两角和与差的正切公式
两角和与差的正切公式
2
tanα tanβ tan( α β ) 1 tanα tanβ
3 1 （ - ） 2
5 2
-1
思考： 如何求 tan( )?
四、课堂小结
• 两角和与差的正切公式：
tan tan , , + k , k Z tan( ) 2 1 tan tan tan tan tan( ) , , k , k Z 1 tan tan 2
常用结论：
1 - tanα 1 tan α tan(45 - α ） tan(45 α ）； 1 tan α 1 tanα
能力拓展
求值：tan20 tan40 3tan20 tan40
五、作业布置
• 必做题：练习册P20~22/5.4 A组1(3)、2(4)、6 • 思考题：
1 tan tan 45 ; 小结： 1 tan
1 tan tan 45 ; 1 tan
例3.已知tan α , tan β 是方程2x 5x 3 0的 两根，求tan( α β ).
5 tan α tan β 2 解：由已知 tan α tan β 3 2
用- 代替
tan tan() tan tan tan[ ( tan( ))] 1 tan tan() 1 tan tan
两角和与差的正切公式：
tan tan 1.tan( ) 1 tan tan
5.4.3 两角和与差的正切公式
一、复习回顾
P是角 终边上任意一点（除原点外） 设P的坐标为（x,y）, | OP | r x 2 y 2
两角和与差的正弦、余弦和正切公式
[典例] (2012· 广东高>0，x∈R)的最小正周期为 10π. 6
(1)求 ω 的值； π 5π 6 0， ，f5α＋ ＝－ ，f (2)设 α，β∈ 3 2 5
5β－5π＝16，求 cos(α＋β)． 6 17
典题导入
Go the distance
sin α＋cos α [例 3] (1)(2012· 温州模拟)若 ＝3，tan(α－β)＝2，则 tan(β－2α)＝________. sin α－cos α π 4 π (2)(2012· 江苏高考)设 α 为锐角，若 cos α＋6＝5，则 sin2α＋12的值为________． sin α＋cos α tan α＋1 [自主解答] (1)由条件知 ＝ ＝3， sin α－cos α tan α－1 则 tan α＝2. 故 tan(β－2α)＝tan [(β－α)－α] ＝ tanβ－α－tan α －2－2 4 ＝ ＝ . 1＋tanβ－αtan α 1＋－2×2 3
Go the distance
的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统 一角和角与角转换的目的． 以题试法 π 3 1．(1)已知 sin α＝ ，α∈ 2，π，则 5 cos 2α π 2sin α＋4 ＝________.
(2)(2012· 济南模拟)已知 α 为锐角，cos α＝ A．－3 4 C．－ 3 cos 2α 1 B．－ 7 D．－7
三角函数公式的应用
典题导入 1 π [例 1] (2011· 广东高考)已知函数 f(x)＝2sin 3x－6，x∈R. 5π (1)求 f 4 的值； π π 10 6 (2)设 α，β∈ 0，2，f3α＋2＝13，f(3β＋2π)＝5，求 cos(α＋β)的值． 1 π [自主解答] (1)∵f(x)＝2sin 3x－6， 5π π 5π π ∴f 4 ＝2sin12－6＝2sin4＝ 2. π π 10 6 (2)∵α，β∈ 0，2，f3α＋2＝13，f(3β＋2π)＝5， π 6 10 β＋ ＝ . ∴2sin α＝ ，2sin 2 5 13 5 3 即 sin α＝ ，cos β＝ . 13 5 12 4 ∴cos α＝ ，sin β＝ . 13 5 ∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝ 12 3 5 4 16 × － × ＝ . 13 5 13 5 65 由题悟法 两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用 α、β 的三角函数表示 α± β
3.1.2 两角和与差的正切公式(张奕辉用)
π 4 = tan α − 1 tan(α − ) = 4 1 + tan α tan π 1 + tan α 4 3 − −1 = 4 = −7. 3 1 + (− ) 4
0 + tan45 解： 1 tan105 = tan(60 + 45 ) = （） =−2 − 3. 1− tan60 ⋅ tan45
tan45 + tan30 = 2 + 3. （） 2 tan75 = tan(45 +30 ) = 1− tan45 ⋅ tan30
3 π （3）已知 sin α = − , α 是第四象限角，求 tan(α − )的值. 5 4
=1+ tan(α + β )(1− tanα tan β ) + tanα tan β =1+ tan = 2.
π
解 (1+ tanα)(1+ tan β ) =1+ tanα + tan β + tanα ⋅ tan β ：
π
4
(1− tanα tan β ) + tanα tan β.
5.已 知 A ， ， 是 非 直 角 ∆ ABC 的 三 内 角 ， B C 求 证 ： A + tan B + tan C = tan A tan B tan C . tan
2
正切： 正切： 符号上同 下反
注 意 遇到
两角和与差的正弦、余弦和正切公式
两角和与差的正弦、余弦和正切公式1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β； cos(α∓β)＝cos αcos β±sin αsin β；tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β⎝⎛⎭⎫α±β，α，β均不为k π＋π2，k ∈Z . 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin αcos α；cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； tan 2α＝2tan α1－tan α⎝⎛⎭⎫α，2α均不为k π＋π2，k ∈Z . 3．三角公式的关系判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)存在实数α，β使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．( )(2)在锐角△ABC 中，sin A sin B 和cos A cos B 的大小关系不确定．( ) (3)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．( )(4)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.( )(5)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√ (5)√(教材习题改编)化简cos 18°cos 42°－cos 72°sin 42°的值为( ) A ．32B ．12C ．－12D ．－32解析：选B ．法一：原式＝cos 18°cos 42°－sin 18°sin 42°＝cos(18°＋42°)＝cos 60°＝12.法二：原式＝sin 72°cos 42°－cos 72°sin 42°＝sin(72°－42°)＝sin 30°＝12.(教材习题改编)已知sin(α－k π)＝35(k ∈Z )，则cos 2α的值为( )A ．725B ．－725C ．1625D ．－1625解析：选A ．由sin(α－k π)＝35(k ∈Z )得sin α＝±35.所以cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×(±35)2＝1－1825＝725.故选A ．(教材习题改编)已知cos α＝－35，α是第三象限角，则cos(π4＋α)的值为( )A ．210B ．－210C ．7210D ．－7210解析：选A ．因为cos α＝－35，α是第三象限的角，所以sin α＝－1－cos 2α＝－1－(－35)2＝－45，所以cos(π4＋α)＝cos π4cos α－sin π4sin α＝22×(－35)－22×(－45)＝210.(优质试题·高考江苏卷)若tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝16，则tan α＝________． 解析：tan α＝tan ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－π4＋π4＝tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＋tan π41－tan ⎝⎛⎭⎫α－π4tan π4＝16＋11－16＝75.答案：75(教材习题改编)11－tan 15°－11＋tan 15°＝________．解析：原式＝2tan 15°(1－tan 15°)(1＋tan 15°)＝2tan 15°1－tan 215°＝tan 30°＝33.答案：33三角函数公式的直接应用[典例引领](1)已知sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α，则tan α＝( ) A ．－1 B ．0 C ．12D ．1(2)(优质试题·高考全国卷Ⅰ)已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，tan α＝2，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝__________． 【解析】 (1)因为sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α， 所以12cos α－32sin α＝32cos α－12sin α.所以1－32cos α＝3－12sin α.所以tan α＝sin αcos α＝－1，故选A ．(2)因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，tan α＝2， 所以sin α＝255，cos α＝55，所以cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝cos αcos π4＋sin αsin π4＝22×⎝⎛⎭⎫255＋55＝31010. 【答案】 (1)A (2)31010三角函数公式的应用策略(1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征． (2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值．[注意] 三角函数公式对使公式有意义的任意角都成立．使用中要注意观察角之间的和、差、倍、互补、互余等关系．[通关练习]1．已知sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则cos 2α2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝________．解析：因为sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以cos α＝－45. 所以cos 2α2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝cos 2α－sin 2α2⎝⎛⎭⎫22sin α＋22cos α＝cos α－sin α＝－75.答案：－752．设sin 2α＝－sin α，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan 2α的值是________． 解析：因为sin 2α＝2sin αcos α＝－sin α， 所以cos α＝－12.又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以sin α＝32， 所以tan α＝－ 3.所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－231－(－3)2＝ 3.答案： 3三角函数公式的逆用与变形应用[典例引领](1)计算sin 110°sin 20°cos 2155°－sin 2155°的值为( )A ．－12B ．12C ．32D ．－32(2)已知θ∈⎝⎛⎭⎫0，π4，且sin θ－cos θ＝－144，则2cos 2θ－1cos ⎝⎛⎭⎫π4＋θ＝( ) A ．23B ．43C ．34D ．32【解析】 (1)sin 110°sin 20°cos 2155°－sin 2155°＝sin 70°sin 20°cos 310° ＝cos 20°sin 20°cos 50°＝12sin 40°sin 40°＝12.(2)由sin θ－cos θ＝－144得sin ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝74， 因为θ∈⎝⎛⎭⎫0，π4，所以0＜π4－θ＜π4， 所以cos ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝34.2cos 2θ－1cos ⎝⎛⎭⎫π4＋θ＝cos 2θsin ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－2θsin ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4－θsin ⎝⎛⎭⎫π4－θ ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝32. 【答案】(1)B (2)D(1)三角函数公式活用技巧①逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式．②tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，注意公式的正用、逆用和变形使用．(2)三角函数公式逆用和变形使用应注意的问题①公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系．②注意特殊角的应用，当式子中出现12，1，32，3等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式．[通关练习]1．在△ABC 中，若tan A tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，则cos C 的值为( ) A ．－22B ．22C ．12D ．－12解析：选B ．由tan A tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，可得tan A ＋tan B1－tan A tan B＝－1，即tan(A ＋B )＝2．已知cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin α＝435，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6的值是( ) A ．－235B ．235C ．45D ．－45解析：选D.由cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin α＝435，可得32cos α＋12sin α＋sin α＝435，即32sin α＋32cos α＝435，所以3sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝435，sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45， 所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6＝－sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝－45.角的变换[典例引领](1)设α、β都是锐角，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，则cos β等于( ) A ．2525B ．255C ．2525或255D ．55或525(2)对于锐角α，若sin ⎝⎛⎭⎫α－π12＝35，则cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝________． 【解析】 (1)依题意得sin α＝1－cos 2α＝255， cos(α＋β)＝±1－sin 2(α＋β)＝±45.又α，β均为锐角，所以0＜α＜α＋β＜π， cos α＞cos(α＋β)．因为45＞55＞－45，所以cos(α＋β)＝－45.于是cos β＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝－45×55＋35×255＝2525.(2)由于α为锐角，且sin ⎝⎛⎭⎫α－π12＝35，可得cos ⎝⎛⎭⎫α－π12＝45，那么cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－π12＋π4＝cos ⎝⎛⎭⎫α－π12cos π4－sin ⎝⎛⎭⎫α－π12sin π4＝210，于是cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝2cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π6－1＝2×⎝⎛⎭⎫2102－1＝－2425.【答案】 (1)A (2)－2425利用角的变换求三角函数值的策略(1)当“已知角”有两个时：一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式； (2)当“已知角”有一个时：此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．[注意] 常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α＋β2－α－β2，α＝α＋β2＋α－β2，α－β2＝⎝⎛⎭⎫α＋β2－⎝⎛⎭⎫α2＋β等． [通关练习]1．已知tan(α＋β)＝1，tan ⎝⎛⎭⎫α－π3＝13，则tan ⎝⎛⎭⎫β＋π3的值为( ) A ．23B ．12C ．34D ．45解析：选B ．tan ⎝⎛⎭⎫β＋π3＝tan ⎣⎡⎦⎤(α＋β)－⎝⎛⎭⎫α－π3＝tan(α＋β)－tan ⎝⎛⎭⎫α－π31＋tan(α＋β)tan ⎝⎛⎭⎫α－π3＝1－131＋1×13＝12. 2．若sin ⎝⎛⎭⎫π3－α＝14，则cos ⎝⎛⎭⎫π3＋2α＝( ) A ．－78B ．－14C ．14D ．78解析：选A ．cos ⎝⎛⎭⎫π3＋2α＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫2π3－2α ＝－cos ⎝⎛⎭⎫2π3－2α＝－⎣⎡⎦⎤1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π3－α＝－78.两角和、差及倍角公式的逆用和变用(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式． (2)和差角公式变形：sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β， cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β， tan α±tan β＝tan(α±β)·(1∓tan α·tan β)，(3)倍角公式变形：降幂公式cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2，配方变形：1±sin α＝⎝⎛⎭⎫sin α2±cos α22，1＋cos α＝2cos 2α2，1－cos α＝2sin 2α2.三角恒等变换的变“角”与变“名”问题的解题思路(1)角的变换：明确各个角之间的关系(包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角)，熟悉角的拆分与组合的技巧，半角与倍角的相互转化，如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，⎝⎛⎭⎫π4＋α＋⎝⎛⎭⎫π4－α＝π2，α2＝2×α4等． (2)名的变换：明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦．1.cos 15°＋sin 15°cos 15°－sin 15°的值为( )A ．33 B ． 3 C ．－33D ．－ 3解析：选B ．原式＝1＋tan 15°1－tan 15°＝tan 45°＋tan 15°1－tan 45°tan 15°＝tan(45°＋15°)＝ 3.2．(1＋tan 18°)·(1＋tan 27°)的值是( ) A ． 3 B ．1＋ 2C ．2D ．2(tan 18°＋tan 27°)解析：选C ．原式＝1＋tan 18°＋tan 27°＋tan 18°tan 27°＝1＋tan 18°tan 27°＋tan 45°(1－tan 18°tan 27°)＝2，故选C ．3．已知sin α＋cos α＝13，则sin 2(π4－α)＝( )A ．118B ．1718C ．89D ．29解析：选B ．由sin α＋cos α＝13两边平方得1＋sin 2α＝19，解得sin 2α＝－89，所以sin 2(π4－α)＝1－cos(π2－2α)2＝1－sin 2α2＝1＋892＝1718.4．已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝7210，cos 2α＝725，则sin α＝( ) A ．45B ．－45C ．35D ．－35解析：选C ．由sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝7210得 sin α－cos α＝75，①由cos 2α＝725得cos 2α－sin 2α＝725，所以(cos α－sin α)·(cos α＋sin α)＝725，② 由①②可得cos α＋sin α＝－15，③由①③可得sin α＝35.5．已知cos(π3－2x )＝－78，则sin(x ＋π3)的值为( )A ．14B ．78C ．±14D ．±78解析：选C ．因为cos [π－(π3－2x )]＝cos(2x ＋2π3)＝78，所以有sin 2(x ＋π3)＝12(1－78)＝116，从而求得sin(x ＋π3)的值为±14，故选C ．6．已知cos θ＝－513，θ∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，则sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6的值为________．－cos θsin π6＝－1213×32－⎝⎛⎭⎫－513×12＝5－12326.答案：5－123267．已知cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝－33，则cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3＝________． 解析：cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3＝cos x ＋12cos x ＋32sin x ＝32cos x ＋32sin x ＝3cos ⎝⎛⎭⎫x －π6 ＝3×⎝⎛⎭⎫－33＝－1. 答案：－18．计算sin 250°1＋sin 10°＝________．解析：sin 250°1＋sin 10°＝1－cos 100°2(1＋sin 10°)＝1－cos(90°＋10°)2(1＋sin 10°)＝1＋sin 10°2(1＋sin 10°)＝12.答案：129．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π12，x ∈R . (1)求f ⎝⎛⎭⎫－π4的值； (2)若cos θ＝45，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求f ⎝⎛⎭⎫2θ－π3的值． 解：(1)f ⎝⎛⎭⎫－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫－π4＋π12＝sin ⎝⎛⎭⎫－π6＝－12. (2)f ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＋π12＝sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π4＝22(sin 2θ－cos 2θ)． 因为cos θ＝45，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以sin θ＝35. 所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝2425，cos 2θ＝cos 2 θ－sin 2θ＝725，所以f ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＝22(sin 2θ－cos 2θ)＝22×⎝⎛⎭⎫2425－725＝17250.。
两角和与差的正切公式
tan tan
T( ) :
tan( ) 1 tan tan tan( 3 5 , 是第四象限角, 求
4
)的值.
3 5 ,
解：因为
s in
是第四象限角，得
ta n
s in cos
3 3 5 4 4 5
ta n 4
ta n ta n 1 ta n ta n
4
3 4
1 7
4
3 1 4
例2、求
1 tan 15 1 tan 15
S ( ) :
sin( ) sin cos cos sin
S ( ) :
sin( ) sin cos cos sin
能根据正弦余弦的和差公式推导出正 切的两角和差公式吗？
T( ) :
tan( ) 1 tan tan
0 0
的值.
1 ta n 1 5 1 ta n 1 5
．
ta n 4 5 ta n 1 5
1 ta n 4 5 ta n 1 5
ta n 4 5 1 5
ta n 6 0
3
统一函数名 :
a sin x b cos x a b sin( x )
2. 已知 求
0
4
s in
的值．
解题过程中要善于发现规律，学会灵
活运用.
作业
两角和与差的正弦、余弦与正切公式
2
(sin
2
A.a>b>c
C.c>a>b
(2)已知
56°-cos 56°),c=
1-ta n 2 39°
,则 a,b,c 的大小关系是(
1+ta n 2 39°
B.b>a>c
D.a>c>b
π
cos(α-6 )+sin
4 3
α= 5 ,则
π
si(nα+6 )=
.
)
答案 (1)D
4
(2)
5
解析 (1)a=cos 50°cos 127°+cos 40°cos 37°
1
D.
2
.
答案 (1)B (2)D (3) 3
解析 (1)根据两角和的正弦公式展开得 sin
3
θ= sin
2
3
θ+ cos
2
θ=1,即
π
3sin(θ+ )=1,解得
6
π
θ+sin(θ+ )=sin
3
1
θ+ sin
2
π
3
sin(θ+ )= .故选
6
3
B.
(2)∵t=2sin 18°,
2cos2 27°-1
.
1+cos
5.积化和差公式
sin αcos
1
β=
2
sin( + ) + sin(-) ,
cos αsin
1
β=2
sin( + )-sin(-) ,
cos αcos
1
β=2
两角和差的正余弦正切公式
两角和差的正余弦正切公式两角和公式：正弦公式：对于任意两个角度A和Bsin(A + B) = sinAcosB + cosAsinB余弦公式：对于任意两个角度A和Bcos(A + B) = cosAcosB - sinAsinB正切公式：对于任意两个角度A和Btan(A + B) = (tanA + tanB) / (1 - tanAtanB)这些公式可以通过三角函数的性质和欧拉公式推导出来。
下面是推导过程：推导正弦公式：根据欧拉公式，我们有：e^ix = cosx + isinx假设A=x，B=y，我们有：e^i(A + B) = cos(A + B) + isin(A + B)= cosAcosB - sinAsinB + i(sinAcosB + cosAsinB)因为实部和虚部分别相等，我们可以得到正弦公式：sin(A + B) = sinAcosB + cosAsinB推导余弦公式：同样根据欧拉公式，我们有：e^ix = cosx + isinx假设A=x，B=-y，我们有：e^i(A + B) = cos(A + B) + isin(A + B)= cosAcosB - sinAsinB + i(sinAcosB + cosAsinB)因为实部和虚部分别相等，我们可以得到余弦公式：cos(A + B) = cosAcosB - sinAsinB推导正切公式：我们可以使用正弦公式和余弦公式来推导正切公式。
首先，我们有tanA = sinA / cosA和tanB = sinB / cosB。
将这两个式子相加，我们可以得到：tanA + tanB = (sinAcosB + cosAsinB) / (cosAcosB - sinAsinB)接下来，我们可以将分子进行因式分解：tanA + tanB = (sinA + sinB)(cosAcosB - sinAsinB) / (cosAcosB - sinAsinB)可以看到分子和分母都有cosAcosB - sinAsinB这个因子，我们可以化简公式：tanA + tanB = (sinA + sinB) / (cosAcosB - sinAsinB)这就是正切公式。
两角和与差的正弦、余弦、正切公式 课件
所以 cos(α＋ β )＝－1114，
所以 sin β＝sin[(α＋ β )－α]
＝sin(α＋ β )cos α－cos (α＋ β )sin α
＝5143×17－－1114×4 7 3＝
3 2.
又因为 0＜ β ＜π2，所以 β ＝π3.
[迁移探究] (变换条件)若把本例中的“0＜ β＜π2” 改为“π2＜ β ＜π”，求角 β 的值．
解：因为 0＜α＜π2，cos α＝17，所以 sin α＝473. 又因为π2＜ β ＜π，所以π2＜α＋ β ＜32π. 因为 sin(α＋ β )＝5143，所以 cos (α＋ β )＝－1114，
所以 sin β＝sin [(α＋ β )－α]＝ sin(α＋ β )cos α－cos(α＋ β )sin α＝ 5143×17－－1114×473＝ 23. 又因为π2＜ β ＜π，所以 β＝23π.
归纳升华 1．(1)逆用两角和的正弦公式可得：asin x＋bcos x＝ a2＋b2·sin(x＋θ )；(2)将含有 sin ωx，cos ωx 的一次式 子化简成 Asin(ωx＋φ )的形式，为进一步研究函数的性质 提供了方便．
2．与特殊角有关的几个结论： sin x±cos x＝ 2sinx±π4； sin x± 3cos x＝2sinx±π3＝2cosx±π6.
2.两角和与差的正切公式
名称
公式
使用条件
两角和的 tan(α＋β)＝ α，β，α＋β≠kπ＋π2
正切
tan α＋tanβ _1_－__ta_n__α_t_a_n_β__ (k∈Z)
两角差的 正切
tan(α－β)＝ tan α－tanβ
α，β，α－β≠kπ＋π2
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探求新知
cos cos
分子分母同 除以
方法二：
tan
tan[ ( )]
探求新知
tan tan( ) 1 tan tan( ) tan tan 1 tan tan
归纳对比
正切、余切和、差角公式
tan tan tan 1 tan tan
3 探究、已知 cosα－2cosβ＝－2， 1 sinα－2sinβ＝3，求 cos(α－β)的值．
• 规律技巧：两式平方相加的方法，是解决具有 本题特征的题目的有效途径．
类型三
1 例 3：已知 α、β∈(0，π)，且 tan(α－β)＝ ， 2
1 tanβ＝－ ，求 tan(2α－β)的值,及此时 2α－β 的值． 7
类型二
公式的变形应用
例 2：求下列各式的值： 1＋tan75° (1) ； 1－tan75° (2)tan17° ＋tan28° ＋tan17° tan28° ； (3)tan70° －tan10° － 3tan70° tan10° .
tan45° ＋ tan75° 解：(1)解法 1：原式＝ 1－ tan45° tan75° ＝ tan(45° ＋ 75° )＝ tan120° ＝－ 3. tan45° ＋ tan30° 解法 2： ∵tan75° ＝ tan(45° ＋ 30° )＝ 1－ tan45° tan30° 3 1＋ 3 3＋ 3 12＋ 6 3 ＝ ＝ ＝ ＝ 2＋ 3， 6 3 3－ 3 1－ 3 1＋ tan75° 1＋ 2＋ 3 3＋ 3 ∴ ＝ ＝ ＝－ 3. 1－ tan75° 1－ 2＋ 3 － 1－ 3
规律技巧：本题从公式逆向变换思想出发，灵活地运用了 正切和角公式的变形式 tanα＋tanβ＝tan(α＋β)· (1－tanαtanβ)． 由此可解决一类求值问题： tanα＋tanβ＋tan(α＋β)tanαtanβ＝tan(α＋β)． 例如 tan17° ＋tan43° ＋ 3tan17° · tan43° ＝ 3.
1 5 解：(1)tanα＝－ ， cosβ＝ ， β∈ (0， π)， 3 5 2 5 ∴ sinβ＝ ，∴ tanβ＝ 2. 5 1 － ＋2 tanα＋ tanβ 3 ∴ tan(α＋ β)＝ ＝ ＝ 1. 1 1－ tanαtanβ 1－ － ×2 3
1 (2)∵ tanα＝－ ， α∈ (0， π)， 3 1 3 ∴ sinα＝ ， cosα＝－ . 10 10 ∴ f(x)＝ 2(sinx cosα－ cosx sinα)＋ cosx cosβ－ sinxsinβ 3 1 5 2 5 ＝－ sinx－ cosx＋ cosx－ sinx 5 5 5 5 ＝－ 5sinx.
(2)∵ tan( α＋ 2β)＝ tan[(α＋ β)＋ β] tanα＋ β＋ tanβ ＝ ＝ 1－ tanα＋ βtanβ 又∵ α， β 为锐角， 3π 3π ∴ 0<α＋ 2β< ，∴ α＋ 2β＝ . 2 4 1 － 3＋ 2
＝－ 1. 1 1－ － 3× 2
1 5 例 5、已知 tanα＝－ ，cosβ＝ ，α、β∈(0，π)． 3 5 (1)求 tan(α＋β)的值； (2)求函数 f(x)＝ 2sin(x－α)＋cos(x＋β)的最大值．
tan17° ＋ tan28° (2)∵tan(17° ＋ 28° )＝ ， 1－ tan17° tan28° ∴tan17° ＋ tan28° ＝ tan(17° ＋ 28° )(1－ tan17° tan28° ) ＝ 1－ tan17° tan28° . ∴tan17° ＋ tan28° ＋ tan17° tan28° ＝ 1. tan70° － tan10° (3)∵tan60° ＝ tan(70° － 10° )＝ ， 1＋ tan70° tan10° ∴tan70° － tan10° ＝ 3＋ 3tan10° tan70° . ∴tan70° － tan10° － 3tan10° tan70° ＝ 3.
sin( ) sin cos cos sin
tanα+ tanβ tan(α+β)= 1 - tanαtanβ
tanα- tanβ tan(α-β)= 1+ tanαtanβ
2 、利用公式可以求非特殊角的三角函数值,化简三角 函数式和证明三角恒等式,灵活使用使用公式.
复习回顾
已经学了两角和与两角差的正弦、余弦公 式，今天继续推导两角和与两角差的正切
公式
1
探索新知一
用任意角的 , 正切表示 tan( )及 tan( ) 的公式的推导:
sin 由 tan , cos
tan( )
sin( + ) cos( + )
1 2 tan tan 3 1 (2)因为 tan( ) 1 tan tan 1 2 3 又因为0 ,0 2 2 3 所以 2 2 3 5 在 与 之间， 只有 的正切值等于1 2 2 4 5 所以 4
sin cos + cos sin cos cos - sin sin
分子分母同时除以cos cos 当cos cos 0时，
tan + tan tan( + )= 1- tan tan
记：T( + )
探索新知二
那ห้องสมุดไป่ตู้
tan(－ ) ?
2 2 5 解：由条件得 cosα＝ ， cosβ＝ . 10 5 7 2 ∵ α， β 为锐角，∴ sinα＝ 1－ cos α＝ ， 10
2
5 sinβ＝ 1－ cos β＝ . 5
2
1 因此 tanα＝ 7， tanβ＝ . 2 tanα＋ tanβ (1)tan(α＋ β)＝ ＝ ＝－ 3. 1 1－ tanα· tanβ 1－ 7× 2 1 7＋ 2
又 tan(2α－β)＝tan[(α－ β)＋ α] 1 1 ＋ tanα－ β＋tanα 2 3 ＝ ＝ ＝ 1， 1 1 1－ tanα－ βtanα 1－ × 2 3 3π ∴ 2α－β＝－ . 4
规律技巧：求角“三步曲”：定范围，求函数值，确 定角．尤其是范围问题，宁肯小一点，勿过大，过大会增 解．
∴f(x)的最大值为 5
小结
1
、两角和与差的正弦、余弦、正切公式、推导及应用;
cos( ) cos cos sin sin
cos( ) cos cos cos cos
sin( ) sin cos cos sin
分析：变化角 α ＝(α －β )＋β ，2α －β ＝(α －β )＋α ， 这样由已知可求得tanα 的值，再进一步求 tan(2α －β )的值，确定角时要注意范围．
1 1 解：∵ tan(α－ β)＝ ， tanβ＝－ ， 2 7 1 1 ＋ － 2 tanα－ β＋ tanβ 1 7 ∴ tanα＝ tan[(α－ β)＋ β]＝ ＝ ＝ <1. 3 1 1 1－ tanα－ βtanβ 1－ ×－ 2 7 π π ∵ α∈ (0， π)，∴ 0<α< ， 0<2α< . 4 2 1 ， 0 ， π 又 tanβ＝－ <0， β∈ 7 π ∴ <β<π，∴－ π<2α－ β<0. 2
tan - tan tan( - )= 1+ tan tan
注意：
记T( - )
1、必须在定义域范围内使用上述公式。
即：tan，tan，tan(±)只要有一个不存 在就不能使用这个公式。 2、注意公式的结构，尤其是符号。
弦1 切2
方法一：
tan
sin( ) cos( ) sin cos cos sin cos cos sin sin tan tan 1 tan tan
tan tan tan 1 tan tan
类型一 公式应用
1 例1 已知tan 2, tan ， 其中0 ,0 3 2 2 (1)求 tan( ); (2)求 的值
1 解 (1)因为tan 2, tan 3 1 2 tan tan 3 7 所以 tan( ) 1 tan tan 1 2 3
小结：
角的变换是使用两角和与差的三角公式求值中常见的
方法，要掌握一些角的变换技巧，
学会把要求的角用已知的一个或两个角表示出来
如α＝(α＋β)－β，
α＋2β＝(α＋β)＋β，
2α＝(α＋β)＋(α－β)等．
例 4、如图，在平面直角坐标系 xOy 中，以 Ox 轴为 始边作两个锐角 α，β，它们的终边分别与单位圆交于 A、 2 2 5 B 两点，已知 A、B 的横坐标分别为 、 . 10 5 (1)求 tan(α＋β)的值； (2)求 α＋2β 的值．