苏教版高中数学必修二课时跟踪检测(十九) 平面上两点之间的距离
2019-2020学年同步北师大版高中数学必修二培优新方案课时跟踪检测(十九) 两点间的距离公式
姓名，年级：时间：课时跟踪检测(十九）两点间的距离公式一、基本能力达标1．已知点A（－2,－1），B（a，3)，且｜AB｜＝5,则a的值为( ）A．1 B．－5C．1或－5 D．－1或5解析：选C 由｜AB|＝错误!＝5⇒a＝1或a＝－5，故选C。
2．已知平面上两点A（x，错误!－x),B错误!,则｜AB|的最小值为( )A．3 B．错误!C．2 D．错误!解析：选D ∵｜AB|＝错误!＝错误!≥错误!，当且仅当x＝错误!时等号成立，∴｜AB｜min＝错误!。
3．已知两直线l1:x＋y－2＝0,l2：2x－y－1＝0相交于点P，则点P到原点的距离为( )A.错误!B．5C.错误!D．2解析：选C 由错误!得错误!两直线的交点坐标为(1,1)，故到原点的距离为错误!＝错误!。
4．已知点M（－1,3），N（5,1)，P（x，y)到M，N的距离相等，则x，y满足的条件是（) A．x＋3y－8＝0 B．x－3y＋8＝0C．x－3y＋9＝0 D．3x－y－4＝0解析：选D 由｜PM｜＝｜PN｜，得（x＋1）2＋(y－3）2＝(x－5）2＋（y－1)2,化简得3x －y－4＝0。
5．过点A(4，a)和点B（5，b)的直线与y＝x平行,则|AB｜的值为（)A．6 B。
错误!C。
错误!D．2解析：选C k AB＝错误!＝b－a.又因为过点A,B的直线与y＝x平行,所以b－a＝1，所以|AB｜＝错误!＝错误!.6．已知点A（5，2a－1），B（a＋1,a－4），则当｜AB｜取得最小值时，实数a等于________．解析：｜AB|2＝(5－a－1)2＋（2a－1－a＋4）2＝2a2－2a＋25＝2错误!2＋错误!，所以当a＝1时，｜AB｜取得最小值．2答案：错误!7．点P与x轴及点A(－4，2）的距离都是10，则P的坐标为________．解析：设P（x，y）．则错误!当y＝10时,x＝2或－10，当y＝－10时无解．则P（2，10）或P（－10,10)．答案:（2，10）或(－10,10）8．设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是P(2，－1)，则｜AB｜等于________．解析：设A（x,0）,B（0，y），∵AB中点P(2，－1），∴错误!＝2，错误!＝－1，∴x＝4，y ＝－2，即A（4，0），B（0，－2），∴|AB｜＝42＋22＝25。
「精品」高中数学第二章平面解析几何初步2.3.2空间两点间的距离学业分层测评苏教版必修2
2.3.2 空间两点间的距离(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．已知A (1，－2,1)，B (2,2,2)，点P 在z 轴上，且PA ＝PB ，则点P 的坐标为________． 【解析】 设P (0,0，c )， 由题意得－2＋＋2＋c －2＝－2＋－2＋c －2，解得c ＝3，∴点P 的坐标为(0,0,3)． 【答案】 (0,0,3)2．已知平行四边形ABCD ，且A (4,1,3)，B (2，－5,1)，C (3，7，－5)，则顶点D 的坐标为__________． 【解析】 由平行四边形对角线互相平分的性质知，AC 的中点即为BD 的中点，AC 的中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫72，4，－1.设D (x ，y ，z )，则72＝x ＋22，4＝－5＋y 2，－1＝1＋z 2，∴x ＝5，y ＝13，z ＝－3， ∴D (5,13，－3)． 【答案】 (5,13，－3)3．△ABC 在空间直角坐标系中的位置及坐标如图2－3－13所示，则BC 边上的中线的长是________．图2－3－13【解析】 BC 的中点坐标为(1,1,0)． 又A (0,0,1)， ∴AM ＝12＋12＋－2＝ 3.【答案】34．点B 是点A (2，－3,5)关于xOy 平面的对称点，则AB ＝________. 【解析】 点B 的坐标为B (2，－3，－5)， ∴AB ＝－2＋－3＋2＋＋2＝10.【答案】 105．在空间直角坐标系中，一定点P 到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是________．【解析】 设P (x ，y ，z )，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，y 2＋z 2＝1，x 2＋z 2＝1，∴x 2＋y 2＋z 2＝32，∴x 2＋y 2＋z 2＝62. 【答案】626.在如图2－3－14所示的空间直角坐标系中，长方体的顶点C ′的坐标为(4,4,2)，E ，F 分别为BC ，A ′B ′的中点，则EF 的长为________．图2－3－14【解析】 由C ′(4,4,2)知，B (4,0,0)，C (4,4,0)，A ′(0,0,2)，B ′(4,0,2)．由中点坐标公式得，E (4,2,0)，F (2,0,2)，∴EF ＝－2＋－2＋－2＝2 3.【答案】 2 37．在xOy 平面内的直线x ＋y ＝1上确定一点M ，使点M 到点N (6,5,1)的距离最小，则M 点坐标为________.【导学号：41292123】【解析】 设M 点坐标为(x,1－x,0)， 则MN ＝x －2＋－x －2＋－2＝x －2＋51≥51(当x ＝1时，取“＝”)，∴M (1,0,0)． 【答案】 (1,0,0)8．已知正方体不在同一表面上的两顶点A (－1,2，－1)，B (3，－2,3)，则正方体的体积是__________．【解析】 设正方体的棱长为a ， 则3a ＝AB ＝42＋－2＋42＝43，所以a ＝4，V ＝43＝64. 【答案】 64二、解答题9．如图2－3－15，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝2，AB ＝4，DE ⊥AC ，垂足为E ，求B 1E 的长．图2－3－15【解】 如图，以点D 为原点，以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系．则D (0,0,0)，B 1(2,4,2)，A (2,0,0)，C (0,4,0)，设点E 的坐标为(x ，y,0)， 在坐标平面xOy 内，直线AC 的方程为x 2＋y4＝1，即2x ＋y －4＝0，DE ⊥AC ， 直线DE 的方程为x －2y ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －4＝0，x －2y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝85，y ＝45，∴E ⎝ ⎛⎭⎪⎫85，45，0.∴B 1E ＝＝6105， 即B 1E 的长为6105.10．如图2－3－16(1)，已知矩形ABCD 中，AD ＝3，AB ＝4.将矩形ABCD 沿对角线BD 折起，使得面BCD ⊥面ABD .现以D 为坐标原点，射线DB 为y 轴的正方向，建立如图2－3－16(2)所示空间直角坐标系，此时点A 恰好在xDy 平面内，试求A ，C 两点的坐标.【导学号：41292124】图2－3－16【解】 由题意知，在直角坐标系D －xyz 中，B 在y 轴的正半轴上，A ，C 分别在xDy 平面、yDz 平面内．在xDy 平面内过点A 作AE 垂直y 轴于点E ，则点E 为点A 在y 轴上的射影． 在Rt △ABD 中，由AD ＝3，AB ＝4，得AE ＝125，从而ED ＝AD 2－AE 2＝95.∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫125，95，0，同理，在yDz 平面内过点C 作CF 垂直y 轴于点F ，则点F 为点C 在y 轴上的射影，CF ＝125，DF＝165， ∴C ⎝⎛⎭⎪⎫0，165，125.[能力提升]1．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，D 1D ＝3，点M 是B 1C 1的中点，点N 是AB 的中点．建立如图2－3－17所示的空间直角坐标系．图2－3－17(1)点D ，N ，M 的坐标为________，________，________. (2)MD ＝________，MN ＝________.【解析】 (1)因为D 是原点，则D (0,0,0)． 由AB ＝BC ＝2，D 1D ＝3，得A (2,0,0)，B (2,2,0)，B 1(2,2,3)，C 1(0,2,3)． ∵N 是AB 的中点，∴N (2,1,0)． 同理可得M (1,2,3)． (2)由两点间距离公式，得MD ＝－2＋－2＋－2＝14， MN ＝－2＋－2＋－2＝11.【答案】 (1)(0,0,0) (2,1,0) (1,2,3) (2)14112．已知△ABC 的三个顶点坐标是A (3,1,1)，B (－5,2,1)，C (－4,2,3)，则它在yOz 平面上的射影所组成的△A ′B ′C ′的面积是________．【解析】 A ，B ，C 三点在yOz 平面上的射影为A ′(0,1,1)，B ′(0,2,1)，C ′(0,2,3)，△A ′B ′C ′是以B ′为直角的Rt △，∴S △A ′B ′C ′＝12×1×2＝1.【答案】 13．三棱锥各顶点的坐标分别为(0,0,0)，(1,0,0)，(0,2,0)，(0,0,3)，则三棱锥的体积为________．【解析】 V ＝13S ·h ＝13×12×1×2×3＝1.【答案】 14．在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝2，CB ＝CC 1＝4，E ，F ，M ，N 分别是A 1B 1，AB ，C 1B 1，CB 的中点，如图2－3－18建立空间直角坐标系．图2－3－18(1)在平面ABB 1A 1中找一点P ，使△ABP 为正三角形；(2)能否在MN 上求得一点Q ，使△AQB 为直角三角形？若能，请求出点Q 的坐标，若不能，请予以证明.【导学号：41292125】【解】 (1)因为EF 是AB 边的中垂线，在平面AB 1内只有EF 上的点与A ，B 两点的距离相等，则P 必在EF 上，设P (1,2，z )，则由|PA |＝|AB |，得－2＋－2＋z －2＝－2＋－2＋－2，即z 2＋5＝20， ∴z 2＝15. ∵z ∈[0,4]， ∴z ＝15.故平面ABB 1A 1中的点P (1,2，15)， 使△ABP 为正三角形． (2)设MN 上的点Q (0,2，z )，由△AQB 为直角三角形，其斜边的中线长必等于斜边长的一半， ∴|QF |＝12|AB |，即1＋z 2＝5，∴z ＝2(0<z <4)，故MN 上的点Q (0,2,2)使得△AQB 为直角三角形．。
苏教数学必修二课时分层作业 平面上两点间的距离 点到直线的距离 含解析
课时分层作业(十八)(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．到A (1，3)，B (－5，1)的距离相等的动点P 满足的方程是( ) A ．3x －y －8＝0 B ．3x ＋y ＋4＝0 C ．3x －y ＋6＝0 D ．3x ＋y ＋2＝0B [设P (x ，y )，则（x －1）2＋（y －3）2＝（x ＋5）2＋（y －1）2，即3x ＋y ＋4＝0.]2．点P (1，－1)到直线l ：3y ＝2的距离是( ) A ．3 B.53 C ．1D.22B [d ＝|3×（－1）－2|02＋32＝53.]3．已知直线3x ＋y －3＝0和6x ＋my ＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是( )A ．4 B.1020 C.104D.71020 D [∵3x ＋y －3＝0和6x ＋my ＋1＝0互相平行，∴m ＝2.直线6x ＋2y ＋1＝0可以化为3x ＋y ＋12＝0，由两条平行直线间的距离公式，得d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12＋332＋12＝71020.] 4．已知点P (1＋t ，1＋3t )到直线l ：y ＝2x －1的距离为55，则点P 的坐标为( ) A ．(0，－2)B ．(2，4)C ．(0，－2)或(2，4)D ．(1，1)C [直线l ：y ＝2x －1可化为2x －y －1＝0，依题意得|2（1＋t ）－（1＋3t ）－1|22＋（－1）2＝55，整理得|t |＝1，所以t ＝1或－1.当t ＝1时，点P的坐标为(2，4)；当t ＝－1时，点P 的坐标为(0，－2)．]5．若两条平行直线2x ＋y －4＝0与y ＝－2x －k －2的距离不大于5，则k 的取值范围是( )A ．[－11，－1]B ．[－11，0]C ．[－11，－6)∪(－6，－1]D ．[－1，＋∞)C [y ＝－2x －k －2可化为2x ＋y ＋k ＋2＝0，由题意，得|k ＋2＋4|22＋12＝|k ＋6|5≤5，且k ＋2≠－4，即k ≠－6，得－5≤k ＋6≤5，即－11≤k ≤－1，且k ≠－6.] 二、填空题6．△ABC 三个顶点的坐标A (－3，2)，B (3，2)，C (4，0)，则AB 边的中线CD 的长为________．25 [AB 的中点坐标为D (0，2)，∴CD ＝42＋22＝2 5.]7．过点P (2，3)，且与原点距离最大的直线的方程为__________．2x ＋3y －13＝0 [此直线为过P (2，3)且与OP 垂直的直线，k OP ＝32，故直线方程为y －3＝－23(x －2)，即2x ＋3y －13＝0.]8．已知A (3，－1)，B (5，－2)，点P 在直线x ＋y ＝0上，若使P A ＋PB 取最小值，则P 点坐标是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫135，－135 [∵点A (3，－1)关于x ＋y ＝0的对称点为A ′(1，－3)，A ′B 的直线方程为：x －4y －13＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧x －4y －13＝0，x ＋y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝135，y ＝－135，得点P 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫135，－135.]三、解答题9．两条互相平行的直线分别过点A (6，2)和B (－3，－1)，如果两条平行直线间的距离为d ，求：(1)d 的变化范围；(2)当d 取最大值时，两条平行直线的方程． [解](1)如图，当两条平行直线与AB 垂直时，两平行直线间的距离最大，为d ＝AB ＝（6＋3）2＋（2＋1）2＝310，当两条平行线各自绕点B ，A 逆时针旋转时，距离逐渐变小，越来越接近于0，所以0<d ≤310，即所求的d 的变化范围是(0，310]．(2)当d 取最大值310时，两条平行线都垂直于AB ，所以k ＝－1k AB＝－12－（－1）6－（－3）＝－3，故所求的平行直线方程分别为y －2＝－3(x －6)和y ＋1＝－3(x ＋3)，即3x ＋y －20＝0和3x ＋y ＋10＝0.10．直线l 过点P (1，0)，且被两条平行线l 1：3x ＋y －6＝0，l 2：3x ＋y ＋3＝0所截得的线段长为9，求l 的方程．[解] 若l 的斜率不存在，则方程为x ＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，3x ＋y －6＝0，得A (1，3)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，3x ＋y ＋3＝0，得B (1，－6)． ∴|AB |＝9，符合要求．若l 的斜率存在，设为k ，则l 的方程为y ＝k (x －1)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），3x ＋y －6＝0，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫k ＋6k ＋3，3k k ＋3， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），3x ＋y ＋3＝0，得B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫k －3k ＋3，－6k k ＋3. ∴|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫k ＋6k ＋3－k －3k ＋32＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3k k ＋3－－6k k ＋32 ＝91＋k 2（k ＋3）2.由|AB |＝9，得1＋k 2（k ＋3）2＝1，∴k ＝－43.∴l 的方程为y ＝－43(x －1)，即4x ＋3y －4＝0. 综上所述，l 的方程为x ＝1或4x ＋3y －4＝0.[等级过关练]1．已知点M (1，4)到直线l ：mx ＋y －1＝0的距离为3，则实数m ＝( ) A ．0 B.34 C ．3D ．0或34D [点M 到直线l 的距离d ＝|m ＋4－1|m 2＋1＝|m ＋3|m 2＋1，所以|m ＋3|m 2＋1＝3，解得m＝0或m ＝34，选D.]2．若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1，l 2间的距离是( )A.423B.823 C ．4 2D ．2 2B [∵l 1∥l 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a （a －2）－3＝0，2a －6（a －2）≠0，解得a ＝－1.∴l 1的方程为x －y ＋6＝0，l 2的方程为－3x ＋3y －2＝0，即x －y ＋23＝0，∴l 1，l 2间的距离是⎪⎪⎪⎪⎪⎪6－2312＋（－1）2＝823.]3．已知平行四边形两条对角线的交点为(1，1)，一条边所在直线的方程为3x －4y ＝12，则这条边的对边所在的直线方程为____________________．3x －4y ＋14＝0 [设所求直线方程为3x －4y ＋m ＝0， 由题意可得|－1＋m |32＋（－4）2＝|3－4－12|32＋（－4）2，解得m ＝14或m ＝－12(舍)，所以所求的直线方程为3x －4y ＋14＝0.]4．与直线l ：4x ＋3y －2＝0关于点P (1，1)对称的直线方程为________． 4x ＋3y －12＝0 [在所求直线上任取一点Q (x ，y )，则点Q 关于点P 对称的点Q ′(x ′，y ′)必在直线l 上．由⎩⎨⎧x ＋x ′2＝1，y ＋y ′2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2－x ，y ′＝2－y ，把它们代入直线l 的方程，得4(2－x )＋3(2－y )－2＝0得4x ＋3y －12＝0.]5．已知点P (a ，b )在线段AB 上运动，其中A (1，0)，B (0，1)．试求(a ＋2)2＋(b ＋2)2的取值范围．[解]由(a ＋2)2＋(b ＋2)2联想两点间距离公式，设Q (－2，－2)， 又P (a ，b ) 则PQ ＝（a ＋2）2＋（b ＋2）2，于是问题转化为PQ 的最大、最小值．如图所示，当P 与A 或B 重合时，PQ 取得最大值： （－2－1）2＋（－2－0）2＝13.当PQ ⊥AB 时，PQ 取得最小值，此时PQ 为Q 点到直线AB 的距离，由A ，B 两点坐标可得直线AB 的方程为x ＋y －1＝0.则Q 点到直线AB 的距离d ＝|－2＋（－2）－1|12＋12＝52＝522，∴(a ＋2)2＋(b ＋2)2的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤252，13.。
2021年高中数学 第二章 第9课时 平面上两点间的距离配套练习 苏教版必修2
2021年高中数学第二章第9课时平面上两点间的距离配套练习苏教版必修2分层训练1. 若，则下面四个结论：①；②；③；④．其中，正确的个数是( )(A)１个. (B) 2个.(C)3个. (D) 4个.2. 点关于点的对称点的坐标是( )(A) (B)(C) (D)3. 若过点的直线交轴于点点，且，则直线的方程为（）(A) (B)(C)(D) 4.直线关于点对称的直线的方程是（）(A) (B)(C) (D) .5.如果直线与直线关于直线对称，那么（）(A) (B)(C) (D) .6. 若直线在轴上的截距为－2，上横坐标分别是3，－4的两点的线段长为14，则直线的方程为．7. 已知的三个顶点，，，则边上的中线所在直线的方程为．8.若直线过点，且被坐标轴截得的线段的中点恰为，则直线的方程是．9. 若点的横坐标分别为,直线的斜率为，则．10.已知直线和点，过点作直线与直线相交于点，且，求直线的方程．11. 过点作直线，使它被直线和所截得的线段恰好被平分，求直线的方程．.拓展延伸12.(1)已知点，，在轴上求一点，使得最小；(2) 已知点，，在轴上求一点，使得最大，并求最大值．13.求函数的最小值及相应的值．本节学习疑点：１．C 2．C 3．C 4．A 5．B 6．7． 8．9．10．11．12．(1) ；(2) ，此时最大值为．13．（提示：数形结合，设，则）U35603 8B13 謓38198 9536 锶23994 5DBA 嶺2712069F0 槰34348 862C 蘬aQ@; tn 33371 825B 艛。
苏教版高中数学必修二第课时——平面上两点间的距离配套练习
让学生学会学习平面上两点间的距离分层训练1. 若(4,2)64126A B C --、（，）、（，）、D 212（，），则下面四个结论： ①//AB CD ；②AB CD ⊥；③AC BD =；④AC BD ⊥．其中，正确的个数是 ( )(A)１个. (B) 2个. (C)3个. (D) 4个.2. 点(2,3)P -关于点(4,1)M 的对称点Q 的坐标是 ( ) (A) (3,1)- (B) (1,2) (C) (6,5) (D) (2,4)3. 若过点(0,2)B 的直线交x 轴于点A 点，且||4AB =，则直线AB 的方程为 （ ）(A)12y +=(B) 12y=(C)1122y y +=+=(D)1122y y+=+=－ 4.直线34y x =-关于点(2,1)P -对称的直线l 的方程是 （ ） (A) 310y x =- (B) 318y x =- (C) 34y x =+ (D) 43y x =+. 5.如果直线2y ax =+与直线3y x b =-关于直线y x =对称，那么 （ ） (A) 1,63a b ==- (B) 1,63a b == (C) 3,2a b ==- (D) 3,6a b ==.6. 若直线l 在y 轴上的截距为－2，l 上横坐标分别是3，－4的两点的线段长为14，则直线l 的方程为 ．7. 已知ABC ∆的三个顶点(2,8)A ，(4,0)B -，(6,0)C ，则AB 边上的中线CD 所在直线的方程为 ． 8.若直线l 过点(3,2)P ，且被坐标轴截得的线段的中点恰为P ，则直线l 的方程是 ．9. 若点P Q 、的横坐标分别为12,x x ,直线PQ 的斜率为k ，则PQ = ． 10.已知直线:26l y x =-+和点(1,1)A -，过点A 作直线1l 与直线l 相交于B 点，且5AB =，求直线1l 的方程．11. 过点(3,0)P 作直线l ，使它被直线1:230l x y --=和2:30l x y ++=所截得的线段恰好被P 平分，求直线l 的方程．.让学生学会学习拓展延伸12.(1)已知点(1,3)A ，(3,1)B -，在x 轴上求一点P ，使得PA PB +最小；(2) 已知点(1,3)M ，(5,2)N -，在x 轴上求一点P ，使得||PM PN -最大，并求最大值．13.求函数y =的最小值及相应的x 值．本节学习疑点：。
2.1.5平面上两点间的距离 作业 高中数学 必修二 苏教版 含答案
2.1.5 平面上两点间的距离5分钟训练(预习类训练,可用于课前)1.点(1，-1)到直线x-y+1=0的距离是( ) A.21 B.23 C.223 D.22 思路解析：本题考查点到直线的距离公式.由点到直线的距离公式可得2232|1)1(1|=+--. 答案：C2.点A(-1,2)关于原点对称的坐标是_____________.思路解析：设点B(a,b)和点A 关于原点对称,则原点是点A 和点B 的中点,则由中点公式得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=,220,210b a 即⎩⎨⎧-==,2,1b a 所以B 点的坐标是(1,-2). 答案：(1,-2)3.以A(1,3)、B(-5,1)为端点的线段的垂直平分线为___________.思路解析：由题意得A 、B 两点的中点为P(-2，2)，直线AB 的斜率为31)5(113=---=k ，所以，所求的垂直平分线的斜率为3311-=-，由点斜式得y-2=-3(x+2)，即3x+y+4=0. 答案：3x+y+4=010分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.点A(a,1)与B(2,2a)之间的距离为( ) A.5(a-1) B.5 (1-a) C.5|a-1| D.5(a-1)2思路解析：由两点间距离公式:|1|5)1(5)22()1(||222-=-=-+-=a a a a AB . 答案：C2.已知P(a,b)与Q(b-1,a+1)(a≠b -1)是轴对称的两点，那么对称轴方程是( )A.x+y=0B.x-y=0C.x+y-1=0D.x-y+1=0思路解析：对称轴应为PQ 的中垂线,由k PQ =111-=---+ab b a ，所以所求对称轴的斜率为1，又PQ 的中点为(21,21++-+a b b a )，由点斜式:2121-+-=++-b a x a b y ,化简得x-y+1=0.答案：D3.一束光线自A(-2，1)入射到x 轴上，经反射后，反射光线与y=x 平行，则入射线与x 轴的交点是( )A.(1,0)B.(-1,0)C.(-3,0)D.(2,0)思路解析：由入射角等于反射角,即入射光线的倾斜角与反射光线的倾斜角互补,所以入射光线斜率为-1,即入射光线方程为y-1=-1(x+2),令y=0,得x=-1,入射点为(-1,0).答案：B4.若点A(1,3),B(x,-5),且|AB|=10,则x=___________.思路解析：由两点间距离公式:10)35()1(22=--+-x ，得(x-1)2=36,所以x-1=±6,故x=7或-5.答案：7或-55.过点A(0,1)作一直线l ,使它夹在直线l 1:x-3y+10=0和l 2:2x+y-8=0间的线段被A 点平分,试求直线l 的方程.思路解析：可设直线l 的点斜式方程,分别求得两交点,再利用中点公式求得k.但这样做比较复杂,还可以使用标点法，即把两直线上的点用字母标出来，由中点公式求出字母的值，再求直线方程.解:设直线l 和l 1、l 2分别交于点P 、Q ，再设P(3a-10,a),Q(b,8-2b),由中点公式:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=+-=,2281,21030b a b a 即a=2,b=4,所以P(-4,2),Q(4,0),由两点式可求得直线PQ 的方程,即x+4y-4=0.30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1. 已知点A(1,2)、B(3,1),则线段AB 垂直平分线的方程是( )A.4x+2y=5B.4x-2y=5C.x+2y=5D.x-2y=5思路解析：可以先求出AB 的中点和AB 的斜率,用点斜式可求得垂直平分线方程. 答案：B2.直线y=2x 关于x 轴对称的直线方程为( ) A.y=x 21- B.y=x 21 C.y=-2x D.y=2x 思路解析：考查轴对称问题,即求已知直线关于某直线对称的直线,考虑到该题中对称轴为x 轴,所以可采取简捷解法.解法一:直线y=2x 经过原点且斜率为2,故它关于x 轴对称的直线也应过原点且斜率为-2.所以对称后的直线方程为y=-2x.解法二:联想到函数的对称问题,y=2x 关于x 轴对称后的解析式,应是x 不变,y 换为-y,∴得到y=2x 关于x 轴对称后的直线应为y=-2x.答案：C3.设A 、B 是x 轴上两点，点P 的横坐标为2，且|PA|=|PB|,若直线PA 的方程为x-y+1=0,则直线PB 的方程为( )A.x+y-5=0B.2x-y-1=0C.2y-x-4=0D.2x+y-7=0思路解析：本题考查直觉思维能力、联想判断能力.直线方程的求法,获取信息是关键.由|PA|=|PB|,且A 、B 均在x 轴上,可知P 在线段AB 的垂直平分线上.又P 的横坐标为2,∴AB 的垂直平分线的方程为x=2,P 为PA 与x=2的交点,由⎩⎨⎧=+-=,01,2y x x 得P(2,3).又A(-1,0),B 与A 关于直线x=2对称,∴B(5,0).由两点式可得PB 的方程为x+y-5=0.答案：A4.点A(-1,-2)与点B(3,1)之间的距离是____________.思路解析：已知两点的坐标可以直接利用两点间距离公式求距离,所以5916)12()31(||22=+=--+--=AB .答案：55.已知定点A(0,1),点B 在直线x+y=0上运动,当线段AB 最短时,点B 的坐标是____________. 思路解析：可设B(x,-x),所以21)21(2122)1(||2222++=++=+-+=x x x x x AB ,所以|AB|min =2221=.这时x=21-,B 点的坐标为(21-,21). 答案：(21-,21) 6.84122+-++x x x 的几何意义是_________.请求出函数84122+-++=x x x y 的最小值______________. 思路解析：222222)20()2()10()0(841-+-+-+-=+-++x x x x x 表示的几何意义是:动点P(x,0)到两定点A(0,1)和B(2,2)距离的和.如图所示,记A′为A 关于x 轴的对称点,则A′(0,-1).连结BA′交x 轴于P,∵|PA|=|PA′|，∴P到A 、B 的距离之和最小,最小值为|BA′|.∴|BA′|=.13)12()02(22=++-∴y min =13.答案：点(x,0)到两定点(0,1)和(2,2)的距离之和 137.求直线2x+y-4=0关于直线l :3x+4y-1=0对称的直线方程.思路解析：将线关于线对称问题转化为点关于点对称问题,然后利用“转代法”求得对称的直线方程.解法一:如图所示,设P(x,y)为所求直线上任一点,点P 关于l 的对称点为P′(x′,y′).又PP′⊥l ,故k PP′=34,即有34='-'-x x y y . ① 由P′P 的中点(2,2y y x x '+'+)在直线l 上, 所以012)(42)(3=-'++'+y y x x . ② 解由①②组成的方程组,得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+--='+-='258724,256247y x y y x x ,又点(x′,y′)在已知直线2x+y-4=0上,故有2×258724256247+--++-y x y x -4=0,即2x+11y+16=0.此为所求. 解法二:在直线2x+y-4=0上取一点A(2,0).又设点A 关于l 的对称点为B(x 0,y 0),则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+⨯++⨯=--.01204223,34200000y x x y 解得B(58,54-).又所求直线过点P(3,-2),故由两点式可求得直线l 2的方程为2x+11y+16=0.8.河流的一侧有A 、B 两个村庄，如图2-1-5所示，两村庄计划在河上共建一水电站供两村使用.已知A 、B 两村到河边的垂直距离分别为300 m 和600 m ，且两村相距400 m.图2-1-5问：水电站建于何处才能使送电到两村的电线用料最省？思路解析：这是一道实际问题,需转化为数学问题(建模),考虑到用线最省(距离最小),可利用对称思想,转化为线段长问题,依据三角形任两边之和大于第三边确定最小值.解：如图所示,以河边所在直角为x 轴,以AC 为y 轴建立平面直角坐标系,则A(0,300), B(400,600).设A 关于x 轴的对称点为A′,则A′(0,-300),连结A′B,交x 轴于P.由于|AP|+|PB|=|A′P|+|PB|=|A′B|=9710090040022=+，且此时最小.又A′B 的方程为y=x 49-300，令y=0，得3400=x .∴P 点坐标为(3400,0). 9.试建立适当的坐标系,求证：三角形的中位线平行等于底边的一半.思路解析：几何图形的性质不随坐标系的变化而变化,但坐标系建立的恰当,可以减少运算,使证明过程简洁明了.另外，对于平行的证明可以使用斜率，长度的证明可以使用两点间的距离公式.证明：如图所示,设△ABC 中,CA 、CB 的中点分别D 、E.以AB 边为x 轴,A 为原点,建立平面直角坐标系.设B(c,0),C(a,b),由中点公式:D(2,2b a ),E(2,2b c a +),所以DE 的斜率k DE =0,方程为y=2b ,所以DE 平行于x 轴,即DE ∥AB;又||2144)22()22(||222AB c c b b a c a DE ===---+=,所以原命题成立.。
高中数学 第2章 平面解析几何初步 2.12.1.5 平面上两点间的距离练习 苏教版必修2
2.1.5 平面上两点间的距离A 组 基础巩固1．已知A (－1，0)，B (5，6)，C (3，4)，则|AC ||CB |的值为( )A.13B.12 C ．3 D ．2 解析：由两点间的距离公式，得|AC |＝[3－（－1）2]＋（4－0）2＝42， |CB |＝（3－5）2＋（4－6）2＝22， 故|AC ||CB |＝4222＝2. 答案：D2．直线y ＝x 上的两点P ，Q 的横坐标分别是1，5，则|PQ |等于( ) A ．4 B ．4 2 C ．2 D ．2 2 解析：由题意易知P (1，1)，Q (5，5)， 所以|PQ |＝2（5－1）2＝4 2. 答案：B3．已知点A (－2，－1)，B (a ，3)且|AB |＝5，则a 等于( ) A ．1 B ．－5 C ．1或－5 D ．其他值解析：由两点间距离公式得，(a ＋2)2＋(3＋1)2＝52， 所以(a ＋2)2＝9.所以a ＝1或a ＝－5. 答案：C4．与两点A (－2，2)，B (2，4)等距离，且在坐标轴上的点的坐标是________________． 解析：设点P (a ，0)或(0，b )由两点间的距离公式计算．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0和(0，3)5．光线从点A (－3，5)射到直线l ：3x －4y ＋4＝0以后，再反射到一点B (2，15)． (1)求入射线与反射线的方程； (2)求这条光线从A 到B 的长度．解：(1)设点A 关于直线l 的对称点为A 1(x 0，y 0)，由直线AA 1与已知直线垂直，且AA 1中点也在直线上，则有⎩⎪⎨⎪⎧y 0－5x 0＋3＝－43，3×x 0－32－4×y 0＋52＋4＝0，解得x 0＝3，y 0＝－3， 即A 1(3，－3)．于是反射光线方程为y ＋315＋3＝x －32－3，即18x ＋y －51＝0.同理B 1(14，－1)，入射光线方程为6x ＋17y －67＝0.(2)光线从A 到B 的长度，利用线段的垂直平分线性质，即得AP ＋PB ＝A 1P ＋PB ＝A 1B ＝（3－2）2＋（－3－15）2＝513.B 级 能力提升6．x 轴上任一点到定点(0，2)，(1，1)距离之和的最小值是( ) A. 2 B ．2＋ 2 C.10 D.5＋1解析：作点(1，1)关于x 轴的对称点(1，－1)，则距离之和最小值为12＋（－1－2）2＝10.答案：C7．直线y ＝3x －4关于点P (2，－1)对称的直线l 的方程是( ) A ．y ＝3x －10 B ．y ＝3x －18 C ．y ＝3x ＋4D ．y ＝4x ＋3解析：在直线上任取两点A (1，－1)，B (0，－4)，则其关于点P 的对称点A ′，B ′可由中点坐标公式求得为A ′(3，－1)，B ′(4，2)．由两点式可求得方程为y ＝3x －10.答案：A8．已知A (－3，8)，B (2，2)，在x 轴上有一点M ，使得|MA |＋|MB |最短，则点M 的坐标是( )A ．(－1，0)B ．(1，0)C.⎝⎛⎭⎪⎫225，0D.⎝⎛⎭⎪⎫0，225解析：如图所示，A 关于x 轴的对称点为A ′(－3，－8)，则A ′B 与x 轴的交点即为M ，求得M 的坐标为(1，0)．答案：B9．已知A (5，2a －1)、B (a ＋1，a －4)，则AB 的最小值是________． 解析：由两点间的距离公式得AB ＝（a －4）2＋（a －4－2a ＋1）2＝2a 2－2a ＋25＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋492≥722. 答案：72210．点A (－3，1)，C (1，y )关于点B (－1，－3)对称，则AC ＝______． 解析：由已知得y ＋12＝－3，所以y ＝－7，即C (1，－7)，所以|AC |＝[1－（－3）2]＋（－7－1）2＝4 5. 答案：4511．直线x －2y ＋1＝0关于直线y －x ＝1对称的直线方程是____．解析：设所求直线上任一点的坐标为(x ，y )，则它关于y －x ＝1对称的点为(y －1，x ＋1)，且在直线x －2y ＋1＝0上，所以y －1－2(x ＋1)＋1＝0，化简得2x －y ＋2＝0. 答案：2x －y ＋2＝012．甲船在某港口东50 km ，乙船在同一港口的东14 km ，南18 km 处，那么甲、乙两船的距离是________．解析：以某港口为坐标原点建系后得甲船坐标为(50，0)，乙船坐标为(14，－18)，由两点间距离公式得甲、乙两船的距离为（50－14）2＋（0＋18）2＝18 5.答案：18 5 km13．已知点A (a ＋1，2)与点B (5，a )的距离为2，求a 的值． 解：由已知得|AB |＝[5－（a ＋1）]2＋（a －2）2＝2， 即(a －4)2＋(a －2)2＝4，化简整理得a 2－6a ＋8＝0， 解之得a ＝2或a ＝4. 14．已知0<x <1，0<y <1.求证：x 2＋y 2＋x 2＋（1－y ）2＋（1－x ）2＋y 2＋（1－x ）2＋（1－y ）2≥22，并求等号成立的条件．证明：设四边形OABC 是正方形，O (0，0)，A (1，0)，B (1，1)，C (0，1)，设P (x ，y )为正方形内一点，如图所示，|PO |＝x 2＋y 2，|PA |＝（1－x ）2＋y 2，|PB |＝（1－x ）2＋（1－y ）2，PC ＝x 2＋（1－y ）2，OB ＝2，AC ＝ 2.因为PO ＋PB ≥BO ，PA ＋PC ≥AC ， 所以PO ＋PB ＋PA ＋PC ≥BO ＋AC ，即x 2＋y 2＋x 2＋（1－y ）2＋（1－x ）2＋y 2＋ （1－x ）2＋（1－y ）2≥2 2.当且仅当PO ＋PB ＝BO ， 且PA ＋PC ＝AC 时，等号成立．此时点P 既在OB 上， 又在AC 上，因此，点P 是正方形的中心，即x ＝y ＝12.。
最新苏教版高中数学必修二《空间两点间的距离》课时同步练习及解析.docx
（新课标）2018-2019学年苏教版高中数学必修二2.3.2 空间两点间的距离【课时目标】 1．掌握空间两点间的距离公式．2．能够用空间两点间距离公式解决简单的问题．1．在空间直角坐标系中，给定两点P 1(x 1，y 1，z 1)，P 2(x 2，y 2，z 2)，则P 1P 2＝_________________________________________________________________． 特别地：设点A (x ，y ，z )，则A 点到原点的距离为：OA ＝________________．2．若点P 1(x 1，y 1,0)，P 2(x 2，y 2,0)， 则P 1P 2＝__________________________________________________________________．3．若点P 1(x 1,0,0)，P 2(x 2,0,0)， 则P 1P 2＝________________．一、填空题1．若A (1,3，－2)、B (－2,3,2)，则A 、B 两点间的距离为________．2．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若D (0,0,0)、A (4,0,0)、B (4,2,0)、A 1(4,0,3)，则对角线AC 1的长为________．3．到点A (－1，－1，－1)，B (1,1,1)的距离相等的点C (x ，y ，z )的坐标满足的关系式为____________．4．已知A (2,1,1)，B (1,1,2)，C (2,0,1)，则△ABC 的形状为____________三角形． 5．已知A (x,5－x,2x －1)，B (1，x ＋2,2－x )，当AB 取最小值时，x 的值为________． 6．点P (x ，y ，z )满足(x －1)2＋(y －1)2＋(z ＋1)2＝2，则点P 的集合为____________________________．7．在空间直角坐标系中，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的顶点A (3，－1,2)，其中心M 的坐标为(0,1,2)，则该正方体的棱长为________．8．已知P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，52，z 到直线AB 中点的距离为3，其中A (3,5，－7)，B (－2,4,3)，则z＝________．9．在空间直角坐标系中，已知点A(1,0,2)，B(1，－3,1)，点M在y轴上，且M到A 与到B的距离相等，则M的坐标是________．二、解答题10．在xOy平面内的直线x＋y＝1上确定一点M，使它到点N(6,5,1)的距离最小．11．如图所示，BC＝4，原点O是BC的中点，点A的坐标为(32，12，0)，点D在平面yOz上，且∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，求AD的长度．能力提升12．已知正方形ABCD、ABEF的边长都是1，且平面ABCD⊥平面ABEF，点M在AC 上移动，点N在BF上移动，若CM＝BN＝a(0＜a＜2)．(1)求MN的长；(2)当a为何值时，MN的长最小．13．在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝AD＝3，AA1＝2，点M在A1C1上，MC1＝2A1M，N在D1C上且为D1C中点，求M、N两点间的距离．空间中两点的距离公式，是数轴上和平面上两点间距离公式的进一步推广，反之，它可以适用于平面和数轴上两点间的距离的求解．设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，则d(P1，P 2)＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＋(z 2－z 1)2，当P 1，P 2两点落在了坐标平面内或与坐标平面平行的平面内时，此公式可转化为平面直角坐标系中的两点间距离公式，当两点落在坐标轴上时，则公式转化为数轴上两点间距离公式．2．3．2 空间两点间的距离 答案知识梳理 1．(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＋(z 1－z 2)2x 2＋y 2＋z 22．(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 3．|x 1－x 2| 作业设计 1．5 解析 AB ＝(1＋2)2＋(3－3)2＋(－2－2)2＝5．2．29解析 由已知求得C 1(0,2,3)，∴AC 1＝29．3．x ＋y ＋z ＝0解析 AC ＝BC ⇒(x ＋1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2＝(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2．即x ＋y ＋z ＝0．4．直角 解析 AB ＝2，BC ＝3，AC ＝1，∴AB 2＋AC 2＝BC 2．故构成直角三角形．5．87解析 AB ＝(x －1)2＋(3－2x )2＋(3x －3)2＝14x 2－32x ＋19，∴当x ＝－－322×14＝87时，AB 最小．6．以点(1,1，－1)为球心，以2为半径的球面 7．23938．0或－4解析 利用中点坐标公式，则AB 中点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，92，－2，PC ＝3，即⎝ ⎛⎭⎪⎫32－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫52－922＋[z －(－2)]2＝3， 解得z ＝0或z ＝－4．9．(0，－1,0)解析 设M 的坐标为(0，y,0)，由MA ＝MB 得(0－1)2＋(y －0)2＋(0－2)2＝(0－1)2＋(y ＋3)2＋(0－1)2，整理得6y ＋6＝0， ∴y ＝－1，即点M 的坐标为(0，－1,0)． 10．解 ∵点M 在直线x ＋y ＝1(xOy 平面内)上， ∴可设M (x,1－x,0)． ∴MN ＝(x －6)2＋(1－x －5)2＋(0－1)2＝2(x －1)2＋51≥51，当且仅当x ＝1时取等号，∴当点M 坐标为(1,0,0)时，(MN )min ＝51．11．解 由题意得B (0，－2,0)，C (0,2,0)， 设D (0，y ，z )，则在Rt △BDC 中，∠DCB ＝30°， ∴BD ＝2，CD ＝23，z ＝3，y ＝－1． ∴D (0，－1，3)．又∵A (32，12，0)，∴AD ＝(32)2＋(12＋1)2＋(3)2＝6．12．解 ∵平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD ∩平面ABEF ＝AB ，AB ⊥BE ， ∴BE ⊥平面ABCD ， ∴AB 、BC 、BE 两两垂直．过点M 作MG ⊥AB ，MH ⊥BC ，垂足分别为G 、H ，连结NG ，易证NG ⊥AB ． ∵CM ＝BN ＝a ， ∴CH ＝MH ＝BG ＝GN ＝22a ，∴以B 为原点，以AB 、BE 、BC 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系B —xyz ，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫22a ，0，1－22a ，N ⎝⎛⎭⎪⎪⎫22a ，22a ，0． (1)MN＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫22a －22a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0－22a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－22a －02＝a 2－2a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a －222＋12， (2)由(1)得，当a ＝22时，MN 最短，最短为22，这时M 、N 恰好为AC 、BF 的中点．13．解 如图分别以AB 、AD 、AA 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．由题意可知C (3,3,0)，D (0,3,0)，∵DD 1＝CC 1＝2，∴C 1(3,3,2)，D 1(0,3,2)， ∵N 为CD 1的中点，∴N ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3，1． M 是A 1C 1的三分之一分点且靠近A 1点，∴M (1,1,2)．由两点间距离公式，得MN ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32－12＋(3－1)2＋(1－2)2＝212．。
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课时跟踪检测（十九） 平面上两点之间的距离
层级一 学业水平达标
1．过点A (4，a )和点B (5，b )的直线与y ＝x ＋m 平行，则|AB |的值为( )
A ．6
B ．2
C ．2
D ．不能确定 解析：选B 由k AB ＝1，得
b －a 1＝1，∴b －a ＝1. ∴AB ＝ (5－4)2＋(b －a )2＝1＋1＝ 2.
2．以A (1,5)，B (5,1)，C (－9，－9)为顶点的三角形的形状为( )
A ．等腰三角形
B ．等边三角形
C ．直角三角形
D ．锐角三角形
解析：选A AC ＝(－9－1)2＋(－9－5)2＝274，
BC ＝(－9－5)2＋(－9－1)2＝274，
AB ＝(1－5)2＋(5－1)2＝4 2
故BC ＝AC ，△ABC 为等腰三角形．
3．已知点A (x,5)关于点(1，y )的对称点为(－2，－3)，则点P (x ，y )到原点的距离是( )
A ．2
B ．4
C ．5
D ．17
解析：选D 根据中点坐标公式得到x －22＝1且5－32
＝y ，解得x ＝4，y ＝1，所以点P 的坐标为(4,1)，则点P (x ，y )到原点的距离d ＝(4－0)2＋(1－0)2＝17.
4．已知平面上两点A (x ，2－x )，B ⎝⎛⎭⎫22，0，则AB 的最小值为( ) A ．3
B ．13
C ．2
D ．12 解析：选D ∵AB ＝⎝⎛⎭⎫x －222＋()2－x －02＝2⎝
⎛⎭⎫x －3242＋14≥12，当且仅当x ＝324时等号成立，∴|AB |min ＝12
. 5．直线l 与直线y ＝1和x －y －7＝0分别相交于P ，Q 两点，线段P Q 的中点是(1，－1)，则直线l 的斜率为( )
A ．－23
B ．23
C ．32
D ．－32
解析：选A 设P (a,1)，Q (x 0，y 0)，由于P Q 中点是(1，－1)，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
a ＋x 0＝2，1＋y 0＝－2，∴Q (2－a ，－3)，将其代入x －y －7＝0. 得a ＝－2，∴P (－2,1)，Q (4，－3)，
∴k l ＝－3－14＋2
＝－23. 6．设点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，AB 的中点是P (2，－1)，则AB ＝________.
解析：设A (a,0)，B (0，b )，则a 2＝2，b 2
＝－1， 解得a ＝4，b ＝－2，∴AB ＝2 5.
★★答案★★：2 5
7．设A ，B 是x 轴上两点，点P 的横坐标为2，且PA ＝PB ，若直线PA 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程为________．
解析：由已知得A (－1,0)，P (2,3)，由PA ＝PB ，得B (5,0)，
由两点式得直线PB 的方程为x ＋y －5＝0.
★★答案★★：x ＋y －5＝0
8．点M 到x 轴和到点N (－4,2)的距离都等于10，则点M 的坐标为________．
解析：设M (x ，y )，则|y |＝(x ＋4)2＋(y －2)2＝10.
解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝10或⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－10，y ＝10. ★★答案★★：(2,10)或(－10,10)
9．已知直线l ：y ＝－2x ＋6和点A (1，－1)，过点A 作直线l 1与直线l 相交于B 点，且AB ＝5，求直线l 1的方程．
解：由于B 在l 上，可设B 点坐标为(x 0，－2x 0＋6)．
由AB 2＝(x 0－1)2＋(－2x 0＋7)2＝25，
化简得x 20－6x 0＋5＝0，
解得x 0＝1或5.
当x 0＝1时，AB 方程为x ＝1，
当x 0＝5时，AB 方程为3x ＋4y ＋1＝0.
综上，直线l 1的方程为x ＝1或3x ＋4y ＋1＝0.
10．光线从A (－4，－2)点射出，到直线y ＝x 上的B 点后被直线y ＝x 反射到y 轴上C 点，又被y 轴反射，这时反射光线恰好过点D (－1,6)，求BC 所在的直线方程．
解：作出草图，如图所示，设A 关于直线y ＝x 的对称点为A ′，D
关于y 轴的对称点为D ′，则易得A ′(－2，－4)，D ′(1,6)．由入射角
等于反射角可得A ′D ′所在直线经过点B 与C .
故BC 所在的直线方程为y －66＋4＝x －11＋2，即10x －3y ＋8＝0. 层级二 应试能力达标
1．已知△ABC 的顶点A (2,3)，B (－1,0)，C (2,0)，则△ABC 的周长是( )
A ．23
B ．3＋2 3
C ．6＋3 2
D ．6＋10
解析：选C AB ＝(2＋1)2＋32＝32，BC ＝(2＋1)2＋0＝3，AC ＝(2－2)2＋32＝3，则△ABC 的周长为6＋3 2.
2．已知点A (1,3)，B (5，－2)，点P 在x 轴上，则使AP －BP 取最大值的点P 的坐标是( )
A ．(4,0)
B ．(13,0)
C ．(5,0)
D ．(1,0)
解析：选B 点A (1,3)关于x 轴的对称点为A ′(1，－3)，连结A ′B
并延长交x 轴于点P ，即为所求．直线A ′B 的方程是y ＋3＝－2＋35－1
(x －1)，即y ＝14x －134
.令y ＝0，得x ＝13. 3．两直线3ax －y －2＝0和(2a －1)x ＋5ay －1＝0分别过定点A ，B ，则AB 的值为( )
A.895
B.175
C.135
D.115 解析：选C 直线3ax －y －2＝0过定点A (0，－2)，直线(2a －1)x ＋5ay －1＝0过定点
B ⎝⎛⎭⎫－1，25，由两点间的距离公式，得AB ＝135
. 4．在直线2x －3y ＋5＝0上求一点P ，使点P 到A (2,3)的距离为13，则点P 的坐标是( )
A ．(5,5)
B ．(－1,1)
C ．(5,5)或(－1,1)
D ．(5,5)或(1，－1)
解析：选C 设点P (x ，y )，则y ＝2x ＋53，由PA ＝13，得(x －2)2＋⎝⎛⎭⎫2x ＋53－32＝13，
即(x －2)2＝9，解得x ＝－1或x ＝5，当x ＝－1时，y ＝1，当x ＝5时，y ＝5，∴P (－1，1)或(5,5)．
5．已知A (－3,8)，B (2,2)，在x 轴上有一点M ，使得MA ＋MB 最短，则点M 的坐标是________．
解析：如图：
A关于x轴对称点为A′(－3，－8)，
则A′B与x轴的交点即为M，
求得M的坐标为(1,0)．
★★答案★★：(1,0)
6．将一张画有平面直角坐标系且两轴单位长度相同的纸折叠一次，使点A(2,0)与点B(－2,4)重合，若点C(5,8)与点D(m，n)重合，则m＋n的值为________．
解析：点A(2,0)与点B(－2,4)的垂直平分线为折叠线，直线AB必与直线CD平行，即k AB ＝k CD，
∴n－8
m－5
＝
0－4
2－(－2)
＝－1，整理得m＋n＝13.
★★答案★★：13
7．已知一条直线过点P(2，－3)，与直线2x－y－1＝0和直线x＋2y－4＝0分别相交于点A和点B，且P为线段AB的中点，求这条直线的方程．
解：设点A的坐标为(t,2t－1)，
因为点P(2，－3)是线段AB的中点，
所以点B的坐标为(4－t，－5－2t)．
因为点B在直线x＋2y－4＝0上，
所以4－t＋2(－5－2t)－4＝0.
解得t＝－2，于是点A的坐标为(－2，－5)．
所以所求直线的方程为y＋3
－5＋3＝
x－2
－2－2
，
即x－2y－8＝0.
8．求函数y＝x2－8x＋20＋x2＋1的最小值．
解：原式可化为
y＝(x－4)2＋(0－2)2＋(x－0)2＋(0－1)2.
考虑两点间的距离公式，如图所示，令A(4,2)，B(0,1)，P(x，0)，则上述问题可转化为：在x轴上求一点P(x,0)，
使得PA＋PB最小．
作点A(4,2)关于x轴的对称点A′(4，－2)，
由图可直观得出
PA＋PB＝PA′＋PB≥A′B，
故PA＋PB的最小值为A′B的长度．
由两点间的距离公式可得
A′B＝42＋(－2－1)2＝5，
所以函数y＝x2－8x＋20＋x2＋1的最小值为5.。