用导数研究三次函数

用导数研究三次函数一、知识点解析1定义:定义1、形如y =ax3∙bx2∙ CX ∙d(a =0)的函数，称为“三次函数”。

定义2、三次函数的导函数为二次函数：f / (x) = 3ax2 2bx c(a = 0),我们把2 2=4b -12ac=4(b -3ac),叫做三次函数导函数的判别式。

2、三次函数图象与性质的探究：1、单调性2 3 2一般地，当b -3ac二0时，三次函数y = ax bx ∙cχ∙d(a=0)在R上是单调函数；当b -3ac 0时，三次函数y = ax bx CX d(a 0)在R上有三个单调区间。

2、对称中心3 2三次函数f (x) = ax bx CX d (^∙-z 0)是关于点对称，且对称中心为点b b(—I f (—))，此点的横坐标是其导函数极值点的横坐标。

3a 3ay= f(x)图象的对称中心在导函数y=∕'O)的对称轴上，且又是两个极值点的中点，同时也是二阶导为零的点。

3、三次方程根的问题(1)当.∙, =b2 _3ac乞0时，由于不等式「(X)恒成立，函数是单调递增的，所以原方程仅有一个实根。

■ 0时，由于方程f(X)= 0有两个不同的实根x1, X2,不妨设(2)当厶=b2 _3acX i ：：：x2, 可知，(χ1,f(χj)为函数的极大值点,(X2, f(x2))为极小值点，且函数y = f(x)在(」：，X1)和(x2, ■--)上单调递增，在"x1,x2 I上单调递减。

此时：①若f (x1) f (x2) 0 ,即函数y = f (x)极大值点和极小值点在X轴同侧，图象均与X轴只有一个交点，所以原方程有且只有一个实根。

②若f (χ1) f (χ2) ：：：0 ,即函数y = f (x)极大值点与极小值点在X轴异侧，图象与X轴必有三个交点，所以原方程有三个不等实根。

③若f(X1) f(X2^0 ,即f(X1)与f(X2)中有且只有一个值为0,所以，原方程有三个实根，其中两个相等。

4、极值点问题若函数f(X)在点X o的附近恒有f(X 0) ≥ f(X)(或f(X 0) ≤ f(x)),则称函数f(x) 在点X o 处取得极大值(或极小值)，称点X o为极大值点(或极小值点)。

当.「0时，三次函数y=f X在一:：，•：:上的极值点要么有两个。

当「：_0时，三次函数y =f X在-：L上不存在极值点。

5、最值问题。

函数JV ∈［^f丹h 若心w［删F 畀］,且,'-'I1,则：f maX X -∖ f m ,f X o ,f n：■；，「、----- 。

6、过三次函数上一点的切线问题3 2设点P为三次函数f (χ) =ax bX ∙ ex ∙ d(a = 0)图象上任一点，则过点 P —定有直线与y = f (X)的图象相切。

若点 P为三次函数图象的对称中心，则过点 P有且只有一条切线；若点P不是三次函数图象的对称中心，则过点 P有两条不同的切线。

7、过三次函数外一点的切线问题3 2设点P(X,yO)为三次函数f(x) =ax bx ex d(a=0)图象外，则过点P —定有直线与N = f (X)图象相切。

可能有一条、两条或三条。

(具体情况分析不作要求) 8、f (x) =ax3 bx2 ex d( a - 0)类似于二次函数的图像和性质表：的交点单调性在(—I Xj和(X2,畑)上为增函数•，在(X1, X2)上为减函数在R上为增函数极值有两个极值，一个极大值f(xj ,—个极小值f(X2)无极值、经典题型一、考查函数的奇偶性和单调性例1 已知函数f(x)=x3+px+q(x∈ R)是奇函数，且在 R上是增函数，则( )A、p=0,q=0B、P ∈ R,q=0 C P ≤ 0,q=0D、P ≥解析由奇函数以及增函数的定义易知选D二、考查函数图象的对称性例2函数f(x)=x3-3x2+x-1的图象关于()对称A、直线x=1B、直线y=x C 点(1,-2)D、原点解析由f(x)=ax3+bχ2+cx+d(a≠0)的图象关于 -3⅛,d -牆•黑成中心对称知选 C2 7a2 2例3、( 2013课标全国，16)若函数f(x)=(1-x)(X +ax+b)的图像关于直线 x=-2对称，则f (x)的最大值为_______________2 2 f (0) = f (—4)解析：函数f (x) =(1 -X )(x +ax + b)的图象关于直线 x=-2对称，则Jf(1)= f(—5)解得a=8, b=5,所以f(x) =(1-χ2)(χ2∙ 8χ 15)可以解得f (x)的最大值为16。

三、运用函数的性质和数形结合思想解题3 2 .. ..例4 已知函数f(x)=ax +bx +cx+d的图象如图所示，则(A、b ∈ (-∞ ,0)B、b ∈ (0,1)C b ∈ (1,2) D、b∈(2,+ ∞)解析显然 f(0)=d=0 ,由 f(x)=ax(x-1)(x-2)知 a>0,又 f(x)= ax -3ax+2ax比较系数可知 b=-3a<0，故选 A 引申试确定的a,b,c,d符号(答：a>0,b<0,c>0,d=0)例5 (2013课标全国π卷，10)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c下列结论中错误的是()(A) T X α∈ R,f(Xα ) = 0(B) 函数y=f(x)的图像是中心对称图形(C) 若X a是f(x)的极小值点，贝U f(x)在区间(-∞,Xα)单调递减(D) 若X0是f (X)的极值点，贝U f ' X0 =0解析：由三次函数值域为R知f(x)=0有解，A正确；由性质可知B正确;由性质可知若f(x)有极小值点，则 f (X) = 0由两个不相等的实数根X1,X2(X1 ：：：X2), f (x) =3X2∙ 2ax ∙ b =3(X -X I)(X-X2),则 f(x)在(-∞,xQ上为增函数，在(x h x2)上为减函数，在(X2, , :：)上为增函数，故C错。

D正确。

选C O四、考查单调区间、极值、最值的问题3 2例6 (2010年全国卷∏文)已知函数 f (X) =X -3ax +3x+1°(I)设a=2,求f (X)的单调区间；(∏)设f (X)在区间(2,3 )中至少有一个极值点，求a的取值范围。

解析：(2)求出函数的导数f(X),在(2, 3)内有极值，即为 f (X)在(2, 3)内有一个零点，即可根据f⑵f(3)“° ,即可求出a的取值范围。

五、考查交点个数问题3例 7 (2009 陕西文2°)已知函数f (x) = X - 3ax- 1, a °(1)求f (X)的单调区间；(II )若f (X)在X= _1处取得极值，直线 y=m与y = f (X)的图象有三个不同的交点,求m的取值范围.解：(1) f'(x) = 3x2 - 3a =3(x2 - a),当a < 0时，对X ∙ R ,有f '(x) 0,所以f (x)的单调增区间为(-：：，•：：)当a 0时，由f (x) > 0解得X < -Va或XA Ja ,由f( X) < 0解得一為* G,所以f (x)的单调增区间为、a),(. a ,：：),单调减区间为(-.a, .a)∙(2)因为f (X)在x = -1 处取得极大值，所以f'(-i) =3 (-1)2-3a=0,∙ a=1.所以f(x) = x -3x-1,f(x)=3x -3由彳(x) = 0解得x1- - 1,x2 = 1 ∙由(1)中f (X)的单调性可知，f (X)在X = -1处取得极大值1 ,在X = 1处取得极小值-3.因为直线与函数月=f(X)的图象有三个不同的交点，所以m的取值范围是(-3,1).点评：(1)本题是三次函数零点存在性问题的典型变式题，涉及图象交点向函数零点的转化关系；(2)本题最终将问题转化为研究三次函数根的分布，采用极值(最值)控制法；(3)在这里应结合上面例题进一步揭示研究二次方程与三次方程实根分布问题在方法上的本质关系，以便进一步加深对函数极值(最值)的认识和对利用导数研究函数性质.六、考查曲线的切线问题3例8( 2007全国II理22)已知函数f(x) =X -X .( 1)求曲线y = f(x)在点M (t, f (t))处的切线方程；(2)设a 0 ,若过点(a, b)可作曲线y = f(x)的三条切线，证明：£ ：：b ：：f(a)解：(1) f (x)的导数f(x)=3χ2-1 •曲线y = f(x)在点M(t, f(t))处的切线方程为:2 3y 一f (t) = f (t)(x —t),即y =(3t —1)x —2t •2 3(2)如果有一条切线过点(a, b),则存在t ,使b=(3t -1)a-2t .若过点(a, b)可作曲线y = f (X)的三条切线，2则方程2t -3at a ^0有三个相异的实数根.记g(t) =2t3 -3at2 a b ,则g (t) = 6t2 -6at = 6t(t -a).当t变化时，g(t), g (t)变化情况：由g(t)的单调性，当极大值a b ：0或极小值b-f(a) ∙0时，方程g(t)=O最多有一个实数根；当a ^O时，解方程g(t) =0得t =0, t =3a,即方程g(t) =0只有两个相异的实2a数根；当b-f(a)=O时，解方程g(t)=0得t , t=a ,即方程g(t) = 0只有两个相异2的实数根.综上所述，如果过(a, b)可作曲线y= f(x)三条切线，即g(t)=0有三个相异的实数Ia + b > 0,根，贝U 即—a ：：： b ：：： f (a).lb — f (a) cθ.点评：(1)本题是前一个问题的延伸，其以导数几何意义为载体；(2)本题最终将问题转化为研究三次函数根的分布，采用极值(最值)控制法；(3)在这里应结合上面例题进一步揭示研究二次方程与三次方程实根分布问题在方法上的本质关系，以便进一步加深对函数极值(最值)的认识和对利用导数研究函数性质七、含参数的恒成立问题例9 (2008年安徽文)设函数f (X)=旦X 3 _3X2 3(a ■ 1)x -1,其中a 为实数。

3 2(I)已知函数 f (X)在x =1处取得极值，求 a 的值；(∏)已知不等式f (x) . χ2「X -a 1对任意a (0, •：：)都成立，求实数X 的取值范围。

解析：(I) f (X)= ax -3X (a 1),由于函数f (X )在x = 1时取得极值，所以f(1) = 0 即 a -3 a 1 = 0,.∙∙ a = 1对于问题(∏)有两种方法： 方法一转化为关于a 的函数g(a)2 2由题设知：ax -3x (a 1) X - x - a T 对任意a (0√ :：)都成立2 2即a(x • 2) -X -2x 0对任意a (0,匸：)都成立设g(a) =a(x 2+2) —X 2—2x(a^ R),则对任意XER , g(a)为单调递增函数 所以对任意a ∙ (0, •：：) , g(a) 0恒成立的充分必要条件是 g(0) _0即-x 2-2x _0 , .∙. -2 _x _0 于是X 的取值范围是IX I -2空X 空0? 方法二 恒成立问题，转化为不等式的最值问题2 2由题设知：ax -3x (a 1) X -x-aV 对任意a (0√::)都成立.一2^x^0于是X 的取值范围是IX I -2空X 空0?2 2即a(x ，2)-X -2x 0对任意a (0,匸：)都成立3 (2011广东，12)函数f(x) = x 3- 3χ2+ 1在X = _______ 取得极小值.解析 T f'x (= 3x 2- 6x = 0 得 X = 0 或 X = 2..当 X ∈ (— ∞ , 0) ∪ (2,+ ∞)时 f'x (>O , f(x)为增函数.当 x ∈ (0, 2)时，f ' (x)<0, f(x)为减函数.于是ax 2 2x x 22对任意a • (0, •：：)都成立，即X 2 2x X 22<0三、高考试题检测• ∙∙ f(x)在X= 2处取得极小值.答案22、(2014辽宁，11)当x∈ [ — 2, 1]时，不等式aχ3— X2 + 4x+ 3≥0恒成立，则实数a的取值范围是()A •[-5,—3] B』-6,—9'C [ — 6,— 2]D . [ — 4,— 3]a≥— 3t3— 4t2 +1,令 g(t) = — 3t3— 4t2+1, t ∈[1 , +∞),则 g't)( —9t2— 8t + 1=—(t + 1)(9t — 1),显然在［1 , +∞)上,g' (t)<0 , g(t)单调递减,所以g(t)max =g(1) = — 6,因此a≥— 6;同理，当X∈［— 2 , 0)时，得a≤— 2•由以上两种情况得—6≤ a≤— 2,显然当X= 0时也成立•故实数a的取值范围为［—6 ,—2] •答案 C3、(2015陕西西安模拟)曲线f(x) = x3+ x— 2在p0处的切线平行于直线y=4x—1 , 则P0点的坐标为()A . (1 , 0)B • (2 , 8)C. (1 , 0)和(—1, — 4) D . (2 , 8)和(一1, — 4)解析设p0(x0 , y0),则3x o+ 1 = 4,所以X0=± ,所以p0点的坐标为(1 , 0) 和(—1, — 4) •故选 C.答案 C4、(2015 绵阳诊断)已知函数 f(x) = X3+ (1 — a)x2— a(a + 2)x+ b(a , b∈R).(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为一 3,求a , b的值；⑵若曲线y= f(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围.解 f' X)= 3x2+ 2(1 — a)x— a(a+ 2).(1)由题意得J f (0)= b= 0 ,F( 0)= — a (a + 2)= — 3 ,解析当x∈(0,1]时，得a≥——4^ + X 令t=W,贝U t∈[1 , +∞),解得 b = 0 , a= — 3 或 1.⑵•••曲线y= f(x)存在两条垂直于y轴的切线,•••关于X 的方程f'x) = 3x 2+ 2(1 -a)x — a(a + 2)= 0有两个不相等的实数根,∙°∙ △= 4(1— a)?+ 12a(a+ 2)>0，即 4a 2+ 4a+ 1>0,• ∙ a≠- 2• a 的取值范围是一∞,- 1 U — 2+∞ .5. (2015 江苏，19)已知函数 f(x) = X 3+ ax 2+ b(a, b ∈ R ).⑴试讨论f(x)的单调性;⑵若b= C-a(实数C 是与a 无关的常数)，当函数f(x)有三个不同的零点时，a 的取值范围恰好是(一∞,- 3)U 1, 2 U 3,+∞ ,求C 的值. 解(1)f'x) = 3x 2 + 2ax,令 f'x) = 0,解得 X 1 = 0, X 2= —鲁.当 a= 0 时，因为 FX) = 3X 2>0(x≠0),所以函数f(x)在(-∞,+∞ )上单调递增；当 a>0 时，x ∈ -∞,- 2a U (0,+∞)时，f' (x) >0, x ∈ -号，0 时，f' (x)V 0,所以函数f(x)在-∞,- 2a , (0, +∞)上单调递增，在—号，0上 单调递减；当 a v 0 时，x ∈ (-∞, 0)U -2a,+∞ 时，F (x) >0, x ∈ 0,-号时， F (x)V 0,所以函数f(x)在(-∞, 0), -23a,+∞上单调递增，在0,-上 单调递减. ⑵由(1)知，函数f(x)的两个极值为f(0) = b, f -2a = 27a 3+ b,则函数f(x)有三个零点等价于 f(0) • - 2a = b 27a 3+ b V 0,又 b= C — a,所以当 a> 0 时，27*' — a+ C >0 或当 a v 0 时，27*' — a + c v 0.设g(a) = ^7a 3-a+ C,因为函数f(x)有三个零点时，a 的取值范围恰好是(一∞, a > 0,a v 0,b v 0或 0v b v- 27a 3. 从而-—3)∪ 1, 2 U 2,+∞ ,则在(—∞, — 3)上 g(a) V 0,且在 i 1, 3 U 3,+∞ 上 g(a)>0 均恒成立.从而 g(— 3) = c — 1 ≤0,且 g 2 = c — 1 ≥0,因此 C= 1.此时，f(x) = x 3 + ax 2 + 1 — a= (x+ 1)[x 2+ (a — 1)x+ 1 — a],因函数有三个零点，贝U x 2 + (a — 1)x+ 1 — a= 0有两个异于一1的不等实根，所以 Δ= (a — 1) — 4(1— a) = a + 2a — 3 > 0,且(—1)2— (a — 1)+ 1— a≠ 0,解得 a ∈ (— ∞, — 3)U 1, 2 U ∣,+∞ .综上 C= 1.3 16、(2015 新课标全国 I , 21)已知函数 f(x) = x 3+ ax+ 4, g(x)=— ln x. (1) 当 a 为何值时，X 轴为曲线y= f(x)的切线；(2) 用 min{m, n}表示 m, n 中的最小值，设函数 h(x) = min{f(x), g(x)}(x>0), 讨论h(x)零点的个数.解 (1)设曲线 y= f(x)与 X 轴相切于点(X 0, 0),贝U f(x 0) = 0, f' (X 0) = 0.即 X 3+ ax 0+ 4= 0,3x 0 + a= 0, (2)当 x ∈ (1,+∞)时，g(x) = — In x<0,从而 h(x) = min{f(x), g(x)} ≤ g(x)<0,故h(x)在(1,+∞)无零点. 5 5当 X= 1 时，若 a ≥ — 4,贝U f(1)= a+ 4≥0, h(1) = min{f(1), g(1)} = g(1)= 0,5故 X= 1 是 h(x)的零点；若 a< — ”，贝U f(1)<0, h(1) = min{f(1), g(1)} = f(1)<0,故X= 1不是h(x)的零点.当x ∈ (0, 1)时，g(x)= — In x>0.所以只需考虑f(x)在(0, 1)的零点个数. X 轴为曲线y =f(χ)的切线•止匕(i )若 a≤— 3或 a≥0,则f'x)= 3χ2+ a在(0, 1)无零点，故 f(x)在(0, 1)单调.而1 5f(0)= 4, f(I)= a+ 4,所以当 a≤- 3 时，f(x)在(0, 1)有一个零点；当 a≥0 时，f(x)在(0, 1)没有零点.(ii)若—3<a<0 ,则f(x)在0, I - a单调递减，在i / - 3，1单调递增，故在(0,1)中，当x=、y—i时，f(x)取得最小值，最小值为3卜2^J-3+4.①若f r■- - 3 >0,即一4<a<0,f(x)在(0, 1)无零点；②若 f i：..：-3 = 0,即 a= — 4,则f(x)在(0, 1)有唯一零点；(/、 3 1 5 5 3③若 f iJ—3 <0,即—3<a<-4,由于 f(0) = 4，f(1) = a+4，所以当—4<a<-45时，f(x)在(0, 1)有两个零点；当一3<a≤-4时，f(x)在(0, 1)有一个零点.3 5 3 5综上，当3>-4或3<- 4时，h(x)有一个零点；当3=- 4或3=- N时，h(x)有5 3两个零点；当一5<3<-4时，h(x)有三个零点.。