高考数学压轴专题专题备战高考《空间向量与立体几何》全集汇编

新数学《空间向量与立体几何》高考知识点

一、选择题

1．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ， N 分别为棱111,C D CC 的中点，以下四个结论：①直线DM 与1CC 是相交直线；②直线AM 与NB 是平行直线；③直线BN 与1MB 是异面直线；④直线AM 与1DD 是异面直线．其中正确的个数为（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

【答案】C

【解析】

【分析】 根据正方体的几何特征，可通过判断每个选项中的两条直线字母表示的点是否共面；如果共面，则可能是相交或者平行；若不共面，则是异面.

【详解】

①：1CC 与DM 是共面的，且不平行，所以必定相交，故正确；

②：若AM BN 、平行，又AD BC 、平行且,AM AD A BN BC B ⋂=⋂=，所以平面BNC P 平面ADM ，明显不正确，故错误；

③：1BN MB 、不共面，所以是异面直线，故正确；

④：1AM DD 、不共面，所以是异面直线，故正确；

故选C.

【点睛】

异面直线的判断方法：一条直线上两点与另外一条直线上两点不共面，那么两条直线异面；反之则为共面直线，可能是平行也可能是相交.

2．已知一个几何体的三视图如图所示（正方形边长为1），则该几何体的体积为（ ）

A ．34

B ．78

C ．1516

D ．2324

【答案】B

【解析】

【分析】

【详解】

由三视图可知：该几何体为正方体挖去了一个四棱锥A BCDE -，

该几何体的体积为1111711132228

⎛⎫-⨯⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭ 故选B 点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.

3．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，13,1AB AD AA ===,而对角线1A B 上存

在一点P ，使得1AP D P +取得最小值，则此最小值为（ ）

A ．7

B ．3

C ．1+3

D ．2

【答案】A

【解析】

【分析】 把面1AA B 绕1A B 旋转至面1BA M 使其与对角面11A BCD 在同一平面上，连接1MD 并求出，就

是最小值．

【详解】

把面1AA B 绕1A B 旋转至面1BA M 使其与对角面11A BCD 在同一平面上，连接1MD ．1MD 就是1||||AP D P +的最小值，

Q ||||3AB AD ==，1||1AA =，∴0113tan 3,60AA B AA B ∠==∴∠=． 所以11=90+60=150MA D ∠o o o

2211111111132cos 13223()72

MD A D A M A D A M MA D ∴=+-∠=+-⨯⨯-⋅⨯=

故选A ．

【点睛】

本题考查棱柱的结构特征，考查计算能力，空间想象能力，解决此类问题常通过转化，转化为在同一平面内两点之间的距离问题，是中档题．

4．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，动点M 在线段1CC 上，动点P 在平面．．1111D C B A 上，且AP ⊥平面1MBD .线段AP 长度的取值范围为( )

A ．2⎡⎣

B ．3⎡⎣

C ．32⎣

D ．62⎣ 【答案】D

【解析】

【分析】 以1,,DA DC DD 分别为,,x y z 建立空间直角坐标系，设(),,1P x y ，()0,1,M t ，由AP ⊥

平面1MBD ，可得+11x t y t =⎧⎨=-⎩

，然后用空间两点间的距离公式求解即可. 【详解】

以1,,DA DC DD 分别为,,x y z 建立空间直角坐标系，

则()()()()11,0,0,1,1,0,0,1,,0,0,1A B M t D ，(),,1P x y .

()1,,1AP x y =-u u u r ,()11,1,1BD =--u u u u r ,()[]1,0,0,1，BM t t =-∈u u u u r

由AP ⊥平面1MBD ，则0BM AP ⋅=u u u u r u u u r 且01BD AP ⋅=u u u u r u u u r

所以10x t -+=且110x y --+=得+1x t =，1y t =-. 所以()2

221311222AP x y t ⎛⎫=-++=-+ ⎪⎝⎭u u u r 当12t =时，min 6AP =u u u r ，当0t =或1t =时，max 2AP =u u u r ， 62AP ≤≤u u u r 故选：D

【点睛】

本题考查空间动线段的长度的求法，考查线面垂直的应用，对于动点问题的处理用向量方法要简单些，属于中档题.

5．设α、β是两个不同的平面，m 、n 是两条不同的直线，下列说法正确的是（ ） A ．若α⊥β，α∩β＝m ，m ⊥n ，则n ⊥β

B ．若α⊥β，n ∥α，则n ⊥β

C ．若m ∥α，m ∥β，则α∥β

D ．若m ⊥α，m ⊥β，n ⊥α，则n ⊥β

【答案】D

【解析】

【分析】

根据直线、平面平行垂直的关系进行判断．

【详解】

由α、β是两个不同的平面，m 、n 是两条不同的直线，知：

在A 中，若α⊥β，α∩β＝m ，m ⊥n ，则n 与β相交、平行或n ⊂β，故A 错误； 在B 中，若α⊥β，n ∥α，则n 与β相交、平行或n ⊂β，故B 错误；

在C 中，若m ∥α，m ∥β，则α与β相交或平行，故C 错误；

在D 中，若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β，

∴若n ⊥α，则n ⊥β，故D 正确.

故选：D.

【点睛】

本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的益关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.

6．如图，棱长为1的正方体1111ABCD A B C D ，O 是底面1111D C B A 的中心，则O 到平面11ABC D 的距离是（ ）