应用导数求解实际问题的例子
导数与定积分在科学技术领域与实际中的应用
导数与定积分在科学技术领域与实际中的应用小组成员：鞠鑫（组长），魏冕，贾艳婷，陈雪专业班级：公共事业管理（卫生事业）1201班摘要微积分是数学的一个重要的分支，它是科学技术以及自然科学的各个分支中被广泛应用的最重要的数学工具；如复杂图形的研究，求数列极限，证明不等式等；而在物理方面的应用，可以说是定积分最重要的应用之一，正是由于定积分的产生与发展，才使得物理学中精确的测量计算成为可能，从而使物理学得到了长足的发展都要用得到微积分。
本文主要介绍导数和定积分在科学技术领域与实际生活中的应用。
从导数与定积分的理论介绍、导数和定积分在物理上的应用、导数和定积分在数学上的应用、导数和定积分在经济学上的应用以及导数与定积分在科技领域和实际生活中应用的展望等几个方面来阐述。
关键词导数定积分应用正文一、导数与定积分理论简介导数是微积分中的重要基础概念。
当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限。
在一个函数存在导数时，称这个函数可导或者可微分。
可导的函数一定连续。
不连续的函数一定不可导。
导数实质上就是一个求极限的过程，导数的四则运算法则来源于极限的四则运算法则.（一）导数定义1、导数第一定义设函数 y = f(x) 在点 x0 的某个领域内有定义，当自变量 x 在 x0 处有增量△x ( x0 + △x 也在该邻域内 ) 时，相应地函数取得增量△y = f(x0 + △x) - f(x0) ；如果△y 与△x 之比当△x→0 时极限存在，则称函数 y = f(x) 在点 x0 处可导，并称这个极限值为函数 y = f(x) 在点 x0 处的导数记为 f'(x0) ,即2、导数第二定义设函数 y = f(x) 在点 x0 的某个领域内有定义，当自变量 x 在 x0 处有变化△x ( x - x0 也在该邻域内 ) 时，相应地函数变化△y = f(x) - f(x0) ；如果△y 与△x 之比当△x→0 时极限存在，则称函数 y = f(x) 在点 x0 处可导，并称这个极限值为函数y = f(x) 在点 x0 处的导数记为 f'(x0) ,即3、导函数与导数如果函数 y = f(x) 在开区间 I 内每一点都可导，就称函数f(x)在区间 I 内可导。
高中数学第一章导数及其应用1定积分的简单应用定积分在物理中的应用素材
定积分在物理中的应用摘要：伟大的科学家牛顿，有很多伟大的成就，建立了经典物理理论，比如：牛顿三大定律，万有引力定律等；另外，在数学上也有伟大的成就，创立了微积分.微积分（Calculus）是高等数学中研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。
它是数学的一个基础学科.内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用.微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。
它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。
积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。
微积分最重要的思想就是用"微元"与”无限逼近"，好像一个事物始终在变化你很难研究，但通过微元分割成一小块一小块，那就可以认为是常量处理,最终加起来就行。
微积分学是微分学和积分学的总称。
它是一种数学思想,‘无限细分'就是微分，‘无限求和’就是积分。
无限就是极限，极限的思想是微积分的基础，它是用一种运动的思想看待问题。
微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一.在高中物理中，微积分思想多次发挥了作用.定义：设函数f(x)在［a,b]上有界，在[a,b ］中任意插入若干个分点 a=X0〈X1〈...〈Xn —1<Xn=b 把区间[a ，b ］分成n 个小区间 [X0，X1]，..。
[Xn —1，Xn]。
在每个小区间[Xi —1，Xi ］上任取一点ξi(Xi -1≤ξi≤Xi ），作函数值f(ξi ）与小区间长度的乘积f(ξi ）△Xi ，并作出和()in i ix s ∆=∑=1ξ如果不论对［a,b]怎样分法，也不论在小区间上的点ξi 怎样取法,只要当区间的长度趋于零时，和S 总趋于确定的极限I ，这时我们称这个极限I 为函数f （x)在区间[a ，b]上的定积分， 记作: ()dx x f a b⎰即： ()()ini ia bx f I dx x f ∆==∑⎰==11lim ξλ变力沿直线所作的功设物体在连续变力F(x ）作用下沿x 轴从x=a 移动到x=b ，力的方向与运动方向平行，求变力所作的功.在[a ，b]上任取子区间[x ，x+dx ］，在其上所作的功元素为()dx x F dW =因此变力F （x ）在区间［a,b ］上所作的功为()dx x F W b a⎰=例1．在一个带+q 电荷所产生的电场作用下，一个单位正电荷沿直线从距离点电荷a 处移动到b 处（a 〈b ），求电场力所做的功。
导数在不等式证明中的应用
导数在不等式证明中的应用在数学中，导数是一种评估函数变化速度的工具。
它可以用于证明不等式，特别是在优化问题中非常有用。
本文将探讨导数在不等式证明中的应用，并通过例子来说明其重要性。
在证明不等式时，我们通常需要使用比较函数值的差异来推断函数的相对值。
导数的主要作用是帮助我们研究函数的增减性质，进而推导出不等式。
首先，我们来看一个简单的例子。
假设我们需要证明当$x>0$时，函数$f(x) = \ln(x)$是递增的。
我们可以通过求导来证明。
首先，求导$f'(x)$：$$f'(x) = \frac{1}{x}$$我们可以发现，$f'(x)>0$对于$x>0$始终成立。
这意味着函数$f(x)$在该区间是递增的。
因此，我们可以得出结论：当$x>0$时，函数$f(x) = \ln(x)$是递增的。
这个例子展示了导数在证明函数性质中的应用。
接下来，我们将探讨导数在不等式证明中的更广泛应用。
一种常见的应用是利用导数研究函数的凹凸性质。
如果一个函数在一些区间上是凹的，那么它的导数在该区间上是递增的。
反之，如果函数在一些区间上是凸的，那么它的导数在该区间上是递减的。
考虑一个例子：证明函数$f(x)=x^2$在$x>0$时是凹的。
首先，求导$f'(x)$：$$f'(x)=2x$$然后，求二阶导数$f''(x)$：$$f''(x)=2$$我们可以看到$f''(x)>0$，对于$x>0$恒成立。
这意味着函数$f(x)$在该区间上是凹的。
因此，我们可以得出结论：当$x>0$时，函数$f(x)=x^2$是凹的。
这个例子显示了利用导数来证明函数的凹凸性质的方法。
凹凸性质在不等式证明中非常有用，因为它可以帮助我们推断函数值的大小关系。
另一个应用是利用导数求解优化问题中的最值。
如果一个函数在一些点处取得极小值，那么它的导数在该点处为零或不存在。
导数的应用—函数的图像与曲线的拟合
导数的应用—函数的图像与曲线的拟合导数是微积分中的重要概念，它不仅仅是一种数学工具，更是在实际问题中具有广泛应用的数学思想。
本文将探讨导数的应用之一——函数的图像与曲线的拟合。
一、导数与函数的图像在微积分中，导数可以理解为函数在某一点上的变化率。
通过导数，我们可以了解函数的增减性、极值点、拐点等重要信息，从而描绘出函数的整体特征。
以一元函数为例，当导数大于零时，函数呈现增长趋势；当导数小于零时，函数呈现下降趋势；当导数等于零时，函数可能存在极值点；当导数变号时，函数可能存在拐点。
通过观察函数的导数，我们可以根据其变化规律来判断函数的图像。
例如，对于函数f(x)=x^2，我们可以求出其导数f'(x)=2x。
根据导数的正负性，我们可以得知当x<0时，f'(x)<0，函数f(x)呈现下降趋势；当x>0时，f'(x)>0，函数f(x)呈现增长趋势。
同时，当x=0时，f'(x)=0，即函数f(x)在x=0处可能存在极值点。
通过这些信息，我们可以画出函数f(x)=x^2的大致图像。
二、利用导数进行曲线的拟合在实际问题中，我们常常需要通过已知数据来拟合出一个函数，以便更好地了解数据的特征和规律。
导数的应用在曲线的拟合中起到了重要的作用。
曲线拟合的基本思想是通过已知数据点，找到一个函数，使得该函数与数据点的误差最小。
而导数可以帮助我们判断拟合函数的合理性和准确性。
以最简单的线性拟合为例，假设我们有一组数据点{(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)}，我们希望通过这些数据点拟合出一条直线y=ax+b。
其中，a和b是待确定的参数。
通过最小二乘法，我们可以得到拟合直线的表达式：a = (n∑xy - ∑x∑y) / (n∑x^2 - (∑x)^2)b = (∑y - a∑x) / n在拟合过程中，我们可以通过计算残差（即数据点与拟合直线之间的垂直距离）来评估拟合的准确性。
常用导数公式有哪些例子初中
常用导数公式有哪些例子初中在初中数学学习中，导数是一个重要的概念，它描述了函数在某一点的变化率。
在实际应用中，掌握常用的导数公式可以帮助我们更好地理解和解决问题。
下面将介绍一些常用的导数公式及其例子。
1. 常数函数的导数对于常数函数f(f)=f，其导数为 0。
这是因为常数函数在任何一个点的斜率都是0，即其变化率恒定为0。
例子：如果f(f)=5，则f′(f)=0。
2. 幂函数的导数对于幂函数f(f)=f f，其中 n 为常数，则其导数为f′(f)=ff f−1。
这是幂函数导数的通用规律。
例子：如果f(f)=f3，则f′(f)=3f2。
3. 指数函数的导数对于指数函数f(f)=f f，其中 a 为常数且f>0,f≠1，则其导数为 $f'(x) = a^x \\ln(a)$。
例子：如果f(f)=2f，则 $f'(x) = 2^x \\ln(2)$。
4. 对数函数的导数对于对数函数 $f(x) = \\log_a x$，其中 a 为常数且f>0,f≠1，则其导数为 $f'(x) = \\frac{1}{x \\ln(a)}$。
例子：如果 $f(x) = \\log_2 x$，则 $f'(x) = \\frac{1}{x \\ln(2)}$。
5. 三角函数的导数五、对于三角函数 $f(x) = \\sin x, \\cos x, \\tan x$，它们的导数分别为：•$\\sin' x = \\cos x$•$\\cos' x = -\\sin x$•$\\tan' x = \\sec^2 x$例子：如果 $f(x) = \\sin x$，则 $f'(x) = \\cos x$；如果 $f(x) =\\tan x$，则 $f'(x) = \\sec^2 x$。
通过掌握这些常用的导数公式，我们可以更好地分析函数的变化规律和性质。
导数的定义与几何意义例题和知识点总结
导数的定义与几何意义例题和知识点总结在数学的广袤天地中，导数无疑是一颗璀璨的明珠。
它不仅在微积分中占据着核心地位，更是解决众多实际问题的有力工具。
让我们一同深入探索导数的定义与几何意义，并通过一些具体的例题来加深对其的理解。
一、导数的定义导数，从本质上来说，描述的是函数在某一点处的变化率。
如果给定一个函数＄y ＝ f(x)＄，那么在点＄x_0$ 处的导数可以表示为：＄f'（x_0) ＝＼lim\limits_{＼Delta x ＼to 0} ＼frac{f(x_0 ＋＼Delta x) f(x_0)｝｛＼Delta x}＄这个极限值反映了函数在＄x_0$ 点处的瞬时变化率。
为了更好地理解导数的定义，我们来看一个简单的例子。
例 1：设函数＄f(x) ＝ x^2$，求＄f'（2)＄。
解：＼＼begin{align}f'（2)＆＝＼lim\limits_{＼Delta x ＼to 0} ＼frac{f(2 ＋＼Delta x)f(2)｝｛＼Delta x}＼＼＆＝＼lim\limits_{＼Delta x ＼to 0} ＼frac{（2 ＋＼Delta x)＾2 2^2}｛＼Delta x}＼＼＆＝＼lim\limits_{＼Delta x ＼to 0} ＼frac{4 ＋ 4\Delta x ＋（＼Delta x)＾2 4}｛＼Delta x}＼＼＆＝＼lim\limits_{＼Delta x ＼to 0} （4 ＋＼Delta x)＼＼＆＝ 4＼end{align}＼二、导数的几何意义导数的几何意义是函数在某一点处切线的斜率。
对于函数＄y ＝f(x)＄，在点＄（x_0, f(x_0)）＄处的切线斜率就是＄f'（x_0)＄。
例如，对于函数＄y ＝ x^2$，在点＄（1, 1)＄处的切线斜率为＄f'（1) ＝ 2$。
例 2：求函数＄f(x) ＝＼sqrt{x}＄在点＄（4, 2)＄处的切线方程。
隐函数求导方法及应用
隐函数求导方法及应用隐函数求导作为微积分中的重要概念之一，在解决实际问题中起到了重要的作用。
本文将介绍隐函数求导的方法以及其在实际应用中的具体案例。
一、隐函数求导的基本概念和方法隐函数是一类无法用显式表达式表示的函数，其自变量和因变量之间的关系以隐含的形式存在。
在进行隐函数求导时，我们可以利用链式法则和隐函数定理来完成。
1. 链式法则链式法则是求导中的一个基本原理，用于处理复合函数的求导问题。
对于一个由两个函数构成的复合函数，求导时可以分别对其内外两个函数进行求导，然后相乘得到最终的导数。
2. 隐函数定理隐函数定理是隐函数求导的基础，它通过求偏导数的方式将隐函数的导数转化为已知的函数导数。
对于一个由两个变量构成的隐函数，根据隐函数定理，可以通过求解偏导数的方程组得到隐函数的导数。
二、隐函数求导的实际应用隐函数求导在实际问题中具有广泛的应用，包括物理、经济、生物等领域。
下面将以物理学中的匀变速直线运动问题为例，来说明隐函数求导的应用过程。
假设一个物体在水平方向上做匀变速直线运动，位置与时间的关系可以表示为 x = f(t)，速度与时间的关系可以表示为 v = g(t)。
根据运动学的知识，速度的定义是位移对时间的导数，即v = dx/dt。
根据隐函数求导的方法，我们可以将速度表示为 v = dx/dt = dx/dt * dt/dt = dx/dt * dt/dx。
由于 x = f(t)，所以 dx/dt = d(f(t))/dt。
同理，将 v = dx/dt * dt/dx 带入到 dx/dt = d(f(t))/dt 中，可以得到 v = d(f(t))/dt * dt/dx。
进一步推导可得 v = dx/dt = d(f(t))/dt * dt/dx = d(f(t))/dx。
通过这个例子，我们可以看到隐函数求导的应用在物理学问题中的价值。
三、结论隐函数求导是微积分中的重要概念，通过应用链式法则和隐函数定理，我们可以求解无法用显式表达式表示的函数的导数。
导数在求极限中的应用
引言极限是研究变量的变化趋势的基本工具。
在高等数学中许多基本概念和研究问题的方法都和极限密切相关，如函数的连续、导数、定积分和无穷级数等都是建立在极限的基本之上的。
极限的思想和方法产生某些实际问题的精确解，并且对数学在实际中的应用也有着重要的作用。
因此研究生考试往往把求极限问题作为考核的一个重点，而在不同的函数类型条件下所采用的求极限的技巧是各不相同的，因此大家要学会判断极限的类型，熟练和灵活的掌握各种技巧的应用。
本文主要介绍了导数在求极限中的基本应用，包括导数定义法，L’Hospital 法则，Taylor展式法及微分中值定理在求极限中的应用。
旨在让大家掌握各种导数方法适用的函数类型，要注意的事项及它的一些推广结论。
达到能灵活运用导数方法去求解一些极限问题以使问题简单化的目的。
第1章 导数在求极限中的基本应用1.1 导数定义法这种极限求法主要针对所给的极限不易求，但是函数满足导数定义的形式且能够确定的变化趋向的极限易求出时，可以用此法比较方便的求出极限.定义 若函数()y f x =在其定义域中的一点0x 处极限0000()()limlimx x f x x f x yx x ∆→∆→+∆-∆=∆∆ 存在，则称在0x 处可导，称此极限值为()f x 在0x 处的导数，记为0()f x '.显然，()f x 在0x 处的导数还有如下的等价定义形式：000()()()limx x f x f x f x x x →-'=-.下面通过两个例子让大家逐步领悟导数定义法的内涵例1 求极限tan sin 0limsin b x b xx xαα+-→-.解 由于tan sin tan sin tan sin tan sin sin b x b xb x b b b xx xxxxαααααα+-+----=+.所以，tan sin tan sin 0tan limlimlimsin tan sin sin b x b xb x b b b xx x x xxxxxαααααα+-+-→→→---=+ln ln 2ln b b b αααααα=+=.例2 (本题选自《数学分析中的典型问题与方法》裴礼文.第二版.)设(0)f k '=，试证00()()lim a b f b f a k b a-+→→-=-.证明 （希望把极限式写成导数定义中的形式）()()()(0)()(0)f b f a b f b f a f a f b a b a b b a a---=---- （拟合法思想：把要证的极限值k 写成与此式相似的形式）b ak k k b a b a=--- 两式相减，可得()()()(0)()(0)0f b f a b f b f a f a f k k k b a b a b b a a---≤-≤-+----因0a -→，0b +→，所以有0b a >>，1a bb a b a<--又因(0)f k '=，故当0a -→，0b +→时右端极限为零，原极限获证.1.2 L ’Hospital 法则本节主要总结了L ’ Hospital 法则在求未定式极限中的应用，需要注意的问题，并深入分析了使用L ’ Hospital 法则时实质是对无穷小或无穷大进行降阶.另外还指出L ’ Hospital 法则与其他极限方法如无穷小的替换的结合.1. L ’Hospital 法则L ’Hospital 法则作为Cauchy 中值定理的重要应用，在计算未定式极限中扮演了十分重要的角色，这是因为对于未定式极限来讲极限是否存在，等于多少是不能用极限的四则运算法则解得的，而通过对分子分母求导再求极限能够很有效的计算出未定式的极限. 关于未定式：在计算一个分式函数的极限时，常常会遇到分子分母都趋于零或都趋于无穷大的情况，由于这是无法使用“商的极限等于极限的商”的法则，运算将遇到很大的困难. 事实上，这是极限可能存在也可能不存在. 当极限存在时极限值也会有各种各样的可能. 我们称这种类型的极限为00未定型或∞∞未定型. 事实上，未定型除以上两种类型外还有0⋅∞，∞-∞，1∞，00，0∞等类型. L ’Hospital 法则： 定理[]4 若函数f 和g 满足:① 0lim ()lim ()0x x x x f x g x →→==；② 在点0x 的某空心邻域00()U x 内可导，且()0g x '≠； ③ 0()lim()x x f x A g x →'='(A 可为有限数或∞)； 则00()()limlim ()()x x x x f x f x A g x g x →→'=='. 注：以上结论在0x x ±→，或是x →∞（包括+∞和-∞）时也是成立的.2. L ’Hospital 法则的应用a) L ’Hospital 法则能处理的基本未定型极限是00型或∞∞型例1 求lim n x x x e λ→∞（n 为正整数，0λ>）. （∞∞型）解 连续使用L ’Hospital 法则n 次122(1)!lim lim limlim 0n n n x x xn x x x x x x nx n n x n e e e e λλλλλλλ--→∞→∞→∞→∞-===⋅⋅⋅==. 从以上例中可看出L ’Hospital 法则的实质是对无穷小或无穷大进行降阶. 下面再看两个L ’Hospital 法则在解含有变限积分问题中的应用.例2 求03(1cos )limxx t dt x→-⎰.分析：因为0(1cos )x t dt -⎰可导从而连续，所以此问题属于0型，可用L ’Hospital法则求解.解 032(1cos )(1cos )limlim03xx x t dt t dt xx→→--==⎰⎰.例3 求极限110()lim xx f t x dt tαα++→⎰，其中0α>，()f x 为闭区间[]0,1上的连续函数.解 11110()()lim lim 1xxx x f t dtf t t x dt tx αααα++++→→=⎰⎰因0x →时，1x α单调递减趋于+∞， 使用L ’Hospital 法则，则111110001()()()()(0)lim lim lim lim 11xxx x x x f t f x dt f t f x f t x x dt tx xααααααααα+++++++→→→→+-====-⎰⎰. （2）在使用L ’Hospital 法则时，必须验证条件是否满足①所求的极限是否未定型极限；②求完导数后极限是否存在. 其中第二条容易忽略.例4 设()f x 为可导函数，(0)(0)1f f '==，求极限0(sin )1limsin x f x x→-.解 0(sin )1limsin x f x x →-00cos (sin )lim lim (sin )(0)1cos x x x f x f x f x→→'⋅''====. （此题不能用L ’Hospital 法则求解，错误出在题目中没有给出在处连续的条件，所以不知道的极限是否存在，即不满足条件②，题目中只是说在处可导，而定理中要求在的某个邻域中可导）当求导后的极限不存在时，原极限仍可能有极限，所以求导后极限不存在只能说明此时L ’Hospital 法则失效，不能说原式无极限.（3）对于其他未定型或极限0⋅∞、∞-∞、1∞、00、0∞等类型，可分别通过做商、通分、取对数转化成00型或∞∞型的极限，再使用L ’ Hospital 法则.例5 求极限1lim(1)tan2x x x π→-.解 2111121122lim(1)tanlimlimlim sin 22cotcsc222x x x x xx x x x xπππππππ→→→→---====-.注：这是将0⋅∞型转化成了00型，如果选择不当把它化成∞∞型，则解题过程将会比较复杂. 转化时一般规律是选择求导后式子简单的那种类型.例6 求极限01limcot x x x→-.解 将它改写成1cos sin cot sin x x x x x x x --=就化成了∞∞型，于是有01limcot x x x →-2000cos sin sin cos sin cos lim lim lim 0sin 2x x x x x x x x x x x xx x x x→→→---====. “1∞、00、0∞”可以通过如下转化化成型或型：[][]()lim ()ln ()()ln ()()ln ()lim ()lim lim g x x ag x f x g x f x g x f x x ax ax af x ee e →→→→===例7 求极限2lim (arctan )x x x π→+∞. （1∞型）解 因为2lim ln(arctan )2lim (arctan )x x x xx x eππ→+∞→+∞=而2lnarctan 2lim ln(arctan )lim1x x x x x xππ→+∞→+∞=22221112arctan 1lim lim 1arctan 1x x x x x x x x π→+∞→+∞⋅-+==⋅=-+- 所以22lim ln(arctan )2lim (arctan )x x x xx x e eπππ→+∞-→+∞==.例8 求极限1ln 0lim(cot )xx x +→. （0∞型）解 因为当0x +→时tan x x :，所以0ln 111lim 1ln ln ln ln 00011lim (cot )lim ()lim ()tan x xxxx xx x x x e e x x+→+++--→→→====.（4）利用L ’Hospital 法则求数列极限——Stolz 公式Stolz 公式可以说是数列的L ’Hospital 法则，它对求数列的极限很有用. 定理1[4]（∞∞型的Stolz 公式） 设{}n x 严格递增（即n N ∀∈有1n n x x +<）且lim n n x →∞=+∞，若① 11limn n n n n y y a x x -→∞--=-（有限数），则lim n n nya x →∞=；② a 为+∞或-∞，结论仍然成立.定理2[4]（0型的Stolz 公式）设n →∞时0n y →，{}n x 严格单调下降趋于零，若11limn n n n n y y a x x -→∞--=-，则limnn ny a x →∞=（其中a 为有限数，+∞或-∞）.例9 求极限 limln n nn →∞ .解 由于1lim lim 1ln x x x x x→+∞→+∞==+∞，所以limln n nn→∞=+∞. 例10 证明 1121lim 1p p p p n n n p +→∞++⋅⋅⋅+=+（p 为自然数）. 证 11112(1)lim lim (1)p p p pp p p n n n n n n n +++→∞→∞++⋅⋅⋅++=+-1(1)1lim (1)1(1)12p n pp n p p p p n n →∞-+==+++++⋅⋅⋅+.下面说明Stolz 公式必要时可以重复使用例11 02ln nknk n CS n ==∑（其中(1)(1)12kn n n n k C k-⋅⋅⋅-+=⋅⋅⋅⋅），求lim n n S →∞.解 因2n 单调递增趋于+∞，可应用Stolz 公式1111100022ln ln ln ln lim lim lim(1)21knn nn kk n n kn nk k k n n n n n C C C C C S n n n +++++===→∞→∞→∞+-==+-+∑∑∑ 1011ln (1)ln(1)ln 1lim lim 2121nn k k n n n n n k n k n n +==→∞→∞+++--+==++∑∑（再次使用Stolz 公式）1ln()(1)ln(1)ln ln(1)1limlim(21)(21)22nn n n n n n n n n n n →∞→∞+++--+===+--.例12 求极限121112122223222lim()()()212121n n n n n ---→∞⋅⋅⋅---.解 先取对数，再取极限.令121112122223222lim()()()212121n n n n n n x ---→∞=⋅⋅⋅---211223121212ln ln ln ln 221221221n n n n n x ---=++⋅⋅⋅+---2121231222(ln 2ln 2ln )2212121n n n n ---=++⋅⋅⋅+--- 应用Stolz 公式1212122ln 121lim ln lim lim ln ln 212222n n nn n n n n n n x ----→∞→∞→∞--===--故, 原式1lim 2n n x →∞==.（5）L ’Hospital 法则与其他方法相结合使用，如与无穷小相结合.例13 求极限22201cos lim sin x x x x →-.解 422240011cos 12lim lim sin 2x x xx x x x →→-==. 有个别题目在使用L ’Hospital 法则时会出现循环现象，此时不能用L ’ Hospital 法则求解， 如下面一例.例14 求极限 lim x xx x x e e e e --→+∞-+.解 221lim lim11x x xx x xx x e e e e e e ----→+∞→+∞--==++.第2章 Taylor 展式在求极限问题中的应用本节介绍运用Taylor 公式求解一些较复杂的未定型的函数极限及中值点的极限、无穷远处的极限.定理1[4]（带Peano 余项的Taylor 公式）设()f x 在0x 处有n 阶导数，则存在0x 的一个邻域，对于该邻域中的任一点x ，成立()2()0000000()()()()()()()()()2!!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x r x n '''=+-+-+⋅⋅⋅+-+其中余项()()n r x 满足()0()(())n n r x o x x =- 定理2[4] （带Lagrange 余项的Taylor 公式）设()f x 在[],a b 上有n 阶连续导数，且在(,)a b 上有1n +阶导数. 设[]0,x a b ∈为一定点，则对于任意[],x a b ∈，成立()2()0000000()()()()()()()()()2!!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x r x n '''=+-+-+⋅⋅⋅+-+其中余项()()n r x 满足(1)()10()()()(1)!n n n f r x x x n ξ++=-+，ξ在x 和0x 之间. 注：函数()f x 在0x =处的Taylor 公式又称为函数()f x 的Maclaurin 公式. 几个常用函数的Maclaurin 公式:（为了便于书写，我们写出带Peano 余项的Taylor 公式）① 231()2!3!!nxn x x x e x o x n =++++⋅⋅⋅++;② 352122sin (1)()3!5!(21)!n nn x x x x x o x n ++=-+-⋅⋅⋅+-++; ③ 24221cos 1(1)()2!4!(2)!n n n x x x x o x n +=-+-⋅⋅⋅+-+; ④ 230123(1)()()()()()()n nn x x x x x o x αααααα+=++++⋅⋅⋅++其中α为任意实数，(1)(1)()!k k k αααα-⋅⋅⋅-+=，并规定0()1α=；⑤ 2341ln(1)(1)()234nn n x x x x x x o x n -+=-+-⋅⋅⋅+-+； ⑥ 3521122arctan (1)()3521n n n x x x x x o x n +-+=-+-⋅⋅⋅+-++. 1. 用Taylor 公式巧解未定型极限由于L ’Hospital 法则的实质是对分子分母进行降阶，这意味着当遇到分子分母都是较高阶的情况时，必须多次应用L ’Hospital 法则，遇到分子分母有带根号项时，会越微分形式会越复杂. 而用公式则可进一步到位，所以在求解未定型极限时，应该灵活使用公式法解决. 从而避免应用法则出现的解题困难. 例1 求极限 2240cos limx x x e x -→-.解 这是个0未定型极限问题，如果使用L ’Hospital 法则，则分子分母需求导四次，但若使用Taylor 公式，则22422424244001[1()][1()()()]cos 2!4!22!2lim lim x x x x x x x o x o x x e x x-→→-++-+-+-+-= 44401()112lim 12x x o x x →-+==-.例2 求极限0x →.解 这也是个0未定型的极限问题，因2441()624x x o x =-+，4224sin ln(1sin )sin (sin )2x x x o x +=-+用324sin [()]6x x x o x =-+代入，即有42245ln(1sin )()6x x x o x +=-+于是0x →424244405[()]6[()]76624lim 12x x x x x o x o x x →-+--+==-. 2. 用Taylor 公式求中值点的极限例3 （《本题选自数学分析中的典型问题与方法》 裴礼文. 第2版. 第251页） 设（1）()f x 在00(,)x x δδ-+内是n 阶连续可微函数，此处0δ>； （2）当2,3,(1)k n =⋅⋅⋅-时，有()0()0n f x =但是(1)0()0n f x +≠； （3）当0h δ≠<时有000()()(())f x h f x f x h h hθ+-'=+ ①其中0()1h θ<<证明：lim ()h h θ→∞=证 我们要设法从①式中解出()h θ，为此我们将①式左边的0()f x h + 及右边的0(())f x h h θ'+在0x 处展开.由条件（2）知 12,(0,1)θθ∃∈ 使得()00001()()()()!n n h f x h f x hf x f x h n θ'+=+++(1)1()0002(())(())()(())(1)!n n n h h f x h h f x f x h h n θθθθ--''+=++- 于是①式变成1(1)1()()001002(())()()()(())!(1)!n n n n n h h h f x f x h f x f x h h n n θθθθ---''++=++- 从而()h θ=因 12,()(0,1)h θθθ∈，利用()()n f x的连续性，可得lim ()h h θ→∞=注：此题若用L ’Hospital 法则做将不胜其烦.例4 设()()()()(),(01)!n n h f x h f x hf x f x h n θθ'+=++⋅⋅⋅++<<， 且(1)()0n f x +≠，证明：01lim 1h n θ→=+.提示：1()(1)1()()()()()()!(1)!n n n n n h h f x h f x hf x f x f x o h n n +++'+=++⋅⋅⋅++++ 从而有()()(1)()()()()1n n n f x h f x h hf x o h h n θθθ++-=++. 证明 2()11()()()()()2!!n n f x h f x hf x f x h f x h h n θ'''+=+++⋅⋅⋅++ 2()11()()()()2!!n n f x hf x f x h f x h n '''=+++⋅⋅⋅+(1)111()()(1)!n n n f x h o h n ++++++另0,h →得到(1)(1)01lim ()()1n n h f x f x n θ++→⋅=+， 再由(1)()0n f x +≠，两边消去(1)()n f x +，即得到01lim 1h n θ→=+. 3. 用Taylor 公式求无穷远处的极限例5 （《本题选自数学分析中的典型问题与方法》 裴礼文. 第2版. 第249页）设函数()x ϕ在[)0,+∞上二次连续可微，如果lim ()x x ϕ→+∞存在，且()x ϕ'' 在[)0,+∞上有界，试证：lim ()0x x ϕ→+∞'=. 证明 要证明lim ()0x x ϕ→+∞'=，即要证明：0,0ε∀>∃∆>当0∆>时()x ϕε'<利用Taylor 公式，210,()()()()2h x h x x h h ϕϕϕϕξ'''∀>+=++即11()[()()]()2x x h x h h ϕϕϕϕξ'''=+-- ①记lim ()x A x ϕ→+∞=因ϕ''有界，所以，0M ∃>使得()x M ϕ''≤,（对x a ∀≥）故由①知211()(()())2x x h A A x Mh h ϕϕϕ'≤+-+-+ ②对0ε∀>，首先可取0h >充分小，使得2122Mh ε<，然后将h 固定，因lim ()x x A ϕ→+∞=，所以0∃∆>，当0x >时，1(()())2x h A A x h εϕϕ+-+-< 从而由 ②式， 即得()22x εεϕε'<+=.第3章 微分中值定理在求极限问题中的应用微分中值定理是Role 定理，Lagrange 中值定理，Cauchy 中值定理和Taylor 中值定理的统称。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
应用导数求解实际问题的例子
以下是一些应用导数求解实际问题的例子：
1. 假设一张长方形的长为x，宽为y，且其周长为20个单位长度。
求该长方形的最大面积。
解析：题目要求我们求最大面积，这意味着需要优化函数
A=xy，其中x和y都是长度单位。
由于周长为20个单位长度，可以写出等式2(x+y)=20，即x+y=10。
这个等式可以用来解出一个变量，例如，y=10-x。
现在我们可以将y代入面积函数中，从而得到A=x(10-x)=10x-x^2。
此时，我们需要求导并令导数
等于零，以便找到函数的极值点。
求导后得到A' = 10 - 2x，
令A'等于零，可以求得x=5，这是A的最大值点。
将x=5代
入原函数，得到A=25，因此该长方形的最大面积为25平方单位长度。
2. 假设你正在绕椭圆形的操场跑步，其中长轴为6个单位长度，短轴为4个单位长度。
你的速度是每秒8个单位长度，且沿椭圆形跑道以正方向移动。
在点(2,0)处你的方向是多少度？
解析：该问题需要我们求解椭圆形上的切线，因此需要将椭圆的参数方程与速度向量表示为函数，然后取导数。
对于该椭圆形，参数方程为x=3cos(t)，y=2sin(t)，其中t是参数。
速度向
量可以表示为v=<dx/dt, dy/dt>，即v=<-3sin(t), 2cos(t)>。
现在，在点(2,0)处，即当t=0时，我们可以求出速度向量的大小为
2sqrt(5)个单位长度。
椭圆形上的切线的斜率为dy/dx，可以通
过求解dy/dt和dx/dt的比率来得到。
因此，dy/dx=dy/dt/dx/dt
= (2cos(t)) / (-3sin(t))。
将t=0代入该公式，可以求得dy/dx=-
2sqrt(5)/3。
最后，用反正切函数找到与这个斜率相对应的角度，这个角度就是切线的方向角。
因此，切线的方向角为arctan(-
2sqrt(5)/3)≈-68.2度。
由于题目中要求以正方向为基础，因此
角度为360-68.2≈291.8度。
3. 一地震仪器检测到一次震动引起的被测物体到仪器的距离变化为10微米/秒。
仪器的误差为0.1微米。
在噪声下，忽略任
何速度变化。
如果在15秒内进行了一次测量，则距离变化的
最小值是多少？
解析：该问题要求我们求解距离函数的变化率的最小值，因此需要将距离函数表示为导数的形式。
在这种情况下，距离可以表示为s=vt，其中v是速度，t是时间。
由于这个问题涉及到
测量误差，因此，在测量中，距离的变化速率可以看作是正态分布的随机变数，其标准差为0.1微米。
我们可以使用标准差
的定义来得出这个随机变量的方差，方差等于
(10*15)^2*(0.1/10)^2≈11.25微米^2。
因此，距离的变化应该服
从均值为150微米，方差为11.25微米^2的正态分布。
现在，
可以使用导数来计算距离函数的斜率，该斜率等于10微米/秒。
由于正态分布是连续函数，因此对于小的区间，可以将这个变化率视为常数。
根据导数的定义，斜率等于变化率，因此距离变化的最小值等于10*15-1.96*sqrt(11.25)≈144.32微米。