2019-2020学年山东省临沂市高三上学期期末考试数学试卷及答案
2019-2020学年山东省临沂市高三上学期期末考试数学试卷及答案一、单选题1．设集合()(){}160A x x x =-->，{}20B x x =->，则A B = （）A ．{}6x x >B ．{}12x x <<C ．{}1x x <D ．{}26x x <<2．设复数z a bi =+(,)a b ∈R ，定义z b ai =+.若12z ii i=+-，则z =（）A ．1355i -+B ．1355i -C ．3155i -+D ．3155i --3．“游客甲在烟台市”是“游客甲在山东省”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．函数()22xf x =-（0x <）的值域是（）A ．()1,2B ．(),2-∞C ．()0,2D ．()1,+¥5．62x ⎛⎝的展开式的中间项为（）A ．-40B ．240x -C ．40D ．240x 6．张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家，他曾经得出圆周率的平方除以十六等于八分之五.已知三棱锥A BCD -的每个顶点都在球O 的球面上，AB ⊥底面BCD ，BC CD ⊥，且AB CD ==，2BC =，利用张衡的结论可得球O 的表面积为（）A ．30B ．C ．33D ．7．如图，在等腰直角ABC ∆中，D ，E 分别为斜边BC 的三等分点（D 靠近点B ），过E 作AD 的垂线，垂足为F ，则AF =（）A ．3155AB AC+B ．2155AB AC+C ．481515AB AC +D ．841515AB AC +8．已知函数2()2cos 12f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭(0)>ω的图象关于直线4x π=对称，则ω的最小值为（）A ．13B ．16C ．43D ．56二、多选题9．为了了解运动健身减肥的效果，某健身房调查了20名肥胖者，健身之前他们的体重（单位：kg ）情况如三维饼图（1）所示，经过四个月的健身后，他们的体重情况如三维饼图（2）所示.对比健身前后，关于这20名肥胖者，下面结论正确的是（）A ．他们健身后，体重在区间[)90,100内的人增加了2个B ．他们健身后，体重在区间[)100,110内的人数没有改变C ．他们健身后，20人的平均体重大约减少了8kgD ．他们健身后，原来体重在区间[)110,120内的肥胖者体重都有减少10．若104a =，1025b =，则（）A ．2a b +=B ．1b a -=C ．281g 2ab >D ．lg 6b a ->11．已知P 是椭圆C ：2216x y +=上的动点，Q 是圆D ：()22115x y ++=上的动点，则（）A ．CB ．C 的离心率为306C ．圆D 在C 的内部D ．PQ的最小值为512．已知函数()sin cos f x x x x x =+-的定义域为[)2,2ππ-，则（）A ．()f x 为奇函数B ．()f x 在[)0,π上单调递增C ．()f x 恰有4个极大值点D ．()f x 有且仅有4个极值点三、填空题13x =______.14．已知P 为双曲线C ：2214y x -=右支上一点，1F ，2F 分别为C 的左、右焦点，且线段12A A ，12B B 分别为C 的实轴与虚轴.若12A A ，12B B ，1PF 成等比数列，则2PF =______.15．现将七本相同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，则甲分得的书不少于3本的概率是______.16．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱CD 上一点，且2CE DE =，F 为棱1AA 的中点，且平面BEF 与1DD 交于点G ，与1AC 交于点H ，则1DG DD =______，1AHHC =______.17．在①3cos 5A =，25cos 5C =，②sin sin sin c C A b B =+，60B = ，③2c =，1cos 8A =三个条件中任选一个补充在下面问题中，并加以解答.已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3a =，______，求ABC 的面积S .四、解答题18．设*n N ∈，向量(31,3)AB n =+ ，(0,32)BC n =-，n a AB AC =⋅ .（1）试问数列{}1n n a a +-是否为等差数列？为什么？（2）求数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S .19．某土特产超市为预估2020年元旦期间游客购买土特产的情况，对2019年元旦期间的90位游客购买情况进行统计，得到如下人数分布表.购买金额（元）[)0,15[)15,30[)30,45[)45,60[)60,75[]75,90人数101520152010（1）根据以上数据完成22⨯列联表，并判断是否有95%的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关.不少于60元少于60元合计男40女18合计（2）为吸引游客，该超市推出一种优惠方案，购买金额不少于60元可抽奖3次，每次中奖概率为p （每次抽奖互不影响，且p 的值等于人数分布表中购买金额不少于60元的频率），中奖1次减5元，中奖2次减10元，中奖3次减15元.若游客甲计划购买80元的土特产，请列出实际付款数X （元）的分布列并求其数学期望.附：参考公式和数据：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.附表：k 2.072 2.706 3.841 6.6357.879()20P K k 0.1500.1000.0500.0100.00520．如图，在四棱锥P -ABCD 中，AP ⊥平面PCD ，//AD BC ，AB BC ⊥，12AP AB BC AD ===，E 为AD 的中点，AC 与BE 相交于点O .（1）证明：PO ⊥平面ABCD .（2）求直线BC 与平面PBD 所成角的正弦值.21．如图，已知点F 为抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点，过点F 的动直线l 与抛物线C 交于M ，N 两点，且当直线l 的倾斜角为45°时，16MN =.（1）求抛物线C 的方程.（2）试确定在x 轴上是否存在点P ，使得直线PM ，PN 关于x 轴对称？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.22．已知函数()()2ln 1sin 1f x x x =+++，函数()1ln g x ax b x =--（,,0a b ab ∈≠R ）.（1）讨论()g x 的单调性；（2）证明：当0x ≥时，()31f x x ≤+.（3）证明：当1x >-时，()()2sin 22exf x x x <++.数学试题参考答案1-8CBAAB BDA 9-12ABD ACD BC BD 13、4；14、6；15、2516、163817、选①为9940；选②为16.18、（1）(31,31)AC AB BC n n =+=++，2(31)3(31)(31)(34)n a n n n n ∴=+++=++.1(34)(37)(31)(34)6(34)n n a a n n n n n +-=++-++=+ ，()()21118n n n n a a a a +++∴---=为常数，{}1n n a a +∴-是等差数列.（2）111133134n a n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，1111111111347710313434341216n n S n n n n ⎛⎫⎛⎫∴=-+-++-=-= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭ .19、（1）22⨯列联表如下：不少于60元少于60元合计男124052女182038合计306090()22901220401814405 3.84130605238247K ⨯⨯-⨯==>>⨯⨯⨯，因此有95%的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关.（2）X 可能取值为65，70，75，80，且10201903p +==.()3331165327P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()22312270339P X C ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，()21312475339P X C ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭，()3032880327P X C ⎛⎫===⎪⎝⎭，所以X 的分布列为X65707580()P X 127294982712486570758075279927EX =⨯+⨯+⨯+⨯=.20、（1）证明：AP ⊥ 平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，AP CD ∴⊥，//,AD BC 12BC AD =，E 为AD 的中点，则//BC DE 且BC DE =.∴四边形BCDE 为平行四边形，//BE CD ∴，AP BE ∴⊥.又,AB BC ⊥ 12AB BC AD ==，且E 为AD 的中点，∴四边形ABCE 为正方形，BE AC ∴⊥，又,AP AC A = BE ∴⊥平面APC ，PO ⊂平面APC ，则BEPO ⊥.AP ⊥ 平面,PCD PC ⊂平面PCD ，AP PC ∴⊥，又AC ==，PAC ∴∆为等腰直角三角形，O为斜边AC 上的中点，PO AC ∴⊥且,AC BE O = PO ∴⊥平面ABCD .（2）解：以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系O -xyz ，如图所示不妨设1OB =，则(1,0,0),B (0,1,0),C (0,0,1),P (2,1,0)D -,则(1,1,0),BC =- (1,0,1),PB =- (2,1,1)PD =--.设平面PBD 的法向量为(,,)n x y z =，则00n PB n PD ⎧⋅=⎨⋅=⎩，，即0,20,x z x y z -=⎧⎨-+-=⎩即,3,x z y z =⎧⎨=⎩令1z =，得(1,3,1)n =.设BC 与平面PBD 所成角为θ，则22sin cos ,11BC n θ=<>==.21、解：（1）当直线l 的倾斜角为45°，则l 的斜率为1，,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭ ，l ∴的方程为2p y x =-.由2,22,p y x y px ⎧=-⎪⎨⎪=⎩得22304p x px -+=.设()11,M x y ，()22,N x y ，则123x x p +=，∴12416x x p M p N ++===，4p =，∴抛物线C 的方程为28y x =.（2）假设满足条件的点P 存在，设(),0P a ，由（1）知()2,0F ，①当直线l 不与x 轴垂直时，设l 的方程为()2y k x =-（0k ≠），由()22,8,y k x y x ⎧=-⎨=⎩得()22224840k x k x k -++=，()22222484464640k k k k ∆=+-⋅⋅=+>，212248k x x k++=，124x x =.∵直线PM ，PN 关于x 轴对称，∴0PM PN k k +=，()112PM k x k x a-=-，()222PN k x k x a-=-.∴()()()()()()122112128(2)222240a k x x a k x x a k x x a x x a k+--+--=-+++=-=⎡⎤⎣⎦∴2a =-时，此时()2,0P -.②当直线l 与x 轴垂直时，由抛物线的对称性，易知PM ，PN 关于x 轴对称，此时只需P 与焦点F 不重合即可.综上，存在唯一的点()2,0P -，使直线PM ，PN 关于x 轴对称.22、（1）解：()g x 的定义域为()0,∞+，()a g x x bx'=-，当0a >，0b <时，()0g x '>，则()g x 在()0,∞+上单调递增；当0a >，0b >时，令()0g x '>，得bx a >，令()0g x '<，得0b x a<<，则()g x 在0,b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在,b a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；当0a <，0b >时，()0g x '<，则()g x 在()0,∞+上单调递减；当0a <，0b <时，令()0g x '>，得0b x a<<，令()0g x '<，得bx a >，则()g x 在0,b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在,b a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减；（2）证明：设函数()()()31h x f x x =-+，则()2cos 31x x h x '=+-+.因为0x ≥，所以(]20,21x ∈+，[]cos 1,1x ∈-，则()0h x '≤，从而()h x 在[)0,+∞上单调递减，所以()()()()3100h x f x x h =-+≤=，即()31f x x ≤+.（3）证明：当1a b ==时，()1ln g x x x =--.由（1）知，()()min 10g x g ==，所以()1ln 0g x x x =--≥，即1ln x x ≥+.当1x >-时，()210x +>，()2sin 1e 0x x +>，则()()22sin sin 1e 1ln 1e x x x x ⎡⎤++≥+⎣⎦，即()()2sin 1e 2ln 1sin 1x x x x ++++≥，又()()22sin sin 22e 1e x xx x x ++>+，所以()()2sin 22e 2ln 1sin 1xx x x x ++>+++，即()()2sin 22e xf x x x <++.。
山东省临沂市2020届高三上学期期末数学试卷(及答案)
ABC
中，D
为
AC
上的一点，满足
AD
1
DC
．若
P
为
BD
上的一点，满足
AP m AB n AC m
0,n
0 ，则
mn
3
的 最 大 值 为 _________ ；
4
1
的最小值为
mn
_________．(本题第一空 2 分，第二空 2 分)
17．设 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a,b, c ，已知 a,b, c 依次成等比数列，且
cos A C cos B 1 ，则sin C ___________．
2
四、解答题：本大题共 6 小题，共 82 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
3
18．(12 分)
已知等差数列an 的前 n 项和为 Sn ，且 a3 6, S4 20 ．
(1)求 an ； (2)若 a1, ak , Sk 2 成等比数列，求正整数 k 的值．
高三教学质量检测考试
数学
2019．11 一、单项选择题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的．
1．已知集合 A=
2, 3n
，B
a,
b,
A
B
1 ，则A
B
3
A．
1，2，13
B． 1，13
C．
2，13
2．函数 y ln 2x 1 4 x 2 的定义域为
2
g x A sin x 的图象，只需将 f x 图象
A．向右平移 个单位长度
4
B．向左平移 个单位长度
4
2019-2020学年山东省泰安市高三上期末数学测试卷(理)(含答案)
山东省泰安市高三（上）期末测试数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={1，2，3，5}，B={2，4，6}，则图中的阴影部分表示的集合为（ ）A ．{2}B ．{4，6}C ．{1，3，5}D ．{4，6，7，8}2．设{a n }是公差为正数的等差数列，若a 1+a 3=10，且a 1a 3=16，则a 11+a 12+a 13等于（ ） A ．75 B ．90 C ．105 D ．1203．已知p ：0＜a ＜4，q ：函数y=x 2﹣ax+a 的值恒为正，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．下列命题错误的是（ ）A ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面βB ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βC ．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l ，那么l ⊥平面γD ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β 5．不等式|x ﹣5|+|x+1|＜8的解集为（ ） A ．（﹣∞，2） B ．（﹣2，6） C ．（6，+∞）D ．（﹣1，5）6．已知点F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，过F 1且垂直于x 轴的直线与椭圆交于 M 、N 两点，若△M NF 2为等腰直角三角形，则该椭圆的离心率e 为（ ）A ．B ．C ．D ．7．设f （x ）在定义域内可导，其图象如图所示，则导函数f ′（x ）的图象可能是（ ）A． B．C．D．8．已知实数a，b满足2a=3，3b=2，则函数f（x）=a x+x﹣b的零点所在的区间是（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（1，2）9．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）+1（ω＞0，|φ|≤），其图象与直线y=﹣1相邻两个交点的距离为π．若f（x）＞1对任意x∈（﹣，）恒成立，则φ的取值范围是（）A．[，] B．[，] C．[，] D．（，]10．已知函数f（x）=，若a＜b，f（a）=f（b），则实数a﹣2b的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分，请把答案填写在答题卡相应位置.11．若α∈（0，）且cos2α+cos（+2α）=，则tanα= ．12．直线ax+y+1=0被圆x2+y2﹣2ax+a=0截得的弦长为2，则实数a的值是．13．如果实数x，y满足条件，则z=x+y的最小值为．14．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为．15．规定记号“*”表示一种运算，a*b=a 2+ab ，设函数f （x ）=x*2，且关于x 的方程f （x ）=ln|x+1|（x ≠﹣1）恰有4个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1+x 2+x 3+x 4= ．三、解答题：本大题共有6小题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边a 、b 、c ，且（Ⅰ）求角A（Ⅱ）若，求a 的最小值．17．如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是矩形，EF ∥AD ，FA ⊥面ABCD ，AB=AF=EF=1，AD=2，AC 交BD 于点P（Ⅰ）证明：PF ∥面ECD ； （Ⅱ）求二面角B ﹣EC ﹣A 的大小．18．已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 2=6，S 4=30，n ∈N *，数列{b n }满足b n •b n+1=a n ，b 1=1 （I ）求a n ，b n ；（Ⅱ）求数列{b n }的前n 项和为T n ．19．如图，是一曲边三角形地块，其中曲边AB 是以A 为顶点，AC 为对称轴的抛物线的一部分，点B 到边AC 的距离为2km ，另外两边AC ，BC 的长度分别为8km ，2km ．现欲在此地块内建一形状为直角梯形DECF的科技园区．（Ⅰ）求此曲边三角形地块的面积； （Ⅱ）求科技园区面积的最大值．20．已知椭圆C ：的右顶点A （2，0），且过点（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点B （1，0）且斜率为k 1（k 1≠0）的直线l 于椭圆C 相交于E ，F 两点，直线AE ，AF 分别交直线x=3于M ，N 两点，线段MN 的中点为P ，记直线PB 的斜率为k 2，求证：k 1•k 2为定值． 21．已知函数f （x ）=lnx+ax 在点（t ，f （t ））处切线方程为y=2x ﹣1 （Ⅰ）求a 的值（Ⅱ）若，证明：当x ＞1时，（Ⅲ）对于在（0，1）中的任意一个常数b ，是否存在正数x 0，使得：．2019-2020学年山东省泰安市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={1，2，3，5}，B={2，4，6}，则图中的阴影部分表示的集合为（ ）A ．{2}B ．{4，6}C ．{1，3，5}D ．{4，6，7，8}【考点】Venn 图表达集合的关系及运算．【分析】由韦恩图可知阴影部分表示的集合为（C U A ）∩B ，根据集合的运算求解即可． 【解答】解：全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={1，2，3，5}，B={2，4，6}， 由韦恩图可知阴影部分表示的集合为（C U A ）∩B ， ∵C U A={4，6，7，8}， ∴（C U A ）∩B={4，6}． 故选B ．2．设{a n }是公差为正数的等差数列，若a 1+a 3=10，且a 1a 3=16，则a 11+a 12+a 13等于（ ） A ．75 B ．90 C ．105 D ．120 【考点】等差数列的通项公式．【分析】由已知得a 1＜a 3，且a 1，a 3是方程x 2﹣10x+16=0的两个根，解方程x 2﹣10x+16=0，得a 1=2，a 3=8，由此求出公差，从而能求出a 11+a 12+a 13的值．【解答】解：∵{a n }是公差为正数的等差数列，a 1+a 3=10，且a 1a 3=16， ∴a 1＜a 3，且a 1，a 3是方程x 2﹣10x+16=0的两个根， 解方程x 2﹣10x+16=0，得a 1=2，a 3=8， ∴2+2d=8，解得d=3，∴a 11+a 12+a 13=3a 1+33d=3×2+33×3=105． 故选：C ．3．已知p ：0＜a ＜4，q ：函数y=x 2﹣ax+a 的值恒为正，则p 是q 的（ ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据函数的性质结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：若函数y=x2﹣ax+a的值恒为正，即x2﹣ax+a＞0恒成立，则判别式△=a2﹣4a＜0，则0＜a＜4，则p是q的充要条件，故选：C4．下列命题错误的是（）A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面βB．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，那么l⊥平面γD．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β【考点】平面与平面之间的位置关系．【分析】命题A，B可以通过作图说明；命题C可以直接进行证明；命题D可以运用反证法的思维方式说明是正确的．【解答】解：A、如图，平面α⊥平面β，α∩β=l，l⊂α，l不垂直于平面β，所以不正确；B、如A中的图，平面α⊥平面β，α∩β=l，a⊂α，若a∥l，则a∥β，所以正确；C、如图，设α∩γ=a，β∩γ=b，在γ内直线a、b外任取一点O，作OA⊥a，交点为A，因为平面α⊥平面γ，所以OA⊥α，所以OA⊥l，作OB⊥b，交点为B，因为平面β⊥平面γ，所以OB⊥β，所以OB⊥l，又OA∩OB=O，所以l⊥γ．所以正确．D 、若平面α内存在直线垂直于平面β，根据面面垂直的判定，则有平面α垂直于平面β，与平面α不垂直于平面β矛盾，所以，如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β，正确； 故选：A ．5．不等式|x ﹣5|+|x+1|＜8的解集为（ ） A ．（﹣∞，2） B ．（﹣2，6） C ．（6，+∞）D ．（﹣1，5）【考点】绝对值不等式的解法．【分析】由条件利用绝对值的意义，求得绝对值不等式|x ﹣5|+|x+1|＜8的解集． 【解答】解：由于|x ﹣5|+|x+1|表示数轴上的x 对应点到5、﹣1对应点的距离之和， 而数轴上的﹣2和6对应点到5、﹣1对应点的距离之和正好等于8， 故不等式|x ﹣5|+|x+1|＜8的解集为（﹣2，6）， 故选：B ．6．已知点F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，过F 1且垂直于x 轴的直线与椭圆交于 M 、N 两点，若△M NF 2为等腰直角三角形，则该椭圆的离心率e 为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】椭圆的简单性质．【分析】把x=﹣c 代入椭圆，解得y=±．由于△MNF 2为等腰直角三角形，可得=2c ，由离心率公式化简整理即可得出．【解答】解：把x=﹣c 代入椭圆方程，解得y=±，∵△MNF 2为等腰直角三角形，∴=2c ，即a 2﹣c 2=2ac ，由e=，化为e 2+2e ﹣1=0，0＜e ＜1． 解得e=﹣1+．故选C ．7．设f （x ）在定义域内可导，其图象如图所示，则导函数f ′（x ）的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】由f （x ）的图象可得在y 轴的左侧，图象下降，f （x ）递减，y 轴的右侧，图象先下降再上升，最后下降，即有y 轴左侧导数小于0，右侧导数先小于0，再大于0，最后小于0，对照选项，即可判断． 【解答】解：由f （x ）的图象可得，在y 轴的左侧，图象下降，f （x ）递减， 即有导数小于0，可排除C ，D ；再由y 轴的右侧，图象先下降再上升，最后下降， 函数f （x ）递减，再递增，后递减， 即有导数先小于0，再大于0，最后小于0， 可排除A ； 则B 正确． 故选：B ．8．已知实数a ，b 满足2a =3，3b =2，则函数f （x ）=a x +x ﹣b 的零点所在的区间是（ ） A ．（﹣2，﹣1） B ．（﹣1，0）C ．（0，1）D ．（1，2）【考点】函数的零点；指数函数的图象与性质．【分析】根据对数，指数的转化得出f （x ）=（log 23）x +x ﹣log 32单调递增，根据函数的零点判定定理得出f （0）=1﹣log 32＞0，f （﹣1）=log 32﹣1﹣log 32=﹣1＜0，判定即可． 【解答】解：∵实数a ，b 满足2a =3，3b =2， ∴a=log 23＞1，0＜b=log 32＜1， ∵函数f （x ）=a x +x ﹣b ，∴f （x ）=（log 23）x +x ﹣log 32单调递增， ∵f （0）=1﹣log 32＞0f （﹣1）=log 32﹣1﹣log 32=﹣1＜0，∴根据函数的零点判定定理得出函数f （x ）=a x +x ﹣b 的零点所在的区间（﹣1，0）， 故选：B ．9．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）+1（ω＞0，|φ|≤），其图象与直线y=﹣1相邻两个交点的距离为π．若f（x）＞1对任意x∈（﹣，）恒成立，则φ的取值范围是（）A．[，] B．[，] C．[，] D．（，]【考点】正弦函数的图象．【分析】由题意求得sin（ωx+φ）=﹣1，函数y=sin（ωx+φ）的图象和直线y=﹣1邻两个交点的距离为π，根据周期性求得ω的值，可得f（x）的解析式．再根据当x∈（﹣，）时，f（x）＞1，可得sin（2x+φ）＞0，故有﹣+φ≥2kπ，且+φ≤2kπ+π，由此求得φ的取值范围．【解答】解：函数f（x）=2sin（ωx+φ）+1（ω＞0，|φ|≤）的图象与直线y=﹣1相邻两个交点的距离为π，令2sin（ωx+φ）+1=﹣1，即sin（ωx+φ）=﹣1，即函数y=sin（ωx+φ）的图象和直线y=﹣1邻两个交点的距离为π，故 T==π，求得ω=2，∴f（x）=2sin（2x+φ）+1．由题意可得，当x∈（﹣，）时，f（x）＞1，即 sin（2x+φ）＞0，故有﹣+φ≥2kπ，且+φ≤2kπ+π，求得φ≥2kπ+，且φ≤2kπ+，k∈Z，故φ的取值范围是[2kπ+，2kπ+]，k∈Z，结合所给的选项，故选：B．10．已知函数f（x）=，若a＜b，f（a）=f（b），则实数a﹣2b的取值范围为（）A．B．C．D．【考点】函数的值．【分析】由已知得a≤﹣1，a﹣2b=a﹣e a﹣1，再由函数y=﹣e x+a﹣1，（x≤﹣1）单调递减，能求出实数a﹣2b的范围．【解答】解：∵函数f（x）=，a＜b，f（a）=f（b），∴a≤﹣1，∵f（a）=e a，f（b）=2b﹣1，且f（a）=f（b），∴e a=2b﹣1，得b=，∴a﹣2b=a﹣e a﹣1，又∵函数y=﹣e x+a﹣1（x≤﹣1）为单调递减函数，∴a﹣2b＜f（﹣1）=﹣e﹣1=﹣，∴实数a﹣2b的范围是（﹣∞，﹣）．故选：B．二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分，请把答案填写在答题卡相应位置.11．若α∈（0，）且cos2α+cos（+2α）=，则tanα= ．【考点】三角函数中的恒等变换应用；同角三角函数基本关系的运用．【分析】首先根据诱导公式和同角三角函数的关系式进行恒等变换，整理成正切函数的关系式，进一步求出正切的函数值．【解答】解：cos2α+cos（+2α）=，则：，则：，整理得：3tan2α+20tanα﹣7=0，所以：（3tanα﹣1）（tanα+7）=0解得：tan或tanα=﹣7，由于：α∈（0，），所以：．故答案为：12．直线ax+y+1=0被圆x2+y2﹣2ax+a=0截得的弦长为2，则实数a的值是﹣2 ．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由圆的方程，得到圆心与半径，再求得圆心到直线的距离，利用勾股定理解．【解答】解：圆x2+y2﹣2ax+a=0可化为（x﹣a）2+y2=a2﹣a∴圆心为：（a，0），半径为：圆心到直线的距离为：d==．∵直线ax+y+1=0被圆x2+y2﹣2ax+a=0截得的弦长为2，∴a2+1+1=a2﹣a，∴a=﹣2．故答案为：﹣2．13．如果实数x，y满足条件，则z=x+y的最小值为．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（），化目标函数z=x+y为y=﹣x+z，由图可知，当直线y=﹣x+z过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为．故答案为：．14．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图判断几何体是圆锥的一部分，再根据俯视图与左视图的数据可求得底面扇形的圆心角为120°，又由侧视图知几何体的高为4，底面圆的半径为2，把数据代入圆锥的体积公式计算． 【解答】解：由三视图知几何体是圆锥的一部分， 由正视图可得：底面扇形的圆心角为120°， 又由侧视图知几何体的高为4，底面圆的半径为2，∴几何体的体积V=××π×22×4=．故答案为：15．规定记号“*”表示一种运算，a*b=a 2+ab ，设函数f （x ）=x*2，且关于x 的方程f （x ）=ln|x+1|（x ≠﹣1）恰有4个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1+x 2+x 3+x 4= ﹣4 ． 【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】由题意可得f （x ）=x 2+2x ，可得图象关于x=﹣1对称，由函数图象的变换可得函数y=ln|x+1|（x ≠﹣1）的图象关于直线x=﹣1对称，进而可得四个根关于直线x=﹣1对称，由此可得其和． 【解答】解：由题意可得f （x ）=x*2=x 2+2x ， 其图象为开口向上的抛物线，对称轴为x=﹣1， 函数y=ln|x+1|可由y=ln|x|向左平移1个单位得到， 而函数函数y=ln|x|为偶函数，图象关于y 轴对称， 故函数y=ln|x+1|的图象关于直线x=﹣1对称，故方程为f （x ）=ln|x+1|（x ≠﹣1）四个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，x 4， 也关于直线x=﹣1对称，不妨设x 1与x 2对称，x 3与x 4对称， 必有x 1+x 2=﹣2，x 3+x 4=﹣2，故x1+x2+x3+x4=﹣4，故答案为：﹣4．三、解答题：本大题共有6小题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．△ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c，且（Ⅰ）求角A（Ⅱ）若，求a的最小值．【考点】正弦定理．【分析】（Ⅰ）由正弦定理化简已知可得sinAsinB=sinBcosA，又sinB≠0，从而可求tanA，由于0＜A ＜π，即可解得A的值．（Ⅱ）利用平面向量数量积的运算和余弦定理化简已知等式可得bc=8，利用余弦定理及基本不等式即可求得a的最小值．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）因为，由正弦定理，得sinAsinB=sinBcosA，又sinB≠0，从而tanA=，由于0＜A＜π，所以A=．…4分（Ⅱ）由题意可得：=+•（﹣）﹣=+﹣•﹣=c2+b2﹣bccosA﹣a2=2bccosA﹣bccosA=bc=4，∵bc=8，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc=bc=8，∴a≥2，∴a的最小值为．…12分17．如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD是矩形，EF∥AD，FA⊥面ABCD，AB=AF=EF=1，AD=2，AC交BD 于点P（Ⅰ）证明：PF∥面ECD；（Ⅱ）求二面角B﹣EC﹣A的大小．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）取CD中点G，连结EG、PG，推导出四边形EFPG是平行四边形，由此能证明FP∥平面ECD．（Ⅱ）以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AF所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B﹣EC﹣A的大小．【解答】证明：（Ⅰ）取CD中点G，连结EG、PG，∵点P为矩形ABCD对角线交点，∴在△ACD中，PG AD，又EF=1，AD=2，EF∥AD，∴EF PG，∴四边形EFPG是平行四边形，∴FP∥EG，又FP⊄平面ECD，EG⊂平面ECD，∴FP∥平面ECD．解：（Ⅱ）由题意，以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AF所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，则F（0，0，1），B（1，0，0），C（1，2，0），E（0，1，1），∴=（0，2，0），=（1，1，﹣1），=（1，2，0），取FB中点H，连结AH，则=（），∵=0， =0，∴AH⊥平面EBC，故取平面AEC法向量为=（），设平面AEC 的法向量=（x ，y ，1），则，∴=（2，﹣1，1），cos ＜＞===，∴二面角B ﹣EC ﹣A 的大小为．18．已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 2=6，S 4=30，n ∈N *，数列{b n }满足b n •b n+1=a n ，b 1=1 （I ）求a n ，b n ；（Ⅱ）求数列{b n }的前n 项和为T n ． 【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（I ）设正项等比数列{a n }的公比为q （q ＞0），由等比数列的通项公式，解方程可得首项和公比均为2，可得a n =a 1q n ﹣1=2n ；再由n 换为n+1，可得数列{b n }中奇数项，偶数项均为公比为2的等比数列，运用等比数列的通项公式，即可得到所求b n ；（Ⅱ）讨论n 为奇数和偶数，运用分组求和和等比数列的求和公式，化简整理即可得到所求和． 【解答】解：（I ）设正项等比数列{a n }的公比为q （q ＞0）， 由题意可得a 1+a 1q=6，a 1+a 1q+a 1q 2+a 1q 3=30， 解得a 1=q=2（负的舍去）， 可得a n =a 1q n ﹣1=2n ； 由b n •b n+1=a n =2n ，b 1=1， 可得b 2=2，即有b n+1•b n+2=a n =2n+1，可得=2，可得数列{b n }中奇数项，偶数项均为公比为2的等比数列，即有b n =；（Ⅱ）当n 为偶数时，前n 项和为T n =（1+2+..+）+（2+4+..+）=+=3•（）n ﹣3；当n 为奇数时，前n 项和为T n =T n ﹣1+=3•（）n ﹣1﹣3+=（）n+3﹣3．综上可得，T n =．19．如图，是一曲边三角形地块，其中曲边AB 是以A 为顶点，AC 为对称轴的抛物线的一部分，点B 到边AC 的距离为2km ，另外两边AC ，BC 的长度分别为8km ，2km ．现欲在此地块内建一形状为直角梯形DECF的科技园区．（Ⅰ）求此曲边三角形地块的面积； （Ⅱ）求科技园区面积的最大值．【考点】扇形面积公式；弧度制的应用．【分析】（Ⅰ）以AC 所在的直线为y 轴，A 为坐标原点建立平面直角坐标系，求出曲边AB 所在的抛物线方程，利用积分计算曲边三角形ABC 地块的面积；（Ⅱ）设出点D 为（x ，x 2），表示出|DF|、|DE|与|CF|的长，求出直角梯形CEDF 的面积表达式，利用导数求出它的最大值即可．【解答】解：（Ⅰ）以AC 所在的直线为y 轴，A 为坐标原点，建立平面直角坐标系xOy ，如图所示；则A（0，0），C（0，8），设曲边AB所在的抛物线方程为y=ax2（a＞0），则点B（2，4a），又|BC|==2，解得a=1或a=3（此时4a=12＞8，不合题意，舍去）；∴抛物线方程为y=x2，x∈[0，2]；又x2=x3=，∴此曲边三角形ABC地块的面积为﹣x2=×（8+4）×2﹣=；S梯形ACBM（Ⅱ）设点D（x，x2），则F（0，x2），直线BC的方程为：2x+y﹣8=0，∴E（x，8﹣2x），|DF|=x，|DE|=8﹣2x﹣x2，|CF|=8﹣x2，直角梯形CEDF的面积为S（x）=x[（8﹣2x﹣x2）+（8﹣x2）]=﹣x3﹣x2+8x，x∈（0，2），求导得S′（x）=﹣3x2﹣2x+8，令S′（x）=0，解得x=或x=﹣2（不合题意，舍去）；当x∈（0，）时，S（x）单调递增，x∈（，2）时，S（x）单调递减，∴x=时，S（x）取得最大值是S （）=﹣﹣+8×=；∴科技园区面积S 的最大值为．20．已知椭圆C ：的右顶点A （2，0），且过点（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点B （1，0）且斜率为k 1（k 1≠0）的直线l 于椭圆C 相交于E ，F 两点，直线AE ，AF 分别交直线x=3于M ，N 两点，线段MN 的中点为P ，记直线PB 的斜率为k 2，求证：k 1•k 2为定值． 【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由题意可得a=2，代入点，解方程可得椭圆方程；（Ⅱ）设过点B （1，0）的直线l 方程为：y=k （x ﹣1），由，可得（4k 12+1）x 2﹣8k 12x+4k 12﹣4=0，由已知条件利用韦达定理推导出直线PB 的斜率k 2=﹣，由此能证明k •k ′为定值﹣．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得a=2， +=1，a 2﹣b 2=c 2， 解得b=1，即有椭圆方程为+y 2=1；（Ⅱ）证明：设过点B （1，0）的直线l 方程为：y=k 1（x ﹣1）， 由，可得：（4k 12+1）x 2﹣8k 12x+4k 12﹣4=0，因为点B （1，0）在椭圆内，所以直线l 和椭圆都相交， 即△＞0恒成立．设点E （x 1，y 1），F （x 2，y 2），则x 1+x 2=，x 1x 2=．因为直线AE 的方程为：y=（x ﹣2），直线AF的方程为：y=（x﹣2），令x=3，得M（3，），N（3，），所以点P的坐标（3，（+））．直线PB的斜率为k2==（+）=•=•=•=﹣．所以k1•k2为定值﹣．21．已知函数f（x）=lnx+ax在点（t，f（t））处切线方程为y=2x﹣1（Ⅰ）求a的值（Ⅱ）若，证明：当x＞1时，（Ⅲ）对于在（0，1）中的任意一个常数b，是否存在正数x，使得：．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，解方程可得a的值；（Ⅱ）求出f（x）=lnx+x，要证原不等式成立，即证xlnx+x﹣k（x﹣3）＞0，可令g（x）=xlnx+x﹣k（x ﹣3），求出导数，判断符号，可得单调性，即可得证；（Ⅲ）对于在（0，1）中的任意一个常数b，假设存在正数x，使得：．运用转化思想可令H（x）=（x+1）•e﹣x+x2﹣1，求出导数判断单调性，可得最小值，即可得到结论．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=lnx+ax的导数为f′（x）=+a，在点（t，f（t））处切线方程为y=2x﹣1，可得f′（t）=+a=2，f（t）=2t﹣1=lnt+at，解得a=t=1；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可得f （x ）=lnx+x ，要证当x ＞1时，，即证lnx ＞k （1﹣）﹣1（x ＞1）， 即为xlnx+x ﹣k （x ﹣3）＞0，可令g （x ）=xlnx+x ﹣k （x ﹣3），g ′（x ）=2+lnx ﹣k ，由，x ＞1，可得lnx ＞0，2﹣k ≥0，即有g ′（x ）＞0，g （x ）在（1，+∞）递增， 可得g （x ）＞g （1）=1+2k ≥0，故当x ＞1时，恒成立；（Ⅲ）对于在（0，1）中的任意一个常数b ，假设存在正数x 0，使得：．由e f （x0+1）﹣2x0﹣1+x 02=e ln （x0+1）﹣x0+x 02=（x 0+1）•e ﹣x0+x 02．即对于b ∈（0，1），存在正数x 0，使得（x 0+1）•e ﹣x0+x 02﹣1＜0， 从而存在正数x 0，使得上式成立，只需上式的最小值小于0即可．令H （x ）=（x+1）•e ﹣x +x 2﹣1，H ′（x ）=e ﹣x ﹣（x+1）•e ﹣x +bx=x （b ﹣e ﹣x ）， 令H ′（x ）＞0，解得x ＞﹣lnb ，令H ′（x ）＜0，解得0＜x ＜﹣lnb ， 则x=﹣lnb 为函数H （x ）的极小值点，即为最小值点．故H （x ）的最小值为H （﹣lnb ）=（﹣lnb+1）e lnb +ln 2b ﹣1=ln 2b ﹣blnb+b ﹣1，再令G （x ）=ln 2x ﹣xlnx+x ﹣1，（0＜x ＜1），G ′（x ）=（ln 2x+2lnx ）﹣（1+lnx ）+1=ln 2x ＞0，则G （x ）在（0，1）递增，可得G （x ）＜G （1）=0，则H （﹣lnb ）＜0．故存在正数x 0=﹣lnb ，使得．。
2019-2020学年山东省临沂市高三(上)期中数学试卷(PDF版 含答案)
4 个说法正确的是（ ） A．在（0，π）上存在 x1，x2，满足 f（x1）﹣f（x2）＝2 B．f（x）在（0，π）有且仅有 1 个最大值点
C．f（x）在ㄷ ， 㐲单调递增
D．ω的取值范围是 ， ᦙ 㐲
三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分．
14．若 tanα＝2，则 tᡰㄷ 㤱 㐲 㐲
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合 A＝{2，3a}，B＝{a，b}，A∩B＝{ }，则 A∪B＝（ ）
A． 瓠 ， ，
B． 瓠 ，
C． ，
D． ， ，
【解答】解：∵ t 㐲 ，
∴ ∈ ， ∈ t，
A．77.2 寸
B．72.4 寸
C．67.3 寸
D．62.8 寸
7．已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 a1+a3＝3，a2+a4＝6，则 S8＝（ ）
A．45
B．81
C．117
D．153
8．函数 f（x）＝Asin（ωx+φ）（其中 ＞ ， ＜ ）的图象如图所示，为了得到 g（x）＝
节气 冬至 小寒 大寒 立春 雨水 惊蛰 春分 清明 谷雨 立夏 小满 芒种 夏至 （大 （小 （立 （霜 （寒 （秋 （白 （处 （立 （大 （小 雪） 雪） 冬） 降） 露） 分） 露） 暑） 秋） 暑） 暑）
晷影 130.0 …… …… …… …… …… …… ？ …… …… …… …… 14.8 长度
A．
B．
C．
D．
【解答】解：f（x）㐲 ‶ 㤱cosx，
f′（x）㐲 x﹣sinx， ∴f′（x）为奇函数，图象关于原点对称，排除 B，D； 令 f″（x）㐲 瓠cosx＝0 可得 x㐲 㤱2kπ，
2019-2020年高三上学期期末教学质量检测数学(文)试题 含答案
2019-2020年高三上学期期末教学质量检测数学（文）试题 含答案一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1. 计算： . 2. 已知集合，，则 .3. 已知等差数列的首项为3，公差为4，则该数列的前项和 .4. 一个不透明袋中有10个不同颜色的同样大小的球，从中任意摸出2个，共有 种不同结果（用数值作答）.5. 不等式的解集是 .6. 设8780178(1)x a a x a x a x -=++++，则0178||||||||a a a a ++++= .7. 已知圆锥底面的半径为1，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积是 .8. 已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边在轴的正半轴上，终边在射线（）上，则 .9. 已知两个向量，的夹角为，，为单位向量，，若，则 . 10. 已知两条直线的方程分别为：和：，则这两条直线的夹角大小为 （结果用反三角函数值表示）.11. 若，是一二次方程的两根，则 .12. 直线经过点且点到直线的距离等于1，则直线的方程是 . 13. 已知实数、满足，则的取值范围是 .14. 一个无穷等比数列的首项为2，公比为负数，各项和为，则的取值范围是 .二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15. 在下列幂函数中，是偶函数且在上是增函数的是（ ）A. B. C. D.16. 已知直线：与直线：，记3D k =A. 充分非必要条件C. 充要条件17. 则表示复数的点是（ ）18. A. 1个 B. 4个三、解答题（本大题满分74定区域内写出必要的步骤.19.（本题满分14分）本题共有2在锐角中，、、分别为内角、（1）求的大小；（2）若，的面积，求的值.B120.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分.上海出租车的价格规定：起步费14元，可行3公里，3公里以后按每公里2.4元计算，可再行7公里；超过10公里按每公里3.6元计算，假设不考虑堵车和红绿灯等所引起的费用，也不考虑实际收取费用去掉不足一元的零头等实际情况，即每一次乘车的车费由行车里程唯一确定.（1）小明乘出租车从学校到家，共8公里，请问他应付出租车费多少元？（本小题只需要回答最后结果）（2）求车费（元）与行车里程（公里）之间的函数关系式.21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分.如图，正方体的棱长为2，点为面的对角线的中点.平面交与，于.（1）求异面直线与所成角的大小；（结果可用反三角函数值表示）（2）求三棱锥的体积.22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分8分.已知函数（其中）.（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）求函数的反函数；（3）若两个函数与在闭区间上恒满足，则称函数与在闭区间上是分离的.试判断函数与在闭区间上是否分离？若分离，求出实数的取值范围；若不分离，请说明理由.23.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分.在数列中，已知，前项和为，且.（其中）（1）求；（2）求数列的通项公式；（3）设，问是否存在正整数、（其中），使得、、成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组；否则，说明理由.静安区xx第一学期期末教学质量检测高三年级数学（文科）试卷答案（试卷满分150分 考试时间120分钟） xx.12一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1. 计算： . 解：.2. 已知集合，，则 . 解：.3. 已知等差数列的首项为3，公差为4，则该数列的前项和 . 解：.4. 一个不透明袋中有10个不同颜色的同样大小的球，从中任意摸出2个，共有 种不同结果（用数值作答）. 解：45.5. 不等式的解集是 . 解：.6. 设8780178(1)x a a x a x a x -=++++，则0178||||||||a a a a ++++= .解：256.7. 已知圆锥底面的半径为1，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积是 . 解：.8. 已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边在轴的正半轴上，终边在射线（）上，则 . 解：.9. 已知两个向量，的夹角为，，为单位向量，，若，则 . 解：-2.10. 已知两条直线的方程分别为：和：，则这两条直线的夹角大小为 （结果用反三角函数值表示）. 解：（或或）.11. 若，是一二次方程的两根，则 . 解：-3.12. 直线经过点且点到直线的距离等于1，则直线的方程是 . 解：或.13. 已知实数、满足，则的取值范围是 . 解：.14. 一个无穷等比数列的首项为2，公比为负数，各项和为，则的取值范围是 . 解：.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15. 在下列幂函数中，是偶函数且在上是增函数的是（ ）A. B. C. D. 解：D.B 116. 已知直线：与直线：，记3D k =A. 充分非必要条件C. 充要条件解：B.17. 则表示复数的点是（ ）解：D.18. A. 1个 B. 4个解：C.三、解答题（本大题满分74定区域内写出必要的步骤.19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.在锐角中，、、分别为内角、、所对的边长，且满足. （1）求的大小；（2）若，的面积，求的值. 解：（1）由正弦定理：，得，∴ ，（4分） 又由为锐角，得.（6分）（2），又∵ ，∴ ，（8分）根据余弦定理：2222cos 7310b a c ac B =+-=+=，（12分） ∴ 222()216a c a c ac +=++=，从而.（14分）20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分.上海出租车的价格规定：起步费14元，可行3公里，3公里以后按每公里2.4元计算，可再行7公里；超过10公里按每公里3.6元计算，假设不考虑堵车和红绿灯等所引起的费用，也不考虑实际收取费用去掉不足一元的零头等实际情况，即每一次乘车的车费由行车里程唯一确定.（1）小明乘出租车从学校到家，共8公里，请问他应付出租车费多少元？（本小题只需要回答最后结果）（2）求车费（元）与行车里程（公里）之间的函数关系式. 解：（1）他应付出出租车费26元.（4分）（2）14,03() 2.4 6.8,3103.6 5.2,10x f x x x x x <≤⎧⎪=+<≤⎨⎪->⎩ . 21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分.如图，正方体的棱长为2，点为面的对角线的中点.平面交与，于.（1）求异面直线与所成角的大小；（结果可用反三角函数值表示）（2）求三棱锥的体积.解：（1）∵ 点为面的对角线的中点，且平面，∴ 为的中位线，得，又∵ ，∴ 22MN ND MD ===（2分） ∵ 在底面中，，，∴ ，又∵ ，为异面直线与所成角，（6分） 在中，为直角，，∴ .即异面直线与所成角的大小为.（8分） （2），（9分）1132P BMN V PM MN BN -=⋅⋅⋅⋅，（12分）22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分8分.已知函数（其中）.（1）判断函数的奇偶性，并说明理由； （2）求函数的反函数；（3）若两个函数与在闭区间上恒满足，则称函数与在闭区间上是分离的.试判断函数与在闭区间上是否分离？若分离，求出实数的取值范围；若不分离，请说明理由. 解：（1）∵ ，∴ 函数的定义域为，（1分）又∵ ()()log )log )0a a f x f x x x +-=+=，∴ 函数是奇函数.（4分） （2）由，且当时，， 当时，，得的值域为实数集. 解得，.（8分）（3）在区间上恒成立，即， 即在区间上恒成立，（11分） 令，∵ ，∴ ， 在上单调递增，∴ ， 解得，∴ .（16分）23.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分.在数列中，已知，前项和为，且.（其中） （1）求；（2）求数列的通项公式； （3）设，问是否存在正整数、（其中），使得、、成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组；否则，说明理由. 解：（1）∵ ，令，得，∴ ，（3分）或者令，得，∴ .（2）当时，1111(1)()(1)22n n n n a a n a S ++++-+==，∴ 111(1)22n nn n n n a na a S S ++++=-=-，∴ ， 推得，又∵ ，∴ ，∴ ，当时也成立，∴ （）.（9分） （3）假设存在正整数、，使得、、成等比数列，则、、成等差数列，故（**）（11分） 由于右边大于，则，即， 考查数列的单调性，∵ ，∴ 数列为单调递减数列.（14分） 当时，，代入（**）式得，解得； 当时，（舍）.综上得：满足条件的正整数组为.（16分）（说明：从不定方程以具体值代入求解也可参照上面步骤给分）温馨提示：最好仔细阅读后才下载使用，万分感谢！。
2020届山东省临沂市高三上学期期末考试数学试题(解析版)
高三期末检测数学考生注意：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试时间120分钟.2.请将各题答案填写在答题卡上.3.本试卷主要考试内容：高考全部内容.第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合()(){}160A x x x =-->，{}20B x x =->，则A B =（ ）A. {}6x x > B. {}12x x <<C. {}1x x <D. {}26x x <<【答案】C 【解析】 【分析】解出集合A 、B ，然后利用交集的定义可得出集合A B .【详解】()(){}{1601A x x x x x =-->=<或}6x >，{}{}202B x x x x =->=<，因此，{}1A B x x ⋂=<. 故选：C.【点睛】本题考查交集的运算，同时也考查了一元二次不等式的解法，考查计算能力，属于基础题. 2.设复数z a bi =+(,)a b ∈R ，定义z b ai =+.若12z ii i=+-，则z =（ ） A. 1355i -+ B.1355i - C. 3155i -+ D. 3155i -- 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数代数形式的运算法计算出z ，再根据定义求出z .【详解】解：因为12z i i i=+-，所以()()()(1)2(1)(1)(2)31222555i i i i i i i z i i i i +++-++====-+--+， 则1355z i =-. 故选：B.【点睛】本题考查复数代数形式的运算，属于基础题. 3.“游客甲在烟台市”是“游客甲在山东省”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】根据烟台是山东省的一个地级市，所以如果甲在烟台市，那么甲必在山东省，反之不成立，即可判断它们之间的关系.【详解】解：因为烟台是山东省的一个地级市，所以如果甲在烟台市，那么甲必在山东省，反之不成立，故“游客甲在烟台市”是“游客甲在山东省”的充分不必要条件 故选：A .【点睛】本题考查充分条件、必要条件，属于基础题. 4.函数()22xf x =-（0x <）的值域是（ ）A. 1,2B. (),2-∞C. ()0,2D. 1,【答案】A 【解析】 【分析】根据定义域，结合指数函数的性质，可得2x 的取值范围，即可求出函数的值域. 【详解】解：0x <，021x ∴<<， 120x ∴-<-<1222x ∴<-<. 即()()2221,xf x =-∈故选：A【点睛】本题考查函数值域的计算，属于基础题.5.62x ⎛⎝的展开式的中间项为（ ） A. -40 B. 240x -C. 40D. 240x【答案】B 【解析】 【分析】根据二项式定义可知62x ⎛ ⎝一共有7项，通项为()6162k kkk T C x -+⎛= ⎝可知第4项为中间项，计算可得.【详解】解：62x ⎛ ⎝的展开式的通项为()6162k kkk T C x -+⎛= ⎝则中间项为313333234631(2)202404T x x C x -⨯⎛⎛⎫=⨯⨯-⨯=- ⎪ ⎭⎝=⎝. 故选：B.【点睛】本题考查求二项式展开式中指定项的计算问题，属于基础题.6.张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家，他曾经得出圆周率的平方除以十六等于八分之五.已知三棱锥A BCD -的每个顶点都在球O 的球面上，AB ⊥底面BCD ，BC CD ⊥，且AB CD ==2BC =，利用张衡的结论可得球O 的表面积为（ ）A. 30B.C. 33D. 【答案】B 【解析】 【分析】由,,BC CD AB BC AB CD ⊥⊥⊥判断出球心的位置，由此求得求的直径.利用张恒的结论求得π的值，进而根据球的表面积公式计算出球的表面积.【详解】因为BC CD ⊥，所以BD =AB ⊥底面BCD ，所以球O 的球心为侧棱AD 的中点，从而球O 的直径为10.利用张衡的结论可得25168π=，则10π=，所以球O 的表面积为2104101010ππ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭. 故选：B【点睛】本小题主要考查几何体外接球表面积的计算，考查中国古代数学文化，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于基础题.7.如图，在等腰直角ABC ∆中，D ，E 分别为斜边BC 的三等分点（D 靠近点B ），过E 作AD 的垂线，垂足为F ，则AF =（ ）A. 3155AB AC + B.2155AB AC + C. 481515AB AC + D. 841515AB AC +【答案】D 【解析】 【分析】设出等腰直角三角形ABC 的斜边长，由此结合余弦定理求得各边长，并求得cos DAE ∠，由此得到45AF AD =，进而利用平面向量加法和减法的线性运算，将45AF AD =表示为以,AB AC 为基底来表示的形式.详解】设6BC =，则32,2AB AC BD DE EC =====，22π2cos4AD AE BD BA BD BA ==+-⋅⋅10=101044cos 2105DAE +-∠==⨯， 所以45AF AF AD AE ==，所以45AF AD =. 因为()1133AD AB BC AB AC AB =+=+-2133AB AC =+，所以421845331515AF AB AC AB AC ⎛⎫=⨯+=+ ⎪⎝⎭. 故选：D【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形，考查利用基底表示向量，属于中档题. 8.已知函数2()2cos 12f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭(0)>ω的图象关于直线4x π=对称，则ω的最小值为（ ） A.13B.16 C.43D.56【答案】A 【解析】 【分析】利用二倍角公式将函数化简，再根据余弦函数的性质解答. 【详解】解：2()2cos 12f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()1cos 26f x x πω⎛⎫∴=+- ⎪⎝⎭，又因为2()2cos 12f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象关于4x π=对称， 所以2()46k k Z ππωπ⨯-=∈，即12()3k k Z ω=+∈， 因为0>ω，所以ω的最小值为13.故选：A.【点睛】本题考查三角恒等变换以及余弦函数的性质，属于基础题.二、多项选择题：本题共4小题，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.9.为了了解运动健身减肥的效果，某健身房调查了20名肥胖者，健身之前他们的体重（单位：kg ）情况如三维饼图（1）所示，经过四个月的健身后，他们的体重情况如三维饼图（2）所示.对比健身前后，关于这20名肥胖者，下面结论正确的是（ ） A. 他们健身后，体重在区间[)90,100内的人增加了2个 B. 他们健身后，体重在区间[)100,110内的人数没有改变 C. 他们健身后，20人的平均体重大约减少了8kgD. 他们健身后，原来体重在区间[)110,120内的肥胖者体重都有减少 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据所给条件分析三维饼图即可得出结论.【详解】解：体重在区间[)90,100内的肥胖者由健身前的6人增加到健身后的8人，故人增加了2个，故A 正确；他们健身后，体重在区间[)100,110内的百分比没有变，所以人数没有变，故B 正确； 他们健身后，20人的平均体重大约减少了()()0.3950.51050.21150.1850.4950.51055kg ⨯+⨯+⨯-⨯+⨯+⨯= ，故C 错误；因为图（2）中没有体重在区间[)110,120内的比例，所以原来体重在区间[)110,120内的肥胖者体重都有减少，故D 正确.故选：ABD【点睛】本题考查根据统计图表分析数据，属于基础题. 10.若104a =，1025b =，则（ ） A. 2a b += B. 1b a -=C. 281g 2ab >D. lg 6b a ->【答案】ACD 【解析】 【分析】根据指数和对数的关系将指数式化成对数式，再根据对数的运算法则计算可得. 【详解】解：由104a =，1025b =，得lg 4a =，lg 25b =，则lg 4lg 25lg1002a b ∴+=+==，25lg 25lg 4lg 4b a ∴-=-=， 25lg101lg lg 64=>> lg6b a ∴->24lg 2lg 54lg 2lg 48lg 2ab ∴=>=，故正确的有：ACD 故选：ACD .【点睛】本题考查对数的运算，对数和指数的互化，属于基础题.11.已知P 是椭圆C ：2216x y +=上的动点，Q 是圆D ：()22115x y ++=上的动点，则（ ） A. CB. CC. 圆D 在C 的内部D. PQ【答案】BC 【解析】【分析】根据椭圆方程计算可得焦距、离心率，设椭圆上点P 设为(), P x y ，求出P 到圆心D 的距离PD 的平方的最小值，可判断圆D 在椭圆C 的内部，则PQ 的最小值为min PD r -. 【详解】解：2216x y +=a ∴=1b =c ∴===C 的焦距为6c e a ===.设(), P x y （x ≤≤， 则()()22222256441111665555x x y x x PD ⎛⎫++=++-=++≥> ⎪⎝⎭=，所以圆D 在C 的内部，且PQ 5=. 故选：BC .【点睛】本题考查椭圆的简单几何性质，圆与椭圆的关系，属于基础题. 12.已知函数()sin cos f x x x x x =+-的定义域为[)2,2ππ-，则（ ） A. ()f x 为奇函数B. ()f x 在[)0,π上单调递增C. ()f x 恰有4个极大值点D. ()f x 有且仅有4个极值点 【答案】BD 【解析】 【分析】由函数的定义域不关于原点对称，可知函数是非奇非偶函数，求出函数的导数， 利用导数分析函数的单调性与极值.【详解】解：因为()f x 的定义域为[)2,2ππ-，所以()f x 是非奇非偶函数，()sin cos f x x x x x =+-()()1cos cos sin 1sin f x x x x x x x '∴=+--=+，当0,x时，()0f x '>，则()f x 在0,上单调递增.显然()00f '≠，令()0f x '=，得1sin x x=-， 分别作出sin y x =，1y x=-在区间[)2,2ππ-上的图象，由图可知，这两个函数的图象在区间[)2,2ππ-上共有4个公共点，且两图象在这些公共点上都不相切，故()f x 在区间[)2,2ππ-上的极值点的个数为4，且()f x 只有2个极大值点.故选：BD .【点睛】本题考查函数 的奇偶性，有利于导数研究函数的极值与单调性，属于中档题.第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题.13.x =______. 【答案】4 【解析】 【分析】11=+，再利用均值不等式得到答案.112915=+--=1=，即4x =时，等号成立. 故答案为：4【点睛】本题考查了利用均值不等式求函数的最值，意在考查学生的计算能力.14.已知P 为双曲线C ：2214y x -=右支上一点，1F ，2F 分别为C 的左、右焦点，且线段12A A ，12B B 分别为C 的实轴与虚轴.若12A A ，12B B ，1PF 成等比数列，则2PF =______. 【答案】6 【解析】 【分析】根据双曲线方程，可得实轴，虚轴12A A ，12B B 的长，再根据12A A ，12B B ，1PF 成等比数列，求出1PF 的值，最后根据双曲线的定义求出2PF 的值.【详解】解：2214y x -=1222A A a ∴==，1224B B b ==， 12A A ，12B B ，1PF 成等比数列212112A A PF B B ∴⋅=，解得18PF =，2826PF a ∴=-=故答案为：6【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，属于基础题.15.现将七本相同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，则甲分得的书不少于3本的概率是______. 【答案】25【解析】 【分析】将甲、乙、丙三人分得的书的数量用树状图列举出来，再根据古典概型的概率计算公式计算可得. 【详解】解：将甲、乙、丙三人分得的书的数量用树状图列举如下：故所求概率62155P ==. 故答案为：25【点睛】本题考查古典概型的概率计算问题，属于基础题.16.在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱CD 上一点，且2CE DE =，F 为棱1AA 的中点，且平面BEF 与1DD 交于点G ，与1AC 交于点H ，则1DG DD =______，1AHHC =______. 【答案】 (1). 16(2). 38【解析】 【分析】由线面平行的性质可得//BF GE ，即可得到AF DGAB DE =，又2CE DE =，则1DG DD 可求. 连接AC 交BE 于M ，过M 作1//MN CC ，MN 与1AC 交于N ，连接FM ，则H 为FM 与1AC 的交点，根据三角形相似可得线段的比. 【详解】解：1111ABCD A B C D -是正方体∴面11//A B BA 面11C D DCBF ⊂面11A B BA//BF ∴平面11CDD C ，面BFGE 面11C D DC GE =则//BF GE ，则AF DG AB DE=，即12DG DE =，又2CE DE =，则116DG DD =. 连接AC 交BE 于M ，过M 作1//MN CC ，MN 与1AC 交于N ，连接FM ，则H 为FM 与1AC 的交点.因为//AB CE ，所以32AM AB MC CE ==，则132AN A C M MC N ==.所以135MN CC =，所以65MN HN FA AH ==，故138AH HC =. 故答案为：16；38【点睛】本题考查线面平行的性质及判定，属于基础题.四、解答题：本题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在①3cos 5A =，25cos 5C =，②sin sin sin c C A b B =+，60B =，③2c =，1cos 8A =三个条件中任选一个补充在下面问题中，并加以解答.已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3a =，______，求ABC 的面积S . 【答案】答案不唯一，具体见解析 【解析】 【分析】若选①，首先根据同角三角函数的基本关系求出sin A ，sin C ，再根据两角和的正弦公式求出sin B ，由正弦定理求出边b ，最后由面积公式求出三角形的面积.若选②，由正弦定理将角化边结合余弦定理求出边c ，最后由面积公式求出三角形的面积.若选③，由余弦定理求出边b ，由同角三角函数的基本关系求出sin A ，最后由面积公式求出三角形的面积. 【详解】解：选① ∵3cos 5A =，cos 5C =， ∴4sin 5A =，sin C =， ∴()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+4355=+=，由正弦定理得3sin 254sin 205a Bb A===，∴1199sin 32240S ab C ==⨯=. 选②∵sin sin sin c C A b B =+， ∴由正弦定理得22c a b =+. ∵3a =，∴223b c =-. 又∵60B =， ∴222192332b c c c =+-⨯⨯⨯=-， ∴4c =，∴1sin 2S ac B ==选③∵ 2c =，1cos 8A =， ∴ 由余弦定理得222123822b b +-=⨯，即2502b b --=，解得52b =或2b =-（舍去）sin A∴==∴ABC的面积115sin2222816S bc A==⨯⨯⨯=.故答案为：选①为9940；选②为③为16.【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理、三角形面积公式解三角形，属于基础题.18.设*n N∈，向量(31,3)AB n=+，(0,32)BC n=-，na AB AC =⋅.（1）试问数列{}1n n a a+-是否为等差数列？为什么？（2）求数列1n a⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n项和n S. 【答案】（1）{}1n n a a+-是等差数列,理由见解析；（2）1216n n+【解析】【分析】(1)先求解出AC的坐标表示，然后根据数量积的坐标表示求解出{}n a的通项公式，再根据定义判断{}1n na a+-是否为等差数列；(2)根据(1)中结果求出1na⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，然后根据裂项相消法求解出n S的表达式.【详解】（1）(31,31)AC AB BC n n=+=++，2(31)3(31)(31)(34)na n n n n∴=+++=++.1(34)(37)(31)(34)6(34)n na a n n n n n+-=++-++=+，()()21118n n n na a a a+++∴---=为常数，{}1n na a+∴-是等差数列.（2）111133134na n n⎛⎫=-⎪++⎝⎭，1111111111347710313434341216n nS n n n n ⎛⎫⎛⎫∴=-+-++-=-= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查向量与数列的综合应用，难度一般.(1)等差数列常用的证明方法：<1>定义法：根据1n n a a d +-=(d 是常数)，证明等差数列.<2>等差中项法：当{}n a 满足212n n n a a a +++=时，可证明{}n a 为等差数列；(2)常见的裂项相消类型：()11111n n n n =-++、()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭、1=-19.某土特产超市为预估2020年元旦期间游客购买土特产的情况，对2019年元旦期间的90位游客购买情况进行统计，得到如下人数分布表.（1）根据以上数据完成22⨯列联表，并判断是否有95%的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关.（2）为吸引游客，该超市推出一种优惠方案，购买金额不少于60元可抽奖3次，每次中奖概率为p （每次抽奖互不影响，且p 的值等于人数分布表中购买金额不少于60元的频率），中奖1次减5元，中奖2次减10元，中奖3次减15元.若游客甲计划购买80元的土特产，请列出实际付款数X （元）的分布列并求其数学期望.附：参考公式和数据：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.附表：【答案】(1)见解析，有95%的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关.(2)分布列见解析，数学期望75 【解析】 【分析】（1）完善列联表，计算214403.841247K =>得到答案. （2）先计算13p =，分别计算()16527P X ==，()2709P X ==，()4759P X ==，()88027P X ==，得到分布列，计算得到答案. 【详解】（1）22⨯列联表如下：()22901220401814405 3.84130605238247K ⨯⨯-⨯==>>⨯⨯⨯，因此有95%的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关. （2）X 可能取值为65，70，75，80，且10201903p +==. ()3331165327P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()22312270339P X C ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭， ()21312475339P X C ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭，()3032880327P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，所以X 的分布列为X65 70 75 80()P X127 2949 82712486570758075279927EX =⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查了列联表，分布列，意在考查学生的应用能力和计算能力.20.如图，在四棱锥P -ABCD 中，AP ⊥平面PCD ，//AD BC ，AB BC ⊥，12AP AB BC AD ===，E 为AD 的中点，AC 与BE 相交于点O .（1）证明：PO ⊥平面ABCD .（2）求直线BC 与平面PBD 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析（2）2211【解析】 【分析】（1）通过证明BE ⊥平面APC ，得到BE PO ⊥，再证PO AC ⊥即可证得PO ⊥平面ABCD .（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量、直线的方向向量，利用空间向量法求出线面角的正弦值. 【详解】（1）证明：AP ⊥平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，AP CD ∴⊥，//,AD BC 12BC AD =，E 为AD 的中点，则//BC DE 且BC DE =. ∴四边形BCDE 为平行四边形，//BE CD ∴，AP BE ∴⊥.又,AB BC ⊥12AB BC AD ==，且E 为AD 的中点，∴四边形ABCE 为正方形，BE AC ∴⊥，又,APAC A =BE ∴⊥平面APC ，PO ⊂平面APC ，则BE PO ⊥.AP ⊥平面,PCD PC ⊂平面PCD ，AP PC ∴⊥，又22AC AB AP ==，PAC ∴∆为等腰直角三角形，O 为斜边AC 上的中点，PO AC ∴⊥且,ACBE O =PO ∴⊥平面ABCD .（2）解：以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系O -xyz ，如图所示不妨设1OB =，则(1,0,0),B (0,1,0),C (0,0,1),P (2,1,0)D -, 则(1,1,0),BC =-(1,0,1),PB =-(2,1,1)PD =--. 设平面PBD 的法向量为(,,)n x y z =，则00n PB n PD ⎧⋅=⎨⋅=⎩，，即0,20,x z x y z -=⎧⎨-+-=⎩即,3,x z y z =⎧⎨=⎩令1z =，得(1,3,1)n =. 设BC 与平面PBD 所成角为θ， 则()2222211310122sin cos ,13111BC n θ-⨯+⨯+⨯=<>==++-+【点睛】本题考查线面垂直，线面角的计算，属于中档题.21.如图，已知点F 为抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点，过点F 的动直线l 与抛物线C 交于M ，N 两点，且当直线l 的倾斜角为45°时，16MN =.（1）求抛物线C 的方程.（2）试确定在x 轴上是否存在点P ，使得直线PM ，PN 关于x 轴对称？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）28y x =（2）存在唯一的点()2,0P -，使直线PM ，PN 关于x 轴对称【解析】 【分析】（1）当直线l 的倾斜角为45°，则l 的斜率为1，则直线方程为2py x =-，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理可得123x x p +=，根据焦点弦公式12MN x x p =++，求出p 的值，即可得到抛物线方程. （2）假设满足条件的点P 存在，设(),0P a ，当直线l 不与x 轴垂直时，设l 的方程为()2y k x =-（0k ≠），联立直线与抛物线方程，消元，列出韦达定理，因为直线PM ，PN 关于x 轴对称，所以0PM PN k k +=，即可求出a 的值. 当直线l 与x 轴垂直时，由抛物线的对称性，易知PM ，PN 关于x 轴对称，此时只需P 与焦点F 不重合即可.【详解】解：（1）当直线l 的倾斜角为45°，则l 的斜率为1，,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，l ∴的方程为2p y x =-.由2,22,p y x y px ⎧=-⎪⎨⎪=⎩得22304p x px -+=.设()11,M x y ，()22,N x y ，则123x x p +=， ∴12416x x p M p N ++===，4p =， ∴抛物线C 的方程为28y x =.（2）假设满足条件的点P 存在，设(),0P a ，由（1）知()2,0F ， ①当直线l 不与x 轴垂直时，设l 的方程为()2y k x =-（0k ≠），由()22,8,y k x y x ⎧=-⎨=⎩得()22224840k x k x k -++=，()22222484464640k k k k ∆=+-⋅⋅=+>， 212248k x x k++=，124x x =. ∵直线PM ，PN 关于x 轴对称， ∴0PM PN k k +=，()112PM k x k x a -=-，()222PN k x k x a-=-. ∴()()()()()()122112128(2)222240a k x x a k x x a k x x a x x a k+--+--=-+++=-=⎡⎤⎣⎦， ∴2a =-时，此时()2,0P -.②当直线l 与x 轴垂直时，由抛物线的对称性，易知PM ，PN 关于x 轴对称，此时只需P 与焦点F 不重合即可. 综上，存在唯一的点()2,0P -，使直线PM ，PN 关于x 轴对称.【点睛】本题考查抛物线的焦点弦公式的应用，直线与抛物线的综合问题，属于中档题. 22.已知函数()()2ln 1sin 1f x x x =+++，函数()1ln g x ax b x =--（,,0a b ab ∈≠R ）. （1）讨论()g x 的单调性；（2）证明：当0x ≥时，()31f x x ≤+. （3）证明：当1x >-时，()()2sin 22exf x x x <++.【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）证明见解析（3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出()g x 的定义域，导函数，对参数a 、b 分类讨论得到答案.（2）设函数()()()31h x f x x =-+，求导说明函数的单调性，求出函数的最大值，即可得证.（3）由（1）可知1ln x x ≥+，可得()()22sin sin 1e 1ln 1e xx x x ⎡⎤++≥+⎣⎦，即()()2sin 1e 2ln 1sin 1x x x x ++++≥又()()22sin sin 22e 1e x x x x x ++>+即可得证.【详解】（1）解：()g x 的定义域为()0,∞+，()a g x x b x'=-， 当0a >，0b <时，()0g x '>，则()g x 在()0,∞+上单调递增；当0a >，0b >时，令()0g x '>，得b x a >，令()0g x '<，得0b x a <<，则()g x 在0,b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在,b a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增； 当0a <，0b >时，()0g x '<，则()g x 在()0,∞+上单调递减；当0a <，0b <时，令()0g x '>，得0b x a <<，令()0g x '<，得b x a >，则()g x 在0,b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在,b a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减； （2）证明：设函数()()()31h x f x x =-+，则()2cos 31x x h x '=+-+. 因为0x ≥，所以(]20,21x ∈+，[]cos 1,1x ∈-， 则()0h x '≤，从而()h x 在[)0,+∞上单调递减，所以()()()()3100h x f x x h =-+≤=，即()31f x x ≤+.（3）证明：当1a b ==时，()1ln g x x x =--.由（1）知，()()min 10g x g ==，所以()1ln 0g x x x =--≥，即1ln x x ≥+.当1x >-时，()210x +>，()2sin 1e 0x x +>，则()()22sin sin 1e 1ln 1e x x x x ⎡⎤++≥+⎣⎦， 即()()2sin 1e 2ln 1sin 1x x x x ++++≥，又()()22sin sin 22e 1e x x x x x ++>+， 所以()()2sin 22e 2ln 1sin 1x x x x x ++>+++，即()()2sin 22e x f x x x <++.【点睛】本题考查利用导数研究含参函数的单调性，利用导数证明不等式，属于难题.。
山东省2019-2020学年高三上学期期末考试数学(理)试题含答案
山东省2019-2020学年度第一学期期末考试高三理科数学试题一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2=5A x x x >，{}=1,3,7B -，则AB =( )A.{}1-B.{}7C.{}1,3-D.{}1,7-2.复数z 的共轭复数()()122+z i i =+，则z =( ) A.5i -B.5iC.1+5iD.15i -3.某校连续12天对同学们的着装进行检查，着装不合格的人数用茎叶图表示，如图，则该组数据的中位数、众数、极差分别是( )A.24，33，27B.27，35，28C.27，35，27D.30，35，284.已知322παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，，1sin 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则()tan 2πα+=( )A.7B.5±C.7±D.55.南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出的秦九韶算法至今仍是多项式求值比较先进的算法，已知()201720162018201721f x xx x =++++，下列程序框图设计的是求()0f x 的值，在M 处应填的执行语句是( )A.n i =B.2018n i =-C.1n i =+D.2017n i =-6.将函数()sin cos 1f x x x =-+的图像上每个点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变），再向左平移3π个单位长度，得到函数()y g x =的图像，则函数()y g x =的图像的一个对称中心为( ) A.06π⎛⎫⎪⎝⎭，B.16π⎛⎫⎪⎝⎭，C.706π⎛⎫⎪⎝⎭，D.716π⎛⎫⎪⎝⎭， 7.已知等边AOB ∆（O 为坐标原点）的三个顶点在抛物线()2:20y px p Γ=>上，且AOB ∆的面积为p =( )B.3C.28.在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且c o s 02ba B c --=，272a bc =，b c >，则bc =( ) A.32B.2C.3D.529.函数()33sin x f x x=，()(),00,x ππ∈-的大致图像是( )A. B. C. D.10.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.53π B.43πC.2πD.3π11.在斜三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥平面11AB C ，且11AB C ∆为等边三角形，11122B C AA ==，则直线AB 与平面11B C CB 所成角的正切值为( )A.3B.2C.4D.212.已知双曲线()222210,0x y C a b a b -=>>：的左、右焦点分别为12,F F ，A 是双曲线的左顶点，双曲线C 的一条渐近线与直线2a x c=-交于点P ，1=F M MP ，且1F P AM ⊥，则双曲线C 的离心率为( ) A.3C.2二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知()52211x a x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为8，则a =_________.14.平行四边形A B C D 中，24AB AD ==，23DAB π∠=，14DP DC =，则P A P B ⋅=_________.15.已知实数,x y 满足不等式组240240x kx y x y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，若2z x y =+的最小值为8，则22x y +的取值范围是________.16.若不等式()()21112x n x ax ax ++<+在()0+∞，上恒成立，则a 的取值范围是________.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知数列{}n a ，满足11a =，11233n n n n a a a a +++=； （1）求{}n a 的通项公式； （2）若()1111n n n n c a a ++=-，求{}n c 的前2n 项的和2n T .18.如图，直三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA B B 是正方形，AC ⊥侧面11AA B B ，AC AB =，点E 是11B C 的中点.（1）求证：1C A //平面1EBA ；（2）若1EF BC ⊥，垂足为F ，求二面角1B AF A --的余弦值.19.2017年是某市大力推进居民生活垃圾分类的关键一年，有关部门为宣传垃圾分类知识，面向该市市民进行了一次“垃圾分类知识”的网络问卷调查，每位市民仅有一次参与机会，通过抽样，得到参与问卷调查中的1000人的得分数据，其频率分布直方图如图所示：（1）估计该组数据的中位数、众数；（2）由频率分布直方图可以认为，此次问卷调查的得分Z 服从正态分布()210N μ，，μ近似为这1000人得分的平均值（同一组数据用该区间的中点值作代表），利用该正态分布，求()50.594P Z <<；（3）在（2）的条件下，有关部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案： （ⅰ）得分不低于μ可获赠2次随机话费，得分低于μ则只有1次； （ⅱ）每次赠送的随机话费和对应概率如下：现有一位市民要参加此次问卷调查，记X (单位：元）为该市民参加问卷调查获赠的话费，求X 的分布列和数学期望.， 若()2,ZN μσ，则()+=0.6826P Z μσμσ-<<，()2+2=0.9544P Z μσμσ-<<.20.已知抛物线2:2C x py =的焦点为F ，且过点(2,2)A ，椭圆2222:1(0)x y D a b a b+=>>的离心率为e =，点B 为抛物线C 与椭圆D 的一个公共点，且3=2BF . （1）求椭圆D 的方程；（2）过椭圆内一点(0,)P t 的直线l 的斜率为k ，且与椭圆C 交于,M N 两点，设直线OM ，ON （O 为坐标原点）的斜率分别为1k ，2k ，若对任意k ，存在实数λ，使得12+=k k k λ，求实数λ的取值范围. 21.已知函数()()ln 1x mf x ex x m x -=---；（1）若1m =，求证：()f x 在(0,)+∞上单调递增； （2）若()()='g x f x ，试讨论()g x 零点的个数.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为,5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以平面直角坐标系的原点为极点，正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2sin()14πρθ+-.（1）求直线l 和曲线C 的直角坐标方程，并指明曲线C 的形状；（2）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，O 为坐标原点，且||||OA OB <，求11||||OA OB -. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()12f x x x =--+（1）若不等式()1f x a ≤+恒成立，求a 的取值范围; （2）求不等式()23f x x -+>的解集.试卷答案一、选择题1-5:DABAB 6-10:BCBCA 11、12：DC二、填空题13.3 14.3 15.[]13,32 16.1[,)2+∞三、解答题17.解：（1）由11233n n n n a a a a +++=，得11123n n a a +=+，所以11123n n a a +-=， 所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为23的等差数列，所以()122111333n n n a =+-=+，即321n a n =+. （2）设21221222111n n n nn n c c a a a a --++=-21212111()n n na a a -+=-所以212+1114=3n n a a ---，即2122413n n nc c a -+=-⋅， 2122334451111n T a a a a a a a a =-+-21222111n nn n a a a a -+++-=2424111()3na a a -+++ 2541()4843333293n n n n ++=-⨯=--. 18.解：（1）如图，连结1BA ，1AB 交于O ，连结OE ，由11AA B B 是正方形，易得O 为1AB 的中点，从而OE 为11C AB ∆的中位线，所以1//EO AC ，因为EO ⊂面1EBA ，1C A ⊄面1EBA ，所以1//C A 平面1EBA .（2）由已知AC ⊥底面11AA B B ，得11A C ⊥底面11AA B B ，得111C A AA ⊥，1111C A A B ⊥，又111A A A B ⊥，故1A A ，11A B ，11A C 两两垂直，如图，分别以1A A ，11A B ，11A C 所在直线为,,x y z 轴，1A 为原点建立空间直角坐标系， 设1=2AA ，则()10,0,0A ，()2,0,0,A ，()10,0,2C ，()0,1,1E ，()2,2,0B ，则()12,2,2C B =-，()1=2,0,0A A ，()=0,2,0AB ， 设()000,y ,F x z ，11C F C B λ=，则由()1000,,z 2C F x y =-，得()()000,y ,22,2,2x z λ-=-，即得0002222x y z λλλ=⎧⎪=⎨⎪=-⎩，于是()2222F λλλ-，，，所以()221,12EF λλλ=--，，又1EF C B ⊥，所以()()()222121220λλλ⨯+-⨯+-⨯-=，解得13λ=， 所以224,,333F ⎛⎫⎪⎝⎭，1224,,333A F ⎛⎫= ⎪⎝⎭，424,,333AF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 设平面1A AF 的法向量是(),,n x y z =，则111100A A n A F n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2020x x y z =⎧⎨++=⎩，令1z =，得()10,2,1n =-.又平面ABF 的一个法向量为()2111,,n x y z =，则220AB n AF n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111120220y x y z =⎧⎨-++=⎩，令11z =，得()21,0,1n =，设二面角1B AF A --的平面角为θ，则121210cos n n n n θ⋅==⋅， 由1A A AB ⊥，面1FA B ⊥面1AA B ，可知θ为锐角， 即二面角1B AF A --的余弦值为10.19.解：（1）由(0.0025+0.0050+0.0.0150+0.02a +0.0250)10+⨯=，得0.0200a =，设中位数为x ，由().025+.0150+.02010+⨯()60.02500.50x -⨯=，解得65x =，由频率分布直方图可知众数为65. （2）从这1000人问卷调查得到的平均值μ为=350.025+450.15μ⨯⨯+550.20+650.25+⨯⨯750.225+85⨯⨯0.1+950.05⨯ =0.875+6.75+11+16.25+16.875+8.5+4.75=65因为由于得分Z 服从正态分布()65,210N ，所以()50.594=P Z <<()6014.56014.52P Z -<<+⨯0.6826+0.9544=0.81852=.（3）设得分不低于μ分的概率为p ，则()1=2P Z μ≥， X 的取值为10，20，30，40，()14310238P X ==⨯=，()1113313202424432P X ==⨯+⨯⨯=，()12141330()23416P X C ==⨯⨯=，()11114024432P X ==⨯⨯=， 所以X 的分布列为：所以31331751020304083216324EX =⨯+⨯+⨯+⨯=. 20.解：（1）由点()2,2A 在抛物线2:2C x py =上，得22=22p ⨯，解得1p =.所以抛物线C 的方程为22x y =，其焦点1(0,)2F ， 设(),B m n ，则由抛物线的定义可得13()22BF n =--=，解得1n =，代入抛物线方程可得222m n ==，解得m =()B ，椭圆C 的离心率2e ==，所以a =，又点()B 在椭圆上，所以22211a b +=，解得2a =，b =， 所以椭圆D 的方程为22142x y +=.（2）设直线l 的方程为y kx t =+.由22142x y y kx t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消元可得()222214240k x ktx t +++-=， 设()11,M x y ，()22,N x y ，则122421ktx x k -+=+，2122242+1t x x k -=， 而1212121212y y kx t kx t k k x x x x +++=+=+12212()422t x x kk x x t +-=+=-，由12k k k λ+=，得242kk t λ-=-， 因为此等式对任意的k 都成立，所以242t λ-=-，即242t λ=-. 由题意得点()0,P t 在椭圆内，故202t ≤<，即4022λ≤-<，解得2λ≥.21.解：（1）1m =时，()1ln x f x ex x -=-，()1'ln 1x f x e x -=--，要证()f x 在()0+∞，上单调递增，只要证：()'0f x ≥对0x >恒成立， 令()1x i x ex -=-，则()1'1x i x e -=-，当1x >时，()'0i x >，当1x <时，()'0i x <，故()i x 在()1-∞，上单调递减，在()1+∞，上单调递增， 所以()()10i x i ≥=，即1x e x -≥（当且仅当1x =时等号成立）， 令()()1ln 0j x x x x =-->，则()1'x j x x-=， 当01x <<时，()'0j x <，当1x >时，()'0j x >，故()j x 在（0，1）上单调递减，在()1+∞，上单调递增，所以()()10j x j ≥=，即ln 1x x ≥+（当且仅当1x =时取等号），()1ln 1x f x e x -'=--()ln 10x x ≥-+≥（当且仅当1x =时等号成立） ()f x 在()0+∞，上单调递增.（2）由()ln x mg x ex m -=--有()()1'0x m g x e x x-=->，显然()'g x 是增函数， 令()0'0g x =，得001x mex -=，00x me x e =，00ln m x x =+， 则(]00,x x ∈时，()'0g x ≤，[)0,x x ∈+∞时，()'0g x ≥，∴()g x 在(]00x ，上是减函数，在[)0,x +∞上是增函数，∴()g x 有极小值，()0000001ln 2ln x m g x e x m x x x -=--=--， ①当1m =时，01x =，()()=10g x g =极小值，()g x 有一个零点1；②1m <时，001x <<，()()011010g x g >=--=，()g x 没有零点；③当1m >时，01x >，()01010g x <--=，又()0m m m em e m g e e m m e -----=+-=>，又对于函数1x y e x =--，'e 10x y =-≥时0x ≥， ∴当0x >时，1010y >--=，即1x e x >+，∴()23ln3m g m e m m =-->21ln3m m m +--=1ln ln3m m +--，令()1ln ln3t m m m =+--，则()11'1m t m m m -=-=， ∵1m >，∴()'0t m >，∴()()12ln30t m t >=->，∴()30g m >，又01m e x -<<，000333ln m x x x =+>，∴()g x 有两个零点，综上，当1m <时，()g x 没有零点；1m =时，()g x 有一个零点；1m >时，()g x 有两个零点.22.解：（1）由5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩消去参数t ，得2y x =，由2sin()14πρθ+-，得22cos 2sin 10ρρθρθ--+=，所以曲线C 的直角坐标方程为222210x y x y +--+=，即()()22111x y -+-=.即曲线C 是圆心为()1,1，半径1r =的圆. （2）联立直线l 与曲线C 的方程，得22s i n 2cos 10t an 2ρρθρθθ⎧--+=⎨=⎩，消去θ，得2+1=0ρρ-， 设A B 、对应的极径分别为1ρ，2ρ，则12+5ρρ=，12=1ρρ⋅， 所以121211==OA OB ρρρρ--12523.解：（1）因为()()()12123f x x x x x =--+≤--+=， 所以由()1f x a ≤+恒成立得13a +≥，即13a +≥或+13a ≤-所以2a ≥或4a ≤-. （2）不等式1223x x --+>等价于1223x x --+>或1223x x --+<-，5,112233,215,2x x x x x x x x --≥⎧⎪--+=---≤<⎨⎪+<-⎩.图像如下：由图知解集为{8x x <-或}0x >.。
2019-2020学年山东省临沂市郯城县高三(上)期末数学试卷及答案
2019-2020学年山东省临沂市郯城县高三（上）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A＝{x|y＝}，B＝{x|（x+1）（x﹣3）＜0}，则（∁R A）∩B＝（）A．[1，3）B．（1，3）C．（﹣1，0]∪[1，3）D．（﹣1，0]∪（1，3）2．（5分）复数z＝（其中i为虚数单位）在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）已知向量＝（1，1），2+＝（4，3），＝（x，﹣2），若∥，则x的值为（）A．4B．﹣4C．2D．﹣24．（5分）已知x＝log52，y＝log2，z＝，则下列关系正确的是（）A．x＜z＜y B．x＜y＜z C．z＜x＜y D．z＜y＜x5．（5分）展开式的常数项为（）A．﹣56B．﹣28C．56D．286．（5分）双曲线的一条渐近线与直线2x+y+3＝0垂直，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．27．（5分）已知圆（x﹣2）2+y2＝1上的点到直线的最短距离为，则b的值为（）A．﹣2或2B．C．D．8．（5分）已知函数f（x）＝，g（x）＝e x（e是自然对数的底数），若关于x 的方程g（f（x））﹣m＝0恰有两个不等实根x1、x2，且x1＜x2，则x2﹣x1的最小值为（）A．（1﹣ln2）B．+ln2C．1﹣ln2D．（1+ln2）二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．（5分）如表是某电器销售公司2018年度各类电器营业收入占比和净利润占比统计表：空调类冰箱类小家电类其它类营业收入占比90.10% 4.98% 3.82% 1.10%净利润占比95.80%﹣0.48% 3.82%0.86%则下列判断中正确的是（）A．该公司2018年度冰箱类电器销售亏损B．该公司2018年度小家电类电器营业收入和净利润相同C．该公司2018年度净利润主要由空调类电器销售提供D．剔除冰箱类电器销售数据后，该公司2018年度空调类电器销售净利润占比将会降低10．（5分）下列命题中，是真命题的是（）A．已知非零向量B．若p：∀x∈（0，+∞），x﹣1＞lnx，则￢p：∃x0∈（0，+∞），x0﹣1≤lnx0C．在△ABC中．“sin A+cos A＝sin B+cos B”是“A＝B”的充要条件D．若定义在R上的函数y＝f（x）是奇函数，则y＝f（f（x））也是奇函数11．（5分）设函数f（x）的定义域为D，∀x∈D，∃y∈D，使得f（y）＝﹣f（x）成立，则称f（x）为“美丽函数”．下列所给出的函数，其中是“美丽函数”的是（）A．y＝x2B．C．y＝ln（2x+3）D．y＝2x+3 12．（5分）如图，在棱长均相等的四棱锥P﹣ABCD中，O为底面正方形的中心，M，N分别为侧棱P A，PB的中点，有下列结论正确的有（）A．P A∥平面OMNB．平面PCD∥平面OMNC．直线PD与直线MN所成角的大小为90°D．ON⊥PB三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知点M（1，2）在抛物线C：y2＝2px（p＞0）上，则p＝；点M到抛物线C的焦点的距离是．14．（5分）已知，则的值为．15．（5分）为了提高命题质量，命题组指派5名教师对数学卷的选择题、填空题和解答题这3种题型进行改编，每个教师只参与一道题目的改编，则每种题型至少指派一名教师的不同分派方法种数为种．16．（5分）三棱锥P﹣ABC的4个顶点在半径为的球面上，P A⊥平面ABC，△ABC是边长为的正三角形，则点A到平面PBC的距离为．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知数列{a n}中，a1＝1，其前n项的和为S n，且当n≥2时，满足a n＝．（Ⅰ）求证：数列{}是等差数列；（Ⅱ）证明：S12+S22+…+S n2＜．18．（12分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且3（sin2B+sin2C）＝4A．（1）求tan A的值；（2）若，且△ABC的面积S△ABC＝2，求c的值．19．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，平面P AC⊥平面ABC，△P AC为等边三角形，AB ⊥AC，D是BC的中点．（Ⅰ）证明：AC⊥PD；（Ⅱ）若AB＝AC＝2，求二面角D﹣P A﹣B平面角的余弦值．20．（12分）某公司为了预测下月产品销俜情况，找出了近7个月的产品销售量y（单位：万件）的统计表：月份代码t1234567销售量yy1y2y3y4y5y6y7（万件）但其中数据污损不清，经查证y i＝9.32，t i y i＝40.17，＝0.55．（Ⅰ）请用相关系数说明销售量y与月份代码t有很强的线性相关关系；（Ⅱ）求y关于t的回归方程（系数精确到0.01）；（Ⅲ）公司经营期间的广告宣传费（单位：万元）（i＝1，2，…，7），每件产品的销售价为10元，预测第8个月的毛利润能否突破15万元，请说明理由．（毛利润等于销售金额减去广告宣传费）参考公式及数据：≈2.646，相关系数r ＝，当|r|＞0.75时认为两个变量有很强的线性相关关系，回归方程y＝bt+a中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为＝，＝﹣．21．（12分）已知椭圆C ：过点，且离心率．（1）求椭圆C的方程；（2）已知斜率为的直线l与椭圆C交于两个不同点A，B，点P的坐标为（2，1），设直线P A与PB的倾斜角分别为α，β，证明：α+β＝π．22．（12分）已知函数．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）对任意的a∈[3，5]，x1，x2∈[1，3]（x1≠x2），恒有|f（x1）﹣f（x2）|＜λ|x1﹣x2|，求实数λ的取值范围．2019-2020学年山东省临沂市郯城县高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A＝{x|y＝}，B＝{x|（x+1）（x﹣3）＜0}，则（∁R A）∩B＝（）A．[1，3）B．（1，3）C．（﹣1，0]∪[1，3）D．（﹣1，0]∪（1，3）【分析】化简集合A、B，根据补集与交集的定义写出（∁R A）∩B．【解答】解：集合A＝{x|y＝}＝{x|1﹣x≥0}＝{x|x≤1}＝（+∞，1]；集合B＝{x|（x+1）（x﹣3）＜0}＝{x|﹣1＜x＜3}＝（﹣1，3），则∁R A＝（1，+∞）；所以（∁R A）∩B＝（1，3）．故选：B．【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．2．（5分）复数z＝（其中i为虚数单位）在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，求出，得到其坐标得答案．【解答】解：由z＝＝＝﹣+i；∴z＝﹣+i，对应的点为（﹣，）在第二象限．故选：B．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3．（5分）已知向量＝（1，1），2+＝（4，3），＝（x，﹣2），若∥，则x的值为（）A．4B．﹣4C．2D．﹣2【分析】可求出，从而根据得出x+4＝0，解出x＝﹣4．【解答】解：；∵；∴x+4＝0；∴x＝﹣4．故选：B．【点评】考查向量坐标的减法和数乘运算，平行向量的坐标关系．4．（5分）已知x＝log52，y＝log2，z＝，则下列关系正确的是（）A．x＜z＜y B．x＜y＜z C．z＜x＜y D．z＜y＜x【分析】利用指数与对数函数的单调性即可得出．【解答】解：x＝log52＜＝，y＝log2＞1，z＝＝∈（，1）．∴x＜z＜y．故选：A．【点评】本题考查了指数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5．（5分）展开式的常数项为（）A．﹣56B．﹣28C．56D．28【分析】由二项式定理及展开式通项公式得：T r+1＝x8﹣r（﹣）r＝（﹣1）r x，令＝0，解得r＝6，即展开式的常数项为（﹣1）6＝28，得解．【解答】解：由展开式的通项T r+1＝x8﹣r（﹣）r＝（﹣1）r x，令＝0，解得r＝6，即展开式的常数项为（﹣1）6＝28，故选：D．【点评】本题考查了二项式定理及展开式通项公式，属中档题．6．（5分）双曲线的一条渐近线与直线2x+y+3＝0垂直，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．2【分析】根据题意，由双曲线的方程计算可得其渐近线方程为y＝，进而由直线垂直的性质分析可得有列出方程，然后求解双曲线的离心率即可．【解答】解：根据题意，双曲线的渐近线方程为y＝±，又由双曲线的一条渐近线与直线2x+y+3＝0即y＝﹣2x﹣3垂直，则有，即a＝2b，则双曲线的离心率e＝＝＝；故选：C．【点评】本题考查双曲线的几何性质，关键掌握双曲线的渐近线方程．7．（5分）已知圆（x﹣2）2+y2＝1上的点到直线的最短距离为，则b的值为（）A．﹣2或2B．C．D．【分析】设圆的半径为r，则r＝1，设圆（x﹣2）2+y2＝1圆心到直线的距离为d，圆（x﹣2）2+y2＝1上的点到直线的最短距离为，所以d﹣r＝．列方程求解即可得到b．【解答】解：依题意，设圆的半径为r，则r＝1，设直线到圆（x﹣2）2+y2＝1圆心的距离为d，圆（x﹣2）2+y2＝1上的点到直线的最短距离为，所以d﹣r＝．即﹣1＝，解得b＝2或b＝﹣4．故选：D．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，圆上的点到直线的最小距离，点到直线的距离公式等．属于中档题．8．（5分）已知函数f（x）＝，g（x）＝e x（e是自然对数的底数），若关于x 的方程g（f（x））﹣m＝0恰有两个不等实根x1、x2，且x1＜x2，则x2﹣x1的最小值为（）A．（1﹣ln2）B．+ln2C．1﹣ln2D．（1+ln2）【分析】化简方程为f（x）＝lnm，作函数f（x），y＝lnm的图象，结合图象可知，存在实数m（1＜m≤e），使x2＝＝m，可得x1﹣x2＝m﹣lnm，令h（m）＝m﹣lnm，利用导数可得h（m）≥h（）＝，【解答】解：∵f（x）＝，∴f（x）＞0恒成立；∴g[f（x）]＝e f（x）＝m，∴f（x）＝lnm；作函数f（x），y＝lnm的图象如下，结合图象可知，存在实数m（1＜m≤e），使x2＝＝m故x1﹣x2＝m﹣lnm，令h（m）＝m﹣lnm，则h′（m）＝1﹣，故h（m）在（0，]递减，在（，1）递增，∴h（m）≥h（）＝，故选：D．【点评】本题考查了复合函数与分段函数的应用，同时考查了导数的综合应用及最值问题，应用了数形结合的思想及转化构造的方法．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．（5分）如表是某电器销售公司2018年度各类电器营业收入占比和净利润占比统计表：空调类冰箱类小家电类其它类营业收入占比90.10% 4.98% 3.82% 1.10%净利润占比95.80%﹣0.48% 3.82%0.86%则下列判断中正确的是（）A．该公司2018年度冰箱类电器销售亏损B．该公司2018年度小家电类电器营业收入和净利润相同C．该公司2018年度净利润主要由空调类电器销售提供D．剔除冰箱类电器销售数据后，该公司2018年度空调类电器销售净利润占比将会降低【分析】根据题意，分析表中数据，即可得出正确的选项．【解答】解：根据表中数据知，该公司2018年度冰箱类电器销售净利润所占比为﹣0.48，是亏损的，A正确；小家电类电器营业收入所占比和净利润所占比是相同的，但收入与净利润不一定相同，B 错误；该公司2018年度净利润空调类电器销售所占比为95.80%，是主要利润来源，C正确；所以剔除冰箱类电器销售数据后，该公司2018年度空调类电器销售净利润占比将会降低，D正确．故选：ACD．【点评】本题考查了数据分析与统计知识的应用问题，是基础题．10．（5分）下列命题中，是真命题的是（）A．已知非零向量B．若p：∀x∈（0，+∞），x﹣1＞lnx，则￢p：∃x0∈（0，+∞），x0﹣1≤lnx0C．在△ABC中．“sin A+cos A＝sin B+cos B”是“A＝B”的充要条件D．若定义在R上的函数y＝f（x）是奇函数，则y＝f（f（x））也是奇函数【分析】化简条件看是否得到结论，再判断命题的真假．【解答】解：A中||＝||，两边平方得，（）2+（）2+2•＝（）2+（）2+2•⇒＝0⇒⊥，所以A正确；B是写全称命题的否定，条件中将∀符合改成∃符合，结论否定即可，所以B正确；C中△ABC中，sin A+cos A＝sin B+cos B⇒sin（A+）＝sin（B+）⇒A+＝B+或A+＝π﹣（B+）⇒A＝B或A＝B+，所以C不正确；D中，因为y＝f（x）在R上是奇函数，即f（﹣x）＝﹣f（x），f（f（﹣x））＝f（﹣f（x））＝﹣f（f（x）），所以y＝f（f（x））也是奇函数，所以D正确．故选：ABD．【点评】此题是考查命题的真假，需要化简条件．11．（5分）设函数f（x）的定义域为D，∀x∈D，∃y∈D，使得f（y）＝﹣f（x）成立，则称f（x）为“美丽函数”．下列所给出的函数，其中是“美丽函数”的是（）A．y＝x2B．C．y＝ln（2x+3）D．y＝2x+3【分析】由题意知“美丽函数”的值域关于原点对称，分别求出各函数的值域即可．【解答】解：∵若∀x∈D，∃y∈D，使得f（y）＝﹣f（x）成立，∴f（x）的值域关于原点对称．对于A，函数y＝x2的值域为[0，+∞），不关于原点对称；对于B，函数y＝的值域为{y|y≠0}，关于原点对称；对于C，函数f（x）＝ln（2x+3）的值域为R，关于原点对称；对于D，函数y＝2x+3的值域为R，关于原点对称．∴其中是“美丽函数”的是BCD．故选：BCD．【点评】本题考查了对新定义的理解，基本初等函数的值域，属于中档题．12．（5分）如图，在棱长均相等的四棱锥P﹣ABCD中，O为底面正方形的中心，M，N分别为侧棱P A，PB的中点，有下列结论正确的有（）A．P A∥平面OMNB．平面PCD∥平面OMNC．直线PD与直线MN所成角的大小为90°D．ON⊥PB【分析】直接利用线线平行的判定和线线的夹角的应用，及勾股定理逆定理的应用和线线垂直的应用求出结果．【解答】解：如图所示：根据设棱长均相等的四棱锥P﹣ABCD中，各个棱长为a，O为底面正方形的中心，M，N分别为侧棱P A，PB的中点，所以：P A与平面MON相交．故选项A错误．对于选项B：由于ON∥PD，MN∥AB∥CD，所以平面PCD∥平面OMN，故选项B正确．对于选项C：由于各个棱长都相等，所以直线PD与直线MN所成角即直线PD与直线CD所夹得角，由于△PCD为等边三角形，所以角的大小为60°，故选项C错误．对于选项D：在平面PBD中，ON∥PD，由于PD＝PB＝a，BD＝，所以PD2+PB2＝BD2，所以PD⊥PB，故ON⊥PB，选项D正确．故选：BD．【点评】本题考查的知识要点：线面平行和线线夹角的应用，线线垂直的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知点M（1，2）在抛物线C：y2＝2px（p＞0）上，则p＝2；点M到抛物线C的焦点的距离是2．【分析】通过点的坐标满足方程求解p；求出焦点坐标，利用两点间距离公式求解即可．【解答】解：点M（1，2）在抛物线C：y2＝2px（p＞0）上，可得4＝2p，解得p＝2；抛物线方程为：y2＝4x，抛物线的焦点坐标（1，0），点M到抛物线C的焦点的距离是：＝2．故答案为：2；2．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查．14．（5分）已知，则的值为．【分析】由已知利用诱导公式可得sin（x+）＝，利用三角函数恒等变换的应用化简所求即可代入求值得解．【解答】解：∵cos（x﹣）＝sin（x+）＝，∴cos（2x+）+sin2（﹣x）＝cos（2x+）+＝cos2x﹣sin2x++cos2x﹣sin2x＝cos（2x+）+＝×[1﹣2sin2（x+）]+＝×（1﹣2×）+＝．故答案为：．【点评】本题主要考查三角函数恒等变换的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．15．（5分）为了提高命题质量，命题组指派5名教师对数学卷的选择题、填空题和解答题这3种题型进行改编，每个教师只参与一道题目的改编，则每种题型至少指派一名教师的不同分派方法种数为150种．【分析】根据题意，分2步进行分析：①，将5人分成3组，分2种情况讨论求出其分组方法数目，②，将分好的三组全排列，对应选择题、填空题和解答题3种题型，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①，将5人分成3组，若分为1、1、3的三组，有＝10种分组方法；若分为1、2、2的三组，＝15种分组方法；则有10+15＝25种分组方法；②，将分好的三组全排列，对应选择题、填空题和解答题3种题型，有A33＝6种情况，则有25×6＝150种分派方法；故答案为：150．【点评】本题考查排列、组合的应用，注意要先分组，再进行排列．16．（5分）三棱锥P﹣ABC的4个顶点在半径为的球面上，P A⊥平面ABC，△ABC是边长为的正三角形，则点A到平面PBC的距离为．【分析】补成三棱柱后找到球心，计算P A，再利用等体积法可求得．【解答】解：将三棱锥P﹣ABC补成三棱柱，如图：上下底面中心O1O2连线段的中点O 为外接球的球心，∵AN＝AB＝，∴AO1＝AN＝×＝1，∴OO1＝＝，∴P A＝2OO1＝2，设A到平面PBC的距离为d，则由V A﹣PBC＝V P﹣ABC得d•S△PBC＝P A•S△ABC，∴d×BC×PN＝P A×BC×AN，∴d×××＝×2×××，∴d＝，故答案为：．【点评】本题考查了点、线、面间的距离的计算，属中档题．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知数列{a n}中，a1＝1，其前n项的和为S n，且当n≥2时，满足a n＝．（Ⅰ）求证：数列{}是等差数列；（Ⅱ）证明：S12+S22+…+S n2＜．【分析】（Ⅰ）当n≥2时，，得到，说明构成以1为首项，1为公差的等差数列．（Ⅱ）．当n≥2时．然后求解数列的和，证明即可．法二：则当B时，利用裂项消项法求和证明不等式即可．【解答】解：（Ⅰ）当n≥2时，，S n﹣1﹣S n＝S n S n﹣1，即，从而构成以1为首项，1为公差的等差数列．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，∴．则当n≥2时．故当n≥2时＝．又当n＝1时，满足题意，故．法二：则当B时，那么又当n＝1时，，当时，满足题意，【点评】本题考查数列的递推关系式以及数列求和的方法的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．18．（12分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且3（sin2B+sin2C）＝4A．（1）求tan A的值；（2）若，且△ABC的面积S△ABC＝2，求c的值．【分析】（1）利用正弦定理对已知等式角化边，先求出cos A，再求出sin A，从而求出tan A；（2）利用正弦定理对已知等式角化边得b＝，再代入三角形面积公式即可求出c的值．【解答】解：（1）∵，∴角化边得：3（b2+c2）＝4bc+3a2，化简得：，∴，∴，∴；（2）∵，∴角化边得：，即，又∵S△ABC＝，∴，∴c2＝8，解得．【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理，以及三角形的面积公式，是基础题．19．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，平面P AC⊥平面ABC，△P AC为等边三角形，AB ⊥AC，D是BC的中点．（Ⅰ）证明：AC⊥PD；（Ⅱ）若AB＝AC＝2，求二面角D﹣P A﹣B平面角的余弦值．【分析】（Ⅰ）取AC中点E，联结DE、PE，证明PE⊥AC．ED⊥AC．得到AC⊥平面PED，即可证明AC⊥PD．（Ⅱ）以E为坐标原点，EC，ED，EP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立坐标系，求出平面P AD法向量，平面P AB法向量，利用空间向量的数量积求解二面角D﹣P A﹣B平面角的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：取AC中点E，联结DE、PE，∵△P AC为等边三角形，∴PE⊥AC．∵AB⊥AC，D是BC的中点，E为AC中点，∴ED⊥AC．∴AC⊥PED面，∵PD⊂平面P AD，∴AC⊥PD．（Ⅱ）平面P AC⊥平面ABC，∴PE⊥平面ABC，PE⊥DE，∵PE，AC，ED三线两两垂直，以E为坐标原点，EC，ED，EP所在直线分别为x轴，y 轴，z轴建立坐标系C（1，0，0），A（﹣1，0，0），B（﹣1，2，0），D（0，1，0），P （0，0，）．设平面P AD的法向量为，，，∵，∴令，y＝3，x＝﹣3，平面P AD的法向量为．设平面P AB的法向量为，，，∵，∴令，y'＝0，x'＝﹣3，平面P AB 的法向量为．设二面角D﹣P A﹣B的平面角为θ，，∴二面角D﹣P A﹣B 平面角的余弦值．【点评】本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用，是中档题．20．（12分）某公司为了预测下月产品销俜情况，找出了近7个月的产品销售量y（单位：万件）的统计表：月份代码t1234567销售量yy1y2y3y4y5y6y7（万件）但其中数据污损不清，经查证y i＝9.32，t i y i＝40.17，＝0.55．（Ⅰ）请用相关系数说明销售量y与月份代码t有很强的线性相关关系；（Ⅱ）求y关于t的回归方程（系数精确到0.01）；（Ⅲ）公司经营期间的广告宣传费（单位：万元）（i＝1，2，…，7），每件产品的销售价为10元，预测第8个月的毛利润能否突破15万元，请说明理由．（毛利润等于销售金额减去广告宣传费）参考公式及数据：≈2.646，相关系数r＝，当|r|＞0.75时认为两个变量有很强的线性相关关系，回归方程y＝bt+a中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为＝，＝﹣．【分析】（Ⅰ）由已知数据利用相关系数公式求得r，由r＞0.75，可知销售量y与月份代码t有很强的线性相关关系；（Ⅱ）求出与的值，即可得到y关于t的回归方程；（Ⅲ）在（Ⅱ）的回归方程中，取t＝8，求得y，进一步得到第8个月的毛利润，与15万元比较大小得结论．【解答】解：（Ⅰ）由表格中的数据和附注中的参考数据得，，，，………………………（2分）∴，∵0.99＞0.75，∴销售量y与月份代码t有很强的线性相关关系；…………………………………（4分）（Ⅱ）由及（Ⅰ），得，………（6分），∴y关于t的回归方程为；…………………………………………（8分）（Ⅲ）当t＝8时，代入回归方程得（万件）．………………（10分）第8个月的毛利润为14.372＜15，预测第8个月的毛利润不能突破15万元．……………………………（12分）【点评】本题考查两个变量相关程度的判断，考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是中档题．21．（12分）已知椭圆C：过点，且离心率．（1）求椭圆C的方程；（2）已知斜率为的直线l与椭圆C交于两个不同点A，B，点P的坐标为（2，1），设直线P A与PB的倾斜角分别为α，β，证明：α+β＝π．【分析】（1）由题意得解出a，b；（2）只需证明k1+k2＝0，设出A，B两点坐标，设出直线l的方程与椭圆方程联立，写出韦达定理，将斜率化为A，B的坐标关系，再将得出的关系代入；【解答】解：（1）由题意得解得a2＝8，b2＝2，所以椭圆的方程为．（2）证明：设直线，由消去y得x2+2mx+2m2﹣4＝0，△＝4m2﹣8m2+16＞0，解得﹣2＜m＜2．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，由题意，易知P A与PB的斜率存在，所以．设直线P A与PB的斜率分别为k1，k2，则tanα＝k1，tanβ＝k2，要证α+β＝π，即证tanα＝tan（π﹣B）＝﹣tanβ，只需证k1+k2＝0，∵，，故，又，，所以＝，∴k1+k2＝0，故α+β＝π．【点评】本题考查椭圆方程，直线与椭圆的位置关系，考查转化的方法，方程联立韦达定理的这种设而不求的方法的应用，属于难题．22．（12分）已知函数．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）对任意的a∈[3，5]，x1，x2∈[1，3]（x1≠x2），恒有|f（x1）﹣f（x2）|＜λ|x1﹣x2|，求实数λ的取值范围．【分析】（1）求导后分类讨论解不等式即可得到单调性情况；（2）问题可转化为函数h（x）＝f（x）+λx（1≤x≤3）单调递增，即其导函数大于等于0恒成立，分离变量后即可得解．【解答】解：（1）＝＝，当a＝1时，．所以f（x）在（0，+∞）上单调递增；当a＞1时，x∈（0，1）或（a，+∞），f'（x）＞0，所以f（x）在（0，1），（a，+∞）上单调递增；x∈（1，a），f'（x）＜0，所以f（x）在（1，a）上单调递减．当0＜a＜1时，x∈（0，a）或（1，+∞），f'（x）＞0，所以f（x）在（0，a），（1，+∞）上单调递增；x∈（a，1），f'（x）＜0，所以f（x）在（a，1）上单调递减．当a≤0时，x∈（0，1），f'（x）＜0，所以f（x）在（0，1）上单调递减；x∈（1，+∞），f'（x）＞0，所以f（x）在（1，+∞）上单调递增．（2）因为a∈[3，5]，由（1）得，f（x）在[1，3]上单调递减，不妨设x1＜x2，由|f（x1）﹣f（x2）|＜λ|x1﹣x2|得f（x1）﹣f（x2）＜λx2﹣λx1，即f（x1）+λx1＜f（x2）+λx2．令h（x）＝f（x）+λx（1≤x≤3），，只需恒成立，即（a∈[3，5]，x∈[1，3]）恒成立，即，即．因为（当且仅当时取等号），所以实数λ的取值范围是．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性及不等式的恒成立问题，考查转化思想及构造函数思想，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．第21页（共21页）。
山东省临沂市2019-2020学年高一上期末考试数学试题及答案
山东省临沂市2019-2020学年高一上期末考试数学试题及答案数 学第Ⅰ卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、直线310x y +-=的倾斜角为（ ）A ．30B ．60C ．120D ．1502、函数111y x x =++-的定义域为（ ） A ．(1,1)- B ．[)1,1- C ．(1,1)(1,)-+∞ D ．[)1,1(1,)-+∞ 3、已知()xf e x =，则()5f =（ ） A ．ln 5 B ．lg 5 C ．5e D ．5e4、函数()12x f x =-的图象大致是（ ）5、函数241y x ax =-+在区间[]2,4-上单调递增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(],2-∞ B ．(],1-∞- C ．[)2,+∞ D ．[)1,-+∞6、某几何体的三视图如图，则该几何体的表面积为（ ）A ．24B ．36C ．48D ．607、函数()1lg f x x x=-的零点所在的区间为（ ） A ．()1,2 B ．()2,3 C ．()3,4 D ．()4,58、已知两条直线,m n ，两个平面,αβ，下列四个结论中正确的是（ ）A ．若,,//m n ααββ⊥⊥，则//m nB ．若//,//,//,m n αβαβ，则//m nC ．若,,m n m n αβ⊥⊥⊥，则αβ⊥D ．若,//,//m n m n αβ⊥，则αβ⊥9、一个圆锥的表面积为π，它的侧面展开图是圆心角为120的扇形，则该圆锥的高为（ ）A ．1BC ．2D ．10、函数()[)11()()1,0,42x x f x x =+-∈+∞的值域为（ ） A ．5,14⎛⎤-⎥⎝⎦ B ．5,14⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．(]1,1-D ．[]1,1- 第Ⅱ卷二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卷的横线上。
临沂临沭2019年高三上年末数学试卷(理)含解析解析.doc
临沂临沭2019年高三上年末数学试卷（理）含解析解析【一】选择题：〔本大题共10小题，每题5分，共50分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项最符合题目要求的、〕1、全集为R ，集合A={x|〔〕x ≤1}，B={x|x ≥2}，A∩〔∁R B 〕=〔 〕 A 、[0，2〕 B 、[0，2] C 、〔1，2〕 D 、〔1，2]2、复数z=的共轭复数是〔 〕A 、2+iB 、2﹣iC 、1+2iD 、1﹣2i 3、以下说法中正确的选项是〔 〕C 、设l 是一条直线，α，β是两个不同的平面，假设l ⊥α，l ⊥β，那么α∥βD 、设x ，y ∈R ，那么“〔x ﹣y 〕•x 2＜0”是“x＜y”的必要而不充分条件 4、设随机变量X 服从正态分布N 〔μ，σ2〕，假设P 〔X ＞4〕=P 〔X ＜0〕，那么μ=〔 〕 A 、2 B 、3 C 、9 D 、15、，那么向量的夹角为〔 〕A 、B 、C 、D 、6、为了得到函数y=3cos2x 的图象，只需把函数y=3sin 〔2x+〕的图象上所有的点〔 〕A 、向右平行移动个单位长度B 、向右平行移动个单位长度C 、向左平行移动个单位长度D 、向左平行移动个单位长度7、f 〔x 〕是定义在R 上周期为4的奇函数，当x ∈〔0，2]时，f 〔x 〕=2x +log 2x ，那么fA 、﹣2B 、C 、2D 、58、函数f 〔x 〕=3cosx•ln〔x 2+1〕的部分图象可能是〔 〕A 、B 、C 、D 、9、抛物线y 2=2px 〔p ＞0〕的焦点为F ，准线为l ，A ，B 是抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=、设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，那么的最大值是〔 〕A 、B 、C 、D 、10、函数f〔x〕=x3ax2+bx+c在x1处取得极大值，在x2处取得极小值，满足x1∈〔﹣1，0〕，x2∈〔0，1〕，那么的取值范围是〔〕A、〔0，2〕B、〔1，3〕C、[0，3]D、[1，3]【二】填空题：本大题共5小题，每题5分，共25分、请将答案填写到答题卡的相应位置、11、函数y=2sinx〔〕的图象与直线y=2围成一个封闭的平面图形，那么此封闭图形的面积为______、12、如图给出的是计算+++…+的值的程序框图，其中判断框内应填入的是______、13、将边长为2的正△ABC沿BC边上的高AD折成直二面角B﹣AD﹣C，那么三棱锥B﹣ACD 的外接球的表面积为______、14、假设多项式，那么a9=______、15、函数f〔x〕=﹣x﹣+2e有且只有一个零点，那么k=______、【三】解答题：〔本大题共6小题，总分值75分、解答应写出文字说明证明过程或演算步骤〕16、向量，函数、〔1〕假设，求cos2x的值；〔2〕在△ABC中，角A，B，C对边分别是a，b，c，且满足，求f〔B〕的取值范围、17、甲、乙、丙三人进行象棋比赛，每两人比赛一场，共赛三场、每场比赛胜者得3分，负者得0分，没有平局，在每一场比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为、〔1〕求甲获第一名且丙获第二名的概率；〔2〕设在该次比赛中，甲得分为ξ，求ξ的分布列和数学期望、18、在如下图的空间几何体中，平面ACD ⊥平面ABC ，△ACD 与△ACB 是边长为2的等边三角形，BE=2，BE 和平面ABC 所成的角为60°，且点E 在平面ABC 上的射影落在∠ABC 的平分线上、〔1〕求证：DE ∥平面ABC ； 〔2〕求二面角E ﹣BC ﹣A 、19、数列{a n }是首项为正数的等差数列，数列的前n 项和为、〔Ⅰ〕求数列{a n }的通项公式；〔Ⅱ〕设，求数列{b n }的前2n 项和T 2n 、20、函数f 〔x 〕=在点〔﹣1，f 〔﹣1〕〕的切线方程为x+y+3=0、〔I 〕求函数f 〔x 〕的解析式；〔II 〕设g 〔x 〕=lnx ，当x ∈[1，+∞〕时，求证：g 〔x 〕≥f 〔x 〕；〔III 〕0＜a ＜b ，求证：、21、椭圆的焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线x 2=4y 的焦点，离心率，过椭圆的右焦点F 作与坐标轴不垂直的直线l ，交椭圆于A 、B 两点、 〔1〕求椭圆的标准方程；〔2〕设点M 〔m ，0〕是线段OF 上的一个动点，且，求m 的取值范围； 〔3〕设点C 是点A 关于x 轴的对称点，在x 轴上是否存在一个定点N ，使得C 、B 、N 三点共线？假设存在，求出定点N 的坐标，假设不存在，请说明理由、2018-2016学年山东省临沂市临沭县高三〔上〕期末数学试卷〔理科〕参考答案与试题解析【一】选择题：〔本大题共10小题，每题5分，共50分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项最符合题目要求的、〕1、全集为R，集合A={x|〔〕x≤1}，B={x|x≥2}，A∩〔∁B〕=〔〕RA、[0，2〕B、[0，2]C、〔1，2〕D、〔1，2]【考点】交、并、补集的混合运算、【分析】求出集合A中不等式的解集确定出A，求出B的补集，即可确定出所求的集合、【解答】解：由集合A中〔〕x≤1，得到x≥0，即A=[0，+∞〕，∵B={x|x≥2}，B〕={x|x＜2}=〔﹣∞，2〕，∴〔∁RB〕=[0，2〕，那么A∩〔∁R应选：A、2、复数z=的共轭复数是〔〕A、2+iB、2﹣iC、1+2iD、1﹣2i【考点】复数代数形式的乘除运算、【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z，那么复数z=的共轭复数可求、【解答】解：z==，那么复数z=的共轭复数是：1+2i、应选：C、3、以下说法中正确的选项是〔〕C、设l是一条直线，α，β是两个不同的平面，假设l⊥α，l⊥β，那么α∥βD、设x，y∈R，那么“〔x﹣y〕•x2＜0”是“x＜y”的必要而不充分条件运用面面平行的判定定理：同垂直于一条直线的两个平面平行，即可判断C；运用充分必要条件的判断，即可判断D、错误；对于C、设l是一条直线，α，β是两个不同的平面，假设l⊥α，l⊥β，由线面垂直的性质定理，垂直于同一直线的两平面平行，那么有α∥β，那么C正确；对于D、设x，y∈R，“〔x﹣y〕•x2＜0”可推出“x＜y”，但反之，不成立，比如x=0，那么为充分不必要条件，那么D错误、应选：C、4、设随机变量X服从正态分布N〔μ，σ2〕，假设P〔X＞4〕=P〔X＜0〕，那么μ=〔〕A、2B、3C、9D、1【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义、【分析】由题意和正态曲线的对称性可得、【解答】解：∵随机变量X服从正态分布N〔μ，σ2〕，且P〔X＞4〕=P〔X＜0〕，∴由正态曲线的对称性可得曲线关系x=2对称，故μ=2，应选：A、5、，那么向量的夹角为〔〕A、 B、 C、D、【考点】平面向量数量积的运算、【分析】求出，代入夹角公式计算、【解答】解：∵•〔﹣〕=﹣=﹣4，∴=﹣4=﹣3、∴cos＜＞===﹣、∴＜＞=、应选：A、6、为了得到函数y=3cos2x的图象，只需把函数y=3sin〔2x+〕的图象上所有的点〔〕A、向右平行移动个单位长度B、向右平行移动个单位长度C、向左平行移动个单位长度D、向左平行移动个单位长度【考点】函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换、【分析】由条件根据诱导公式、函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换规律，可得结论、【解答】解：函数y=3cos2x=3sin〔2x+〕，把函数y=3sin〔2x+〕的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，可得函数y=3sin[2〔x+〕+]=3sin〔2x+〕的图象，应选：D、7、f〔x〕是定义在R上周期为4的奇函数，当x∈〔0，2]时，f〔x〕=2x+logx，那么f2A、﹣2B、C、2D、5【考点】函数的周期性、【分析】利用函数的周期性及奇偶性即得f，代入计算即可、【解答】解：∵f〔x〕的周期为4，2018=4×504﹣1，∴f，又f〔x〕是定义在R上的奇函数，1=﹣2，所以f=﹣21﹣log2应选：A、8、函数f〔x〕=3cosx•ln〔x2+1〕的部分图象可能是〔〕A、B、 C、 D、【考点】函数的图象、【分析】由函数解析式判断函数的性质，从而利用排除法求解即可、【解答】解：易知函数f〔x〕=cosx•ln〔x2+1〕是偶函数，故排除B、D；ln〔x2+1〕≥0，cosx有正有负；故排除C；应选：A、9、抛物线y2=2px〔p＞0〕的焦点为F，准线为l，A，B是抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=、设线段AB的中点M在l上的投影为N，那么的最大值是〔〕A、B、C、D、【考点】抛物线的简单性质、【分析】设|AF|=a、|BF|=b，由抛物线定义结合梯形的中位线定理，得2|MN|=a+B、再由余弦定理得|AB|2=a2+b2+ab，结合基本不等式求得|AB|的范围，从而可得的最大值、【解答】解：设|AF|=a，|BF|=b，A、B在准线上的射影点分别为Q、P，连接AQ、BQ由抛物线定义，得|AF|=|AQ|且|BF|=|BP|，在梯形ABPQ中根据中位线定理，得2|MN|=|AQ|+|BP|=a+B、由余弦定理得|AB|2=a2+b2﹣2abcos=a2+b2+ab，配方得|AB|2=〔a+b〕2﹣ab，又∵ab≤〔〕2，∴〔a+b〕2﹣ab≥〔a+b〕2﹣〔〕2=〔a+b〕2得到|AB|≥〔a+b〕、所以≤=，即的最大值为、应选C、10、函数f〔x〕=x3ax2+bx+c在x1处取得极大值，在x2处取得极小值，满足x1∈〔﹣1，0〕，x2∈〔0，1〕，那么的取值范围是〔〕A、〔0，2〕B、〔1，3〕C、[0，3]D、[1，3]【考点】函数在某点取得极值的条件、【分析】据极大值点左边导数为正右边导数为负，极小值点左边导数为负右边导数为正得a，b的约束条件，据线性规划求出最值、【解答】解：∵f〔x〕=x3ax2+bx+c，∴f′〔x〕=x2+ax+b∵函数f〔x〕在区间〔﹣1，0〕内取得极大值，在区间〔0，1〕内取得极小值，∴f′〔x〕=x2+ax+b=0在〔﹣1，0〕和〔0，1〕内各有一个根，f′〔0〕＜0，f′〔﹣1〕＞0，f′〔1〕＞0即，在aOb坐标系中画出其表示的区域，如图，=1+2×，令m=，其几何意义为区域中任意一点与点〔﹣2，﹣1〕连线的斜率，分析可得0＜＜1，那么1＜＜3∴的取值范围是〔1，3〕、应选B、【二】填空题：本大题共5小题，每题5分，共25分、请将答案填写到答题卡的相应位置、11、函数y=2sinx〔〕的图象与直线y=2围成一个封闭的平面图形，那么此封闭图形的面积为4π、【考点】定积分在求面积中的应用、【分析】画出函数y=2sinx〔〕的图象与直线y=2围成一个封闭的平面图形，相当于由x=，x=π，y=0，y=2围成的矩形面积，即可求出封闭图形的面积、【解答】解析：数形结合，如下图、y=2sinx的图象与直线y=2围成的封闭平面图形面积相当于由x=，x=π，y=0，y=2围成的矩形面积，即S=4π、故答案：4π12、如图给出的是计算+++…+的值的程序框图，其中判断框内应填入的是i≤2018、【考点】程序框图、【分析】根据流程图写出每次循环i，S的值，和+++…+比较即可确定退出循环的条件，得到答案、【解答】解：根据流程图，可知第1次循环：i=2，S=；第2次循环：i=4，S=；第3次循环：i=6，S=；…第1007次循环：i=2018，S=+++…+；此时，设置条件退出循环，输出S的值、故判断框内可填入i≤2018、故答案为：i≤2018、13、将边长为2的正△ABC沿BC边上的高AD折成直二面角B﹣AD﹣C，那么三棱锥B﹣ACD 的外接球的表面积为5π、【考点】与二面角有关的立体几何综合题、【分析】根据题意可知三棱锥B﹣ACD的三条侧棱BD、DC、DA两两互相垂直，所以它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，由此可得三棱锥B﹣ACD的外接球的表面积、【解答】解：根据题意可知三棱锥B﹣ACD的三条侧棱BD、DC、DA两两互相垂直，所以它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，∵长方体的对角线的长为：=，∴球的直径是，半径为，∴三棱锥B﹣ACD的外接球的表面积为：4π×=5π、故答案为：5π14、假设多项式，那么a9=﹣10、【考点】二项式定理的应用、【分析】先凑成二项式，再利用二项展开式的通项公式求出〔x+1〕9的系数、【解答】解：x3+x10=x3+[〔x+1〕﹣1]10，题中a9〔x+1〕9只是[〔x+1〕﹣1]10展开式中〔x+1〕9的系数故a9=C101〔﹣1〕1=﹣10、故答案为：﹣10、15、函数f〔x〕=﹣x﹣+2e有且只有一个零点，那么k=+e2、【考点】函数零点的判定定理、【分析】可化为k=﹣x2+2ex有且只有一个解，再令g〔x〕=﹣x2+2ex，求导g′〔x〕=，从而判断函数的单调性及最值，从而解得、【解答】解：∵函数f〔x〕=﹣x﹣+2e有且只有一个零点，∴方程﹣x﹣+2e=0有且只有一个解，∴﹣x2﹣k+2ex=0有且只有一个解，即k=﹣x2+2ex有且只有一个解，令g〔x〕=﹣x2+2ex，g′〔x〕=，故当x∈〔0，e〕时，g′〔x〕＞0，当x∈〔e，+∞〕时，g′〔x〕＜0；故g〔x〕在〔0，e〕上是增函数，在〔e，+∞〕上是减函数；而g〔e〕=﹣e2+2e2=+e2，故k=+e2，故答案为：+e2、【三】解答题：〔本大题共6小题，总分值75分、解答应写出文字说明证明过程或演算步骤〕16、向量，函数、〔1〕假设，求cos2x的值；〔2〕在△ABC中，角A，B，C对边分别是a，b，c，且满足，求f〔B〕的取值范围、【考点】平面向量数量积的运算；正弦定理；余弦定理、【分析】〔1〕利用三角恒等变换化简==，从而可得，从而解得；〔2〕化简可得，从而可得，从而解得、【解答】解：〔1〕==，∵，∴，，∴，∴==；〔2〕由得，，∴，∴，∴，故、17、甲、乙、丙三人进行象棋比赛，每两人比赛一场，共赛三场、每场比赛胜者得3分，负者得0分，没有平局，在每一场比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为、〔1〕求甲获第一名且丙获第二名的概率；〔2〕设在该次比赛中，甲得分为ξ，求ξ的分布列和数学期望、【考点】相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量的期望与方差、 【分析】〔1〕甲获第一表示甲胜乙且甲胜丙，这两个事件是相互独立事件，根据相互独立事件同时发生的概率得到结果、丙获第表示丙胜乙，根据对立事件的概率知概率，甲获第一名且丙获第二名的概率根据相互独立事件同时发生的概率得到结果、〔2〕由题意知ξ可能取的值为O 、3、6，结合变量对应的事件，根据相互独立事件同时发生的概率和互斥事件的概率公式，写出变量的概率，写出分布列和期望、 【解答】解：〔1〕甲获第一，那么甲胜乙且甲胜丙，∴甲获第一的概率为丙获第二，那么丙胜乙，其概率为∴甲获第一名且丙获第二名的概率为〔2〕ξ可能取的值为O 、3、6甲两场比赛皆输的概率为P 〔ξ=0〕=甲两场只胜一场的概率为甲两场皆胜的概率为∴ξ的期望值是E ξ=+=18、在如下图的空间几何体中，平面ACD ⊥平面ABC ，△ACD 与△ACB 是边长为2的等边三角形，BE=2，BE 和平面ABC 所成的角为60°，且点E 在平面ABC 上的射影落在∠ABC 的平分线上、〔1〕求证：DE∥平面ABC；〔2〕求二面角E﹣BC﹣A、【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定、【分析】〔1〕由题意知，△ABC，△ACD都是边长为2的等边三角形，取AC中点O，连接BO，DO，推导出DO⊥平面ABC，作EF⊥平面ABC，那么EF∥DO，F落在BO上，∠EBF=60°，从而四边形DEFO是平行四边形，进而DE∥OF，由此能证明DE∥平面ABC、〔2〕以OA，OB，OD为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系O﹣xyz，利用向量法能求出二面角E﹣BC﹣A的余弦值、【解答】证明：〔1〕由题意知，△ABC，△ACD都是边长为2的等边三角形，取AC中点O，连接BO，DO，那么BO⊥AC，DO⊥AC，…又∵平面ACD⊥平面ABC，∴DO⊥平面ABC，作EF⊥平面ABC，那么EF∥DO，根据题意，点F落在BO上，∵BE和平面ABC所成的角为60°，∴∠EBF=60°，∵BE=2，∴EF=DO=，…∴四边形DEFO是平行四边形，∴DE∥OF，∵DE不包含于平面ABC，OF⊂平面ABC，∴DE∥平面ABC…〔2〕以OA，OB，OD为x轴，y轴，z轴建立如下图的空间直角坐标系O﹣xyz，B〔0，，0〕，C〔﹣1，0，0〕，E〔0，，〕，∴=〔﹣1，﹣，0〕，=〔0，﹣1，〕，平面ABC的一个法向量为=〔0，0，1〕，设平面BCE的一个法向量为=〔x，y，z〕，那么，取z=1，得=〔﹣3，，1〕，…∴cos＜＞===，又由图知，所求二面角的平面角是锐角，二面角E﹣BC﹣A的余弦值为、…19、数列{a n }是首项为正数的等差数列，数列的前n 项和为、〔Ⅰ〕求数列{a n }的通项公式；〔Ⅱ〕设，求数列{b n }的前2n 项和T 2n 、【考点】数列的求和、 【分析】〔I 〕利用等差数列的通项公式即可得出； 〔II 〕由题意知，，再利用等差数列的前n项和公式即可得出、 【解答】解：〔I 〕设数列{a n }的公差为d ，令n=1，得，所以a 1a 2=3、令n=2，得，所以a 2a 3=15、解得a 1=1，d=2，所以a n =2n ﹣1、 〔II 〕由题意知，，所以=[﹣〔1•2﹣1〕+〔2•3﹣1〕]+[﹣〔3•4﹣1〕+〔4•5﹣1〕…+{﹣[2〔n ﹣1〕•2n﹣1]+[2n 〔2n+2〕﹣1]}=4+8…+4n=、20、函数f 〔x 〕=在点〔﹣1，f 〔﹣1〕〕的切线方程为x+y+3=0、〔I 〕求函数f 〔x 〕的解析式；〔II 〕设g 〔x 〕=lnx ，当x ∈[1，+∞〕时，求证：g 〔x 〕≥f 〔x 〕；〔III〕0＜a＜b，求证：、【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值、【分析】〔I〕将切点横坐标代入切线方程，求出切点，得到关于a，b的等式，求出f〔x〕的导数，将x=﹣1代入导函数，令得到的值等于切线的斜率﹣1；〔II〕将要证的不等式变形，构造新函数h〔x〕，求出其导函数，判断出其符号，判断出h 〔x〕的单调性，求出h〔x〕的最小值，得到要证的不等式；〔III〕将要证的不等式变形，转化为关于的不等式，利用〔II〕得到的函数的单调性，得到恒成立的不等式，变形即得到要证的不等式、【解答】解：〔Ⅰ〕将x=﹣1代入切线方程得y=﹣2，∴f〔﹣1〕==﹣2，化简得b﹣a=﹣4，f〔x〕的导数为f′〔x〕=，f′〔﹣1〕==﹣1，解得：a=2，b=﹣2、∴f〔x〕=；〔Ⅱ〕证明：lnx≥在[1，+∞〕上恒成立，即为〔x2+1〕lnx≥2x﹣2，即x2lnx+lnx﹣2x+2≥0在[1，+∞〕上恒成立、设h〔x〕=x2lnx+lnx﹣2x+2，h′〔x〕=2xlnx+x+﹣2，∵x≥1，∴2xlnx≥0，x+≥2，即h'〔x〕≥0，∴h〔x〕在[1，+∞〕上单调递增，h〔x〕≥h〔1〕=0，∴g〔x〕≥f〔x〕在x∈[1，+∞〕上恒成立；〔Ⅲ〕证明：∵0＜a＜b，∴＞1，由〔Ⅱ〕知有ln＞，整理得：、∴当0＜a ＜b 时，、21、椭圆的焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线x 2=4y 的焦点，离心率，过椭圆的右焦点F 作与坐标轴不垂直的直线l ，交椭圆于A 、B 两点、 〔1〕求椭圆的标准方程；〔2〕设点M 〔m ，0〕是线段OF 上的一个动点，且，求m 的取值范围； 〔3〕设点C 是点A 关于x 轴的对称点，在x 轴上是否存在一个定点N ，使得C 、B 、N 三点共线？假设存在，求出定点N 的坐标，假设不存在，请说明理由、 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程、 【分析】〔1〕设出椭圆的方程，把抛物线方程整理成标准方程，求得焦点的坐标，进而求得椭圆的一个顶点，即b ，利用离心率求得a 和c 关系进而求得a ，那么椭圆的方程可得、 〔2〕设直线l 的方程为y=k 〔x ﹣2〕〔k ≠0〕，代入椭圆方程，利用韦达定理结合向量的数量积公式，即可求得m 的取值范围；〔3〕确定直线BC 的方程，令y=0，结合A ，B 在l 的方程y=k 〔x ﹣2〕上，即可求得结论、 【解答】解：〔1〕设椭圆C 的方程为〔a ＞b ＞0〕，抛物线方程化为x 2=4y ，其焦点为〔0，1〕那么椭圆C 的一个顶点为〔0，1〕，即b=1由e==，∴a 2=5，所以椭圆C 的标准方程为+y 2=1；〔2〕由〔1〕得F 〔2，0〕，那么0≤m ≤2 设直线l 的方程为y=k 〔x ﹣2〕〔k ≠0〕，代入椭圆方程，消去y 可得〔5k 2+1〕x 2﹣20k 2x+20k 2﹣5=0设A 〔x 1，y 1〕，B 〔x 2，y 2〕，那么x 1+x 2=，x 1x 2=∴y 1+y 2=k 〔x 1+x 2﹣4〕，y 1﹣y 2=k 〔x 1﹣x 2〕∵∴=0 ∴〔x 1+x 2﹣2m 〕〔x 2﹣x 1〕+〔y 2﹣y 1〕〔y 1+y 2〕=0∴=0∴∴∴∴当时，；〔3〕在x 轴上存在一个定点N ，使得C 、B 、N 三点共线由题意C 〔x 1，﹣y 1〕，∴直线BC 的方程为令y=0，那么x=∵A ，B 在l 的方程y=k 〔x ﹣2〕上 ∴y 1=k 〔x 1﹣2〕，y 2=k 〔x 2﹣2〕∴x====∴在x 轴上存在一个定点N 〔，0〕，使得C 、B 、N 三点共线、2016年9月30日。
山东省临沂市2020届高三上学期期末数学试卷(及答案)
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22．(14 分) 某化工厂从今年一月起，若不改善生产环境，按生产现状，每月收入为 80 万元，同时将受 到环保部门的处罚，第一个月罚 4 万元，以后每月增加 2 万元．如果从今年一月起投资 500 万元添加回收净化设备(改造设备时间不计)，一方面可以改善环境，另一方面可以大大降低 原料成本，据测算，添加回收净化设备并投产后的前 4 个月中的累计生产净收入 g(n)是生产 时间 n 个月的二次函数 g(n)=n2+kn(k 是常数)，且前 3 个月的累计生产净收入可达 309 万元， 从第 5 个月开始，每个月的生产净收入都与第 4 个月相同，同时，该厂不但不受处罚，而且 还将得到环保部门的一次性奖励 120 万元． (1)求前 6 个月的累计生产净收入 g(6)的值； (2)问经过多少个月，投资开始见效，即投资改造后的纯收入多于不改造的纯收入．
10
10
= 或 7 .…………………………………………………………………………14 分 10 10
20.解：（1） f x a ln x 1 ,
x
f
x
a x
1 x2
ax x
1
2
,
………………………………………………………………1
分
曲线 f x 在点 1, f 1 处的切线与 y 轴垂直，
19．(14 分)
设函数 f x 2sin2 x 2 3 sin x cos x 的图象关于直线 x 对称，其中 为常数，
且
1 2
,1
．
(1)求函数 f x 的解析式；
(2)若 f 1, 0, ，求 的值．
20．(14 分)