初中数学代数复习之韦达定理

代数复习三-----------一元二次方程根与系数的关系

现行初中数学教材主要要求学生掌握一元二次方程的概念、解法及应用，而一元二次方程的根的判断式及根与系数的关系，在高中教材中的二次函数、不等式及解析几何等章节有着许多应用．本节将对一元二次方程根的判别式、根与系数的关系进行阐述．

一）、一元二次方程的根的判断式∆

一元二次方程2

0 (0)a x

b x

c a ++=≠，

用配方法将其变形为：

(1) 当240b ac ->时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实数根：

(2) 当240b ac -=时，右端是零．(3) 当240b ac -<时，右端是负数．因此，方程没有实数根．

由于可以用24b ac -的取值情况来判定一元二次方程的根的情况．因此，把

24b ac -叫做一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的根的判别式，表示为：24b ac ∆=-

【例1】不解方程，判断下列方程的实数根的个数：

(1) 22310x x -+=

(2) 24912y y +=

(3) 25(3)60x x +-=

解：(1) 2(3)42110∆=--⨯⨯=>，∴ 原方程有两个不相等的实数根． (2) 原方程可化为：241290y y -+=

2(12)4490∆=-

-⨯⨯=，∴ 原方程有两个相等的实数根． (3) 原方程可化为：256150x x -+=

2(6)45152640∆=--⨯⨯=-<，∴ 原方程没有实数根．

说明：在求判断式时，务必先把方程变形为一元二次方程的一般形式．

【例2】已知关于x 的一元二次方程2320x x k -+=，根据下列条件，分别求出k 的范围： (1) 方程有两个不相等的实数根；(2) 方程有两个相等的实数根 (3)方程有实数根； (4) 方程无实数根．

解：2(2)43412k k ∆=--⨯⨯=- (1) 1

41203k k ->⇒<；

(2) 141203k k -=⇒=

； (3)31

0124≤⇒≥-k k ；

(4) 31

0124>⇒<-k k ．

【例3】已知实数x 、y 满足22210x y xy x y +-+-+=，试求x 、y 的值． 解：可以把所给方程看作为关于x 的方程，整理得：

22(2)10x y x y y --+-+=

由于x 是实数，所以上述方程有实数根，因此：

222[(2)]4(1)300y y y y y ∆=----+=-≥⇒=，

代入原方程得：22101x x x ++=⇒=-．综上知：1,0x y =-= 二）、一元二次方程的根与系数的关系

一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为：

x x ==

所以：12b

x x a

+=

+=-，

22122

2()422(2)4b b b ac c

x x a a a a a

-+----⋅=⋅===

韦达定理：如果一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为12,x x ，那么：

说明：以通常把此定理称为”韦达定理”．

【例4】若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值：

(1) 2212x x +； (2)

12

11x x +； (3) 12(5)(5)x x --；(4) 12||x x -． 分析：本题若直接用求根公式求出方程的两根，再代入求值，将会出现复杂

的计算．这里，可以利用韦达定理来解答．

解：由题意，根据根与系数的关系得：12122,2007x x x x +=-=- (1) 2222121212()2(2)2(2007)4018x x x x x x +=+-=---= (2)

1212121122

20072007

x x x x x x +-+===- (3) 121212(5)(5)5()2520075(2)251972x x x x x x --=-++=---+=-

(4) 12||x x -==== 说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：

222121212()2x x x x x x +=+-，121212

11x x x x x x ++=，22121212()()4x x x x x x -=+-，

12||x x -=2212121212()x x x x x x x x +=+，

33312121212()3()x x x x x x x x +=+-+等等．韦达定理体现了整体思想．

*【例5】一元二次方程042

=+-a x x

求a 的取值范围。

解一：由⎩⎨

⎧<-->∆0)3)(3(021x x 解得：3

解二：设)(x f a x x +-=42

解得3

*【例6】 已知一元二次方程

5)9(222-+-+a x a x 根大于2，求a 的取值范围。

解：设65)9()(2

22+-+-+=a a x a x x f

则只须⎩⎨⎧<<0)2(0)0(f f ，解之得⎪⎩

⎪

⎨⎧<<-<<38132a a ∴ 38

2<

(1)104x k x k -+++=，根据下列条件，分别求出k

的值．(1) 方程两实根的积为5；

(2) 方程的两实根12,x x 满足12||x x =．

解：(1) ∵方程两实根的积为5