2.3 两角和与差的正切函数 学案(含答案)
届数学一轮复习第四章三角函数解三角形第3节两角和与差的正弦余弦和正切公式教学案含解析
第3节两角和与差的正弦、余弦和正切公式考试要求 1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式；2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式；3。
能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；4。
能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).知识梳理1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β.cos(α∓β）＝cos αcos β±sin αsin β。
tan(α±β)＝错误!。
2。
二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 2α＝2sin αcos α.cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α。
tan 2α＝错误!。
3.函数f（α）＝a sin α＋b cos α（a,b为常数），可以化为f（α）＝错误!sin（α＋φ)错误!或f(α)＝错误!·cos（α－φ)错误!.[常用结论与微点提醒]1。
tan α±tan β＝tan（α±β）(1∓tan αtan β)。
2。
cos2α＝1＋cos 2α2，sin2α＝错误!。
3.1＋sin 2α＝(sin α＋cos α）2，1－sin 2α＝(sin α－cos α）2，sin α±cos α＝错误!sin错误!。
诊断自测1。
判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1）两角和与差的正弦、余弦公式中的角α,β是任意的.(）(2）存在实数α,β,使等式sin(α＋β）＝sin α＋sin β成立.（)（3）公式tan(α＋β）＝错误!可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β）(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立。
（)（4）存在实数α，使tan 2α＝2tan α。
3.2.3两角和与差的正切函数-----导学案
两角和与差的正切函数使用说明： 1、请同学认真阅读课本119-120页，划出重要知识，规范完成预习案内容并记熟基础知识，用红笔做好 疑难标记。
2、在课堂上联系课本知识和学过的知识，小组合作、讨论完成探究案内容；组长负责，拿出讨论结果，准备展示、点评。
3、及时整理展示、点评结果，规范完成训练案内容，改正完善并落实好学案所有内容。
4、把学案中自己的疑难问题和易忘、易出错的知识点以及解题方法规律，及时整理在典型题本上， 多复习记忆。
【学习目标】1．掌握两角和与差的正切公式，并会加以应用； 2．独立思考，合作学习公式的正用、逆用、变形用；3．激情投入，积极主动地发现问题和提出问题，形成严谨的数学思维习惯。
学习重点：两角和与差的正切公式。
教学难点：公式的正用、逆用、变形用公式，角的演变。
【预习案】一、相关知识前面我们学习了两角和与差的正弦、余弦函数，公式分别是在这基础上，你推导出两角和与差的正切函数的公式吗？ 二、教材助读=-=+)tan()tan(βαβα两角和与差的正切公式T αβ±: 注意问题：角的取值范围预习自测1、求下列各式的值：（1）tan75° = （2）tan15° = （3）tan105°= 2、已知2tan ,31tan -==βα则=-)tan(βα =+)tan(βα 。
3、︒︒+︒+︒88tan 58tan 192tan 58tan = 3tan15 _________13tan15-︒=+︒4、已知βαtan tan ，是方程0652=-+x x 的两根，求)tan(βα+的值。
【探究案】基础知识探究：应用T αβ±求值已知tan α = 12 ,tan β = 13 ，0＜α＜π2 , π＜β＜3π2 , 求α＋β的值。
综合应用探究： T αβ±的逆用、变形用 求值：o o o o 50tan 10tan 3)50tan 10(tan ⋅++当堂检测：1、若tan α= 32 ,tan β= 13 ,则tan （α－β）=A ．113 B ．79 C ．119 D ．732、若tan α= 2, ,tan （β－α）=3，则tan （β－2α）=A ．－1B ．－15C ．57D ．173．已知3)tan(,2)tan(-=--=+βαβα，则==βα2tan ,2tan 。
312两角和与差的正弦、余弦、正切公式(教、学案).docx
3. 1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式一、 教材分析本节的主要内容是两角和与差的正弦、余弦和正切公式，为了引起学生学习本章的兴趣, 理解以两角差的余弦公式为基础，推导两角和、差正弦和正切公式的方法，体会三角恒等变 换特点的过程，理解推导过程，掌握其应用从而激发学生对本章内容的学习兴趣和求知欲。
二、 教学目标1. 掌握两角和与差公式的推导过程；2•培养学生利用公式求值、化简的分析、转化、推理能力； 3.发展学生的正、逆向思维能力，构建良好的思维品质。
三、 教学重点难点重点：两角和与差公式的应用和旋转变换公式；难点：两角和与差公式变aSina-kbCosa 为一个角的三角函数的形式。
四、 学情分析 五、 教学方法1. 温故、推新，循序渐进，以学生为主体逐步掌握本节知识要点2. 学案导学：见后面的学案。
3. 新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑一情境导入、展示目标一合作探究、精 讲点拨一反思总结、当堂检测一发导学案、布置预习六、 课前准备 多媒体课件 七、 课时安排：1课时 八、 教学过程（一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和与差的余弦公式：cos （a + 0） = COSGCOS 0-sinosin 0 ； cos （a-0） = cosacos/? + sinasin 0 .这是两角和与差的余弦公式，下而大家思考一下两角和与差的正弦公式是怎样的呢？ 提示：在第一章我们用诱导公式五（或六）可以实现正弦、余弦的互化，这对我们解决 今天的问题有帮助吗？让学生动手完成两角和与差正弦和正切公式.=sin a cos + cos sin 0 ・sin (a - /?) = sin [a+{-/3)] = sin acos (-^) + cos a sin (-/?) = sin acos p - cos a sin 0让学生观察认识两角和与差正弦公式的特征，并思考两角和与差正切公式.（学牛动手）sin (G + 0) = cos号-(。
《两角和与差的正切》教案
《两角和与差的正切》教案
一、教学目标
1．知识目标：掌握公式及其推导过程，理解公式成立的条件；会用公式求值。
2．能力目标：培养学生的观察、分析、类比、联想能力；间接推理能力（即不能直接套公式，需要变化条件，寻找依据，才能推出结论）；自学能力。
3．情感目标：发展学生的正向、逆向思维和发散思维能力，构建良好的数学思维品质。
二、教学重点、难点
重点是公式的结构特点及其推导方法、成立条件，运用公式求值。
难点是公式的逆向和变形运用。
三、教学方法
教师按照课本的知识结构先设计若干问题（即“知识台阶”），课前印发给学生，引导他们阅读课本。
课堂上在教师三导（引导、指导、辅导）下，以学生为主体，对所设问题进行读、议、练、讲，其间教师通过提问、参与讨论，巡视学生练习及板演、观察学生情绪等渠道，及时搜集反馈信息，及时作出评价，再发指令，使教学过程处于动态平衡之中。
四、课时
1课时
五、教学过程。
学案：两角和、差的正弦、余弦、正切公式
两角和、差的正弦、余弦、正切公式〖考纲要求〗① 会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.② 能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.③ 能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.〖复习建议〗在复习中要注意掌握三角变形的方法和技巧：1的替换、角的变换（拼凑、分拆）、降次与升次，了解万能代换〖知识回顾〗两角和差公式：=+)cos(βα . 倍角公式：sin 2α= . =-)cos(βα . cos 2α= .=+)sin(βα . tan 2α= .=-)sin(βα .一、知识点训练：1、sin (x －y )cosy ＋cos (x －y )siny = .2、0000sin163sin 223sin 253sin313+= .3、利用公式3)4020tan(=+ 求：tan 20º＋tan 40º＋3tan 20ºtan 40º= . 4、(1)若045,tan 1)tan 1)αβαβ+=++求((的值 。
(2) 若tan 1)tan 1)2,αβαβ++=+((求的值 。
二、典型例题分析：1、求15cos 之值.2、如果1tan 41tan x x -=++tan )4(x +π= 112tan 112tan-π+π= .3、如果2sin()3αβ+=，1sin()5αβ-=-，求tan tan αβ的值.4、在△ABC 中，412cos ,cos ,cos 513A B C ==求5、已知21tan(),tan(),tan()5444ππαββα+=-=+求.6、已知,42ππαβ<<<且412sin(),cos().513αβαβ+=-=求cos2α7、已知α∈(2π-,2π)，β∈(2π-,2π)，且tan α，tan β是一元二次方程：2670x x ++= 的两个实数根。
《两角和与差的正切公式》教案新人教A版
数学：3.1.2《两角和与差的正切公式》教案（新人教A版必修4）§3.1.2 两角和与差的正切公式（一）、教学目标1、知识目标：掌握公式的结构特点及其推导过程，理解公式成立的条件；运用公式求值；2、能力目标：培养学生的观察、分析、类比、联想能力；间接推理能力（即不能直接套公式,需要变化条件,寻找依据,才能推出结论）；自学能力；3、情感目标：发展学生的正向、逆向思维和发散思维能力，构建良好的数学思维品质；（二）教学重点、难点重点：公式的结构特点及其推导方法、成立条件；运用公式求值；难点：公式的逆向及变形运用；（三）学法与教学用具学法：研讨式教学（四）教学设计：教学环节教学内容师生互动设计意图复习引入复习公式、首先回顾一下两角和与差的正、余弦公式：以旧引新，让学生明确学习内容公式推导及理解公式推导这是两角和与差的正、余弦公式，下面大家思考一下两角和与差正切公式是怎样的呢？提示：我们学习过正弦、余弦与正切的关系，这对我们解决今天的问题有帮助吗？让学生动手完成两角和与差的正切公式.（学生动手）通过什么途径可以把上面的式子化成只含有、的形式呢？（分式分子、分母同时除以，得到．注：以上我们得到两角和的正切公式，我们能否推倒出两角差的正切公式呢？注：引导学生运用学过的公式探究新公式公式的深化对公式的扩展（1）联想：推导还有哪些办法？（2）扩想：、条件？（3）猜想：为下节课做准备公式应用例1、求下列各式的精确值.都有哪些解法？你还能怎样解？解：（1）====（2）===例1是直接正用、逆用公式；例2、已知，，求的值解：===1例2是典型例题，与课后习题结合例3、已知，求，，分析：公式、和本题的已知条件，要计算，，应先计算；解：例3是对本节的综合复习练习1、课本P140练习A组 1、2、32、已知求的值．（）※学生独立完成，教师巡视，全班讲评练习考虑分层分类指导带※不要求全体学生都作，仅供学有余力的同学选作小结本节我们学习了两角和与差的正切公式，我们要熟记公式，在解题过程中要善于发现规律，学会灵活运用已学知识解决问题；反馈课本P141练习B组要求学生在5分钟内独立完成及时反馈，有助于教师教学中及时改进作业课本P141习题3-1A组5；课本P142习题3-1B组4、5课本P142习题3-1B组6、7※分层分类教学带※不要求全体学生都作，仅供学有余力的同学选作教学反思。
两角和与差的正弦、余弦和正切公式学案
两角和与差的正弦、余弦和正切公式导学目标： 1.会用向量数量积推导出两角差的余弦公式.2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式.4.熟悉公式的正用、逆用、变形应用．自主梳理1．(1)两角和与差的余弦cos(α＋β)＝____________________________________， cos(α－β)＝____________________________________. (2)两角和与差的正弦sin(α＋β)＝_____________________________________， sin(α－β)＝_____________________________________. (3)两角和与差的正切tan(α＋β)＝_____________________________________， tan(α－β)＝_____________________________________.(α，β，α＋β，α－β均不等于k π＋π2，k ∈Z )其变形为：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)， tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)． 2．辅助角公式a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)，其中⎩⎪⎨⎪⎧cos φ＝aa 2＋b 2，sin φ＝ba 2＋b 2，tan φ＝b a ，角φ称为辅助角．自我检测 1．cos 43°cos 77°＋sin 43°cos 167°的值为________．2．已知tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝5，则tan 2α＝________.3．cos π12＋3sin π12＝________.4．(1＋tan 17°)(1＋tan 18°)(1＋tan 27°)(1＋tan 28°)的值是________．5．已知cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin α＝435，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6的值是________．探究点一 给角求值问题(三角函数式的化简、求值)例1 求值： (1)[2sin 50°＋sin 10°(1＋3tan 10°)]2sin 280°； (2)sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－3·cos(θ＋15°)．变式迁移1 求值：(1)2cos 10°－sin 20°sin 70°；(2)tan(π6－θ)＋tan(π6＋θ)＋3tan(π6－θ)tan(π6＋θ)．探究点二 给值求值问题(已知某角的三角函数值，求另一角的三角函数值)例2 已知0<β<π4<α<3π4，cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝35，sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋β＝513，求sin(α＋β)的值．变式迁移2 (2010·广州高三二模)已知tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝2，tan β＝12. (1)求tan α的值；(2)求sin (α＋β)－2sin αcos β2sin αsin β＋cos (α＋β)的值．探究点三 给值求角问题(已知某角的三角函数值，求另一角的值)例3 已知0<α<π2<β<π，tan α2＝12，cos(β－α)＝210.(1)求sin α的值； (2)求β的值．变式迁移3 若sin A ＝55，sin B ＝1010，且A 、B 均为钝角，求A ＋B 的值．转化与化归思想例 (14分)已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，|a －b |＝255. (1)求cos(α－β)的值；(2)若－π2<β<0<α<π2，且sin β＝－513，求sin α的值．【答题模板】解 (1)∵|a －b |＝255，∴a 2－2a·b ＋b 2＝45.[2分]又∵a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，∴a 2＝b 2＝1， a·b ＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos(α－β)，[4分]故cos(α－β)＝a 2＋b 2－452＝2－452＝35.[7分](2)∵－π2<β<0<α<π2，∴0<α－β<π.∵cos(α－β)＝35，∴sin(α－β)＝45.[9分]又∵sin β＝－513，－π2<β<0，∴cos β＝1213.[11分]故sin α＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β＝45×1213＋35×⎝⎛⎭⎫－513＝3365.[14分] 【突破思维障碍】本题是三角函数问题与向量的综合题，唯一一个等式条件|a －b |＝255，必须从这个等式出发，利用向量知识化简再结合两角差的余弦公式可求第(1)问，在第(2)问中需要把未知角向已知角转化再利用角的范围来求，即将α变为(α－β)＋β.本节主要应用转化与化归思想，即异角化同角．未知角向已知角转化，非特殊角向特殊角转化．【易错点剖析】|a －b |平方逆用及两角差的余弦公式是易错点，把未知角转化成已知角并利用角的范围确定三角函数符号也是易错点．1．转化思想是实施三角变换的主导思想，变换包括：函数名称变换，角的变换，“1”的变换，和积变换．2．变换则必须熟悉公式．分清和掌握哪些公式会实现哪种变换，也要掌握各个公式的相互联系和适用条件．3．恒等变形前需已知式中角的差异，函数名称的差异，运算结构的差异，寻求联系，实现转化．4．基本技巧：切割化弦，异名化同，异角化同或尽量减少名称、角数．(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．已知a ∈(－π2，0)，sin α＝－45，则tan(α＋π4)＝______________.2．(2011·盐城模拟)已知cos(π6－α)＝33，则sin 2(α－π6)－cos(5π6＋α)的值是________．3．(2010·东北育才中学一模)已知α、β均为锐角，且tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α，则tan(α＋β)＝________.4．函数y ＝2sin(π4－x )＋6cos(π4－x )的最大值为________．5．求值：sin 7°＋cos 15°sin 8°cos 7°－sin 15°sin 8°＝________.6．在△ABC 中，3sin A ＋4cos B ＝6,4sin B ＋3cos A ＝1，则C 的大小为________．7．函数f (x )＝a sin(x ＋π4)＋3sin(x －π4)是偶函数，则a ＝________.8．已知tan α、tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两根，且α、β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，则tan(α＋β)＝__________，α＋β的值为________．二、解答题(共42分)9．(14分)(1)已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π且sin(α＋β)＝3365，cos β＝－513.求sin α； (2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，求2α－β的值．10．(14分)(2010·四川)(1)①证明两角和的余弦公式C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β；②由C (α＋β)推导两角和的正弦公式S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β.(2)已知△ABC 的面积S ＝12，AB →·AC →＝3，且cos B ＝35，求cos C .11．(14分)(2010·济南高三三模)设函数f (x )＝a·b ，其中向量a ＝(2cos x,1)，b ＝(cos x ，3sin 2x )，x ∈R .(1)若函数f (x )＝1－3，且x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π3，求x ； (2)求函数y ＝f (x )的单调增区间，并在给出的坐标系中画出y ＝f (x )在区间[0，π]上的图象．。
34722_《两角和与差的正弦、余弦、正切公式》学案1
3.1.1两角和与差的正弦，余弦和正切公式（导学案）1、知识目标：两角和与差的正弦，余弦和正切公式2、能力目标：会用两角和与差的正弦，余弦和正切公式解决一些简单的一、复习准备：1.三角函数的定义：设α是任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,y)，那么： y =， x =，tan α= 2.诱导公式：奇变偶不变，符号看象限。
如：c o s (2)k πα+=，cos(90) o α-=，cos() α-=，sin() α-=3.向量的数量积：a b =;(模长形式) a b =（坐标形式）二、问题设置：我们在初中的时候，就已经知道tan 451=，3tan 303=，由此，我们能否得出tan15tan 4530=-（）=？大家可以猜想，是不是等于3tan 45tan 3013-=-呢？ 三、知识探究：1、差角的余弦公式推导：如图所示，任意角α的终边OP 与单位圆相交于点P ，根据三角函数的定义可知，点P 的坐标是（用α表示），同样的，任意角β的终边OQ 与单位圆相交于点Q ，根据三角函数的定义，点Q 的坐标是（用β表示），故向量OP =， OQ =（填坐标），,OP OQ 的夹角为，|| ,OP =|| OQ =，由向量的数量积可知：OP OQ ==①（模长形式）OP OQ =②（坐标形式） 由①②可得cos POQ ∠=③ 又∵2k POQ αβπ-=+∠（思考：为什么有这个等式）∴cos()cos(2) k POQ αβπ-=+∠=④ 由③④可得：cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+（()C αβ-）此公式给出了任意角α，β的正弦，余弦值与其差角αβ-的余弦值之间的关系。
称之为差角的余弦公式。
简记为()C αβ-显然，有了公式()C αβ-以后，我们只要知道的值，就可以求得cos()αβ-的值。
若令θαβ=-，则有：即一个任意角的余弦可以表示为两个角的差的余弦，然后利用差角公式，可求此任意角的余弦值。
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2.3 两角和与差的正切函数学案（含答案）
2.3两角和与差的正切函数学习目标
1.能利用两角和与差的正弦.余弦公式推导出两角和与差的正切公式.
2.能利用两角和与差的正切公式进行化简.求值.证明.
3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用知识点一两角和与差的正切名称简记符号公式使用条件两角和的正切Ttan，，均不等于kkZ两角差的正切Ttan，，均不等于kkZ知识点二两角和与差的正切公式的变形1T的变形
tantantan1tantantantantantantantantantan
1.2T的变形tantantan1tantantantantantantantantantan
1.1对于任意角，，总有tan.提示公式成立需，，k，kZ.2使公式tan有意义，只需，kkZ即可提示还应使k，kZ.3若，，k，kZ，则tantantantantantan恒成立4k，且k，kZ时，tan.题型一正切公式的正用例11已知，均为锐角，tan，tan，则.答案解析因为tan，tan，所以tan
1.因为，均为锐角，所以0，，所以.2已知tan2，tan，则tan的值为答案3解析tantan
3.反思感悟1
注意用已知角来表示未知角2利用公式T求角的步骤计算待求角的正切值缩小待求角的范围，特别注意隐含的信息根据角的范围及三角函数值确定角跟踪训练1xx江苏若tan，则tan.答案
解析方法一tan.6tan61tantan1，tan.方法二tantan.题型二正切公式的逆用与变形使用例21.考点两角和与差的正切公式题点利用两角和与差的正切公式化简答案解析原式tan4515tan
60.2化简tan23tan37tan23tan
37.考点两角和与差的正切公式题点利用两角和与差的正切公式化简解方法一
tan23tan37tan23tan37tan23371tan23tan37tan23tan37tan601tan 23tan37tan23tan
37.方法二tan2337，，tan23tan37tan23tan37，
tan23tan37tan23tan
37.反思感悟两角和与差的正切公式有两种变形形式tantantan1tantan或1tantan.当为特殊角时，常考虑使用变形形式，遇到1与正切的乘积的和或差时常用变形形式.合理选用公式解题能起到快速.简捷的效果跟踪训练2若A，B是ABC的内角，并且1tanA1tanB2，则AB等于
A.
B.
C.
D.考点两角和与差的正切公式题点利用两角和与差的正切公式求角答案A解析由1tanA1tanB2，得1tanAtanBtanAtanB
2.所以tanAtanB1tanAtan
B.由tanAB1，因为0AB，所以A
B.1若tan3，tan，则tan等于
A.BC3D3答案A解析tan.2已知cos，且，则tan等于AB7
C.D7答案D解析由cos，且，得sin，所以tan，所以tan
7.故选
D.3计算.考点两角和与差的正切公式题点利用两角和与差的正切公式化简答案1解析tan4
51.4已知A，B都是锐角，且tanA，sinB，则AB.答案解析B 为锐角，sinB，cosB，tanB，tanAB
1.又0AB，A
B.5已知tan，tan是方程x23x40的两根，且，，求的值考点两角和与差的正切公式题点综合应用两角和与差的正切公式求角解因为tan，tan是方程x23x40的两根，所以所以tan0，tan0，所以，.所以0，tan.所以.1公式T的结构特征和符号规律1公式T的右侧为分式形式，其中分子为tan与tan的和或差，分母为1与tantan的差或和2符号变化规律可简记为“分子同，分母
反”2应用公式T时要注意的问题1公式的适用范围由正切函数的定义可知，，，或的终边不能落在y轴上，即不为kkZ2公式的逆用一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换如tan1，tan，tan等特别要注意tan，tan.3公式的变形应用只要用到tantan，tantan时，有灵活应用公式T的意识，就不难想到解题思路特别提醒tantan，tantan，容易与根与系数的关系联系，应注意此类题型.。