北师版数学高一必修4教学设计两角和与差的正切函数
高中数学北师大版必修四3.2.3【教学设计】《两角和与差的正切函数》
两角和与差的正切函数》教材通过类比正、余弦函数的定义的推导得出正切函数的定义，锻炼学生类比推理的的能力。
【知识与能力目标】理解并掌握正切函数的定义。
【过程与方法目标】类比正、余弦函数的定义得出正切函数的定义。
【情感态度价值观目标】通过正切函数定义的过程，培养学生认真负责，一丝不苟的学习和工作精神。
【教学重点】理解并掌握正切函数的定义。
【教学难点】理解并掌握正切函数的定义。
电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。
一、探究新知。
和角与差角正切公式的应用()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-⋅()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+⋅和角与差角正切变形公式的应用二、 例题解析。
例题1、不查表求值1tan105（）2tan 75（）3tan15（）1221tan ,tan(),tan(2).25ααβαβ=-=--例题、（）已知求 ()44tan ,tan(),tan 2.55αβαβα+=-=-（2）已知求 ()21tan ,tan(),tan().5444ππαββα+=-=+（3）已知求 ()2αβααβ-=+-解：（1）()tan(2)tan ()αβααβ∴-=+-tan tan()1tan tan()ααβααβ+-=-⋅- 12()25121()25+-=-⋅- 112= ()()2ααβαβ=++-（2）()t a n 2t a n ()()ααβαβ∴=++- tan()tan()01tan()tan()αβαβαβαβ++-==-+⋅- ()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+⋅-⋅()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-⋅+⋅1tan105（）tan(6045)=+tan 60tan 451tan 60tan 45+=-⋅=2=-2tan 75（）tan(4530)2=+=3tan15（）tan(4530)2=-=。
北师大版高中数学必修4两角和与差的三角函数教案
两角和与差的三角函数[考点透视]一、考纲指要1．掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式.2．掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式.3．能正确运用上述三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明.二、命题落点1．考查倍角的正弦、余弦公式及两角和的正弦、余弦公式.如例1.2．考查倍角的正切公式与两角和的正切公式. 如例2.3．以三角函数的求值问题考查三角变换能力和相关计算能力等.如例3.[典例精析]例1： 假设1sin(),63πα-=那么2cos(2)3πα+=〔 〕A ．79-B ．13-C ．13D ．79 解析1)3(cos 2)232cos(:2-+=+απαπ=2]sin 3sin cos 3[cos 2απαπ⋅-⋅－1=21)sin 23cos 21(2--αα ． 〔# 〕 又由题意知：31)6sin(=-απ，那么31sin 6cos cos 6sin =⋅-⋅απαπ， 即31sin 23cos 21=-αα，所以〔# 〕=971912-=-⨯．答案:A ．例2：ααtan ,22tan 则=的值为 ，)4tan(πα+的值为 .解析:因为tan 2,2α=所以22tan 242tan ,1431tan 2ααα⨯===--- 所以tan tan tan 14tan()41tan 1tan tan 4παπααπαα+++==--4113.4713-+==-+ 答案:41,37--.例3：7sin()241025παα-==，求sin α及tan()3πα+． 解析: 由题设条件，应用两角差的正弦公式得)cos (sin 22)4sin(1027ααπα-=-=，即57cos sin =-αα ． ① 由题设条件，应用二倍角余弦公式得)sin (cos 57)sin )(cos sin (cos sin cos 2cos 25722ααααααααα+-=+-=-==， 故51sin cos -=+αα② 由①和②式得53sin =α，54cos -=α 因此，43tan -=α，由两角和的正切公式 11325483343344331433tan 313tan )3tan(-=+-=+-=-+=+ααπα. [常见误区]1．求三角函数值时，必须对各个公式间的变换条件要理解和掌握，注意隐含条件的使用，以防出现多解或漏解的情形.2．一般情况下, sin()sin sin ;sin 22sin ;cos 22cos ,αβαβαααα±≠±≠≠ 这都是考生容易忽视的.[基础演练]1．对任意的锐角βα,，以下不等关系中正确的选项是〔 〕A ．βαβαsin sin )sin(+>+B ．βαβαcos cos )sin(+>+C ．βαβαsin sin )cos(+<+D ．βαβαcos cos )cos(+<+ 2．假设∈<<=+απαααα则),20(tan cos sin 〔 〕A ．)6,0(πB ．)4,6(ππC ．)3,4(ππD ．)2,3(ππ 3．αααα2cos cos 2cos 12sin 22⋅+ =〔 〕 A ．tan αB ．tan 2αC ．1D ．124．==ααcos ,32tan 则〔 〕A ．54B ．－54C ．154D ．－535．设a 为第四象限的角，假设sin 313sin 5a a =，那么tan 2a =_____________． 6．βα,均为锐角，且=-=+αβαβαtan ),sin()cos(则 .7．(2005·某某文)函数()2sin cos cos 2f x x x x =+．〔1〕求4f π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值；〔2〕设()0,2f ααπ⎛⎫∈= ⎪⎝⎭，求sin α的值． 8．函数].2,0[,2sin sin 2)(2π∈+=x x x x f 求使()f x 为正值的x 的集合.9．(2005·某某)在△ABC 中，sinA 〔sinB ＋cosB 〕－sinC ＝0，sinB ＋cos2C ＝0，求角A 、B 、C 的大小.。
高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学必修4 2.3两角和与差的正切函数》19
《两角和与差的正切公式》教学设计一．三维目标1能写出两角和与差的正切公式，经历两角和与差的正切公式推导过程，知道公式成立的条件，了解公式的形式特点。
2初步了解公式的作用，能够正确运用公式及其常用变形进行计算、化简、证明。
3在两角差公式的自主推导过程中，进一步形成转化的思想方法和逻辑思维能力，并获得自主学习的乐趣。
二、教学重点、难点两角和与差的正切公式推导及其运用，公式条件的获得。
三、课时安排1课时四．教学流程1、复习回顾：βα+Cβα-Cβα+Sβα-S如何计算tan75°？2探究公式：①利用所学的两角和与差的正弦,余弦公式，对比分析公式βα+C ,βα-C ,βα+S ,βα-S ,能否推导出)tan(βα+和)tan(βα-？其中βα,应该满足什么条件？师生讨论：当0)cos(≠+βα时，βαβαβαβαβαβαβαsin sin cos cos sin cos cos sin )cos()sin()tan(-+=++=+ 若0cos cos ≠βα，即0cos ≠α且0cos ≠β时，分子分母同除以βαcos cos 得βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+ 根据角α，β的任意性，在上面的式子中，用-β代替β，则有 βαβαβαβαβαtan tan 1tan tan )tan(tan 1)tan(tan )tan(+-=---+=- 由此推得两角和与差的正切公式。
简记为“βα+T ，βα-T ”βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+ βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=- 其中βα,应该满足什么条件？还依然是任意角吗？给学生时间思考。
由推导过程可以知道：)(2)(2)(2Z k k Z k k Z k k ∈+≠±∈+≠∈+≠ππβαππβππα 这样才能保证αtan ，βtan 及)tan(βα±都有意义。
高一数学北师大版必修4课件3.2.3 两角和与差的正切函数
=
3 . 22
探究一
探究二
探究三
探究四
规律总结公式 Tα+β,Tα-β 有较多变形的公式,公式中有 tan
αtan β,tan α+tan β(或 tan α-tan β),tan(α+β)(或 tan(α-β))时,三者中知道任意 两个就可表示或求出第三个.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究三 两角和与差的正切公式的应用
������������������α +������������������β ; 1-������������������α������������������β
������������������α-������������������β . 1+������������������α������������������β
探究一
探究二
探究三
探究四
(2)
3-tan 15° 1+ 3tan 15°
=
������������������ 60°-������������������ 15° 1+������������������ 60°������������������ 15°
=tan(60° -15 ° )=tan 45 ° = 1. (3)tan α +
公式 Tα+β 与一元二次方程的联系 :在两角和的正切公式 Tα+β 中,有 tan α+tan β,tan αtan β 这两项,对比一元二次方程中的根与系数的关系,为我们 解决问题找到了很好的结合点.因此 tan α,tan β 可以看作一元二次方程的 根,这样 tan α+tan β,tan αtan β,tan α-tan β 就可以互相表示,进而可以利用它 们求 tan(α± β).
北师大版数学高一(北师大)必修4教案 两角和与差的正切公式
3.2.3两角和与差的正切函数一、教学目标：1、知识与技能（1）能够利用两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式；（2）能够运用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明；（3）揭示知识背景，引发学生学习兴趣；（4）创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识.2、过程与方法借助两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式，让学生进一步体会各个公式之间的联系及结构特点；讲解例题，总结方法，巩固练习.3、情感态度价值观通过本节的学习，使同学们对两角和与差的三角函数有了一个全新的认识；理解掌握两角和与差的三角的各种变形，提高逆用思维的能力.二、教学重、难点重点: 公式的应用.难点: 公式的推导.三、学法与教学用具学法：(1)自主性学习+探究式学习法：通过通过类比分析、探索、掌握两角和与差的正切公式的推导过程。
(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距。
教学用具:电脑、投影机四、教学设想【探究新知】1．两角和与差的正切公式 T α+β ,T α-β问：在两角和与差的正、余弦公式的基础上，你能用tan α，tan β表示tan(α+β)和tan(α-β)吗？（让学生回答）[展示投影] ∵cos (α+β)≠0tan(α+β)=βαβαβαβαβαβαsin sin cos cos sin cos cos sin )cos()sin(-+=++ 当cos αcos β≠0时 分子分母同时除以cos αcos β得：以-β代β得：2．运用此公式应注意些什么？（让学生回答）[展示投影] 注意：1︒必须在定义域范围内使用上述公式。
即：tan α，tan β，tan(α±β)只要有一个不存在就不能使用这个公式，只能（也只需）用诱导公式来解；2︒注意公式的结构，尤其是符号。
）[展示投影]例题讲评（学生先做，学生讲，教师提示或适当补充）例1.求tan15︒，tan75︒及cot15︒的值：例2、△ABC 不是直角三角形，求证： C B A C B A tan tan tan tan tan tan ••=++例3.已知tan α=31，tan β=-2 求cot(α-β)，并求α+β的值，其中0︒<α<90︒, 90︒<β<180︒.tan(α+β)=βαβαtan tan 1tan tan -+ tan(α-β)=βαβαtan tan 1tan tan +-例4. 求下列各式的值：1）75tan 175tan 1-+ 2）tan17︒+tan28︒+tan17︒tan28︒例5已知sin(α+β) =21，sin(α-β) =101，求βαtan tan 的值[学习小结]1．必须在定义域范围内使用上述公式。
北师大版高中必修42.3两角和与差的正切函数课程设计
北师大版高中必修42.3两角和与差的正切函数课程设计一、课程设计的背景与意义正切函数作为数学中的一个重要概念，具有广泛的应用价值。
在高中数学中，正切函数的学习是必不可少的。
本课程设计以北师大版高中必修4-2知识点“三角函数的图像与性质”中的第三节“两角和与差的正切函数”为主要内容，旨在让学生通过实际操作进行掌握正切函数的性质和应用。
二、课程设计的教学目标本课程设计的教学目标为： 1. 理解两角和与差的概念； 2. 掌握正切函数的性质，能够正确画出正切曲线的图像； 3. 能够根据题目要求，运用两角和与差公式解决实际问题。
三、课程设计的教学过程3.1 学习正切函数的性质•学生自主学习相关知识，掌握正切函数图像的特点和性质；•教师进行内容复述和梳理，让学生对知识点有更深刻的理解；•整合相关课程内容，展示正切函数的应用实例和相关数据分析结果，从而增加学生的学习兴趣。
3.2 学习两角和与差的正切函数•教师在板书上详细讲解两角和与差的概念、两角和与差的正切函数公式及相关性质；•让学生独立思考并解决课堂问题，培养动手能力和思考能力；•配合实例演示，加深学生对应用灵活性的理解，提高其应用能力。
3.3 实践练习•旨在让学生根据实际需求运用公式解题；•集中讨论课堂习题的解法，在教师指导下完成相应课堂习题；•教师给出标准答案，并进行讲解、讨论和指导，加强提高学生的答题技巧和运用能力。
四、教学方法与手段本课程设计采用以下教学方法与手段： 1. 利用多媒体电脑教学，结合课件图形进行课堂教学； 2. 讲授和操作相结合的交互式教学法； 3. 分组讨论和演示教学； 4. 辅以试题、实验、练习等多种教学手段。
五、教学评价与总结通过本课程的实施，学生能够清楚地掌握正切函数的性质及其应用，提高了运用知识分析实际问题的综合能力和创新能力。
通过此次课程实践，教师还能够深入了解学生的学习状况、反馈学习成果等，为今后的教学提供参考。
高中数学北师大版必修4第3章2两角和与差的的正切函数w
陕西省榆林育才中学高中数学 第3章《三角恒等变形》2两角和与差的的正切函数导学案 北师大版必修4【学习目标】1．能按照两角和与差的正弦、余弦公式得出两角和与差的正切公式，提升转化能力与分析问题的能力．2．能熟练应用公式解决简单的三角函数式的化简、求值问题. 【重点难点】重点：两角和与差的正切公式的推导及应用． 难点：公式的变形及“1”的灵活利用．【利用说明】认真阅读讲义P118～120，尝试利用两角和与差的正弦及余弦公式推导两角和与差的正切公式，并注意公式成立的条件，勾画出有疑惑的地方与同窗交流探讨，最后结合讲义基础知识和例题，完成导学案．【自主学习】1．知识链接（1）在同角三角函数大体关系中，tan _______,α=其中角α的范围是 ．（2）两角和与差的正弦、余弦公式（其中α，β为任意角）：①=+)cos(βα_________________； ②=-)cos(βα__________________； ③=+)sin(βα ； ④=-)sin(βα___________________；2．公式推导 当cos()0αβαβαβ+++≠时，将S 与C 两边分别相除，就有sin cos cos sin ().()a βαβαβ++===tan (T αβ+) 在上式中,以-β替换β,就取得 (-)αβ=tan .(T αβ-) 其中,αβ应该知足条件：___________________________________________.3．公式变形：【合作探讨】1．已知.2,20,2tan ,31tan πβππαβα<<<<-== （1）求tan()αβ-； （2）求βα+的值．2．求下列各式的值：（1） 75tan 175tan 1+-； （2）︒︒︒+︒+︒40tan 20tan 120tan 40tan 20tan .3．已知tan()2,tan()3,αβαβ+=--=-求tan 2,tan 2.αβ的值【课堂检测】1．求值：（1）17tan 43tan 117tan 43tan -+ ； （2）.50tan 10tan 3)50tan 10(tan ⋅++2．已知1tan()2,tan .42παβ+== （1）求tan α的值； （2）求sin()2sin cos .2sin sin cos()αβαβαβαβ+-++的值【课后训练】。
北师大版数学高一必修4教学案两角和与差的正切函数
又θ是第二象限角，
∴cosθ＝－ ＝－ ，
∴tanθ＝ ＝－ ，又tanφ＝ ，
∴tan(θ－φ)＝
＝ ＝－2.
讲一讲
3．已知tan(α－β)＝ ，tanβ＝－ ，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．
[尝试解答]∵tan(α－β)＝ ＝ ，
∴ ＝ .
∴tanα＝ .
∴tan ＝1＞tanα＝ ＞0.
①tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)；
②tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tanαtanβ)；
③tanα＋tanβ＋tanαtanβtan(α＋β)＝tan(α＋β)；
④tan(α＋β)－tanα－tanβ＝tanαtanβtan(α＋β)；
⑤1－tanαtanβ＝ ；
若0°<α<90°<β<180°，求α＋β的值．
解：∵cosβ＝－ ，90°<β<180°，
∴sinβ＝ ＝ .
∴tanβ＝ ＝－2，又tanα＝ .
∴tan(α＋β)＝ ＝－1.
∵0°<α<90°<β<180°，
∴90°<α＋β<270°.
∴α＋β＝135°.
一、选择题
1. 等于()
A．tan 42°B.
(2)∵ ＝tan60°，
∴原式＝tan 60°(1－tan 10°tan 50°)＋ tan 10°tan50°
＝ － tan 10°tan 50°＋ tan 10°tan 50°＝ .
利用两角和与差的正切公式解决给角求值问题，关键是对公式的灵活运用，既要会“正用”还要会“逆用”和“变形”用，如进行“1”的代换，常见1＝tan 45°，及变形公式tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)等．
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教学设计2.3 两角和与差的正切函数整体设计教学分析教材把两角和与差的正切公式从正弦、余弦中分离出来,单独作为一节,这对学生的自主探究学习提供了平台.因为前面学生已经学习了两角和与差的正弦、余弦公式,对其应用学生有了一定的理解,同时对于三角函数变形中,角的变换也有了一定的掌握,因此在本节课的教学中可以充分利用学生的知识迁移,更多地让学生自主学习,独立地推导两角和与差的正切公式,为学生提供进一步实践的机会.也可以说本节并不是什么新的内容,而是对前面所学知识的整合而已.在探究中让学生体验自身探索成功的喜悦感,培养学生的自信心,培养学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神.对于公式成立的条件,可以在学生自主推导公式中通过观察、比较、分析、讨论,在掌握公式结构特征的基础上加以讨论解决.在学习两角和与差的正切公式中,有许多优美的三角恒等式,包括倍角公式,半角公式等.它可以唤起学生的美感,教学中要注意这种形式上的特点,引导学生欣赏其结构、变形之美.本节作为两角和与差的三角函数的最后一节内容,教学时可以将两角和与差的三角函数公式作一个小结,从分析公式的推导过程入手,探究问题解决的来龙去脉,揭示它们的逻辑关系,使学生更好地用分析的方法寻求解题思路.三维目标1.会由两角和与差的正弦、余弦公式推导两角和与差的正切公式,能运用两角和与差的正切公式进行简单的化简、求值及三角恒等证明.2.通过两角和与差的正切公式的推导及运用,让学生从中体会转化与化归的思想方法,培养学生用联系变化的观点观察问题,通过学生的互相交流增强学生的合作能力,加强学生对公式的理解,在公式变形美的熏陶下提高数学审美层次.重点难点教学重点:两角和与差的正切公式的推导及应用.教学难点:两角和与差的正切公式的灵活运用,特别是逆用及变形用.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(问题导入)通过前面的学习,你能否求出tan15°的值？学生很容易转化为30°、45°的正弦、余弦来求.教师进一步提出:能否直接利用tan30°和tan45°来求出tan15°呢？由此展开新课,探究两角和与差的正切公式.思路2.(直接导入)在研究了和与差角α±β的正弦、余弦与单角α、β的正弦、余弦间的关系后,能否探究出tan(α±β)与tanα、tanβ间的关系？是否与sin(α±β)公式相似?如何推导呢?由此展开新课,揭示课题.推进新课新知探究提出问题①利用所学两角和与差正弦与余弦公式很容易求出tan15°的值,那么怎样直接利用tan30°和tan45°来求出tan15°呢？②利用所学两角和与差的公式,对比分析公式Cα-β、Cα+β、Sα-β、Sα+β,能否推导出tan(α-β)=?tan(α+β)=?③分析观察公式T α-β、T α+β的结构特征与正、余弦公式有什么不同？④前面两角和与差的正\,余弦公式是恒等式,和与差的正切呢？活动:教师引导学生观察思考前面我们推出的公式C α-β、C α+β、S α+β、S α-β,可以完全让学生自己进行探究tan(α-β),tan(α+β)究竟如何,教师只是适时地点拨就行了.通过教师引导学生自然会想到利用同角三角函数关系式化弦为切,通过除以cosαcosβ即可得到,在这一过程中学生很可能想不到讨论cosαcosβ等于零的情况,这时教师不要直接提醒,让学生通过观察验证自己悟出来才有好效果.对cosαcosβ讨论如下:当cos(α+β)≠0时,tan(α+β)=βαβαβαβαβαβαsin sin cos cos sin cos cos sin )cos()sin(-+=++. 若cosαcosβ≠0,即cosα≠0且cosβ≠0时,分子分母同除以cosαcosβ,得tan(α+β)=βαβαtan tan 1tan tan -+. 根据角α、β的任意性,在上面的式子中,β用-β代之,则有tan(α-β)=βαβαβαβαtan tan 1tan tan )tan(tan 1)tan(tan +-=---+. 由此推得两角和与差的正切公式,简记为“T α-β、T α+β”.tan(α+β)=βαβαtan tan 1tan tan -+;(T α+β) tan(α-β)=βαβαtan tan 1tan tan +-.(T α-β) 我们把公式T α+β,T α-β分别称作两角和的正切公式与两角差的正切公式,并且从推导过程可以知道α、β\,α±β有一定的取值范围,即α≠2π+kπ(k ∈Z ),β≠2π+kπ(k ∈Z ),α±β≠2π+kπ(k ∈Z ),这样才能保证tan(α±β)与tanα,tanβ都有意义.教师应留出一定的时间让学生回味\,反思探究过程,点明推导过程的关键是:tan(α+β)→sin(α+β),cos(α+β)→sinα、sinβ、cosα、cosβ→tanα、tanβ.我们学习公式一定要掌握公式成立的条件、公式的形式及公式的作用三个方面:①公式成立的条件是什么?(提示学生从公式的形式和推导过程看)tanα、tanβ、tan(α±β)都有意义,且1±tanαtanβ≠0;②注意公式的形式:公式右边分子是单角α、β正切的和与差,分母是1减(或加)单角α、β正切的积公式,右边分子的符号与公式左边的符号相同,公式右边分母的符号与分子的符号相反;③公式的作用:将复角α±β的正切化为单角α、β的正切形式,用于角的变换.(基本关系式用于三角函数的变形)可用于三角函数的计算、化简、证明.至此,我们学完了两角和与差的正弦、余弦、正切公式,统一叫作三角函数的和差公式.一般地,我们把公式S α+β,C α+β,T α+β都叫作和角公式,而把公式S α-β,C α-β,T α-β都叫作差角公式.要让学生明晰这六个公式的推导过程,清晰逻辑关系主线.可让学生自己画出这六个框图,通过逻辑联系图,深刻理解它们之间的内在联系,借以理解并灵活运用这些公式.同时教师应提醒学生注意:不仅要掌握这些公式的正用,还要注意它们的逆用及变形用.如两角和与差的正切公式的变形式:tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ),tanα-tanβ=tan(α-β)(1+tanαtanβ),在化简求值中就经常用到,使解题过程大大简化,也体现了数学的简洁美及数学公式的魅力.对于两角和与差的正切公式,当tanα,tanβ或tan(α±β)的值不存在时,不能使用T α±β处理某些问题,但可改用诱导公式或其他方法,例如:化简tan(2π-β),因为tan 2π的值不存在,不能应用两角和与差的正切公式,所以改用诱导公式tan(2π-β)=βββπβπsin cos )2cos()2sin(=--来处理.讨论结果:①—④略. 应用示例 例1 已知tanα=2,tanβ=-31,其中0＜α＜2π,2π＜β＜π. (1)求tan(α-β);(2)求α+β的值.活动:本例是两角和与差的正切公式的直接运用,教师可让学生独立解决.对于(2)教师要提醒学生注意判断角的范围,这是解这类题目的关键步骤.让学生养成良好的习惯:由三角函数值求角必先找出所求角的范围.解:(1)因为已知tanα=2,tanβ=-31, 所以tan(α-β)=321312tan tan 1tan tan -+=•+-βαβα=7. (2)因为tan(α+β)=βαβαtan tan 1tan tan •-+=321312+-=1, 又因为0＜α＜2π,2π＜β＜π,所以2π＜α+β＜43π. 在2π与43π之间,只有45π的正切值等于1,所以α+β=45π. 例2 计算15tan 115tan 1+-的值. 活动:教材安排本例的目的是让学生体会公式的逆用,难度不大,可由学生自己完成.对部分思路受阻的学生,教师点拨学生细心观察题中式子的形式有何特点,再对比公式右边,马上发现与T α-β右边形式相近,但需要进行一定的变形,又因tan45°=1,原式化为15tan 45tan 115tan 45tan +-,再逆用公式T α-β即可解得.解:因为tan45°=1,所以 15tan 115tan 1+-=15tan 45tan 115tan 45tan +-=tan(45°-15°)=tan30°=33.点评:本例体现了对公式全面理解上的要求,要求学生能够从正、反两个角度使用公式,与正用相比,反用表现的是一种逆向思维,它不仅要求有一定的反向思维意识,对思维的灵活性要求也高,而且对公式要有更深刻的认识.变式训练1.不查表求tan105°的值.解:tan105°=tan(60°+45°) =32311345tan 60tan 145tan 60tan --=-+=-+ . 2.不查表,计算:(1)tan22°+tan23°+tan22°tan23°;(2)tan17°tan43°+tan17°tan30°+tan43°tan30°. 解:(1)原式=tan(22°+23°)·(1-tan22°tan23°)+tan22°tan23°=tan45°·(1-tan22°tan23°)+tan22°tan23°=1.(2)原式=tan17°tan43°+tan30°(tan17°+tan43°)=tan17°tan43°+tan30°tan(17°+43°)(1-tan17°tan43°)=tan17°tan43°+tan30°tan60°(1-tan17°tan43°)=1.例3 若tan(α+β)=52,tan(β-4π)=41,求tan(α+4π)的值. 活动:本例是教材和与差角公式的最后一个例题,需要用到拆角技巧,对此学生是熟悉的.教学时可让学生自己探究解决,但要提醒学生在以后解题时注意挖掘题目中隐含着的某种特殊的关系,通过细微而敏锐的观察、联想、转化等思维活动,以实现解题的突破.解:因为α+4π=(α+β)-(β-4π), 所以tan(α+4π)=tan ［(α+β)-(β-4π)］ =223415214152)4tan()tan(1)4tan()tan(=⨯+-=-++--+πββαπββα. 点评:本题是典型的变角问题,就是把所求角利用已知角来表示,具有一定的技巧,这就需要教师巧妙地引导,让学生亲自动手进行角的变换,使之明白此类变角的技巧,从而培养学生灵活运用公式的能力.变式训练已知sinα=32,α∈(2π,π),cosβ=-43,β∈(π,23π). 求tan(α+β).解:由cosβ=-43,β∈(π,23π),sinα=32,α∈(2π,π), ∴sinβ=-β2cos 1-=-2)43(1--=-47, cosα=-35)32(1sin 122-=--=-a∴tanβ=37,tanα=-552. ∴tan(α+β)=1772753235215755637)552(137552tan tan 1tan tan +-=++-=⨯--+-=-+βαβα. 4．(1)已知α+β=45°,求(1+tanα)(1+tanβ)的值.(2)已知sin(α+β)=21,sin(α-β)=31,求βαtan tan . 活动:对于问题(1),教师可与学生一起观察分析已知条件.通过分析题意可知,α+β是特殊角,可以利用两角和的正切公式得tanα,tanβ的关系式,从而发现所求式子的解题思路.在问题(2)中,我们欲求βαtan tan ,若利用已知条件直接求tanα,tanβ的值有一定的困难,但细心观察公式S α+β、S α-β发现,它们都含有sinαcosβ和cosαsinβ,而βαtan tan 化切为弦正是βαβαsin cos cos sin ,由此找到解题思路.教学中尽可能地让学生自己探究解决,教师不要及早地给以提示或解答.解:(1)∵α+β=45°,∴tan(α+β)=tan45°=1.又∵tan(α+β)=βαβαtan tan 1tan tan --, ∴tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ),即tanα+tanβ=1-tanαtanβ.∴原式=1+tanα+tanβ+tanαtanβ=1+(1-tanαtanβ)+tanαtanβ=2.(2)∵sin(α+β)=21,sin(α-β)=31, ∴sinαcosβ+cosαsinβ=21.① sinαcosβ-cosαsinβ=31.② ①+②,得sinαcosβ=125, ①-②,得cosαsinβ=121, ∴121125sin cos cos sin tan tan ==βαβαβα=5. 点评:本题都是公式的变形应用,像(1)中当出现α+β为特殊角时,就可以考虑逆用两角和的正切公式的变形式tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ),这个变形式子对我们解题很有用处.而(2)中化切为弦的求法更是巧妙,解完后留出一定的时间让学生认真总结反思,熟练掌握其变化的思想方法.变式训练1.求(1+tan1°)(1+tan2°)(1+tan3°)…(1+tan44°)(1+tan45°)的值.解:原式=［(1+tan1°)(1+tan44°)］［(1+tan2°)(1+tan43°)］…［(1+tan22°)(1+tan23°)］(1+tan45°)=2×2×2×…×2=223.2.计算:tan15°+tan30°+tan15°tan30°.解:原式=tan45°(1-tan15°tan30°)+tan15°tan30°=1.知能训练课本练习1、2、3、4.课堂小结本节课主要学习的是:推导了两角和与差的正切公式;研究了公式成立的条件、公式的形式及公式的作用;学习了公式的应用,通过公式的推导,加强了对“转化”数学思想方法的理解,掌握探究公式的方法,学会应用公式的三种基本方式;通过例题我们对公式不仅要会正用,还要会逆用,有时还需要适当变形后再用,这样才能全面地掌握公式.作业1.已知一元二次方程ax 2+bx+c=0(ac≠0)的两个根为tanα,tanβ,求t an(α+β)的值.解:由韦达定理,得tanα+tanβ=-a b ,tanαtanβ=ac , ∴tan(α+β)=a c b c a b a c a ba a -=--=--=-+1tan tan 1tan tan ββ. 2.课本习题3—1 A 组6,7.设计感想1.因为本节内容是两角和与差公式的最后一节,所以本节教案的设计目的既是两角和与差正弦余弦公式的继续,也注意了复习巩固两角和差公式.设计意图在于深刻理解公式的内在联系,学会综合利用公式解题的方法和技巧.因此本节课安排的几个例子都是围绕这个目标设计的,它们的解题方法也充分体现了公式的灵活运用.另外,通过补充的例题,教给学生正用、逆用、变形用公式的方法,培养了他们的逆向思维和灵活运用公式的能力.2.对于本节课来说,我们应该本着以学生为主体,教师为主导的原则,让学生充分发挥自己的学习智能,由学生唱好本节的主角.在设计例习题上,也是先让学生审题、独立思考、探究解法,然后教师再进行必要的点评.重在理清思路,纠正错误,点拨解法,争取一题多解,拓展思路,通过变式训练再进行方法提升,开拓题型.总之,本节教案的设计思想是把本节操作过程当作提升学生思维、运算能力的极佳载体.备课资料 备用习题1.已知A 、B 、C 是斜△ABC 的三个内角,求证:(1)tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC;(2)tan 2A tan 2B +tan 2B tan 2C +tan 2C tan 2A =1. 2.设关于x 的一元二次方程mx 2+(2m-1)x+(m+1)=0的两个实根为tanα与tanβ,求tan(α+β)的取值范围.3.求tan70°+tan50°-3tan50°tan70°的值.4.已知sinβ=m·sin(2α+β),求证:tan(α+β)=m m -+11tanα. 5.化简AB A sin )2sin(+-2cos(A+B). 6.已知5sinβ=sin(2α+β).求证:2tan(α+β)=3tanα.参考答案:1.解:(1)∵A 、B 、C 是斜△ABC 的内角,∴A+B+C=π,即A+B=π-C.由题意可知,A 、B 、C 都不为2π,因此有tan(A+B)=tan(π-C)=-tanC. ∴BA B A tan tan 1tan tan -+=-tanC,去分母,移项,整理可得 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.(2)∵2A +2B +2C =2π,∴2A +2B =2π-2C . ∴tan(2A +2B )=tan(2π-2C ). ∴2tan 12tan 2tan 12tan 2tan C B A B A =-+.去分母,移项,整理可得 tan 2A tan 2B +tan 2B tan 2C +tan 2C tan 2A =1. 2.解:由题设可知m≠0,且Δ=(2m -1)2-4m(m+1)≥0.①由①解得m ∈(-∞,0)∪(0,81］. 根据韦达定理可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=++=•,2112tan tan ,1tan tan m m m m m m βαβα 则ta n(α+β)=mm m m1121tan tan 1tan tan +--=-+βαβα=2m-1. ∵m ∈(-∞,0)∪(0,81］,∴2m-1≤2×81-1=-43,且2m-1≠-1. ∴tan(α+β)的取值范围为(-∞,-1)∪(-1,-43］. 3.解:原式=tan(70°+50°)(1-tan70°tan50°)-3tan50°tan70° =-3(1-tan70°tan50°)-3tan50°tan70° =-3+3tan70°tan50°-3tan50°tan70°=-3.∴原式的值为-3.4.证明:由sinβ=ｍsin(2α+β)⇒sin ［(α+β)-α］=ｍsin ［(α+β)+α］⇒sin(α+β)cosα-cos(α+β)sinα=ｍ［sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα］⇒(1-ｍ)·sin(α+β)cosα=(1+ｍ)·cos(α+β)sinα⇒tan(α+β)=mm -+11tanα. 点评:仔细观察已知式与所证式中的角,不要盲目展开,要有的放矢,看到已知式中的2α+β可化为结论式中的α+β与α的和,不妨将α+β作为一整体来处理.此方法是综合法,利用综合法证明恒等式时,必须有分析的基础,才能顺利完成证明.5.解:原式=AA B A A B A A A B A A B A sin sin )cos(cos )sin(sin sin )cos(])sin[(+-+=+-++ AB A A B A sin sin sin ])sin[(=-+= 点评:本题中三角函数均为弦函数,所以变形的问题只涉及角.一般来说,三角函数式的化简问题首先考虑角,其次是函数名,再次是代数式的结构特点.6.解:∵β=(α+β)-α,2α+β=(α+β)+α,∴5sin ［(α+β)-α］=sin ［(α+β)+α］,即5sin(α+β)cosα-5cos(α+β)sinα=sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα.∴2sin(α+β)cosα=3cos(α+β)sinα.∴2tan(α+β)=3tanα.点评:注意到条件式的角是β和2α+β,求证式中的角是α+β和α,显然“不要”的角β和2α+β应由要保留下来的角α+β与α来替代.三角条件等式的证明,一般是将条件中的角(不要的)用结论式中的角(要的)替代,然后选择恰当的公式变形.三角变换中经常要化复角为单角,化未知角为已知角.因此,看准角与角的关系十分重要.哪些角消失了,哪些角变化了,结论中是哪些角,条件中有没有这些角,在审题中必须对此认真观察和分析.常见的变角方式有:α=(α+β)-β;2α=(α+β)+(α-β);2α-β=(α-β)+α.当然变形的方式不唯一,应因题而异,要具体问题具体分析.(设计者:郑吉星)。