专题3.3 利用导数研究函数的最值、极值-2020届高考数学一轮复习学霸提分秘籍(解析版)
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第三篇 导数及其应用
专题3.03 利用导数研究函数的极值、最值
【考点聚焦突破】
考点一 利用导数解决函数的极值问题 角度1 根据函数图象判断函数极值
【例1-1】 已知函数f (x )在R 上可导,其导函数为f ′(x ),且函数y =(1-x )f ′(x )的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是( )
A.函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)
B.函数f (x )有极大值f (-2)和极小值f (1)
C.函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (-2)
D.函数f (x )有极大值f (-2)和极小值f (2) 【答案】 D
【解析】 由题图可知,当x <-2时,f ′(x )>0;当-2
【规律方法】 由图象判断函数y =f (x )的极值,要抓住两点:(1)由y =f ′(x )的图象与x 轴的交点,可得函数y =f (x )的可能极值点;(2)由导函数y =f ′(x )的图象可以看出y =f ′(x )的值的正负,从而可得函数y =f (x )的单调性.两者结合可得极值点. 角度2 已知函数求极值
【例1-2】 (2019·天津和平区模拟)已知函数f (x )=ln x -ax (a ∈R ). (1)当a =1
2
时,求f (x )的极值;
(2)讨论函数f (x )在定义域内极值点的个数. 【答案】见解析
【解析】(1)当a =12时,f (x )=ln x -12x ,函数的定义域为(0,+∞)且f ′(x )=1x -12=2-x
2x ,
令f ′(x )=0,得x =2,
于是当x 变化时,f ′(x ),f (x )的变化情况如下表.
x (0,2) 2 (2,+∞)
f ′(x ) +
0 -
f (x )
ln 2-1
故f (x )在定义域上的极大值为f (x )极大值=f (2)=ln 2-1,无极小值. (2)由(1)知,函数的定义域为(0,+∞), f ′(x )=1
x -a =1-ax x
(x >0).
当a ≤0时,f ′(x )>0在(0,+∞)上恒成立,
即函数在(0,+∞)上单调递增,此时函数在定义域上无极值点; 当a >0时,当x ∈⎝⎛⎭⎫0,1
a 时,f ′(x )>0, 当x ∈⎝⎛⎭⎫1
a ,+∞时,f ′(x )<0, 故函数在x =1
a
处有极大值.
综上可知,当a ≤0时,函数f (x )无极值点, 当a >0时,函数y =f (x )有一个极大值点,且为x =1
a
.
【规律方法】 运用导数求可导函数y =f (x )的极值的一般步骤:(1)先求函数y =f (x )的定义域,再求其导数f ′(x );(2)求方程f ′(x )=0的根;(3)检查导数f ′(x )在方程根的左右的值的符号,如果左正右负,那么f (x )在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么f (x )在这个根处取得极小值.特别注意:导数为零的点不一定是极值点.
角度3 已知函数的极(最)值求参数的取值 【例1-3】 (2019·泰安检测)已知函数f (x )=ln x . (1)求f (x )图象的过点P (0,-1)的切线方程;
(2)若函数g (x )=f (x )-mx +m
x 存在两个极值点x 1,x 2,求m 的取值范围.
【答案】见解析
【解析】(1)f (x )的定义域为(0,+∞),且f ′(x )=1
x .
设切点坐标为(x 0,ln x 0),则切线方程为y =1
x 0x +ln x 0-1.
把点P (0,-1)代入切线方程,得ln x 0=0,∴x 0=1. ∴过点P (0,-1)的切线方程为y =x -1.
(2)因为g (x )=f (x )-mx +m x =ln x -mx +m
x (x >0),
所以g ′(x )=1x -m -m x 2=x -mx 2-m
x 2=-mx 2-x +m x 2,
令h (x )=mx 2-x +m ,
要使g (x )存在两个极值点x 1,x 2,
则方程mx 2-x +m =0有两个不相等的正数根x 1,x 2.
故只需满足⎩⎪⎨⎪⎧h (0)>0,
12m >0,
h ⎝⎛⎭
⎫12m <0即可,解得0 2 . 【规律方法】已知函数极值,确定函数解析式中的参数时,要注意:(1)根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组,利用待定系数法求解;(2)因为导数值等于0不是此点为极值点的充要条件,所以用待定系数法求解后必须检验. 【训练1】 (1)(2017·全国Ⅱ卷)若x =-2是函数f (x )=(x 2+ax -1)·e x -1 的极值点,则f (x )的极小值为( ) A.-1 B.-2e - 3 C.5e - 3 D.1 【答案】 A 【解析】 f ′(x )=[x 2+(a +2)x +a -1]·e x - 1, 则f ′(-2)=[4-2(a +2)+a -1]·e - 3=0⇒a =-1, 则f (x )=(x 2-x -1)·e x - 1,f ′(x )=(x 2+x -2)·e x - 1, 令f ′(x )=0,得x =-2或x =1, 当x <-2或x >1时,f ′(x )>0, 当-2 所以x =1是函数f (x )的极小值点, 则f (x )极小值为f (1)=-1. (2)(2018·北京卷)设函数f (x )=[ax 2-(4a +1)x +4a +3]e x . ①若曲线y =f (x )在点(1,f (1))处的切线与x 轴平行,求a ; ②若f (x )在x =2处取得极小值,求a 的取值范围. 【答案】见解析 【解析】①因为f (x )=[ax 2-(4a +1)x +4a +3]e x , 所以f ′(x )=[ax 2-(2a +1)x +2]e x .