鞭梢效应对抗震减震的影响研究

鞭梢效应对抗震减震的影响研究【摘要】系统地探讨了结构产生鞭梢效应的原因, 发现当突出物的基本频率与整体结构的固有频率相同或近似，并与地面扰频相接近时，最易发生鞭梢效应，通过适当调整结构的刚度或质量分布使突出物的频率与整体结构的频率的差值增大，可减少鞭梢效应的影响，从而为结构设计提供更可靠的依据。

【关键词】鞭梢效应固有频率整体结构上部结构引言当建筑物有突出屋面的小建筑（如屋顶间、女儿墙、烟囱、电梯间等）时, 由于该突出部分的质量和刚度突然变小，将产生明显的鞭梢效应.对此，《抗震规范》规定：当计算这类小建筑的地震作用效应时, 宜乘以增大系数3 ，此增大部分不应往下传递；《工业与民用建筑抗震鉴定标准TJ23》规定：将抗震墙面积增大3 倍。

由此结构工程师采用将突出物的结构部分深入主体结构，同时增加突出部分的钢筋，以提高抗震水平.但这些措施都不能从根本上降低鞭梢效应，研究表明有时可能起到相反的作用。

现详细探讨结构鞭梢效应产生的原因及减弱鞭梢效应的措施。

一． 鞭梢效应成因鞭梢效应是指当建筑物受地震作用时，它顶部的小突出部分由于质量和刚度比较小，在每一个来回的转折瞬间，形成较大的速度，产生较大的位移,就和鞭子的尖一样，这种现象称为鞭梢效应。

在《工程抗震术语标准》规范中是这样写的：在地震作用下，高层建筑或其他建（构）筑物顶部细长突出部分振幅剧烈增大的现象。

（一）双自由度体系上部结构的质量及刚度比下部结构的质量及刚度要小很多。

为便于分析，将下部、上部结构分别简化为集中质量21、m m ，刚度分别为21、k k 。

按两个自由度体系，采用无阻尼情况，结构计算简化图见图图1.双自由度结构力学模型运动方程为：g M K M δδδ -=+（1） 其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡=21m m M ；⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+=22221k k k k k K ；{}T21δδδ=式中，M 为质量矩阵；K 为刚度矩阵；δ为系统的加速度向量；21、δδ分别为下部、上部结构的位移向量；gδ 为地面运动加速度时程。

令上部结构相对于下部结构的位移为d δ，（12δδδ-=d ），将d δ代入式（1）并简化后得：⎪⎩⎪⎨⎧-=++-=-+gd d gd u δδωδδδδωδωδ 221221211（2） 其中111m k =ω；222m k =ω；12m m u = 式中，21,ωω分别为下部、上部结构的固有频率，u 为上部结构与下部结构的质量比。

当结构受到简谐振动，即当t i e g ωδ= 时，此双自由度体系的响应为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+-+-+--=-+-+-+-=ti ti e u u t e u u t ωωωωωωωωωωωδωωωωωωωωδ2222222122221222222222122221))(()1()())(()1()(（3） 由式（3）知，当上部结构的质量远小于下部结构的质量，即0→u ，若上部结构的固有频率接近地震波的频率时，即ωω→2，则c →1δ且∞→2δ，这即为理想的鞭梢效应。

即当上部结构的质量远小于下部结构的质量，且上部结构的固有频率接近于场地某次地震的卓越频率（随机震动过程中出现概率最多的周期）时，就会产生鞭梢效应，此时下部结构的响应很小，而突出结构的响应很大。

（二）多自由度体系图2所示结构的突出物具有m 个自由度, 主体结构是(n-m)个自由度.由于突出物的质量、刚度均小于主体结构, 两者之间的耦联性较弱, 所以整体结构的自振频率可由突出物与主体结构分别独立计算的自振频率来近似。

于是, 当突出物频率与地面扰频相近时, 实际上也满足了突出物、整体结构频率与地面扰频接近的条件。

现在着重讨论当突出物频率与地面扰频相近时, 突出物能同时发生共振与鞭梢效应这个工程问题。

图2.具有n 自由度结构的力学模型设地面运动位移为t A x g ωsin =, 则图2所示结构的振动方程可写为:t ME A K M ωωδδsin 2=+ （4） 式中：Tn }{21δδδδ= ；TE }111{= ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n m m m m M321⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--+--+--+=--n nnnn n k k k k k k k k k k k k k K 0113322221设t B ωδsin =，并记入下面记号}{21n B B BB=),1,,2,1()(212-=-+=-n i m k k s i i i i ωωnn n m k s 22)(ωω-=于是由式（4）可求出,/02n n n f H g A B ω=(5)[])(})({2111111021i n i ni n i n i i n n n n n n n H g f A f k g m k g m k g m f A B -+-+-------++++=ωω ),1,2,1(-=n i (6),)(112001---+=n n n n n n n H g f k g m H g B B (7) []{}[]}{,)()(111111101122211101in i i n i n i i n n n n n i n i i n i n i i n n n n n i n i n H g f k g m k g m k g m H g f k g m k g m k g m B B ---+--+---+---+--+----+-++++++++()1,3,2(-=n i ) (8) 式中：),()(,1)(),()(,1)(22120212120ωωωωωωn s g g s f f ====⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=--i ii i i i s k k s k k s k k s f 000)(113222121ω (9)⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=--+-+-+-+-+-n nn n n i n i n i n i n i n i s k k s k k s k k s g 00)(11322212ω),,3,2(n i = (10)[]{}),,2,1()()(011232112n i f m K f m k f m k f m H i i i i i i =++++=---ω(11)对于主体结构具有n 个自由度, 突出物具有m 个自由度的情况, 它们对应的自振频率1ω和2ω分别由0)(21=ωn f 和0)(22=ωm g 求出.根据式(10)是三对角矩阵形式的特点, 由线性代数知识可导出:,1121--+----=m n m n m m n m n f k g f g f (12)当ωωω==21时，即整体结构和突出物的自振频率都与扰频ω相对等时有：0)()(0)()(221222====ωωωωn n m m f f g g (13)于是将式（13）代入（12），得到：0)(21=+-ωm n f (14)将式（14）代入式（8），并令i=m ，则可得到,1m n m n B B --->> (15)可见当突出物一自振频率2ω与整体结构任一固有频率1ω相同, 且又与地面运动扰频ω相近时, 结构最易发生鞭梢效应。

二． 算例分析如图3所示, 主体结构有6个自由度, 突出物有2个自由度.已知42.41=m ，49.42=m ，46.43=m ，50.44=m ，45.45=m ，40.46=m ，118501=k ，10932=k ，99503=k ，78604=k ，65305=k ，47806=k ，(单位:kN/m).地面运动位移:t x g ωsin =, 各阶阻尼均取0 .05 .选取87m m =和87k k =进行数值计算, 应用振型叠加法, 可求得结构动态位移响应, 见表1 .图3.具有8个自由度算例的模型主体结构的六阶频率分别:1123.11-=''s ω1241.29-=''s ω1324.46-=''s ω 1434.61-=''s ω1547.74-=''s ω1324.46-=''s ω表1.结构动态位移响应 s -1表中iω'表示突出物第i 阶频率, i ω''表示主体结构第i 阶自振频率.i ω表示整体结构第i 阶自振频率,θ为地面运动扰频, max 7y 和max 8y 表示突出物最大位移.max 主y 表示主体结构的最大位移.由表1可看出, 当θωω=='11时, 将发生最强烈的鞭梢效应, 而当θωω=''='11时结构虽发生鞭梢效应, 但并不强烈;至于当θωω=='22或θωω=''='22时结构的鞭梢效应较弱；但是当θωω=='21,θωω=''='21时, 产生的鞭梢效应却不容忽视。

三． 结论1.鞭梢效应是当建筑物受到地震作用时，它顶部的小突出部分由于刚度和质量较小在每一来回的转折瞬间形成较大的速度, 产生较大的位移。

2.对突出物的抗震设计单纯应用放大地震荷载的做法不是最佳的，关键是如何避开鞭梢效应。

3.结构鞭梢效应发生的原因，主要是由于突出物自振频率与地面运动干扰频率相等或相近。

4.发生鞭梢效应时，突出部分的位移是主体部分的数倍;虽然发生共振时也能产生较大的位移，但二者是完全不同的。

5.当突出物的第一自振频率与整体结构自振频率相等，且与地面扰频相近时，也能产生较强烈的鞭梢效应，对这一现象必须引起足够重视。

6.当突出物的第一阶自振频率与地面运动扰频相近时，发生鞭梢效应最为强烈，第二自振频率与扰频相等时，虽能产生鞭梢效应，但其强烈程度要弱得多。

7.当主体结构的某阶自振频率与地面扰频相接近时，只能使主体结构发生共振, 而突出物一般不会产生鞭梢效应。

8.为了减弱鞭梢效应，不应只盲目地增大突出物的刚度, 最有效的方法应使突出物的第一阶自振频率与整体结构低阶频率不要接近地面运动扰频。