两角和与差的正切公式
两角和与差的正切公式。
两角和与差的正切公式。
两角和与差的正切公式如下：
1.两角和公式：
tan(A + B) = (tan A + tan B) / (1 - tan A * tan B)
2.两角差公式：
tan(A - B) = (tan A - tan B) / (1 + tan A * tan B)
这些公式可以用来计算两个角的和或差的正切值。
它们在三角函数的计算中很有用，尤其是在解决三角函数方程或证明三角函数恒等式时。
拓展：
这些公式可以通过三角恒等式的推导得到，可以帮助我们更好地理解三角函数之间的关系。
除了正切函数之外，正弦、余弦等三角函数也有类似的两角和与差的公式。
掌握这些公式可以帮助我们更好地理解三角函数的性质和用途。
两角和与差正弦余弦和正切公式
两角和与差正弦余弦和正切公式正弦和差公式：对于任意两个角α和β，有以下正弦和差公式：sin(α±β) = sinαcosβ ± cosαsinβ余弦和差公式：对于任意两个角α和β，有以下余弦和差公式：cos(α±β) = cosαcosβ ∓ sinαsinβ正切和差公式：对于任意两个角α和β（其中α不等于(2n+1)π/2，β不等于(2m+1)π/2），有以下正切和差公式：tan(α±β) = (tanα±tanβ) / (1∓tanαtanβ)正弦、余弦和正切公式在解决三角函数问题中非常重要，可以帮助我们计算任意两个角之间的正弦、余弦和正切值。
首先，考虑正弦和差公式。
它表示两个角的正弦的和或差等于这两个角分别对应的正弦的乘积与余弦的乘积之和或差。
这个公式可以用来计算不同角度的正弦之和或差。
例如，我们可以使用正弦和差公式来计算sin(α+β)：sin(α+β) = sinαcosβ + cosαsinβ其中α和β是两个角。
我们可以通过已知角度的正弦和余弦值来计算这两个角的正弦和。
这对于解决三角函数问题以及计算测量值非常有用。
接下来，是余弦和差公式。
余弦和差公式表明两个角的余弦的和或差等于这两个角对应的余弦乘积与正弦乘积之和或差。
这个公式可以用来计算不同角度的余弦之和或差。
例如，我们可以使用余弦和差公式来计算cos(α+β)：cos(α+β) = cosαcosβ - sinαsinβ这个公式可以将两个角的余弦值转换成其他形式的余弦值。
同样地，这对于解决三角函数问题以及计算测量值非常有用。
最后，是正切和差公式。
正切和差公式表示两个角的正切的和或差等于这两个角的正切值之和或差除以1减去这两个角的正切值乘积。
例如，我们可以使用正切和差公式来计算tan(α+β)：tan(α+β) = (tanα+tanβ) / (1-tanαtanβ)正切和差公式可以把两个角的正切值转换成其他形式的正切值。
两角和与差的正切公式
2
tanα tanβ tan( α β ) 1 tanα tanβ
3 1 （ - ） 2
5 2
-1
思考： 如何求 tan( )?
四、课堂小结
• 两角和与差的正切公式：
tan tan , , + k , k Z tan( ) 2 1 tan tan tan tan tan( ) , , k , k Z 1 tan tan 2
常用结论：
1 - tanα 1 tan α tan(45 - α ） tan(45 α ）； 1 tan α 1 tanα
能力拓展
求值：tan20 tan40 3tan20 tan40
五、作业布置
• 必做题：练习册P20~22/5.4 A组1(3)、2(4)、6 • 思考题：
1 tan tan 45 ; 小结： 1 tan
1 tan tan 45 ; 1 tan
例3.已知tan α , tan β 是方程2x 5x 3 0的 两根，求tan( α β ).
5 tan α tan β 2 解：由已知 tan α tan β 3 2
用- 代替
tan tan() tan tan tan[ ( tan( ))] 1 tan tan() 1 tan tan
两角和与差的正切公式：
tan tan 1.tan( ) 1 tan tan
5.4.3 两角和与差的正切公式
一、复习回顾
P是角 终边上任意一点（除原点外） 设P的坐标为（x,y）, | OP | r x 2 y 2
3.1.2 两角和与差的正切公式(张奕辉用)
π 4 = tan α − 1 tan(α − ) = 4 1 + tan α tan π 1 + tan α 4 3 − −1 = 4 = −7. 3 1 + (− ) 4
0 + tan45 解： 1 tan105 = tan(60 + 45 ) = （） =−2 − 3. 1− tan60 ⋅ tan45
tan45 + tan30 = 2 + 3. （） 2 tan75 = tan(45 +30 ) = 1− tan45 ⋅ tan30
3 π （3）已知 sin α = − , α 是第四象限角，求 tan(α − )的值. 5 4
=1+ tan(α + β )(1− tanα tan β ) + tanα tan β =1+ tan = 2.
π
解 (1+ tanα)(1+ tan β ) =1+ tanα + tan β + tanα ⋅ tan β ：
π
4
(1− tanα tan β ) + tanα tan β.
5.已 知 A ， ， 是 非 直 角 ∆ ABC 的 三 内 角 ， B C 求 证 ： A + tan B + tan C = tan A tan B tan C . tan
2
正切： 正切： 符号上同 下反
注 意 遇到
两角和与差的正弦、余弦正切公式
两角和与差的正弦、余弦正切公式两角和与差公式sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinBcos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =Atan 12tanA 2- Sin2A=2SinA•CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A半角公式 sin(2A )=2cos 1A -cos(2A )=2cos 1A + tan(2A )=A A cos 1cos 1+- tan(2A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + cot(2A )=A A cos 1cos 1-+ 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2b a - sina-sinb=2cos 2b a +sin 2b a - cosa+cosb = 2cos2b a +cos 2b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2b a - tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB积化和差 sinasinb = -21[cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 21[cos(a+b)+cos(a-b)] sinacosb =21[sin(a+b)+sin(a-b)] cosasinb = 21[sin(a+b)-sin(a-b)] 其它公式 a•sina+b•cosa=)b (a 22+×sin(a+c) [其中tanc=ab ] 熟记并理解各公式，并能熟练的运用各公式在具体题型中的运用。
两角和与差的正切公式
tan tan
T( ) :
tan( ) 1 tan tan tan( 3 5 , 是第四象限角, 求
4
)的值.
3 5 ,
解：因为
s in
是第四象限角，得
ta n
s in cos
3 3 5 4 4 5
ta n 4
ta n ta n 1 ta n ta n
4
3 4
1 7
4
3 1 4
例2、求
1 tan 15 1 tan 15
S ( ) :
sin( ) sin cos cos sin
S ( ) :
sin( ) sin cos cos sin
能根据正弦余弦的和差公式推导出正 切的两角和差公式吗？
T( ) :
tan( ) 1 tan tan
0 0
的值.
1 ta n 1 5 1 ta n 1 5
．
ta n 4 5 ta n 1 5
1 ta n 4 5 ta n 1 5
ta n 4 5 1 5
ta n 6 0
3
统一函数名 :
a sin x b cos x a b sin( x )
2. 已知 求
0
4
s in
的值．
解题过程中要善于发现规律，学会灵
活运用.
作业
两角和与差的正切公式
两角和与差的正切公式首先，我们来探讨两个角之和的正切公式。
设有两个角A和B，我们想要计算它们的和的正切值，即tan(A + B)。
为了导出这个公式，我们考虑一个单位圆，其中心为O，半径为1、令A点和B点分别为角A和角B的终边与单位圆的交点。
现在，我们将点P位于点A和点B之间。
假设角A和角B的终边相交于点C。
我们可以观察到，三角形OAC和三角形OBC都是等腰三角形，因为在单位圆上，半径等于半径。
我们可以利用等腰三角形的性质得出以下结论：角OAC的度数为A/2，角OBC的度数为B/2由于OAC和OBC都是等腰三角形，所以角OCA和角OCB的度数也分别是A/2和B/2由于角OCA和角OCB的度数之和为(A/2+B/2)，也就是(A+B)/2，我们可以应用正切的定义来得到以下等式：tan[(A + B)/2] = tan(A/2 + B/2) = OC/OA + OC/OB = (tan(A/2)+ tan(B/2))/(1 - tan(A/2)tan(B/2))另一方面，我们可以观察到，连接O和P的线段与y轴形成的角的度数为A+B。
根据三角函数的定义，tan(A + B)等于线段OP的斜率。
因此，tan(A + B)等于OC/OB：tan(A + B) = OC/OB = (tan(A/2) + tan(B/2))/(1 -tan(A/2)tan(B/2))这就是我们要导出的两角和的正切公式。
接下来，我们来讨论两个角之差的正切公式。
设有两个角A和B，我们想要计算它们的差的正切值，即tan(A - B)。
为了推导这个公式，我们利用两角和的公式和正切函数的奇偶性质。
我们知道，tan(-x) = -tan(x)，这意味着正切函数是个奇函数。
因此，我们可以将tan(A - B)表示为：tan(A - B) = -tan(B - A)然后，我们将B-A表示为-(A-B)，并利用两角和的公式：tan(A - B) = -tan(-(A - B)) = -tan(-(A + (-B))) = -tan((-A)+ B)根据两角和的公式，我们有：tan((-A) + B) = (tan(-A) + tan(B))/(1 - tan(-A)tan(B))再次利用正切函数的奇偶性质，我们可以将公式简化为：tan(A - B) = -(tan(A) - tan(B))/(1 + tan(A)tan(B))这就是我们要导出的两角差的正切公式。
两角和与差的正弦余弦正切公式
两角和与差的正弦余弦正切公式在三角函数中，我们经常需要计算两个角的和或差的正弦、余弦或正切值。
这些公式被广泛应用于数学、物理、工程等领域的问题求解中。
本文将详细介绍两角和与差的正弦、余弦和正切公式。
一、两角和与差的正弦公式首先，我们来讨论两个角的和的正弦公式。
设有两个角A和B，那么它们的和角记为(A+B)。
根据三角函数的定义，我们知道正弦的定义为一个角的对边与斜边之比，可以表示为sin(x)=opposite/hypotenuse。
根据这个定义，我们可以得到如下的两角和的正弦公式：sin(A+B) = sinA*cosB + cosA*sinB这个公式很重要，可以帮助我们计算两个角的和的正弦值。
在实际应用中，我们经常需要计算两个角的和的正弦，而不是两个角分别的正弦。
所以这个公式非常有用。
接下来，我们来讨论两个角的差的正弦公式。
设有两个角A和B，那么它们的差角记为(A-B)。
根据三角函数的定义，我们可以得到如下的两角差的正弦公式：sin(A-B) = sinA*cosB - cosA*sinB这个公式与两角和的正弦公式类似，也非常有用。
二、两角和与差的余弦公式类似于正弦公式，我们也可以推导出两角和与差的余弦公式。
设有两个角A和B，那么它们的和角记为(A+B)。
根据三角函数的定义，我们知道余弦的定义为一个角的邻边与斜边之比，可以表示为cos(x)=adjacent/hypotenuse。
根据这个定义，我们可以得到如下的两角和的余弦公式：cos(A+B) = cosA*cosB - sinA*sinB同样地，我们也可以得到两角差的余弦公式：cos(A-B) = cosA*cosB + sinA*sinB这两个公式和两角和与差的正弦公式一样重要，经常被应用于实际问题中。
三、两角和与差的正切公式最后，我们来讨论两角和与差的正切公式。
设有两个角A和B，那么它们的和角记为(A+B)。
根据三角函数的定义，我们知道正切的定义为一个角的对边与邻边之比，可以表示为tan(x)=opposite/adjacent。
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【教学目标】
1、掌握用同角三角函数关系式推导岀两角和与差的正切公式
2、会用两角和与差的正切公式求非特殊角的正切值
3、应用两角和与差的正切公式进行计算、化简、证明
【教学重点与难点】
重点：两角和与差的正切公式的推导；两角和、差公式的灵活应用
难点：两角和与差的正切公式的逆向使用；实际问题抽象为数学问题，恰当寻找解题思维的起点.
【教学过程】
导入
我们已经学习了正弦公式，余弦公式，本节课我们一起学习正切公式.这样对于一些非特殊角的正
切，我们也能计算，如tan75.
在推导正切公式之前，能否用已学知识来计算tan75的值.
问题引入
两角和、差的正弦公式：
sin()，sin()
两角和、差的余弦公式：
cos()，cos()
以cos cos，得
两角和、差的正切公式：
tan tan
tan(
)
1tan tan
用代替
，就可得到
tantan
tan(
)
1tan tan
例题分析
例1求值