2017-2018-2017-2018学年河南省焦作市高二上学期学业水平测试语文试题及答案
2017-2018学年（上）焦作市高二学业水平
测试
语文试卷
本试题卷分第1卷（阅读题）和第Ⅱ卷（表达题）两
部分。
考生作答时，将答案答
在答题卡上（答题注意事项见答题卡），在本试题卷上答题无效。
第1卷阅读题
甲必考题
一、现代文阅读（9分，每小题3分）
阅读下面的文字，完成1～3题。
先秦诸子为我们留
下了一大笔无比宝贵的遗产。
儒家的《论语》《孟子》《苟子》，道家的《老子》《庄子》，墨家的《墨子》，法家的《韩非子》等，都是我国传统文化的经典之作。
从文体上看，它们基本
上都属于论议之文。
先秦诸子的论议文之所以富有魅力，首先一个原因是流
派众多，而发表言论的各家及其成员都个性鲜明，卓并不凡。
一方面，不管是儒家之文、道家之文、法家之文，还是墨家
之文等，都取得了卓越的成就，都不可替代。
另一方面从各
家内部来看，诸多发表言论的人物之间虽然保持着某种一致
性，却并非千人一面、千口同声，而是各不相同。
就儒家的
论议而言，《论语》的文章简而能赅，浅而能深，态度雍容，
辞义典雅；《孟子》的文章气势逼人，匠心独运，而挥洒自如；《苟子》的文章缜密谨严，譬巧喻博，句式参差与齐整相间。
就道家的论议而言，庄子本人的文章即《庄子》内篇奇妙深
幽，庄子后学的文章即<庄子》外、杂篇则大抵奇妙浅豁；庄
子学派的文章明于知人心但相对较少辩智，《老子》的文章明于知人心但较多辩智。
先秦诸子论议文之所以富有魅力，其次一个原因是充满
了卓绝的智慧。
当时，各家各派的成员都关注和思考现实社
会与人生中的种种问题，都对这些方面的问题提出了深刻的
认识，并为解决问题开出了自己的方子。
孔子围绕礼和仁建
立的学说，回应的是现实社会秩序的紊乱以及仁爱忠恕之心
的缺失。
墨子围绕兼相爱、交相利建立的学说，回应的是人
与人、国与国之间“亏人自利”的世风。
孟子建立的仁义、
仁政学说，回应的是功利主义的甚嚣尘上以及率兽食人、好
战嗜杀的暴政。
庄子安时处顺的思想，蕴含着灵魂在现实压
迫下的挣扎；其以无用为大用的思想，则回应着把生命当作
工具的价值观对生命尊严和价值的戕害……这里充满了对社
会发展、社会秩序、人际关系以及个人行为的深刻洞察，充
满了对人心与世道、情与理的细腻深刻的把握，充满了对天
人关系的宏大锐敏的思考。
在我国古代的几千年历史中，人
们思考天与人、社会和人生，几乎都没有跳出这些哲人的樊
篱。
传统从这里发源，反传统也从这里发源；士大夫进取的
根据在这里，士大夫退守自持的根据也在这里。
在古代社会，
先秦诸子文章在很多根本方面所达到的高度，几乎没有被超
越过。
总之，先秦诸子论议文就流派风格之多、哲思之深、影
响之远、原创性之强而言，是空前的甚至是绝后的。
有学者
提出，在我国思想学术发展史上，自上古至东汉之末是“纯
中国学时期”，自魏初至五代末是“中国学与印度学之交争时期”，自宋初至清中叶是“中国学与印度学之混合时期”，自清中叶至20世纪30年代初是“新中国与西洋学之交争时期”（《（古史辨）第四期，<诸子丛考>自序》，《罗根泽说诸子》，上海古籍出版社2001年版）。
“纯中国学时期”的诸子文章，
是我国文化传统最重要的根。
我们没有理由不加以珍视，没
有理由不弘扬其中优秀的部分。
（摘编自人教社普通高中课程标准实验教科书《语文?先秦诸子选读》）
1．下列有关先秦诸子论议文方面的表述，不正确的一项是
A．为我们留下了一大笔宝贵遗产的先秦诸子的文章，从文
体上看，它们基本上都属于论议之文，且都是我国传统文化
的经典之作。
B．因为先秦诸子流派众多，而发表言论的各家及其成员都
个性鲜明，卓异不凡，其文充满了卓绝的智慧，所以先秦诸
子的论议文富有魅力。
河南省焦作市高二上学期期中考试语文试题(扫描版).pdf
焦作市2013～2014学年（上）期中高二年级学业水平测试
语文参考答案及评分标准
一、现代文阅读（9分，每小题3分）
1.A
2.C
3.D
二、古代诗文阅读（36分）
（一）文言文阅读（19分）
4.(3分)D 5．(3分)B 6．(3分)C
（三）名篇名句默写（6分）
10．（6分）（1）则芥为之舟 水浅而舟大也（2）亦崎岖而经丘 泉涓涓而始流（3） 云销雨霁 落霞与孤鹜齐飞（每空1分，有错别字、添字、漏字现象，则该空不得分。
）
三、文学类文本阅读（25分）
11．（25分）（1）（5分）选D得3分，选B得2分，选E得1分。
选A、C不得分。
答三项获三项以上则给0分。
（2）（6分）要点：①心地善良；②内心细腻；③猜疑多虑。
（每个要点2分。
）
（3）（6分）①突出主题。
说明有人留门，表现人间并不像夜归者所揣想的那么冷②情理之中，意料之外。
使故事有了更深的意趣。
③戛然而止。
给读者留下广阔的想象空间。
④蕴含深意。
人们常常在心理上虚掩着一道门，轻轻一推即可打开，里面就是一个别样的世界。
（每个要点2分，答出三个即可。
）
（4）（8分）（观点明确2分，理由充分、论述合理6分。
）。
河南省焦作市普通高中2025届化学高二第一学期期中考试试题含解析
河南省焦作市普通高中2025届化学高二第一学期期中考试试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题(共包括22个小题。
每小题均只有一个符合题意的选项）1、下列有关合金的说法错误的是A．青铜是人类历史上使用最早的合金，至今已有三千多年的历史B．合金的硬度一般比它的各成分金属的小，熔点一般也比它的各成分金属的高C．世界上最常见的，用量最大的合金是钢D．合金可以由金属和非金属熔合而成2、反应HCOOH＋HOCH3HCOOCH3＋H2O可用于甲酸甲酯的制备。
下列关于该反应的说法正确是A．使用催化剂能加快反应速率B．升高温度能降低反应速率C．降低HCOOH浓度能加快反应速率D．HCOOH与HOCH3能100%转化为HCOOCH33、下列生产、生活等实际应用，能用勒夏特列原理解释的是A．加入催化剂有利于合成氨的反应B．500 ℃比室温更有利于合成氨的反应（已知合成氨反应是放热反应）C．由H2(g)、I2(g)和HI(g)组成的平衡体系加压后颜色变深D．阴暗处密封有利于氯水的储存4、蛋白质是人体必需的重要营养成分，下列食物中，富含蛋白质的是（）A．白菜B．甘蔗C．豆腐D．猪油5、下列实验装置、操作均正确．．．的是A．分离乙醛和水B．证明碳酸比苯酚酸性强C．产生光亮的银镜D．实验室制备乙烯6、只用一种试剂，将Na2SO4 、NaCl、(NH4)2SO4、NH4Cl四种溶液分开，这种试剂是A．NaOH溶液B．AgNO3溶液C．BaCl2溶液D．Ba(OH)2溶液7、可用于鉴别下列三种物质的一组试剂是①银氨溶液②溴的四氯化碳溶液③氯化铁溶液④氢氧化钠溶液A．①③B．②③C．①④D．②④8、一种气态烷烃和一种气态烯烃的混合物共10g，平均相对分子质量为25。
2024届河南省天一大联考化学高二第一学期期中学业水平测试试题含解析
2024届河南省天一大联考化学高二第一学期期中学业水平测试试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题（每题只有一个选项符合题意）1、下列方案中制取一氯乙烷的最佳方法是（）A．乙烷和氯气取代反应B．乙烯和氯气加成反应C．乙烯和HCl加成反应D．乙炔和HCl加成反应2、下列过程放出热量的是A．液氨汽化B．碳酸钙分解C．铝热反应D．化学键断裂3、下列药品中不属于天然药物的是A．板蓝根冲剂B．麻黄碱C．青霉素D．牛黄解毒丸4、1999年，在欧洲一些国家发现饲料被污染，导致畜禽类制品及乳制品不能食用，经测定饲料中含有剧毒物质二恶英，其结构为，已知它的二氯代物有10种，则其六氯代物有（）A．15种B．11种C．10种D．5种5、已知下列热化学方程式：Fe2O3(s)＋3CO(g)=2Fe(s)＋3CO2(g) ΔH=－24.8kJ/molFe2O3(s)＋13CO(g)=23Fe3O4(s)＋13CO2(g) ΔH=－15.73kJ/molFe3O4(s)＋CO(g)=3FeO(s)＋CO2(g) ΔH=＋640.4kJ/mol则14gCO气体还原足量FeO固体得到Fe单质和CO2气体时对应的ΔH约为（）A．－218kJ/mol B．－109kJ/mol C．＋109kJ/mol D．＋218kJ/mol6、t ℃时，某平衡体系中含有X、Y、Z、W 四种物质，此温度下发生反应的平衡常数表达式如右：2c(Y)Kc(Z)c(W)。
有关该平衡体系的说法正确的是( )A．当混合气体的平均相对分子质量保持不变时，反应达平衡B．增大压强，各物质的浓度不变C．升高温度，平衡常数K增大D．增加X的量，平衡既可能正向移动，也可能逆向移动7、下列变化过程属于放热反应的是①H2O(g)H2O(l)②酸碱中和反应③盐酸稀释④固体NaOH溶于水⑤H2在Cl2中燃烧⑥食物腐败A．①②⑤⑥B．②③④C．②⑤⑥D．①②⑤8、常温下，下列各组离子在指定溶液中一定能大量共存的是-、Cl-A．澄清透明的溶液中：Fe3+、Ba2+、NO3B．使酚酞变红色的溶液中：Na+、NH4+、C1-、SO24--C．c(Al3+)=0.1mol/L的溶液中：K+、Mg2+、SO24-、AlO2-D．由水电离产生的c(H+)=10-13mol/L的溶液中：K+、Na+、CH3COO-、NO39、将一定量的NO2充入注射器中后封口，下图是在拉伸或压缩注射器的过程中气体透光率随时间的变化(气体颜色越深，透光率越小)。
河南省2025届化学高二上期末学业质量监测试题含答案
河南省2025届化学高二上期末学业质量监测试题含答案注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题（每题只有一个选项符合题意）1、物质的量浓度相同的三种酸HX、HY、HZ的溶液，其pH依次为4、5、6，则KX、KY、KZ的碱性由强到弱的顺序是（）A．KX、KZ、KY B．KX、 KY、KZC．KZ、KY 、KX D．KY、KZ、KX2、化合物是一种医药中间体，常用来制备抗凝血药，下列关于该化合物的说法不正确．．．的是（）A．能与溴单质反应B．能与金属钠反应C．1mol最多能和3mol氢气反应D．分子式是C9H6O33、某气态烃1mol能与2molHCl加成，所得的加成产物每摩尔又能与8molCl2反应，最后得到一种只含C、Cl两种元素的化合物，则气态烃为（）A．丙烯B．丁烯C．1﹣丁炔D．2﹣甲基﹣1，3﹣丁二烯4、关于的分子结构说法正确的是A．分子中12个碳原子一定在同一平面B．分子中有7个碳原子可能在同一直线上C．分子中最多有6个碳原子能在同一直线上D．分子中最多有8个碳原子能在同一直线上5、常温下，一种烷烃A和一种单烯烃B组成混合气体，A 或B 分子均最多只含有4 个碳原子，且B 分子的碳原子数比A 分子的多。
将1升该混合气体充分燃烧，在同温同压下得到2.5升CO2气体。
120℃时取1 升该混合气体与9 升氧气混和，充分燃烧后，当恢复到120℃和燃烧前的压强时，体积增大6.25％。
则A 和B 的分子式分别为（）A．C2H6、C4H8B．C2H6、C3H6C．CH4、C4H8D．CH4、C3H66、下图是可逆反应A+2B2C+3D的化学反应速率与化学平衡随外界条件改变(先降温后加压)而变化的情况，由此可推断A．正反应是吸热反应B．若A、B是气体，则D是液体或固体C．逆反应是放热反应D．A、B、C、D均为气体7、下列应用与水解原理无关的是()A．实验室盛放碳酸钠溶液的试剂瓶必须用橡胶塞而不能用玻璃塞B．泡沫灭火器用碳酸氢钠溶液和硫酸铝溶液，使用时只需将二者混合就可产生大量二氧化碳的泡沫C．用氯化铵溶液除去铁锈D．可用碳酸钠与醋酸制取少量二氧化碳8、室温下，HCO3-在水中发生如下变化，该变化过程属于（）A．电离过程B．中和反应C．水解反应D．置换反应9、学习“化学平衡移动原理”后，以你的理解，下列叙述正确的是A．升高温度，化学平衡一定会发生移动B．2HI(g)H2(g)+I2(g)达平衡后，增大压强使颜色变深，可用勒夏特列原理解释C．在盛有一定量NO2的注射器中，向外拉活塞，其中气体颜色先变浅再变深，甚至比原来深D．对于已达平衡的体系，改变影响化学平衡的条件，不可能出现V正增大，V逆减小的情况10、下列分子中，所有原子都处在同一平面的是A．对二甲苯B．丙炔C．乙烷D．溴苯11、有三瓶无色溶液，它们是Na2SO4、Na2CO3、NH4Cl，用一种试剂就可鉴别，该试剂是A．石蕊试液 B．酚酞试液 C．氯化钡溶液D．硝酸银溶液12、在含有浓度均为0.01mol•L-1的Cl-、Br-、I-离子的溶液中，缓慢加入AgNO3稀溶液，析出三种沉淀的先后顺序是（）A．AgCl、AgBr、AgI B．AgI、AgBr、AgClC．AgBr、AgCl、AgI D．三种沉淀同时析出13、下列有关化学实验的叙述正确的是A．为看到明显的实验现象，实验药品的取用越多越好B．成功的化学实验必须严格遵守操作规程并取得预期成果，未取得预期成果的实验都是失败的C．即使借助精密的仪器，采用规范的操作，化学实验依然会存在误差D．为节约时间，保证实验顺利进行，应在所有的实验步骤都完成后再进行现象和数据的记录14、若某烷烃只有1种一氯取代产物，则其分子式不可能是A．CH4B．C2H6 C．C4H10D．C8H1815、容积均为1L的甲、乙两个恒容容器中，分别充入2molA、2molB和1molA、1molB，相同条件下，发生下列反应：A(g)＋B(g)xC(g）△H＜0。
河南省南阳市2017-2018学年高二上学期期中质量评估化学试题 Word版含答案
南阳市2017-2018学年秋期高中二年级期中质量评估化学试题注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试时间90分钟，总分100分。
答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上．2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上．4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 O 16 Mg 24 Cu 64 Ag 108第Ⅰ卷（选择题共48分）一、选择题（本题包括16小题，每题3分，共48分，每小题只有一个选项符合题意）1．下列有关金属腐蚀与保护的说法正确的是A．铁上镀锡的保护方法叫牺牲负极的正极保护法B．相同条件下，轮船在海水中比在淡水中腐蚀慢C．水库里钢闸门与电源负极相连的方法叫做外加电流的阴极保护法D．钢铁在潮湿空气中发生吸氧腐蚀，负极反应为Fe—3e-=Fe3+下列说法正确的是A.56g CO和32gO2所具有的总能量小于88gCO2所具有的总能量C．碳的燃烧热是AH13．已知甲为恒温恒压容器，乙为恒温恒容容器。
初始时，两容器的温度、体积相同，两容器中均充入2mol SO2和1molO2，且发生反应为当两容器都达到平衡后，为使两者中的SO3在平衡混合物中的物质的量相同，下列措施中不可行的是A．向甲容器中再充入一定量的氦气B．向乙容器中再充入2mol的SO3气体C．适当降低乙容器的温度D．缩小乙容器的体积4．将一定量纯净的氨基甲酸铵置于特制的密闭真空容器中（假设容器体积不变，固体试样体积忽略不计），使其达到分解平衡：实验测得不同温度下的平衡数据列于下表：下列有关叙述正确的是A．该可逆反应达到平衡的标志之一是混合气体平均相对分子质量不变B．因该反应熵变(△S)大于0，焓变（△H）大于O，所以在低温下自发进行C．根据表中数据，计算15.0℃时的分解平衡常数约为2.0×l0-9(mol·L-1)3D．达到平衡后，若在恒温下压缩容器体积，氨基甲酸铵固体的质量减小5．关于如下图所示各装置的叙述中，正确的是A．装置①是原电池，总反应是：Cu+2Fe3+==Cu2++2Fe2+B．装置①中，铁作负极，电极反应式为：F3++e- =Fe2+C．装置②通电一段时间后石墨Ⅱ电极附近溶液红褐色加深D．若用装置③精炼铜，则d极为粗铜，c极为纯铜，电解质溶液为CuSO4溶液6.下列热化学方程式及有关叙述中，正确的是：A．甲烷的燃烧热为890.3kJ·mol -1，则甲烷燃烧的热化学方程式可表示为：B.CO(g)的燃烧热是283.0kJ/mol，则2CO2(g) =2CO(g)+O2(g)的反应热C.HCI和NaOH反应的中和热△H=-57.3kJ／mol，则H2SO4和Ca(OH)2反应的中和热D.500℃、30MPa下，将0.5mol N2和1.5molH2置于密闭的容器中充分反应生成NH3(g)，放热19.3kJ，其热化学方程式为：7．某温度下，将2 molA和3 molB充入一密闭的容器中发生反应：C(g)+D(g) ，5 min后达平衡。
2017-2018学年河南省平顶山市高二上学期期末调研考试物理试题Word版含答案
一、选择题(本题共12小题，48分，其中9、10、11、12题为多选，其余为单选，全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)1.真空中两个点电荷之间的静电力为F，如果它们之间的距离以及每个点电荷的电荷量都增加为原来的2倍，则它们之间的静电力将变为原来的A.4倍B.倍C.1倍D.0.5倍2.如图所示，虚线a、b、c表示电场中的三个等势面，相邻等势面间的电势差相等，实线为一个负离子仅在电场力作用下通过该区域的运动轨迹，P、Q是轨迹上的两点。
下列说法正确的是A.三个等势面中，等势面a的电势最低B.带电质点一定是从P点向Q点运动C.带电质点通过P点时的加速度比通过Q点时的小D.带电质点通过P 点时的动能比通过Q点时的小3.在图示电路中，当滑动变阻器的滑动头向上滑动时，A、B 两灯亮度的变化情况为A.A灯变亮，B灯变暗B.A灯变暗，B灯变亮C.A灯和B灯都变亮D.A灯、B灯都变暗4.有关磁场的物理概念，下列说法中正确的是A.磁感应强度是描述磁场强弱的物理量，是矢量B.磁感应强度的方向与该点所放小磁针的受力方向相同C.磁感应强度的方向跟放入磁场中的受磁场力作用的电流方向有关D.对条形磁铁来说，磁感线的方向是由条形磁铁的N极指向S极5.如图，条形磁铁平放于水平桌面上，在它的正中央上方固定一根直导线，导线与磁场垂直，现给导线中通以垂直于纸面向外的电流，则下列说法正确的是A.磁铁对桌面的压力减小B.磁铁对桌面的压力增大C.磁铁对桌面的压力不变D.以上说法都不可能6.如图所示，螺线管两端通入大小及方向随时间周期性变化的电流，沿着螺线管轴线方向有一正电荷射入，则该正电荷在螺线管内将做A.加速直线运动B.匀速圆周运动C.匀速直线运动D.往返运动7.如图所示，两个同心放置的共面单市金属环a 和b ，一条形磁铁穿过圆心且与环面垂直放置。
设穿过圆环a 的磁通量为a Φ，穿过圆环b 的磁通量为b Φ，已知两圆环的横截面积分别为a S和b S ，且a S <b S ，则穿过两圆环的磁通量大小关系为A.a Φ>b ΦB.a Φ=b ΦC.a Φ<b ΦD.无法确定8.如图所示，通电螺线管置于闭合金属环a 的轴线上，当螺线管中电流I 增加时A.环有缩小的趋势以阻碍原磁通量的减小B.环有扩大的趋势以阻碍原磁通量的减小C.环有缩小的趋势以阻碍原磁通量的增大D.环有扩大的趋势以阻碍原磁道量的增大9.如图所示，一个电源的电动势为E 、内电阻为r ，将一个额定电压为U 的电动机接在该电源上，电动机正常工作，通过电动机的电流为I ，电动机的内阻为R ，关于在时间t 内的能量转化，下面的说法中正确的是A.电源消耗的电能为I ²(R+r)tB.电源消耗的电能为It(U+Ir)C.电动机转化的机械能为It(U-IR)D.电动机转化的机械能为It(E-Ir)10.一平行板电容器充电后与电源断开，正极板接地，两极板间有一正电荷(电量很小)固定在P 点，如图所示，用E 表示两极板间的场强，U 表示电容器的电压，W 表示正电荷在P 点的电势能，若保持正极板不动，将负极板移到图中虚线所示的位置，则A.U 不变，E 不变B.E 不变，W 不变C.U 变小，W 变小D.U 变小，W 不变11.如图所示，两根足够长的光滑金属导轨水平平行放置，间距为1=1m ，cd 间、de 间、cf 间分别接着阻值为R=10Ω的电阻。
2017-2018学年河南省洛阳市高二上学期期中数学试题(解析版)
2017-2018学年河南省洛阳市高二（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|x2﹣x﹣6＜0}，B={x|x2+2x﹣8＞0}，则A∪B=（）A．{x|2＜x＜3}B．{x|﹣2＜x＜3}C．{x|x＞﹣4或x＞2}D．{x|x＜﹣4或x ＞﹣2}2．（5分）△ABC中，==，则△ABC一定是（）A．直角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．等边三角形3．（5分）若a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式一定成立的是（）A．＞0 B．（a﹣b）c2＞0 C．ac＞bc D．a+c≥b﹣c4．（5分）在等比数列{a n}中，a n＞0，已知a1=6，a1+a2+a3=78，则a2=（）A．12 B．18 C．24 D．365．（5分）设正实数a，b满足2a+3b=1，则的最小值是（）A．25 B．24 C．22 D．166．（5分）海中有一小岛，海轮由西向东航行，望见这岛在北偏东75°，航行8n mile以后，望见这岛在北偏东60°，海轮不改变航向继续前进，直到望见小岛在正北方向停下来做测量工作，还需航行（）n mile．A．8 B．4 C．D．7．（5分）设等差数列{a n}的公差d≠0，且a2=﹣d，若a k是a6与a k+6等比中项，则k=（）A．5 B．6 C．9 D．368．（5分）若函数f（x）=的定义域是R，则实数a的取值范围是（）A．（﹣2，2）B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）C．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）D．[﹣2，2]9．（5分）已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．若a=bcosC+csinB，且△ABC的面积为1+．则b的最小值为（）A．2 B．3 C．D．10．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，S15＞0，a8+a9＜0，则使＜0成立的最小自然数n的值为（）A．15 B．16 C．17 D．1811．（5分）在平而直角坐标系中，不等式组表示的平面区域面积为π，若x，y满足上述约束条件，则z=的最小值为（）A．﹣1 B．C．D．12．（5分）已知数列{a n}中，a1=2，若a n+1﹣a n=a n2，设T m=，若T m＜2018，则正整数m的最大值为（）A．2019 B．2018 C．2017 D．2016二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．x＜0|2＜x＜3}B.{x|-2＜x＜3}C.{x|x＞13．（5分）不等式组表示的平面区域内的整点坐标是．14．（5分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=2且sinA+cosA=2，则角C的大小为．15．（5分）如图所示，在圆内接四边形ABCD中，AB=6，BC=3，CD=4，AD=5，则四边形ABCD的面积为．16．（5分）已知数列{a n}中，a1=l，S n为其前n项和，当n≥2时，2a n+S n2=a n S n成立，则S10=．三、解答题：本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或盐酸步骤．17．（10分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2+c2﹣b2=﹣ac．（1）求B；（2）若，，求a，c．18．（12分）已知方程x2+2（a+2）x+a2﹣1=0．（1）当该方程有两个负根时，求实数a的取值范围；（2）当该方程有一个正根和一个负根时，求实数a的取值范围．19．（12分）已知{a n}是各项均为正数的等比数列，且a1+a2=6，a1a2=a3．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）{b n}为各项非零的等差数列，其前n项和S n=n2，求数列的前n项和T n．20．（12分）某市园林局将一块三角形地块ABC的一个角AMN建设为小游园，已知A=120°，AB，AC的长度均大于400米，现要在边界AM，AN处建设装饰墙，沿MN建设宽1.5米的健康步道．（1）若装饰墙AM，AN的总长度为400米，AM，AN 的长度分别为多少时，所围成的三角形地块AMN的面积最大？（2）若AM段装饰墙墙髙1米，AN段装饰墙墙髙1.5米，AM段装饰墙造价为每平方米150元，AN段装饰墙造价为每平方米100元，建造装饰墙用了90000元．若建设健康步道每100米需5000元，AM，AN的长度分别为多少时，所用费用最少？21．（12分）已知△ABC为锐角三角形，角A，B，C的对边分别为a，b，c且（b2+c2﹣a2）tanA=bc．（1）求角A的大小；（2）若a=，求2b﹣c的取值范围．22．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，且S n=4﹣a n﹣．（1）令b n=2n﹣1•a n，证明数列{b n}为等差数列，并求{b n}的通项公式；（2）是否存在n∈N*，使得不等式成立，若存在，求出λ的取值范围，若不存在，请说明理由．2017-2018学年河南省洛阳市高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|x2﹣x﹣6＜0}，B={x|x2+2x﹣8＞0}，则A∪B=（）A．{x|2＜x＜3}B．{x|﹣2＜x＜3}C．{x|x＞﹣4或x＞2}D．{x|x＜﹣4或x ＞﹣2}【分析】解不等式得出集合A、B，根据并集的定义写出A∪B．【解答】解：集合A={x|x2﹣x﹣6＜0}={x|（x+2）（x﹣3）＜0}={x|﹣2＜x＜3}，B={x|x2+2x﹣8＞0}={x|（x+4）（x﹣2）＞0}={x|x＜﹣4或x＞2}，则A∪B={x|x＜﹣4或x＞﹣2}．故选：D．【点评】本题考查了解不等式与集合的运算问题，是基础题．2．（5分）△ABC中，==，则△ABC一定是（）A．直角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．等边三角形【分析】由，利用正弦定理可得tanA=tanB=tanC，再利用三角函数的单调性即可得出．【解答】解：由正弦定理可得：=，又，∴tanA=tanB=tanC，又A，B，C∈（0，π），∴A=B=C=，则△ABC是等边三角形．故选：D．【点评】本题考查了正弦定理、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3．（5分）若a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式一定成立的是（）A．＞0 B．（a﹣b）c2＞0 C．ac＞bc D．a+c≥b﹣c【分析】对于A，根据不等式的性质即可判断，举反例即可判断B，C，D【解答】解：A、∵a﹣b＞0，c2＞0，∴＞0B、∵a﹣b＞0，∴（a﹣b）2＞0，又c2≥0，∴（a﹣b）2c≥0，本选项不一定成立，C、c=0时，ac=bc，本选项不一定成立；D、当a=﹣1，b=﹣2，c=﹣3时，a+c=﹣4，b﹣c=1，显然不成立，本选项不一定成立；故选A【点评】此题考查了不等式的性质，利用了反例的方法，是一道基本题型．4．（5分）在等比数列{a n}中，a n＞0，已知a1=6，a1+a2+a3=78，则a2=（）A．12 B．18 C．24 D．36【分析】先求出公比q，即可求出答案．【解答】解：设公比为q，由a1=6，a1+a2+a3=78，可得6+6q+6q2=78，解得q=3或q=﹣4（舍去），∴a2=6q=18，故选：B【点评】本题考查了等比数列的通项公式，属于基础题．5．（5分）设正实数a，b满足2a+3b=1，则的最小值是（）A．25 B．24 C．22 D．16【分析】直接利用函数的关系式及均值不等式求出函数的最小值．【解答】解：正实数a，b满足2a+3b=1，则=（2a+3b）（）=+9≥13+12=25，故的最小值为25．故选：D．【点评】本题考查的知识要点：函数的关系式的恒等变换，均值不等式的应用．6．（5分）海中有一小岛，海轮由西向东航行，望见这岛在北偏东75°，航行8n mile以后，望见这岛在北偏东60°，海轮不改变航向继续前进，直到望见小岛在正北方向停下来做测量工作，还需航行（）n mile．A．8 B．4 C．D．【分析】作出示意图，根据等腰三角形锐角三角函数的定义即可求出继续航行的路程．【解答】解：设海岛位置为A，海伦开始位置为B，航行8n mile后到达C处，航行到D处时，海岛在正北方向，由题意可知BC=8，∠ABC=15°，∠BCA=150°，∠ADC=90°，∠ACD=30°，∴∠BAC=15°，∴AC=BC=8，∴CD=AC•cos∠ACD=4．故选C．【点评】本题考查了解三角形的应用，属于基础题．7．（5分）设等差数列{a n}的公差d≠0，且a2=﹣d，若a k是a6与a k+6等比中项，则k=（）A．5 B．6 C．9 D．36【分析】运用等差数列的通项公式，以及等比数列的中项的性质，化简整理解方程即可得到k的值．【解答】解：等差数列{a n}的公差d≠0，且a2=﹣d，可得a1=a2﹣d=﹣2d，则a n=a1+（n﹣1）d=（n﹣3）d，若a k是a6与a k+6的等比中项，即有a k2=a6a k+6，即为（k﹣3）2d2=3d•（k+3）d，由d不为0，可得k2﹣9k=0，解得k=9（0舍去）．故选：C．【点评】本题考查等差数列的通项公式和等比数列中项的性质，考查化简整理的运算能力，属于基础题．8．（5分）若函数f（x）=的定义域是R，则实数a的取值范围是（）A．（﹣2，2）B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）C．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）D．[﹣2，2]【分析】要使函数有意义，则2﹣1≥0，解得即可．【解答】解：要使函数有意义，则2﹣1≥0，即x2+ax+1≥0，∴△=a2﹣4≤0，解得﹣2≤a≤2，故选：D【点评】本题考查了函数的定义域和不等式的解法，属于基础题．9．（5分）已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．若a=bcosC+csinB，且△ABC的面积为1+．则b的最小值为（）A．2 B．3 C．D．【分析】已知等式利用正弦定理化简，再利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简，求出tanB的值，确定出B的度数，利用三角形面积公式求出ac的值，利用余弦定理，基本不等式可求b的最小值．【解答】解：由正弦定理得到：sinA=sinCsinB+sinBcosC，∵在△ABC中，sinA=sin[π﹣（B+C）]=sin（B+C），∴sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=sinCsinB+sinBcosC，∴cosBsinC=sinCsinB，∵C∈（0，π），sinC≠0，∴cosB=sinB，即tanB=1，∵B∈（0，π），∴B=，=acsinB=ac=1+，∵S△ABC∴ac=4+2，由余弦定理得到：b2=a2+c2﹣2accosB，即b2=a2+c2﹣ac≥2ac﹣ac=4，当且仅当a=c时取“=”，∴b的最小值为2．故选：A．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，基本不等式以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于中档题．10．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，S15＞0，a8+a9＜0，则使＜0成立的最小自然数n的值为（）A．15 B．16 C．17 D．18【分析】由于S15==15a8＞0，a8+a9＜0，可得a8＞0，a9＜0，进而得出．【解答】解：∵S15==15a8＞0，a8+a9＜0，∴a8＞0，a9＜0，∴S16==8（a8+a9）＜0，则使＜0成立的最小自然数n的值为16．故选：B．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．（5分）在平而直角坐标系中，不等式组表示的平面区域面积为π，若x，y满足上述约束条件，则z=的最小值为（）A．﹣1 B．C．D．【分析】由约束条件作出可行域，由z==1+，而的几何意义为可行域内的动点与定点P（﹣3，2）连线的斜率．结合直线与圆的位置关系求得答案．【解答】解：∵不等式组（r为常数）表示的平面区域的面积为π，∴圆x2+y2=r2的面积为4π，则r=2．由约束条件作出可行域如图，由z==1+，而的几何意义为可行域内的动点与定点P（﹣3，2）连线的斜率．设过P的圆的切线的斜率为k，则切线方程为y﹣2=k（x+3），即kx﹣y+3k+2=0．由=2，解得k=0或k=﹣．∴z=的最小值为1﹣=﹣．故选：C．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题．12．（5分）已知数列{a n}中，a1=2，若a n+1﹣a n=a n2，设T m=，若T m＜2018，则正整数m的最大值为（）A．2019 B．2018 C．2017 D．2016=a n2+a n=a n（a n+1）≥6，推导出=，从而【分析】a n+1，进而T m=m﹣（﹣）＜m﹣，由此能求出正整数m的最大值．【解答】解：由a n﹣a n=a n2，得a n+1=a n2+a n=a n（a n+1）≥6，+1∴=，∴=﹣，∴++…+=（﹣）+（﹣）+…+（﹣）=﹣∈（0，），∵，∴T m==m﹣（﹣）=m﹣+＜m﹣+=m﹣∵T m＜2018，∴m﹣＜2018，∴m＜2018+∴正整数m的最大值为2018，故选：B【点评】本题考查了数列递推关系、放缩法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．x＜0|2＜x＜3}B.{x|-2＜x＜3}C.{x|x＞13．（5分）不等式组表示的平面区域内的整点坐标是（﹣1，1）．【分析】先根据不等式组画出可行域，再验证哪些当横坐标、纵坐标为整数的点是否在可行域内．【解答】解：根据不等式组画出可行域如图：由图象知，可行域内的点的横坐标为整数时x=﹣1，纵坐标可能为﹣1或﹣2即可行域中的整点可能有（﹣1，1）、（﹣1，2），经验证点（﹣1，1）满足不等式组，（﹣1，2）不满足不等式组，∴可行域中的整点为（﹣1，1），故答案为：（﹣1，1），【点评】本题考查一元二次不等式表示的区域，要会画可行域，同时要注意边界直线是否能够取到，还要会判断点是否在可行域内（点的坐标满足不等式组时，点在可行域内）．属简单题．14．（5分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=2且sinA+cosA=2，则角C的大小为．【分析】利用三角恒等变换求出A，再利用正弦定理得出C．【解答】解：∵sinA+cosA=2，即2sin（A+）=2，∵0＜A＜π，∴A+=，即A=，由正弦定理得：，即，∴sinC=，∴C=或C=（舍）．故答案为：．【点评】本题考查了正弦定理，属于基础题．15．（5分）如图所示，在圆内接四边形ABCD 中，AB=6，BC=3，CD=4，AD=5，则四边形ABCD 的面积为 6．【分析】利用余弦定理可求BD 2=5﹣4cosA=25+24cosA ，解得cosA=，结合范围0＜A ＜π，利用同角三角函数基本关系式可求sinA ，利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：∵四边形ABCD 圆内接四边形， ∴∠A +∠C=π，∵连接BD ，由余弦定理可得BD 2=AB 2+AD 2﹣2AB•AD•cosA=36+25﹣2×6×5cosA=61﹣60cosA ， 且BD 2=CB 2+CD 2﹣2CB•CD•cos （π﹣A ） =9+16+2×3×4cosA=25+24cosA ， ∴61﹣60cosA=25+24cosA ， ∴cosA= 又0＜A ＜π， ∴sinA=．∴S 四边形ABCD =S △ABD +S △CBD =AB•AD•sinA +CD•CB•sin （π﹣A ）=×6×5×+×3×4×=6，故答案为：6【点评】本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形面积公式的应用，考查了转化思想和数形结合思想的应用，属于中档题．16．（5分）已知数列{a n}中，a1=l，S n为其前n项和，当n≥2时，2a n+S n2=a n S n成立，则S10=．S n=S n﹣1﹣S n，可得数列{}是首项为1，公差为的等【分析】由已知得S n﹣1差数列，从而能求【解答】解：∵2a n+S n2=a n S n，∴S n2=a n（S n﹣2），a n=S n﹣S n﹣1（n≥2），∴S n2=（S n﹣S n﹣1）（S n﹣2），S n=S n﹣1﹣S n，…①即S n﹣1•S n≠0，由题意S n﹣1•S n，得﹣=，将①式两边同除以S n﹣1∵a1=l，∴=1∴数列{}是首项为1，公差为的等差数列，∴=1+（n﹣1）=（n+1）∴S n=，∴S10=，故答案为：【点评】本题考查数列的递推公式和前n项和，属于中档题三、解答题：本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或盐酸步骤．17．（10分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2+c2﹣b2=﹣ac．（1）求B；（2）若，，求a，c．【分析】（1）直接利用关系式的恒等变换，转化为余弦定理的形式，进一步求出B的值．（2）利用正弦定理已知条件求出结果．【解答】解：（1）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2+c2﹣b2=﹣ac．则：，由于：0＜B＜π，解得：B=．（2）由于，所以：a=2c，由及a2+c2﹣b2=﹣ac．得到：a2+c2+ac=7．解得：a=2，c=1．【点评】本题考查的知识要点：余弦定理的应用，正弦定理的应用．18．（12分）已知方程x2+2（a+2）x+a2﹣1=0．（1）当该方程有两个负根时，求实数a的取值范围；（2）当该方程有一个正根和一个负根时，求实数a的取值范围．【分析】（1）当方程有两个负根时，利用判别式△≥0和根与系数的关系求出a的取值范围；（2）根据方程有一个正根和一个负根时，对应二次函数满足f（0）＜0，由此求出实数a的取值范围．【解答】解：方程x2+2（a+2）x+a2﹣1=0的判别式为△=4（a+2）2﹣4（a2﹣1）=16a+20，当△=16a+20≥0时，设方程x2+2（a+2）x+a2﹣1=0两个实数根为x1、x2，则x1+x2=﹣2（a+2），x1x2=a2﹣1；（1）∵方程x2+2（a+2）x+a2﹣1=0有两个负根，∴，解得，即a＞1或﹣≤a＜﹣1，∴实数a的取值范围是[﹣，﹣1）∪（1，+∞）；（2）∵方程x2+2（a+2）x+a2﹣1=0有一个正根和一个负根，∴对应二次函数满足f（0）=a2﹣1＜0，解得﹣1＜a＜1，∴实数a的取值范围是（﹣1，1）．【点评】本题考查了一元二次方程根的分布情况以及判别式和根与系数的关系应用问题，是中档题．19．（12分）已知{a n}是各项均为正数的等比数列，且a1+a2=6，a1a2=a3．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）{b n}为各项非零的等差数列，其前n项和S n=n2，求数列的前n项和T n．【分析】（1）设数列{a n}的公比为q，（q＞0），由题意列方程组求得首项和公比，则数列{a n}的通项公式可求；（2）由{b n}的前n项和求得通项，代入，然后利用错位相减法求其前n项和T n．【解答】解：（1）设数列{a n}的公比为q，（q＞0），由a1+a2=6，a1a2=a3，得，解得a1=q=2．∴；（2）当n=1时，b1=S1=1，当n≥2时，b n=S n﹣S n﹣1=n2﹣（n﹣1）2=2n﹣1，∴，∴，，∴=，∴．【点评】本题考查数列递推式，考查了错位相减法求数列的前n项和，是中档题．20．（12分）某市园林局将一块三角形地块ABC的一个角AMN建设为小游园，已知A=120°，AB，AC的长度均大于400米，现要在边界AM，AN处建设装饰墙，沿MN建设宽1.5米的健康步道．（1）若装饰墙AM，AN的总长度为400米，AM，AN 的长度分别为多少时，所围成的三角形地块AMN的面积最大？（2）若AM段装饰墙墙髙1米，AN段装饰墙墙髙1.5米，AM段装饰墙造价为每平方米150元，AN段装饰墙造价为每平方米100元，建造装饰墙用了90000元．若建设健康步道每100米需5000元，AM，AN的长度分别为多少时，所用费用最少？（1）设AM=x米，AN=y米，则x+y=400，△AMN的面积S=xysin120°=xy，【分析】利用基本不等式，可得结论；（2）由题意得，即x+y=600，要使竹篱笆用料最省，只需MN最短，利用余弦定理求出MN，即可得出结论．【解答】解：设AM=x米，AN=y米，则（1）x+y=400，A=120°，△AMN的面积S=xysin120°=xy≤，当且仅当x=y=200时取等号；（2）由题意得150x+1.5y•100=90000，即x+y=600，要使竹篱笆用料最省，只需MN最短，所以MN2=x2+y2﹣2xycos120°=x2+y2+xy=（x+y）2+y2﹣xy=360000﹣xy所以x=y=300时，MN有最小值300．∴AM=AN=300米时，所用费用最少为3×5000=15000元．【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查三角形面积的计算，余弦定理的运用，属于中档题．21．（12分）已知△ABC为锐角三角形，角A，B，C的对边分别为a，b，c且（b2+c2﹣a2）tanA=bc．（1）求角A的大小；（2）若a=，求2b﹣c的取值范围．【分析】（1）利用余弦定理列出关系式，代入已知等式变形求出sinA的值，即可确定出角A的大小；（2），由（1）可得A，由正弦定理可得，从而利用三角函数恒等变换的应用可得2b﹣c=2sin（B﹣），结合B的范围B，可得2b﹣c 取值范围．【解答】解：（1）由（b2+c2﹣a2）tanA=bc．及余弦定理b2+c2﹣a2=2bccosA，得sinA=∵△ABC为锐角三角形，∴A=．（2）由正弦定理可得，∴2b﹣c=4sinB﹣2sinC=4sinB﹣2sin（）=3sinB﹣cosB=2sin（B﹣）．∵△ABC为锐角三角形，∴，∴∴，2∴2b﹣c的取值范围为（0，3）【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，考查了正弦定理，正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，属于中档题．22．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，且S n=4﹣a n﹣．（1）令b n=2n﹣1•a n，证明数列{b n}为等差数列，并求{b n}的通项公式；（2）是否存在n∈N*，使得不等式成立，若存在，求出λ的取值范围，若不存在，请说明理由．【分析】（1）由已知可得2a n=a n﹣1+，故2n﹣1•a n=2n﹣2•a n﹣1+1，进而可得数列{b n}为等差数列，并得到{b n}的通项公式；（2）存在n=1，使得不等式成立，且9≤λ≤10，利用对勾函数和反比例函数的图象性质，可得答案．【解答】解：（1）∵数列{a n}的前n项和为S n，且S n=4﹣a n﹣．∴当n=1时，a1=S1=4﹣a1﹣，即a1=1，=4﹣a n﹣1﹣．当n≥2时，S n﹣1则a n=S n﹣S n﹣1=a n﹣1﹣a n﹣，即2a n=a n﹣1+，故2n﹣1•a n=2n﹣2•a n﹣1+1，即2n﹣1•a n﹣2n﹣2•a n﹣1=1，∵b n=2n﹣1•a n，即{b n}是以1为首项，以1为公差的等差数列；即b n=n；（2）由（1）知：⇔，根据对勾函数的性质，可得：在n=3时取最小值，由反比例函数的性质，可得：在n=1时取最大值10；当n=1时，9≤λ≤10；当n=2时，6≤λ≤5，不存在满足条件的λ值；当n=3时，≤λ≤，不存在满足条件的λ值；当n≥4时，不存在满足条件的λ值；综上可得：存在n=1，使不等式成立，9≤λ≤10．【点评】本题考查的知识点是数列与不等式及函数的综合应用，难度中档．。
2023-2024学年河南省焦作市高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年河南省焦作市高二（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A ={−3，−2，1，3}，B ={x|3x ＜19}，则A ∩B ＝（ ） A ．{﹣3，﹣2}B ．{﹣3}C ．{3}D ．{1，3}2．已知双曲线C ：x 24−y 2b2=1(b ＞0)的一条渐近线与直线x ﹣3y ﹣2＝0平行，则b ＝（ ）A ．36B ．4√2C ．6D ．233．已知a ，b ∈R ，若z 1=a−i1+i与z 2＝b ﹣3i 是共轭复数，则a ＝（ ） A ．﹣7B ．﹣4C ．2D ．54．图1所示的明矾晶体可近似看作一个正八面体P ﹣ABCD ﹣Q （图2），其中P ﹣ABCD ，Q ﹣ABCD 均为所有棱长都相等的正四棱锥，若AB →=a →，AD →=b →，AP →=c →，则PQ →=（ ）A ．a →+b →+2c →B ．2a →+2b →+2c →C ．−a →−b →+2c →D ．a →+b →−2c →5．已知直线l ：y ＝2x 与圆C ：x 2+y 2+2x ﹣4ay +1＝0（a ≠0）交于A ，B 两点，且点C 到直线l 的距离等于|AB |，则a 的值为（ ） A ．1 B ．2√5+4C ．1或−13D ．2√5+4或2√5−46．已知椭圆C ：x 225+y 29=1的右焦点为F ，点E （0，2），点P 是C 上的动点，则|PF |+|PE |的最小值为（ ） A ．5B ．10−2√5C ．10D ．10+2√57．已知点A （﹣3，0），B （3，0），若在直线l 上有唯一点P 满足P A ⊥PB ，且有唯一点Q 满足|QA |＝2|QB |，则符合条件的l 有（ ） A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条8．已知正六边形ABCDEF ，把四边形ABCD 沿直线AD 翻折，使得点B ，C 到达B 1，C 1且二面角B 1﹣AD﹣E 的平面角为120°．若点A ，B 1，C 1，D ，E ，F 都在球O 1的表面上，点O 1，B 1，C 1，E ，F 都在球O 2的表面上，则球O 2与球O 1的表面积之比为（ ） A ．34B ．43C ．√3D ．√32二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分） 9．已知双曲线C ：x 2a 2−y 24=1(a ＞0)，当a 变动时，下列结论正确的是（ ） A ．C 的焦点恒在x 轴上 B ．C 的焦距恒大于4C ．C 的离心率恒大于2D ．C 的一个焦点到其中一条渐近线的距离不变10．已知在平面直角坐标系中，点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）是不重合的两点，则下列结论错误的是（ ） A ．直线AB 的方程为y−y 1x−x 1=y 2−y 1x 2−x 1B ．若2x 1﹣y 1﹣1＝0，2x 2﹣y 2﹣1＝0，则直线AB 的方程为2x ﹣y ﹣1＝0C ．若3x 1﹣y 1﹣1＝0，3x 2﹣y 2+4＝0，则|AB |的值可以是√2D ．若x 12+y 12=x 22+y 22=4，y 1x 1−3=y2x 2−3，且|AB |是定值，则直线AB 有2条11．已知空间直角坐标系O ﹣xyz 中，点A （1，0，1），B （﹣1，﹣1，2），C （0，1，2），则下列结论正确的是（ ）A ．直线AB 的一个方向向量的坐标为（2，1，﹣1）B ．直线AC 与平面xOy 的交点坐标为（2，1，0） C ．点B 关于平面yOz 的对称点为B ′（1，﹣1，2）D ．∠BAC 为钝角12．已知函数f(x)={sin 2x cosx ，x ≠π2+kπ，cosx ，x =π2+kπ(k ∈Z)，则下列结论正确的是（ ） A ．f （x ）在区间(0，π2)上单调递增 B ．若f （α）＝1，则cos α有2个不同的取值 C ．f （x ）的图象关于点(π2，0)对称D ．若f （x ）在区间（0，x 0）上有且仅有10个零点，则x 0的取值范围是(5π，11π2) 三、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．若函数f(x)=log 3(9x +1)+(ax +3)2是偶函数，则实数a ＝ ．14．已知点O （0，0，0），A （2，0，1），B （﹣1，0，2），则△OAB 的面积为 ．15．著名数学家笛卡尔曾经给出一个四圆相切的定理：半径分别为r 1，r 2，r 3的三个圆两两外切，同时又都与半径为r 4的圆外切，则2(1r 1r 2+1r 1r 3+1r 1r 4+1r 2r 3+1r 2r 4+1r 3r 4)=1r 12+1r 22+1r 32+1r 42．已知O 1（﹣2，0），O 2(2，0)，O 3(0，32)，若圆O 1，O 2，O 3两两外切，且都与圆O 4外切，其中圆O 1，O 2的半径相等，则圆O 4的标准方程为 ． 16．已知椭圆C 1：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）与抛物线C 2：y 2＝2px （p ＞0）交于点A ，B ，直线AB 与x 轴的交点既是C 1的右焦点，也是C 2的焦点，点A ，B 关于原点的对称点分别为A '，B '，点P 是C 1上与A ，A '，B ，B '均不重合的点，记直线P A ，P A '的斜率分别为k ，k '，则kk '−4kk′= ． 四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）某沙漠地区每年有2个月属于雨季，10个月属于旱季．经过初步治理该沙漠地区某年旱季的月降水量（单位：mm ）依次达到12.1，12.0，10.4，10.5，12.5，14.1，14.3，14.3，16.7，18.1．记这组数据的第40百分位数与平均数分别为m ，x ． （1）求m ，x ；（2）已知雨季的月降水量均大于旱季的月降水量，该沙漠地区人工种植了甲、乙两种植物，当月降水量低于12.0mm 时甲种植物需要浇水，当月降水量低于15.0mm 时乙种植物需要浇水，求这一年的某月甲、乙两种植物都需要浇水的概率及二者中有植物需要浇水的概率．18．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点F （﹣2，0），直线l ：x ＝3，动点P （x ，y ）（x ≤0）到l 的距离等于|PF |+1．设动点P 的轨迹为曲线C ． （1）求C 的方程；（2）若直线x ＝my ﹣4与曲线C 交于A ，B 两点，证明：OA →⋅OB →为定值．19．（12分）如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧面ABB 1A 1与侧面ACC 1A 1都是菱形，AA 1＝AB 1＝2，∠BAC ＝∠AA 1C 1＝120°．记AB →=a →，AA 1→=b →，AC →=c →． （1）用a →，b →，c →表示AB 1→，BC 1→，并证明BC 1⊥AB 1； （2）若D 为棱A 1C 1的中点，求线段BD 的长．20．（12分）在△ABC 中，点D 是BC 边上一点，BD ＝2AD ，AD ＝2DC ． （1）求证：5AB 2+20AC 2＝8BC 2；（2）若∠BAC 是锐角，∠BAD ＝∠CAD 且AB +AC ＝5，△ABC 的面积为4825，求sin B ．21．（12分）如图，在四棱台ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，四边形ABCD 是边长为4的正方形，AA 1＝5，A 1B 1＝3，AA 1⊥平面ABCD ，E 为CC 1的中点． （1）求直线AC 1与平面B 1CD 1所成角的正弦值；（2）若平面α经过BE 且与AC 1平行，求点B 1到平面α的距离．22．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）经过A 1(√2，0)，A 2(√2，1)，A 3(√2，−1)，A 4(0，√2)中的3个点． （1）求C 的方程．（2）若直线x ＝ty +√2(t ≠0)与C 交于点M ，N ，点M 关于x 轴的对称点为M '，点D 是△MNM '的外接圆圆心，判断在x 轴上是否存在定点P ，使得|DP||MN|为定值．若存在，求出点P 的坐标及|DP||MN|的值；若不存在，请说明理由．2023-2024学年河南省焦作市高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A ={−3，−2，1，3}，B ={x|3x ＜19}，则A ∩B ＝（ ） A ．{﹣3，﹣2}B ．{﹣3}C ．{3}D ．{1，3}解：因为不等式3x ＜19可化为3x ＜3﹣2，解得x ＜﹣2，则B ＝（﹣∞，﹣2），所以A ∩B ＝{﹣3}． 故选：B ．2．已知双曲线C ：x 24−y 2b 2=1(b ＞0)的一条渐近线与直线x ﹣3y ﹣2＝0平行，则b ＝（ ）A ．36B ．4√2C ．6D ．23解：由题设，双曲线渐近线为y =±b2x （b ＞0），其中一条与y =13x −23平行，所以b2=13⇒b =23．故选：D ．3．已知a ，b ∈R ，若z 1=a−i1+i与z 2＝b ﹣3i 是共轭复数，则a ＝（ ） A ．﹣7B ．﹣4C ．2D ．5解：由题设z 1=a−i1+i =(a−i)(1−i)(1+i)(1−i)=a−1−(a+1)i2，与z 2＝b ﹣3i 是共轭复数， 所以a+12=−3⇒a =−7．故选：A ．4．图1所示的明矾晶体可近似看作一个正八面体P ﹣ABCD ﹣Q （图2），其中P ﹣ABCD ，Q ﹣ABCD 均为所有棱长都相等的正四棱锥，若AB →=a →，AD →=b →，AP →=c →，则PQ →=（ ）A ．a →+b →+2c →B ．2a →+2b →+2c →C ．−a →−b →+2c →D ．a →+b →−2c →解：连接AC ，BD 交于点O ，如图所示：则AO →=12AC →=12(AB →+AD →)，PQ →=2PO →=2（AO →−AP →）＝2[12（AB →+AD →）−AP →]=AB →+AD →−2AP →=a →+b →−2c →．故选：D ．5．已知直线l ：y ＝2x 与圆C ：x 2+y 2+2x ﹣4ay +1＝0（a ≠0）交于A ，B 两点，且点C 到直线l 的距离等于|AB |，则a 的值为（ ） A ．1 B ．2√5+4C ．1或−13D ．2√5+4或2√5−4解：圆C ：x 2+y 2+2x ﹣4ay +1＝0（a ≠0）即（x +1）2+（y ﹣2a ）2＝4a 2（a ≠0）， 所以圆心C （﹣1，2a ），半径r ＝|2a |， 则圆心到直线l ：y ＝2x 的距离d =|−2−2a|5， 因为点C 到直线l 的距离等于|AB |，所以d 2+(d2)2=r 2， 即(|−2−2a|√5)2+(|−1−a|√5)2=4a 2，解得a ＝1或a =−13． 故选：C ． 6．已知椭圆C ：x 225+y 29=1的右焦点为F ，点E （0，2），点P 是C 上的动点，则|PF |+|PE |的最小值为（ ） A ．5B ．10−2√5C ．10D ．10+2√5解：设F 1为椭圆的左焦点，则F 1（﹣4，0）， 由椭圆的定义可得|PF 1|+|PF |＝2×5＝10， 则|PF |＝10﹣|PF 1|，即|PF |+|PE |＝10+|PE |﹣|PF 1|， 又||PE|−|PF 1||≤|EF 1|=√(−4)2+22=2√5， 则−2√5≤|PE|−|PF 1|≤2√5，则|PF |+|PE |＝10+|PE |﹣|PF 1|≥10−2√5，当且仅当点P 在EF 1的延长线上时取等号， 即|PF |+|PE |的最小值为10−2√5． 故选：B ．7．已知点A （﹣3，0），B （3，0），若在直线l 上有唯一点P 满足P A ⊥PB ，且有唯一点Q 满足|QA |＝2|QB |，则符合条件的l 有（ ） A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条解：若P A ⊥PB ，则P 在以AB 为直径的圆上，对应方程为x 2+y 2＝9，令Q （x ，y ），由题设有（x +3）2+y 2＝4（x ﹣3）2+4y 2，整理得（x ﹣5）2+y 2＝16， 所以直线l 与圆x 2+y 2＝9、（x ﹣5）2+y 2＝16均有且只有一个交点，即直线与两圆都相切， 又两圆圆心距离为5，半径之和为7，故两圆相交，它们的公切线有2条， 所以符合条件的l 有2条． 故选：C ．8．已知正六边形ABCDEF ，把四边形ABCD 沿直线AD 翻折，使得点B ，C 到达B 1，C 1且二面角B 1﹣AD ﹣E 的平面角为120°．若点A ，B 1，C 1，D ，E ，F 都在球O 1的表面上，点O 1，B 1，C 1，E ，F 都在球O 2的表面上，则球O 2与球O 1的表面积之比为（ ） A ．34B ．43C ．√3D ．√32解：由题设，若O 1为AD 中点，则OA ＝OB 1＝OC 1＝OD ＝OE ＝OF ， 令正六边形的边长为2，则球O 1的半径r ＝2，过C 1作C 1G ⊥DO 1于G ，连接EG ，由正六边形性质，△DC 1O 1，△EDO 1都为等边三角形， 所以G 为DO 1的中点，故EG ⊥DO 1，则二面角B 1﹣AD ﹣E 的平面角为∠EGC 1＝120°， GC 1=EG =√3，故C 1E ＝3，又C 1G ∩EG ＝G ，C 1G ，EG ⊂面EGC 1，故DO 1⊥面EGC 1，即DA ⊥面EGC 1， C 1E ⊂面EGC 1，则DA ⊥C 1E ，而B 1C 1∥DA ∥EF ，故B 1C 1⊥C 1E ，EF ⊥C 1E ， 由B 1C 1＝EF ＝2，故B 1C 1EF 为矩形，其对角线长为√13，由O 2是O 1﹣B 1C 1EF 外接球球心，故O 2必在O 1与底面B 1C 1EF 中心的连线上， 设球O 2的半径O 1O 2＝B 1O 2＝C 1O 2＝EO 2＝FO 2＝R ，如上图示，所以O 1O 2=√C 1O 12−(132)2+√C 1O 22−(132)2，即R =√4−134+√R 2−134=√32+√R 2−134，故(R −√32)2=R 2−134⇒R 2−√3R +34=R 2−134⇒R =43， 所以球O 1与球O 1的表面积之比为R 2r 2=43．故选：B ．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分） 9．已知双曲线C ：x 2a 2−y 24=1(a ＞0)，当a 变动时，下列结论正确的是（ ） A ．C 的焦点恒在x 轴上 B ．C 的焦距恒大于4C ．C 的离心率恒大于2D ．C 的一个焦点到其中一条渐近线的距离不变解：由双曲线C ：x 2a2−y 24=1(a ＞0)，焦点在x 轴上，A 对；c =√a 2+4＞2，故焦距2c ＞4，B 对； 离心率e =c a =√1+4a2∈(1，+∞)，C 错； 由渐近线为y =±2ax ，即ay ±2x ＝0，焦点坐标为（±c ，0），所以一个焦点到其中一条渐近线的距离d =2√a 2+4√4+a 2=2，D 对．故选：ABD ．10．已知在平面直角坐标系中，点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）是不重合的两点，则下列结论错误的是（ ） A ．直线AB 的方程为y−y 1x−x 1=y 2−y 1x 2−x 1B ．若2x 1﹣y 1﹣1＝0，2x 2﹣y 2﹣1＝0，则直线AB 的方程为2x ﹣y ﹣1＝0C ．若3x 1﹣y 1﹣1＝0，3x 2﹣y 2+4＝0，则|AB |的值可以是√2D ．若x 12+y 12=x 22+y 22=4，y 1x 1−3=y2x 2−3，且|AB |是定值，则直线AB 有2条解：A ：当x 1＝x 2时，直线方程不能用y−y 1x−x 1=y 2−y 1x 2−x 1表示，错；B ：由题设，不重合的点A ，B 在直线2x ﹣y ﹣1＝0上，故直线AB 的方程为2x ﹣y ﹣1＝0，对；C ：由题设，A （x 1，3x 1﹣1），B （x 2，3x 2+4），则|AB|=√(x 1−x 2)2+[3(x 1−x 2)−5]2， 所以|AB|=√10[(x 1−x 2)−32]2+52≥√102＞√2，错； D ：由题设，不重合的点A ，B 在圆x 2+y 2＝4上，且与点C （3，0）所成直线斜率相同， 所以A ，B ，C 共线，而C 在圆x 2+y 2＝4外，只需过C 的直线y ＝k （x ﹣3）与圆有两个交点即可，如下图示，若|AB |是定值且为4时，结合圆的性质知：此时直线AB 有1条，而定值不为4时有2条，错．故选：ACD ．11．已知空间直角坐标系O ﹣xyz 中，点A （1，0，1），B （﹣1，﹣1，2），C （0，1，2），则下列结论正确的是（ ）A ．直线AB 的一个方向向量的坐标为（2，1，﹣1）B ．直线AC 与平面xOy 的交点坐标为（2，1，0） C ．点B 关于平面yOz 的对称点为B ′（1，﹣1，2）D ．∠BAC 为钝角解：对于A ，由AB →=(−2，−1，1)，而−AB →=(2，1，−1)， 故直线AB 的一个方向向量为（2，1，﹣1），故A 正确；对于B ，由AC →=(−1，1，1)，令直线AC 与平面xOy 的交点D （x ，y ，0）， 则AD →=(x −1，y ，−1)， ∴x−1−1=y 1=−11⇒{x =2y =−1，即交点D （2，﹣1，0），故B 错误；对于C ，点B 关于平面yOz 的对称点为B ′（1，﹣1，2），故C 正确； 对于D ，由cos ∠BAC =AB →⋅AC →|AB →||AC →|=2√6×√30，故∠BAC 为锐角，故D 错误． 故选：AC ．12．已知函数f(x)={sin 2x cosx ，x ≠π2+kπ，cosx ，x =π2+kπ(k ∈Z)，则下列结论正确的是（ ） A ．f （x ）在区间(0，π2)上单调递增 B ．若f （α）＝1，则cos α有2个不同的取值 C ．f （x ）的图象关于点(π2，0)对称D．若f（x）在区间（0，x0）上有且仅有10个零点，则x0的取值范围是(5π，11π2)解：当x≠π2+kπ时，f(x)=1−cos2xcosx=1cosx−cosx，f（x+2π）=1cos(x+2π)−cos(x+2π)=1cosx−cosx，所以f（x+2π）＝f（x），当x=π2+kπ，k∈Z时，f（x+2π）＝f（x）也成立，故f（x）是周期为2π的函数，f′（x）=sinxcos2x +sinx=sinx(1+1cos2x)，当x∈(0，π2)时，f′（x）＞0，则f（x）单调递增，且f（x）＞0，故A正确；当x∈(π2，π)时，f′（x）＞0，则f（x）单调递增，且f（x）＜0，当x∈(π，32π)时，f′（x）＜0，则f（x）单调递减，且f（x）＜0，当x∈(32π，2π)时，f′（x）＜0，则f（x）单调递减，且f（x）＞0，且f（0）＝f（π）＝f（2π）＝0，又x=π2+kπ，k∈Z时，f（x）＝cos x，则f(π2)=f(32π)=0，可得函数f（x）的图象如图所示，若f(α)=1，f(α)=1cosα−cosα=1，则cos2α+cosα﹣1＝0，解得cosα=−1+√52或cosα=−1−√52（舍），故cosα只有一个值，故B错误；当x≠π2+kπ，k∈Z时，f(x+π)=1cos(x+π)−cos(x+π)=−1cosx+cosx=−f(x)，当x=π2+kπ，k∈Z时，f（x+π）＝﹣f（x）也成立，所以f（x）的图象关于点(π2，0)对称，故C正确；因为f(π2)=f(π)=f(3π2)=f(2π)=0，所以f （x ）在（0，2π]上只有四个零点， 若f （x ）在区间（0，x 0）上有且仅有10个零点，则x 0的取值范围是(5π，11π2]，故D 错误． 故选：AC ．三、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．若函数f(x)=log 3(9x +1)+(ax +3)2是偶函数，则实数a ＝ −16 ． 解：f(x)=log 3(9x +1)+(ax +3)2的定义域为R ，所以f(x)=log 3(9x +1)+(ax +3)2=log 3(9−x +1)+(−ax +3)2=f(−x)， 故log 3(9x +1)−log 3(9−x +1)+12ax =0，进而log 3(9x+1)−log 39x+19x +12ax =0，所以2x +12ax ＝0，解得a =−16． 故答案为：−16．14．已知点O （0，0，0），A （2，0，1），B （﹣1，0，2），则△OAB 的面积为 52．解：由题意可知OA →=(2，0，1)，OB →=(−1，0，2)，显然OA →⋅OB →=0⇒OA ⊥OB ，故△OAB 的面积为S =12|OA →|⋅|OB →|=12×√5×√5=52．故答案为：52．15．著名数学家笛卡尔曾经给出一个四圆相切的定理：半径分别为r 1，r 2，r 3的三个圆两两外切，同时又都与半径为r 4的圆外切，则2(1r 1r 2+1r 1r 3+1r 1r 4+1r 2r 3+1r 2r 4+1r 3r 4)=1r 12+1r 22+1r 32+1r 42．已知O 1（﹣2，0），O 2(2，0)，O 3(0，32)，若圆O 1，O 2，O 3两两外切，且都与圆O 4外切，其中圆O 1，O 2的半径相等，则圆O 4的标准方程为 x 2+(y −56)2=136 ． 解：设圆O 1，O 2，O 3，O 4的半径分别为r 1，r 2，r 3，r 4，由题意可得：{r 1=r 2r 1+r 2=|O 1O 2|=4r 1+r 3=|O 1O 3|=52，解得{r 1=r 2=2r 3=12， 又因为2(1r 1r 2+1r 1r 3+1r 1r 4+1r 2r 3+1r 2r 4+1r 3r 4)=1r 12+1r 22+1r 32+1r 42，即2(14+1+12r 4+1+12r 4+112r 4)=14+14+114+1r 42，解得r 4=16， 由|O 1O 4|＝|O 2O 4|，可知点O 4在线段O 1O 2的中垂线上，即y 轴上，设O 4（0，a ），由题意可得{|O 1O 4|=√4+a 2=2+16|O 3O 4|=|32−a|=12+16，解得a =56， 即圆O 4的圆心O 4(0，56)，半径r 4=16，所以圆O 4的方程为x 2+(y −56)2=136． 故答案为：x 2+(y −56)2=136． 16．已知椭圆C 1：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）与抛物线C 2：y 2＝2px （p ＞0）交于点A ，B ，直线AB 与x 轴的交点既是C 1的右焦点，也是C 2的焦点，点A ，B 关于原点的对称点分别为A '，B '，点P 是C 1上与A ，A '，B ，B '均不重合的点，记直线P A ，P A '的斜率分别为k ，k '，则kk '−4kk′= 4 ． 解：如图，令椭圆C 1半焦距为c ，由C 1的右焦点，也是C 2的焦点，得c =p2，又直线AB 过点F(p2，0)，由椭圆、抛物线的对称性知，点A ，B 关于x 轴对称，即直线AB ⊥x 轴，由{x =p 2y 2=2px ，得|y |＝p ，由{x =cx 2a 2+y 2b 2=1，得|y|=b2a ， 于是b 2a=2c ，即b 2＝2ac ，则a 2﹣c 2＝2ac ，解得ca=√2−1，不妨令A （c ，2c ），则A ′（﹣c ，﹣2c ），设P （x 0，y 0），x 0≠±c ，显然y 02=b 2−b 2a2x 02=2ac −2c a x 02，所以kk ′=y 0−2c x 0−c ⋅y 0+2c x 0+c =y 02−4c 2x 02−c 2=2ac−2c a x 02−4c 2x 02−c 2 =−2c a ⋅x 02−(a 2−2ac)x 02−c 2=−2c a ⋅x 02−c 2x 02−c2=−2c a =−2(√2−1)， 所以kk ′−4kk′=−2(√2−1)4−2(2−1)=4． 故答案为：4．四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）某沙漠地区每年有2个月属于雨季，10个月属于旱季．经过初步治理该沙漠地区某年旱季的月降水量（单位：mm ）依次达到12.1，12.0，10.4，10.5，12.5，14.1，14.3，14.3，16.7，18.1．记这组数据的第40百分位数与平均数分别为m ，x ． （1）求m ，x ；（2）已知雨季的月降水量均大于旱季的月降水量，该沙漠地区人工种植了甲、乙两种植物，当月降水量低于12.0mm 时甲种植物需要浇水，当月降水量低于15.0mm 时乙种植物需要浇水，求这一年的某月甲、乙两种植物都需要浇水的概率及二者中有植物需要浇水的概率．解：（1）由数据从小到大为10.4，10.5，12.0，12.1，12.5，14.1，14.3，14.3，16.7，18.1， 又10×40%＝4，则第40百分位数为m =12.1+12.52=12.3mm ， 平均数x =10.4+10.5+12.0+12.1+12.5+14.1+14.3+14.3+16.7+18.110=13.5mm ． （2）由数据及题设知：12个月中降水量低于12.0mm 有2个月，降水量低于15.0mm 有8个月， 所以甲、乙两种植物都需要浇水的概率为16，二者中有植物需要浇水的概率为23．18．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点F （﹣2，0），直线l ：x ＝3，动点P （x ，y ）（x ≤0）到l 的距离等于|PF |+1．设动点P 的轨迹为曲线C ． （1）求C 的方程；（2）若直线x ＝my ﹣4与曲线C 交于A ，B 两点，证明：OA →⋅OB →为定值．解：（1）由点F （﹣2，0），直线l ：x ＝3，动点P （x ，y ）（x ≤0）到l 的距离等于|PF |+1， 可得|x ﹣3|＝1+√(x +2)2+y 2，即为（2﹣x ）2＝x 2+y 2+4x +4， 化为y 2＝﹣8x ；（2）证明：联立{x =my −4y 2=−8x ，可得y 2+8my ﹣32＝0，设A （−y 128，y 1），B （−y 228，y 2），则y 1y 2＝﹣32， OA →•OB →=164（y 1y 2）2+y 1y 2＝16﹣32＝﹣16，即为定值．19．（12分）如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧面ABB 1A 1与侧面ACC 1A 1都是菱形，AA 1＝AB 1＝2，∠BAC ＝∠AA 1C 1＝120°．记AB →=a →，AA 1→=b →，AC →=c →． （1）用a →，b →，c →表示AB 1→，BC 1→，并证明BC 1⊥AB 1； （2）若D 为棱A 1C 1的中点，求线段BD 的长．解：（1）根据题意可得： AB 1→=AB →+AA 1→=a →+b →，BC 1→=BA →+AC →+CC 1→=−AB →+AC →+AA 1→=−a →+b →+c →，证明：∵BC 1→⋅AB 1→=(−a →+b →+c →)⋅(a →+b →)=−a →2−a →⋅b →+a →⋅b →+b →2+a →⋅c →+b →⋅c →＝﹣4+4+2×2×cos120°+2×2×cos60°＝0， ∴BC 1⊥AB 1；（2）∵D 为棱A 1C 1的中点，∴根据题意可得： BD →=BA →+AA 1→+A 1D →=−a →+b →+12c →， ∴BD →2=a →2+b →2+14c →2−2a →⋅b →−a →⋅c →+b →⋅c →＝4+4+1﹣2×2×2×cos120°﹣2×2×cos120°+2×2×cos60° ＝17， ∴|BD →|=√17．20．（12分）在△ABC 中，点D 是BC 边上一点，BD ＝2AD ，AD ＝2DC ． （1）求证：5AB 2+20AC 2＝8BC 2；（2）若∠BAC 是锐角，∠BAD ＝∠CAD 且AB +AC ＝5，△ABC 的面积为4825，求sin B ．解：（1）由题设，令BD ＝4DC ＝4x ，则AD ＝2x ，BC ＝5x ，△ADB 中cos ∠ADB =AD 2+BD 2−AB 22AD⋅BD ，△ADC 中cos ∠ADC =AD 2+DC 2−AC 22AD⋅DC，又∠ADB +∠ADC =π，故cos ∠ADB +cos ∠ADC =0， 所以4x 2+16x 2−AB 22⋅2x⋅4x+4x 2+x 2−AC 22⋅2x⋅x=0，即AB 2+4AC 2＝40x 2，则5AB 2+20AC 2＝200x 2＝8BC 2，得证． （2）设∠BAD =∠CAD =θ，在△ABD 中BD sinθ=AB sin∠ADB，在△ACD 中CDsinθ=AC sin∠ADC，而∠ADB +∠ADC =π，故sin ∠ADB =sin ∠ADC ，则AB AC=BD CD=4，又AB +AC ＝5，故AB ＝4，AC ＝1，又12AB ⋅ACsin2θ=4825，所以sin2θ=2425，由∠BAC =2θ为锐角，则cos2θ=1−2sin 2θ=725⇒sinθ=35，由BD sinθ=AD sinB⇒4x sinθ=2x sinB⇒sinB =sinθ2=310．21．（12分）如图，在四棱台ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，四边形ABCD 是边长为4的正方形，AA 1＝5，A 1B 1＝3，AA 1⊥平面ABCD ，E 为CC 1的中点． （1）求直线AC 1与平面B 1CD 1所成角的正弦值；（2）若平面α经过BE 且与AC 1平行，求点B 1到平面α的距离．解：（1）根据题意，可建系如图，则A （0，0，0），B （4，0，0），C （4，4，0），B 1（3，0，5），D 1（0，3，5），C 1（3，3，5），E （72，72，52），∴AC 1→=(3，3，5)，B 1C →=(1，4，−5)，CD 1→=(−4，−1，5)，BE →=(−12，72，52)， 设平面面B 1CD 1所的法向量为m →=(x ，y ，z)，则{m →⋅B 1C →=x +4y −5z =0m →⋅CD 1→=−4x −y +5z =0，取m →=(1，1，1)， ∴直线AC 1与平面B 1CD 1所成角的正弦值为：|cos ＜AC 1→，m →＞|=|AC 1→⋅m →||AC 1→||m →|=11√9+9+25×3=11√129129；（2）∵平面α经过BE 且与AC 1平行，又根据（1）可知AC 1→=(3，3，5)，BE →=(−12，72，52)，BB 1→=(−1，0，5)，设平面α的法向量为n →=(a ，b ，c)，则{n →⋅BE →=−12a +72b +52c =0n →⋅AC 1→=3a +3b +5c =0，取n →=(1，1，−65)， ∴点B 1到平面α的距离为：|BB 1→||cos ＜BB 1→，n →＞|=|BB 1→⋅n →||n →|=7√1+1+3625=35√8686． 22．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）经过A 1(√2，0)，A 2(√2，1)，A 3(√2，−1)，A 4(0，√2)中的3个点． （1）求C 的方程．（2）若直线x ＝ty +√2(t ≠0)与C 交于点M ，N ，点M 关于x 轴的对称点为M '，点D 是△MNM '的外接圆圆心，判断在x 轴上是否存在定点P ，使得|DP||MN|为定值．若存在，求出点P 的坐标及|DP||MN|的值；若不存在，请说明理由．解：（1）因为A 2(√2，1)，A 3(√2，−1)关于x 轴对称， 所以这2个点在椭圆上，此时2a 2+1b 2=1，①当A 1(√2，0)在椭圆上时，2a 2+0b 2=1，②由①②知，方程无解； 当A 4(0，√2)在椭圆上时，0a 2+1b 2=1，③联立①③，解得a 2＝4，b 2＝2， 因为a ＞b ＞0，所以a 2＝4，b 2＝2， 则椭圆C 的方程为x 24+y 22=1；（2）不妨设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），可得M '（x 1，﹣y 1）， 联立{x =ty +√2x 24+y 22=1，消去x 并整理得(t 2+2)y 2+2√2ty −2=0，由韦达定理得y 1+y 2=−2√2t t 2+2，y 1y 2=−2t 2+2， 所以|MN |=√1+t 2|y 1−y 2|=√1+t 2⋅√(y 1+y 2)2−4y 1y 2 =√1+t 2⋅√(−2√2t t 2+2)2−4×(−2t 2+2)=4t 2+4t 2+2，由外接圆的定义知，点D 为线段MM '，MN 垂直平分线的交点， 因为线段MM '的垂直平分线为x 轴， 所以线段MN 垂直平分线为y −y 1+y 22=−t(x −x 1+x 22)，令y ＝0，解得x D =y 1+y 22t =x 1+x 22=(t 2+1)(y 1+y 2)+2√2t2t=(t 2+1)(−2√2t t 2+2)+2√2t2t=√2t 2+2，不妨设P （x 0，0）， 此时|DP||MN|=|x 0−√2t 2+2|4t 2+4t 2+2=|x 0t 2+2x 0−√2|4t 2+4，所以当x 0=2x 0−√2， 即x 0=√2时，|DP||MN|为定值，定值为√24， 故当在x 轴上存在定点P （√2，0），使得|DP||MN|为定值，定值为√24．。
【市级检测】2017-2018学年河南省南阳市高三(上)期末数学试卷(理科)
2017-2018学年河南省南阳市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知：如图，集合U为全集，则图中阴影部分表示的集合是（）A．∁U（A∩B）∩C B．∁U（B∩C）∩A C．A∩∁U（B∪C）D．∁U（A∪B）∩C 2．已知1+i是关于x的方程ax2+bx+2=0（a，b∈R）的一个根，则a+b=（）A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．33．已知双曲线C的一条渐近线的方程是：y=2x，且该双曲线C经过点，则双曲线C的方程是（）A．B．C．D．4．已知：f（x）=asinx+bcosx，，若函数f（x）和g（x）有完全相同的对称轴，则不等式g（x）＞2的解集是（）A．B．C．D．5．已知各项均为正数的等比数列{a n}，a3•a5=2，若f（x）=x（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a7），则f'（0）=（）A．B．C．128 D．﹣1286．已知：，则目标函数z=2x﹣3y（）A．z max=﹣7，z min=﹣9 B．，z min=﹣7C．z max=﹣7，z无最小值D．，z无最小值7．设f（x）=e1+sinx+e1﹣sinx，x1、，且f（x1）＞f（x2），则下列结论必成立的是（）A．x1＞x2B．x1+x2＞0 C．x1＜x2D．＞8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的外接球的表面积S=（）A．10πB．C．D．12π9．执行如图的程序框图，若输出S的值是2，则a的值可以为（）A．2014 B．2015 C．2016 D．201710．我们把顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形．其作法如下：①作一个正方形ABCD；②以AD的中点E为圆心，以EC长为半径作圆，交AD延长线于F；③以D为圆心，以DF长为半径作⊙D；④以A为圆心，以AD长为半径作⊙A交⊙D于G，则△ADG为黄金三角形．根据上述作法，可以求出cos36°=（）A．B．C．D．11．已知抛物线E：y2=2px（p＞0），过其焦点F的直线l交抛物线E于A、B=﹣tan∠AOB，则p的值是（）两点（点A在第一象限），若S△OABA．2 B．3 C．4 D．512．已知：m＞0，若方程有唯一的实数解，则m=（）A．B．C．D．1二、填空题：13． 1.028≈（小数点后保留三位小数）．14．已知向量=（1，2），=（﹣2，﹣4），||=，若（+）=，则与的夹角为．15．已知：，则cos2α+cos2β的取值范围是．16．在四边形ABCD中，∠ABC=90°，，△ACD为等边三角形，则△ABC的外接圆与△ACD的内切圆的公共弦长=．三、解答题：17．（12.00分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a n=2S n+1（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=（2n﹣1）•a n，求数列{b n}的前n项和T n．18．（12.00分）如图1，在平行四边形ABB1A1中，∠ABB1=60°，AB=4，AA1=2，C、C1分别为AB、A1B1的中点，现把平行四边形ABB1A11沿CC1折起如图2所示，连接B1C、B1A、B1A1．（1）求证：AB1⊥CC1；（2）若，求二面角C﹣AB 1﹣A1的正弦值．19．（12.00分）为评估设备M生产某种零件的性能，从设备M生产零件的流水线上随机抽取100件零件最为样本，测量其直径后，整理得到下表：经计算，样本的平均值μ=65，标准差=2.2，以频率值作为概率的估计值．（1）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X，并根据以下不等式进行评判（p表示相应事件的频率）：①p（μ﹣σ＜X≤μ+σ）≥0.6826．②P（μ﹣σ＜X≤μ+2σ）≥0.9544③P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）≥0.9974．评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙，若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁．试判断设备M的性能等级．（2）将直径小于等于μ﹣2σ或直径大于μ+2σ的零件认为是次品（i）从设备M的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品个数Y的数学期望E（Y）；（ii）从样本中随意抽取2件零件，计算其中次品个数Z的数学期望E（Z）．20．（12.00分）平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的左焦点为F，离心率为，过点F且垂直于长轴的弦长为．（I）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设点A，B分别是椭圆的左、右顶点，若过点P（﹣2，0）的直线与椭圆相交于不同两点M，N．（i）求证：∠AFM=∠BFN；（ii）求△MNF面积的最大值．21．（12.00分）已知函数，且函数f（x）的图象在点（1，﹣e）处的切线与直线x+（2e+1）y﹣1=0垂直．（1）求a，b；（2）求证：当x∈（0，1）时，f（x）＜﹣2．[选修4-4：极坐标与参数方程选讲]（本小题满分10分）22．（10.00分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位），且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=6sinθ．（1）求圆C的直角坐标方程；（2）若点P（1，2），设圆C与直线l交于点A，B，求|PA|+|PB|的最小值．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．已知a＞0，b＞0，函数f（x）=|x﹣a|+|x+b|的最小值为2．（1）求a+b的值；（2）证明：a2+a＞2与b2+b＞2不可能同时成立．2017-2018学年河南省南阳市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知：如图，集合U为全集，则图中阴影部分表示的集合是（）A．∁U（A∩B）∩C B．∁U（B∩C）∩A C．A∩∁U（B∪C）D．∁U（A∪B）∩C 【分析】阴影部分所表示的为在集合B中但不在集合A中的元素构成的部分，即在B中且在A的补集中．【解答】解：阴影部分所表示的为在集合A中但不在集合B，C中的元素构成的，故阴影部分所表示的集合可表示为A∩∁U（B∪C），故选：C．【点评】本题考查利用集合运算表示韦恩图中的集合、考查韦恩图是研究集合关系的常用工具．2．已知1+i是关于x的方程ax2+bx+2=0（a，b∈R）的一个根，则a+b=（）A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．3【分析】利用实系数方程的虚根成对定理，列出方程组，求出a，b即可．【解答】解：1+i是关于x的方程ax2+bx+2=0（a，b∈R）的一个根，一元二次方程虚根成对（互为共轭复数）．．得：a=1，b=﹣2，a+b=﹣1．故选：A．【点评】本题考查实系数方程成对定理的应用，考查计算能力．3．已知双曲线C的一条渐近线的方程是：y=2x，且该双曲线C经过点，则双曲线C的方程是（）A．B．C．D．【分析】设出双曲线方程代入点的坐标，然后求解双曲线方程即可．【解答】解：由题可设双曲线的方程为：y2﹣4x2=λ，将点代入，可得λ=﹣4，整理即可得双曲线的方程为．故选：D．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用以及双曲线方程的求法，考查计算能力．4．已知：f（x）=asinx+bcosx，，若函数f（x）和g（x）有完全相同的对称轴，则不等式g（x）＞2的解集是（）A．B．C．D．【分析】若函数f（x）和g（x）有完全相同的对称轴，则这两个函数的周期是一样的，即ω=1．通过解不等式g（x）＞2求得x的取值范围．【解答】解：由题意知，函数f（x）和g（x）的周期是一样的，故ω=1，不等式g（x）＞2，即，解之得：．故选：B．【点评】考查了正弦函数的对称性．根据函数的对称性求、求出ω是解决本题的关键．5．已知各项均为正数的等比数列{a n}，a3•a5=2，若f（x）=x（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a7），则f'（0）=（）A．B．C．128 D．﹣128【分析】令f（x）=x•g（x），其中g（x）=（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a7），利用函数的导数求解即可．【解答】解：令f（x）=x•g（x），其中g（x）=（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a7），则f'（x）=g（x）+x•g'（x），故，各项均为正数的等比数列{a n}，a3•a5=2，，故．故选：B．【点评】本题考查函数的导数的应用，数列的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．6．已知：，则目标函数z=2x﹣3y（）A．z max=﹣7，z min=﹣9 B．，z min=﹣7C．z max=﹣7，z无最小值D．，z无最小值【分析】画出可行域，利用目标函数的几何意义，求解函数的最值即可．【解答】解：画出的可行域，如图：A（0，3），，C（4，5），目标函数z=2x﹣3y经过C时，目标函数取得最大值，z max=﹣7，没有最小值．故选：C．【点评】本题考查线性规划的简单应用，目标函数的最值考查数形结合的应用，是基础题．7．设f（x）=e1+sinx+e1﹣sinx，x1、，且f（x1）＞f（x2），则下列结论必成立的是（）A．x1＞x2B．x1+x2＞0 C．x1＜x2D．＞【分析】根据条件判断函数是偶函数，结合条件判断函数的单调性，进行判断即可．【解答】解：f（x）=f（﹣x），故f（x）是偶函数，而当时，f'（x）=cosx•e1+sinx﹣cosx•e1﹣sinx=cosx•（e1+sinx﹣e1﹣sinx）＞0，即f（x）在是单调增加的．由f（x1）＞f（x2），可得f（|x1|）＞f（|x2|），即有|x1|＞|x2|，即，故选：D．【点评】本题主要考查函数单调性的应用，根据条件判断函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键．8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的外接球的表面积S=（）A．10πB．C．D．12π【分析】判断三视图复原的几何体的形状，通过已知的三视图的数据，求出该多面体的外接球的表面积．【解答】解析：该多面体如图示，外接球的半径为AG，HA为△ABC外接圆的半径，HG=1，，故，∴该多面体的外接球的表面积．故选：B．【点评】本题考查多面体的外接球的表面积的求法，考查空间几何体三视图、多面体的外接球等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．9．执行如图的程序框图，若输出S的值是2，则a的值可以为（）A．2014 B．2015 C．2016 D．2017【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，根据输出的S值即可得出该程序中a的值．【解答】解：模拟程序的运行，可得：S=2，k=0；满足条件k＜a，执行循环体，可得：S=﹣1，k=1；满足条件k＜a，执行循环体，可得：，k=2；满足条件k＜a，执行循环体，可得：S=2，k=3；…，∴S的值是以3为周期的函数，当k的值能被3整除时，不满足条件，输出S的值是2，a的值可以是2016．故选：C．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，从而得出正确的结论，是基础题．10．我们把顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形．其作法如下：①作一个正方形ABCD；②以AD的中点E为圆心，以EC长为半径作圆，交AD延长线于F；③以D为圆心，以DF长为半径作⊙D；④以A为圆心，以AD长为半径作⊙A交⊙D于G，则△ADG为黄金三角形．根据上述作法，可以求出cos36°=（）A．B．C．D．【分析】根据做法，图形如图所示，△ADG即为黄金三角形，不妨假设AD=AG=2，则，由余弦定理即可求出【解答】解：根据做法，图形如图所示，△ADG即为黄金三角形，不妨假设AD=AG=2，则，由余弦定理可得cos36°==故选：B．【点评】本题考查了黄金三角形的定义作法和余弦定理，属于中档题11．已知抛物线E：y2=2px（p＞0），过其焦点F的直线l交抛物线E于A、B=﹣tan∠AOB，则p的值是（）两点（点A在第一象限），若S△OABA．2 B．3 C．4 D．5【分析】利用三角形的面积推出，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1x2+y1y2=﹣3，通过，代入求解即可．【解答】解：，即，不妨设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1x2+y1y2=﹣3，即有，又因为，故：p=2．故选：A．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，直线与抛物线的位置关系的应用，是中档题．12．已知：m＞0，若方程有唯一的实数解，则m=（）A．B．C．D．1【分析】方法一：验证，当时，f（x）=lnx与g（x）=x2﹣x在点（1，0）处有共同的切线，即可；方法二：将方程整理得，设，则由题意，直线是函数f（x）的一条切线，不妨设切点为（x0，y0），列出方程组求解即可．【解答】解：方法一：验证，当时，f（x）=lnx与g（x）=x2﹣x在点（1，0）处有共同的切线y=x﹣1．方法二：将方程整理得，设，则由题意，直线是函数f（x）的一条切线，不妨设切点为（x0，y0），则有：，解之得：x0=1，y0=1，．故选：B．【点评】本题考查函数与方程的应用，求出方程的平方，直线与抛物线的位置关系的应用．二、填空题：13． 1.028≈ 1.172（小数点后保留三位小数）．【分析】根据1.028=（1+0.02）8，利用二项式定理展开，可得它的近似值．【解答】解：1.028=（1+0.02）8=+++×0.023+…+≈=+++×0.023=1+8×0.02+28×0.0004+56×0.000008=1.172，故答案为：1.172【点评】本题主要考查二项式定理的应用，属于基础题．14．已知向量=（1，2），=（﹣2，﹣4），||=，若（+）=，则与的夹角为．【分析】设=（x，y），根据题中的条件求出x+2y=﹣，即=﹣，再利用两个向量的夹角公式求出cosθ的值，由此求得θ的值．【解答】解：设=（x，y），由向量=（1，2），=（﹣2，﹣4），||=，且（+）=，可得﹣x﹣2y=，即有x+2y=﹣，即=﹣，设与的夹角为等于θ，则cosθ===﹣．再由0≤θ≤π，可得θ=，故答案为：．【点评】本题主要考查两个向量的夹角公式的应用，求出=﹣是解题的关键，属于中档题15．已知：，则cos2α+cos2β的取值范围是．【分析】由已知利用二倍角公式化简可求cos2α+cos2β=3（cosβ﹣sinα），由，得sinα的范围，从而可求，进而得解．【解答】解：∵，∴cos2α+cos2β=1﹣2sin2α+2cos2β﹣1=2（sinα+cosβ）（cosβ﹣sinα）=3（cosβ﹣sinα），∵由，得，，易得：，∴，∴．故答案为：．【点评】本题主要考查了二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，考查了正弦函数的性质及其应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．16．在四边形ABCD中，∠ABC=90°，，△ACD为等边三角形，则△ABC的外接圆与△ACD的内切圆的公共弦长=1．【分析】以AC为x轴，AC的中点为坐标原点建立坐标系，分别求出△ABC的外接圆与△ACD的内切圆的方程，联立求得交点，利用两点间的距离公式求得两圆公共弦长．【解答】解：以AC为x轴，AC的中点为坐标原点建立坐标系，则A（﹣1，0），C（1，0），B（0，1），D（0，﹣），∴△ABC的外接圆的方程x2+y2=1，①△ACD的内切圆方程为，即，②联立①②可得两圆交点坐标为（，﹣），（，﹣），∴两圆的公共弦长为．故答案为：1．【点评】本题考查圆的方程的求法，考查圆与圆位置关系的应用，是中档题．三、解答题：17．（12.00分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a n=2S n+1（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=（2n﹣1）•a n，求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（1）当n=1时计算可知a1=﹣1，当n≥2时将a n=2S n+1与a n﹣1=2S n﹣1+1作差可知a n=﹣a n﹣1，进而可知数列{a n}是首项为﹣1，公比为﹣1的等比数列；（2）通过（1）可知，分n为奇偶两种情况讨论即可．【解答】解：（1）当n=1时，a1=2S1+1=2a1+1，解得a1=﹣1．当n≥2时，有：a n=2S n+1，a n﹣1=2S n﹣1+1，两式相减、化简得a n=﹣a n﹣1，所以数列{a n}是首项为﹣1，公比为﹣1的等比数列，从而．（2）由（1）得，当n为偶数时，b n+b n=2，；﹣1当n为奇数时，n+1为偶数，T n=T n+1﹣b n+1=（n+1）﹣（2n+1）=﹣n．所以数列{b n}的前n项和．【点评】本题考查数列的通项公式和前n项和公式，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．18．（12.00分）如图1，在平行四边形ABB1A1中，∠ABB1=60°，AB=4，AA1=2，C、C1分别为AB、A1B1的中点，现把平行四边形ABB1A11沿CC1折起如图2所示，连接B1C、B1A、B1A1．（1）求证：AB1⊥CC1；（2）若，求二面角C﹣AB 1﹣A1的正弦值．【分析】（1）取CC1的中点O，连接OA，OB1，AC1，说明AO⊥CC1，OB1⊥CC1，推出CC1⊥平面OAB1，然后证明AB1⊥CC1；（2）证明AO⊥OB1，以O为原点，以OC，OB1，OA为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出平面AB1C的法向量，平面A1B1A的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角C﹣AB1﹣A1的正弦值即可．【解答】证明：（1）取CC1的中点O，连接OA，OB1，AC1，∵在平行四边形ABB1A1中，∠ABB1=60°，AB=4，AA1=2，C、C1分别为AB、A1B1的中点，∴△ACC1，△BCC1为正三角形，则AO⊥CC1，OB1⊥CC1，又∵AO∩OB1=O，∴CC1⊥平面OAB1，∵AB1⊂平面OAB1∴AB1⊥CC1；…4分（2）∵∠ABB1=60°，AB=4，AA1=2，C、C1分别为AB、A1B1的中点，∴AC=2，，∵，则，则三角形AOB1为直角三角形，则AO⊥OB1，…6分以O为原点，以OC，OB1，OA为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则C（1，0，0），B1（0，，0），C1（﹣1，0，0），A（0，0，），则则，=（0，，），=（1，0，），设平面AB 1C的法向量为，则，令z=1，则y=1，，则，设平面A 1B1A的法向量为，则，令z=1，则x=0，y=1，即，…8分则…10分∴二面角C﹣AB1﹣A1的正弦值是．…12分．【点评】本题考查二面角的平面角的求法，直线与平面垂直的判定定理以及性质定理的应用，考查计算能力与空间想象能力．19．（12.00分）为评估设备M生产某种零件的性能，从设备M生产零件的流水线上随机抽取100件零件最为样本，测量其直径后，整理得到下表：经计算，样本的平均值μ=65，标准差=2.2，以频率值作为概率的估计值．（1）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X，并根据以下不等式进行评判（p表示相应事件的频率）：①p（μ﹣σ＜X≤μ+σ）≥0.6826．②P（μ﹣σ＜X≤μ+2σ）≥0.9544③P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）≥0.9974．评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙，若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁．试判断设备M的性能等级．（2）将直径小于等于μ﹣2σ或直径大于μ+2σ的零件认为是次品（i）从设备M的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品个数Y的数学期望E（Y）；（ii）从样本中随意抽取2件零件，计算其中次品个数Z的数学期望E（Z）．【分析】（Ⅰ）利用条件，可得设备M的数据仅满足一个不等式，即可得出结论；（Ⅱ）易知样本中次品共6件，可估计设备M生产零件的次品率为0.06．（ⅰ）由题意可知Y～B（2，），于是E（Y）=2×=；（ⅱ）确定Z的取值，求出相应的概率，即可求出其中次品个数Z的数学期望E （Z）．【解答】解：（Ⅰ）P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=P（62.8＜X≤67.2）=0.8≥0.6826，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=P（60.6＜X≤69.4）=0.94≥0.9544，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）=P （58.4＜X≤71.6）=0.98≥0.9974，因为设备M的数据仅满足一个不等式，故其性能等级为丙；…（4分）（Ⅱ）易知样本中次品共6件，可估计设备M生产零件的次品率为0.06．（ⅰ）由题意可知Y～B（2，），于是E（Y）=2×=；…（8分）（ⅱ）由题意可知Z的分布列为故E（Z）=0×+1×+2×=．…（12分）【点评】本题考查概率的计算，考查正态分布曲线的特点，考查数学期望，考查学生的计算能力，属于中档题．20．（12.00分）平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的左焦点为F，离心率为，过点F且垂直于长轴的弦长为．（I）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设点A，B分别是椭圆的左、右顶点，若过点P（﹣2，0）的直线与椭圆相交于不同两点M，N．（i）求证：∠AFM=∠BFN；（ii）求△MNF面积的最大值．【分析】（1）运用椭圆的离心率公式和过焦点垂直于对称轴的弦长，结合a，b，c的关系解得a，b，可得椭圆的方程；（II）方法一、（i）讨论直线AB的斜率为0和不为0，设A（x1，y1），B（x2，y2），AB方程为x=my﹣2，代入椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，运用直线的斜率公式求斜率之和，即可得证；（ii）求得△MNF的面积，化简整理，运用基本不等式可得最大值．方法二、（i）由题知，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为：y=k（x+2），设A（x1，y1），B（x2，y2），联立椭圆方程，消去y，可得x的方程，运用韦达定理和判别式大于0，再由直线的斜率公式，求得即可得证；（ii）求得弦长|MN|，点F到直线的距离d，运用三角形的面积公式，化简整理，运用换元法和基本不等式，即可得到所求最大值．【解答】解：（1）由题意可得，令x=﹣c，可得y=±b=±，即有，又a2﹣b2=c2，所以．所以椭圆的标准方程为；（II）方法一、（i）当AB的斜率为0时，显然∠AFM=∠BFN=0，满足题意；当AB的斜率不为0时，设A（x1，y1），B（x2，y2），AB方程为x=my﹣2，代入椭圆方程，整理得（m2+2）y2﹣4my+2=0，则△=16m2﹣8（m2+2）=8m2﹣16＞0，所以m2＞2．，可得==．则k MF+k NF=0，即∠AFM=∠BFN；（ii）当且仅当，即m2=6．（此时适合△＞0的条件）取得等号．则三角形MNF面积的最大值是．方法二（i）由题知，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为：y=k（x+2），设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，整理得（1+2k2）x2+8k2x+8k2﹣2=0，则△=64k4﹣4（1+2k2）（8k2﹣2）=8﹣16k2＞0，所以．，可得=∴k MF+k NF=0，即∠AFM=∠BFN；（ii），点F（﹣1，0）到直线MN的距离为，即有==．令t=1+2k2，则t∈[1，2），u（t）=，当且仅当，即（此时适合△＞0的条件）时，，即，则三角形MNF面积的最大值是．【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式和过焦点垂直于对称轴的弦长，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和判别式大于0，以及直线的斜率公式，考查基本不等式的运用：求最值，属于中档题．21．（12.00分）已知函数，且函数f（x）的图象在点（1，﹣e）处的切线与直线x+（2e+1）y﹣1=0垂直．（1）求a，b；（2）求证：当x∈（0，1）时，f（x）＜﹣2．【分析】（1）由f（1）=﹣e，得a﹣b=﹣1，由f'（1）=2e+1，得到a﹣4b=2，由此能求出a，b．（2）f（x）＜﹣2，即证，令g（x）=（2﹣x3）e x，，由此利用导数性质能证明f（x）＜﹣2．【解答】解：（1）因为f（1）=﹣e，故（a﹣b）e=﹣e，故a﹣b=﹣1①；依题意，f'（1）=2e+1；又，故f'（1）=e（4a﹣b）+1=2e+1，故4a﹣b=2②，联立①②解得a=1，b=2；（2）由（1）得，要证f（x）＜﹣2，即证；令g（x）=（2﹣x3）e x，，g'（x）=﹣e x（x3+3x2﹣2）=﹣e x（x+1）（x2+2x﹣2）令g'（x）=0，因为x∈（0，1），e x＞0，x+1＞0，故，所以g（x）在上单调递增，在单调递减．而g（0）=2，g（1）=e，当时，g（x）＞g（0）=2当时，g（x）＞g（1）=e故当x∈（0，1）时，g（x）＞2；而当x∈（0，1）时，，故函数所以，当x∈（0，1）时，ϕ（x）＜g（x），即f（x）＜﹣2．【点评】本题考查导数的应用，考查导数的几何意义，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．[选修4-4：极坐标与参数方程选讲]（本小题满分10分）22．（10.00分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位），且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=6sinθ．（1）求圆C的直角坐标方程；（2）若点P（1，2），设圆C与直线l交于点A，B，求|PA|+|PB|的最小值．【分析】（I）利用x=ρcosθ，y=ρsinθ可将圆C极坐标方程化为直角坐标方程；（II）先根据（I）得出圆C的普通方程，再根据直线与交与交于A，B两点，可以把直线与曲线联立方程，用根与系数关系结合直线参数方程的几何意义，表示出|PA|+|PB|，最后根据三角函数的性质，即可得到求解最小值．【解答】解：（Ⅰ）由ρ=6sinθ得ρ2=6ρsinθ，化为直角坐标方程为x2+y2=6y，即x2+（y﹣3）2=9．（Ⅱ）将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得t2+2（cosα﹣s inα）t﹣7=0．由△=（2cosα﹣2sinα）2+4×7＞0，故可设t1，t2是上述方程的两根，所以，又直线l过点（1，2），故结合t的几何意义得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1﹣t2|====2．所以|PA|+|PB|的最小值为2．【点评】此题主要考查参数方程的优越性，及直线与曲线相交的问题，在此类问题中一般可用联立方程式后用韦达定理求解即可，属于综合性试题有一定的难度．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．已知a＞0，b＞0，函数f（x）=|x﹣a|+|x+b|的最小值为2．（1）求a+b的值；（2）证明：a2+a＞2与b2+b＞2不可能同时成立．【分析】（1）运用绝对值不等式的性质可得f（x）的最小值为a+b，即可得到所求最小值；（2）运用反证法，结合二次不等式的解法，即可得证．【解答】解：（1）∵a＞0，b＞0，∴f（x）=|x﹣a|+|x+b|≥|（x﹣a）﹣（x+b）|=|a+b|=a+b，∴f（x）min=a+b，由题设条件知f（x）min=2，∴a+b=2；证明：（2）∵a+b=2，而，故ab≤1．假设a2+a＞2与b2+b＞2同时成立．即（a+2）（a﹣1）＞0与（b+2）（b﹣1）＞0同时成立，∵a＞0，b＞0，则a＞1，b＞1，∴ab＞1，这与ab≤1矛盾，从而a2+a＞2与b2+b＞2不可能同时成立．【点评】本题考查绝对值不等式的性质以及不等式的证明，考查反证法的运用，以及运算能力和推理能力，属于中档题．。
2023-2024学年河南省天一大联考高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年河南省天一大联考高二（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一是符合题目要求的.1．已知直线x +3y +λ＝0与直线2x +6y +1＝0间的距离为√102，则λ＝（ ） A ．−92或112B ．﹣9C ．﹣9或11D ．6或﹣42．已知双曲线C ：x 2m +y 24=1的一个焦点为(0，√5)，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A ．y =±14xB ．y =±12xC ．y ＝±2xD ．y ＝±4x3．已知M （3，2，3）是空间一点，直线l 过点N （2，1，1）且一个方向向量为u →=(−1，−1，0)，则M 到直线l 的距离为（ ） A ．1B ．√2C ．2D ．34．在空间四边形ABCD 中，F ，E 分别为AB ，CD 的中点，EM →=2MF →，BC →=a →，BD →=b →，BA →=c →，AM →=（ ）A ．−16a →−16b →−13c →B ．−16a →−16b →+23c →C ．16a →+16b →+23c →D ．16a →+16b →−23c →5．已知抛物线C ：x 2＝2ay 的准线为y ＝1，且C 与直线y ＝﹣x +b 相切，则b ＝（ ） A ．2B ．1C ．﹣1D ．﹣26．已知点M （1，﹣2），N （4，4），H 是直线l ：2x ﹣y +1＝0上的动点，则|HM |+|NH |的最小值为（ ） A ．√13B ．3√5C ．√65D ．6√27．已知异面直线m ，n 所成的角为60°，M ，N 在直线m 上，G ，H 在直线n 上，HN ⊥m ，NH ⊥n ，MN ＝1，NH ＝3，GH ＝2，则G ，M 间的距离为（ ） A ．2√2或2√5B ．4C ．2√3D ．2√3或48．过椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的左焦点F （﹣c ，0）（c ＞0）的直线与C 的一个交点为P ，与圆O ：x 2+y 2=14c 2相切于点M ，若FM →=MP →，则C 的离心率为（ ）A ．12B ．√3−1C ．√32D ．1−√32二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知方程x 2m 2−1+y 22m+2=1(m ≠±1)表示曲线C ，则下列结论正确的是（ ）A ．若m ＝3，则曲线C 是圆B ．若曲线C 是椭圆，则m ＞3C ．若曲线C 是双曲线，则m ＜1且m ≠﹣1D ．若m ＜﹣1，则曲线C 是焦点在x 轴上的双曲线10．已知点M （﹣1，2），N （2，3），直线l ：mx +y ﹣m +2＝0与线段MN 有交点，则m 可以为（ ） A ．﹣6B ．﹣2C ．1D ．311．已知点A （1，﹣1），B （1，﹣3），P 是圆C ：x 2+y 2﹣2ax +4ay +5a 2﹣4＝0上一点，AP →⋅BP →=0，则实数a 的可能取值为（ ） A ．1B ．2C ．5−√55D ．5+3√5512．如图，在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱BC ，BB 1的中点，M 为线段A 1D 上的动点，则（ ）A ．存在点M ，使得直线FM ⊥AC 1B ．存在点M ，使得EM ∥平面AA 1B 1BC ．点M 到直线C 1D 1距离的最小值为√2 D ．三棱锥C 1﹣MEF 的体积为√63三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知直线l 过点（2，3）且与以（﹣2，1）为方向向量的直线m 垂直，则直线l 的方程为 ． 14．圆C 的圆心在直线y ＝2x +6上，且C 与x 轴、y 轴均相切，则C 的半径为 ．15．已知MN 是圆柱OO 1下底面圆O 的直径，Q 是下底面圆O 上一点，PM 是圆柱的母线，且PM ＝MQ ＝NQ ＝2，则点M 到平面PNQ 的距离为 ． 16．已知F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）是双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，M 是C 右支上的一点，∠F 1MF 2＝θ，△MF 1F 2的周长为4a +2c ，面积为3√352a 2cosθ，则C 的离心率为 ．四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知圆A 关于直线y ＝x 对称，点M （1，3），N （3，5）在圆A 上． （1）求圆A 的标准方程；（2）若直线l 1，l 2（l 1的倾斜角大于l 2的倾斜角）均与圆A 相切，且l 1，l 2相交于点P （1，0），求l 1，l 2的方程．18．（12分）已知点A （﹣2，0），B （0，﹣1），P （1，0），Q 是圆M ：x 2+y 2﹣4x ﹣6y +8＝0上的动点． （Ⅰ）求△QAB 面积的最小值； （Ⅱ）求线段PQ 的中点N 的轨迹方程．19．（12分）如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ⊥BC ，P ，M ，N 分别为棱BB 1，CC 1，AA 1的中点，BB 1＝4，AB ＝BC ＝3．（1）求证：平面BMN ∥平面P A 1C 1；（2）求直线CA 1与平面BMN 所成角的正弦值．20．（12分）已知F 是抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点，A 是C 上在第一象限的一点，点B 在y 轴上，AB ⊥y 轴，|AB |＝2，|AF |＝3． （1）求C 的方程；（2）过F 作斜率为k 的直线与C 交于M ，N 两点，△MON 的面积为√5（O 为坐标原点），求直线MN 的方程．21．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为菱形，∠BAD =π3，P A ＝PD ＝2，AB =2√3，平面P AD ⊥平面ABCD ． （Ⅰ）求证：AD ⊥PB ；（Ⅱ）求平面PCD 与平面PBC 夹角的余弦值．22．（12分）已知E ，F 分别是椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的左顶点与左焦点，P ，Q 是C 上关于原点O对称的两点，|PF |+|QF |＝4，|EF |＝1． （Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）已知过点（﹣3，0）的直线l 交C 于A ，B 两点，M ，N 是直线x ＝﹣3上关于x 轴对称的两点，证明：直线MA ，BN 的交点在一条定直线上．2023-2024学年河南省天一大联考高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一是符合题目要求的.1．已知直线x +3y +λ＝0与直线2x +6y +1＝0间的距离为√102，则λ＝（ ）A ．−92或112B ．﹣9C ．﹣9或11D ．6或﹣4解：直线x +3y +λ＝0可化为2x +6y +2λ＝0，由题意可得：√22+62=√102，解得λ=−92或λ=112．故选：A ． 2．已知双曲线C ：x 2m +y 24=1的一个焦点为(0，√5)，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A ．y =±14xB ．y =±12xC ．y ＝±2xD ．y ＝±4x解：由题知，该双曲线的焦点在y 轴上，y 24−x 2−m=1，所以a 2＝4，b 2＝﹣m ，c 2=(√5)2=5， 由c 2＝a 2+b 2可得4﹣m ＝5，解得：m ＝﹣1， 所以b 2＝1，即双曲线的方程为y 24−x 2=1，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ． 故选：C ．3．已知M （3，2，3）是空间一点，直线l 过点N （2，1，1）且一个方向向量为u →=(−1，−1，0)，则M 到直线l 的距离为（ ） A ．1B ．√2C ．2D ．3 解：根据题意可得，NM →=(1，1，2)，u→|u →|=√2=(−√22，−√22，0)， 所以M 到直线l 的距离为√|NM →|2−(NM →⋅u →|u →|)2=√6−(−22−22)2=2．故选：C ．4．在空间四边形ABCD 中，F ，E 分别为AB ，CD 的中点，EM →=2MF →，BC →=a →，BD →=b →，BA →=c →，AM →=（ ）A ．−16a →−16b →−13c →B ．−16a →−16b →+23c →C ．16a →+16b →+23c →D ．16a →+16b →−23c →解：∵AM →=AF →+FM →=−12BA →+13FE →=−12BA →+13(BE →−BF →)=−23BA →+13[12(BC →+BD →)]=16BC →+16BD →−23BA →=16a →+16b →−23c →． 故选：D ．5．已知抛物线C ：x 2＝2ay 的准线为y ＝1，且C 与直线y ＝﹣x +b 相切，则b ＝（ ） A ．2B ．1C ．﹣1D ．﹣2解：根据题意可知a ＜0，且−a2=1，所以a ＝﹣2，所以抛物线C 的方程为x 2＝﹣4y ． 将y ＝﹣x +b 代入x 2＝﹣4y ，整理得x 2﹣4x +4b ＝0． 因为C 与直线y ＝﹣x +b 相切，所以Δ＝（﹣4）2﹣4×4b ＝0，解得b ＝1． 故选：B ．6．已知点M （1，﹣2），N （4，4），H 是直线l ：2x ﹣y +1＝0上的动点，则|HM |+|NH |的最小值为（ ） A ．√13B ．3√5C ．√65D ．6√2解：设点M （1，﹣2）关于直线l 的对称点为M '（x 0，y 0）， 则{2×x 0+12−y 0−22+1=0y 0+2x 0−1×2=−1，解得{x 0=−3y 0=0即M ′（﹣3，0），∴(|HM|+|NH|)min =(|HM′|+|NH|)min =|NM′|=√(4+3)2+(4−0)2=√65． 故选：C ．7．已知异面直线m ，n 所成的角为60°，M ，N 在直线m 上，G ，H 在直线n 上，HN ⊥m ，NH ⊥n ，MN＝1，NH ＝3，GH ＝2，则G ，M 间的距离为（ ） A ．2√2或2√5B ．4C ．2√3D ．2√3或4解：以向量NM ，NH ，HG 为基底，由题知：|NM →|＝1，|NH →|＝3，|HG →|＝2，NM →⊥NH →，NH →⊥HG →，＜NM →，HG →＞=π3或2π3， ∴|MG →|2＝（−NM →+NH →+HG →）2＝|NM →|2+|NH →|2+|HG →|﹣2|NM →|•|HG →|•cos ＜NM →，HG →＞，当＜NM →，HG →＞=π3 时，|MG →|2＝12+32+22﹣2×1×2×12=12，∴|MG →|=2√3，当＜NM →，HG →＞=2π3时，|MG →|2＝12+32+22﹣2×1×2×（−12）＝16，∴|MG →|＝4． 故选：D ． 8．过椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左焦点F （﹣c ，0）（c ＞0）的直线与C 的一个交点为P ，与圆O ：x 2+y 2=14c 2相切于点M ，若FM →=MP →，则C 的离心率为（ ）A ．12B ．√3−1C ．√32D ．1−√32解：如图所示，设椭圆的右焦点为F 1，∵直线FP 与圆O 相切，∴FM ⊥OM ，又|OF |＝c ，∴|OM|=12c ，∴∠MFO =π6，又FM →=MP →，∴M 是FP 的中点，又O 是FF 1的中点，∴OM∥PF1，又FM⊥OM，∴PF⊥PF，∴|FF1||PF|+|PF1|=2c2a=√3+1=√3−1，即C的离心率为√3−1．故选：B．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知方程x2m2−1+y22m+2=1(m≠±1)表示曲线C，则下列结论正确的是（）A．若m＝3，则曲线C是圆B．若曲线C是椭圆，则m＞3C．若曲线C是双曲线，则m＜1且m≠﹣1D．若m＜﹣1，则曲线C是焦点在x轴上的双曲线解：对于A，若m＝3，则m2﹣1＝2m+2＝8，方程化为x2+y2＝8，故A正确；对于B，若曲线C是椭圆，则{m2−1＞0，2m+2＞0，m2−1≠2m+2，解得m＞1且m≠3，故B错误；对于C，若曲线C是双曲线，则（m2﹣1）（2m+2）＜0，解得m＜1且m≠﹣1，故C正确；对于D，若m＜﹣1，则m2﹣1＞0且2m+2＜0，所以曲线C是焦点在x轴上的双曲线，故D正确．故选：ACD．10．已知点M（﹣1，2），N（2，3），直线l：mx+y﹣m+2＝0与线段MN有交点，则m可以为（）A．﹣6B．﹣2C．1D．3解：∵l：mx+y﹣m+2＝0，∴y+2＝﹣m（x﹣1），即直线l过定点Q（1，﹣2），斜率为﹣m，k QM=2+2−1−1=−2，k QN=3+22−1=5，由图知，﹣m ≤﹣2 或﹣m ≥5， ∴m ≥2或m ≤﹣5， ∴A ，D 正确，B ，C 错误． 故选：AD ．11．已知点A （1，﹣1），B （1，﹣3），P 是圆C ：x 2+y 2﹣2ax +4ay +5a 2﹣4＝0上一点，AP →⋅BP →=0，则实数a 的可能取值为（ ） A ．1B ．2C ．5−√55D ．5+3√55解：∵AP →⋅BP →=0，∴P 在以AB 为直径的圆上， 由A （1，﹣1），B （1，﹣3），可知其圆心为C 1（1，﹣2），半径r 1=12|AB|=1，又圆C 的圆心为C （a ，﹣2a ），半径r 2＝2， 由题可知，圆C 1与圆C 有公共点， 则r 2﹣r 1≤|CC 1|≤r 1+r 2，即1≤√(a −1)2+(−2a +2)2≤3， 解得5−3√55≤a ≤5−√55或5+√55≤a ≤5+3√55．故选：BCD ．12．如图，在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱BC ，BB 1的中点，M 为线段A 1D 上的动点，则（ ）A ．存在点M ，使得直线FM ⊥AC 1B ．存在点M ，使得EM ∥平面AA 1B 1BC ．点M 到直线C 1D 1距离的最小值为√2 D ．三棱锥C 1﹣MEF 的体积为√63解：在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱BC ，BB 1的中点，M 为线段A 1D 上的动点，以A 为原点，AB ，AD ，AA 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则A （0，0，0），E （2，1，0），F （2，0，1），D （0，2，0），A 1（0，0，2），B 1（0，4，2），C 1（2，2，2），D 1（0，2，2），所以AC 1→=(2，2，2)，DA 1→=(0，−2，2)，EF →=(0，−1，1)， 设DM →=λDA 1→(0≤λ≤1)， 则DM →=(0，−2λ，2λ)， 所以M （0，2﹣2λ，2λ），对于A 选项，FM →=(−2，2−2λ，2λ−1)，所以FM →⋅AC 1→=−2×2+2(2−2λ)+2(2λ−1)=−2≠0， 即不存在点M ，使得直线FM ⊥AC 1， 故A 选项错误；对于B 项，因为AD ⊥面AA 1B 1B ，所以面AA 1B 1B 的一个法向量为n →=(0，1，0)， 又因为EM ∥面AA 1B 1B ，EM →=(−2，1−2λ，2λ)，所以EM →⋅n →=1−2λ=0，解得λ=12，即DM →=12DA 1→，所以存在点M 位于A 1D 的中点时，使得EM ∥面AA 1B 1B ， 故B 选项正确；对于C 选项，因为C 1D 1→=(−2，0，0)， 所以u →=C 1D 1→|C 1D 1→|=(−2，0，0)2=(−1，0，0)，设a →=C 1M →=(−2，−2λ，2λ−2)，则a →⋅u →=2，所以点M 到直线C 1D 1的距离为d =√a →2−(a →⋅u →)2=√4+4λ2+(2λ−2)2−4=√8λ2−8λ+4=√8(λ−12)2+2，（0≤λ≤1），所以当λ=12时，d min =√2，即点M 到直线C 1D 1距离的最小值为√2， 故C 选项正确；对于D 选项，因为A 1D ∥EF ，A 1D ⊄面EFC 1，EF ⊂面EFC 1， 所以A 1D ∥面EFC 1，所以V C 1−MEF =V M−C 1EF =V D−C 1EF ， 易得FC 1=EC 1=√5，EF =√2， 所以S △C 1EF =12EF ×√C 1F 2−(EF 2)2=32，所以V C 1−MEF =V D−C 1EF =13S △C 1EF ×CD =13×32×2=1，即三棱锥C 1﹣MEF 的体积为1， 故D 选项错误． 故选：BC ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知直线l 过点（2，3）且与以（﹣2，1）为方向向量的直线m 垂直，则直线l 的方程为 2x ﹣y ﹣1＝0 ．解：由题意知，直线m 的斜率k m =−12，因为l ⊥m ，所以k l ＝2， 又直线l 过点（2，3），所以直线l 的方程为y ﹣3＝2（x ﹣2），即2x ﹣y ﹣1＝0． 故答案为：2x ﹣y ﹣1＝0．14．圆C 的圆心在直线y ＝2x +6上，且C 与x 轴、y 轴均相切，则C 的半径为 2或6 ． 解：由圆C 的圆心在直线y ＝2x +6上， 设C （a ，2a +6），又圆C 与x 轴、y 轴均相切， 所以r ＝|a |＝|2a +6|， 解得a ＝﹣2或a ＝﹣6， 所以半径r ＝2或r ＝6， 故答案为：2或6．15．已知MN 是圆柱OO 1下底面圆O 的直径，Q 是下底面圆O 上一点，PM 是圆柱的母线，且PM ＝MQ＝NQ ＝2，则点M 到平面PNQ 的距离为 √2 ．解：由题知，MQ ⊥NQ ，以Q 为原点，QM ，QN 所在直线分别为x 轴、y 轴，该圆柱过Q 的母线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则Q （0，0，0），M （2，0，0），N （0，2，0），P （2，0，2）， ∴QN →=(0，2，0)，QP →=(2，0，2)，MP →=(0，0，2)， 设平面PNQ 的法向量为 m →=（x ，y ，z ），则{m →⋅QN →=0m →⋅QP →=0，即{2x +2z =02y =0，令 x ＝1，则 z ＝﹣1，y ＝0，∴m →=（1，0，﹣1），∴点M 到平面PNQ 的距离d =|m →⋅MP →||m →|=√1+0+(−1)=√2．16．已知F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）是双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，M 是C 右支上的一点，∠F 1MF 2＝θ，△MF 1F 2的周长为4a +2c ，面积为3√352a 2cosθ，则C 的离心率为32． 解：因为△MF 1F 2的周长为4a +2c ， 所以|MF 1|+|MF 2|＝4a ，由双曲线定义知|MF 1|﹣|MF 2|＝2a ， 所以|MF 1|＝3a ，|MF 2|＝a ，此时S △F 1MF 2=12|MF 1||MF 2|sin∠F 1MF 2=12×3a ×asinθ=3√352a 2cosθ，所以sinθ=√35cosθ， 因为1＝sin 2θ+cos 2θ＝36cos 2θ， 所以cosθ=16，在△MF 1F 2中，由余弦定理得|F 1F 2|2=4c 2=|MF 1|2+|MF 2|2−2|MF 1||MF 2|cosθ=(3a)2+a 2−2×3a ×a ×16，则C的离心率e=ca=32．故答案为：3 2．四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知圆A关于直线y＝x对称，点M（1，3），N（3，5）在圆A上．（1）求圆A的标准方程；（2）若直线l1，l2（l1的倾斜角大于l2的倾斜角）均与圆A相切，且l1，l2相交于点P（1，0），求l1，l2的方程．解：（1）因为圆心A在直线y＝x上，所以设A（a，a），则设圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，所以{(1−a)2+(3−a)2=r2(3−a)2+(5−a)2=r2，解得{a=3r=2，所以圆A的标准方程为（x﹣3）2+（y﹣3）2＝4．（2）由题意知，l1，l2是过点P（1，0）所作的圆A的两条切线，若切线斜率不存在，其方程为x＝1，与圆A相切，符合条件．若切线斜率存在，设其方程为y＝k（x﹣1），由圆心A（3，3）到切线的距离为√1+k2=2，解得k=512，所以切线方程为y=512(x−1)，即5x﹣12y﹣5＝0，又l1的倾斜角大于l2的倾斜角，所以l1：x＝1，l2：5x﹣12y﹣5＝0．18．（12分）已知点A（﹣2，0），B（0，﹣1），P（1，0），Q是圆M：x2+y2﹣4x﹣6y+8＝0上的动点．（Ⅰ）求△QAB面积的最小值；（Ⅱ）求线段PQ的中点N的轨迹方程．解：（Ⅰ）由题知，|AB|=√(0+2)2+(−1−0)2=√5，直线AB的方程为x+2y+2＝0．圆M的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣3）2＝5，可得圆心为M（2，3），半径为r=√5，圆心M到直线AB的距离为d=√1+2=2√5，设点Q到直线AB的距离为d'，则d'min＝d﹣r=√5，可得△QAB面积的最小值为12|AB|d'min=12×√5×√5=52；（Ⅱ）设N （x ，y ），Q （x 0，y 0）， 由题意知x =x 0+12，y =y 0+02， 可得x 0＝2x ﹣1，y 0＝2y ，将（x 0，y 0）代入x 2+y 2﹣4x ﹣6y +8＝0，即为（2x ﹣1）2+（2y ）2﹣4（2x ﹣1）﹣6（2y ）+8＝0， 整理得x 2+y 2−3x −3y +134=0， 则点N 的轨迹方程为x 2+y 2−3x −3y +134=0，即 (x −32)2+(y −32)2=54． 19．（12分）如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ⊥BC ，P ，M ，N 分别为棱BB 1，CC 1，AA 1的中点，BB 1＝4，AB ＝BC ＝3．（1）求证：平面BMN ∥平面P A 1C 1；（2）求直线CA 1与平面BMN 所成角的正弦值．证明：（1）在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，四边形BB 1C 1C 为矩形， 因为P ，M 分别为BB 1，CC 1的中点，所以BP ∥MC 1，BP ＝MC 1， 所以四边形BPC 1M 是平行四边形，所以PC 1∥BM ，因为C 1⊂平面P A 1C 1，MB ⊄平面P A 1C 1，所以BM ∥平面P A 1C 1， 同理可得BN ∥平面P A 1C 1，因为BM ⊂平面BMN ，BN ⊂平面BMN ，BN ∩BM ＝B ，所以平面BMN ∥平面P A 1C 1； 解：（2）由题知，BB 1⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，故以B 为原点，BA ，BC ，BB 1所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系B ﹣xyz ，如图所示，则B （0，0，0），N （3，0，2），M （0，3，2），C （0，3，0），A 1（3，0，4）， 所以BN →=(3，0，2)，BM →=(0，3，2)，CA 1→=(3，−3，4)． 设平面BMN 的法向量为m →=(x ，y ，z)，则m →⊥BM →，m →⊥BN →， 所以{m →⋅BM →=3y +2z =0，m →⋅BN →=3x +2z =0，解得{y =−23z x =−23z ，令z＝﹣3，得x＝y＝2，所以m→=(2，2，−3)，设直线CA1与平面BMN所成的角为θ，所以sinθ=|m⋅CA1→||m|⋅|CA1→|=√2+2+(−3)×√3+(−3)+4=6√217，所以直线CA1与平面BMN所成角的正弦值为6√2 17．20．（12分）已知F是抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，A是C上在第一象限的一点，点B在y轴上，AB⊥y轴，|AB|＝2，|AF|＝3．（1）求C的方程；（2）过F作斜率为k的直线与C交于M，N两点，△MON的面积为√5（O为坐标原点），求直线MN 的方程．解：（1）因为AB⊥y轴，|AB|＝2，所以x A＝2，此时|AF|=x A+p2=2+p2=3，解得p＝2，则C的方程为y2＝4x；（2）由（1）知F（1，0），不妨设直线MN的方程为y＝k（x﹣1），M（x1，y1），N（x2，y2），联立{y2=4xy=k(x−1)，消去y并整理得k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0，因为k≠0，由韦达定理得x1+x2=2k2+4k2，x1x2＝1，所以|MN|=√1+k2|x1−x2|=√(1+k2)[(x1+x2)2−4x1x2]=√(1+k2)[(2k2+4k2)2−4×1]=4(1+k2)k2，因为点O到直线MN的距离为d=√1+k，所以S △MON=12|MN|⋅d =12×4(1+k 2)k 2×|k|√1+k =2√1+k 2|k|=√5， 解得k ＝±2，故直线MN 的方程为2x ﹣y ﹣2＝0或﹣2x ﹣y +2＝0．21．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为菱形，∠BAD =π3，P A ＝PD ＝2，AB =2√3，平面P AD ⊥平面ABCD ． （Ⅰ）求证：AD ⊥PB ；（Ⅱ）求平面PCD 与平面PBC 夹角的余弦值．解：（Ⅰ）证明：如图，设O 是AD 的中点，连接PO ，OB ，BD ． ∵P A ＝PD ，∴PO ⊥AD ．在菱形ABCD 中，AD ＝AB ，∠BAD =π3∴△ABD 是等边三角形，∴BO ⊥AD ． ∵PO ∩BO ＝0， ∴AD ⊥平面POB ， ∴．AD ⊥PB ．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，OB ＝3，PO ＝1，PO ⊥AD ，OB ⊥AD ．∵平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，PO ⊂平面P AD ， ∴．PO ⊥平面ABCD ，∵OB ⊂平面ABCD ，∴PO ⊥OB ，∴以O 为原点，OB ，OA ，OP 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系O ﹣xyz ，如图，则D(0，−√3，0)，C(3，−2√3，0)，B （3，0，0），P （0，0，1）， ∴DC →=(3，−√3，0)，BC →=(0，−2√3，0)，CP →=(−3，2√3，1)，设平面PCD 的法向量为m →=（x 1，y 1，z 1），则{m →⋅DC →=3x 1−√3y 1=0m →⋅CP →=−3x 1+2√3y 1+z 1=0，令x 1＝1，则y 1=√3，z 1＝﹣3，∴m →=(1，√3，−3)，设平面PBC 的法向量为n →=（x 2，y 2，z 2），则{n →⋅BC →=−2√3y 2=0n →⋅CP →=−3x 2+2√3y 2+z 2=0，令x 2＝1，则y 2＝0，z 2＝3，∴n →=（1，0，3）．|cos ＜m →，n →＞|=|m →⋅n →||m →||n →|=|1×1+√3×0−3×3|√1+(√3)+(−3)×√1+0+3=4√13065，∴平面PCD 与平面PBC 夹角的余弦值为4√13065． 22．（12分）已知E ，F 分别是椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的左顶点与左焦点，P ，Q 是C 上关于原点O对称的两点，|PF |+|QF |＝4，|EF |＝1． （Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）已知过点（﹣3，0）的直线l 交C 于A ，B 两点，M ，N 是直线x ＝﹣3上关于x 轴对称的两点，证明：直线MA ，BN 的交点在一条定直线上．解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c （c ＞0），右焦点是 F '，连接 PF '，QF '； 由题知，四边形PFQF ′为平行四边形，|PF '|＝|QF |， 由椭圆定义知，2a ＝|PF |+|PF ′|＝|PF |+|QF |＝4，∴a ＝2． ∵|EF |＝a ﹣c ＝2﹣c ＝1，∴c ＝1，∴b 2＝a 2﹣c 2＝3， ∴C 的方程为x 24+y 23=1；（Ⅱ）设直线l 的方程为y ＝k （x +3），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2） 将y ＝k （x +3）代入x 24+y 23=1，整理得（3+4k 2）x 2+24k 2x +36k 2﹣12＝0，∴Δ＝（24k 2）2﹣4×（3+4k 2）（36k 2﹣12）＞0 且x 1+x 2=−24k 23+4k 2，x 1x 2=36k 2−123+4k2，设M （﹣3，t ），t ≠0，则N （﹣3，﹣t ）， 则直线MA 的方程为y −t =y 1−tx 1+3(x +3)， 直线NB 的方程为y +t =y 2+tx 2+3(x +3)， 两式相减得2t =(y 2+t x 2+3−y 1−tx 1+3)(x +3)，∵y2+tx2+3−y1−tx1+3=k(x2+3)+tx2+3−k(x1+3)−tx1+3=t(x1+x2+6)x1x2+3(x1+x2)+9=t(−24k23+4k2+6)36k2−123+4k2−3×24k23+4k2+9=6t5，∴2=65(x+3)，∴x=−43，直线MA，BN的交点在定直线x=−43上．。