BCAB【变式训练】1.如图，若点A的坐标为(1,√3),则sin∠1=.【答案】√322. 如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（）A．2 B． C． D．【答案】D【解析】解：如图：，由勾股定理，得AC=，AB=2，BC=，∴△ABC为直角三角形，∴tan∠B==，故选：D．考点二已知三角函数求边长,则BC的长为()【例3】如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=15,sin B=35A.3B.9C.4D.12【答案】D【变式训练】,则AB的长是() 1. 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,tan A=12A.2B.8C.2√5D.4√5【答案】C,则斜边AB上的高为.2.在Rt△ABC中,∠C=90°,若AB=5,sin A=35【答案】125考点三特殊角的三角函数值的计算【例5】求+tan60°﹣【答案】见解析【解析】原式=+﹣=2+﹣=3﹣2+2．【例6】已知△ABC中的∠A与∠B满足（1﹣tanA）2+|sinB﹣|=0 （1）试判断△ABC的形状．（2）求（1+sinA）2﹣2﹣（3+tanC）0的值．【答案】见解析【解析】（1）∵|1﹣tanA）2+|sinB﹣|=0，∴tanA=1，sinB=，∴∠A=45°，∠B=60°，∠C=180°﹣45°﹣60°=75°， ∴△ABC 是锐角三角形；（2）∵∠A=45°，∠B=60°，∠C=180°﹣45°﹣60°=75°，∴原式=（1+）2﹣2﹣1=．【变式训练】 1. 6tan 230°﹣sin60°﹣2sin45° 2.sin60°﹣4cos 230°+sin45°•tan60°【答案】见解析 【解答】（1）原式==12- (2) 原式=×﹣4×（）2+×=﹣3+3；3. 若α,β是一个三角形的两个锐角,且满足sin α-√32+(√3-tan β)2=0,则对此三角形的形状描述最准确的是 ( ) A .等腰三角形 B .直角三角形C .等边三角形D .等腰直角三角形【答案】C 【解答】∵sin α-√32+(√3-tan β)2=0,∴sin α-√32=0,√3-tan β=0, ∴sin α=√32,tan β=√3. 又∵α,β都是锐角, ∴α=60°,β=60°,∴此三角形的形状是等边三角形. 故选C考点三 锐角三角函数的拓展探究与应用【例6】通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(sad)．如图1①，在△ABC 中，AB ＝AC ，顶角A 的正对记作sadA ，这时sadA BC AB ==底边腰．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题： (1)sad60°＝________．(2)对于0＜A ＜180°，∠A 的正对值sadA 的取值范围是_______．(3)如图1②，已知sinA ＝35，其中∠A 为锐角，试求sadA 的值．．【答案】见解析【解析】(1)1； (2)0＜sadA ＜2；(3)如图2所示，延长AC 到D ，使AD ＝AB ，连接BD ．设AD ＝AB ＝5a ，由3sin 5BC A AB ==得BC ＝3a ， ∴ 22(5)(3)4AC a a a =-=，∴ CD ＝5a-4a ＝a ，22(3)10BD a a a =+=，∴ 10sadA BD AD ==．【变式训练】如图,定义:在Rt △ABC 中,锐角α的邻边与对边的比叫做∠α的余切,记作cot α,即cot α=∠α的邻边∠α的对边=ACBC .根据上述角的余切定义,解答下列问题:(1)cot30°= ;(2)已知tan A=34,其中∠A为锐角,则cot A的值为.【答案】（2）4 3【强化练习】1. 如图,以点O为圆心,半径为1的弧交坐标轴于A,B两点,P是AB⏜上一点(不与点A,B重合),连结PO,设∠POB=α,则点P的坐标是()A.(sinα,sinα)B.(cosα,cosα)C.(cosα,sinα)D.(sinα,cosα)【答案】C【解析】如图,过点P作PQ⊥OB,垂足为Q.在Rt△OPQ中,OP=1,∠POQ=α,∴sinα=PQOP ,cosα=OQOP,即PQ=sinα,OQ=cosα,则点P的坐标为(cosα,sinα).故选C.2. 如图,已知AB是☉O的直径,弦CD⊥AB,AC=2√2,BC=1,那么sin∠ABD的值是.【答案】2√23【解析】∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°,则AB=√12+(2√2)2=3.∵AB ⊥CD ,AC⏜=AD ⏜,∴∠ABC=∠ABD , ∴sin ∠ABD=sin ∠ABC=AC AB =2√23. 3. 在Rt △ABC 中,若2AB=AC ,则cos C= .【答案】.√32或2√55【解析】∵2AB=AC ,∴AB 不是最长边,即∠C ≠90°.分两种情况讨论:①当∠B=90°时,设AB=x ,则AC=2x ,∴BC=√(2x )2-x 2=√3x ,∴cos C=BC AC =√3x 2x =√32.②当∠A=90°时,设AB=y ,则AC=2y ,∴BC=√(2y )2+y 2=√5y ,∴cos C=AC BC =√5y =2√55. 综上所述,cos C 的值为√32或2√55. 4. 如图,在△ABC 中,∠B=45°,AC=5,cos C=35,AD 是BC 边上的高线.(1)求AD 的长;(2)求△ABC 的面积.【答案】见解析【解答】解:(1)∵AD ⊥BC ,∴∠ADC=∠ADB=90°.在Rt △ACD 中,AC=5,cos C=35,∴CD=AC ·cos C=3,∴AD=√AC 2-CD 2=4.(2)∵∠B=45°,∠ADB=90°,∴∠BAD=90°-∠B=45°,∴∠B=∠BAD ,∴BD=AD=4,∴S △ABC =12AD ·BC=12×4×(4+3)=14.5. 如图所示，AB 是⊙O 的直径，且AB ＝10，CD 是⊙O 的弦，AD 与BC 相交于点P ，若弦CD ＝6，试求cos ∠APC 的值．【答案】见解析【解答】连结AC ，∵ AB 是⊙O 的直径，∴ ∠ACP ＝90°，又∵ ∠B ＝∠D ，∠PAB ＝∠PCD ，∴ △PCD ∽△PAB ，∴ PC CD PA AB=． 又∵ CD ＝6，AB ＝10，∴ 在Rt △PAC 中，63cos 105PC CD APC PA AB ∠====．。
浙教版初中数学初三数学下册《锐角三角函数的计算》评课稿
浙教版初中数学初三数学下册《锐角三角函数的计算》评课稿1. 引言本评课稿旨在对浙教版初中数学初三数学下册中的《锐角三角函数的计算》内容进行评估和分析。
通过对本课时的教材内容、教学设计和学生反馈等方面的综合考察，以期对本课时的教学效果、教学方法和教学内容进行评价和改进，为提高教学质量提供有益的参考。
2. 教材内容概述本课时所涉及的教材内容主要包括：•锐角的概念和性质•锐角三角函数的定义•锐角三角函数的计算方法•锐角三角函数的应用3. 教学设计分析3.1 教学目标本节课的教学目标主要体现在以下几个方面：•理解锐角的概念和性质，能够准确计算和应用锐角的三角函数。
•培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力，提高学生的逻辑思维和推理能力。
•锻炼学生的团队合作和沟通能力，培养学生的自主学习和合作学习的意识。
3.2 教学过程安排•第一步：引入新知识–通过引发学生对锐角的思考，提出问题，激发学生的好奇心，引起学生的学习兴趣。
–介绍锐角的定义和性质，通过图示和生活实例进行讲解，帮助学生理解和记忆。
•第二步：学习基本概念–介绍锐角三角函数的定义，通过示例计算帮助学生理解。
–通过演示和练习，巩固学生对锐角三角函数的掌握。
•第三步：应用实践–通过实际问题案例，帮助学生将所学的锐角三角函数运用到实际生活中。
–鼓励学生思考和探索，培养学生解决问题的能力。
•第四步：总结归纳–对本节课的内容进行总结归纳，强调核心概念和关键步骤。
–检查学生对所学内容的理解和掌握情况，解答学生提出的问题。
3.3 教学方法•探究式教学方法：通过提问、讨论和实践等方式，培养学生的主动学习能力和问题解决能力。
•合作学习方法：鼓励学生在小组内进行合作学习，促进彼此间的学习互助和思维碰撞。
•演绎推理方法：通过示例和计算引导学生从具体问题中发现规律，逐步推导出抽象概念和结论。
•形象化教学方法：通过图示和生活实例展示抽象概念和计算过程，帮助学生理解和记忆知识。
2023 数学浙教版新中考 考点29锐角三角函数(解析版)
考点29锐角三角函数考点总结1．锐角三角函数的意义：如图，在Rt △ABC 中，设∠C ＝90°，∠α为Rt △ABC 的一个锐角，则： ∠α的正弦sin α＝∠α的对边斜边；∠α的余弦cos α＝∠α的邻边斜边；∠α的正切tan α＝∠α的对边∠α的邻边2．同角三角函数之间的关系： sin 2A ＋cos 2A ＝ 1 ，tan A ＝s inA cos A ．3．互余两角三角函数之间的关系：(1)sin α＝cos (90°－α)，cos α＝sin (90°－α)． (2)tan α·tan (90°－α)＝1.(3)锐角的正弦值或正切值随着角度的增大而增大，锐角的余弦值随着角度的增大而减小．(4)对于锐角A 有0＜sin A ＜1，0＜cos A ＜1，tan A ＞0. 4．特殊的三角函数值：5．如图，直角三角形的三条边与三个角这六个元素中，有如下的关系：(1)三边的关系(勾股定理)：a 2＋b 2＝c 2． (2)两锐角间的关系：∠A ＋∠B ＝90°． (3)边与角的关系：sin A ＝cos B ＝a c， cos A ＝sin B ＝b c ，tan A ＝a b ，tan B ＝b a．6．直角三角形的边角关系在现实生活中有着广泛的应用，它经常涉及测量、工程、航海、航空等，其中包括了一些概念，一定要根据题意理解其中的含义才能正确解题． (1)仰角：向上看时，视线与水平线的夹角，如图．(2)俯角：向下看时，视线与水平线的夹角， (3)坡角：坡面与水平面的夹角．(4)坡度：坡面的铅直高度与水平宽度的比叫做坡度(或坡比)，一般情况下，我们用h 表示坡的铅直高度，用l 表示坡的水平宽度，用i 表示坡度，即i ＝hl＝tan α，显然，坡度越大，坡角就越大，坡面也就越陡，如图．(5)方向角：指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于90°的锐角叫做方向角，如图324．真题演练一、单选题1．（2021·浙江台州·中考真题）如图，将长、宽分别为12cm ，3cm 的长方形纸片分别沿AB ，AC 折叠，点M ，N 恰好重合于点P ．若∠α＝60°，则折叠后的图案（阴影部分）面积为（ ）A ．（36-cm 2B ．（36-cm 2C ．24 cm 2D ．36 cm 2【答案】A 【分析】过点C 作CF MN ⊥，过点B 作BE MN ⊥，根据折叠的性质求出60PAC α∠=∠=︒，30EAB PAB ∠=∠=︒，分别解直角三角形求出AB 和AC 的长度，即可求解．【详解】解：如图，过点C 作CF MN ⊥，过点B 作BE MN ⊥，∵长方形纸片分别沿AB ，AC 折叠，点M ，N 恰好重合于点P ， ∵60PAC α∠=∠=︒， ∵30EAB PAB ∠=∠=︒，∵90BAC ∠=︒，6cm sin BE AB EAB ==∠，sin CFAC α==，∵12ABCSAB AC =⋅=∵(212336cm ABCS S S=-=⨯-=-阴矩形，故选：A ．2．（2021·浙江金华·中考真题）如图是一架人字梯，已知2AB AC ==米，AC 与地面BC 的夹角为α，则两梯脚之间的距离BC 为（ ）A ．4cos α米B ．4sin α米C ．4tan α米D ．4cos α米 【答案】A 【分析】根据等腰三角形的性质得到12BD DC BC ==，根据余弦的定义即可，得到答案． 【详解】过点A 作AD BC ⊥，如图所示：∵AB AC =，AD BC ⊥， ∵BD DC =， ∵DCco ACα=， ∵cos 2cos DC AC αα=⋅=， ∵24cos BC DC α==， 故选：A ．3．（2021·浙江温州·中考真题）图1是第七届国际数学教育大会（ICME ）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC ．若1AB BC ==．AOB α∠=，则2OC 的值为（ ）A ．211sin α+ B ．2sin 1α+ C ．211cos α+ D ．2cos 1α+【答案】A 【分析】根据勾股定理和三角函数求解． 【详解】∵在Rt OAB 中，AOB α∠=，1AB = ∵1=sin sin AB OB αα= 在Rt OBC 中，1BC =，2222221111sin sin OC OB BC αα⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭故选：A ．4．（2021·浙江·中考真题）如图，已知在矩形ABCD 中，1,AB BC ==P 是AD 边上的一个动点，连结BP ，点C 关于直线BP 的对称点为1C ，当点P 运动时，点1C 也随之运动．若点P 从点A 运动到点D ，则线段1CC 扫过的区域的面积是（ ）A ．πB ．π+C D ．2π【答案】B 【分析】先判断出点Q 在以BC 为直径的圆弧上运动，再判断出点C 1在以B 为圆心，BC 为直径的圆弧上运动，找到当点P 与点A 重合时，点P 与点D 重合时，点C 1运动的位置，利用扇形的面积公式及三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：设BP 与CC 1相交于Q ，则∵BQC =90°，∵当点P 在线段AD 运动时，点Q 在以BC 为直径的圆弧上运动， 延长CB 到E ，使BE =BC ，连接EC ， ∵C 、C 1关于PB 对称， ∵∵EC 1C =∵BQC =90°，∵点C 1在以B 为圆心，BC 为直径的圆弧上运动， 当点P 与点A 重合时，点C 1与点E 重合， 当点P 与点D 重合时，点C 1与点F 重合，此时，tanPC AB PBC BC BC ∠=== ∵∵PBC =30°，∵∵FBP =∵PBC =30°，CQ =12BC =BQ 32=，∵∵FBE =180°-30°-30°=120°，11322BCFS CC BQ =⨯==线段1CC 扫过的区域的面积是2120360BCFSππ⨯+=故选：B ．5．（2021·浙江丽水·中考真题）如图，AB 是O 的直径，弦CD OA ⊥于点E ，连结,OC OD ．若O 的半径为,m AOD α∠=∠，则下列结论一定成立的是（ ）A ．tan OE m α=⋅B ．2sin CD m α=⋅C ．cos AE m α=⋅D ．2sin CODSm α=⋅【答案】B 【分析】根据垂径定理、锐角三角函数的定义进行判断即可解答． 【详解】解：∵AB 是O 的直径，弦CD OA ⊥于点E ， ∵12DE CD =在Rt EDO ∆中，OD m =，AOD α∠=∠ ∵tan =DEOEα ∵=tan 2tan DE CDOE αα=，故选项A 错误，不符合题意； 又sin DEODα=∵sin DE OD α=∵22sin CD DE m α==，故选项B 正确，符合题意； 又cos OEODα=∵cos cos OE OD m αα== ∵AO DO m ==∵cos AE AO OE m m α=-=-，故选项C 错误，不符合题意； ∵2sin CD m α=，cos OE m α=∵2112sin cos sin cos 22COD S CD OE m m m αααα∆=⨯=⨯⨯=，故选项D 错误，不符合题意； 故选B ．6．（2021·浙江宁波·中考真题）如图，在ABC 中，45,60,B C AD BC ∠=︒∠=︒⊥于点D ，BD =E ，F 分别为AB ，BC 的中点，则EF 的长为（ ）A B C ．1 D 【答案】C 【分析】根据条件可知∵ABD 为等腰直角三角形，则BD =AD ，∵ADC 是30°、60°的直角三角形，可求出AC 长，再根据中位线定理可知EF =2AC。
新浙教版九年级下册初中数学 1-1 锐角三角函数 教学课件
Hale Waihona Puke 例2 如图,一个小孩荡秋千,秋千链子的长度为2.5m, 当秋千向两边摆动时,摆角恰好为600,且两边摆动的 角度相同,求它摆至最高位置时与其摆至最低位置 时的高度之差(结果精确到0.01m).
老师提示: 将实际问题数学化.
O
2.5 B ┌C D
教学课件
数学 九年级下册 浙教版
第1章 解直角三角形
1.1 锐角三角函数
1.1 锐角三角函数（1）
锐角三角函数的定义
直角三角形ABC可以简记为Rt△ABC，你能 说出各条边的名称吗？
B
斜边 c
对边 a
┓┓
A
C
邻边 b
实际问题
某商场有一自动扶梯，其倾斜角为30°，高为7m， 扶梯的长度是多少?
邻边和斜边之间的比值也随之确定.
B
sin A a , cos A b ,
c
c
c
sin B b , cos B a ,
c
c
A
a
┌
b
C
tan A a , tan B b
b
a
锐角A的正弦、余弦、和正切统称∠A的三角函数
如图,观察一副三角板: 它们其中有几个锐角?分别是多少度?
(1)sin300等于多少?
300
(2)cos300等于多少? (3)tan300等于多少?
450
450 ┌ 600 ┌
请与同伴交流你是怎么想的?又是怎么做的?
做一做
2
B
1
30°
A
C
3
1
sin 30°=
2
cos 30°= 3 2
tan 30°=
3
浙教版数学九年级下册1.2《锐角三角函数的计算》说课稿2
浙教版数学九年级下册1.2《锐角三角函数的计算》说课稿2一. 教材分析《锐角三角函数的计算》是浙教版数学九年级下册第1章第2节的内容。
本节内容是在学生已经学习了锐角三角函数的定义和概念的基础上进行讲解的，主要让学生掌握锐角三角函数的计算方法，培养学生的运算能力和解决问题的能力。
教材通过例题和练习题的形式，使学生能够熟练运用锐角三角函数的计算方法解决实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于锐角三角函数的定义和概念已经有了初步的了解。
但是，学生在计算方面可能还存在一些问题，如对计算过程的理解不够深入，运算速度和准确性有待提高。
因此，在教学过程中，需要注重引导学生理解计算方法，并通过练习题来提高学生的运算能力。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握锐角三角函数的计算方法，能够熟练运用计算方法解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过例题和练习题的讲解和练习，培养学生的运算能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的耐心和细心，使学生感受到数学在生活中的应用。
四. 说教学重难点1.教学重点：使学生掌握锐角三角函数的计算方法。
2.教学难点：对计算过程的理解和运用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用讲解法、例题解析法、练习法、小组合作学习法等。
2.教学手段：利用多媒体课件进行讲解和展示，使用黑板、粉笔进行板书。
六. 说教学过程1.导入：通过复习锐角三角函数的定义和概念，引导学生回顾已学的知识，为新课的学习做好铺垫。
2.讲解：讲解锐角三角函数的计算方法，通过例题进行解析，让学生理解计算过程和方法。
3.练习：布置练习题，让学生进行计算练习，巩固所学知识。
4.小组合作：学生分组进行讨论和合作，共同解决问题，培养学生的合作意识和解决问题的能力。
5.总结：对本节课的内容进行总结，强调计算方法和注意事项。
6.布置作业：布置适量的作业，让学生进行巩固练习。
浙教版数学九年级下册1.2锐角三角函数的计算(1)
1.2锐角三角函数的计算（1）◆基础训练1．已知下列说法：①如果α是锐角，则sinα随着角度的增大而增大；②如果α是锐角，则cosα随着角度的增大而增大；③如果α是锐角，则tanα随着角度的增大而增大；•④如果α是锐角，则cosα<1，sinα<1，tanα<1，其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．用计算器求值（精确到0.0001）：sin63°52′41″≈_______；cos15°22′30″≈_______；tan19°15′≈_______．3．填空：sin15°=cos_______≈_______（精确到0.0001）；cos63°=sin_______≈_______（精确到0.0001）；sin（90°－α）=________，cos（90°－α）=_______（α为锐角）．4．比较大小：sin27°32′20″________sin50°11′34″；cos28°50′24″________cos29°；tan30°_______tan31°；sin46°11′_________cos43°49′．5．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=32，BC=3，则斜边上的中线长为_______．6．计算：（1）sin45°+3tan30°+4cos30°；（2）cos260°－tan45°+sin60°·tan60°．◆提高训练7．在Rt△ABC中，∠C=90°，已知AC=21，AB=29，分别求∠A，∠B的三个三角函数值．8．在Rt△ABC中，∠C=90°，BC：AC=3：4，求∠A的三个三角函数值．9．如图，某校九年级课外活动小组为了测量一个小湖泊两岸两棵树A ，B •间的距离，在垂直AB 的方向AC 上，距离A 点100米的C 处测得∠ACB=50°，请你求出A ，B •两棵树之间的距离（精确到1米）．10．如图，已知游艇的航速为每时34千米，它从灯塔S 的正南方向A 处向正东方向航行到B 处需1.5时，且在B 处测得灯塔S 在北偏西65°方向，求B 到灯塔S 的距离（•精确到0.1千米）．◆拓展训练11．如图，已知直线AB 与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，它的解析式为y=－33x+33，角α的一边为OA ，另一边OP ⊥AB 于P ，求cos α的值．12．如图，AB是直径，CD是弦，AD，BC相交于E，∠AEC=60°．（1）若CD=2，求AB的长；（2）求△CDE与△ABE的面积比．答案:1．B 2．0.8979，0.9642，0.3492 3．75°，0.2588，27°，0.4540，cosα，sinα4．<，>，<，= 5．36．（1）22+33（2）347．sinA=202120212021 ,cos,tan;sin,cos,tan 292921292920A AB B B=====•••8．sinA=35，cosA=45，tanA=349．119米10．56.3千米11．1212．（1）4 （2）14初中数学试卷灿若寒星制作。
浙教版九年级下《有关三角函数的计算》
3 8 °′″ 5 °′″ =
例1。如图1-13，在Rt△ABC中， ∠C =90 ° 。已 知AB=12cm， ∠ A=35 ° ，求的周长和面积 （周长精确到0。1cm，面积保留3个是效数字）.
C
A
A
B
随堂练习
1 用计算器求下列各式的值: (1)sin560,(2) sin15049′, (3)cos200,(4)tan290, (5)tan44059′59″, (6)sin150+cos610+tan760.
2.会使用计算器进行由已知锐角求三角函数值的计算，并解 决简单的实际问题。
重点和难点：
1.本节教学的重点是用计算器求已知锐角的三角函数值。 2. 本节开头的引例把问题归结为已知直角三角形的锐角度 数、邻边长，求对边，需要较强的空间想象能力和分析 问题的能力，是本节教学的难点。
课后反思
对于本节一开始提出的问题,利用 0 科学计算器可以求得: BC=ABsin16 ≈200×0.2756≈55.12.
当缆车继续从点B到达点D时,它又走 过了200m.缆车由点B到点D的行驶路线 与水平面的夹角为∠β=420,由此你能 计算什么?
老师提示:用计算器求三角函数值时, 结果一般有10个数位.本书约定,如无 特别声明,计算结果一般精确到万分位.
B
450
300
A
0 300 45 ┌ B 4cmC D
浙教版数学九年级下册 1.1 锐角三角函数 课件(共18张PPT)
B(山顶）
H
当锐角为30°时，
30°
西坡
其所对的直角边与
斜边之比始终
30°
A
D
B(山顶）
为 1．
C
2
E
东坡
当锐角为45°时，
其所对的直角边
30°
CF
D
B(山顶）
与 斜边之比始 终为 2 ．
2
当锐角为50°时，
G 南坡
这个比值是一个确 定的值．
C
HD
任意作一个锐角∠A，在角的边上任意取两点B
与B1分别作BC⊥AC于点C ，B1C1⊥A1C1于点C1.
判断 BC 与 B1C1 是否相等，并说明理由. B１
AB
AB1
B
A
C C１
对于每一个确定的锐角α，在角的边上任意取
一点B作BC⊥AC于点C，比值 BC 是一个确
定的值．
AB
B
A
C
直角三角形中锐角ɑ与其对边与斜边比值关系
ɑ
BC （对边与斜边比值）
1.1锐角三角函数（1）
我关心的是本质 其它都是细节（爱因斯坦）
一 情境创小设红、小强、小颖约好去爬山，他们沿不同倾 斜度的三条道路上山，若山顶与山下的铅垂距离为100 米，你能分别求出他们到达山顶要走的路程吗？
南坡
50°
小颖出发地
西坡
东坡
30°
小红出发地
45°
小强出发地
转化成的数学问题 B(山顶）
2.sinα是一个完整的符号，单独的“sin”没有意义.
练一练
1. 如图△ABC中，∠C=90°,BC=5,AC=12B.
5
计算：（1）sinA= 13.
新浙教版九年级数学下册第一章《 有关三角函数的计算》课件
ห้องสมุดไป่ตู้太阳光
25° A
住
宅
新
楼
楼
B
C
某居民小区有一朝向为正南方向的居民楼，该居民楼的一楼是 高6米的小区超市，超市以上是居民住房.在该楼的前面要盖一栋高20米的 新楼.当冬季正午的阳光与水平线的夹角为25°时.
问：若新楼的影子恰好落在超市1米高的窗台处，两楼应相距多少米？
D
太阳光
25° A
F
住 宅
新
楼
w如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， BC=ABsin16° .
w你知道sin16°等于多少吗?
对于不是30°，45°，60°这些特殊角的三角函 数值，可以利用计算器来求
w怎样用科学计算器求锐角的三角函数值呢?
动手实践
知识在于积累
驶向胜利 的彼岸
w用科学计算器求锐角的三角函数值，要用到三个键： w例如，求sin16°、cos42°、tan85° 和sin72°38′25″的按键盘顺序如下： sin cos tan
A
B
变式：在△ABC中，已知AB=12cm，AC=10cm
∠ A=35 °,求△ABC 的周长和面积（周长精确到 0.1cm，面积保留3个是效数字）.
模型： △ABC 的面积=1/2AC･AB ･sin ∠ A
随堂练习
行家看“门道”
驶向胜利 的彼岸
w1 用计算器求下列各式的值: w(1)sin56°,(2) sin15°49′,(3)cos20°,(4)tan29°, w(5)tan44°59′59″,(6)sin15°+cos61°+tan76°.
按键的顺序
显示结果
sin16° sin 1 6 °′″ =
浙教版九年级数学下册电子课本课件【全册】
1.1锐角三角函数
浙教版九年级数Biblioteka 下册电子课本课 件【全册】1.2锐角三角函数的计算
浙教版九年级数学下册电子课本课 件【全册】
1.3解直角三角形
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第2章 直线与圆的位置关系
浙教版九年级数学下册电子课本课 件【全册】
浙教版九年级数学下册电子课本 课件【全册】目录
0002页 0042页 0118页 0137页 0213页 0258页 0324页
第1章 解直角三角形 1.2锐角三角函数的计算 第2章 直线与圆的位置关系 2.2切线长定理 第3章 投影与三视图 3.2简单几何体的三视图 3.4简单几何体的表面展开图
第1章 解直角三角形