初升高数学衔接班教案(教师版)韦达定理的运用
教案韦达定理
教案韦达定理TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】教案：韦达定理（一）王伟光一、教学目标1．通过根与系数的关系的发现与推导，进一步培养学生分析、观察、归纳、猜想的能力和推理论证的能力；2．通过本节课的学习，向学生渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律。
培养逻辑思维及创新思维能力。
二、教学重点、难点1．教学重点：根与系数的关系的发现及其推导．2．教学难点：韦达定理的灵活应用．x2+2x﹣4=0 3x2+2x﹣6=0 2x2﹣5x﹣3=0x 1+x2=? x1+x2=? x1+x2=?x 1x2=? x1x2=? x1x2=?问题1：对于一元二次方程的一般式ax2+bx+c=0（a≠0）是否也具备这个特征？x1+x2=-，x1·x2=，如何推导一元二次方程两根和与两根积和系数的关系？设x1、x2是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根．∴aacbbx2421-+-=，aacbbx2422---=.()042≥-acb由此得出，一元二次方程的根与系数的关系．（一元二次方程两根和与两根积与系数的关系）—韦达定理三：韦达定理内容：韦达定理说的是：设一元二次方程()2ax +bx+c=0a 0≠有二实数根12x x ，，则1212b cx +x =x x =a a-⋅，。
这两个式子反映了一元二次方程的两根之积与两根之和同系数a ，b ，c 的关系。
其逆命题：如果12x x ，满足1212bc x +x =x x =a a-⋅，，那么12x x ，是一元二次方程()2ax +bx+c=0a 0≠的两个根也成立。
四：韦达定理应用：韦达定理及其逆定理作为一元二次方程的重要理论在初中数学教学和中考中有着广泛的应用。
金鼎培训将其应用归纳为：①不解方程求方程的两根和与两根积； ②求对称代数式的值； ③构造一元二次方程； ④求方程中待定系数的值； ⑤在平面几何中的应用；⑥在二次函数中的应用等。
初高中数学衔接课程教案3.6一元二次方程⑵
3.6一元二次方程⑵同学们,大家好:今天和大家一起来复习一元二次方程第2课——韦达定理.请大家回忆:一元二次方程ax 2+bx+c =0(a ≠0)的两个根是x 1,x 2,则x 1+x 2=_______,x 1·x 2=________.韦达定理:一元二次方程ax 2+bx+c =0(a ≠0)的两个根是x 1,x 2,则x 1+x 2=－b a ,x 1·x 2=c a. 韦达定理在高中数学中运用非常广,看它的应用.例1 已知一元二次方程x 2－3x+m=0有一个根是4,求方程的另一个根.解1:x=4代入方程得42－3×4+m=0,得m=－4,∴原方程为x 2－3x －4=0,解得x 1=4,x 2=－1.解2:设方程另一根为x 2,由韦达定理知,4+x 2=3∴x 2=－1.注:①涉及一元二次方程根问题,先考虑用韦达定理.例2 已知方程x 2+2x －2015=0两根x 1,x 2,求下列各式的值.⑴x 12+x 22; ⑵1x 1+1x 2; ⑶(2x 1－1)(2x 2－1); ⑷|x 1－x 2|分析:此题如果直接求x 1,x 2,再代入各式,太繁,应该用韦达定理来解.解:∵方程x 2+2x －2015=0两根x 1,x 2,∴x 1+x 2=－2,x 1·x 2=－2015⑴x 12+x 22=(x 1+x 2)2－2x 1·x 2=(－2)2－2(－2015)=4034.⑵1x 1+1x 2=x 1+ x 2x 1x 2=－2－2015=22015; ⑶(2x 1－1)(2x 2－1)=4x 1·x 2－2(x 1+x 2)+1=4(－2015)－2(－2)+1=－8055;⑷|x 1－x 2|=(x 1+x 2)2－4x 1·x 2=(－2)2－4(－2015)=8122注:②此题体现高中数学中一种重要的方法:整体代换;③将所给关于x 1,x 2的代数式,用x 1+x 2,x 1·x 2表示,是今后经常遇到的题型,大家要认真体会,熟练掌握.例3 已知关于x 的方程x 2－x+a －4=0,根据下列条件,求a 的取值范围.⑴方程两个实根都大于0;⑵方程两个实根,一个大于0,另一个小于0;⑶方程两个实根,一个大于3,另一个小于3.分析:如果求出两根,是无理根,再解无理不等式,太难,还是用韦达定理.解:设方程两实数根为x 1,x 2,由韦达定理知, x 1+x 2=1,x 1·x 2=a －4.⑴∵两根都大于0∴⎩⎪⎨⎪⎧ Δ=1－4(a －4)≥0x 1+x 2=1>0x 1·x 2=a －4>0解得⎩⎨⎧a ≤174a>4∴4<a ≤174. ⑵∵两根一个大于0,另一个小于0 ∴⎩⎨⎧ Δ=1－4(a －4)>0x 1·x 2=a －4<0解得⎩⎨⎧ a<174a<4∴a<4.⑶分析:此题能直接用x 1+x 2,x 1·x 2来解题吗?不行,要利用x 1－3,x 2－3来求解.⑶解∵两根一个大于3,另一个小于3∴⎩⎨⎧ Δ=1－4(a －4)>0(x 1－3)(x 2－3)<0∴⎩⎪⎨⎪⎧ a<174x 1x 2－3(x 1+x 2)+9<0∴⎩⎪⎨⎪⎧ a<174(a －4)－3+9<0解得⎩⎪⎨⎪⎧a<174a<－2∴a<－2.小结:本节课我们一起复习了一元二次方程的韦达定理,它在高中数学中非常重要,大家会学会用x 1+x 2,x 1·x 2表示含x 1,x 2的代数式,会用韦达定理解有关一元二次方程根的问题. 下面给大家留一份课后练习,请大家及时完成.。
初高中数学衔接课程讲义-新高一数学讲义 韦达定理专题
新高一数学讲义 韦达定理专题【知识点睛】1、若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）有两个实数根1x =，2x =，则有 122222b b b b x x a a a a ---+=+==-；221222(4)444b b ac ac c x x a a a--====．所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系： 如果ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝b a -，x 1·x 2＝c a．这一关系也被称为韦达定理．注意：韦达定理应用的前提是0≥∆补充定理：||||21a x x ∆=-【例题精讲】【例题1】已知方程2560x kx +-=的一个根是2，求它的另一个根及k 的值．【例题2】关于x 的方程x 2＋4x ＋m ＝0的两根为x 1，x 2满足| x 1－x 2|＝2，求实数m 的值．【例题3】已知关于x 的方程x 2＋2(m －2)x ＋m 2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m 的值．【例题4】一元二次方程042=+-a x x 有两个实根，一个比3大，一个比3小，求a 的取值范围.【巩固练习】1、下列四个说法：①方程x 2＋2x －7＝0的两根之和为－2，两根之积为－7；②方程x 2－2x ＋7＝0的两根之和为－2，两根之积为7；③方程3 x 2－7＝0的两根之和为0，两根之积为73-； ④方程3 x 2＋2x ＝0的两根之和为－2，两根之积为0．其中正确说法的个数是 （ ）（A ）1个 ; （B ）2个 ; （C ）3个 ; （D ）4个.2、已知方程x 2－3x －1＝0的两根为x 1和x 2，求(x 1－3)( x 2－3)的值．3、若x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x －3＝0的两根．（1）求| x 1－x 2|的值； （2）求221211x x +的值； （3）x 13＋x 23．4、若关于x 的方程x 2＋x ＋a ＝0的两个根，一个大于1、另一根小于1，求实数a 的取值范围．【学习巩固】【练习1】（1）方程kx 2＋4x －1＝0的两根之和为－2，则k ＝ ；（2）方程2x 2－x －4＝0的两根为α，β，则α2＋β2＝ ;（3）已知关于x 的方程x 2－ax －3a ＝0的一个根是－2，则它的另一个根是 ；（4）方程2x 2＋2x －1＝0的两根为x 1和x 2，则| x 1－x 2|＝ ．【练习2】 一元二次方程2(1)210k x x ---=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是( )A ．2k >B ．2,1k k <≠且C ．2k <D ．2,1k k >≠且【练习3】 若12,x x 是方程22630x x -+=的两个根，则1211x x +的值为 ( )A ．2B ．2-C ．12D ．92【练习4】 若方程22(1)30x k xk -+++=的两根之差为1，则k 的值是 _____ ．【练习5】 设12,x x 是方程20x p x q ++=的两实根，121,1x x ++是关于x 的方程20x q x p ++=的两实根，则p = ____ ，q = _____ ．【练习6】求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程x 2－7x －1＝0各根的相反数.【练习7】 已知关于x 的一元二次方程2(41)210x mx m +++-=．(1) 求证：不论m 为何实数，方程总有两个不相等的实数根； (2) 若方程的两根为12,x x ，且满足121112x x +=-，求m 的值．【练习8】一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根为x 1和x 2．求：x 13＋x 23．【练习9】已知关于x 的方程x 2－kx －2＝0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两根为x 1和x 2，如果2(x 1＋x 2)＞x 1x 2，求实数k 的取值范围．【练习10】已知12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根．(1) 是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由; (2) 求使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值．【家庭作业】【练习1】（1）若m，n是方程x2＋2005x－1＝0的两个实数根，则m2n＋mn2－mn的值等于；（2）如果a，b是方程x2＋x－1＝0的两个实数根，那么代数式a3＋a2b＋ab2＋b3的值是.【练习2】已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程2x2－8x＋7＝0的两根，则这个直角三角形的斜边长等于（）（A（B）3 ；（C）6；（D）9.【练习3】已知关于x的方程22(2)04mx m x---=．（1）求证：无论m取什么实数时，这个方程总有两个相异实数根；（2）若这个方程的两个实数根x1，x2满足|x2|＝|x1|＋2，求m的值及相应的x1，x2．。
高一数学初高中衔接学案：韦达定理
初高中衔接——一元二次方程根与系数的关系【知识要点】一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：2224()24b b ac x a a-+= (1) 当240b ac ->时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实数根：x =(2) 当240b ac -=时，右端是零．因此，方程有两个相等的实数根：1,22b x a=- (3) 当240b ac -<时，右端是负数．因此，方程没有实数根．由于可以用24b ac -的取值情况来判定一元二次方程的根的情况．因此，把24b ac -叫做一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的根的判别式，表示为：24b ac ∆=-韦达定理：如果一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为12,x x ，那么：1212,b cx x x x a a+=-=【例1】不解方程，判断下列方程的实数根的个数： (1) 22310x x -+=(2) 24912y y +=(3) 25(3)60x x +-=说明：在求判断式时，务必先把方程变形为一元二次方程的一般形式．【例2】已知关于x 的一元二次方程2320x x k -+=，根据下列条件，分别求出k 的范围： (1) 方程有两个不相等的实数根；(2) 方程有两个相等的实数根 (3)方程有实数根； (4) 方程无实数根．【例3】已知实数x 、y 满足22210x y xy x y +-+-+=，试求x 、y 的值．【例4】若12,x x 是方程2220160x x +-=的两个根，试求下列各式的值：(1) 2212x x +；(2)1211x x +； (3) 12(5)(5)x x --； (4) 12||x x -【巩固练习】1．一元二次方程2(1)210k x x ---=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是()A ．2k >B ．2,1k k <≠且C ．2k <D ．2,1k k >≠且2．若12,x x 是方程22630x x -+=的两个根，则1211x x +的值为 3．如果方程2()()()0b c x c a x a b -+-+-=的两根相等，则,,a b c 之间的关系是 ______ 4．已知一个直角三角形的两条直角边的长恰是方程22870x x -+=的两个根，则这个直角三角形的斜边长是 _______ ．5．若方程22(1)30x k x k -+++=的两根之差为1，则k 的值是 _____ ．6．已知实数,,a b c 满足26,9a b c ab =-=-，则a = _____ ，b = _____ ，c = _____ ． 7．若0n >，关于x 的方程21(2)04x m n x mn --+=有两个相等的的正实数根，求mn的值．8．已知关于x 的一元二次方程2(41)210x m x m +++-=．(1) 求证：不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；(2) 若方程的两根为12,x x ，且满足121112x x +=-，求m 的值．。
韦达定理及其应用课件-2022年初高衔接数学
方法总结
当 = −1时，
方程为 2 − 16 + 5 = 0，∆> 0满足题意；
当 = 17时，
方程为 2 + 30 + 293 = 0，
∆= 302 −4 × 1 × 293 < 0 ，不满足题意，
所以舍去；
综上所述： 的值为−1.
点拨精讲
变式探究2：
已知1 和2 一元二次方程4 2 − 4 + + 1 = 0的
则有
−± 2 −4
，
2
−+ 2 −4
−− 2 −4
−2
1 + 2 =
+
=
=− ；
2
2
2
−+ 2 −4 −− 2 −4
2 −( 2 −4)
1 ∙ 2 =
∙
=
2
2
42
4
= 2= ；
4
知识梳理
所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：
因此这两个数是−2和6.
总结提炼
本节课重点研究了一元二次方程韦达定理的
综合应用，能够利用韦达定理求一些与实数根有
关代数式的值，并能够利用根的情况逆向构造所
需要的一元二次方程，这种思想的渗透与领悟希
望大家细细品味，学会用数学的眼光思考世界！
项系数为1）是 2 −(1 + 2 ) + 1 ∙ 2 = 0.
点拨精讲
探究一：已知方程求代数式的值
例1、 若1 和2 分别是一元二次方程2 2
＋5－3＝0的两根，试求下列各式的值：
（1）(1 − 5)(2 − 5)
（2）|1 − 2 |
教案韦达定理
教案：韦达定理（一）张其生一、教学目标1．通过根与系数的关系的发现与推导，进一步培养学生分析、观察、归纳、猜想的能力和推理论证的能力；2．通过本节课的学习，向学生渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律。
培养逻辑思维及创新思维能力。
二、教学重点、难点1．教学重点：根与系数的关系的发现及其推导． 2．教学难点：韦达定理的灵活应用． 三、教学过程（一）定理的发现及论证323,2310x x αβαβ--=+提出问题：已知是方程的两根，如何求的值你能否写出一个一元二次方程，使它的两个根分别为 1）2和3 2）—4和7问题1：从求这些方程的过程中你发现根与各项系数之间有什么关系？ 学生：如果方程x 2+px+q=0有两个根是x 1,x 2 那么有x 1+ x 2=-p, x 1 •x 2=q. 观察、思考、探索：2x2-5x+3=0,这个方程的两根之和，两根之积与各项系数之间有什么关系？请猜想？学生：x1+ x2=52, x1•x2=32教师：如何验证？问题2；对于一元二次方程的一般式ax2+bx+c=0（a≠0）是否也具备这个特征？学生：x1+x2=-，x1·x2=，教师：如何推导一元二次方程两根和与两根积和系数的关系？学生：设x1、x2是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根．∴a acbbx24 21-+-=，aacbbx2422---=.()042≥-acb由此得出，一元二次方程的根与系数的关系．（一元二次方程两根和与两根积与系数的关系）—韦达定理韦达（法国1540－1603）结论1．如果ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根是x1，x2，那么x1我们就可把它写成x 2+px+q=0．结论2．如果方程x 2+px+q ＝0的两个根是x 1，x 2，那么 x 1＋x 2＝-p ，x 1·x 2=q ．结论1具有一般形式，结论2有时给研究问题带来方便． （二）定理的应用例1、关于x 的方程x 2-2x +m=0 的一根为2 ，求另一根和m 的值。
韦达定理教案
韦达定理教案教案标题：探索韦达定理教学目标：1. 了解并理解韦达定理的概念和应用。
2. 掌握使用韦达定理解决三角形相关问题的方法。
3. 培养学生的逻辑思维和问题解决能力。
教学重点：1. 韦达定理的定义和基本概念。
2. 韦达定理在解决实际问题中的应用。
教学难点：1. 学生对于韦达定理的应用理解深度。
2. 学生在解决实际问题时的思考和分析能力。
教学准备：1. 教师准备教学投影仪，展示相关示意图和计算过程。
2. 准备课本和练习题集等教材资料。
3. 给学生准备纸和笔，以及计算器。
教学过程：引入（5分钟）：1. 教师可以通过一个简单有趣的问题来引起学生对韦达定理的兴趣。
例子：在平面内，有三条线段，它们分别连接一个点和一个普通的五边形的三个顶点。
这三个线段的长度分别是3、4和5，那么这个五边形的面积是多少呢？2. 引导学生思考可能的解决方法，引出韦达定理。
讲解与示范（15分钟）：1. 通过示意图和具体的数学推导，讲解韦达定理的定义和公式表达方式。
2. 给出韦达定理的一些示例问题，并详细解答过程。
3. 强调韦达定理在解决实际问题中的应用，如测量三角形的边长、面积等。
实践与巩固（20分钟）：1. 学生个别或分组完成一些练习题，检验对韦达定理的理解和应用能力。
2. 提供不同难度的问题，鼓励学生运用韦达定理解决实际场景中的三角形问题。
总结与拓展（10分钟）：1. 教师与学生总结韦达定理的要点和应用方法。
2. 引导学生思考并讨论韦达定理的拓展应用，如四边形、多边形等。
课后作业：1. 布置一些与韦达定理相关的作业题，以巩固学生的学习成果。
2. 鼓励学生在实际生活中观察和应用韦达定理。
教学资源：1. 教师投影仪、示意图PPT等。
2. 课本和练习题集等教材。
3. 白板和彩色笔等。
评估与反馈：1. 教师针对学生的课堂表现和作业完成情况进行评估，并及时给予反馈。
2. 针对学生对韦达定理的理解程度和问题解决能力，进行个别指导和辅导。
韦达定理的教案
韦达定理的教案教案标题：韦达定理的教案教学目标：1. 理解韦达定理的概念和应用。
2. 掌握使用韦达定理解决三角形边长和角度的方法。
3. 培养学生的逻辑思维和问题解决能力。
教学重点：1. 韦达定理的定义和公式推导。
2. 运用韦达定理解决实际问题。
3. 引导学生进行逻辑推理和问题解决。
教学难点：1. 理解韦达定理的几何意义。
2. 运用韦达定理解决复杂的三角形问题。
教学准备：1. 教师准备：教学投影仪、计算器、教学课件、实物三角形模型。
2. 学生准备：课本、笔记本、铅笔、直尺、量角器。
教学过程：引入：1. 引导学生回顾勾股定理的概念和应用，并与韦达定理进行对比。
2. 提问：你们知道韦达定理是什么吗？它有什么作用？讲解：1. 通过教学投影仪展示韦达定理的定义和公式推导过程，并解释其几何意义。
2. 引导学生理解韦达定理的应用场景，如计算三角形的边长和角度。
示范：1. 通过实物三角形模型，展示如何使用韦达定理计算三角形的边长和角度。
2. 指导学生进行模仿实践，自主解决一些简单的韦达定理问题。
练习：1. 分发练习题，包括计算三角形边长和角度的各种情况。
2. 引导学生在小组内讨论解题思路，并互相检查答案。
拓展：1. 提供一些复杂的韦达定理问题，鼓励学生进行深入思考和解决。
2. 鼓励学生在解题过程中进行逻辑推理和问题分析，培养其问题解决能力。
总结：1. 总结韦达定理的定义和应用，并强调其在几何问题中的重要性。
2. 鼓励学生将所学知识应用到实际生活中，如测量建筑物高度等。
作业：1. 布置相关的作业题目，巩固学生对韦达定理的理解和应用能力。
2. 鼓励学生在作业中提出自己的问题，并积极探索解决方法。
教学反思：1. 回顾本节课的教学过程和效果，总结教学中存在的问题和不足。
2. 提出改进措施，并在下一次教学中加以改进。
通过以上教案的设计和实施，学生将能够全面理解韦达定理的概念和应用，并能够运用韦达定理解决各种三角形问题。
同时，通过引导学生进行逻辑思维和问题解决的训练，培养其综合素质和学习能力。
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方程与方程组以及不等式
韦达定理
一、 【归纳初中知识】
1、一元二次方程的解法在初中时我们已学习过配方法、公式法、因式分解法等主要解法。
2、对于任意的一元二次方程)0(02
≠=++a c bx ax ，通过判别式ac b 42-=∆能够判断其方程解的个数。
二、 【衔接高中知识】
我们已经知道)0(02
≠=++a c bx ax 如果有两个解，则其分别为； a ac b b x 2421-+-=，a
ac b b x 2422---= 则我们可以得到⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=-=+a c x x a b x x 2121 上面揭示了二次方程的根与系数c b a ,,之间关系的等式我们叫做韦达定理，韦达定理在未来高中三年的学习中占据着非常重要的地位。
反之，若21,x x 满足⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=-=+a c
x x a b x x 2121，则我们可以说21,x x 一定是)
0(02≠=++a c bx ax 的两个解，这叫做韦达定理的逆定理。
三、 【例题精讲】
例1：若21,x x 是0122=-+x x 的两个根，求：
（1）2221x x +；（2）22
2111x x +；（3）21x x -；（4）3231x x +,. 解析：略，注意a
x x x x x x ∆=-+=-21221214)(
例2：任意写出一个二次方程，使得它的两个根分别为5-和
32. 解析：0)32)(5(=-+x x 或03103132=-+
x x
例3：已知关于x 的方程014
1)1(22=+++-k x k x ，根据下列条件，分别求出满足条件的k 值.
（1）方程两实根之积为5；（2）方程两实根满足21x x =.
解析：（1）451410)141(4])1([22122=⇒⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=+=≥+-+-=∆k k x x k k （2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⇒⎪⎩
⎪⎨⎧>⇒>∆-=⇒=+=⇒=∆⇒=⇒=无解23010230212121k k x x k x x x x 综上，若21x x =，则2
3=
k
例4：若21,x x 是方程02324222=-++-m m mx x 的两个根，当m 为何值时，2221x x +取得最小值？请你求出这个最小值 解析：23222322)2(2)(222
212212221+-=-+⋅-=-+=+m m m m m x x x x x x 当43=m 时，有最小值8
7 例5：已知关于x 的方程04)2(222=++-+m x m x 有两个实数根，并且两根平方和比两根
之积大21，求m 的值.
解析：1017163)(221221212221-=⇒⎩
⎨⎧≥∆--=-+=-+m m m x x x x x x x x
例6：若关于x 的方程02=++a x x 有两个根：
（1）当其中一个大于1，另一个小于1时，求a 的取值范围；
（2）当两个根都小于1时，求a 的取值范围.
解析：（1）由已知设0)1)(1(1,12121<--⇒<>x x x x 且0>∆
所以20
41021)()1)(1(212121-<⇒⎩⎨⎧>-<+=++-=--a a a x x x x x x （2）法一：41204102)1)(1(21≤<-⇒⎩⎨⎧⇒
≥-=∆>+=--a a a x x 法二：借鉴二次函数图形，根据两根均小于1可知当1=x 时，函数值011>++a ，同时也需满足0≥∆
例7：若21,x x 是方程01)12(22=+++-k x k x 的两实数根，且均大于1.
（1）求实数k 的取值范围；
（2）若2
121=x x ，求k 的值 解析：（1）143430)1(4)12(101)12(1)1)(1(22221≠≥⇒⎪⎩
⎪⎨⎧≥⇒≥+-+=∆≠⇒>++-+=--k k k k k k k k x x 且 （2）)(171)12(29219)12(3122221
221212121舍去或==⇒++=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+==+⇒=+=+k k k k x k x x x k x k x x
***例8：已知b a ,是一元二次方程012=--x x 的两个实数根，求)2(2
2-+b a a 的值. 解析：120
101222-=-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=--=--b b b b a a 01)1()2(2222=+=+-=-+=-+∴ab ab a a b a a b a a
课后习题
1、关于x 的一元二次方程0522=++-a a x ax 其中一个根是0，则a =10-或
2、关于x 的方程07)3(102=-++-m x m x ：
（1）若有一个根为0，则7=m ，此时方程另一个根为：1
（2）若两根之和为53-
，则9-=m ，此时方程两个根分别为：1,58- 3、方程01222=-+x x 的两根为21,x x ，则321=-x x
4、设21,x x 为方程02=++q px x 的两根，且1,121++x x 为方程02
=++p qx x 的两根，则________________,==q p 解析：由题意有⎩⎨⎧-=-=⇒⎩⎨⎧=++--=+-⇒⎩⎨⎧=++-=++⎩⎨⎧=-=+3112)1)(1(221
212121q p p q p q p p x x q x x q x x p x x 和 *5、已知实数c b a ,,满足b a -=6，92
-=ab c ，则____________,______,===c b a 解析：由题意有的两根是方程096,9
6222=++-⇒⎩⎨⎧+==+c x x b a c ab b a 300)9(4362==⇒=⇒≥+-=∆∴b a c c
***6、若1≠ab ，且09201952=++a a ，05201992=++b b ，则9
5=a b 解析：的两根为方程09201951,091201915092019509120191505201992222=++⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+⋅+⋅=++=+⋅+⋅
⇒=++x x b a b b
a a
b b b b
故5
9=b a 7、已知关于x 的方程)0(02≠=++a c bx ax 两根之比为5:3，求证：21564b ac = 证明：设222222121211564156415641585,3b ac ac b a c a b a c
k x x a b k x x k x k x =⇒=⇒=⇒⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧==-==+⇒==
8、已知方程05)2(22
2=-+--a x a x 有实数根，且两根之积等于两根之和的2倍，求a 解析：由题意⎪⎩⎪⎨⎧==⇒-=-⇒+=≤⇒≥---⇒≥∆)(31)2(45)(24
90)5(4)2(402212
122舍去或a a a a x x x x a a a 综上，1=a
9、若一元二次方程04)1(2=++-x m x 的两个根均满足30≤≤x ，求m 的取值范围 法一：借助函数图像可知：
①当3,0==x x 时函数值均0≥3
1004)1(39≤⇒≥++-⇒m m ②350≥-≤⇒≥∆m m 或 ③对称轴5132
10≤≤-⇒≤+≤
m m 综上，3103≤≤m
法二：设两根为21,x x ，则有31033
503100)3)(3(51602121≤≤⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-≤⇒≥∆≤⇒≥--≤≤-⇒≤+≤m m m m x x m x x 或。