2018年七年级升八年级数学 暑期衔接班讲义 第十五讲 等腰直角三角形(无答案) 新人教版
2017年七升八暑期衔接班数学讲义(word版)
2017年七升八暑期衔接班数学培优讲义目录1.第一讲：与三角形有关的线段；2.第二讲：与三角形有关的角；3.第三讲：与三角形有关的角度求和；4.第四讲：专题一：三角形题型训练(一)；5.第五讲：专题二：三角形题型训练(二)；6.第六讲：全等三角形；7.第七讲：全等三角形的判定（一）SAS；8.第八讲：全等三角形的判定（二）SSS，ASA，AAS；9.第九讲：全等三角形的判定（三）HL；10.第十讲：专题三：全等三角形题型训练；11.第十一讲：专题四：全等三角形知识点扩充训练；12.第十二讲：角平分线的性质定理及逆定理；13.第十三讲：轴对称；14.第十四讲：等腰三角形；15.第十五讲：等腰直角三角形；16.第十六讲：等边三角形（一）；17.第十七讲：等边三角形（二）;18.第十八讲：专题五：全等、等腰三角形综合运用（一）19.第十九讲：专题六：全等、等腰三角形综合运用（二）20.第二十讲：专题七：综合题题型专题训练；CB A第 一 讲 与三角形有关的线段【知识要点】 一、三角形1．概念：①三条线段；②不在同一直线上；③首尾相连. 2．几何表示：①顶点；②内角、外角；③边；④三角形. 3．三种重要线段及画法：①中线；②角平分线；③高线. 二、三角形按边分类：（注意：等边三角形是特殊的等腰三角形）()⎧⎪⎧⎨⎪⎨⎪⎪⎩⎩不等边三角形腰底不相等的等腰三角形三角形等腰三角形腰底相等的等腰三角形等边三角形三、三角形的三边关系(教具)引例：已知平面上有A 、B 、C 三点.根据下列线段的长度判断A 、B 、C 存在的位置情况： (1)若AB=9，AC=4，BC=5，则A 、B 、C 存在的位置情况是： (2)若AB=3，AC=10，BC=7，则A 、B 、C 存在的位置情况是： (3)若AB=5，AC=4，BC=8，则A 、B 、C 存在的位置情况是： (4)若AB=3，AC=9，BC=10，则A 、B 、C 存在的位置情况是： (5)若AB=4，AC=6，BC=12，则A 、B 、C 存在的位置情况是： 总结：三角形的三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边.三角形的三边关系定理的推论：三角形任意两边之差小于第三边.【应用】利用定理判断三条线段能否构成三角形或确定三角形第三边的长度或范围. 1．已知BC=a ，AC=b ，AB=c.（1）A 、B 、C 三点在同一条直线上，则a ，b ，c 满足： ； （2）若构成△ABC ，则a ，b ，c 满足： ； 2．已知BC=a ，AC=b ，AB=c ，且a ＜b ＜c.（1）A 、B 、C 三点在同一条直线上，则a ，b ，c 满足： ； （2）若构成△ABC ，则a ，b ，c 满足： ； 【新知讲授】例一、如图，在△ABC 中.①AD 为△ABC 的中线，则线段 = =21；②AE 为△ABC 的角平分线，则 = =21； ③AF 为△ABC 的高线，则 = =90°；④以AD 为边的三角形有 ；⑤∠AEC 是 的一个内角；是 的一个外角.AB CD E F例二、已知，如图，BD ⊥AC ，AE ⊥CG ，AF ⊥AC ，AG ⊥AB ，则△ABC 的BC 边上的高线是线段( ).(A)BD (B) AE (C) AF(D) AG 例三、（1）以下列各组长度的线段为边，能．构成三角形的是( ). (A)7cm ，5cm ，12cm (B)6cm ，8cm ，15cm(C)4cm ，6cm ，5cm (D)8cm ，4cm ，3cm （2）满足下列条件的三条线段不能．．组成三角形的是 .（a 、b 、c 均为正数） ①a=5，b=9，c=7； ②a ∶b ∶c=2∶3∶5； ③1，a ，b ，其中1+a ＞b ；④a ，b ，c ，其中a+b ＞c ； ⑤a+2，a+6，5； ⑥a ＜b ＜c ，其中a+b ＞c. 例四、已知三角形的三边长分别为2，5，x ，则x 的取值范围是 .发散：①已知三角形的三边长分别为2，5，2x-1，则x 的取值范围是 . ②已知三角形的三边长分别为2，5，243x-，则x 的取值范围是 . ③已知三角形三边长分别为2，x ，13，若x 为正整数，则这样的三角形个数为( ). (A)2 (B)3(C)5(D)13④已知三角形的两边长分别为2，5，则三角形周长l 的取值范围是 . ⑤已知一个三角形中两边长分别为a 、b ，且a ＞b ，那么这个三角形的周长l 的取值范围是 .(A)3b ＜l ＜3a (B)2a ＜l ＜2a+2b (C)a+2b ＜l ＜2a+b (D)a+2b ＜l ＜3a-b例五、已知三角形的三边长分别为5，11-x ，3x-1.（1）则x 的取值范围是 ； （2）则它的周长l 的取值范围是 ； （3）若它是一个等腰三角形，则x 的值是 .发散：①已知三角形的三边长分别为2，5-x ，x-1，则x 的取值范围是 .②已知三角形两边的长分别为3和7，则第三边a 的取值范围是 ；若它的周长是偶数，则满足条件的三角形共有 个；若它是一个等腰三角形，则它的周长为 .③已知等腰三角形腰长为2， 则三角形底边a 的取值范围是 ；周长l 的取值范围是 .④已知三角形三边的长a 、b 、c 是三个连续正整数，则它的周长l 的取值范围是 .若它的周长小于19，则满足条件的三角形共有 个.⑤若a 、b 、c 是△ABC 的三边长，化简||c b a -++|c b a --|的结果为( ). (A)2b (B)0 (C)2a (D)22a c - ⑥已知在△ABC 中，AB=7，BC ∶AC=4∶3，则△ABC 的周长l 的取值范围为 . 【题型训练】DEABCFGDAB CDABC1．以下列各组线段为边，能组成三角形的是( ).(A)2cm ，3cm ，5cm (B)5cm ，6cm ，10cm (C)1cm ，1cm ，3cm (D)3cm ，4cm ，9cm 2．各组线段的比分别为①1∶3∶4；②1∶2∶3；③1∶4∶6；④3∶4∶5；⑤3∶3∶6.其中能组成三角形的有( ).(A)1组 (B)2组 (C)3组 (D)4组 3．三角形的下列线段中能将三角形的面积分成相等两部分的是（ ）(A)中线 (B)角平分线 (C)高线 (D)角平分线或中线 4．已知三角形的三边长分别为6，7，x ，则x 的取值范围是( ).(A)2＜x ＜12 (B)1＜x ＜13 (C)6＜x ＜7 (D)1＜x ＜7 5．已知三角形的两边长分别为3和5，则周长l 的取值范围是( ).（A ）6＜l ＜15 （B ）6＜l ＜16 （C ）11＜l ＜13 （D ）10＜l ＜16 6．已知等腰三角形的两边长分别为5和11，则周长是( ).（A ）21 （B ）27 （C ）32 （D ）21或27 7．等腰三角形的底边长为8，则腰长a 的范围为 . 8．等腰三角形的腰长为8，则底边长a 的范围为 .9．等腰三角形的周长为8，则腰长a 的范围为 ；底边长b 的范围为 . 10．三角形的两边长分别为6，8，则周长l 的范围为 . 11．三角形的两边长分别为6，8，则最长边a 的范围为 . 12．等腰三角形的周长为14，一边长为3，则另两边长分别为 . 13．若a 、b 、c 分别为△ABC 的三边长，则｜a+b-c ｜-｜b-c-a ｜+｜c-b-a ｜= . 14．已知在ΔABC 中，AB=AC ，它的周长为16厘米，AC 边上的中线BD 把∆ABC 分成周长之差为4厘米的两个三角形，求∆ABC 各边的长.15．等腰三角形一腰的中线（如图，等腰△ABC 中，AB=AC ，BD 为△ABC 的中线）把它的周长分为15厘米和6厘米两部分，求该三角形各边长.综合探究、三角形两条内、外角平分线的夹角与第三个内角之间的关系IIICBDACBDAADB CIIICBAC BD A EA EDBECII I C BD A CBA E A E DB FD E F F C 1．如图，△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的平分线交于点I ，探求∠I 与∠A 的关系； 2．如图，在△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的外角∠ACD 的平分线交于点I ，探求∠I 与∠A 的关系；3．如图，在△ABC 中，∠ABC 的外角∠CBD 、∠ACB 的外角∠BCE 的平分线交于点I ，探求∠I 与∠A 的关系.例三、“箭形”、“蝶形”、“四边形”两条内、外角平分线的夹角与另两个内角之间的关系 发散探索一：如图，∠ABD 、∠ACD 的平分线交于点I ，探索∠I 与∠A 、∠D 之间的数量关系.发散探索二：如图，∠ABD 的平分线与∠ACD 的邻补角∠ACE 的平分线所在的直线交于点I ，探索∠I 与∠A 、∠D 之间的数量关系.发散探索三：如图，∠ABD 的邻补角∠DBE 平分线与∠ACD 的邻补角∠DCF 的平分线交于点I ，探索∠I 与∠A 、∠D 之间的数量关系.A BCDI A B CDEA BCI12CB AD A CB H DAB C EHE D C B A 第 二 讲 与三角形有关的角【知识要点】一、三角形按角分类:①锐角三角形；②直角三角形；③钝角三角形； 二、三角形的内角和定理：三角形内角和为180°（∠A+∠B+∠1=180°）； 三、三角形的内角和定理的推论：①直角三角形两锐角互余；②三角形的任意一个外角等于和它不相邻的两个内角之和（∠2=∠A+∠B ）；③三角形的任意一个外角大于任意一个和它不相邻的内角； 四、n 边形的内角和定理：（n-2）×180°； 五、n 边形的外角和为360°. 【新知讲授】例一、①正方形的每个内角的度数为 ；正五边形的每个内角的度数为 ；正六边形的每个内角的度数为 ；正八边形的每个内角的度数为 ；正十边形的每个内角的度数为 ；正十二边形的每个内角的度数为 . ②若一个正多边形的内角和等于等于外角和的5倍，则它的边数是 . ③若一个正多边形的每一个内角都等于144°，则它的边数是 . ④若一个正多边形的每一个内角都等于相邻外角的2倍°，则它的边数是 .例二、如图，△ABC 中，∠A=50°，两条高线BD 、CE 所在直线交于点H ，求∠BHC 的度数.例三、如图，△ABC 中，∠A=50°，两条角平分线BD 、CE 交于点I ，求∠BIC 的度数.例四、如图，四边形ABCD 中，∠A=∠C ，∠B=∠D ，求证：AB ∥CD ，AD ∥BC.例五、如图，AB ∥CD ，AD ∥BC ，AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，求证：∠BAD+∠EAF=180°.A B C D E IDA B E FC D E A FC B A B CF E D例六、如图，六边形ABCDEF 中，AF ∥CD ，∠A=∠D ，∠B=∠E ，求证：BC ∥EF.例七、如图，在凸六边形ABCDEF 中，∠A+∠B+∠F=∠C+∠D+∠E ，求证：BC ∥EF.【题型训练】1．如图，△ABC 中，BD 、CE 为两条角平分线，若∠BDC=90°，∠BEC=105°，求∠A.2．如图，△ABC 中，BD 、CE 为两条角平分线，若∠BDC=∠AEC ，求∠A 的度数.3．如图，在△ABC 中，BD 为内角平分线，CE 为外角平分线，若∠BDC=125°，∠E=40°，ED C B AED C B A求∠BAC的度数.4．如图，在△ABC中，BD为内角平分线，CE为外角平分线，若∠BDC与∠E互补，求∠BAC 的度数.第二讲作业1．如果一个三角形三个内角的度数之比为2∶3∶7，这个三角形一定是( ).(A)等腰三角形(B)直角三角形(C)锐角三角形(D)钝角三角形2.如图所示，∠A、∠1、∠2的大小关系是( ).(A)∠A＞∠1＞∠2 (B)∠2＞∠1＞∠A(C)∠A＞∠2＞∠1 (D)∠2＞∠A＞∠13．下面四个图形中，能判断∠1＞∠2的是( ).(A) (B) (C) (D)4．将一副三角板按如图所示摆放，图中∠α的度数是( ).A．75°B．90°C．105°D．120°5.在活动课上，小聪将一副三角板按图中方式叠放，则∠=( ).(A)30° (B)45° (C)60°(D)75°6．如图所示，一个60°角的三角形纸片，剪去这个60°角后，得到一个四边形，则∠1+∠2 的度数为( ).(A)120° (B)180° (C)240° (D)300°7．如图，在△ABC中，∠C＝70º，沿图中虚线截去∠C，则∠1＋∠2=( ).(A)360º (B)250º (C)180º (D)140º8．如图，折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别是边AB、AC上，将△ABC 沿着DE折叠，A与A′重合，若∠A=75°，则∠1+∠2=( ).MEDCBAABO C B D AF E (A)150° (B)210° (C)105° (D)75° 9．如图，在△ABC 中，∠B=67°，∠C=33°，AD 是△ABC 的角平分线，则∠CAD 的度数为（ ） (A)40° (B)45° (C)50° (D)55°10．已知ΔABC 的三个内角∠A、∠B、∠C 满足关系式∠B +∠C =3∠A，则此三角形( ). (A)一定有一个内角为45︒(B)一定有一个内角为60︒(C)一定是直角三角形 (D)一定是钝角三角形 11．将一副三角尺按如图方式放置，则图中∠AOB 的度数为( ). (A)75° (B)95° (C)105° (D)120° 12．若一个正多边形的每一个内角都等于160°，则它是( ).(A)正十六形 (B)正十七形 (C)正十八边形 (D)正十九边形 13．一个多边形的内角和比它的外角和的2倍还大180°，这个多边形的边数为( ). (A)7 (B)8 (C)9 (D)1014. 已知：在△ABC 中，∠B 是∠A 的2倍，∠C 比∠A 大20°，则∠A 等于( ).(A)40° (B)60° (C)80° (D)90° 15．如图，人民币旧版壹角硬币内部的正多边形每个内角度数是 .16．如图，在△ABC 中，D 、E 分别是边AB 、AC 上的两点，BE 、CD 相交于点F ，∠A=62°，∠ACD=40°，∠ABE=20°，求∠BFC 的度数.17．如图，已知直线DE 分别交△ABC 的边AB 、AC 于D 、E 两点，交边BC 的延长线于点F ，若∠B =67°，∠ACB =74°，∠AED =48°，求∠BDF 的度数．第三讲：与三角形有关的角度求和IADAACB DA CB D A A DB C 【知识要点】1．与三角形有关的四个基本图及其演变；2．星形图形的角度求和. 【新知讲授】例一、如图，直接写出∠D 与∠A 、∠B 、∠C 之间的数量关系. 箭形： ；蝶形： ；四边形： . 请给出“箭形”基本图结论的证明（你能想出几种不同的方法）：例二、三角形两条内、外角平分线的夹角与第三个内角之间的关系1．如图，△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的平分线交于点I ，探求∠I 与∠A 的关系；2．如图，在△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的外角∠ACD 的平分线交于点I ，探求∠I 与∠A 的关系；3．如图，在△ABC 中，∠ABC 的外角∠CBD 、∠ACB 的外角∠BCE 的平分线交于点I ，探求∠I 与∠A 的关系.例三、“箭形”、“蝶形”、“四边形”两条内、外角平分线的夹角与另两个内角之间的关系发散探索一：如图，∠ABD 、∠ACD 的平分线交于点I ，探索∠I 与∠A 、∠D 之间的数量关系.A B C I ABC D I AB CD E IIIICBDAC BD A EA EDBECI I I C BD A CBA E A E DB FD E F F C发散探索二：如图，∠ABD 的平分线与∠ACD 的邻补角∠ACE 的平分线所在的直线交于点I ，探索∠I 与∠A 、∠D 之间的数量关系.发散探索三：如图，∠ABD 的邻补角∠DBE 平分线与∠ACD 的邻补角∠DCF 的平分线交于点I ，探索∠I 与∠A 、∠D 之间的数量关系.例四、如图，在△ABC 中， BP 、BQ 三等分∠ABC ，CP 、CQ 三等分∠ACB.（1）若∠A=60°，直接写出：∠BPC 的度数为 ，∠BQC 的度数为 ； （2）连接PQ 并延长交BC 于点D ，若∠BQD=63°，∠CQD=80°，求△ABC 三个内角的BA MECD OD BCEADBCF E A度数.例五、如图，BD 、CE 交于点M ，OB 平分∠ABD ，OC 平分∠ACE ，OD 平分∠ADB ，OE 平分∠AEC ，求证：∠BOE=∠COD ；【题型训练】1．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E 的度数和.2．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的度数和.3．如图，已知∠1=60°，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的度数和.发散探索：①如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= ；②如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G= ； ③如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= .CB DAFE ④如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= .⑤如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G= ； ⑥如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G= ； ⑦如图，BC ⊥EF ，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的度数.第 三 讲 作 业1．如图，B 岛在A 岛的南偏西30°，A 岛在C 岛的北偏西35°，B 岛在C 岛的北偏西78°，则从B 岛看A 、C 两岛的视角∠ABC 的度数为( ).(A)65° (B)72° (C)75° (D)78°2．如图，D 、E 分别是AB 、AC 上一点，BE 、CD 相交于点F ，∠ACD=30°，∠ABE=20°，∠BDC+∠BEC=170°则∠A 等于( ).(A)50° (B)85° (C)70° (D)60° 3．一副三角板，如图所示叠放在一起，则图中∠ 的度数是( ).(A)75° (B)60° (C)65° (D)55°4．如图，在△ABC 中，∠BAC=36°，∠C=72°，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，AF ∥BC ，交BD 的延长线于点F ，AE 平分∠CAF 交DF 于E 点.我们定义：在一个三角形中，有一个角是36°，其余两个角均为72°的三角形和有一个角是108°，其余两个角均为36°的三角形均被称作“黄金三角形”，则这个图中黄金三角形共有( ).(A)8个 (B)7个 (C)6个 (D)5个5．如图，∠A=35°，∠B=∠C=90°，则∠D 的度数是( ).(A)35° (B)45° (C)55° (D)65°6．如图，已知∠A+∠BCD=140°，BO 平分∠ABC ，DO 平分∠ADC ，则∠BOD=( ). (A)40° (B)60° (C)70° (D)80°7．如图，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到了一个四边形，则∠1+∠2= ．8.如图，在△ABC 中，∠A=80°，点D 为边BC 延长线上的一点，∠ACD=150°，则∠B= .9．将一副直角三角板如上图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为 .10．一副三角板叠在一起如图放置，最小锐角的顶点D 恰好放在等腰直角三角板的斜边AB上，BC 与DE 交于点M ．若∠ADF=100°，则∠BMD 为 ．11．如图，在△ABC 中，∠B=47°，三角形的外角∠DAC 和∠ACF 的平分线交于点E ，则∠AEC=______.12．如图，∠ACD 是△ABC 的外角，∠ABC 的平分线与∠ACD 的平分线交于点A 1，∠A 1BC 的平分线与∠A 1CD 的平分线交于点A 2，…，如此下去，∠A n ﹣1BC 的平分线与∠A n ﹣1CD 的平分线交于点n A ．设∠A=θ．则∠A 1= ；n A = ．13．已知：如图1，在△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的角平分线交于点O ，则1902BOC A ∠=︒+∠1118022A =⨯︒+∠；如图2，在△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的两条三等分角线分别对应交于点1O 、2O ，则12118033BO C A ∠=⨯︒+∠，21218033BO C A ∠=⨯︒+∠；……；根据以上阅读理解，当n 等分角时，内部有1n -个交点，你以猜想1n BO C -∠=( ).(A)21180A n n ⨯︒+∠ (B)12180A n n ⨯︒+∠(C)118011n A n n ⨯︒+∠--(D)11180n A n n-⨯︒+∠14．在△ABC 中，∠C=∠ABC=2∠A ，BD 是AC 边上的高，BE 平分∠ABC ，求∠DBE 度数.第 四 讲 专题一：三角形题型训练（一）【知识要点】平行线、三角形内角和的综合运用【新知讲授】例一、如图，在四边形ABCD 中，∠A=∠C=90°，BE 、DF 分别平分∠ABC 、∠ADC ，请你判断BE 、DF 的位置关系并证明你的结论.例二、如图，在四边形ABCD 中，∠A=∠C=90°，∠ABC 的外角平分线与∠ADC 的平分线交于点E ，请你判断BE 、DE 的位置关系并证明你的结论.例三、 如图，在四边形ABCD 中，∠A=∠C=90°，BE 、DF 分别平分∠ABC 、∠ADC 的外角，请你判断BE 、DF 的位置关系并证明你的结论.例四、如图，∠A=∠C=90°，∠ABC 的平分线与∠ADC 的平分线交于点E ，请你判断BE 、DE的位置关系并证明你的结论.例五、如图，∠A=∠C=90°，BE 平分∠ABC ，DF 平分∠ADC 的的外角，请你判断BE 、DE 的位置关系并证明你的结论.FED C BAMEDBAFNME DCBA EDCBAFMD例六、如图，∠A=∠C=90°，∠ABC 的外角平分线与∠ADC 的外角平分线交于点E ，请你判断BE 、DE 的位置关系并证明你的结论.例七、如图，△ABC 中，P 为BC 边上任一点，PD ∥AB ，PE ∥AC.（1）若∠A=60°，求∠DPE 的度数；（2）若EM 平分∠BEP ，DN 平分∠CDP ，试判断EM 与DN 之间的位置关系，写出你的结论并证明.例八、如图，△ABC 中，D 、E 、F 分别在三边上，∠BDE ＝∠BED ，∠CDF ＝∠CFD. （1）若∠A=70°，求∠EDF 的度数；（2）EM 平分∠BED ，FN 平分∠CFD ，若EM ∥FN ，求∠A 的度数.例九、如图，△ABC 中，D 、E 、F 分别在三边上，∠DBE ＝∠DEB ，∠DCF ＝∠DFC.（1）若∠A=70°，求∠EDF 的度数；（2）EM 平分∠BED ，FN 平分∠CFD ，若EM ∥FN ，求∠A 的度数.NME D C BA NM P EDC BANMFEDCBAFEAA DCMBA DB EC BD A ECDB AC E F【题型训练】1．如图1、图2是由10把相同的折扇组成的“蝶恋花”和“梅花”，图中的折扇完全打开且无重叠，则“梅花”图案中五角星的5个锐角的度数均为( ).(A) 36° (B) 42° (C) 45° (D) 48° 2．如图，在△ABC 中，∠B=∠C ，D 是BC 上一点，DE ⊥BC 交AC 于点E ，DF ⊥AB ，垂足为F ，若∠AED=160°，则∠EDF 等于( ).(A)50° (B)60° (C)70° (D)80°3．如图，△ABC 中，∠B=∠C ，∠BAD=32°，∠ADE=∠AED ，则∠CDE= .4．已知△ABC 中，∠ACB—∠B=90°，∠BAC 的平分线交BC 于E ，∠BAC 的外角的平分线交BC 的延长线于F ，则△AEF 的形状是 . 5．如图，AB ∥CD ，∠A=∠C ，AE ⊥DE ，∠D=130°，则∠B 的度数为 . 6．如图：点D 、E 、F 为△ABC 三边上的点，则∠1 +∠2 +∠3+∠4 +∠5 +∠6 = ．7．若一束光线经过三块平面镜反射，反射的路线如图所示，图中的字母表示相应的度数，若60c =︒，∠P=110°，则d e +的值为 ，x 的值 .8．如图，在平行四边形ABCD 中，∠BAD 的平分线交边BC 于点M ，连接MD ，且MD 恰好平分∠AMC ，若∠MDC=45°，则∠BAD= ，∠ABC= .第 四 讲 作 业1.如图，已知△ABC 的三个顶点分别在直线a 、b 上，且a ∥b ，若∠1=120°，∠2=80°，则∠3的度数是( ).(A)40° (B)60° (C)80° (D)120°2．如图，BD∥EF，AE与BD交于点C，若∠ABC=30°，∠BAC=75°，则∠CEF的大小为( ).(A)60° (B)75° (C)90° (D)105°3．如图，已知D、E在△ABC的边上，DE∥BC，∠B=60°，∠AED=40°，则∠A 的度数为( ).(A)100° (B)90° (C)80° (D)70°4．已知，直线l1∥l2，将一块含30°角的直角三角板如图所示放置，∠1=25°，则∠2等于( ).(A)30° (B)35° (C)40° (D)45°5．如图，将三角尺的直角顶点放在直线a上，a∥b，∠1=50°，∠2=60°，则∠3的度数为( ).(A)50° (B)60° (C)70° (D)80°6．小明同学把一个含有45°角的直角三角板在如图所示的两条平行线上，测得α∠=120°，则的度数是( ).(A)45° (B)55° (C)65° (D)75°7.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°．D为边CA延长线上的一点，DE‖AB,∠ADE=42°，则∠B的大小为( ).(A) 42° (B) 45° (C) 48° (D)58°8．如图，B处在A处的南偏西45°方向，C处在A处的南偏东15°方向，C处在B处的北偏东80°方向，则∠ACB等于（）(A)65° (B)72° (C)75° (D)78°9．如图，已知AC∥ED，∠C=26°，∠CBE=37°，则∠BED的度数是( ).(A)63° (B)83° (C)73° (D)53°10．如图，已知a∥b，小亮把三角板的直角顶点放在直线b上．若∠1=40°，则∠2的度数为．m n，β∠11．如图，已知DE ∥BC ，CD 是∠ACB 的平分线，∠B=70°，∠A=60°. （1）求∠EDC 的度数； （2）求∠BDC 度数.12．如图，∠DAB+∠D=180°，AC 平分∠DAB ，且∠CAD=25°，∠B=95°.(1)求∠DCA 的度数； (2)求∠FEA 的度数.13．如图，B 处在A 处的南偏西57°的方向，C 处在A 处的南偏东15°方向，C 处在B 处的北偏东82°方向，求∠C 的度数.第五讲 专题一：三角形题型训练（二）知识点：三角形三边的关系定理：两边之和大于第三边；两边之差小于第三边三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180° 典型例题：北南AB C1、已知ΔABC的周长为10，且三边长为整数，求三边的长。
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C B A【最新整理，下载后即可编辑】2017年七升八暑期衔接班数学培优讲义目 录1. 第一讲：与三角形有关的线段；2. 第二讲：与三角形有关的角；3. 第三讲：与三角形有关的角度求和；4. 第四讲：专题一：三角形题型训练(一)；5. 第五讲：专题二：三角形题型训练(二)；6. 第六讲：全等三角形；7. 第七讲：全等三角形的判定（一）SAS ；8. 第八讲：全等三角形的判定（二）SSS ，ASA ，AAS ；9. 第九讲：全等三角形的判定（三）HL ；10. 第十讲：专题三：全等三角形题型训练；11. 第十一讲：专题四：全等三角形知识点扩充训练；12. 第十二讲：角平分线的性质定理及逆定理；13. 第十三讲：轴对称；14. 第十四讲：等腰三角形；15. 第十五讲：等腰直角三角形；16. 第十六讲：等边三角形（一）；17. 第十七讲：等边三角形（二）;18. 第十八讲：专题五：全等、等腰三角形综合运用（一）19. 第十九讲：专题六：全等、等腰三角形综合运用（二）20. 第二十讲：专题七：综合题题型专题训练；第 一 讲 与三角形有关的线段【知识要点】一、三角形1．概念：①三条线段；②不在同一直线上；③首尾相连.2．几何表示：①顶点；②内角、外角；③边；④三角形.3．三种重要线段及画法：①中线；②角平分线；③高线.二、三角形按边分类：（注意：等边三角形是特殊的等腰三角形）()⎧⎪⎧⎨⎪⎨⎪⎪⎩⎩不等边三角形腰底不相等的等腰三角形三角形等腰三角形腰底相等的等腰三角形等边三角形 三、三角形的三边关系(教具)引例：已知平面上有A 、B 、C 三点.根据下列线段的长度判断A 、B 、C 存在的位置情况：(1)若AB=9，AC=4，BC=5，则A 、B 、C 存在的位置情况是：(2)若AB=3，AC=10，BC=7，则A 、B 、C 存在的位置情况是：(3)若AB=5，AC=4，BC=8，则A 、B 、C 存在的位置情况是：(4)若AB=3，AC=9，BC=10，则A 、B 、C 存在的位置情况是：(5)若AB=4，AC=6，BC=12，则A 、B 、C 存在的位置情况是： 总结：三角形的三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边.三角形的三边关系定理的推论：三角形任意两边之差小于第三边.【应用】利用定理判断三条线段能否构成三角形或确定三角形第三边的长度或范围.1．已知BC=a ，AC=b ，AB=c.（1）A 、B 、C 三点在同一条直线上，则a ，b ，c 满足： ；（2）若构成△ABC ，则a ，b ，c 满足： ；2．已知BC=a ，AC=b ，AB=c ，且a ＜b ＜c.（1）A 、B 、C 三点在同一条直线上，则a ，b ，c 满足： ；（2）若构成△ABC ，则a ，b ，c 满足： ；【新知讲授】例一、如图，在△ABC 中.①AD 为△ABC 的中线，则线段 = ②AE 为△ABC 的角平分线，则 = ③AF 为△ABC 的高线，则 = =90④以AD 为边的三角形有 ；A CD E⑤∠AEC 是 的一个内角；是 的一个外角.例二、已知，如图，BD ⊥AC ，AE ⊥CG ，AF ⊥AC ，AG ⊥AB ， 则△ABC 的BC 边上的高线是线段( ). (A)BD (B) AE (C) AF (D) AG 例三、（1）以下列各组长度的线段为边，能．构成三角形的是( ). (A)7cm ，5cm ，12cm (B)6cm ，8cm ，15cm(C)4cm ，6cm ，5cm (D)8cm ，4cm ，3cm（2）满足下列条件的三条线段不能．．组成三角形的是 .（a 、b 、c 均为正数）①a=5，b=9，c=7； ②a ∶b ∶c=2∶3∶5； ③1，a ，b ，其中1+a ＞b ；④a ，b ，c ，其中a+b ＞c ； ⑤a+2，a+6，5； ⑥a ＜b ＜c ，其中a+b ＞c.例四、已知三角形的三边长分别为2，5，x ，则x 的取值范围是 .发散：①已知三角形的三边长分别为2，5，2x-1，则x 的取值范围是 .②已知三角形的三边长分别为2，5，243x ，则x 的取值范围是 .③已知三角形三边长分别为2，x ，13，若x 为正整数，则这样的三角形个数为( ).(A)2 (B)3 (C)5(D)13④已知三角形的两边长分别为2，5，则三角形周长的取值范围是 .⑤已知一个三角形中两边长分别为a 、b ，且a ＞b ，那么这个三角形的周长的取值范围是 .(A)3b ＜＜3a (B)2a ＜＜2a+2b (C)a+2b ＜＜2a+b(D)a+2b ＜＜3a-b例五、已知三角形的三边长分别为5，11-x ，3x-1.（1）则x 的取值范围是 ；（2）则它的周长的取值范围是 ；D E A B CFG（3）若它是一个等腰三角形，则x 的值是 .发散：①已知三角形的三边长分别为2，5-x ，x-1，则x 的取值范围是 .②已知三角形两边的长分别为3和7，则第三边a 的取值范围是 ；若它的周长是偶数，则满足条件的三角形共有 个；若它是一个等腰三角形，则它的周长为 .③已知等腰三角形腰长为2， 则三角形底边a 的取值范围是 ；周长的取值范围是 .④已知三角形三边的长a 、b 、c 是三个连续正整数，则它的周长的取值范围是 .若它的周长小于19，则满足条件的三角形共有 个.⑤若a 、b 、c 是△ABC 的三边长，化简||c b a -++|cb a --|的结果为( ).(A)2b (B)0 (C)2a(D)22a c -⑥已知在△ABC 中，AB=7，BC ∶AC=4∶3，则△ABC 的周长的取值范围为 .【题型训练】 1．以下列各组线段为边，能组成三角形的是( ). (A)2cm ，3cm ，5cm (B)5cm ，6cm ，10cm (C)1cm ，1cm ，3cm (D)3cm ，4cm ，9cm 2．各组线段的比分别为①1∶3∶4；②1∶2∶3；③1∶4∶6；④3∶4∶5；⑤3∶3∶6.其中能组成三角形的有( ). (A)1组 (B)2组 (C)3组 (D)4组 3．三角形的下列线段中能将三角形的面积分成相等两部分的是（ ） (A)中线 (B)角平分线 (C)高线 (D)角平分线或中线 4．已知三角形的三边长分别为6，7，x ，则x 的取值范围是( ). (A)2＜x ＜12 (B)1＜x ＜13 (C)6＜x ＜7 (D)1＜x ＜7 5．已知三角形的两边长分别为3和5，则周长的取值范围是( ). （A ）6＜＜15 （B ）6＜＜16 （C ）11＜＜13 （D ）D AB C D A B C 10＜＜16 6．已知等腰三角形的两边长分别为5和11，则周长是( ). （A ）21 （B ）27 （C ）32 （D ）21或277．等腰三角形的底边长为8，则腰长a 的范围为 .8．等腰三角形的腰长为8，则底边长a 的范围为 .9．等腰三角形的周长为8，则腰长a 的范围为 ；底边长b 的范围为 .10．三角形的两边长分别为6，8，则周长的范围为 .11．三角形的两边长分别为6，8，则最长边a 的范围为 .12．等腰三角形的周长为14，一边长为3，则另两边长分别为 .13．若a 、b 、c 分别为△ABC 的三边长，则｜a+b-c ｜-｜b-c-a ｜+｜c-b-a ｜= .14．已知在ΔABC 中，AB=AC ，它的周长为16厘米，AC 边上的中线BD 把∆ABC 分成周长之差为4厘米的两个三角形，求∆ABC 各边的长.15．等腰三角形一腰的中线（如图，等腰△ABC 中，AB=AC ，BD 为△ABC 的中线）把它的周长分为15厘米和6厘米两部分，求该三角形各边长.I I IC BD A C B D A A D B C I I IC B A C BD AE A E D B E C 综合探究、三角形两条内、外角平分线的夹角与第三个内角之间的关系1．如图，△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的平分线交于点I ，探求∠I 与∠A 的关系；2．如图，在△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的外角∠ACD 的平分线交于点I ，探求∠I 与∠A 的关系；3．如图，在△ABC 中，∠ABC 的外角∠CBD 、∠ACB 的外角∠BCE 的平分线交于点I ，探求∠I 与∠A 的关系.例三、“箭形”、“蝶形”、“四边形”两条内、外角平分线的夹角与另两个内角之间的关系发散探索一：如图，∠ABD 、∠ACD 的平分线交于点I ，探索∠I 与∠A 、∠D 之间的数量关系.发散探索二：如图，∠ABD 的平分线与∠ACD 的邻补角∠ACE的平分线所在的直线交于点I ，探索∠I 与∠A 、∠D 之间的数量关系.A B C D IA B C D E AB C II I I C B D A C B A E A E D B F DE F F C 12C B A发散探索三：如图，∠ABD 的邻补角∠DBE 平分线与∠ACD 的邻补角∠DCF 的平分线交于点I ，探索∠I 与∠A 、∠D 之间的数量关系.第 二 讲 与三角形有关的角【知识要点】一、三角形按角分类:①锐角三角形；②直角三角形；③钝角三角形； 二、三角形的内角和定理：三角形内角和为180°（∠A+∠B+∠1=180°）； 三、 三角形的内角和定理的推论： ①直角三角形两锐角互余； ②三角形的任意一个外角等于和它不相邻的两个内角之和（∠2=∠A+∠B ）； ③三角形的任意一个外角大于任意一个和它不相邻的内角； 四、n 边形的内角和定理：（n-2）×180°； 五、n 边形的外角和为360°.【新知讲授】例一、①正方形的每个内角的度数为 ；正五边形的每个内角的度数为 ；正六边形的每个内角的度数为 ；正八边形的每个内角的度数为 ；正十边形的每个内角的度数为 ；正十二边形的每个内角的度数为 .D A C B A DH D A B C E H E D C B A ②若一个正多边形的内角和等于等于外角和的5倍，则它的边数是 .③若一个正多边形的每一个内角都等于144°，则它的边数是 .④若一个正多边形的每一个内角都等于相邻外角的2倍°，则它的边数是 .例二、如图，△ABC 中，∠A=50°，两条高线BD 、CE 所在直线交于点H ，求∠BHC 的度数.例三、如图，△ABC 中，∠A=50°，两条角平分线BD 、CE 交于点I ，求∠BIC 的度数.例四、如图，四边形ABCD 中，∠A=∠C ，∠B=∠D ，求证：AB ∥CD ，AD ∥BC.例五、如图，AB ∥CD ，AD ∥BC ，AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，求证：∠BAD+∠EAF=180°. A B C D E ID A B EF C D E A F C B例六、如图，六边形ABCDEF 中，AF ∥CD ，∠A=∠D ，∠B=∠E ，求证：BC ∥EF.例七、如图，在凸六边形ABCDEF 中，∠A+∠B+∠F=∠C+∠D+∠E ，求证：BC ∥EF.【题型训练】1．如图，△ABC 中，BD 、CE 为两条角平分线，若∠BDC=90°，∠BEC=105°，求∠A.E D C B A2．如图，△ABC 中，BD 、CE 为两条角平分线，若∠BDC=∠AEC ，求∠A 的度数.3．如图，在△ABC 中，BD 为内角平分线，CE 为外角平分线，若∠BDC=125°，∠E=40°，求∠BAC 的度数.4．如图，在△ABC 中，BD 为内角平分线，CE 为外角平分线，若∠BDC 与∠E 互补，求∠BAC 的度数.第 二 讲 作 业1．如果一个三角形三个内角的度数之比为2∶3∶7，这个三角形一定是( ).E D C B A M E D C B A M E D C B A(A)等腰三角形(B)直角三角形(C)锐角三角形(D)钝角三角形2.如图所示，∠A、∠1、∠2的大小关系是( ).(A)∠A＞∠1＞∠2 (B)∠2＞∠1＞∠A(C)∠A＞∠2＞∠1 (D)∠2＞∠A＞∠13．下面四个图形中，能判断∠1＞∠2的是( ).(A) (B) (C)(D)4．将一副三角板按如图所示摆放，图中∠α的度数是( ).A．75°B．90°C．105°D．120°5.在活动课上，小聪将一副三角板按图中方式叠放，则∠=( ).(A)30° (B)45° (C)60° (D)75°6．如图所示，一个60°角的三角形纸片，剪去这个60°角后，得到一个四边形，则∠1+∠2 的度数为( ).(A)120°(B)180°(C)240°(D)300°7．如图，在△ABC中，∠C＝70º，沿图中虚线截去∠C，则∠1＋∠2=( ).(A)360º(B)250º(C)180º(D)140ºABO 8．如图，折纸活动中，小明制作了一张△ABC 纸片，点D 、E分别是边AB 、AC 上，将△ABC 沿着DE 折叠，A 与A′重合，若∠A=75°，则∠1+∠2=( ).(A)150° (B)210° (C)105° (D)75°9．如图，在△ABC 中，∠B=67°，∠C=33°，AD 是△ABC 的角平分线，则∠CAD 的度数为（ ）(A)40° (B)45° (C)50°(D)55°10．已知ΔABC 的三个内角∠A 、∠B 、∠C 满足关系式∠B +∠C =3∠A，则此三角形( ).(A)一定有一个内角为45︒ (B)一定有一个内角为60︒ (C)一定是直角三角形 (D)一定是钝角三角形11．将一副三角尺按如图方式放置，则图中∠AOB 的度数为( ). (A)75° (B)95° (C)105° (D)120° 12．若一个正多边形的每一个内角都等于160°，则它是( ).(A)正十六形 (B)正十七形 (C)正十八边形 (D)正十九边形13．一个多边形的内角和比它的外角和的2倍还大180°，这个多边形的边数为( ).(A)7 (B)8 (C)9 (D)1014. 已知：在△ABC 中，∠B 是∠A 的2倍，∠C 比∠A 大20°，则∠A 等于( ).(A)40° (B)60° (C)80° (D)90° 15．如图，人民币旧版壹角硬币内部的正多边形每个内角度数C BD A FE CB DACBDA A DBC是 .16．如图，在△ABC 中，D 、E 分别是边AB 、AC 上的两点，BE 、CD 相交于点F ，∠A=62°，∠ACD=40°，∠ABE=20°，求∠BFC 的度数.17．如图，已知直线DE 分别交△ABC 的边AB 、AC 于D 、E 两点，交边BC 的延长线于点F ，若∠B =67°，∠ACB =74°，∠AED =48°，求∠BDF 的度数．第三讲：与三角形有关的角度求和【知识要点】1．与三角形有关的四个基本图及其演变； 2．星形图形的角度求和. 【新知讲授】例一、如图，直接写出∠D 与∠A 、∠B 、∠C 之间的数量关系.箭形：；蝶形：；四边形：.请给出“箭形”基本图结论的证明（你能想出几种不同的方法）：例二、三角形两条内、外角平分线的夹角与第三个内角之间的关系1．如图，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点I，探求∠I与∠A的关系；2．如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的外角∠ACD的平分线交于点I，探求∠I与∠A的关系；3．如图，在△ABC中，∠ABC的外角∠CBD、∠ACB的外角∠BCE的平分线交于点I，探求∠I与∠A的关系. AB CIAB C DIAB CI I IC BD AC B DA A DB C II IC BD A C BD A EA E D BE CBA A A DD例三、“箭形”、“蝶形”、“四边形”两条内、外角平分线的夹角与另两个内角之间的关系发散探索一：如图，∠ABD 、∠ACD 的平分线交于点I ，探索∠I 与∠A 、∠D 之间的数量关系.发散探索二：如图，∠ABD 的平分线与∠ACD 的邻补角∠ACE 的平分线所在的直线交于点I ，探索∠I 与∠A 、∠D 之间的数量关系.发散探索三：如图，∠ABD 的邻补角∠DBE 平分线与∠ACD 的邻补角∠DCF 的平分线交于点I ，探索∠I 与∠A 、∠D 之间的数量关系.BAMEDODQPCBAD BC EA例四、如图，在△ABC中，BP、BQ三等分∠ABC，CP、CQ 三等分∠ACB.（1）若∠A=60°，直接写出：∠BPC的度数为，∠BQC的度数为；（2）连接PQ并延长交BC于点D，若∠BQD=63°，∠CQD=80°，求△ABC三个内角的度数.例五、如图，BD、CE交于点M，OB平分∠ABD，OC平分∠ACE，OD平分∠ADB，OE平分∠AEC，求证：∠BOE=∠COD；【题型训练】1．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数和.D B C FEA 2．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的度数和.3．如图，已知∠1=60°，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的度数和.发散探索：①如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= ；②如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G= ；③如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= . ④如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= .⑤如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G= ；⑥如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠C B DA FEG= ；⑦如图，BC ⊥EF ，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的度数.第 三 讲 作 业1．如图，B 岛在A 岛的南偏西30°，A 岛在C 岛的北偏西35°，B 岛在C 岛的北偏西78°，则从B 岛看A 、C 两岛的视角∠ABC 的度数为( ).(A)65° (B)72° (C)75° (D)78° 2．如图，D 、E 分别是AB 、AC 上一点，BE 、CD 相交于点F ，∠ACD=30°，∠ABE=20°，∠BDC+∠BEC=170°则∠A 等于( ).(A)50° (B)85° (C)70° (D)60°3．一副三角板，如图所示叠放在一起，则图中∠ 的度数是( ).(A)75° (B)60° (C)65°(D)55°4．如图，在△ABC 中，∠BAC=36°，∠C=72°，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，AF ∥BC ，交BD 的延长线于点F ，AE 平分∠CAF 交DF 于E 点.我们定义：在一个三角形中，有一个角是36°，其余两个角均为72°的三角形和有一个角是108°，其余两个角均为36°的三角形均被称作“黄金三角形”，则这个图中黄金三角形共有( ).(A)8个(B)7个(C)6个(D)5个5．如图，∠A=35°，∠B=∠C=90°，则∠D的度数是( ).(A)35°(B)45°(C)55°(D)65°6．如图，已知∠A+∠BCD=140°，BO平分∠ABC，DO平分∠ADC，则∠BOD=( ).(A)40°(B)60°(C)70°(D)80°7．如图，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到了一个四边形，则∠1+∠2= ．8.如图，在△ABC中，∠A=80°，点D为边BC延长线上的一点，∠ACD=150°，则∠B= .9．将一副直角三角板如上图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为.10．一副三角板叠在一起如图放置，最小锐角的顶点D恰好放在等腰直角三角板的斜边AB上，BC与DE交于点M．若O 2O 1A BC 图1CBA 图2图3OO 1O 2O n-1∠ADF=100°，则∠BMD 为 ．11．如图，在△ABC 中，∠B=47°，三角形的外角∠DAC 和∠ACF 的平分线交于点E ，则∠AEC=______.12．如图，∠ACD 是△ABC 的外角，∠ABC 的平分线与∠ACD的平分线交于点A 1，∠A 1BC 的平分线与∠A 1CD 的平分线交于点A 2，…，如此下去，∠A n ﹣1BC 的平分线与∠A n ﹣1CD 的平分线交于点n A ．设∠A=θ．则∠A 1= ；n A = ．13．已知：如图1，在△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的角平分线交于点O ，则1902BOC A ∠=︒+∠1118022A =⨯︒+∠；如图2，在△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的两条三等分角线分别对应交于点1O 、2O ，则12118033BO C A ∠=⨯︒+∠，21218033BO C A ∠=⨯︒+∠；……；根据以上阅读理解，当n 等分角时，内部有1n -个交点，你以猜想1n BO C -∠=( ). (A)21180A n n⨯︒+∠(B)12180A n n⨯︒+∠(C)118011n A n n ⨯︒+∠--(D)11180n A n n-⨯︒+∠14．在△ABC 中，∠C=∠ABC=2∠A ，BD 是AC 边上的高，BE 平分∠ABC ，求∠DBE 度数.第 四 讲 专题一：三角形题型训练（一）【知识要点】平行线、三角形内角和的综合运用 【新知讲授】例一、如图，在四边形ABCD 中，∠A=∠C=90°，BE 、DF 分别平分∠ABC 、∠ADC ，请你判断BE 、DF 的位置关系并证明你的结论.例二、如图，在四边形ABCD 中，∠A=∠C=90°，∠ABC 的外角平分线与∠ADC 的平分线交于点E ，请你判断BE 、DE的位置关系并证明你的结论.例三、 如图，在四边形ABCD 中，∠A=∠C=90°，BE 、DF分别平分∠ABC 、∠ADC 的外角，请你判断BE 、DF 的位置关系并证明你的结论.例四、如图，∠A=∠C=90°，∠ABC 的平分线与∠ADC 的平分线交于点E ，请你判断BE 、DE 的位置关系并证明你的结论.F ED C BAM EDC B A F NME D CB AD例五、如图，∠A=∠C=90°，BE 平分∠ABC ，DF 平分∠ADC 的的外角，请你判断BE 、DE 的位置关系并证明你的结论.例六、如图，∠A=∠C=90°，∠ABC 的外角平分线与∠ADC 的外角平分线交于点E ，请你判断BE 、DE 的位置关系并证明你的结论.例七、如图，△ABC 中，P 为BC 边上任一点，PD ∥AB ，PE ∥AC.（1）若∠A=60°，求∠DPE 的度数；（2）若EM 平分∠BEP ，DN 平分∠CDP ，试判断EM 与DN 之间的位置关系，写出你的结论并证明.FMED C BA N M EDCBAA例八、如图，△ABC 中，D 、E 、F 分别在三边上，∠BDE ＝∠BED ，∠CDF ＝∠CFD.（1）若∠A=70°，求∠EDF 的度数；（2）EM 平分∠BED ，FN 平分∠CFD ，若EM ∥FN ，求∠A 的度数.例九、如图，△ABC 中，D 、E 、F 分别在三边上，∠DBE ＝∠DEB ，∠DCF ＝∠DFC.（1）若∠A=70°，求∠EDF 的度数；（2）EM 平分∠BED ，FN 平分∠CFD ，若EM ∥FN ，求∠A 的度数.【题型训练】1．如图1、图2是由10把相同的折扇组成的“蝶恋花”和“梅花”，图中的折扇完全打开且无重叠，则“梅花”图案中五角星的5个锐角的度数均为( ).(A) 36° (B) 42° (C) 45°(D) 48°2．如图，在△ABC 中，∠B=∠C ，D 是BC 上一点，DE ⊥BC交AC 于点E ，DF ⊥AB ，垂足为F ，若∠AED=160°，则∠EDF 等于( ).(A)50° (B)60° (C)70° (D)80° 3．如图，△ABC 中，∠B=∠C ，∠BAD=32°，∠ADE=∠AED ，则∠CDE= .N M FED C BAN M FE DC B AA DC M B AD BE C B D A E C DBA C E F4．已知△ABC 中，∠ACB—∠B=90°，∠BAC 的平分线交BC于E ，∠BAC 的外角的平分线交BC 的延长线于F ，则△AEF 的形状是 .5．如图，AB ∥CD ，∠A=∠C ，AE ⊥DE ，∠D=130°，则∠B 的度数为 . 6．如图：点D 、E 、F 为△ABC 三边上的点，则∠1 +∠2 +∠3+∠4+∠5 +∠6 = ．7．若一束光线经过三块平面镜反射，反射的路线如图所示，图中的字母表示相应的度数，若60c =︒，∠P=110°，则d e +的值为 ，x 的值 .8．如图，在平行四边形ABCD 中，∠BAD 的平分线交边BC 于点M ，连接MD ，且MD 恰好平分∠AMC ，若∠MDC=45°，则∠BAD= ，∠ABC= .第 四 讲 作 业1.如图，已知△ABC 的三个顶点分别在直线a 、b 上，且a ∥b ，若∠1=120°，∠2=80°，则∠3的度数是( ).(A)40° (B)60° (C)80° (D)120°2．如图，BD ∥EF ，AE 与BD 交于点C ，若∠ABC=30°，∠BAC=75°，则∠CEF 的大小为( ).(A)60° (B)75° (C)90° (D)105°3．如图，已知D 、E 在△ABC 的边上，DE ∥BC ，∠B=60°，∠AED=40°，则∠A 的度数为( ).(A)100° (B)90° (C)80° (D)70°4．已知，直线l 1∥l 2，将一块含30°角的直角三角板如图所示放置，∠1=25°，则∠2等于( ).(A)30° (B)35° (C)40° (D)45°5．如图，将三角尺的直角顶点放在直线a 上，a∥b，∠1=50°，∠2=60°，则∠3的度数为( ).(A)50° (B)60° (C)70° (D)80°6．小明同学把一个含有45°角的直角三角板在如图所示的两条平行线上，测得α∠=120°，则的度数是( ).(A)45° (B)55° (C)65° (D)75°m n ，β∠7.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°．D为边CA延长线上的一点，DE‖AB,∠ADE=42°，则∠B的大小为( ).(A) 42°(B) 45°(C) 48°(D)58°8．如图，B处在A处的南偏西45°方向，C处在A处的南偏东15°方向，C处在B处的北偏东80°方向，则∠ACB等于（）(A)65°(B)72°(C)75°(D)78°9．如图，已知AC∥ED，∠C=26°，∠CBE=37°，则∠BED 的度数是( ).(A)63°(B)83°(C)73°(D)53°10．如图，已知a∥b，小亮把三角板的直角顶点放在直线b上．若∠1=40°，则∠2的度数为．11．如图，已知DE∥BC，CD是∠ACB的平分线，∠B=70°，∠A=60°.（1）求∠EDC的度数；（2）求∠BDC度数.12．如图，∠DAB+∠D=180°，AC平分∠DAB，且∠CAD=25°，∠B=95°.(1)求∠DCA的度数；(2)求∠FEA的度数.13．如图，B处在A处的南偏西57°的方向，C处在A处的南偏东15°方向，C处在B处的北偏东82°方向，求∠C的A 度数. 北南CB第五讲专题一：三角形题型训练（二）知识点：三角形三边的关系定理：两边之和大于第三边；两边之差小于第三边三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°典型例题：1、已知ΔABC的周长为10，且三边长为整数，求三边的长。
2019年七升八暑期衔接班数学讲义(word版)
七升八暑期衔接班数学培优讲义目录1.第一讲：与三角形有关的线段；2.第二讲：与三角形有关的角；3.第三讲：与三角形有关的角度求和；4.第四讲：专题一：三角形题型训练(一)；5.第五讲：专题二：三角形题型训练(二)；6.第六讲：全等三角形；7.第七讲：全等三角形的判定（一）SAS；8.第八讲：全等三角形的判定（二）SSS，ASA，AAS；9.第九讲：全等三角形的判定（三）HL；10.第十讲：专题三：全等三角形题型训练；11.第十一讲：专题四：全等三角形知识点扩充训练；12.第十二讲：角平分线的性质定理及逆定理；13.第十三讲：轴对称；14.第十四讲：等腰三角形；15.第十五讲：等腰直角三角形；16.第十六讲：等边三角形（一）；17.第十七讲：等边三角形（二）;18.第十八讲：专题五：全等、等腰三角形综合运用（一）19.第十九讲：专题六：全等、等腰三角形综合运用（二）20.第二十讲：专题七：综合题题型专题训练；第一讲与三角形有关的线段【知识要点】一、三角形A1．概念：①三条线段；②不在同一直线上；③首尾相连. 2．几何表示：①顶点；②内角、外角；③边；④三角形. 3．三种重要线段及画法：①中线；②角平分线；③高线. 二、三角形按边分类：（注意：等边三角形是特殊的等腰三角形）()⎧⎪⎧⎨⎪⎨⎪⎪⎩⎩不等边三角形腰底不相等的等腰三角形三角形等腰三角形腰底相等的等腰三角形等边三角形 三、三角形的三边关系(教具)引例：已知平面上有A 、B 、C 三点.根据下列线段的长度判断A 、B 、C 存在的位置情况： (1)若AB=9，AC=4，BC=5，则A 、B 、C 存在的位置情况是： (2)若AB=3，AC=10，BC=7，则A 、B 、C 存在的位置情况是： (3)若AB=5，AC=4，BC=8，则A 、B 、C 存在的位置情况是： (4)若AB=3，AC=9，BC=10，则A 、B 、C 存在的位置情况是： (5)若AB=4，AC=6，BC=12，则A 、B 、C 存在的位置情况是： 总结：三角形的三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边.三角形的三边关系定理的推论：三角形任意两边之差小于第三边.【应用】利用定理判断三条线段能否构成三角形或确定三角形第三边的长度或范围. 1．已知BC=a ，AC=b ，AB=c.（1）A 、B 、C 三点在同一条直线上，则a ，b ，c 满足： ； （2）若构成△ABC ，则a ，b ，c 满足： ； 2．已知BC=a ，AC=b ，AB=c ，且a ＜b ＜c.（1）A 、B 、C 三点在同一条直线上，则a ，b ，c 满足： ； （2）若构成△ABC ，则a ，b ，c 满足： ； 【新知讲授】例一、如图，在△ABC 中.①AD 为△ABC 的中线，则线段 = =21；②AE 为△ABC 的角平分线，则 = =21； ③AF 为△ABC 的高线，则 = =90°；④以AD 为边的三角形有 ；⑤∠AEC 是 的一个内角；是 的一个外角.例二、已知，如图，BD ⊥AC ，AE ⊥CG ，AF ⊥AC ，AG ⊥AB ，则△ABC 的BC 边上的高线是线段( ).(A)BD (B) AE (C) AF(D) AG 例三、（1）以下列各组长度的线段为边，能．构成三角形的是( ). (A)7cm ，5cm ，12cm (B)6cm ，8cm ，15cm(C)4cm ，6cm ，5cm (D)8cm ，4cm ，3cm （2）满足下列条件的三条线段不能．．组成三角形的是 .（a 、b 、c 均为正数） AB CD E FDEA BCFG①a=5，b=9，c=7； ②a ∶b ∶c=2∶3∶5； ③1，a ，b ，其中1+a ＞b ；④a ，b ，c ，其中a+b ＞c ； ⑤a+2，a+6，5； ⑥a ＜b ＜c ，其中a+b ＞c.例四、已知三角形的三边长分别为2，5，x ，则x 的取值范围是 .发散：①已知三角形的三边长分别为2，5，2x-1，则x 的取值范围是 . ②已知三角形的三边长分别为2，5，243x-，则x 的取值范围是 . ③已知三角形三边长分别为2，x ，13，若x 为正整数，则这样的三角形个数为( ). (A)2 (B)3(C)5(D)13④已知三角形的两边长分别为2，5，则三角形周长l 的取值范围是 .⑤已知一个三角形中两边长分别为a 、b ，且a ＞b ，那么这个三角形的周长l 的取值范围是 . (A)3b ＜l ＜3a (B)2a ＜l ＜2a+2b (C)a+2b ＜l ＜2a+b (D)a+2b ＜l ＜3a-b例五、已知三角形的三边长分别为5，11-x ，3x-1.（1）则x 的取值范围是 ； （2）则它的周长l 的取值范围是 ； （3）若它是一个等腰三角形，则x 的值是 .发散：①已知三角形的三边长分别为2，5-x ，x-1，则x 的取值范围是 .②已知三角形两边的长分别为3和7，则第三边a 的取值范围是 ；若它的周长是偶数，则满足条件的三角形共有 个；若它是一个等腰三角形，则它的周长为 . ③已知等腰三角形腰长为2， 则三角形底边a 的取值范围是 ；周长l 的取值范围是 .④已知三角形三边的长a 、b 、c 是三个连续正整数，则它的周长l 的取值范围是 .若它的周长小于19，则满足条件的三角形共有 个.⑤若a 、b 、c 是△ABC 的三边长，化简||c b a -++|c b a --|的结果为( ). (A)2b (B)0 (C)2a (D)22a c -⑥已知在△ABC 中，AB=7，BC ∶AC=4∶3，则△ABC 的周长l 的取值范围为 . 【题型训练】1．以下列各组线段为边，能组成三角形的是( ).(A)2cm ，3cm ，5cm (B)5cm ，6cm ，10cm (C)1cm ，1cm ，3cm (D)3cm ，4cm ，9cm2．各组线段的比分别为①1∶3∶4；②1∶2∶3；③1∶4∶6；④3∶4∶5；⑤3∶3∶6.其中能组成三角形的有( ). (A)1组 (B)2组 (C)3组 (D)4组 3．三角形的下列线段中能将三角形的面积分成相等两部分的是（ ）(A)中线 (B)角平分线 (C)高线 (D)角平分线或中线 4．已知三角形的三边长分别为6，7，x ，则x 的取值范围是( ).(A)2＜x ＜12 (B)1＜x ＜13 (C)6＜x ＜7 (D)1＜x ＜7 5．已知三角形的两边长分别为3和5，则周长l 的取值范围是( ).（A ）6＜l ＜15 （B ）6＜l ＜16 （C ）11＜l ＜13 （D ）10＜l ＜16 6．已知等腰三角形的两边长分别为5和11，则周长是( ).（A ）21 （B ）27 （C ）32 （D ）21或27 7．等腰三角形的底边长为8，则腰长a 的范围为 . 8．等腰三角形的腰长为8，则底边长a 的范围为 .9．等腰三角形的周长为8，则腰长a 的范围为 ；底边长b 的范围为 .DAB CD AB CIIICBDACBDAADB CIIAD A EA 10．三角形的两边长分别为6，8，则周长l 的范围为 . 11．三角形的两边长分别为6，8，则最长边a 的范围为 . 12．等腰三角形的周长为14，一边长为3，则另两边长分别为 . 13．若a 、b 、c 分别为△ABC 的三边长，则｜a+b-c ｜-｜b-c-a ｜+｜c-b-a ｜= .14．已知在ΔABC 中，AB=AC ，它的周长为16厘米，AC 边上的中线BD 把∆ABC 分成周长之差为4厘米的两个三角形，求∆ABC 各边的长.15．等腰三角形一腰的中线（如图，等腰△ABC 中，AB=AC ，BD 为△ABC 的中线）把它的周长分为15厘米和6厘米两部分，求该三角形各边长.综合探究、三角形两条内、外角平分线的夹角与第三个内角之间的关系1．如图，△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的平分线交于点I ，探求∠I 与∠A 的关系；2．如图，在△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的外角∠ACD 的平分线交于点I ，探求∠I 与∠A 的关系；3．如图，在△ABC 中，∠ABC 的外角∠CBD 、∠ACB 的外角∠BCE 的平分线交于点I ，探求∠I 与∠A 的关系.例三、“箭形”、“蝶形”、“四边形”两条内、外角平分线的夹角与另两个内角之间的关系发散探索一：如图，∠ABD 、∠ACD 的平分线交于点I ，探索∠I 与∠A 、∠D 之间的数量关系.发散探索二：如图，∠ABD 的平分线与∠ACD 的邻补角∠ACE 的平分线所在的直线交于点I ，探索∠I 与∠A 、∠D 之间的数量关系. A BCD I A B C DEIA BCIII I C BD A CBA E A E DB FD E F F C 12CB AH DAB CEHE D C B A发散探索三：如图，∠ABD 的邻补角∠DBE 平分线与∠ACD 的邻补角∠DCF 的平分线交于点I ，探索∠I 与∠A 、∠D之间的数量关系.第 二 讲 与三角形有关的角【知识要点】一、三角形按角分类:①锐角三角形；②直角三角形；③钝角三角形； 二、三角形的内角和定理：三角形内角和为180°（∠A+∠B+∠1=180°）； 三、三角形的内角和定理的推论：①直角三角形两锐角互余；②三角形的任意一个外角等于和它不相邻的两个内角之和（∠2=∠A+∠B ）；③三角形的任意一个外角大于任意一个和它不相邻的内角； 四、n 边形的内角和定理：（n-2）×180°； 五、n 边形的外角和为360°. 【新知讲授】例一、①正方形的每个内角的度数为 ；正五边形的每个内角的度数为 ；正六边形的每个内角的度数为 ；正八边形的每个内角的度数为 ；正十边形的每个内角的度数为 ；正十二边形的每个内角的度数为 .②若一个正多边形的内角和等于等于外角和的5倍，则它的边数是 . ③若一个正多边形的每一个内角都等于144°，则它的边数是 .④若一个正多边形的每一个内角都等于相邻外角的2倍°，则它的边数是 . 例二、如图，△ABC 中，∠A=50°，两条高线BD 、CE 所在直线交于点H ，求∠BHC 的度数.DA B E FC D E A FC BD A CB A B CF E D例三、如图，△ABC 中，∠A=50°，两条角平分线BD 、CE 交于点I ，求∠BIC 的度数.例四、如图，四边形ABCD 中，∠A=∠C ，∠B=∠D ，求证：AB ∥CD ，AD ∥BC.例五、如图，AB ∥CD ，AD ∥BC ，AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，求证：∠BAD+∠EAF=180°.例六、如图，六边形ABCDEF 中，AF ∥CD ，∠A=∠D ，∠B=∠E ，求证：BC ∥EF.例七、如图，在凸六边形ABCDEF 中，∠A+∠B+∠F=∠C+∠D+∠E ，求证：BC ∥EF.【题型训练】1．如图，△ABC 中，BD 、CE 为两条角平分线，若∠BDC=90°，∠BEC=105°，求∠A.2．如图，△ABC 中，BD 、CE 为两条角平分线，若∠BDC=∠AEC ，求∠A 的度数.EDAED C B A A B C DE I3．如图，在△ABC中，BD为内角平分线，CE为外角平分线，若∠BDC=125°，∠E=40°，求∠BAC的度数.4．如图，在△ABC中，BD为内角平分线，CE为外角平分线，若∠BDC与∠E互补，求∠BAC的度数.第二讲作业1．如果一个三角形三个内角的度数之比为2∶3∶7，这个三角形一定是( ).(A)等腰三角形(B)直角三角形(C)锐角三角形(D)钝角三角形2.如图所示，∠A、∠1、∠2的大小关系是( ).(A)∠A＞∠1＞∠2 (B)∠2＞∠1＞∠A(C)∠A＞∠2＞∠1 (D)∠2＞∠A＞∠13．下面四个图形中，能判断∠1＞∠2的是( ).(A) (B) (C) (D)4．将一副三角板按如图所示摆放，图中∠α的度数是( ).A．75°B．90°C．105°D．120°5.在活动课上，小聪将一副三角板按图中方式叠放，则∠=( ).(A)30° (B)45° (C)60°(D)75°6．如图所示，一个60°角的三角形纸片，剪去这个60°角后，得到一个四边形，则∠1+∠2 的度数为( ).(A)120° (B)180° (C)240° (D)300°7．如图，在△ABC中，∠C＝70º，沿图中虚线截去∠C，则∠1＋∠2=( ).(A)360º (B)250º (C)180º (D)140º8．如图，折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别是边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠，A与A′重合，若∠A=75°，则∠1+∠2=( ).MEDCBAMEDCBAABO C B D AF E (A)150° (B)210° (C)105° (D)75°9．如图，在△ABC 中，∠B=67°，∠C=33°，AD 是△ABC 的角平分线，则∠CAD 的度数为（ ） (A)40° (B)45° (C)50° (D)55°10．已知ΔABC 的三个内角∠A 、∠B 、∠C 满足关系式∠B+∠C=3∠A ，则此三角形( ). (A)一定有一个内角为45︒(B)一定有一个内角为60︒(C)一定是直角三角形 (D)一定是钝角三角形 11．将一副三角尺按如图方式放置，则图中∠AOB 的度数为( ). (A)75° (B)95° (C)105° (D)120° 12．若一个正多边形的每一个内角都等于160°，则它是( ).(A)正十六形 (B)正十七形 (C)正十八边形 (D)正十九边形 13．一个多边形的内角和比它的外角和的2倍还大180°，这个多边形的边数为( ). (A)7 (B)8 (C)9 (D)1014. 已知：在△ABC 中，∠B 是∠A 的2倍，∠C 比∠A 大20°，则∠A 等于( ).(A)40° (B)60° (C)80° (D)90° 15．如图，人民币旧版壹角硬币内部的正多边形每个内角度数是 .16．如图，在△ABC 中，D 、E 分别是边AB 、AC 上的两点，BE 、CD 相交于点F ，∠A=62°，∠ACD=40°，∠ABE=20°，求∠BFC 的度数.17．如图，已知直线DE 分别交△ABC 的边AB 、AC 于D 、E 两点，交边BC 的延长线于点F ，若∠B=67°，∠ACB=74°，∠AED=48°，求∠BDF 的度数．第三讲：与三角形有关的角度求和【知识要点】1．与三角形有关的四个基本图及其演变；2．星形图形的角度求和. 【新知讲授】例一、如图，直接写出∠D 与∠A 、∠B 、∠C 之间的数量关系.IIICBDACBDAADB CCB DA CB D A A DB C 箭形： ；蝶形： ；四边形： . 请给出“箭形”基本图结论的证明（你能想出几种不同的方法）：例二、三角形两条内、外角平分线的夹角与第三个内角之间的关系1．如图，△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的平分线交于点I ，探求∠I 与∠A 的关系；2．如图，在△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的外角∠ACD 的平分线交于点I ，探求∠I 与∠A 的关系；3．如图，在△ABC 中，∠ABC 的外角∠CBD 、∠ACB 的外角∠BCE 的平分线交于点I ，探求∠I 与∠A 的关系.例三、“箭形”、“蝶形”、“四边形”两条内、外角平分线的夹角与另两个内角之间的关系 发散探索一：如图，∠ABD 、∠ACD 的平分线交于点I ，探索∠I 与∠A 、∠D 之间的数量关系.A B C I ABC D I AB CD E IIIICBDAC BD A EA EDBECI I I C BD A CBA E A E DB FD E F F C BA MECD ODQP CBA D CA发散探索二：如图，∠ABD 的平分线与∠ACD 的邻补角∠ACE 的平分线所在的直线交于点I ，探索∠I 与∠A 、∠D 之间的数量关系.发散探索三：如图，∠ABD 的邻补角∠DBE 平分线与∠ACD 的邻补角∠DCF 的平分线交于点I ，探索∠I 与∠A 、∠D 之间的数量关系.例四、如图，在△ABC 中， BP 、BQ 三等分∠ABC ，CP 、CQ 三等分∠ACB.（1）若∠A=60°，直接写出：∠BPC 的度数为 ，∠BQC 的度数为 ； （2）连接PQ 并延长交BC 于点D ，若∠BQD=63°，∠CQD=80°，求△ABC 三个内角的度数.例五、如图，BD 、CE 交于点M ，OB 平分∠ABD ，OC 平分∠ACE ，OD 平分∠ADB ，OE 平分∠AEC ，求证：∠BOE=∠COD ；【题型训练】1．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E 的度数和.DBCF E A2．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的度数和.3．如图，已知∠1=60°，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的度数和.发散探索：①如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= ；②如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G= ； ③如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= . ④如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= .⑤如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G= ； ⑥如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G= ； ⑦如图，BC ⊥EF ，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的度数.第 三 讲 作 业CBDAFE(A)65° (B)72° (C)75° (D)78°2．如图，D、E分别是AB、AC上一点，BE、CD相交于点F，∠ACD=30°，∠ABE=20°，∠BDC+∠BEC=170°则∠A等于( ).(A)50° (B)85° (C)70° (D)60°3．一副三角板，如图所示叠放在一起，则图中∠ 的度数是( ).(A)75° (B)60° (C)65° (D)55°4．如图，在△ABC中，∠BAC=36°，∠C=72°，BD平分∠ABC交AC于点D，AF∥BC，交BD的延长线于点F，AE平分∠CAF交DF于E点.我们定义：在一个三角形中，有一个角是36°，其余两个角均为72°的三角形和有一个角是108°，其余两个角均为36°的三角形均被称作“黄金三角形”，则这个图中黄金三角形共有( ).(A)8个 (B)7个 (C)6个 (D)5个5．如图，∠A=35°，∠B=∠C=90°，则∠D的度数是( ).(A)35° (B)45° (C)55° (D)65°6．如图，已知∠A+∠BCD=140°，BO平分∠ABC，DO平分∠ADC，则∠BOD=( ).(A)40° (B)60° (C)70° (D)80°7．如图，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到了一个四边形，则∠1+∠2= ．8.如图，在△ABC中，∠A=80°，点D为边BC延长线上的一点，∠ACD=150°，则∠B= .9．将一副直角三角板如上图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为 .10．一副三角板叠在一起如图放置，最小锐角的顶点D恰好放在等腰直角三角板的斜边AB上，BC与DE交于点M．若∠ADF=100°，则∠BMD为．11．如图，在△ABC中，∠B=47°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC=______.12．如图，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，…，如此下去，∠A n﹣1BC的平分线与∠A n﹣1CD的平分线交于点nA．设∠A=θ．则∠A1= ；nAO 2O 1A BC 图1CB A 图2图3OO 1O 2O n-113．已知：如图1，在△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的角平分线交于点O ，则1902BOC A ∠=︒+∠1118022A =⨯︒+∠；如图2，在△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的两条三等分角线分别对应交于点1O 、2O ，则12118033BOC A ∠=⨯︒+∠，21218033BO C A ∠=⨯︒+∠；……；根据以上阅读理解，当n 等分角时，内部有1n -个交点，你以猜想1n BO C -∠=( ).(A)21180A n n ⨯︒+∠ (B)12180A n n ⨯︒+∠(C)118011n A n n ⨯︒+∠--(D)11180n A n n-⨯︒+∠14．在△ABC 中，∠C=∠ABC=2∠A ，BD 是AC 边上的高，BE 平分∠ABC ，求∠DBE 度数.第 四 讲 专题一：三角形题型训练（一）【知识要点】平行线、三角形内角和的综合运用 【新知讲授】例一、如图，在四边形ABCD 中，∠A=∠C=90°，BE 、DF 分别平分∠ABC 、∠ADC ，请你判断BE 、DF 的位置关系并证明你的结论.例二、如图，在四边形ABCD 中，∠A=∠C=90°，∠ABC 的外角平分线与∠ADC 的平分线交于点E ，请你判断BE 、DE的位置关系并证明你的结论.例三、 如图，在四边形ABCD 中，∠A=∠C=90°，BE 、DF 分别平分∠ABC 、∠ADC 的外角，请你判断BE 、DF 的位置关系并证明你的结论.例四、如图，∠A=∠C=90°，∠ABC 的平分线与∠ADC 的平分线交于点E ，请你判断BE 、DE 的位置关系并证明你的结论. FED C BAMEDCBAFNME DCBA DC B例五、如图，∠A=∠C=90°，BE 平分∠ABC ，DF 平分∠ADC 的的外角，请你判断BE 、DE 的位置关系并证明你的结论.例六、如图，∠A=∠C=90°，∠ABC 的外角平分线与∠ADC 的外角平分线交于点E ，请你判断BE 、DE 的位置关系并证明你的结论.例七、如图，△ABC 中，P 为BC 边上任一点，PD ∥AB ，PE ∥AC.（1）若∠A=60°，求∠DPE 的度数；（2）若EM 平分∠BEP ，DN 平分∠CDP ，试判断EM 与DN 之间的位置关系，写出你的结论并证明.例八、如图，△ABC 中，D 、E 、F 分别在三边上，∠BDE ＝∠BED ，∠CDF ＝∠CFD.（1）若∠A=70°，求∠EDF 的度数；（2）EM 平分∠BED ，FN 平分∠CFD ，若EM ∥FN ，求∠A 的度数.例九、如图，△ABC 中，D 、E 、F 分别在三边上，∠DBE ＝∠DEB ，∠DCF ＝∠DFC.（1）若∠A=70°，求∠EDF 的度数；（2）EM 平分∠BED ，FN 平分∠CFD ，若EM ∥FN ，求∠A 的度数.F MEDC BANME D C BA NMPEDCBANMFEDCBAEAA DCMBA DB EC BD A ECDB AC E F【题型训练】1．如图1、图2是由10把相同的折扇组成的“蝶恋花”和“梅花”，图中的折扇完全打开且无重叠，则“梅花”图案中五角星的5个锐角的度数均为( ).(A) 36° (B) 42° (C) 45° (D) 48°2．如图，在△ABC 中，∠B=∠C ，D 是BC 上一点，DE ⊥BC 交AC 于点E ，DF ⊥AB ，垂足为F ，若∠AED=160°，则∠EDF 等于( ).(A)50° (B)60° (C)70° (D)80°3．如图，△ABC 中，∠B=∠C ，∠BAD=32°，∠ADE=∠AED ，则∠CDE= .4．已知△ABC 中，∠ACB —∠B=90°，∠BAC 的平分线交BC 于E ，∠BAC 的外角的平分线交BC 的延长线于F ，则△AEF 的形状是 . 5．如图，AB ∥CD ，∠A=∠C ，AE ⊥DE ，∠D=130°，则∠B 的度数为 .6．如图：点D 、E 、F 为△ABC 三边上的点，则∠1 +∠2 +∠3+∠4 +∠5 +∠6 = ．7．若一束光线经过三块平面镜反射，反射的路线如图所示，图中的字母表示相应的度数，若60c =︒，∠P=110°，则d e +的值为 ，x 的值 .8．如图，在平行四边形ABCD 中，∠BAD 的平分线交边BC 于点M ，连接MD ，且MD 恰好平分∠AMC ，若∠MDC=45°，则∠BAD= ，∠ABC= .第 四 讲 作 业1.如图，已知△ABC 的三个顶点分别在直线a 、b 上，且a ∥b ，若∠1=120°，∠2=80°，则∠3的度数是( ). (A)40° (B)60° (C)80° (D)120°2．如图，BD ∥EF ，AE 与BD 交于点C ，若∠ABC=30°，∠BAC=75°，则∠CEF 的大小为( ). (A)60° (B)75° (C)90° (D)105°3．如图，已知D 、E 在△ABC 的边上，DE ∥BC ，∠B=60°，∠AED=40°，则∠A 的度数为( ). (A)100° (B)90° (C)80° (D)70°4．已知，直线l1∥l2，将一块含30°角的直角三角板如图所示放置，∠1=25°，则∠2等于( ).(A)30° (B)35° (C)40° (D)45°5．如图，将三角尺的直角顶点放在直线a上，a∥b，∠1=50°，∠2=60°，则∠3的度数为( ).(A)50° (B)60° (C)70° (D)80°6．小明同学把一个含有45°角的直角三角板在如图所示的两条平行线上，测得α∠=120°，则的度数是( ).(A)45° (B)55° (C)65° (D)75°7.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°．D为边CA延长线上的一点，DE‖AB,∠ADE=42°，则∠B的大小为( ).(A) 42° (B) 45° (C) 48° (D)58°8．如图，B处在A处的南偏西45°方向，C处在A处的南偏东15°方向，C处在B处的北偏东80°方向，则∠ACB 等于（）(A)65° (B)72° (C)75° (D)78°9．如图，已知AC∥ED，∠C=26°，∠CBE=37°，则∠BED的度数是( ).(A)63° (B)83° (C)73° (D)53°10．如图，已知a∥b，小亮把三角板的直角顶点放在直线b上．若∠1=40°，则∠2的度数为．11．如图，已知DE∥BC，CD是∠ACB的平分线，∠B=70°，∠A=60°.（1）求∠EDC的度数；（2）求∠BDC度数.12．如图，∠DAB+∠D=180°，AC平分∠DAB，且∠CAD=25°，∠B=95°.(1)求∠DCA的度数；m n，β∠13．如图，B 处在A 处的南偏西57°的方向，C 处在A 处的南偏东15°方向，C 处在B 处的北偏东82°方向，求∠C 的度数.第五讲 专题一：三角形题型训练（二）知识点：三角形三边的关系定理：两边之和大于第三边；两边之差小于第三边三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180° 典型例题：1、已知ΔABC 的周长为10，且三边长为整数，求三边的长。
2019年七升八暑期衔接班数学讲义(word版)
2019年七升八暑期衔接班数学培优讲义目录1.第一讲：与三角形有关的线段；2.第二讲：与三角形有关的角；3.第三讲：与三角形有关的角度求和；4.第四讲：专题一：三角形题型训练(一)；5.第五讲：专题二：三角形题型训练(二)；6.第六讲：全等三角形；7.第七讲：全等三角形的判定（一）SAS；8.第八讲：全等三角形的判定（二）SSS，ASA，AAS；9.第九讲：全等三角形的判定（三）HL；10.第十讲：专题三：全等三角形题型训练；11.第十一讲：专题四：全等三角形知识点扩充训练；12.第十二讲：角平分线的性质定理及逆定理；13.第十三讲：轴对称；14.第十四讲：等腰三角形；15.第十五讲：等腰直角三角形；16.第十六讲：等边三角形（一）；17.第十七讲：等边三角形（二）;18.第十八讲：专题五：全等、等腰三角形综合运用（一）19.第十九讲：专题六：全等、等腰三角形综合运用（二）20.第二十讲：专题七：综合题题型专题训练；CB A第 一 讲 与三角形有关的线段【知识要点】 一、三角形1．概念：①三条线段；②不在同一直线上；③首尾相连. 2．几何表示：①顶点；②内角、外角；③边；④三角形. 3．三种重要线段及画法：①中线；②角平分线；③高线. 二、三角形按边分类：（注意：等边三角形是特殊的等腰三角形）()⎧⎪⎧⎨⎪⎨⎪⎪⎩⎩不等边三角形腰底不相等的等腰三角形三角形等腰三角形腰底相等的等腰三角形等边三角形 三、三角形的三边关系(教具)引例：已知平面上有A 、B 、C 三点.根据下列线段的长度判断A 、B 、C 存在的位置情况： (1)若AB=9，AC=4，BC=5，则A 、B 、C 存在的位置情况是： (2)若AB=3，AC=10，BC=7，则A 、B 、C 存在的位置情况是： (3)若AB=5，AC=4，BC=8，则A 、B 、C 存在的位置情况是： (4)若AB=3，AC=9，BC=10，则A 、B 、C 存在的位置情况是： (5)若AB=4，AC=6，BC=12，则A 、B 、C 存在的位置情况是： 总结：三角形的三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边.三角形的三边关系定理的推论：三角形任意两边之差小于第三边.【应用】利用定理判断三条线段能否构成三角形或确定三角形第三边的长度或范围. 1．已知BC=a ，AC=b ，AB=c.（1）A 、B 、C 三点在同一条直线上，则a ，b ，c 满足： ； （2）若构成△ABC ，则a ，b ，c 满足： ； 2．已知BC=a ，AC=b ，AB=c ，且a ＜b ＜c.（1）A 、B 、C 三点在同一条直线上，则a ，b ，c 满足： ； （2）若构成△ABC ，则a ，b ，c 满足： ； 【新知讲授】例一、如图，在△ABC 中.①AD 为△ABC 的中线，则线段 = =21；②AE 为△ABC 的角平分线，则 = =21； ③AF 为△ABC 的高线，则 = =90°；④以AD 为边的三角形有 ；⑤∠AEC 是 的一个内角；是 的一个外角.AB CD E F例二、已知，如图，BD ⊥AC ，AE ⊥CG ，AF ⊥AC ，AG ⊥AB ，则△ABC 的BC 边上的高线是线段( ).(A)BD (B) AE (C) AF(D) AG 例三、（1）以下列各组长度的线段为边，能．构成三角形的是( ). (A)7cm ，5cm ，12cm (B)6cm ，8cm ，15cm(C)4cm ，6cm ，5cm (D)8cm ，4cm ，3cm （2）满足下列条件的三条线段不能．．组成三角形的是 .（a 、b 、c 均为正数） ①a=5，b=9，c=7； ②a ∶b ∶c=2∶3∶5； ③1，a ，b ，其中1+a ＞b ；④a ，b ，c ，其中a+b ＞c ； ⑤a+2，a+6，5； ⑥a ＜b ＜c ，其中a+b ＞c.例四、已知三角形的三边长分别为2，5，x ，则x 的取值范围是 .发散：①已知三角形的三边长分别为2，5，2x-1，则x 的取值范围是 . ②已知三角形的三边长分别为2，5，243x-，则x 的取值范围是 . ③已知三角形三边长分别为2，x ，13，若x 为正整数，则这样的三角形个数为( ). (A)2 (B)3(C)5(D)13④已知三角形的两边长分别为2，5，则三角形周长的取值范围是 .⑤已知一个三角形中两边长分别为a 、b ，且a ＞b ，那么这个三角形的周长的取值范围是 . (A)3b ＜＜3a (B)2a ＜＜2a+2b (C)a+2b ＜＜2a+b (D)a+2b ＜＜3a-b例五、已知三角形的三边长分别为5，11-x ，3x-1.（1）则x 的取值范围是 ； （2）则它的周长的取值范围是 ； （3）若它是一个等腰三角形，则x 的值是 .发散：①已知三角形的三边长分别为2，5-x ，x-1，则x 的取值范围是 .②已知三角形两边的长分别为3和7，则第三边a 的取值范围是 ；若它的周长是偶数，则满足条件的三角形共有 个；若它是一个等腰三角形，则它的周长为 .③已知等腰三角形腰长为2， 则三角形底边a 的取值范围是 ；周长的取值范围是 .④已知三角形三边的长a 、b 、c 是三个连续正整数，则它的周长的取值范围是 .若它的周长小于19，则满足条件的三角形共有 个.⑤若a 、b 、c 是△ABC 的三边长，化简||c b a -++|c b a --|的结果为( ). (A)2b (B)0 (C)2a (D)22a c -⑥已知在△ABC 中，AB=7，BC ∶AC=4∶3，则△ABC 的周长的取值范围为 . 【题型训练】1．以下列各组线段为边，能组成三角形的是( ).(A)2cm ，3cm ，5cm (B)5cm ，6cm ，10cm (C)1cm ，1cm ，3cm (D)3cm ，4cm ，9cmDEA BCFGDAB CD AB C 2．各组线段的比分别为①1∶3∶4；②1∶2∶3；③1∶4∶6；④3∶4∶5；⑤3∶3∶6.其中能组成三角形的有( ).(A)1组 (B)2组 (C)3组 (D)4组 3．三角形的下列线段中能将三角形的面积分成相等两部分的是（ ）(A)中线 (B)角平分线 (C)高线 (D)角平分线或中线 4．已知三角形的三边长分别为6，7，x ，则x 的取值范围是( ).(A)2＜x ＜12 (B)1＜x ＜13 (C)6＜x ＜7 (D)1＜x ＜7 5．已知三角形的两边长分别为3和5，则周长的取值范围是( ).（A ）6＜＜15 （B ）6＜＜16 （C ）11＜＜13 （D ）10＜＜16 6．已知等腰三角形的两边长分别为5和11，则周长是( ).（A ）21 （B ）27 （C ）32 （D ）21或27 7．等腰三角形的底边长为8，则腰长a 的范围为 . 8．等腰三角形的腰长为8，则底边长a 的范围为 .9．等腰三角形的周长为8，则腰长a 的范围为 ；底边长b 的范围为 . 10．三角形的两边长分别为6，8，则周长的范围为 . 11．三角形的两边长分别为6，8，则最长边a 的范围为 . 12．等腰三角形的周长为14，一边长为3，则另两边长分别为 . 13．若a 、b 、c 分别为△ABC 的三边长，则｜a+b-c ｜-｜b-c-a ｜+｜c-b-a ｜= .14．已知在ΔABC 中，AB=AC ，它的周长为16厘米，AC 边上的中线BD 把∆ABC 分成周长之差为4厘米的两个三角形，求∆ABC 各边的长.15．等腰三角形一腰的中线（如图，等腰△ABC 中，AB=AC ，BD 为△ABC 的中线）把它的周长分为15厘米和6厘米两部分，求该三角形各边长.综合探究、三角形两条内、外角平分线的夹角与第三个内角之间的关系1．如图，△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的平分线交于点I ，探求∠I 与∠A 的关系；2．如图，在△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的外角∠ACD 的平分线交于点I ，探求∠I 与∠A 的关系；IIICBDACBDAADB CIIICBAC BD A EA EDBECII I C BD A CBA E A E DB FD E F F C 12CB A3．如图，在△ABC 中，∠ABC 的外角∠CBD 、∠ACB 的外角∠BCE 的平分线交于点I ，探求∠I 与∠A 的关系.例三、“箭形”、“蝶形”、“四边形”两条内、外角平分线的夹角与另两个内角之间的关系 发散探索一：如图，∠ABD 、∠ACD 的平分线交于点I ，探索∠I 与∠A 、∠D 之间的数量关系.发散探索二：如图，∠ABD 的平分线与∠ACD 的邻补角∠ACE 的平分线所在的直线交于点I ，探索∠I 与∠A 、∠D 之间的数量关系.发散探索三：如图，∠ABD 的邻补角∠DBE 平分线与∠ACD 的邻补角∠DCF 的平分线交于点I ，探索∠I 与∠A 、∠D 之间的数量关系.第 二 讲 与三角形有关的角【知识要点】一、三角形按角分类:①锐角三角形；②直角三角形；③钝角三角形；A BCDI A B CDEA BCID A CB A B CF E DH DAB C EHE D C B A 二、三角形的内角和定理：三角形内角和为180°（∠A+∠B+∠1=180°）； 三、三角形的内角和定理的推论：①直角三角形两锐角互余；②三角形的任意一个外角等于和它不相邻的两个内角之和（∠2=∠A+∠B ）； ③三角形的任意一个外角大于任意一个和它不相邻的内角； 四、n 边形的内角和定理：（n-2）×180°； 五、n 边形的外角和为360°. 【新知讲授】例一、①正方形的每个内角的度数为 ；正五边形的每个内角的度数为 ；正六边形的每个内角的度数为 ；正八边形的每个内角的度数为 ；正十边形的每个内角的度数为 ；正十二边形的每个内角的度数为 .②若一个正多边形的内角和等于等于外角和的5倍，则它的边数是 . ③若一个正多边形的每一个内角都等于144°，则它的边数是 .④若一个正多边形的每一个内角都等于相邻外角的2倍°，则它的边数是 . 例二、如图，△ABC 中，∠A=50°，两条高线BD 、CE 所在直线交于点H ，求∠BHC 的度数.例三、如图，△ABC 中，∠A=50°，两条角平分线BD 、CE 交于点I ，求∠BIC 的度数.例四、如图，四边形ABCD 中，∠A=∠C ，∠B=∠D ，求证：AB ∥CD ，AD ∥BC.例五、如图，AB ∥CD ，AD ∥BC ，AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，求证：∠BAD+∠EAF=180°.A B C D E IDA B E FC D E A FC B 例六、如图，六边形ABCDEF 中，AF ∥CD ，∠A=∠D ，∠B=∠E ，求证：BC ∥EF.例七、如图，在凸六边形ABCDEF 中，∠A+∠B+∠F=∠C+∠D+∠E ，求证：BC ∥EF.【题型训练】1．如图，△ABC 中，BD 、CE 为两条角平分线，若∠BDC=90°，∠BEC=105°，求∠A.2．如图，△ABC 中，BD 、CE 为两条角平分线，若∠BDC=∠AEC ，求∠A 的度数.3．如图，在△ABC 中，BD 为内角平分线，CE 为外角平分线，若∠BDC=125°，∠E=40°，求∠BAC 的度数.ED C B AMEDC B AED C B A4．如图，在△ABC 中，BD 为内角平分线，CE 为外角平分线，若∠BDC 与∠E 互补，求∠BAC 的度数.第 二 讲 作 业1．如果一个三角形三个内角的度数之比为2∶3∶7，这个三角形一定是( ). (A)等腰三角形 (B)直角三角形 (C)锐角三角形 (D)钝角三角形 2.如图所示，∠A、∠1、∠2的大小关系是( ).(A)∠A＞∠1＞∠2 (B)∠2＞∠1＞∠A (C)∠A＞∠2＞∠1 (D)∠2＞∠A＞∠1 3．下面四个图形中，能判断∠1＞∠2的是( ).(A) (B) (C) (D) 4．将一副三角板按如图所示摆放，图中∠α的度数是( ). A ．75° B ．90° C ．105° D ．120°5.在活动课上，小聪将一副三角板按图中方式叠放，则∠=( ). (A)30° (B)45° (C)60° (D)75°6．如图所示，一个60°角的三角形纸片，剪去这个60°角后，得到一个四边形，则∠1+∠2 的度数为( ). (A)120° (B)180° (C)240° (D)300°7．如图，在△ABC 中，∠C ＝70º，沿图中虚线截去∠C ， 则∠1＋∠2=( ).(A)360º (B)250º (C)180º (D)140º8．如图，折纸活动中，小明制作了一张△ABC 纸片，点D 、E 分别是边AB 、AC 上，将△ABC 沿着DE 折叠，A 与A′重合，若∠A=75°，则∠1+∠2=( ).(A)150° (B)210° (C)105° (D)75°9．如图，在△ABC 中，∠B=67°，∠C=33°，AD 是△ABC 的角平分线，则∠CAD 的度数为（ ） (A)40° (B)45° (C)50° (D)55°10．已知ΔABC 的三个内角∠A、∠B、∠C 满足关系式∠B +∠C =3∠A，则此三角形( ).MEDC B AABO C B D AF E C B DACBD A A DBC(A)一定有一个内角为45︒ (B)一定有一个内角为60︒(C)一定是直角三角形 (D)一定是钝角三角形 11．将一副三角尺按如图方式放置，则图中∠AOB 的度数为( ). (A)75° (B)95° (C)105° (D)120° 12．若一个正多边形的每一个内角都等于160°，则它是( ).(A)正十六形 (B)正十七形 (C)正十八边形 (D)正十九边形 13．一个多边形的内角和比它的外角和的2倍还大180°，这个多边形的边数为( ). (A)7 (B)8 (C)9 (D)1014. 已知：在△ABC 中，∠B 是∠A 的2倍，∠C 比∠A 大20°，则∠A 等于( ).(A)40° (B)60° (C)80° (D)90° 15．如图，人民币旧版壹角硬币内部的正多边形每个内角度数是 .16．如图，在△ABC 中，D 、E 分别是边AB 、AC 上的两点，BE 、CD 相交于点F ，∠A=62°，∠ACD=40°，∠ABE=20°，求∠BFC 的度数.17．如图，已知直线DE 分别交△ABC 的边AB 、AC 于D 、E 两点，交边BC 的延长线于点F ，若∠B =67°，∠ACB =74°，∠AED =48°，求∠BDF 的度数．第三讲：与三角形有关的角度求和【知识要点】1．与三角形有关的四个基本图及其演变；2．星形图形的角度求和. 【新知讲授】例一、如图，直接写出∠D 与∠A 、∠B 、∠C 之间的数量关系.IIICBDACBDAADBC箭形： ；蝶形： ；四边形： . 请给出“箭形”基本图结论的证明（你能想出几种不同的方法）：例二、三角形两条内、外角平分线的夹角与第三个内角之间的关系1．如图，△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的平分线交于点I ，探求∠I 与∠A 的关系；2．如图，在△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的外角∠ACD 的平分线交于点I ，探求∠I 与∠A 的关系；3．如图，在△ABC 中，∠ABC 的外角∠CBD 、∠ACB 的外角∠BCE 的平分线交于点I ，探求∠I 与∠A 的关系.例三、“箭形”、“蝶形”、“四边形”两条内、外角平分线的夹角与另两个内角之间的关系 发散探索一：如图，∠ABD 、∠ACD 的平分线交于点I ，探索∠I 与∠A 、∠D 之间的数量关系.A B C I ABC D I AB CD E IIIICBDAC BD A EA EDBECI I I C BD A CBA E A E DB FD E F F C BA MECD ODQP CBA 发散探索二：如图，∠ABD 的平分线与∠ACD 的邻补角∠ACE 的平分线所在的直线交于点I ，探索∠I 与∠A 、∠D 之间的数量关系.发散探索三：如图，∠ABD 的邻补角∠DBE 平分线与∠ACD 的邻补角∠DCF 的平分线交于点I ，探索∠I 与∠A 、∠D 之间的数量关系.例四、如图，在△ABC 中， BP 、BQ 三等分∠ABC ，CP 、CQ 三等分∠ACB.（1）若∠A=60°，直接写出：∠BPC 的度数为 ，∠BQC 的度数为 ； （2）连接PQ 并延长交BC 于点D ，若∠BQD=63°，∠CQD=80°，求△ABC 三个内角的度数.例五、如图，BD 、CE 交于点M ，OB 平分∠ABD ，OC 平分∠ACE ，OD 平分∠ADB ，OE 平分∠AEC ，求证：∠BOE=∠COD ；D BCEADBCF EA【题型训练】1．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E 的度数和.2．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的度数和.3．如图，已知∠1=60°，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的度数和.发散探索：①如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= ；②如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G= ； ③如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= . ④如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= .⑤如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G= ； ⑥如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G= ； ⑦如图，BC ⊥EF ，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的度数.CB DAFE第 三 讲 作 业1．如图，B 岛在A 岛的南偏西30°，A 岛在C 岛的北偏西35°，B 岛在C 岛的北偏西78°，则从B 岛看A 、C 两岛的视角∠ABC 的度数为( ).(A)65° (B)72° (C)75° (D)78° 2．如图，D 、E 分别是AB 、AC 上一点，BE 、CD 相交于点F ，∠ACD=30°，∠ABE=20°，∠BDC+∠BEC=170°则∠A 等于( ).(A)50° (B)85° (C)70° (D)60° 3．一副三角板，如图所示叠放在一起，则图中∠ 的度数是( ).(A)75° (B)60° (C)65° (D)55°4．如图，在△ABC 中，∠BAC=36°，∠C=72°，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，AF ∥BC ，交BD 的延长线于点F ，AE 平分∠CAF 交DF 于E 点.我们定义：在一个三角形中，有一个角是36°，其余两个角均为72°的三角形和有一个角是108°，其余两个角均为36°的三角形均被称作“黄金三角形”，则这个图中黄金三角形共有( ).(A)8个 (B)7个 (C)6个 (D)5个5．如图，∠A=35°，∠B=∠C=90°，则∠D 的度数是( ).(A)35° (B)45° (C)55° (D)65°6．如图，已知∠A+∠BCD=140°，BO 平分∠ABC ，DO 平分∠ADC ，则∠BOD=( ). (A)40° (B)60° (C)70° (D)80°7．如图，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到了一个四边形，则∠1+∠2= ．8.如图，在△ABC 中，∠A=80°，点D 为边BC 延长线上的一点，∠ACD=150°，则∠B= .A BC 图1CB A 图2图3OO 1O 29．将一副直角三角板如上图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为 .10．一副三角板叠在一起如图放置，最小锐角的顶点D 恰好放在等腰直角三角板的斜边AB 上，BC 与DE 交于点M ．若∠ADF=100°，则∠BMD 为 ．11．如图，在△ABC 中，∠B=47°，三角形的外角∠DAC 和∠ACF 的平分线交于点E ，则∠AEC=______.12．如图，∠ACD 是△ABC 的外角，∠ABC 的平分线与∠ACD 的平分线交于点A 1，∠A 1BC 的平分线与∠A 1CD的平分线交于点A 2，…，如此下去，∠A n ﹣1BC 的平分线与∠A n ﹣1CD 的平分线交于点n A ．设∠A=θ．则∠A 1= ；n A = ．13．已知：如图1，在△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的角平分线交于点O ，则1902BOC A ∠=︒+∠1118022A =⨯︒+∠；如图2，在△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的两条三等分角线分别对应交于点1O 、2O ，则12118033BOC A ∠=⨯︒+∠，21218033BO C A ∠=⨯︒+∠；……；根据以上阅读理解，当n 等分角时，内部有1n -个交点，你以猜想1n BO C -∠=( ).(A)21180A n n ⨯︒+∠ (B)12180A n n ⨯︒+∠(C)118011n A n n ⨯︒+∠--(D)11180n A n n-⨯︒+∠14．在△ABC 中，∠C=∠ABC=2∠A ，BD 是AC 边上的高，BE 平分∠ABC ，求∠DBE 度数.第 四 讲 专题一：三角形题型训练（一）【知识要点】平行线、三角形内角和的综合运用 【新知讲授】例一、如图，在四边形ABCD 中，∠A=∠C=90°，BE 、DF 分别平分∠ABC 、∠ADC ，请你判断BE 、DF 的位置关系并证明你的结论.例二、如图，在四边形ABCD 中，∠A=∠C=90°，∠ABC 的外角平分线与∠ADC 的平分线交于点E ，请你判断BE 、DE 的位置关系并证明你的结论.FED C BAME DCBA例三、 如图，在四边形ABCD 中，∠A=∠C=90°，BE 、DF 分别平分∠ABC 、∠ADC 的外角，请你判断BE 、DF的位置关系并证明你的结论.例四、如图，∠A=∠C=90°，∠ABC 的平分线与∠ADC 的平分线交于点E ，请你判断BE 、DE 的位置关系并证明你的结论.例五、如图，∠A=∠C=90°，BE 平分∠ABC ，DF 平分∠ADC 的的外角，请你判断BE 、DE 的位置关系并证明你的结论.例六、如图，∠A=∠C=90°，∠ABC 的外角平分线与∠ADC 的外角平分线交于点E ，请你判断BE 、DE 的位置关系并证明你的结论.FNME DCBA EDCBAFMEDC BANMEDCBA DB EC例七、如图，△ABC 中，P 为BC 边上任一点，PD ∥AB ，PE ∥AC.（1）若∠A=60°，求∠DPE 的度数；（2）若EM 平分∠BEP ，DN 平分∠CDP ，试判断EM 与DN 之间的位置关系，写出你的结论并证明.例八、如图，△ABC 中，D 、E 、F 分别在三边上，∠BDE ＝∠BED ，∠CDF ＝∠CFD.（1）若∠A=70°，求∠EDF 的度数；（2）EM 平分∠BED ，FN 平分∠CFD ，若EM ∥FN ，求∠A 的度数.例九、如图，△ABC 中，D 、E 、F 分别在三边上，∠DBE ＝∠DEB ，∠DCF ＝∠DFC.（1）若∠A=70°，求∠EDF 的度数；（2）EM 平分∠BED ，FN 平分∠CFD ，若EM ∥FN ，求∠A 的度数.【题型训练】 1．如图1、图2是由10把相同的折扇组成的“蝶恋花”和“梅花”，图中的折扇完全打开且无重叠，则“梅花”图案中五角星的5个锐角的度数均为( ).(A) 36° (B) 42° (C) 45° (D) 48°2．如图，在△ABC 中，∠B=∠C ，D 是BC 上一点，DE ⊥BC 交AC 于点E ，DF ⊥AB ，垂足为F ，若∠AED=160°，则∠EDF 等于( ).(A)50° (B)60° (C)70° (D)80°3．如图，△ABC 中，∠B=∠C ，∠BAD=32°，∠ADE=∠AED ，则∠CDE= .NMPEDCBANMFEDCBAN M FED C B AA DCMBBD A ECDB AC EF4．已知△ABC 中，∠ACB—∠B=90°，∠BAC 的平分线交BC 于E ，∠BAC 的外角的平分线交BC 的延长线于F ，则△AEF 的形状是 . 5．如图，AB ∥CD ，∠A=∠C ，AE ⊥DE ，∠D=130°，则∠B 的度数为 .6．如图：点D 、E 、F 为△ABC 三边上的点，则∠1 +∠2 +∠3+∠4 +∠5 +∠6 = ．7．若一束光线经过三块平面镜反射，反射的路线如图所示，图中的字母表示相应的度数，若60c =︒，∠P=110°，则d e +的值为 ，x 的值 .8．如图，在平行四边形ABCD 中，∠BAD 的平分线交边BC 于点M ，连接MD ，且MD 恰好平分∠AMC ，若∠MDC=45°，则∠BAD= ，∠ABC= .第 四 讲 作 业1.如图，已知△ABC 的三个顶点分别在直线a 、b 上，且a ∥b ，若∠1=120°，∠2=80°，则∠3的度数是( ). (A)40° (B)60° (C)80° (D)120°2．如图，BD ∥EF ，AE 与BD 交于点C ，若∠ABC=30°，∠BAC=75°，则∠CEF 的大小为( ). (A)60° (B)75° (C)90° (D)105°3．如图，已知D 、E 在△ABC 的边上，DE ∥BC ，∠B=60°，∠AED=40°，则∠A 的度数为( ). (A)100° (B)90° (C)80° (D)70°4．已知，直线l 1∥l 2，将一块含30°角的直角三角板如图所示放置，∠1=25°，则∠2等于( ). (A)30° (B)35° (C)40° (D)45°5．如图，将三角尺的直角顶点放在直线a 上，a∥b，∠1=50°，∠2=60°，则∠3的度数为( ).(A)50° (B)60° (C)70° (D)80°6．小明同学把一个含有45°角的直角三角板在如图所示的两条平行线上，测得α∠=120°，则的度数是( ).(A)45° (B)55° (C)65° (D)75°m n ，β∠7.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°．D为边CA延长线上的一点，DE‖AB,∠ADE=42°，则∠B的大小为( ).(A) 42° (B) 45° (C) 48° (D)58°8．如图，B处在A处的南偏西45°方向，C处在A处的南偏东15°方向，C处在B处的北偏东80°方向，则∠ACB等于（）(A)65° (B)72° (C)75° (D)78°9．如图，已知AC∥ED，∠C=26°，∠CBE=37°，则∠BED的度数是( ).(A)63° (B)83° (C)73° (D)53°10．如图，已知a∥b，小亮把三角板的直角顶点放在直线b上．若∠1=40°，则∠2的度数为．11．如图，已知DE∥BC，CD是∠ACB的平分线，∠B=70°，∠A=60°.（1）求∠EDC的度数；（2）求∠BDC度数.12．如图，∠DAB+∠D=180°，AC平分∠DAB，且∠CAD=25°，∠B=95°.(1)求∠DCA的度数；(2)求∠FEA的度数.13．如图，B 处在A 处的南偏西57°的方向，C 处在A 处的南偏东15°方向，C 处在B 处的北偏东82°方向，求∠C 的度数.第五讲 专题一：三角形题型训练（二）知识点：三角形三边的关系定理：两边之和大于第三边；两边之差小于第三边三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180° 典型例题：1、已知ΔABC 的周长为10，且三边长为整数，求三边的长。
七升八暑期衔接班数学讲义(word版)
七升八暑期衔接班数学培优讲义目录1. 第一讲：与三角形有关的线段；2. 第二讲：与三角形有关的角；3. 第三讲：与三角形有关的角度求和；4. 第四讲：专题一：三角形题型训练(一)；5. 第五讲：专题二：三角形题型训练(二)；6. 第六讲：全等三角形；7. 第七讲：全等三角形的判定（一）SAS；8. 第八讲：全等三角形的判定（二）SSS，ASA，AAS；9. 第九讲：全等三角形的判定（三）HL；10.第十讲：专题三：全等三角形题型训练；11. 第十一讲：专题四：全等三角形知识点扩充训练；12. 第十二讲：角平分线的性质定理及逆定理；13. 第十三讲：轴对称；14. 第十四讲：等腰三角形；15. 第十五讲：等腰直角三角形；16. 第十六讲：等边三角形（一）；17. 第十七讲：等边三角形（二）;18. 第十八讲：专题五：全等、等腰三角形综合运用（一）19. 第十九讲：专题六：全等、等腰三角形综合运用（二）20. 第二十讲：专题七：综合题题型专题训练；第一讲与三角形有关的线段【知识要点】一、三角形1. 概念：①三条线段；②不在同一直线上；③首尾相连. A2. 几何表示：①顶点；②内角、外角；③边；④三角形.3. 三种重要线段及画法：①中线；②角平分线；③高线.B C二、三角形按边分类：（注意：等边三角形是特殊的等腰三角形）不等边三角形三角形等腰三角形腰底不相等的等腰三角形腰底相等的等腰三角形等边三角形三、三角形的三边关系( 教具)引例：已知平面上有A、B、C 三点. 根据下列线段的长度判断A、B、C 存在的位置情况：(1)若AB=9，AC=4，BC=5，则A、B、C 存在的位置情况是：(2)若AB=3，AC=10，BC=7，则A、B、C 存在的位置情况是：(3)若AB=5，AC=4，BC=8，则A、B、C 存在的位置情况是：(4)若AB=3，AC=9，BC=10，则A、B、C 存在的位置情况是：(5)若AB=4，AC=6，BC=12，则A、B、C 存在的位置情况是：总结：三角形的三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边.三角形的三边关系定理的推论：三角形任意两边之差小于第三边.【应用】利用定理判断三条线段能否构成三角形或确定三角形第三边的长度或范围.1．已知BC=a，AC=b，AB=c.（1）A、B、C 三点在同一条直线上，则a，b，c 满足：；（2）若构成△ABC，则a，b，c 满足：；2．已知BC=a，AC=b，AB=c，且a＜b＜c.（1）A、B、C 三点在同一条直线上，则a，b，c 满足：；（2）若构成△ABC，则a，b，c 满足：；【新知讲授】例一、如图，在△ABC中.①AD为△ABC的中线，则线段= = 1；A 2②AE为△ABC的角平分线，则= = 1；2③AF为△ABC的高线，则= =90 °；④以AD为边的三角形有；B F E D C⑤∠AEC是的一个内角；是的一个外角.例二、已知，如图，BD⊥AC，AE⊥CG，AF⊥AC，AG⊥AB，则△ABC的BC边上的高线是线段( ).(A)BD (B) AE (C) AF (D) AG例三、（1）以下列各组长度的线段为边，能．构成三角形的是( ).(A)7cm ，5cm，12cm (B)6cm ，8cm，15cm(C)4cm ，6cm，5cm (D)8cm ，4cm，3cm GFEBA D C（2）满足下列条件的三条线段不能．．组成三角形的是. （a、b、c 均为正数）①a=5，b=9，c=7；②a∶b∶c=2 ∶3∶5；③1，a，b，其中1+a＞b；④a，b，c，其中a+b＞c；⑤a+2，a+6，5；⑥a＜b＜c，其中a+b＞c.例四、已知三角形的三边长分别为2，5，x，则x 的取值范围是.发散：①已知三角形的三边长分别为2，5，2x-1 ，则x 的取值范围是.②已知三角形的三边长分别为2，5，2 4 x，则x 的取值范围是.3③已知三角形三边长分别为2，x，13，若x 为正整数，则这样的三角形个数为( ).(A)2 (B)3 (C)5 (D)13④已知三角形的两边长分别为2，5，则三角形周长l 的取值范围是.⑤已知一个三角形中两边长分别为a、b，且a＞b，那么这个三角形的周长l 的取值范围是.(A)3b ＜l ＜3a (B)2a ＜l ＜2a+2b (C)a+2b ＜l ＜2a+b (D)a+2b ＜l ＜3a-b例五、已知三角形的三边长分别为5，11-x ，3x-1.（1）则x 的取值范围是；（2）则它的周长l 的取值范围是；（3）若它是一个等腰三角形，则x 的值是.发散：①已知三角形的三边长分别为2，5-x ，x-1 ，则x 的取值范围是.②已知三角形两边的长分别为 3 和7，则第三边 a 的取值范围是；若它的周长是偶数，则满足条件的三角形共有个；若它是一个等腰三角形，则它的周长为.③已知等腰三角形腰长为2，则三角形底边 a 的取值范围是；周长l 的取值范围是.④已知三角形三边的长a、b、c 是三个连续正整数，则它的周长l 的取值范围是. 若它的周长小于19，则满足条件的三角形共有个.⑤若 a 、b、c 是△ABC的三边长，化简| a b c | +| a b c | 的结果为( ).(A) 2b (B)0 (C) 2a (D) 2a 2c⑥已知在△ABC中，AB=7，BC∶AC=4∶3，则△ABC的周长l 的取值范围为.【题型训练】1. 以下列各组线段为边，能组成三角形的是( ).(A)2cm ，3cm，5cm (B)5cm ，6cm，10cm (C)1cm ，1cm，3cm (D)3cm ，4cm，9cm2．各组线段的比分别为①1∶3∶4；②1∶2∶3；③1∶4∶6；④3∶4∶5；⑤3∶3∶6. 其中能组成三角形的有( ).(A)1 组(B)2 组(C)3 组(D)4 组3. 三角形的下列线段中能将三角形的面积分成相等两部分的是（）(A) 中线(B) 角平分线(C) 高线(D) 角平分线或中线4. 已知三角形的三边长分别为6，7，x，则x 的取值范围是( ).(A)2 ＜x＜12 (B)1 ＜x＜13 (C)6 ＜x＜7 (D)1 ＜x＜75．已知三角形的两边长分别为 3 和5，则周长l 的取值范围是( ).（A）6＜l ＜15 （B）6＜l ＜16 （C）11＜l ＜13 （D）10＜l ＜166．已知等腰三角形的两边长分别为 5 和11，则周长是( ).（A）21 （B）27 （C）32 （D）21 或277．等腰三角形的底边长为8，则腰长 a 的范围为.8. 等腰三角形的腰长为8，则底边长 a 的范围为.9. 等腰三角形的周长为8，则腰长 a 的范围为；底边长 b 的范围为.10. 三角形的两边长分别为6，8，则周长l 的范围为.11. 三角形的两边长分别为6，8，则最长边 a 的范围为.12. 等腰三角形的周长为14，一边长为3，则另两边长分别为.13. 若a、b、c 分别为△ABC的三边长，则｜a+b-c ｜- ｜b-c-a ｜+｜c-b-a ｜= .14. 已知在ΔABC中，AB=AC，它的周长为16 厘米，AC边上的中线BD把ABC分成周长之差为 4 厘米的两个三角形，求ABC各边的长. ADB C15. 等腰三角形一腰的中线（如图，等腰△ABC中，AB=AC，BD为△ABC的中线）把它的周长分为15 厘米和 6 厘米两部分，求该三角形各边长. ADB C综合探究、三角形两条内、外角平分线的夹角与第三个内角之间的关系1.如图，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点I ，探求∠I 与∠A 的关系；2.如图，在△ABC中，∠A B C、∠ACB的外角∠ACD的平分线交于点I ，探求∠I 与∠A 的关系；3.如图，在△ABC中，∠ABC的外角∠CBD、∠ACB的外角∠BCE的平分线交于点I ，探求∠I 与∠A 的关系.A A AII B CB C B C D D EI例三、“箭形”、“蝶形”、“四边形”两条内、外角平分线的夹角与另两个内角之间的关系发散探索一：如图，∠A B D、∠ACD的平分线交于点I ，探索∠I 与∠A、∠D 之间的数量关系.A A I ADIID B CB C B C D发散探索二：如图，∠ABD的平分线与∠ACD的邻补角∠ACE的平分线所在的直线交于点I ，探索∠I 与∠A、∠D 之间的数量关系.AIBB DCEIAA IDEC B CE D发散探索三：如图，∠ABD的邻补角∠DBE平分线与∠ACD的邻补角∠DCF的平分线交于点I ，探索∠I 与∠A、∠D之间的数量关系.A A AD【知识要点】第二讲与三角形有关的角一、三角形按角分类: ①锐角三角形；②直角三角形；③钝角三角形；A二、三角形的内角和定理：三角形内角和为180°（∠ A+∠B+∠1=180°）；三、三角形的内角和定理的推论：1 2①直角三角形两锐角互余；B C②三角形的任意一个外角等于和它不相邻的两个内角之和（∠2=∠A+∠B）；③三角形的任意一个外角大于任意一个和它不相邻的内角；四、n 边形的内角和定理：（n-2 ）×180°；五、n 边形的外角和为360°.【新知讲授】例一、①正方形的每个内角的度数为；正五边形的每个内角的度数为；正六边形的每个内角的度数为；正八边形的每个内角的度数为；正十边形的每个内角的度数为；正十二边形的每个内角的度数为.②若一个正多边形的内角和等于等于外角和的 5 倍，则它的边数是.③若一个正多边形的每一个内角都等于144°，则它的边数是.④若一个正多边形的每一个内角都等于相邻外角的 2 倍°，则它的边数是.例二、如图，△ABC中，∠A=50°，两条高线B D、CE所在直线交于点H，求∠BHC的度数.A AEECH D BDHB C例三、如图，△ABC中，∠A=50°，两条角平分线B D、CE交于点I ，求∠BIC 的度数.AEIB C例四、如图，四边形ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D，求证：AB∥CD，AD∥BC.A D例五、如图，AB∥C D，AD∥BC，AE⊥BC，AF⊥CD，求证：∠BBAD+∠EAF=180°.CA DFD例六、如图，六边形ABCDEF中，AF∥CD，∠A=∠D，∠B=∠E，求证：BC∥EF.A FEBC D例七、如图，在凸六边形ABCDEF中，∠A+∠B+∠F=∠C+∠D+∠E，求证：BC∥EF.DECFA B【题型训练】1.如图，△ABC中，BD、CE为两条角平分线，若∠BDC=90°，∠BEC=105°，求∠ A.AEDB C2.如图，△ABC中，BD、CE为两条角平分线，若∠BDC=∠AEC，求∠A 的度数.AEDB C3.如图，在△ABC中，BD为内角平分线，CE为外角平分线，若∠BDC=125°，∠E=40°，求∠BAC的度数.EADB C M4.如图，在△ABC中，BD为内角平分线，CE为外角平分线，若∠BDC与∠E 互补，求∠BAC的度数.EADB C M第二讲作业1.如果一个三角形三个内角的度数之比为2∶3∶7，这个三角形一定是( ).(A) 等腰三角形(B) 直角三角形(C) 锐角三角形(D) 钝角三角形2.如图所示，∠A、∠1、∠2的大小关系是( ).(A) ∠A＞∠1＞∠2 (B) ∠2＞∠1＞∠A(C) ∠A＞∠2＞∠1 (D) ∠2＞∠A＞∠13.下面四个图形中，能判断∠1＞∠2 的是( ).(A) (B) (C) (D)4．将一副三角板按如图所示摆放，图中∠α的度数是( ).A．75°B．90°C．105°D．120°5. 在活动课上，小聪将一副三角板按图中方式叠放，则∠=( ).(A) 30°(B) 45°(C) 60°(D) 75°6. 如图所示，一个60°角的三角形纸片，剪去这个60°角后，得到一个四边形，则∠1+∠2 的度数为( ).(A)120 °(B)180 °(C)240 °(D)300 °7．如图，在△ABC中，∠C＝70o，沿图中虚线截去∠C，则∠1＋∠2=( ).(A)360 o (B)250 o (C)180 o (D)140 o8.如图，折纸活动中，小明制作了一张△ABC 纸片，点D、E 分别是边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠，A 与A′重合，若∠ A=75°，则∠1+∠2= ( ).(A) 150°(B) 210°(C) 105°(D) 75°9.如图，在△ABC 中，∠B=67°，∠C=33°，AD是△ABC的角平分线，则∠CAD 的度数为（）(A)40 °(B)45 °(C)50 °(D)55 °10.已知ΔABC的三个内角∠A、∠B、∠C满足关系式∠B+∠C=3∠A，则此三角形( ).(A) 一定有一个内角为45 (B) 一定有一个内角为60(C) 一定是直角三角形(D) 一定是钝角三角形11.将一副三角尺按如图方式放置，则图中∠AOB的度数为( ). OB(A) 75°(B) 95°(C) 105°(D) 120°12.若一个正多边形的每一个内角都等于160°，则它是( ). A(A) 正十六形(B) 正十七形(C) 正十八边形(D) 正十九边形13.一个多边形的内角和比它的外角和的 2 倍还大180°，这个多边形的边数为( ).(A)7 (B)8 (C)9 (D)1014.已知：在△ABC 中，∠B是∠A的 2 倍，∠C比∠A大20°，则∠A等于( ).(A)40 °(B)60 °(C)80 °(D)90 °15.如图，人民币旧版壹角硬币内部的正多边形每个内角度数是.16.如图，在△ABC中，D、E 分别是边AB、AC上的两点，BE、CD相交于点F，∠A=62°，∠ACD=40°，∠ABE=20°，求∠BFC的度数.AD E17.如图，已知直线DE分别交△ABC 的边AB、AC于D、E 两点，交边BC的延长线于点F，若∠B=67°，∠ACB=74°，∠AED=48°，求∠BDF的度数．第三讲：与三角形有关的角度求和【知识要点】1. 与三角形有关的四个基本图及其演变；2. 星形图形的角度求和.【新知讲授】例一、如图，直接写出∠ D 与∠A、∠B、∠C 之间的数量关系.A A ADDB CB C B C D箭形：；蝶形：；四边形：.请给出“箭形”基本图结论的证明（你能想出几种不同的方法）：例二、三角形两条内、外角平分线的夹角与第三个内角之间的关系A1.如图，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点I ，探求∠I 与∠A 的关系；IB C2.如图，在△ABC中，∠A B C、∠ACB的外角∠ACD的平分线交于点I ，探求∠I 与∠A的关系；AIB C DE3. 如图，在△ ABC 中，∠ ABC 的外角∠ C B D 、∠ ACB 的外角∠ BCE 的平分线交于点 I ，探求∠ I 与∠ A 的关系 .ABC例三、“箭形”、“蝶形”、“四边形”两条内、外角平分线的夹角与另两个内角之间D的关系E发散探索一： 如图，∠ A B D 、∠ ACD 的平分线交于点 I ，探索∠ I 与∠ A 、∠ D 之间的数量关系 .IAAIADIIDBCBCBCD发散探索二： 如图，∠ ABD 的平分线与∠ ACD 的邻补角∠ ACE 的平分线所在的直线交于点 I ，探索∠ I 与∠ A 、∠ D 之间的数量关系.A IBBDCEIAA IDECBCED发散探索三： 如图，∠ ABD 的邻补角∠ DBE 平分线与∠ ACD 的邻补角∠ DCF 的平分线交于点 I ，探索∠ I 与∠ A 、∠ D 之间的数量 关系 .AAADDBC B C B DC FEFEIIFI例四、如图，在△ ABC 中， BP 、BQ 三等分∠ ABC ， CP 、CQ 三等分∠ ACB.（ 1）若∠ A=60°，直接写出：∠ BPC 的度数为，∠ BQC 的度数为；（ 2）连接 PQ 并延长交 BC 于点 D ，若∠ BQD=63°，∠ CQD=80°，求△ ABC 三个内角的度数 .A例五、如图，B D、CE交于点M，OB平分∠ ABD，OC平分∠ ACE，OD平分∠ ADB，OE平分∠ AEC，求证：∠BOE=∠COD；AE ODM【题型训练】BC1.如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E 的度数和. AD CB EA2.如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的度数和.EFBC 3．如图，已知∠1=60°，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的度数和.发散探索：①如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= ；②如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G= ；③如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= .④如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= .⑤如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G= ；⑥如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G= ；⑦如图，BC⊥EF，求∠ A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的度数.D第三讲作业1.如图，B 岛在 A 岛的南偏西30°，A 岛在C岛的北偏西35°，B 岛在 C 岛的北偏西78°，则从B岛看A、C两岛的视角∠ABC的度数为( ).(A)65 °(B)72 °(C)75 °(D)78 °2.如图，D、E 分别是AB、AC 上一点，BE、CD 相交于点F，∠ACD=30°，∠ABE=20°，∠BDC+∠BEC=170°则∠ A 等于( ).(A)50 °(B)85 °(C)70 °(D)60 °3.一副三角板，如图所示叠放在一起，则图中∠的度数是( ).(A)75 °(B)60 °(C)65 °(D)55 °ADEFB C4.如图，在△ABC中，∠BAC=36°，∠C=72°，BD平分∠ABC交AC于点D，AF∥BC，交BD的延长线于点F，AE 平分∠CAF交DF 于E 点. 我们定义：在一个三角形中，有一个角是36°，其余两个角均为72°的三角形和有一个角是108°，其余两个角均为36°的三角形均被称作“黄金三角形”，则这个图中黄金三角形共有( ).(A)8 个(B)7 个(C)6 个(D)5 个5．如图，∠A=35°，∠B=∠C=90°，则∠D的度数是( ).(A)35 °(B)45 °(C)55 °(D)65 °6.如图，已知∠A+∠BCD=140°，BO平分∠ABC，DO平分∠ADC，则∠BOD=( ).(A)40 °(B)60 °(C)70 °(D)80 °7.如图，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到了一个四边形，则∠1+∠2= ．8.如图，在△ABC中，∠A=80°，点D为边BC延长线上的一点，∠ACD=150°，则∠B= .9.将一副直角三角板如上图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠ 1 的度数为.10.一副三角板叠在一起如图放置，最小锐角的顶点 D 恰好放在等腰直角三角板的斜边AB上，BC与DE交于点M ．若∠ADF=100，°则∠BMD为．1.如图，在△ABC中，∠B=47°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC= .12.如图，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的平分线与∠ACD 的平分线交于点A1，∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，，如此下去，∠A n﹣1BC的平分线与∠A n﹣1CD的平分线交于点A n ．设∠A=θ．则∠A1= ；A n = ．13.已知：如图1，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点O，则1 11 BOC 90 A21802 2A ；如图 2 ，在△ABC 中，∠ABC、∠ACB 的两条三等分角线分别对应交于点O1 、O2 ，则BO1C 21801A ，BO C11802A ；；根据以上阅读理解，当n 等分角时，内部有2n 1 个交点，你以猜想3 3 3 3 BO n 1 C =( ).(A) 2 1180 AA A A n nO n-1(B) 1 2 O2180 A On n O1 O2O1 n 1(C) (C)n180 A1 n 1 C B C B C(D) 1180图1n 1A图2 图3 n n14.在△ ABC中，∠ C=∠ABC=2∠A，BD是AC边上的高，BE 平分∠ ABC，求∠ DBE度数.B第四讲专题一：三角形题型训练（一）【知识要点】平行线、三角形内角和的综合运用【新知讲授】例一、如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，BE、DF 分别平分∠ABC、∠ADC，请你判断BE、DF 的位置关系并证明你的结A论.DEFB C例二、如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠ABC的外角平分线与∠ADC的平分线交于点E，请你判断BE、DE的位置关系并证明你的结论.ADEM B C例三、如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，BE、DF分别平分∠ABC、∠ADC的外角，请你判断BE、DF的位置关系并证明你的结论. ADNBCFME例四、如图，∠A=∠C=90°，∠ABC的平分线与∠ADC的平分线交于点E，请你判断B E、DE的位置关系并证明你的结论.DBCEA例五、如图，∠A=∠C=90°，BE平分∠ABC，DF 平分∠ADC的的外角，请你判断BE、DE的位置关系并证明你的结论.MDF例六、如图，∠A=∠C=90°，∠ABC的外角平分线与∠ADC的外角平分线交于点E，请你判断BE、DE的位置关系并证明你的结论.NEDMCBA例七、如图，△ABC中，P 为BC边上任一点，PD∥AB，PE∥AC.（1）若∠ A=60°，求∠ DPE的度数；（2）若EM平分∠BEP，DN平分∠CDP，试判断EM与DN之间的位置关系，写出你的结论并证明.ADEB P CM N例八、如图，△ABC中，D、E、F 分别在三边上，∠BDE＝∠BED，∠CDF＝∠CFD.（1）若∠ A=70°，求∠ EDF的度数；（2）EM平分∠BED，FN平分∠CFD，若EM∥FN，求∠A 的度数. AEFB M D N C例九、如图，△ABC中，D、E、F 分别在三边上，∠DBE＝∠DEB，∠DCF＝∠DFC. A（1）若∠A=70°，求∠EDF的度数；E（2）EM平分∠ BED，FN平分∠ CFD，若EM∥FN，求∠ A 的度数.F【题型训练】 B M D N C1. 如图1、图 2 是由10 把相同的折扇组成的“蝶恋花”和“梅花”，图中的折扇完全打开且无重叠，则“梅花”图案中五角星的 5 个锐角的度数均为( ).(A) 36 °(B) 42 °(C) 45 °(D) 48 °2. 如图，在△ABC中，∠B=∠C，D是BC上一点，DE⊥BC交AC于点E，DF⊥A B，垂足为F，若∠AED=160°，则∠EDF等于( ).(A)50 °(B)60 °(C)70 °(D)80 °3. 如图，△ABC中，∠B=∠C，∠BAD=32°，∠ADE=∠AED，则∠CDE= .AE4. 已知△ABC 中，∠ACB—∠B=90°，∠BAC 的平分线交BC于E，∠BAC的外角的平分线交BC的延长线于F，则△AEF 的形状是.5. 如图，AB∥CD，∠A=∠C，AE⊥DE，∠D=130°，则∠B的度数为.6．如图：点D、E、F 为△A BC三边上的点，则∠1+∠2 +∠3+∠4+∠5+∠6= ．DA D CEB EC FA Bc 60 ，∠P=110°，则de 的7. 若一束光线经过三块平面镜反射，反射的路线如图所示，图中的字母表示相应的度数，若值为，x的值.B M CA D，则∠BAD= ，8. 如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交边BC于点M，连接MD，且MD恰好平分∠AMC，若∠MDC=4°5∠ABC= .第四讲作业1. 如图，已知△ABC的三个顶点分别在直线a、b 上，且a∥b，若∠1=120°，∠2=80°，则∠3 的度数是( ).(A)40 °(B)60 °(C)80 °(D)120 °2. 如图，BD∥EF，AE与BD交于点C，若∠ABC=30°，∠BAC=75°，则∠CEF的大小为( ).(A)60 °(B)75 °(C)90 °(D)105 °3. 如图，已知D、E 在△ABC的边上，DE∥BC，∠B=60°，∠AED=40°，则∠A 的度数为( ).(A)100 °(B)90 °(C)80 °(D)70 °4. 已知，直线l 1∥l2，将一块含30°角的直角三角板如图所示放置，∠1=25°，则∠2等于( ).(A) 30°(B) 35°(C) 40°(D) 45°5. 如图，将三角尺的直角顶点放在直线 a 上，a∥b，∠1=50°，∠2=60°，则∠3的度数为( ).(A) 50°(B) 60°(C) 70°(D) 80°6. 小明同学把一个含有45°角的直角三角板在如图所示的两条平行线m，n 上，测得=120°，则的度数是( ).(A)45 °(B)55 °(C)65 °(D)75 °7. 如图，在Rt △ABC中，∠C=90°．D 为边CA延长线上的一点，DE‖AB, ∠ADE=42°，则∠ B 的大小为( ).(A) 42 °(B) 45 °(C) 48 °(D)58 °8. 如图，B 处在 A 处的南偏西45°方向，C 处在A 处的南偏东15°方向，C 处在 B 处的北偏东80°方向，则∠ACB等于（）(A)65 °(B)72 °(C)75 °(D)78 °9. 如图，已知AC∥ED，∠C=26°，∠CBE=37°，则∠BED的度数是( ).(A)63 °(B)83 °(C)73 °(D)53 °10. 如图，已知a∥b，小亮把三角板的直角顶点放在直线 b 上．若∠1=40°，则∠2的度数为．11. 如图，已知DE∥BC，CD是∠ACB的平分线，∠B=70°，∠ A=60°.（1）求∠ EDC的度数；（2）求∠ BDC度数.12．如图，∠ DAB+∠D=180°，AC平分∠ DAB，且∠ CAD=25°，∠ B=95°.(1)求∠ DCA的度数；(2)求∠ FEA的度数.13．如图，B 处在A处的南偏西57°的方向， C 处在 A 处的南偏东15°方向，C 处在 B 处的北偏东82°方向，求∠C的度数.A北南CB第五讲专题一：三角形题型训练（二）知识点：三角形三边的关系定理：两边之和大于第三边；两边之差小于第三边三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°典型例题：1、已知Δ ABC的周长为10，且三边长为整数，求三边的长。
2018年七年级升八年级数学 暑期衔接班讲义 第十四讲 等腰三角形(无答案) 新人教版
第十四讲：等腰三角形；第一部分【能力提高】一、①如图，等腰△ABC中，AB=AC，求证：∠B=∠C；②如图，等腰△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，求证：①AD⊥BC；②AD平分∠BAC；③如图，等腰△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，求证：①AD⊥BC；②BD=CD；④如图，等腰△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，求证：①BD=CD；②AD平分∠BAC；⑤如图，在△ABC中，∠B=∠C，求证：AB=AC；⑥如图，在△ABC中，BD=CD，AD⊥BC，求证：AB=AC；⑦如图，在△ABC中，AD⊥BC，AD平分∠BAC，求证：AB=AC；⑧如图，在△ABC中，BD=CD，AD平分∠BAC，求证：AB=AC；等腰三角形的性质：等腰三角形的判定：二、在△ABC中，∠B、∠C平分线的交点P恰好在BC边的高AD上，求证：AB=AC.三、如图，五边形ABCDE，AB=AE，BC=DE，∠B=∠E，F为CD边的中点，求证：AF⊥CD.四、如图，△ABC中，AB、AC边的垂直平分线PQ、MN交于点D.（1）若∠BAC=100°，求∠QAN的度数；（2）若∠D=80°，求∠QAN的度数.五、如图，AD为△ABC的平分线，AD的垂直平分线交直线BC于点F，求证：∠CAF=∠B.六、如图，等腰△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，DE∥AB交AC于点E，求证：AE=CE.七、如图，在等腰△ABC中，AB=AC，H为BC上一点，过H作BC的垂线分别交AC的延长线、AB于D、E两点，求证：AD=AE.八、如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，H为BC上一点，过H作AD的平行线分别交AC的延长线、AB于E、F两点，求证：AE=AF.第二部分【综合运用】九、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D点，AF平分∠BAC交CD于E点，交BC于F点， EG∥AB交BC于G点，(1)求证：CE=CF；(2)求证：CF=BG.十、如图，等腰三角形△ABC，AB=AC，D、E、F分别在边BC、AC、AB上，且BD=CE，CD=BF.(1)设∠A=40°，求∠EDF的度数；(2)设∠A=m°，则∠EDF的度数为；（用含m的代数式表示）(3)若G为EF的中点，连结DG，求证：DG⊥EF.第 14 讲作业一、选择题1．如果三角形的重心在它的一条高线上，则这个三角形必为（）.(A)直角三角形 (B) 等边三角形 (C) 等腰三角形 (D) 等腰直角三角形2．如果三角形的一条外角平分线平行于三角形的一条边，则这个三角形必为（）. (A)直角三角形 (B) 等边三角形 (C) 等腰三角形 (D) 等腰直角三角形3．等腰三角形的某个内角的外角是130°，那么这个三角形的顶角的度数是（）. (A)80° (B)50° (C)80°或130° (D) 80°或50°4．如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=36°，D、E在BC上，且∠ADE=∠AED=2∠BAD，则图中等腰三角形的个数是（）.(A)3 (B) 4 (C) 5 (D) 65．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，CD⊥AB交AB于D，∠ABC的平分线BE交CD于E点，若∠A=40°，则∠BEC=（）.(A)125° (B) 145° (C) 110° (D) 160°6．如图，在△ABC中，AB=AC，D在AB上，DE⊥AC于E点，EF⊥BC于F点，若∠BDE=140°，则∠DEF=（）.(A)55° (B) 60° (C) 65° (D) 70°（第4题图）（第5题图）（第6题图）（第7题图）7．如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC，若△ABD的周长比△BCD的周长多1cm，则BD的长为（）.(A) cm (B)1cm (C) cm (D)2cm8．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC、∠ACB的平分线相交于D点，若∠ADC=130°，则∠BAC=（）.(A)80° (B) 50° (C) 40° (D) 20°二、填空题9．一个等腰三角形的周长为12，且三边长为整数，则此等腰三角形的腰长 .10．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，D、E分别在AC、AB上，AD=DE=EB，BD=BC，则∠A= .11．已知等腰三角形有一个内角为50°，则另两个角的度数分别为 . 12．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D点，在BC上取CE=CA，连结AE，若AE=EB，则∠DAE= .13．如图，等腰△ABC中，AB=AC，若BC=CD=DE=EF=FG=GA，则∠A= .14．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，BE=BD，CF=CD，∠A=40°，则∠EDF= .（第12题图）（第13题图）（第14题图）三、解答题15．如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点D，过点D作BC的平分线交AB、AC 于E、F两点，求证：BE+CF=EF.16．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连结EC．（1）求∠ECD的度数；（2）若CE=5，求BC长．。
2017年七升八暑期衔接班数学讲义(word版)
2017年七升八暑期衔接班数学培优讲义目录1.第一讲：与三角形有关的线段；2.第二讲：与三角形有关的角；3.第三讲：与三角形有关的角度求和；4.第四讲：专题一：三角形题型训练(一)；5.第五讲：专题二：三角形题型训练(二)；6.第六讲：全等三角形；7.第七讲：全等三角形的判定（一）SAS；8.第八讲：全等三角形的判定（二）SSS，ASA，AAS；9.第九讲：全等三角形的判定（三）HL；10.第十讲：专题三：全等三角形题型训练；11.第十一讲：专题四：全等三角形知识点扩充训练；12.第十二讲：角平分线的性质定理及逆定理；13.第十三讲：轴对称；14.第十四讲：等腰三角形；15.第十五讲：等腰直角三角形；16.第十六讲：等边三角形（一）；17.第十七讲：等边三角形（二）;18.第十八讲：专题五：全等、等腰三角形综合运用（一）19.第十九讲：专题六：全等、等腰三角形综合运用（二）20.第二十讲：专题七：综合题题型专题训练；CB A第 一 讲 与三角形有关的线段【知识要点】 一、三角形1．概念：①三条线段；②不在同一直线上；③首尾相连. 2．几何表示：①顶点；②内角、外角；③边；④三角形. 3．三种重要线段及画法：①中线；②角平分线；③高线. 二、三角形按边分类：（注意：等边三角形是特殊的等腰三角形）()⎧⎪⎧⎨⎪⎨⎪⎪⎩⎩不等边三角形腰底不相等的等腰三角形三角形等腰三角形腰底相等的等腰三角形等边三角形 三、三角形的三边关系(教具)引例：已知平面上有A 、B 、C 三点.根据下列线段的长度判断A 、B 、C 存在的位置情况： (1)若AB=9，AC=4，BC=5，则A 、B 、C 存在的位置情况是： (2)若AB=3，AC=10，BC=7，则A 、B 、C 存在的位置情况是： (3)若AB=5，AC=4，BC=8，则A 、B 、C 存在的位置情况是： (4)若AB=3，AC=9，BC=10，则A 、B 、C 存在的位置情况是： (5)若AB=4，AC=6，BC=12，则A 、B 、C 存在的位置情况是： 总结：三角形的三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边.三角形的三边关系定理的推论：三角形任意两边之差小于第三边.【应用】利用定理判断三条线段能否构成三角形或确定三角形第三边的长度或范围. 1．已知BC=a ，AC=b ，AB=c.（1）A 、B 、C 三点在同一条直线上，则a ，b ，c 满足： ； （2）若构成△ABC ，则a ，b ，c 满足： ； 2．已知BC=a ，AC=b ，AB=c ，且a ＜b ＜c.（1）A 、B 、C 三点在同一条直线上，则a ，b ，c 满足： ； （2）若构成△ABC ，则a ，b ，c 满足： ； 【新知讲授】例一、如图，在△ABC 中.①AD 为△ABC 的中线，则线段 = =21；②AE 为△ABC 的角平分线，则 = =21； ③AF 为△ABC 的高线，则 = =90°；④以AD 为边的三角形有 ；⑤∠AEC 是 的一个内角；是 的一个外角.AB CD E F例二、已知，如图，BD ⊥AC ，AE ⊥CG ，AF ⊥AC ，AG ⊥AB ，则△ABC 的BC 边上的高线是线段( ).(A)BD (B) AE (C) AF(D) AG 例三、（1）以下列各组长度的线段为边，能．构成三角形的是( ). (A)7cm ，5cm ，12cm (B)6cm ，8cm ，15cm(C)4cm ，6cm ，5cm (D)8cm ，4cm ，3cm （2）满足下列条件的三条线段不能．．组成三角形的是 .（a 、b 、c 均为正数） ①a=5，b=9，c=7； ②a ∶b ∶c=2∶3∶5； ③1，a ，b ，其中1+a ＞b ；④a ，b ，c ，其中a+b ＞c ； ⑤a+2，a+6，5； ⑥a ＜b ＜c ，其中a+b ＞c. 例四、已知三角形的三边长分别为2，5，x ，则x 的取值范围是 .发散：①已知三角形的三边长分别为2，5，2x-1，则x 的取值范围是 . ②已知三角形的三边长分别为2，5，243x-，则x 的取值范围是 . ③已知三角形三边长分别为2，x ，13，若x 为正整数，则这样的三角形个数为( ). (A)2 (B)3(C)5(D)13④已知三角形的两边长分别为2，5，则三角形周长的取值范围是 . ⑤已知一个三角形中两边长分别为a 、b ，且a ＞b ，那么这个三角形的周长的取值范围是 .(A)3b ＜＜3a (B)2a ＜＜2a+2b (C)a+2b ＜＜2a+b (D)a+2b ＜＜3a-b例五、已知三角形的三边长分别为5，11-x ，3x-1.（1）则x 的取值范围是 ； （2）则它的周长的取值范围是 ； （3）若它是一个等腰三角形，则x 的值是 .发散：①已知三角形的三边长分别为2，5-x ，x-1，则x 的取值范围是 .②已知三角形两边的长分别为3和7，则第三边a 的取值范围是 ；若它的周长是偶数，则满足条件的三角形共有 个；若它是一个等腰三角形，则它的周长为 .③已知等腰三角形腰长为2， 则三角形底边a 的取值范围是 ；周长的取值范围是 .④已知三角形三边的长a 、b 、c 是三个连续正整数，则它的周长的取值范围是 .若它的周长小于19，则满足条件的三角形共有 个.⑤若a 、b 、c 是△ABC 的三边长，化简||c b a -++|c b a --|的结果为( ). (A)2b (B)0 (C)2a (D)22a c - ⑥已知在△ABC 中，AB=7，BC ∶AC=4∶3，则△ABC 的周长的取值范围为 . 【题型训练】DEABCFGDAB CDABC1．以下列各组线段为边，能组成三角形的是( ).(A)2cm ，3cm ，5cm (B)5cm ，6cm ，10cm (C)1cm ，1cm ，3cm (D)3cm ，4cm ，9cm 2．各组线段的比分别为①1∶3∶4；②1∶2∶3；③1∶4∶6；④3∶4∶5；⑤3∶3∶6.其中能组成三角形的有( ).(A)1组 (B)2组 (C)3组 (D)4组 3．三角形的下列线段中能将三角形的面积分成相等两部分的是（ ）(A)中线 (B)角平分线 (C)高线 (D)角平分线或中线 4．已知三角形的三边长分别为6，7，x ，则x 的取值范围是( ).(A)2＜x ＜12 (B)1＜x ＜13 (C)6＜x ＜7 (D)1＜x ＜7 5．已知三角形的两边长分别为3和5，则周长的取值范围是( ).（A ）6＜＜15 （B ）6＜＜16 （C ）11＜＜13 （D ）10＜＜16 6．已知等腰三角形的两边长分别为5和11，则周长是( ).（A ）21 （B ）27 （C ）32 （D ）21或27 7．等腰三角形的底边长为8，则腰长a 的范围为 . 8．等腰三角形的腰长为8，则底边长a 的范围为 .9．等腰三角形的周长为8，则腰长a 的范围为 ；底边长b 的范围为 . 10．三角形的两边长分别为6，8，则周长的范围为 . 11．三角形的两边长分别为6，8，则最长边a 的范围为 . 12．等腰三角形的周长为14，一边长为3，则另两边长分别为 . 13．若a 、b 、c 分别为△ABC 的三边长，则｜a+b-c ｜-｜b-c-a ｜+｜c-b-a ｜= . 14．已知在ΔABC 中，AB=AC ，它的周长为16厘米，AC 边上的中线BD 把∆ABC 分成周长之差为4厘米的两个三角形，求∆ABC 各边的长.15．等腰三角形一腰的中线（如图，等腰△ABC 中，AB=AC ，BD 为△ABC 的中线）把它的周长分为15厘米和6厘米两部分，求该三角形各边长.综合探究、三角形两条内、外角平分线的夹角与第三个内角之间的关系IIICBDACBDAADB CIIICBAC BD A EA EDBECII I C BD A CBA E A E DB FD E F F C 1．如图，△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的平分线交于点I ，探求∠I 与∠A 的关系； 2．如图，在△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的外角∠ACD 的平分线交于点I ，探求∠I 与∠A 的关系；3．如图，在△ABC 中，∠ABC 的外角∠CBD 、∠ACB 的外角∠BCE 的平分线交于点I ，探求∠I 与∠A 的关系.例三、“箭形”、“蝶形”、“四边形”两条内、外角平分线的夹角与另两个内角之间的关系 发散探索一：如图，∠ABD 、∠ACD 的平分线交于点I ，探索∠I 与∠A 、∠D 之间的数量关系.发散探索二：如图，∠ABD 的平分线与∠ACD 的邻补角∠ACE 的平分线所在的直线交于点I ，探索∠I 与∠A 、∠D 之间的数量关系.发散探索三：如图，∠ABD 的邻补角∠DBE 平分线与∠ACD 的邻补角∠DCF 的平分线交于点I ，探索∠I 与∠A 、∠D 之间的数量关系.A BCDI A B CDEA BCI12CB AD A CB H DAB C EHE D C B A 第 二 讲 与三角形有关的角【知识要点】一、三角形按角分类:①锐角三角形；②直角三角形；③钝角三角形； 二、三角形的内角和定理：三角形内角和为180°（∠A+∠B+∠1=180°）； 三、三角形的内角和定理的推论：①直角三角形两锐角互余；②三角形的任意一个外角等于和它不相邻的两个内角之和（∠2=∠A+∠B ）；③三角形的任意一个外角大于任意一个和它不相邻的内角； 四、n 边形的内角和定理：（n-2）×180°； 五、n 边形的外角和为360°. 【新知讲授】例一、①正方形的每个内角的度数为 ；正五边形的每个内角的度数为 ；正六边形的每个内角的度数为 ；正八边形的每个内角的度数为 ；正十边形的每个内角的度数为 ；正十二边形的每个内角的度数为 . ②若一个正多边形的内角和等于等于外角和的5倍，则它的边数是 . ③若一个正多边形的每一个内角都等于144°，则它的边数是 . ④若一个正多边形的每一个内角都等于相邻外角的2倍°，则它的边数是 .例二、如图，△ABC 中，∠A=50°，两条高线BD 、CE 所在直线交于点H ，求∠BHC 的度数.例三、如图，△ABC 中，∠A=50°，两条角平分线BD 、CE 交于点I ，求∠BIC 的度数.例四、如图，四边形ABCD 中，∠A=∠C ，∠B=∠D ，求证：AB ∥CD ，AD ∥BC.例五、如图，AB ∥CD ，AD ∥BC ，AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，求证：∠BAD+∠EAF=180°.A B C D E IDA B E FC D E A FC B A B CF E D例六、如图，六边形ABCDEF 中，AF ∥CD ，∠A=∠D ，∠B=∠E ，求证：BC ∥EF.例七、如图，在凸六边形ABCDEF 中，∠A+∠B+∠F=∠C+∠D+∠E ，求证：BC ∥EF.【题型训练】1．如图，△ABC 中，BD 、CE 为两条角平分线，若∠BDC=90°，∠BEC=105°，求∠A.2．如图，△ABC 中，BD 、CE 为两条角平分线，若∠BDC=∠AEC ，求∠A 的度数.3．如图，在△ABC 中，BD 为内角平分线，CE 为外角平分线，若∠BDC=125°，∠E=40°，ED C B AED C B A求∠BAC 的度数.4．如图，在△ABC 中，BD 为内角平分线，CE 为外角平分线，若∠BDC 与∠E 互补，求∠BAC 的度数.第 二 讲 作 业1．如果一个三角形三个内角的度数之比为2∶3∶7，这个三角形一定是( ). (A)等腰三角形 (B)直角三角形 (C)锐角三角形 (D)钝角三角形 2.如图所示，∠A、∠1、∠2的大小关系是( ).(A)∠A＞∠1＞∠2 (B)∠2＞∠1＞∠A (C)∠A＞∠2＞∠1 (D)∠2＞∠A＞∠1 3．下面四个图形中，能判断∠1＞∠2的是( ).(A) (B) (C) (D) 4．将一副三角板按如图所示摆放，图中∠α的度数是( ). A ．75° B ．90° C ．105° D ．120°5.在活动课上，小聪将一副三角板按图中方式叠放，则∠=( ). (A)30° (B)45° (C)60° (D)75°6．如图所示，一个60°角的三角形纸片，剪去这个60°角后，得到一个四边形，则∠1+∠2 的度数为( ).(A)120° (B)180° (C)240° (D)300°7．如图，在△ABC 中，∠C ＝70º，沿图中虚线截去∠C ， 则∠1＋∠2=( ).(A)360º (B)250º (C)180º (D)140º8．如图，折纸活动中，小明制作了一张△ABC 纸片，点D 、E 分别是边AB 、AC 上，将△ABC 沿着DE 折叠，A 与A′重合，若∠A=75°，则∠1+∠2=( ).MEDC B AABO C B D AF E (A)150° (B)210° (C)105° (D)75° 9．如图，在△ABC 中，∠B=67°，∠C=33°，AD 是△ABC 的角平分线，则∠CAD 的度数为（ ） (A)40° (B)45° (C)50° (D)55°10．已知ΔABC 的三个内角∠A、∠B、∠C 满足关系式∠B +∠C =3∠A，则此三角形( ). (A)一定有一个内角为45︒(B)一定有一个内角为60︒(C)一定是直角三角形 (D)一定是钝角三角形 11．将一副三角尺按如图方式放置，则图中∠AOB 的度数为( ). (A)75° (B)95° (C)105° (D)120° 12．若一个正多边形的每一个内角都等于160°，则它是( ).(A)正十六形 (B)正十七形 (C)正十八边形 (D)正十九边形 13．一个多边形的内角和比它的外角和的2倍还大180°，这个多边形的边数为( ). (A)7 (B)8 (C)9 (D)1014. 已知：在△ABC 中，∠B 是∠A 的2倍，∠C 比∠A 大20°，则∠A 等于( ).(A)40° (B)60° (C)80° (D)90° 15．如图，人民币旧版壹角硬币内部的正多边形每个内角度数是 .16．如图，在△ABC 中，D 、E 分别是边AB 、AC 上的两点，BE 、CD 相交于点F ，∠A=62°，∠ACD=40°，∠ABE=20°，求∠BFC 的度数.17．如图，已知直线DE 分别交△ABC 的边AB 、AC 于D 、E 两点，交边BC 的延长线于点F ，若∠B =67°，∠ACB =74°，∠AED =48°，求∠BDF 的度数．第三讲：与三角形有关的角度求和IADAACB DA CB D A A DB C 【知识要点】1．与三角形有关的四个基本图及其演变；2．星形图形的角度求和. 【新知讲授】例一、如图，直接写出∠D 与∠A 、∠B 、∠C 之间的数量关系. 箭形： ；蝶形： ；四边形： . 请给出“箭形”基本图结论的证明（你能想出几种不同的方法）：例二、三角形两条内、外角平分线的夹角与第三个内角之间的关系1．如图，△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的平分线交于点I ，探求∠I 与∠A 的关系；2．如图，在△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的外角∠ACD 的平分线交于点I ，探求∠I 与∠A 的关系；3．如图，在△ABC 中，∠ABC 的外角∠CBD 、∠ACB 的外角∠BCE 的平分线交于点I ，探求∠I 与∠A 的关系.例三、“箭形”、“蝶形”、“四边形”两条内、外角平分线的夹角与另两个内角之间的关系发散探索一：如图，∠ABD 、∠ACD 的平分线交于点I ，探索∠I 与∠A 、∠D 之间的数量关系.A B C I ABC D I AB CD E IIIICBDAC BD A EA EDBECI I I C BD A CBA E A E DB FD E F F C发散探索二：如图，∠ABD 的平分线与∠ACD 的邻补角∠ACE 的平分线所在的直线交于点I ，探索∠I 与∠A 、∠D 之间的数量关系.发散探索三：如图，∠ABD 的邻补角∠DBE 平分线与∠ACD 的邻补角∠DCF 的平分线交于点I ，探索∠I 与∠A 、∠D 之间的数量关系.例四、如图，在△ABC 中， BP 、BQ 三等分∠ABC ，CP 、CQ 三等分∠ACB.（1）若∠A=60°，直接写出：∠BPC 的度数为 ，∠BQC 的度数为 ； （2）连接PQ 并延长交BC 于点D ，若∠BQD=63°，∠CQD=80°，求△ABC 三个内角的BA MED OD BCEADBCF E A度数.例五、如图，BD 、CE 交于点M ，OB 平分∠ABD ，OC 平分∠ACE ，OD 平分∠ADB ，OE 平分∠AEC ，求证：∠BOE=∠COD ；【题型训练】1．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E 的度数和.2．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的度数和.3．如图，已知∠1=60°，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的度数和.发散探索：①如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= ；②如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G= ； ③如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= .CB DAFE ④如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= .⑤如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G= ； ⑥如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G= ； ⑦如图，BC ⊥EF ，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的度数.第 三 讲 作 业1．如图，B 岛在A 岛的南偏西30°，A 岛在C 岛的北偏西35°，B 岛在C 岛的北偏西78°，则从B 岛看A 、C 两岛的视角∠ABC 的度数为( ).(A)65° (B)72° (C)75° (D)78°2．如图，D 、E 分别是AB 、AC 上一点，BE 、CD 相交于点F ，∠ACD=30°，∠ABE=20°，∠BDC+∠BEC=170°则∠A 等于( ).(A)50° (B)85° (C)70° (D)60° 3．一副三角板，如图所示叠放在一起，则图中∠ 的度数是( ).(A)75° (B)60° (C)65° (D)55°4．如图，在△ABC 中，∠BAC=36°，∠C=72°，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，AF ∥BC ，交BD 的延长线于点F ，AE 平分∠CAF 交DF 于E 点.我们定义：在一个三角形中，有一个角是36°，其余两个角均为72°的三角形和有一个角是108°，其余两个角均为36°的三角形均被称作“黄金三角形”，则这个图中黄金三角形共有( ).(A)8个 (B)7个 (C)6个 (D)5个5．如图，∠A=35°，∠B=∠C=90°，则∠D 的度数是( ).(A)35° (B)45° (C)55° (D)65°6．如图，已知∠A+∠BCD=140°，BO 平分∠ABC ，DO 平分∠ADC ，则∠BOD=( ). (A)40° (B)60° (C)70° (D)80°7．如图，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到了一个四边形，则∠1+∠2= ．8.如图，在△ABC 中，∠A=80°，点D 为边BC 延长线上的一点，∠ACD=150°，则∠B= .9．将一副直角三角板如上图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为 .10．一副三角板叠在一起如图放置，最小锐角的顶点D 恰好放在等腰直角三角板的斜边AB上，BC 与DE 交于点M ．若∠ADF=100°，则∠BMD 为 ．11．如图，在△ABC 中，∠B=47°，三角形的外角∠DAC 和∠ACF 的平分线交于点E ，则∠AEC=______.12．如图，∠ACD 是△ABC 的外角，∠ABC 的平分线与∠ACD 的平分线交于点A 1，∠A 1BC 的平分线与∠A 1CD 的平分线交于点A 2，…，如此下去，∠A n ﹣1BC 的平分线与∠A n ﹣1CD 的平分线交于点n A ．设∠A=θ．则∠A 1= ；n A = ．13．已知：如图1，在△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的角平分线交于点O ，则1902BOC A ∠=︒+∠1118022A =⨯︒+∠；如图2，在△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的两条三等分角线分别对应交于点1O 、2O ，则12118033BO C A ∠=⨯︒+∠，21218033BO C A ∠=⨯︒+∠；……；根据以上阅读理解，当n 等分角时，内部有1n -个交点，你以猜想1n BO C -∠=( ).(A)21180A n n ⨯︒+∠ (B)12180A n n ⨯︒+∠(C)118011n A n n ⨯︒+∠--(D)11180n A n n-⨯︒+∠14．在△ABC 中，∠C=∠ABC=2∠A ，BD 是AC 边上的高，BE 平分∠ABC ，求∠DBE 度数.第 四 讲 专题一：三角形题型训练（一）【知识要点】平行线、三角形内角和的综合运用【新知讲授】例一、如图，在四边形ABCD 中，∠A=∠C=90°，BE 、DF 分别平分∠ABC 、∠ADC ，请你判断BE 、DF 的位置关系并证明你的结论.例二、如图，在四边形ABCD 中，∠A=∠C=90°，∠ABC 的外角平分线与∠ADC 的平分线交于点E ，请你判断BE 、DE 的位置关系并证明你的结论.例三、 如图，在四边形ABCD 中，∠A=∠C=90°，BE 、DF 分别平分∠ABC 、∠ADC 的外角，请你判断BE 、DF 的位置关系并证明你的结论.例四、如图，∠A=∠C=90°，∠ABC 的平分线与∠ADC 的平分线交于点E ，请你判断BE 、DE的位置关系并证明你的结论.例五、如图，∠A=∠C=90°，BE 平分∠ABC ，DF 平分∠ADC 的的外角，请你判断BE 、DE 的位置关系并证明你的结论.FED C BAMEDBAFNME DCBA EDCBAFMD例六、如图，∠A=∠C=90°，∠ABC 的外角平分线与∠ADC 的外角平分线交于点E ，请你判断BE 、DE 的位置关系并证明你的结论.例七、如图，△ABC 中，P 为BC 边上任一点，PD ∥AB ，PE ∥AC.（1）若∠A=60°，求∠DPE 的度数；（2）若EM 平分∠BEP ，DN 平分∠CDP ，试判断EM 与DN 之间的位置关系，写出你的结论并证明.例八、如图，△ABC 中，D 、E 、F 分别在三边上，∠BDE ＝∠BED ，∠CDF ＝∠CFD. （1）若∠A=70°，求∠EDF 的度数；（2）EM 平分∠BED ，FN 平分∠CFD ，若EM ∥FN ，求∠A 的度数.例九、如图，△ABC 中，D 、E 、F 分别在三边上，∠DBE ＝∠DEB ，∠DCF ＝∠DFC.（1）若∠A=70°，求∠EDF 的度数；（2）EM 平分∠BED ，FN 平分∠CFD ，若EM ∥FN ，求∠A 的度数.NME D C BA NM P EDC BANMFEDCBAFEAA DCMBA DB EC BD A ECDB AC E F【题型训练】1．如图1、图2是由10把相同的折扇组成的“蝶恋花”和“梅花”，图中的折扇完全打开且无重叠，则“梅花”图案中五角星的5个锐角的度数均为( ).(A) 36° (B) 42° (C) 45° (D) 48° 2．如图，在△ABC 中，∠B=∠C ，D 是BC 上一点，DE ⊥BC 交AC 于点E ，DF ⊥AB ，垂足为F ，若∠AED=160°，则∠EDF 等于( ).(A)50° (B)60° (C)70° (D)80°3．如图，△ABC 中，∠B=∠C ，∠BAD=32°，∠ADE=∠AED ，则∠CDE= .4．已知△ABC 中，∠ACB—∠B=90°，∠BAC 的平分线交BC 于E ，∠BAC 的外角的平分线交BC 的延长线于F ，则△AEF 的形状是 . 5．如图，AB ∥CD ，∠A=∠C ，AE ⊥DE ，∠D=130°，则∠B 的度数为 . 6．如图：点D 、E 、F 为△ABC 三边上的点，则∠1 +∠2 +∠3+∠4 +∠5 +∠6 = ．7．若一束光线经过三块平面镜反射，反射的路线如图所示，图中的字母表示相应的度数，若60c =︒，∠P=110°，则d e +的值为 ，x 的值 .8．如图，在平行四边形ABCD 中，∠BAD 的平分线交边BC 于点M ，连接MD ，且MD 恰好平分∠AMC ，若∠MDC=45°，则∠BAD= ，∠ABC= .第 四 讲 作 业1.如图，已知△ABC 的三个顶点分别在直线a 、b 上，且a ∥b ，若∠1=120°，∠2=80°，则∠3的度数是( ).(A)40° (B)60° (C)80° (D)120°2．如图，BD ∥EF ，AE 与BD 交于点C ，若∠ABC=30°，∠BAC=75°，则∠CEF 的大小为( ). (A)60° (B)75° (C)90° (D)105° 3．如图，已知D 、E 在△ABC 的边上，DE ∥BC ，∠B=60°，∠AED=40°，则∠A 的度数为( ). (A)100° (B)90° (C)80° (D)70°4．已知，直线l 1∥l 2，将一块含30°角的直角三角板如图所示放置，∠1=25°，则∠2等于( ). (A)30° (B)35° (C)40° (D)45° 5．如图，将三角尺的直角顶点放在直线a 上，a∥b，∠1=50°，∠2=60°，则∠3的度数为( ).(A)50° (B)60° (C)70° (D)80°6．小明同学把一个含有45°角的直角三角板在如图所示的两条平行线上，测得α∠=120°，则的度数是( ). (A)45° (B)55° (C)65° (D)75°7.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°．D 为边CA 延长线上的一点，DE ‖AB,∠ADE=42°，则∠B 的大小为( ).(A) 42° (B) 45° (C) 48° (D)58°8．如图，B 处在A 处的南偏西45°方向，C 处在A 处的南偏东15°方向，C 处在B 处的北偏东80°方向，则∠ACB 等于（ ）(A)65° (B)72° (C)75° (D)78° 9．如图，已知AC ∥ED ，∠C=26°，∠CBE=37°，则∠BED 的度数是( ). (A)63°(B)83°(C)73° (D)53°10．如图，已知a∥b，小亮把三角板的直角顶点放在直线b 上．若∠1=40°，则∠2的度数为 ．m n ，β∠11．如图，已知DE ∥BC ，CD 是∠ACB 的平分线，∠B=70°，∠A=60°. （1）求∠EDC 的度数； （2）求∠BDC 度数.12．如图，∠DAB+∠D=180°，AC 平分∠DAB ，且∠CAD=25°，∠B=95°.(1)求∠DCA 的度数； (2)求∠FEA 的度数.13．如图，B 处在A 处的南偏西57°的方向，C 处在A 处的南偏东15°方向，C 处在B 处的北偏东82°方向，求∠C 的度数.第五讲 专题一：三角形题型训练（二）知识点：三角形三边的关系定理：两边之和大于第三边；两边之差小于第三边三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180° 典型例题：1、已知ΔABC的周长为10，且三边长为整数，求三边的长。
2017年七升八暑期衔接班数学讲义(word版)
2017年七升八暑期衔接班数学培优讲义目录1.第一讲：与三角形有关的线段；2.第二讲：与三角形有关的角；3.第三讲：与三角形有关的角度求和；4.第四讲：专题一：三角形题型训练(一)；5.第五讲：专题二：三角形题型训练(二)；6.第六讲：全等三角形；7.第七讲：全等三角形的判定（一）SAS；8.第八讲：全等三角形的判定（二）SSS，ASA，AAS；9.第九讲：全等三角形的判定（三）HL；10.第十讲：专题三：全等三角形题型训练；11.第十一讲：专题四：全等三角形知识点扩充训练；12.第十二讲：角平分线的性质定理及逆定理；13.第十三讲：轴对称；14.第十四讲：等腰三角形；15.第十五讲：等腰直角三角形；16.第十六讲：等边三角形（一）；17.第十七讲：等边三角形（二）;18.第十八讲：专题五：全等、等腰三角形综合运用（一）19.第十九讲：专题六：全等、等腰三角形综合运用（二）20.第二十讲：专题七：综合题题型专题训练；CB A第 一 讲 与三角形有关的线段【知识要点】 一、三角形1．概念：①三条线段；②不在同一直线上；③首尾相连. 2．几何表示：①顶点；②内角、外角；③边；④三角形. 3．三种重要线段及画法：①中线；②角平分线；③高线. 二、三角形按边分类：（注意：等边三角形是特殊的等腰三角形）()⎧⎪⎧⎨⎪⎨⎪⎪⎩⎩不等边三角形腰底不相等的等腰三角形三角形等腰三角形腰底相等的等腰三角形等边三角形三、三角形的三边关系(教具)引例：已知平面上有A 、B 、C 三点.根据下列线段的长度判断A 、B 、C 存在的位置情况： (1)若AB=9，AC=4，BC=5，则A 、B 、C 存在的位置情况是： (2)若AB=3，AC=10，BC=7，则A 、B 、C 存在的位置情况是： (3)若AB=5，AC=4，BC=8，则A 、B 、C 存在的位置情况是： (4)若AB=3，AC=9，BC=10，则A 、B 、C 存在的位置情况是： (5)若AB=4，AC=6，BC=12，则A 、B 、C 存在的位置情况是： 总结：三角形的三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边.三角形的三边关系定理的推论：三角形任意两边之差小于第三边.【应用】利用定理判断三条线段能否构成三角形或确定三角形第三边的长度或范围. 1．已知BC=a ，AC=b ，AB=c.（1）A 、B 、C 三点在同一条直线上，则a ，b ，c 满足： ； （2）若构成△ABC ，则a ，b ，c 满足： ； 2．已知BC=a ，AC=b ，AB=c ，且a ＜b ＜c.（1）A 、B 、C 三点在同一条直线上，则a ，b ，c 满足： ； （2）若构成△ABC ，则a ，b ，c 满足： ； 【新知讲授】例一、如图，在△ABC 中.①AD 为△ABC 的中线，则线段 = =21；②AE 为△ABC 的角平分线，则 = =21； ③AF 为△ABC 的高线，则 = =90°；④以AD 为边的三角形有 ；AB CD E F⑤∠AEC 是 的一个内角；是 的一个外角.例二、已知，如图，BD ⊥AC ，AE ⊥CG ，AF ⊥AC ，AG ⊥AB ，则△ABC 的BC 边上的高线是线段( ).(A)BD (B) AE (C) AF(D) AG 例三、（1）以下列各组长度的线段为边，能．构成三角形的是( ).(A)7cm ，5cm ，12cm (B)6cm ，8cm ，15cm(C)4cm ，6cm ，5cm (D)8cm ，4cm ，3cm （2）满足下列条件的三条线段不能．．组成三角形的是 .（a 、b 、c 均为正数） ①a=5，b=9，c=7； ②a ∶b ∶c=2∶3∶5； ③1，a ，b ，其中1+a ＞b ；④a ，b ，c ，其中a+b ＞c ； ⑤a+2，a+6，5； ⑥a ＜b ＜c ，其中a+b ＞c. 例四、已知三角形的三边长分别为2，5，x ，则x 的取值范围是 .发散：①已知三角形的三边长分别为2，5，2x-1，则x 的取值范围是 . ②已知三角形的三边长分别为2，5，243x-，则x 的取值范围是 . ③已知三角形三边长分别为2，x ，13，若x 为正整数，则这样的三角形个数为( ). (A)2 (B)3(C)5(D)13④已知三角形的两边长分别为2，5，则三角形周长的取值范围是 . ⑤已知一个三角形中两边长分别为a 、b ，且a ＞b ，那么这个三角形的周长的取值范围是 .(A)3b ＜＜3a (B)2a ＜＜2a+2b (C)a+2b ＜＜2a+b (D)a+2b ＜＜3a-b例五、已知三角形的三边长分别为5，11-x ，3x-1.（1）则x 的取值范围是 ； （2）则它的周长的取值范围是 ； （3）若它是一个等腰三角形，则x 的值是 .发散：①已知三角形的三边长分别为2，5-x ，x-1，则x 的取值范围是 .②已知三角形两边的长分别为3和7，则第三边a 的取值范围是 ；若它的周长是偶数，则满足条件的三角形共有 个；若它是一个等腰三角形，则它的周长为 .③已知等腰三角形腰长为2， 则三角形底边a 的取值范围是 ；周长的取值范围是 .④已知三角形三边的长a 、b 、c 是三个连续正整数，则它的周长的取值范围是 .若它的周长小于19，则满足条件的三角形共有 个.⑤若a 、b 、c 是△ABC 的三边长，化简||c b a -++|c b a --|的结果为( ). (A)2b (B)0 (C)2a (D)22a c - ⑥已知在△ABC 中，AB=7，BC ∶AC=4∶3，则△ABC 的周长的取值范围为 .DEABCFGDAB CD ABC 【题型训练】1．以下列各组线段为边，能组成三角形的是( ).(A)2cm ，3cm ，5cm (B)5cm ，6cm ，10cm (C)1cm ，1cm ，3cm (D)3cm ，4cm ，9cm 2．各组线段的比分别为①1∶3∶4；②1∶2∶3；③1∶4∶6；④3∶4∶5；⑤3∶3∶6.其中能组成三角形的有( ).(A)1组 (B)2组 (C)3组 (D)4组 3．三角形的下列线段中能将三角形的面积分成相等两部分的是（ ）(A)中线 (B)角平分线 (C)高线 (D)角平分线或中线 4．已知三角形的三边长分别为6，7，x ，则x 的取值范围是( ).(A)2＜x ＜12 (B)1＜x ＜13 (C)6＜x ＜7 (D)1＜x ＜7 5．已知三角形的两边长分别为3和5，则周长的取值范围是( ).（A ）6＜＜15 （B ）6＜＜16 （C ）11＜＜13 （D ）10＜＜16 6．已知等腰三角形的两边长分别为5和11，则周长是( ).（A ）21 （B ）27 （C ）32 （D ）21或27 7．等腰三角形的底边长为8，则腰长a 的范围为 . 8．等腰三角形的腰长为8，则底边长a 的范围为 .9．等腰三角形的周长为8，则腰长a 的范围为 ；底边长b 的范围为 . 10．三角形的两边长分别为6，8，则周长的范围为 . 11．三角形的两边长分别为6，8，则最长边a 的范围为 . 12．等腰三角形的周长为14，一边长为3，则另两边长分别为 . 13．若a 、b 、c 分别为△ABC 的三边长，则｜a+b-c ｜-｜b-c-a ｜+｜c-b-a ｜= . 14．已知在ΔABC 中，AB=AC ，它的周长为16厘米，AC 边上的中线BD 把∆ABC 分成周长之差为4厘米的两个三角形，求∆ABC 各边的长.15．等腰三角形一腰的中线（如图，等腰△ABC 中，AB=AC ，BD 为△ABC 的中线）把它的周长分为15厘米和6厘米两部分，求该三角形各边长.IIICBDACBDAADB CIIICBDAC BD A EA EDBECII I C BD A CBA E A E DB FD E F F C 综合探究、三角形两条内、外角平分线的夹角与第三个内角之间的关系1．如图，△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的平分线交于点I ，探求∠I 与∠A 的关系； 2．如图，在△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的外角∠ACD 的平分线交于点I ，探求∠I 与∠A 的关系；3．如图，在△ABC 中，∠ABC 的外角∠CBD 、∠ACB 的外角∠BCE 的平分线交于点I ，探求∠I 与∠A 的关系.例三、“箭形”、“蝶形”、“四边形”两条内、外角平分线的夹角与另两个内角之间的关系 发散探索一：如图，∠ABD 、∠ACD 的平分线交于点I ，探索∠I 与∠A 、∠D 之间的数量关系.发散探索二：如图，∠ABD 的平分线与∠ACD 的邻补角∠ACE 的平分线所在的直线交于点I ，探索∠I 与∠A 、∠D 之间的数量关系.发散探索三：如图，∠ABD 的邻补角∠DBE 平分线与∠ACD 的邻补角∠DCF 的平分线交于点I ，探索∠I 与∠A 、∠D 之间的数量关系.A BCDI A B CDEIA BCI12CB AD A CB H DAB C EHE D C B A 第 二 讲 与三角形有关的角【知识要点】一、三角形按角分类:①锐角三角形；②直角三角形；③钝角三角形； 二、三角形的内角和定理：三角形内角和为180°（∠A+∠B+∠1=180°）； 三、三角形的内角和定理的推论：①直角三角形两锐角互余；②三角形的任意一个外角等于和它不相邻的两个内角之和（∠2=∠A+∠B ）；③三角形的任意一个外角大于任意一个和它不相邻的内角； 四、n 边形的内角和定理：（n-2）×180°； 五、n 边形的外角和为360°. 【新知讲授】例一、①正方形的每个内角的度数为 ；正五边形的每个内角的度数为 ；正六边形的每个内角的度数为 ；正八边形的每个内角的度数为 ；正十边形的每个内角的度数为 ；正十二边形的每个内角的度数为 . ②若一个正多边形的内角和等于等于外角和的5倍，则它的边数是 . ③若一个正多边形的每一个内角都等于144°，则它的边数是 . ④若一个正多边形的每一个内角都等于相邻外角的2倍°，则它的边数是 .例二、如图，△ABC 中，∠A=50°，两条高线BD 、CE 所在直线交于点H ，求∠BHC 的度数.例三、如图，△ABC 中，∠A=50°，两条角平分线BD 、CE 交于点I ，求∠BIC 的度数.例四、如图，四边形ABCD 中，∠A=∠C ，∠B=∠D ，求证：AB ∥CD ，AD ∥BC.A B C D E IDABE F C D E A FC B A B CF E D例五、如图，AB ∥CD ，AD ∥BC ，AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，求证：∠BAD+∠EAF=180°.例六、如图，六边形ABCDEF 中，AF ∥CD ，∠A=∠D ，∠B=∠E ，求证：BC ∥EF.例七、如图，在凸六边形ABCDEF 中，∠A+∠B+∠F=∠C+∠D+∠E ，求证：BC ∥EF.【题型训练】1．如图，△ABC 中，BD 、CE 为两条角平分线，若∠BDC=90°，∠BEC=105°，求∠A.2．如图，△ABC 中，BD 、CE 为两条角平分线，若∠BDC=∠AEC ，求∠A 的度数.ED C B AED C B A3．如图，在△ABC 中，BD 为内角平分线，CE 为外角平分线，若∠BDC=125°，∠E=40°，求∠BAC 的度数.4．如图，在△ABC 中，BD 为内角平分线，CE 为外角平分线，若∠BDC 与∠E 互补，求∠BAC 的度数.第 二 讲 作 业1．如果一个三角形三个内角的度数之比为2∶3∶7，这个三角形一定是( ). (A)等腰三角形 (B)直角三角形 (C)锐角三角形 (D)钝角三角形 2.如图所示，∠A、∠1、∠2的大小关系是( ).(A)∠A＞∠1＞∠2 (B)∠2＞∠1＞∠A (C)∠A＞∠2＞∠1 (D)∠2＞∠A＞∠1 3．下面四个图形中，能判断∠1＞∠2的是( ).(A) (B) (C) (D) 4．将一副三角板按如图所示摆放，图中∠α的度数是( ). A ．75° B ．90° C ．105° D ．120°5.在活动课上，小聪将一副三角板按图中方式叠放，则∠=( ). (A)30° (B)45° (C)60° (D)75°6．如图所示，一个60°角的三角形纸片，剪去这个60°角后，得到一个四边形，则∠1+∠2 的度数为( ).(A)120° (B)180° (C)240° (D)300°7．如图，在△ABC 中，∠C ＝70º，沿图中虚线截去∠C ， 则∠1＋∠2=( ).(A)360º (B)250º (C)180º (D)140ºME DCBAMEDC B AABO C B D A F E 8．如图，折纸活动中，小明制作了一张△ABC 纸片，点D 、E 分别是边AB 、AC 上，将△ABC 沿着DE 折叠，A 与A′重合，若∠A=75°，则∠1+∠2=( ).(A)150° (B)210° (C)105° (D)75° 9．如图，在△ABC 中，∠B=67°，∠C=33°，AD 是△ABC 的角平分线，则∠CAD 的度数为（ ） (A)40° (B)45° (C)50° (D)55°10．已知ΔABC 的三个内角∠A、∠B、∠C 满足关系式∠B +∠C =3∠A，则此三角形( ). (A)一定有一个内角为45︒(B)一定有一个内角为60︒(C)一定是直角三角形 (D)一定是钝角三角形 11．将一副三角尺按如图方式放置，则图中∠AOB 的度数为( ). (A)75° (B)95° (C)105° (D)120° 12．若一个正多边形的每一个内角都等于160°，则它是( ).(A)正十六形 (B)正十七形 (C)正十八边形 (D)正十九边形 13．一个多边形的内角和比它的外角和的2倍还大180°，这个多边形的边数为( ). (A)7 (B)8 (C)9 (D)1014. 已知：在△ABC 中，∠B 是∠A 的2倍，∠C 比∠A 大20°，则∠A 等于( ).(A)40° (B)60° (C)80° (D)90° 15．如图，人民币旧版壹角硬币内部的正多边形每个内角度数是 .16．如图，在△ABC 中，D 、E 分别是边AB 、AC 上的两点，BE 、CD 相交于点F ，∠A=62°，∠ACD=40°，∠ABE=20°，求∠BFC 的度数.17．如图，已知直线DE 分别交△ABC 的边AB 、AC 于D 、E 两点，交边BC 的延长线于点F ，若∠B =67°，∠ACB =74°，∠AED =48°，求∠BDF 的度数．CB DA CB D A A DB C 第三讲：与三角形有关的角度求和【知识要点】1．与三角形有关的四个基本图及其演变； 2．星形图形的角度求和. 【新知讲授】例一、如图，直接写出∠D 与∠A 、∠B 、∠C 之间的数量关系. 箭形： ；蝶形： ；四边形： . 请给出“箭形”基本图结论的证明（你能想出几种不同的方法）：例二、三角形两条内、外角平分线的夹角与第三个内角之间的关系1．如图，△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的平分线交于点I ，探求∠I 与∠A 的关系；2．如图，在△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的外角∠ACD 的平分线交于点I ，探求∠I 与∠A 的关系；3．如图，在△ABC 中，∠ABC 的外角∠CBD 、∠ACB 的外角∠BCE 的平分线交于点I ，探求∠I 与∠A 的关系.A B C I ABC D I AB CDEIIIICBDACBDAADB CIIICBDAC BD A EA EDBECI I I C BD A CBA E A E DB FD E F F C 例三、“箭形”、“蝶形”、“四边形”两条内、外角平分线的夹角与另两个内角之间的关系 发散探索一：如图，∠ABD 、∠ACD 的平分线交于点I ，探索∠I 与∠A 、∠D 之间的数量关系.发散探索二：如图，∠ABD 的平分线与∠ACD 的邻补角∠ACE 的平分线所在的直线交于点I ，探索∠I 与∠A 、∠D 之间的数量关系.发散探索三：如图，∠ABD 的邻补角∠DBE 平分线与∠ACD 的邻补角∠DCF 的平分线交于点I ，探索∠I 与∠A 、∠D 之间的数量关系.BA MECD ODQP CBA D BCEADBCF E A例四、如图，在△ABC 中， BP 、BQ 三等分∠ABC ，CP 、CQ 三等分∠ACB.（1）若∠A=60°，直接写出：∠BPC 的度数为 ，∠BQC 的度数为 ； （2）连接PQ 并延长交BC 于点D ，若∠BQD=63°，∠CQD=80°，求△ABC 三个内角的度数.例五、如图，BD 、CE 交于点M ，OB 平分∠ABD ，OC 平分∠ACE ，OD 平分∠ADB ，OE 平分∠AEC ，求证：∠BOE=∠COD ；【题型训练】1．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E 的度数和.2．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的度数和.3．如图，已知∠1=60°，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的度数和.CB DAFE 发散探索：①如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= ；②如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G= ； ③如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= . ④如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= .⑤如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G= ； ⑥如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G= ； ⑦如图，BC ⊥EF ，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的度数.第 三 讲 作 业1．如图，B 岛在A 岛的南偏西30°，A 岛在C 岛的北偏西35°，B 岛在C 岛的北偏西78°，则从B 岛看A 、C 两岛的视角∠ABC 的度数为( ).(A)65° (B)72° (C)75° (D)78°2．如图，D 、E 分别是AB 、AC 上一点，BE 、CD 相交于点F ，∠ACD=30°，∠ABE=20°，∠BDC+∠BEC=170°则∠A 等于( ).(A)50° (B)85° (C)70° (D)60° 3．一副三角板，如图所示叠放在一起，则图中∠ 的度数是( ).(A)75° (B)60° (C)65° (D)55°4．如图，在△ABC 中，∠BAC=36°，∠C=72°，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，AF ∥BC ，交BD 的延长线于点F ，AE 平分∠CAF 交DF 于E 点.我们定义：在一个三角形中，有一个角是36°，其余两个角均为72°的三角形和有一个角是108°，其余两个角均为36°的三角形均被称作“黄金三角形”，则这个图中黄金三角形共有( ).(A)8个 (B)7个 (C)6个 (D)5个5．如图，∠A=35°，∠B=∠C=90°，则∠D 的度数是( ).(A)35° (B)45° (C)55° (D)65°6．如图，已知∠A+∠BCD=140°，BO 平分∠ABC ，DO 平分∠ADC ，则∠BOD=( ). (A)40° (B)60° (C)70° (D)80°7．如图，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到了一个四边形，则∠1+∠2= ．8.如图，在△ABC 中，∠A=80°，点D 为边BC 延长线上的一点，∠ACD=150°，则∠B= .9．将一副直角三角板如上图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为 .10．一副三角板叠在一起如图放置，最小锐角的顶点D 恰好放在等腰直角三角板的斜边AB上，BC 与DE 交于点M ．若∠ADF=100°，则∠BMD 为 ．11．如图，在△ABC 中，∠B=47°，三角形的外角∠DAC 和∠ACF 的平分线交于点E ，则∠AEC=______.12．如图，∠ACD 是△ABC 的外角，∠ABC 的平分线与∠ACD 的平分线交于点A 1，∠A 1BC 的平分线与∠A 1CD 的平分线交于点A 2，…，如此下去，∠A n ﹣1BC 的平分线与∠A n ﹣1CD 的平分线交于点n A ．设∠A=θ．则∠A 1= ；n A = ．O 2O 1A BC 图1CB A 图2图3OO 1O 2O n-113．已知：如图1，在△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的角平分线交于点O ，则1902BOC A ∠=︒+∠1118022A =⨯︒+∠；如图2，在△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的两条三等分角线分别对应交于点1O 、2O ，则12118033BOC A ∠=⨯︒+∠，21218033BO C A ∠=⨯︒+∠；……；根据以上阅读理解，当n 等分角时，内部有1n -个交点，你以猜想1n BO C -∠=( ).(A)21180A n n ⨯︒+∠ (B)12180A n n ⨯︒+∠(C)118011n A n n ⨯︒+∠--(D)11180n A n n-⨯︒+∠14．在△ABC 中，∠C=∠ABC=2∠A ，BD 是AC 边上的高，BE 平分∠ABC ，求∠DBE 度数.第 四 讲 专题一：三角形题型训练（一）【知识要点】平行线、三角形内角和的综合运用 【新知讲授】例一、如图，在四边形ABCD 中，∠A=∠C=90°，BE 、DF 分别平分∠ABC 、∠ADC ，请你判断BE 、DF 的位置关系并证明你的结论.例二、如图，在四边形ABCD 中，∠A=∠C=90°，∠ABC 的外角平分线与∠ADC 的平分线交于点E ，请你判断BE 、DE 的位置关系并证明你的结论.例三、 如图，在四边形ABCD 中，∠A=∠C=90°，BE 、DF 分别平分∠ABC 、∠ADC 的外角，请你判断BE 、DF 的位置关系并证明你的结论.例四、如图，∠A=∠C=90°，∠ABC 的平分线与∠ADC 的平分线交于点E ，请你判断BE 、DE的位置关系并证明你的结论.FED C BAMEDCBAFNME DCBA EDC BA例五、如图，∠A=∠C=90°，BE 平分∠ABC ，DF 平分∠ADC 的的外角，请你判断BE 、DE 的位置关系并证明你的结论.例六、如图，∠A=∠C=90°，∠ABC 的外角平分线与∠ADC 的外角平分线交于点E ，请你判断BE 、DE 的位置关系并证明你的结论.例七、如图，△ABC 中，P 为BC 边上任一点，PD ∥AB ，PE ∥AC.（1）若∠A=60°，求∠DPE 的度数；（2）若EM 平分∠BEP ，DN 平分∠CDP ，试判断EM 与DN 之间的位置关系，写出你的结论并证明.例八、如图，△ABC 中，D 、E 、F 分别在三边上，∠BDE ＝∠BED ，∠CDF ＝∠CFD. （1）若∠A=70°，求∠EDF 的度数；（2）EM 平分∠BED ，FN 平分∠CFD ，若EM ∥FN ，求∠A 的度数.FMEDC BANME D CBA NM P EDC BANMFEDCBAA DCMBA DB EC BD A ECDB AC E F例九、如图，△ABC 中，D 、E 、F 分别在三边上，∠DBE ＝∠DEB ，∠DCF ＝∠DFC.（1）若∠A=70°，求∠EDF 的度数；（2）EM 平分∠BED ，FN 平分∠CFD ，若EM ∥FN ，求∠A 的度数.【题型训练】 1．如图1、图2是由10把相同的折扇组成的“蝶恋花”和“梅花”，图中的折扇完全打开且无重叠，则“梅花”图案中五角星的5个锐角的度数均为( ).(A) 36° (B) 42° (C) 45° (D) 48° 2．如图，在△ABC 中，∠B=∠C ，D 是BC 上一点，DE ⊥BC 交AC 于点E ，DF ⊥AB ，垂足为F ，若∠AED=160°，则∠EDF 等于( ).(A)50° (B)60° (C)70° (D)80°3．如图，△ABC 中，∠B=∠C ，∠BAD=32°，∠ADE=∠AED ，则∠CDE= .4．已知△ABC 中，∠ACB—∠B=90°，∠BAC 的平分线交BC 于E ，∠BAC 的外角的平分线交BC 的延长线于F ，则△AEF 的形状是 . 5．如图，AB ∥CD ，∠A=∠C ，AE ⊥DE ，∠D=130°，则∠B 的度数为 . 6．如图：点D 、E 、F 为△ABC 三边上的点，则∠1 +∠2 +∠3+∠4 +∠5 +∠6 = ．7．若一束光线经过三块平面镜反射，反射的路线如图所示，图中的字母表示相应的度数，若60c =︒，∠P=110°，则d e +的值为 ，x 的值 .8．如图，在平行四边形ABCD 中，∠BAD 的平分线交边BC 于点M ，连接MD ，且MD 恰好平分∠AMC ，若∠MDC=45°，则∠BAD= ，∠ABC= .NM F ED CB A第 四 讲 作 业1.如图，已知△ABC 的三个顶点分别在直线a 、b 上，且a ∥b ，若∠1=120°，∠2=80°，则∠3的度数是( ).(A)40° (B)60° (C)80° (D)120° 2．如图，BD ∥EF ，AE 与BD 交于点C ，若∠ABC=30°，∠BAC=75°，则∠CEF 的大小为( ). (A)60° (B)75° (C)90° (D)105° 3．如图，已知D 、E 在△ABC 的边上，DE ∥BC ，∠B=60°，∠AED=40°，则∠A 的度数为( ). (A)100° (B)90° (C)80° (D)70°4．已知，直线l 1∥l 2，将一块含30°角的直角三角板如图所示放置，∠1=25°，则∠2等于( ). (A)30° (B)35° (C)40° (D)45° 5．如图，将三角尺的直角顶点放在直线a 上，a∥b，∠1=50°，∠2=60°，则∠3的度数为( ).(A)50° (B)60° (C)70° (D)80°6．小明同学把一个含有45°角的直角三角板在如图所示的两条平行线上，测得α∠=120°，则的度数是( ). (A)45° (B)55° (C)65° (D)75°7.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°．D 为边CA 延长线上的一点，DE ‖AB,∠ADE=42°，则∠B 的大小为( ).(A) 42° (B) 45° (C) 48° (D)58°8．如图，B 处在A 处的南偏西45°方向，C 处在A 处的南偏东15°方向，C 处在B 处的北偏东80°方向，则∠ACB 等于（ ）(A)65° (B)72° (C)75° (D)78° 9．如图，已知AC ∥ED ，∠C=26°，∠CBE=37°，则∠BED 的度数是( ). (A)63° (B)83°(C)73° (D)53°m n ，β∠10．如图，已知a∥b，小亮把三角板的直角顶点放在直线b上．若∠1=40°，则∠2的度数为．11．如图，已知DE∥BC ，CD是∠ACB的平分线，∠B=70°，∠A=60°.（1）求∠EDC的度数；（2）求∠BDC度数.12．如图，∠DAB+∠D=180°，AC平分∠DAB，且∠CAD=25°，∠B=95°.(1)求∠DCA的度数；(2)求∠FEA的度数.13．如图，B处在A处的南偏西57°的方向，C处在A处的南偏东15°方向，C处在B处的北偏东82°方向，求∠C的度数.A北南CB第五讲专题一：三角形题型训练（二）知识点：三角形三边的关系定理：两边之和大于第三边；两边之差小于第三边三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°典型例题：1、已知ΔABC的周长为10，且三边长为整数，求三边的长。
八年级数学下册 等腰三角形与直角三角形复习(无答案)(新版)北师大版
等腰三角形与直角三角形一、等腰三角形性质的运用【例1】在等腰△ABC中，∠A=30°，AB=8，则AB边上的高CD的长是．对应训练二、线段垂直平分线【例2】如图．在Rt△ABC中，∠A=30°，DE垂直平分斜边AC，交AB于D，E是垂足，连接CD，若BD=1，则AC的长是（）A．．2 C． D．4对应训练2．（2012•贵阳）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交于BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则EF的长是（）A．3 B．2 C． D．1三、等边三角形的判定与性质【例3】如图，△ABC是边长为3的等边三角形，将△ABC沿直线BC向右平移，使B点与C 点重合，得到△DCE，连接BD，交AC于F．（1）猜想AC与BD的位置关系，并证明你的结论；（2）求线段BD的长．四、直角三角形【例4】将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上．另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，如图，则三角板的最大边的长为（）A．3cm B．6cm C． D．对应训练4．如图，在△ABC中，∠A=45°，∠B=30°，CD⊥AB，垂足为D，CD=1，则AB的长为（）A．2 B．五、勾股定理【例5】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是BC的中点，DE⊥BC，CE∥AD，若AC=2，CE=4，则四边形ACEB的周长为．对应训练六、三角形中位线定理【例6】如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，∠A=50°，∠ADE=60°，则∠C 的度数为（）A．50°B．60°C．70°D．80°对应训练6．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点，若AC+BD=24厘米，△OAB的周长是18厘米，则EF=厘米．【中考链接】一、选择题1．（2014•淄博）等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为（）A．20或16 B．20C．16 D．以上答案均不对3．（2013•攀枝花）如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，点P在x轴上，若以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有（）A．2个B．3个C．4个D．5个4．（2013•成都）如图，在△ABC中，∠B=∠C，AB=5，则AC的长为（）A．2 B．3 C．4 D．5二、填空题8．（2014年云南省）如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD⊥AC于点D，则∠CBD= ．第8题图第9题图9．（2013成外）如图，△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=1，顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上滑动，则点B到原点的最大距离是；三、解答题10．（2014年云南省）如图，在△ABC和△ABD中，AC与BD相交于点E，AD=BC，∠DAB=∠CBA，求证：AC=BD．11．（2013•永州）如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，延长BN 交AC于点D，已知AB=10，BC=15，MN=3（1）求证：BN=DN；（2）求△ABC的周长．12．（2013•威海）操作发现将一副直角三角板如图①摆放，能够发现等腰直角三角板ABC的斜边与含30°角的直角三角板DEF的长直角边DE重合．问题解决将图①中的等腰直角三角板ABC绕点B顺时针旋转30°，点C落在BF上，AC与BD交于点O，连接CD，如图②．（1）求证：△CDO是等腰三角形；（2）若DF=8，求AD的长．14.（2014•重庆）如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于点E．在△ABC外有一点F，使FA⊥AE，FC⊥BC．（1）求证：BE=CF；（2）在AB上取一点M，使BM=2DE，连接MC，交AD于点N，连接ME．求证：①ME⊥BC；②DE=DN．15.（2013•常德）已知两个共一个顶点的等腰Rt△ABC，Rt△CEF，∠ABC=∠CEF=90°，连接AF，M是AF的中点，连接MB、ME．（1）如图1，当CB与CE在同一直线上时，求证：MB∥CF；（2）如图1，若CB=a，CE=2a，求BM，ME的长；（3）如图2，当∠BCE=45°时，求证：BM=ME．专题二图形的旋转与平移中考真题选择题1.（2014•邵阳）某数学兴趣小组开展动手操作活动，设计了如图所示的三种图形，现计划用铁丝按照图形制作相应的造型，则所用铁丝的长度关系是（ ）A ．甲种方案所用铁丝最长B ．乙种方案所用铁丝最长C. 丙种方案所用铁丝最长D ．三种方案所用铁丝一样长2．（2014.舟山）如图，将△ABC 沿BC方向平移2cm 得到△DEF，若△ABC 的周长为16cm ，则四边形ABFD 的周长为( )(A)16cm (B)18cm (C)20cm (D)22cm3.（2014.绵阳）线段EF 是由线段PQ 平移得到的，点P （-1，4）的对应点为E （4，7），则点Q （-3，1）的对应点F 的坐标为（ ）A ．（-8，-2）B ．（-2，-2）C ．（2，4）D ．（-6，-1）4．（2014•义乌市）如图，将Rt△ABC 绕直角顶点C 顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接AA′，若∠1=20°，则∠B 的度数是（ ）A ．70° B．65° C．60° D．55°5．（2014•遂宁）如图，AD 是△ABC 中∠BAC 的角平分线，DE⊥AB 于点E ，S △ABC =7，DE=2，AB=4，则AC 长是（ ）A ．3B ．4C ．6D ．5 6．（2014•大庆）如图，边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转45°后得到正方形AB 1C 1D 1，边B 1C 1与CD 交于点O ，则四边形AB 1OD 的面积是（ ）3.4A 12B 1C 1D填空题7 （2013.安岳）夏季荷花盛开，为了便于游客领略“人从桥上过，如在河中行”的美好意境，某景点拟在如图所示的矩形荷塘上架设小桥．若荷塘周长为280m ，且桥宽忽略不计，则小桥总长为_______m ．8. （2014济南）如图，将边长为12的正方形ABCD 是沿其对角线AC 剪开，再把△ABC 沿着AD 方向平移，得到△D 1E 1F 1，当两个三角形重叠的面积为32时，它移动的距离AA 1等于________.9．（2014.江苏）如图，在△ABC 中，AB=4，BC=6，∠B=60°，将三角形ABC 沿着射线BC 的方向平移2个单位后，得到三角形△A ′B ′C ′，连接A′C，则△A ′B ′C的周长为______。
2018年七年级升八年级数学 暑期衔接班讲义 第十六讲 等边三角形(基础)(无答案) 新人教版
AC B E FD D CA B 第十六讲：等边三角形（基础）；第一部分【能力提高】一、如图，在等腰Rt △ABC 中，AC=BC ，∠ACB=90°，分别以AC 、BC 为边作等边△ACD 、等边，求∠BED 的度数.二、如图，D 为等边△ABC 内一点，AD=BD ，∠CBD=∠EBD ，BE=BC ，求∠E 的度数.三、如图，在等边△ABC 中，D 、E 分别在边BC 、AC 上，且BD=CE ，AD 、BE 交于F 点.（1）求证：AD=BE ； （2）过E 作EH ⊥AD 于点H ，求HF EF的值；四、如图，△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=120°，AD ⊥AC 交BC•于点D ，•求证：•BC=3AD.A B C D E A D EAC B ED A C B ED五、如图，已知∠ABC=90°，△ABE 是等边三角形，点P 为射线BC 上任意一点（点P 与点B不重合），连结AP ，将线段AP 绕点A 逆时针旋转60°得到线段AQ ，连结QE 并延长交射线BC 于点F ，当点P 在BC 上运动时，猜想∠QFC 的度数是否改变？证明你的结论.六、如图，等边△ABC 中，D 为AC 的中点，E 为BC 延长线上一点，DB=DE.（1）求证：AD=CE ；（2）若D 为AC 边上任意的一点，其它条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？证明你的结论.AC B P A C B P AC B P A第二部分【综合运用】七、（1）如图，等边△ABC ，P 为形外一点，∠BPC=120°.求证：①∠APB=∠APC=60°；②PB+PC+PA.（2）如图，等边△ABC ，P 为形外一点，∠APB=60°. 求证：①∠APC=60°；②PB+PC+PA.（3）如图，等边△ABC ，P 为形外一点，AP 平分∠BPC. 求证：①∠APB=∠APC=60°；②PB+PC+PA.（4）如图，在△ABC 中，∠BAC=60°，P 为形外一点，∠APB=∠APC=60°. 求证：①△ABC 为等边三角形；②PB+PC+PA.AC B P AC B PBD C A（5）如图，等腰△ABC 中，AB=AC ，P 为形外一点，∠APB=∠APC=60°. 求证：①△ABC 为等边三角形；②PB+PC+PA.（6）如图，在△ABC 中，∠ABC=60°，P 为形外一点，∠APB=∠APC=60°. 求证：①△ABC 为等边三角形；②PB+PC+PA.第 16 讲 作 业一．选择题1．下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；•③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；•④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中能判定该三角形是等边三角形的有( ).(A)①②③ (B)①②④ (C)①③ (D)①②③④2．已知直角三角形中30°角所对的直角边为2㎝，则斜边的长为( ).(A)2 ㎝ (B)4 ㎝ (C)6 ㎝ (D)8㎝3．Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，∠B=30°，AD=2cm ，则AB 的长度是( ).(A)2cm (B)4cm (C)8cm (D)16cm4. 在△ABC 中，∠B=30°，∠C=45°，AD ⊥BC 于D ，CD=2CM ，则AB 长为( ). (A)2cm (B)3cm (C)4cm (D)5cm 5．如图，Rt △ABC 中，∠A=30°，BD 平分∠ABC ，若AD=8，则CD=( ).(A)2cm (B)3cm (C)4cm (D)5cm 6．等腰三角形一腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半，则其顶角等于( ).(A)30° (B)30°或150° (C)120°或150° (D)30°或120°或150°二．填空题A P CB M E F N D 21AC B ED BE D C A AE D C B D C A B 7．△ABC 中，∠B=∠C=15°，AB=2cm ，CD ⊥AB 交BA 的延长线于点D ，•则CD•的长度是_______．8．如图C 为线段AB 上的一点，分别以AC 、BC 为边在AB 的同侧作等边△ACD 和等边△BCE ，连结CD ，且CD ⊥DE ，若AB=9，则AC=_______．9．如图，△ABC 中，AB=AC ，∠A=120°，AB 的垂直平分线交BC 于D ，若BC=12，则DE=_______．10．如图，等边△ABC 中，AC=9，AO=3，P 为AB 上的一个动点，将线段OP 绕O 点逆时针顺序旋转60°得到线段OQ ，要使点落在BC 上，则AP 的长为_______． 三、解答题11．如图，D 、E 、F 分别在等边△ABC 的三边上，且AD=BE=CF ，求证：△DEF•为等边三角形.12．如图，D 、E 、F 分别是等边△ABC 各边上的点，且AD=BE=CF ，连接AF 、BD 、CE 分别交于M 、N 、P 三点，求证：△PMN 为等边三角形.13．如图，E 是等边△ABC 中AC 边上的点，∠1=∠2，BE=CD ，求证：△ADE 为等边三角形.14. 如图，△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=120°，AD ⊥AC 交BC•于点D ，•求证：•BC=3AD.。
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D A M E
C B
第十五讲：等腰直角三角形
如图，在等腰Rt △ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°，AD ⊥BC 于点D. 基本性质：1．边：AB=AC ，DA=DB=DC=
1
2
BC ； 2．角：∠BAC=∠ADB=∠ADC=90°； ∠B=∠C=∠BAD=∠CAD=45°；
3．形：等腰Rt △ABC ，等腰Rt △ABD ，等腰Rt △ACD.
第一部分【能力提高】
一、如图，M 为等腰Rt △ABC 斜边BC 的中点，D 为AB 上一点，ME ⊥MD 交直线AC 于点E.
（1）求证：MD=ME ；
其它结论：①AD+AE=AB ；②BD+CE=AB ；③△MDE 为等腰直角三角形；④1
2
ABC
ADME S S
四.
（2）如图，若D 为AB 反向延长线上一点，其它条件不变， 请完成图形并探究（1）中
的结论.
二、如图，已知点D 为等腰直角△ABC 内一点，∠CAD =∠CBD =15°，E 为AD 延长线上的一点，
且CE=CA ．
（1）求证：DE 平分∠BDC；
（2）若点M 在DE 上，且DC=DM ，求证：ME=BD ．
D
A
E C B A N
M P E C
B D E A
C B
图1三、如图，M 为等腰Rt △ABC 直角边AC 的中点，AE ⊥BD 交BC 于点E ，连结DE. （1）求证：①∠ADB=∠CDE ；②AE+DE=BD ；
（2）如图2，若AM=CN ，AE ⊥BM 交BC 于点E ，BM 、EN 交于点P.
求证：①∠AMB=∠CNE ；②AE+PE=BP.
四、如图1，在等腰Rt △ABC 中，D 为直线BC 上一点，过点D 作AD 的垂线DE ，过点B 作AB
的垂线BE.
（1）求证：AD=DE ；
E B D A C C A D B E
图2图3
A D
B E
E
B
D
A C
C
A
D
B
E 图4
图5
图6
（2）拓展变化一：图形的演变（纵深演变）
如图2和图3中，当D 分别在BC 的延长线或反向延长线上时，求证：AD=DE ；
（3）拓展变化二：条件的演变（横向演变）
如图4，图5，图6中，等腰Rt △ABC 中，D 为直线BC 上一点，以AD 为腰作等腰Rt △ADE ，连接BE ，求证AB ⊥BE.
A C
P
A C
P
A C
P
第二部分【综合运用】
五、（1）如图，等腰Rt △ABC 中，AC=BC ，∠ACB=90°，P 为△ABC 形外一点，∠APB=90°，
求证：∠APC=∠BPC=45°；
（2）如图，等腰Rt △ABC 中，AC=BC ，∠ACB=90°，P 为△ABC 形外一点，∠APC=45°，
求证：∠APB=90°；
（3）如图，等腰Rt △ABC 中，AC=BC ，∠ACB=90°，P 为△ABC 形外一点，CP 平分∠APB ，
求证：∠APB=90°（∠APC=∠BPC=45°）；
A
C
P A
C
P
A
C
H
P B
（4）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，P为△ABC形外的一点，∠APC=∠BPC=45°，求证：AC=BC；
（5）如图，在等腰△ABC中，AC=BC，P为△ABC形外的任一点，且∠APC=∠BPC=45°，求证：∠ACB=90°；
（6）如图，在（1）～（5）的条件下，过C作CH⊥AP于点H.
求证：①PA+PB=2PH；②PA-PB=2AH；
A
C
H
P
D
A
C
B
E
O
D
A
C
B
M E
N
（7）如图，当P点、C点在直线AB的同侧，类同（1）～（6）的条件、结论，进行探究.
六、如图，以任意△ABC的两边AB、AC为腰作两个等腰Rt△ABD和等腰Rt△ACE，连接BE、
CD交于点O.
（1）求证：BE=CD；
（2）求∠BOC的度数；
（3）连接AO，求证：AO平分∠DOE；
（4）M、N分别为CD、BE的中点，判断△AMN的形状，并证明你的结论.。