运用导数解决三次函数问题课件
应用导数研究三次函数课件
知识点2 切线条数 切点的个数
数学思想方法 数形结合，特殊与一般，化归转化
思考
一般情形的证明
对于对称问题，在函数中讲到了很 多，你能用所学知识证明一般三次函数 f (x) ax3 bx2 cx d (a 0) 的对称中心 是 ( b , f ( b ))的这个结论吗？
3a 3a
g(x) x3 3x2 2x 1 (1,1)
x y20
过对称中心的切线只有1条
上下区域 1条
左右区域 3条
切线上（除对称中心） 2条
曲线上（除对称中心） 2条
一般情形
小结
知识点1 对称中心
三次函数有唯一的对称中心，对称中心的横 坐标与其导函数顶点的横坐标相同. ( b , f ( b ))
应用导数研究三次函数
图像的对称性及切线条数
湖北省黄冈中学 袁小幼
函数 y x3图像的对称性
函数 y 的x3图像关于（0，0）对称.
三次函数的图像有唯一的对称中心，对称中 心的横坐标与其导函数顶点的横坐标相同.
一般三次函数图像的对称性
三次函数 f (x) ax3 bx2 cx d (a 0)图像 的对称中心是什么?
f (x) 3ax2 2bx c 3a(x b )2 c b2
3a
3a
( b , f ( b )) 3a 3a
三次函数在对称中心处的切线
函数 g(x) x3 3x2 2x 1 过对称中心 (1,数图像切线条数的探究
同样的，你能证明切线条数的一般 性结论吗？
谢 谢！
高考数学专题复习《导数的综合应用》PPT课件
(1)∀x∈D,f(x)≤k⇔f(x)max≤k;∃x∈D,f(x)≤k⇔f(x)min≤k;
(2)∀x∈D,f(x)≤g(x) ⇔f(x)max≤g(x)min;∃x∈D,f(x)≤g(x) ⇔ f(x)min≤g(x)max.
4.含两个未知数的不等式(函数)问题的常见题型及具体转化策略
(+1)ln
H(x)=
,则
-1
1
=
--2ln
(-1)
2
,
2 -2+1
K'(x)= 2 >0,于是
K(x)在(1,+∞)上单调递增,
所以 K(x)>K(1)=0,于是 H'(x)>0,从而 H(x)在(1,+∞)上单调递增.由洛必达法
(x+1)x
则,可得 lim+
x-1
→1
取值范围是(-∞,2].
第三章
高考大题专项(一) 导数的综合应用
内
容
索
引
01
突破1
利用导数研究与不等式有关的问题
必备知识预案自诊
关键能力学案突破
02
突破2
利用导数研究与函数零点有关的问题
必备知识预案自诊
关键能力学案突破
【考情分析】
从近五年的高考试题来看,对导数在函数中的应用的考查常常是一大一小
两个题目,其中解答题的命题特点是:以三次函数、对数函数、指数函数及
(1)∀x1∈[a,b],x2∈[c,d],f(x1)>g(x2)⇔f(x)在[a,b]上的最小值>g(x)在[c,d]上的
最大值.
(2)∃x1∈[a,b],x2∈[c,d],f(x1)>g(x2)⇔f(x)在[a,b]上的最大值>g(x)在[c,d]上的
利用导数处理三次多项式函数中的问题
②当a<0时， >0 <x<1； <0 或x>1，
∴g(x)极大值为g(1)=- >0，
g(x)极小值为g( )= Байду номын сангаас0.
∴当a<0时，g(x)的图像与x轴有三个不同的交点.
如图3.4—21.
③当0<a 1时， <0 <x<1； >0 或x>1，
(注： =0在x M是否有解，应由 的具体的解析式而定)
例3.已知函数f(x)=x3-ax2+(3-2a)x+b在为增函数，求a的最大整数值.
解:∵f(x)为(0，+ )上的增函数，∴ =3x2-2ax+3-2a 0，对x>0恒成立，
只需a min.∵ =
.当且仅当x= 时取等号.∴ min= .
则a 1.242.∴满足条件的a的最大整数值为1.
说明:
(1)当函数f(x)在x=x0处的导数值等于零，则称x=x0f(x)的一个驻点.
(2)当a<0时，可类似研究f(x)=ax3+bx2+cx+d与其导函数 =3ax2+2bx+c的关系.
例1.已知函数f(x)=ax3+2x2+ax+1(a 0)的图像上存在极值点，则a的取值范围.
解:由 =3ax2+4x+a与f(x)的图像的关系知，f(x)的图像上存在极值点对应着 的判别式
g(x)的极大值为g(1)=- <0，
g(x)极小值为g( )= >0.
∴当0<a≤1时，g(x)的图像与x轴只有一个交点图3.4—22.
运用导数解决三次函数问题
运用导数解决三次函数问题作者：陈志国来源：《理科考试研究·高中》2014年第01期三次函数及其相关的问题，近年来在各级各类考查试卷中经常出现，其中大部分题型都可利用导数法来求解.本文介绍几种常见类型的求解方法，供参考.一、三次函数的切线例1 已知函数f（x）=x3-x+2，试求过点P（1，2）的曲线y=f（x）的切线方程.解析设切点P0（x0，y0），由f ′（x）=3x2-1，则f ′（x0）=3x20-1，过点P0的方程为y-y0=f ′（x0）（x-x0），即y-（x30-x0+2）=（3x20-1）（x-x0）. 又切线过点P（1，2），则2-（x30-x0+2）=（3x20-1）（1-x0），分解因式得（x0-1）2（2x0+1）=0，解之得x0=1或x0=-12.则f ′（-12）=-14，f ′（1）=2.故所求的切线方程为y-2=-14（x-1）和y-2=2 （x-1）.二、三次函数的单调性例2 已知函数f（x）=x3-ax+b，①若f（x）在实数集R上单调递增，求a的取值范围；②若f（x）在（-1，1）上单调递减，求a的取值范围.解析f ′（x）=3x2-a.①依题意，有3x2-a>0在R上恒成立，即a三、三次函数的极值例3 已知函数f（x）=13x3+12ax2+2bx+c，若当x ∈（0，1）时，f（x）取得极大值；x ∈（1，2）时，f（x）取得极小值；求b-2a-1的取值范围.解析f ′（x）=x2+ax+2b，令f ′（x）=0，由题意知，上述方程应满足：一根在（0，1）内，另一根在（1，2）内.由y=f ′（x）的图象知f ′（0）>0，f ′（1）f ′（2）>0b>0，a+2b+1a+b+2>0.图1在aOb坐标系中作出上述区域（如图1所示）.而b-2a-1的几何意义是：过两点P （a，b）与D（1，2）的直线斜率.而P（a，b）在区域内，由a+2b+1=0，a+b+2=0得A（-3，1），由b=0，a+b+2=0得B（-2，0），由b=0，a+2b+1=0得C（-1，0）.由图知kDA四、三次方程根的判定例4 设a∈R，试讨论关于x的三次方程x3-3x2-a=0有相异实根的个数.解析将方程变形为x3-3x2=a（*），令y= f（x）=x3-3x2，则y′=3x（x-2），令y′=0得x=0或x=2.当x∈（-∞，0）时，y′>0；图2当x∈（0，2）时，y′当x∈（2，+∞）时，y′>0.故f（x）的极大值是f（0）=0，极小值是f（2）=-4.于是函数y=f（x）=x3-3x2的大致图象如图2.因为方程（*）的相异实根的个数，是y= f（x）的图象和直线y=a的交点的个数，所以相异实根个数为：（1）当a0时，有1个；（2）当a=-4或a=0时，有2个；（3）当-4五、与三次函数有关的应用题例5 某工厂生产某种产品，已知该产品月产量x（吨）与每吨产品的价格P（元/吨）之间的关系为P=24200-15x2，且生产x吨的成本为R=50000+200x元，问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？解析每月生产x吨时的利润为f（x）= （24200-15x2）x-（50000+200x）=-15x3+24000 x-50000（x≥0）. 由f ′（x）=-35x2+24000=0解得x1=200， x2=-200（舍去）.因f（x）在[0，+∞）内只有一个极值点x=200，且x∈（0，200）时，f ′（x） >0，x∈（200，+∞）时，f ′（x）六、与三次函数有关的不等式问题例6 已知函数f（x）=x3+ax+b定义在区间[0，1]上，且f（0）=f（1），若x1，x2∈[0，1]，求证：|f（x1）-f（x2）|解析由f（0）=f（1），得1+a+b=ba=-1，所以f（x）=x3-x+b.f ′（x）=3x2-1，令f ′（x）=3x2-1=0，得x=±33.又x∈[0，1]，而x∈（0，33）时，f ′（x） 0.所以当x=33时，f （x）有最小值f（33）=b-239.又当x=0或1时，f（x）取最大值b.故|f（x1）-f（x2）|≤[f （x）]max- [f（x）]min=239。
导数在三次函数中的运用
f '(x)
f '(x)
f '(x)
o
x
3k 0 0
k 1
o
不符合题意
k 1
导数在三次函数中的运用
例3 函数 f (x) kx3 3x2 3x 1(k 0) 在R上是增函数,
求实数k的取值范围.
分析 f (x) 3kx2 6x 3
Q k 0, f (x)图象是一条过定点(0,3)的抛物线
极值 点个
数
单 调 性
a>0
Δ>0
Δ≤0
a<0
Δ>0
Δ≤0
2
0
2
0
在(, x1),(x2, )上
在(, x1),(x2, )上
是增函数;
在R上是 是减函数;
在R上是
在 (x1, x2)上是减 增函数 在 (x1, x2)上是增 减函数
函数
函数
三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)
其导数为f´(x)=3ax2+2bx+c(a≠0)
分析 (1) f (x) 3x2 3， 令 f (x) 0,得x=±1. f(x)随x变化：
(2)f(0)=0,f(3)=18, 则f(x)min=-2，f(x)max=18
导数在三次函数中的运用
例1 已知函数 f (x) x3 3x, x R
变式一二 若关于xx的的不方等程式f f(x(x) )ak有在3[个0互,3不]上相恒等成的立实，
根，求求实实数数ak的取值范围。
分析 (1) f (x) 3x2 3， 令 f (x) 0,得x=±1. f(x)随x变化：
(2)f(0)=0,f(3)=18, 则f(x)min=-2，f(x)max=18
追根溯源,引出活水——基于导数在三次函数极值问题中的运用
与极 小值 ．
析
本题 是课 本 教材 改 编 的基 础 性 试 题 ， 三次 函 数极 值 问题 的根 题 ， 利 用 导数 解 决 该 类 试 题
◇ 解 析 根 据 题 意 三 次 函 数厂 （ ｚ ） 的 图 象 经 过４ 个象
在 ２个 不 等 的零 点 之 间的等 价 关 系是 解 题 关键 之 处 ，
和 感 觉头疼 的方 面 ， 这 就 要 求 一 线数 学教 师在 平 时教
学 中应 该 注重 分类 讨论 思 想方 法 的渗透 ， 注 重 学 生能 力 的培 养． 总 而言 之 ， 导数 是处 理 三次 函数极 值 问题 的一把
１ ２ ａ － ４（ 口 ∈Ｒ） ， 若 － 厂 （ ｚ ） 在 ｚ — 。 处 取 得极 小 值 且满
三次 函数 极 值 问题 的“ 根源” 出发 ， 进 行 合 理 的 引 申与
拓展 ， 让 学生 创新 思 维 的“ 活水 ” 不断 涌 出．
∞ Ｊ ■ ０
例 １ 试求函数 厂 （ ｚ ） 一詈 。 一８ ｘ ＋６的极大值
Ｊ
变式３ 已知函数 － 厂 （ ｚ ） 一÷ｎ ＋寺口 ｚ － ２ ａ ｘ ＠
ｆ （ ） 一厂 （ 一２ ） 一 ； 一 ２时 （ ） ＝ ： ＝ ， （ ２ ） 一一 １ ４
．
或 ｚ 一１ ， 则
｛ ｆ 。 ’
解 得 厂 （ ｚ ） 一 。 ＋口 ＿ ｚ ＋ｂ ｘ＋ｎ 在 一１ 处 存在 极值 为 １ ０ ， 试求 ： ａ ＋ｂ的值．
限， 说 明三次 函 数不 能纯 粹 的 单 调 递增 或 者
是 常见 的解 题方 法 ． 由题 意 得 ｆ （ ） 一２ ｘ 。 一８ ＝０ ， 即
运用导数解决三次函数问题教学设计
课题：运用导数解决三次函数问题（教案）一．教学目标引导学生归纳反思运用导数工具研究三次函数的有关问题，进一步体会导数在研究函数性质中的重要作用。
二、教学重点：运用导数工具认识三次函数图像及与其有关的切线、极值等有关问题三、教学难点：灵活解决三次函数中含参数以及与坐标轴的交点问题。
课前准备：学生阅读教材并完成本节学案四、教学过程：引例1：画一画：如何画出下面函数函数的图像133123+--=x x x y 动画演示：（几何画板） （一）想一想:三次函数与其导函数图象之间的关系a>0 a<0 f′(x )= 3ax 2+ 2bx+c 判判别式△>0 △=0 △<0 △>0 △=0 △<0 图图象f (x )=ax 3+bx 2+cx +d单单调性图图象引例2：练一练：方程x 3－6x 2+9x －10=0的实根个数是（二）探一探：三次函数图像与x 轴交点有哪几种可能性？回顾三次函数的图像情况：结论：1. 三次函数没有极值或极大值小于零或极小值大于零时图像与x 轴交点只有一个；2. 三次函数极大值等于零或极小值等于零时图像与x 轴交点有二个；3. 三次函数极大值大于零且极小值小于零时图像与x 轴交点有三个.（三）与三次函数有关问题：例1：（2009北京文）设函数3()3(0)f x x ax b a =-+≠.（Ⅰ）若曲线()y f x =在点))2(,2(f 处与直线8y =相切，求,a b 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间与极值点.【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力．（Ⅰ）()'233f x x a =-,∵曲线()y f x =在点))2(,2(f 处与直线8y =相切，∴()()()'203404,24.86828f a a b a b f ⎧=-=⎧=⎧⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨=-+==⎪⎩⎪⎩⎩ （Ⅱ）∵()()()'230f x x aa =-≠, 当0a <时，()'0f x >，函数()f x 在(),-∞+∞上单调递增，此时函数()f x 没有极值点.当0a >时，由()'0f x x =⇒=当(,x ∈-∞时，()'0f x >，函数()f x 单调递增，当(x ∈时，()'0f x <，函数()f x 单调递减，当)x ∈+∞时，()'0f x >，函数()f x 单调递增，∴此时x =()f x的极大值点，x =()f x 的极小值点.小结1：（1） 切线问题处理（2） 单调性、极值问题例2：设函数329()62f x x x x a =-+-,若方程 f (x )=0 有且仅有一个实根，求 a 取值范围． 解：'2()3963(1)(2)f x x x x x =-+=--, 因为 当1x <时, '()0f x >;当12x <<时, '()0f x <;当2x >时, '()0f x >; 所以 当1x =时,()f x 取极大值 5(1)2f a =-; 当2x =时,()f x 取极小值 (2)2f a =-;故当(2)0f > 或(1)0f <时, 方程()0f x =仅有一个实根. 解得 2a <或52a >. 变式：(1）若方程 f (x )=0 有三个不同的实根，求 a 的取值范围（2）若函数y=f (x )图象与直线y =4 有三个不同的实根，求 a 的取值范围（3）设函数 g (x )=2x+b-a .若f (x )、g (x )图像只有一 个公共点，求b 的取值范围.小结2：方程根的情况与相应函数图像与x 轴交点之间的关系。
用导数法解三次函数问题
导数法解“三次”函数问题新教材中导数内容的介入，为研究函数的性质提供了新的活力，通过求导可以研究函数的单调性和极值，其操作的步骤学生易掌握，判别的方法也不难。
特别地，当f(x)为三次函数时，通过求导得到的f /(x)为二次函数，且原函数的极值点就是二次函数的零点；同时利用导数的几何意义：曲线在某一点P （00,y x ）处的切线的斜率)(0/x f k =，可得到斜率 k 为关于0x 的二次函数。
根据这些特点，一般三次函数问题，往往可通过求导，转化为二次函数或二次方程问题，然后结合导数的基本知识及二次函数的性质来解决。
下面笔者从课堂或试卷上出现的这一类型题目中选择几例，同时结合学生产生的问题，略作说明。
例1：已知f(x)=d cx bx x +++23在（—∞，0）上是增函数，在[0，2]上是减函数，且方程f(x)=0有三个根，它们分别为α、2、β.（1） 求c 的值；（2） 求证：f(1)≥2（3） 求｜α-β｜的取值范围。
解：（1）,23)(2/c bx x x f ++=由题意可得：x=0为f(x)的极值点，∴0,0)0(/=∴=c f（2）令023)(2/=+=bx x x f ，得32,021b x x -== ∵f(x)在（—∞，0）上是增函数，在[0，2]上是减函数， ∴232≥-b ，即3-≤b 又∵b d d b f 48,048,0)2(--=∴=++∴=∴.2371)1(≥--=++=b d b f（3）∵方程f(x)=0有三个根α、2、β.∴设),)(2()(223n mx x x d cx bx x x f ++-=+++= 由待定系数法得2,2d n b m -=+= ∴α、β为方程02)2(2=-++d x b x 的两根， ∴ α+β=-（b+2），αβ=-d/2；∴｜α-β｜2=16)2(1242)2(222--=--=++b b b d b∵3-≤b ，∴｜α-β｜2≥9，∴｜α-β｜ ≥3一般地，若已知三次函数f(x)=)0(23>+++a d cx bx ax 在（—∞，m ）上是增函数，在[m ，n]上是减函数，在（n,+∞）上是增函数,则二次方程f /(x)=0即0232=++c bx ax 的两个根为m ，n ；且当),(),(+∞⋃-∞∈n m x 时f /(x)>0，当),(n m x ∈时f /(x)<0，反之亦然。
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例2：设函数 f (x) x3 9 x2 6x a ,若方程 f(x)=0 有且仅有一
2
个实根，求 a 的取值范围．
变式：
（1）若方程 f(x)=0 有三个不同的实根，求 a 的取值范围 （2）若函数y=f(x)图象与直线y=4 有三个不同的实根，求 a
的取值范围
（3）设函数 g(x)=2x+b-a.若f(x)、g(x)图像只有一 个公
共点，求b的取值范围.
练习：
已知函数f (x) x3 bx2 cx d (b、c、d为常数），当k (,0) (4,)时， f (x) k 0.只有一个实根；当k (0,4)时，f (x) k 0有3个相异实根。 现给出下列四个命题：
①、f (x) 4和f (x) 0有一个相同的实根 ②、f (x) 0和f (x) 0有一个相同的实根 ③、f (x) 3 0的任一实根大于f (x) 1 0的任一实根 ④、f (x) 5 0的任一实根小于f (x) 2 0的任一实根
思考:已知函数 f（x）=x3-x.
(1)求曲线y=f (x)在点M(t, f(t))处的切线方程; (2)设a>0,若过点A(a,b)可以作曲线y= f（x）的三条切线, 求证:-a<b<f(a).
五、练习题：
已知函数f(x)=x3-3ax-1,a≠0. (1)求f(x)的单调区间; (2)若f(x)在x=-1处取得极值,直线y=m与y=f(x)的 图象有三个不同的交点,求m的取值范围.
课题：运用导数解决有关三次函数问题
引例1： 画一画：如何画出下面三次函数的图像？ Y
导函数：
y x2 2x 3
函数：
几何画板演示
y 1 x3 x2 3x 1 3
-1 O Y
X 3
-1 O
X 3
一、想一想:三次函数与其导函数图象之间的关系
判
f′(x)
别 式
=
3ax2+ 2bx+c 图
象
其中正确命题的是__①_②__④___
演示
四、品一品：
从本节课的学习中，体会到了什么？
课堂小结
本节课我们运用了导数工具对三次函数进行初步研究： （1）了解三次函数图像形状 （2）了解三次函数的性质（单调性、极值、与x轴交点情况） （3）初步掌握三次函数的有关题型：
①切线问题 ②单调性与极值问题 ③ 图像交点与方程解的问题 并从中体会等价转化思想、函数与方程思想、数形结合思想及分 类讨论思想在解题中的重要作用。
减区间: (-∞, +∞)
减区间: (-∞, +∞)
引例2： 方程x3－6x2+9x－10=0的实根个数是
-15
-10
2 -5
-2 -4 -6 -8 -10 -12
5
10
15
二、探一探： 三次函数图像与x轴交点有哪几种可能性？
6
6
6
6
4
4
2 2
C
-15
-10
-5
5
10
15
-15
-10
-5
5
10
15
△>0
a>0 △=0
△<0
△>0
a<0 △=0
△<0
增区间:
单 (-∞, x1), 调 (x2, +∞)
f(x)= 性 减区间:
ax3+b x2+cx
(x1, x2)
+d 图
象
增区间: (-∞, +∞)
增区间: (-∞, +∞)
减区间: (-∞, x1), (x2, +∞)
增区间: (x1, x2)
求 a, b 的值；
（Ⅱ）求函数 f (x) 的单调区间与极值点.
小结1： （1）、切线问题：首先，关注是“过”某点还是“在”某点；其次，对于“在”某点
处的切线问题主要是从三方面考虑（f ' (x0） k；点(x0 , y0 )在曲线上；点(x0 , y0 )在切线上） （2）、单调性、极值问题：从导函数入手，列表分析。
4
4
-2 -2
-4 -4
-6
2
2
-6
-8 -8
-15
-10
-5
-15
-10 5
-5 10
15
5
10
6
-2
-2
6
4 4
2
-15
-10
-5
C -2
5
10
15
2
-15
-10
-5
C
-2
5
10
15
-4
-4
-4
-4
-6
-6
-6 -6
-8
-8
பைடு நூலகம்
-8
-8
结论:
1. 三次函数没有极值或极大值小于零或 极小值大于零时图像与x轴交点只有一个；
2. 三次函数极大值等于零或极小值等于 零时图像与x轴交点有二个；
3. 三次函数极大值大于零且极小值小于 零时图像与x轴交点有三个.
三、与三次函数有关问题
例1、（2009北京文）设函数. f (x) x3 3ax b(a 0)
（Ⅰ）若曲线 y f (x)在点 (2, f (2)) 处与直线 y 8 相切，
课外作业：
1、复习归纳本节内容 2、试卷一份：《三次函数专题小练》