配套新教材-高中数学-RJA-必修第一册第五章-5.1任意角和弧度制 5.1.2弧度制
新教材人教A版高中数学必修第一册第五章三角函数 重点难点归纳总结
第五章三角函数5.1任意角和弧度制 (2)5.1.1任意角 (2)5.1.2弧度制 (8)5.2三角函数的概念 (14)5.2.1三角函数的概念 (14)5.2.2同角三角函数的基本关系 (21)5.3诱导公式 (27)第一课时诱导公式二、三、四 (27)第二课时诱导公式五、六 (32)5.4三角函数的图象与性质 (36)5.4.1正弦函数、余弦函数的图象 (36)5.4.2正弦函数、余弦函数的性质 (41)第一课时正、余弦函数的周期性与奇偶性 (41)第二课时正、余弦函数的单调性与最值 (48)5.4.3正切函数的性质与图象 (53)5.5三角恒等变换 (58)5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式 (58)第一课时两角差的余弦公式 (58)第二课时两角和与差的正弦、余弦公式 (62)第三课时两角和与差的正切公式 (68)第四课时二倍角的正弦、余弦、正切公式 (72)5.5.2简单的三角恒等变换 (76)5.6函数y＝A sin(ωx＋φ) (81)5.6.1匀速圆周运动的数学模型 (81)5．6.2函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象 (81)第一课时函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象及变换 (81)第二课时函数y＝A sin(ωx＋φ)图象与性质的应用 (85)5.7三角函数的应用 (89)5.1任意角和弧度制5.1.1任意角知识点一任意角的概念1．角的概念角可以看成平面内一条射线绕着它的端点旋转所成的图形．2．角的表示如图，①始边：射线的起始位置OA；②终边：射线的终止位置OB；③顶点：射线的端点O；④记法：图中的角α可记为“角α”或“∠α”或“∠AOB”．3．角的分类名称定义图形正角一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角负角一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角零角一条射线没有做任何旋转形成的角1．当角的始边和终边确定后，这个角就被确定了吗？提示：不是的．虽然始、终边确定了，但旋转的方向和旋转量的大小(旋转圈数)并没有确定，所以角也就不能确定．2．正角、负角、零角是根据什么区分的？提示：根据组成角的射线的旋转方向．1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)小于90°的角都是锐角．()(2)终边与始边重合的角为零角．()(3)大于90°的角都是钝角．()(4)将时钟拨快20分钟，则分针转过的度数是120°.()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×2．下列说法正确的是()A．最大的角是180°B．最大的角是360°C．角不可以是负的D．角可以是任意大小答案：D3．下图中从OA旋转到OB，OB1，OB2时所成的角度分别是________、________、________．答案：390°－150°60°知识点二角的加法1．若两角的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称α＝β．2．设α，β是任意两个角，把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是α＋β．3．相反角：把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角，角α的相反角记为－α，α－β＝α＋(－β)．下列所示图形中，γ＝α＋β的是________；γ＝α－β的是________．解析：在①中，α与γ的始边相同，α的终边为β的始边，β与γ的终边相同，所以γ＝α＋β.在②中，α与γ的始边相同，α的终边为－β的始边，－β与γ的终边相同，所以γ＝α＋(－β)＝α－β.同理可知，③中γ＝α－β，④中γ＝α＋β.答案：①④②③知识点三象限角与终边相同的角1．象限角在平面直角坐标系中，若角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．2．各象限角的集合3．终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．对集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}的理解(1)角α为任意角，“k∈Z”不能省略；(2)k·360°与α中间要用“＋”连接，k·360°－α可理解成k·360°＋(－α)；(3)相等的角的终边一定相同，而终边相同的角不一定相等；终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍．1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)终边相同的角一定相等．()(2)－30°是第四象限角．()(3)第二象限角是钝角．()(4)225°是第三象限角．()答案：(1)×(2)√(3)×(4)√2．与610°角终边相同的角表示为(其中k∈Z)()A．k·360°＋230°B．k·360°＋250°C．k·360°＋70°D．k·180°＋270°答案：B3．－179°角是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角答案：C[例1](A．锐角都是第一象限角B．第一象限角一定不是负角C．小于180°的角是钝角、直角或锐角D．在90°≤β＜180°范围内的角β不一定是钝角[解析]锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，是第一象限角，所以A正确；－350°角是第一象限角，但它是负角，所以B错误；0°角是小于180°的角，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，所以C错误：由于在90°≤β＜180°范围内的角β包含90°角，所以不一定是钝角，所以D正确．[答案]AD理解与角的概念有关问题的关键关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小．另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需要举一个反例即可．[例2] (1)把α改写成k ·360°＋β(k ∈Z ，0°≤β＜360°)的形式，并指出它是第几象限角；(2)求θ，使θ与α终边相同，且－360°≤θ＜360°；(3)求与α终边相同的最大负角与最小正角．[解] (1)由2 021°除以360°，得商为5，余数为221°，∴取k ＝5，β＝221°，则α＝5×360°＋221°.又β＝221°是第三象限角，∴α为第三象限角．(2)与 2 021°角终边相同的角为k ·360°＋2 021°，k ∈Z .令－360°≤k ·360°＋2 021°＜360°，k ∈Z ，∴k 可取－6，－5，将k 的值代入k ·360°＋2 021°中，得角θ为－139°，221°.(3)由(2)知，与α终边相同的最大负角是－139°，最小正角是221°.终边相同角常用的三个结论(1)终边相同的角之间相差360°的整数倍；(2)终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍；(3)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍．[例3] (°；③－960°；④1 530°这四个角中，是第二象限角的是( )A ．①B ．②C ．③D ．④[解析] 第二象限角α需满足k ·360°＋90°＜α＜k ·360°＋180°，k ∈Z ，分析可知：①是第二象限角；②是第二象限角；③是第二象限角；④不是第二象限角．故选A 、B 、C.[答案] ABC(2)已知α是第二象限角，求角α2所在的象限．[解] ∵α是第二象限角，∴k ·360°＋90°<α<k ·360°＋180°(k ∈Z )．∴k 2·360°＋45°<α2<k 2·360°＋90°(k ∈Z )．当k 为偶数时，令k ＝2n (n ∈Z )，得n ·360°＋45°<α2<n ·360°＋90°，这表明α2是第一象限角；当k 为奇数时，令k ＝2n ＋1(n ∈Z )，得n ·360°＋225°<α2<n ·360°＋270°，这表明α2是第三象限角．∴α2为第一或第三象限角．[母题探究]1．(变设问)在本例(2)的条件下，求角2α的终边的位置．解：∵α是第二象限角，∴k ·360°＋90°<α<k ·360°＋180°(k ∈Z )．∴k ·720°＋180°<2α<k ·720°＋360°(k ∈Z )．∴角2α的终边在第三或第四象限或在y 轴的非正半轴上．2．(变条件)若将本例(2)中的“第二象限”改为“第一象限”，如何求解？解：∵k ·360°<α<k ·360°＋90°(k ∈Z )，∴k ·180°<α2<k ·180°＋45°(k ∈Z )．当k ＝2n (n ∈Z )时，n ·360°<α2<n ·360°＋45°，∴α2是第一象限角．当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，n ·360°＋180°<α2<n ·360°＋225°，∴α2是第三象限角．∴α2是第一或第三象限角．1．给定一个角判断它是第几象限角的思路判断角α是第几象限角的常用方法为将α写成β＋k ·360°(其中k ∈Z ，β在0°～360°范围内)的形式，观察角β的终边所在的象限即可．2．分角、倍角所在象限的判定思路(1)求解的思维模式应是：由欲求想需求，由已知想可知，抓住内在联系，确定解题方略；(2)由α的象限确定2α的象限时，应注意2α可能不再是象限角，对此特殊情况应特别指出．如α＝135°，而2α＝270°就不再是象限角．5.1.2 弧度制知识点一 度量角的两种制度1．用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”或 “rad ”可以略去不写，只写这个角对应的弧度数即可．2．不管是以弧度还是以度为单位度量角的大小，都是一个与半径大小无关的定值．知识点二角度制与弧度制的换算1．弧度数的计算2．弧度与角度的换算1．一个角的度数是否对应一个弧度数？提示：是．一个给定的角，其度数和弧度数都是唯一确定的．2．在大小不同的圆中，长度为1的弧所对的圆心角相等吗？提示：不相等．这是因为长度为1的弧是指弧的长度为1，在大小不同的圆中，由于半径不同，所以圆心角也不同．1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位．()(2)用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关．()(3)1°的角是周角的1360，1 rad的角是周角的12π.()(4)1 rad 的角比1°的角要大．( )答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)√2．(多选)下列转化结果正确的是( )A ．60°化成弧度是π3B ．－103π化成度是－600°C ．－150°化成弧度是－76πD.π12化成度是15°答案：ABD知识点三 扇形的弧长和面积公式设扇形的半径为R ，弧长为l ，α(0<α<2π)为其圆心角，则(1)弧长公式：l ＝αR ；(2)扇形面积公式：S ＝12lR ＝12αR 2．在应用弧长公式、扇形面积公式时，要注意α的单位是“弧度”，而不是“度”，若已知角是以“度”为单位的，则应先化成“弧度”，再代入计算．1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)扇形的半径为1 cm ，圆心角为30°，则扇形的弧长l ＝r |α|＝1×30＝30(cm)．( )(2)圆的半径变为原来的2倍，而弧长也增加到原来的2倍，弧长所对的扇形的面积不变．( )答案：(1)× (2)×2．已知扇形的半径r ＝30，圆心角α＝π6，则该扇形的弧长等于________，面积等于________．答案：5π 75π[例1] ( (1)5116π；(2)－7π12；(3)10°；(4)－855°. [解] (1)5116π＝5116×180°＝15 330°. (2)－7π12＝－712×180°＝－105°. (3)10°＝10×π180＝π18.(4)－855°＝－855×π180＝－19π4.角度制与弧度制的互化原则和方法(1)原则：牢记180°＝π rad ，充分利用1°＝π180 rad 和1 rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°进行换算；(2)方法：设一个角的弧度数为α，角度数为n °，则α rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α·180π°；n °＝n ·π180 rad.[注意] 用“弧度”为单位度量角时，常常把弧度数写成多少π的形式，如无特别要求，不必把π写成小数．[例2] ≤α＜2π，k ∈Z )的形式，指出它是第几象限角并写出与α终边相同的角的集合．(1)－46π3；(2)－1 485°.[解] (1)－46π3＝－8×2π＋2π3，它是第二象限角，与2π3终边相同的角的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪α＝2k π＋2π3，k ∈Z. (2)－1 485°＝－5×360°＋315°＝－10π＋7π4，它是第四象限角，与7π4终边相同的角的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪α＝2k π＋7π4，k ∈Z.弧度制下与角α终边相同的角的表示在弧度制下，与角α的终边相同的角可以表示为{β|β＝2k π＋α，k ∈Z }，即与角α终边相同的角可以表示成α加上2π的整数倍．[注意] (1)注意角度与弧度不能混用； (2)各终边相同的角需加2k π，k ∈Z .[，则扇形圆心角(正角)的弧度数为( )A.12 B.π2 C.14D.π4[解析] 设扇形的半径为r ，圆心角为α(0＜α＜2π)， 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧12r 2α＝4， ①2r ＋rα＝10， ②由②得，r ＝102＋α，③ 把③代入①，得2α2－17α＋8＝0. 解得α＝12或α＝8(舍去)． 故扇形圆心角的弧度数为12. [答案] A关于弧度制下扇形问题的解决方法(1)三个公式：|α|＝l r ，S ＝12lr ＝12αr 2，要恰当选择公式，建立未知量、已知量间的关系，通过解方程(组)求值；(2)弧长、面积的最值：利用圆心角的弧度数、半径表示出弧长(面积)，利用函数知识求最值，一般利用二次函数的最值求解．扇形的弧长公式的应用如图，点P ，Q 从点A (4，0)同时出发，沿圆周运动，点P 按逆时针方向每秒钟转π3，点Q 按顺时针方向每秒钟转π6.[问题探究]1．点P ，Q 第一次相遇时用了多少秒？提示：设点P ，Q 第一次相遇所用的时间是t s ，则t ·π3＋t ·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－π6＝2π，解得t ＝4，∴第一次相遇时用了4 s.2．点P ，Q 第一次相遇时各自走过的弧长是多少？提示：第一次相遇时，点P 运动到角4π3的终边与圆相交的位置，点Q 运动到角－2π3的终边与圆相交的位置，∴点P 走过的弧长为4π3·4＝16π3，点Q 走过的弧长为⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2π3×4＝8π3.3．若点Q 也按逆时针方向转，则点P ，Q 第一次相遇时用了多少秒？ 提示：设点P ，Q 第一次相遇的时间为t s ，则t ·π3－t ·π6＝2π，解得t ＝12 s ．所以第一次相遇时用了12 s.[迁移应用]某时针的秒针端点A 到中心O 的距离为5 cm ，秒针均匀地绕点O 旋转，当时间t ＝0时，点A 与钟面上标12的点B 重合．设秒针端点A 转过的路程为d cm ，所形成的扇形面积为S cm 2，分别求d 与S 关于时间t (s)的函数，其中t ∈[0，60]．解：∵秒针的旋转方向为顺时针，∴t s 后秒针端点A 转过的角α＝－πt30 rad ， ∴秒针端点A 转过的路程为d ＝|α|·r ＝πt6(cm)，∴形成的扇形面积为S＝12|α|·r2＝5πt12(cm2)，∴d＝πt6(t∈[0，60])，S＝5πt12(t∈[0，60])．5.2三角函数的概念5.2.1三角函数的概念知识点一任意角的三角函数的定义条件如图，设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆交于点P(x，y)定义正弦点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作sin α，即y＝sin_α余弦点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记作cos α，即x＝cos_α正切点P的纵坐标与横坐标的比值yx叫做α的正切，记作tanα，即yx＝tan_α(x≠0)三角函数正弦函数y＝sin x，x∈R；余弦函数y＝cos x，x∈R；正切函数y＝tan x，x≠π2＋kπ，k∈Z三角函数的定义(1)三角函数是一个函数，符合函数的定义，是由角的集合(弧度数)到一个比值的集合的函数；(2)三角函数值实质是一个比值，因此分母不能为零，所以正切函数的定义域就是使分母不为零的角的集合．1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)sin α表示sin 与α的乘积．( ) (2)如图所示，sin α＝y .( )(3)终边落在y 轴上的角的正切函数值为0.( ) 答案：(1)× (2)× (3)×2．已知角α的终边经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12，则sin α＝______，cos α＝________，tan α＝________．答案：－12 －32 33 知识点二 三角函数值的符号 如图所示：正弦：一二象限正，三四象限负； 余弦：一四象限正，二三象限负； 正切：一三象限正，二四象限负．简记口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦．1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若α是三角形的内角，则必有sin α>0.( ) (2)若sin α>0，则α是第一或第二象限角．( ) 答案：(1)√ (2)×2．若sin α<0且cos α<0，则角α为第________象限角． 答案：三知识点三 诱导公式一终边相同的角的同一三角函数的值相等，由此得到一组公式：根据三角函数的诱导公式一，终边相同的角的同一三角函数值有何关系？ 提示：终边相同的角的同一三角函数值相等．诱导公式一的结构特点(1)其结构特点是函数名相同，左边角为α＋2k π，右边角为α；(2)由公式一可知，三角函数值有“周而复始”的变化规律，即角的终边每绕原点旋转一周，函数值将重复出现；(3)此公式也可以记为：sin(α＋k ·360°)＝sin α，cos(α＋k ·360°)＝cos α，tan(α＋k ·360°)＝tan α.其中k ∈Z .[例1] 轴的非负半轴为角的始边，如果角α，β的终边分别与单位圆交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，513和⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45，那么sin αcos β＝( )A ．－3665 B ．－313 C.413D.4865(2)设a <0，角α的终边与单位圆的交点为P (－3a ，4a )，那么sin α＋2cos α的值等于( )A.25 B ．－25 C.15D ．－15[解析] (1)∵角α，β的终边与单位圆分别交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，513和⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45，故由定义知sin α＝513，cos β＝－35， ∴sin αcos β＝513×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－313.(2)∵点P 在单位圆上，则|OP |＝1. 即（－3a ）2＋（4a ）2＝1，解得a ＝±15.∵a <0，∴a ＝－15. ∴P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45.∴sin α＝－45，cos α＝35. ∴sin α＋2cos α＝－45＋2×35＝25. [答案] (1)B (2)A利用三角函数的定义求一个角的三角函数值有以下几种情况：(1)若已知角α终边上一点P (x ，y )是单位圆上的点(有时此点的坐标需求出)，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx (x ≠0)；(2)若已知角α终边上一点P (x ，y )不是单位圆上的点，则首先求r ＝ x 2＋y 2，则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝yx (x ≠0)；(3)终边在已知直线(射线)上，可以在直线(射线)上取两个(一个)点，再利用定义求解；(4)参数问题：若点的坐标，角的三角函数值中含有字母，则需要注意字母是否需要分类讨论．题型二三角函数值符号的判定[例2] (链接教科书第180页例3、第181页例4)(1)已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限(2)sin 285°·cos(－105°)________0(填“＜”或“＞”)． [解析] (1)依题意得⎩⎨⎧tan α＜0，cos α＜0.由tan α＜0知，α是第二、四象限角．当α是第二象限角时，cos α＜0，符合题意；当α是第四象限角时，cos α＞0，不符合题意．故选B.(2)因为285°是第四象限角，所以sin 285°<0.因为－105°是第三象限角，所以cos(－105°)<0.所以sin 285°·cos(－105°)>0.[答案] (1)B (2)>正弦、余弦函数值的正负规律题型三诱导公式一的应用[例3] ((1)cos 25π3＋tan ⎝⎛⎭⎪⎫－15π4； (2)sin 420°cos 750°＋sin(－690°)cos(－660°)． [解] (1)因为cos 25π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋8π＝cos π3＝12，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π＋π4＝tan π4＝1， 所以cos 25π3＋tan ⎝⎛⎭⎪⎫－15π4＝12＋1＝32. (2)因为sin 420°＝sin(360°＋60°)＝sin 60°＝32， cos 750°＝cos(2×360°＋30°)＝cos 30°＝32， sin(－690°)＝sin(－2×360°＋30°)＝sin 30°＝12， cos(－660°)＝cos(－2×360°＋60°)＝cos 60°＝12，所以sin 420°cos 750°＋sin(－690°)cos(－660°)＝32×32＋12×12＝1.利用诱导公式求解任意角的三角函数值的步骤三角函数在单位圆中的几何表示及应用设角α的顶点在原点O ，始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P ，如图①，过点P 作PM 垂直x 轴于点M ，作PN 垂直y 轴于点N ，则点P 的坐标为(cos α，sin α)，其中cos α＝OM ，sin α＝ON ，即角α的余弦和正弦分别等于角α的终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标．以A 为原点建立y ′轴与y 轴同向，y ′轴与α的终边(或其反向延长线)相交于点T (或T ′)，如图②，则tanα＝AT (或AT ′)．我们把有向线段OM ，ON 和AT (或AT ′)分别叫做α的余弦线、正弦线和正切线，它们分别是余弦函数、正弦函数和正切函数的一种几何表示．[问题探究]1．设角α＝x rad ，且0<x <π2 ，于是x ，sin x ，tan x 都是实数，请你给x 一个具体的值，比较三个实数的大小．提示： 我们先给x 一个具体的值来进行比较：取x ＝π6，则sin x ＝12，tan x ＝33.因为12＝36<π6，所以sin π6<π6.又tan π6＝33＝236>π6，所以tan π6>π6.从而可得sin π6<π6<tan π6.即当x ＝π6时，sin x <x <tan x .2．你在第1问中得到的大小关系是否对区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上的任意x 都成立？提示：设角α的顶点与圆心O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P ，如图所示．过点P 作PM ⊥x 轴于点M ，过x 轴正半轴与以坐标原点为圆心的单位圆的交点A 作该单位圆的切线AT ，交α的终边于点T ，连接AP ，则MP ＝sin x ，AT ＝tan x ，S △OAP <S 扇形AOP <S △OAT .因为S △OAP ＝12OA ·MP ＝12sin x ， S 扇形AOP ＝12x ·12＝12x ， S △OAT ＝12OA ·AT ＝12tan x ， 所以12sin x <12x <12tan x ，即sin x <x <tan x .因此当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，sin x <x <tan x ．这在后面的学习中会经常用到．[迁移应用]在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合． (1)sin α≥32； (2)cos α≤－12.解：(1)如图①所示，作直线y ＝32交单位圆于A ，B 两点，连接OA ，OB ，则OA 与OB 围成的区域(阴影部分)即为角α的终边的范围．故满足条件的角α的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π＋π3≤α≤2k π＋2π3，k ∈Z.(2)如图②所示，作直线x ＝－12交单位圆于C ，D 两点，连接OC 与OD ，则OC 与OD 围成的区域(阴影部分)即为角α的终边的范围．故满足条件的角α的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π＋2π3≤α≤2k π＋4π3，k ∈Z.5.2.2 同角三角函数的基本关系知识点 同角三角函数的基本关系基本关系式的变形公式sin 2α＋cos 2α＝1⇒⎩⎨⎧sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α，（sin α±cos α）2＝1±2sin αcos α.tan α＝sin αcos α⇒ ⎩⎨⎧sin α＝tan αcos α，cos α＝sin αtan α.1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)对∀x ∈R ，sin 24x ＋cos 24x ＝1.( ) (2)对∀x ∈R ，tan x ＝sin xcos x .( ) (3)若cos α＝0，则sin α＝1.( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× 2．化简1－sin 2π5的结果是( )A ．cos π5 B ．－cos π5 C ．sin π5 D ．－sin π5答案：A3．已知cos α＝－513，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，则tan α＝________．答案：1254．化简：(1＋tan 2α)·cos 2α等于________．答案：1题型一利用同角基本关系式求值角度一 已知一个角的某个三角函数值，求该角的其他三角函数值 [例1] (链接教科书第183页例6)(1)已知sin α＝15，求cos α，tan α 的值；(2)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，tan α＝2，求cos α的值．[解] (1)∵sin α＝15＞0，∴α是第一或第二象限角． 当α为第一象限角时，cos α＝1－sin 2α＝1－125＝265，tan α＝sin αcos α＝612；当α为第二象限角时，cos α＝－265，tan α＝－612. (2)由已知得⎩⎨⎧sin αcos α＝2， ①sin 2α＋cos 2α＝1， ② 由①得sin α＝2cos α代入②得4cos 2α＋cos 2α＝1， ∴cos 2α＝15，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2 ，∴cos α＜0，∴cos α＝－55.求三角函数值的方法(1)已知sin θ(或cos θ)求tan θ常用以下方法求解：(2)已知tan θ求sin θ(或cos θ)常用以下方法求解：[注意]当角θ的范围不确定且涉及开方时，常因三角函数值的符号问题而对角θ分区间(象限)讨论．角度二已知tan α的值，求关于sin α，cos α齐次式的值[例2]已知tan α＝2.(1)求sin α－3cos αsin α＋cos α的值；(2)求2sin2α－sin αcos α＋cos2α的值. [解](1)法一(代入法)：∵tan α＝2，∴sin αcos α＝2，∴sin α＝2cos α.∴sin α－3cos αsin α＋cos α＝2cos α－3cos α2cos α＋cos α＝－13.法二(弦化切)：∵tan α＝2.∴sin α－3cos αsin α＋cos α＝sin αcos α－3sin αcos α＋1＝tan α－3tan α＋1＝2－32＋1＝－13.(2)2sin2α－sin αcos α＋cos2α＝2sin2α－sin αcos α＋cos2αsin2α＋cos2α＝2tan2α－tan α＋1tan2α＋1＝2×4－2＋14＋1＝75.已知角α的正切求关于sin α，cos α的齐次式的方法(1)关于sin α，cos α的齐次式就是式子中的每一项都是关于sin α，cos α的式子且它们的次数之和相同，设为n次，将分子、分母同除以cos α的n次幂，其式子可化为关于tan α的式子，再代入求值；(2)若无分母时，把分母看作1，并将1用sin2α＋cos2α来代换，将分子、分母同除以cos2α，可化为关于tan α的式子，再代入求值．[例3]已知sin α＋cos α＝－13，0＜α＜π.(1)求sin αcos α的值；(2)求sin α－cos α的值．[解](1)由sin α＋cos α＝－13得(sinα＋cos α)2＝19，sin2α＋2sin αcos α＋cos2α＝19，sinαcos α＝－49.(2)因为0＜α＜π，sin αcos α＜0，所以sin α＞0，cos α＜0⇒sin α－cos α＞0.(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝17 9，所以sin α－cos α＝17 3.sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们之间的关系是：(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.[注意]求sin α＋cos α或sin α－cos α的值，要注意根据角的终边位置，利用三角函数线判断它们的符号．[例4](链接教科书第184页练习4题)化简sin α1＋sin α－sin α1－sin α.[解]sin α1＋sin α－sin α1－sin α＝sin α（1－sin α）－sin α（1＋sin α）（1＋sin α）（1－sin α）＝－2sin2α1－sin2α＝－2sin2αcos2α＝－2tan2α.三角函数式的化简技巧(1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的；(2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的；(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin 2α＋cos 2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．角度二 三角恒等式的证明[例5] 求证：1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝tan α＋1tan α－1.[证明] 法一：左边＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝（sin α＋cos α）2sin 2α－cos 2α＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝右边．所以等式成立．法二：右边＝sin αcos α＋1sin αcos α－1＝sin α＋cos αsin α－cos α＝（sin α＋cos α）2（sin α－cos α）（sin α＋cos α） ＝1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝左边．所以等式成立．证明三角恒等式常用的方法(1)从左向右推导或从右向左推导，一般由繁到简； (2)左右归一法，即证明左右两边都等于同一个式子；(3)化异为同法，即针对题设与结论间的差异，有针对地变形，以消除差异； (4)变更命题法，如要证明a b ＝c d ，可证ad ＝bc ，或证d b ＝ca 等； (5)比较法，即设法证明“左边—右边＝0”或“左边右边＝1”．5.3诱导公式第一课时诱导公式二、三、四知识点诱导公式二、三、四1．公式二终边关系图示角π＋α与角α的终边关于原点对称公式sin(π＋α)＝－sinα，cos(π＋α)＝－cosα，tan(π＋α)＝tanα2．公式三终边关系图示角－α与角α的终边关于x轴对称公式sin(－α)＝－sinα，cos(－α)＝cosα，tan(－α)＝－tan α3．公式四终边关系图示角π－α与角α的终边关于y轴对称公式sin(π－α)＝sinα，cos(π－α)＝－cosα，tan(π－α)＝－tanα诱导公式的记忆方法与口诀(1)记忆方法：2kπ＋α，－α，π±α的三角函数值等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号；(2)记忆口诀：“函数名不变，符号看象限”．“口诀”的正确理解：“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名；“符号”是指等号右边是正号还是负号；“看象限”是指假设α是锐角，要看原函数名在本公式中角的终边所在象限是取正值还是负值．1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)诱导公式中角α是任意角．()(2)点P(x，y)关于x轴的对称点是P′(－x，y)．()(3)诱导公式中的符号是由角α的象限决定的．()(4)诱导公式一、二、三、四函数的名称都不变．()(5)公式tan(α－π)＝tan α中，α＝π2不成立．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√(5)√2．已知cos(π＋θ)＝36，则cosθ＝()A.36B．－36C.336D．－336答案：B3．已知tan α＝4，则tan(π－α)＝________． 答案：－44．cos(－30°)＝________，sin 2π3＝________． 答案：32 32题型一给角求值问题[例1] (链接教科书第189页例1)求下列各三角函数值： (1)cos 17π6；(2)tan(－855°)；(3)tan 3π4＋sin 11π6. [解] (1)cos 17π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋5π6＝cos 5π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π6＝－cos π6＝－32.(2)tan(－855°)＝－tan 855°＝－tan(2×360°＋135°) ＝－tan 135°＝－tan(180°－45°)＝tan 45°＝1. (3)原式＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π4＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π6＝－tan π4－sin π6＝－1－12 ＝－32.利用诱导公式解决给角求值问题的步骤[例2] ((1)cos （－α）tan （7π＋α）sin （π－α）；(2)sin （1 440°＋α）·cos （α－1 080°）cos （－180°－α）·sin （－α－180°）. [解] (1)原式＝cos αtan （π＋α）sin α＝cos α·tan αsin α＝sin αsin α＝1.(2)原式＝sin （4×360°＋α）·cos （3×360°－α）cos （180°＋α）·[－sin （180°＋α）]＝sin α·cos （－α）（－cos α）·sin α＝cos α－cos α＝－1.利用诱导公式一～四化简应注意的问题(1)利用诱导公式主要是进行角的转化，从而达到统一角的目的； (2)化简时函数名没有改变，但一定要注意函数的符号有没有改变； (3)同时有切(正切)与弦(正弦、余弦)的式子化简，一般采用切化弦，有时也将弦化切．[例⎭⎪⎫α－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α－π6的值．[解] 因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－33，sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝sin 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝23，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6 ＝－33－23＝－2＋33.[母题探究]1．(变设问)本例条件不变，求：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6－α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－13π6的值．解：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6－α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－13π6 ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α－sin 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6－2π＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－33－23＝－3＋23.2．(变条件、变设问)将本例中的“－”改为“＋”，“＋”改为“－”，其他不变，应如何解答？解：由题意知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝33，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－α＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6的值．因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝ －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝－33， sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝23， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－α＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－33＋23＝2－33.解决条件求值问题的两技巧第二课时 诱导公式五、六知识点 诱导公式五、六 1．诱导公式五、六2．诱导公式五、六可用语言概括(1)函数值：π2±α的正弦(余弦)值，分别等于α的余弦(正弦)函数值； (2)符号：函数值前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．公式五、六的记忆方法与口诀(1)记忆方法：π2±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号；(2)记忆口诀：“函数名改变，符号看象限”或“正变余，余变正，符号象限定”．1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)诱导公式五、六中的角α只能是锐角．( ) (2)sin(90°＋α)＝－cos α.( )(3)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2＝－sin α.( )答案：(1)× (2)× (3)×2．下列与sin θ的值相等的是( ) A ．sin(π＋θ) B ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θC ．cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θD ．cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ答案：C3．若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝12，则cos α＝________．答案：124．已知sin θ＝15，则cos(450°＋θ)＝________． 答案：－15[例1] (1)已知tan α＝3，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α的值；(2)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝12，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋α的值． [解] (1)sin （α－π）＋cos （π－α）sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α－cos αcos α－sin α＝－tan α－11－tan α＝－3－11－3＝2. (2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α·sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝12×12＝14.用诱导公式化简求值的方法(1)对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行切化弦，以保证三角函数名最少；(2)解答此类问题要学会发现它们的互余、互补关系：如π3－α与π6＋α，π3＋α与π6－α，π4－α与π4＋α等互余，π3＋θ与2π3－θ，π4＋θ与3π4－θ等互补，遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用角的变换来解决问题．[例2] (sin （4π－α）cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π2＋αcos （2π－α）－tan （5π－α）sin （3π－α）sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α.[解] ∵sin(4π－α)＝sin(－α)＝－sin α，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α， sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π2＋α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤6π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α ＝－cos α，tan(5π－α)＝tan(π－α)＝－tan α， sin(3π－α)＝sin(π－α)＝sin α，∴原式＝sin αsin α－cos αcos α－－tan αsin αcos α＝－sin 2αcos 2α＋1cos 2α＝1－sin 2αcos 2α＝cos 2αcos 2α＝1.用诱导公式进行化简时的注意点(1)化简后项数尽可能的少；(2)函数的种类尽可能的少； (3)分母不含三角函数的符号； (4)能求值的一定要求值；(5)含有较高次数的三角函数式，多用因式分解、约分等．[例3] 求证：tan （2π－α）sin （－2π－α）cos （6π－α）sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2＝－tan α. [证明] 左边＝tan （－α）·sin （－α）·cos （－α）sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α·cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝（－tan α）·（－sin α）·cos αsin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin 2α－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin 2α－cos α·sin α＝－sin αcos α＝－tan α＝右边． ∴原等式成立．利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活应用，其证明的常用方法有：(1)从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简； (2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子；(3)针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消除差异．[例4]f (α)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋αtan （2π－α）tan （α＋π）sin （α＋π）.(1)化简f (α)；(2)若f (α)·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－18，且5π4≤α≤3π2，求f (α)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2的值．[解] (1)f (α)＝－cos αsin α（－tan α）tan α（－sin α）＝－cos α.(2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝sin α，因为f (α)·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－18，所以cosα·sin α＝18，可得⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （α）＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π22＝(sin α－cos α)2＝34，由5π4≤α≤3π2，得cos α>sin α，所以f (α)＋f ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2＝sin α－cos α＝－32.诱导公式综合应用要“三看”一看角：①化大为小；②看角与角间的联系，可通过相加、相减分析两角的关系；二看函数名称：一般是弦切互化；三看式子结构：通过分析式子，选择合适的方法，如分式可对分子分母同乘一个式子变形．5.4 三角函数的图象与性质5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象知识点 正弦函数、余弦函数的图象 函数y ＝sin xy ＝cos x图象1．“五点法”只是画出y ＝sin x 和y ＝cos x 在[0，2π]上的图象；若x ∈R ，可先作出正弦函数、余弦函数在[0，2π]上的图象，然后通过不断向左、右平移可得到y ＝sin x ，x ∈R 和y ＝cos x ，x ∈R 的图象．2．将y ＝sin x ，x ∈R 的图象向左平移π2个单位长度得y ＝cos x ，x ∈R 的图象，因此y ＝sin x ，x ∈R 与y ＝cos x ，x ∈R 的图象形状相同，只是在直角坐标系中的位置不同．1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)函数y ＝sin x 的图象关于y 轴对称．( ) (2)函数y ＝cos x 的图象与y 轴只有一个交点．( ) (3)将余弦曲线向右平移π2个单位就得到正弦曲线．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√2．在“五点法”中，正弦曲线最低点的横坐标与最高点的横坐标的差等于( )A.π2 B ．π C.3π2 D ．2π答案：B。
数学人教A版必修第一册5.1任意角和弧度制课件
角度制
角度(°)
换算
实数
探究：角度与弧长的关系
如图，对于同一圆心角α=60°， 若半径r不同，则所对圆弧长l也不同.
α=60°
半径r
r=1
r=2
r=3
圆弧长l l
l 2
l
3
3
l
r
3
3
3
结果 : 若 60,则 l .
r3
弧长之比 所对圆心角之比
1 rad _(1_8_0_) 57.3
新知2：弧度与角度的换算P174
角度(°) 0 30 45 60 90 120 135 150 180 270 360
弧度 (rad)
06
4
2 3 5
32 3 4 6
3
2
2
180 rad 1 rad 1rad (180)
180
(1)2230' 22.5 22.5 rad rad
y
B
与45°终边相同的角为__4_5_°__+_k_·_3_6_0_°__(_k_∈__Z_)_
45° 与角α终边相同的所有角组成的集合：
o
x S | k 360, k Z
巩固：终边相同的角
判定α为第几象限角:先将其化为终边相同且 在0°~360°内的角，再判断终边所在象限.
与 95012' 终边相同的角为 95012'k 360(k Z ) 取k 3,则 95012'3 360 12948', 它为第二象限角.
巩固：任意角的定义
[练习1]判断正误： ①经过过1小时，时针旋转形成的角为30°.( )
2024-2025学年新教材高中数学第五章三角函数5.1任意角和弧度制(2)教案新人教A版必修第一册
授课内容
授课时数
授课班级
授课人数
授课地点
授课时间
教学内容分析
本节课的主要教学内容是高中数学第五章三角函数5.1任意角和弧度制（2）。具体内容包括：
1.任意角的概念：了解任意角的定义及表示方法，掌握角度制与弧度制的转换。
（2）视频：播放与任意角和弧度制相关的教学视频，让学生从不同角度了解知识，提高学习效果。
（3）在线工具：利用在线计算器、绘图工具等，让学生实时检验自己的答案，提高运算求解能力。
（4）实物模型：准备一些实物模型，如钟表、车轮等，让学生在触摸和观察中加深对任意角的理解。
教学过程设计
1.导入新课（5分钟）
5.数学运算：巩固学生的三角函数运算能力，使其能够熟练运用弧度制进行相关计算，提高学生的运算求解能力。
重点难点及解决办法
重点：1.任意角的概念及表示方法；2.弧度制的应用；3.角度制与弧度制的互化方法；4.任意角和弧度制在三角函数中的应用。
难点：1.任意角的定义及其与角度制的区别；2.弧度制在三角函数中的具体应用；3.角度制与弧度制互化的灵活运用。
2.直观想象：通过实例解析，培养学生的空间想象能力，使其能够将实际问题转化为数学问题，并运用三角函数知识进行解决。
3.数学建模：引导学生学会建立数学模型，运用任意角和弧度制相关知识分析生活中的三角函数问题，提高学生的数学应用能力。
4.数学抽象：通过学习任意角和弧度制的定义及应用，培养学生从具体问题中抽象出数学模型的能力，提高其数学素养。
2.学生已学习过三角函数的基本概念，本节课将进一步探讨任意角和弧度制在三角函数中的应用，巩固原有知识。
同步人A数学必修第一册新教材课件：第5章5.15.1.1任意角
第五章三角函数5. 1 任意角和弧度制5. 1. 1 任意甬学习目标1.理解任意角的概念.2.掌握终边相同角的含义及其表示.（重点、难点）3.掌握轴线角、象限角及区间角的表示方法.（难点、易混点）1•通过终边相同角的计算，培养数学运算素养. 2.借助任意角的终边位置的确定, 提升逻辑推理素养.核心素养I?主才姿辛斤4仃匸新切初探二1. 角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置2. 角的表示如图，⑴始边：射线的壁位置0A, (2) 终边：射线的终止位置0B,(3) 顶点：射线的端点0.所形成的图形.0 A这时，图中的角。
可记为“角/或心或简记为F •3.任意角的分类⑴按旋转方向分(2)按角的终边位置分①前提：角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合.②分类：4.终边相同的角所有与角Q终边相同的角，连同角Q在内，可构成一个集合S=W =a+k・360°,圧Z},即任一与角a终边相同的角，都可以表示成角a与整数个周角的和. 思考：终边相同的角相等吗？相等的角终边相同吗？提示：终边相同的角不一定相等，它们相差360。
的整数倍；相等的角，终边相同1.下列说法正确的是（）A.三角形的内角是第一象限角或第二象限角B.第四象限的角一定是负角C.60。
角与600。
角是终边相同的角D.将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角为60。
解析答案D [A错误，90。
角既不是第一象限角也不是第二象限角；B错误，280。
角是第四象限角，但它不是负角；C错误，600°-60°=540°不是360。
的倍数；D正确，分针转一周为60分钟，转过的角度为一360°,将分针拨慢是逆时针旋转，拨慢10分钟转过的角为360°X^=60°.]2.50。
角的始边与x轴的非负半轴重合，把终边按顺时针方向旋转2周，所得角是____ .I _670。
5.1.1任意角课件-高一数学人教A版必修第一册
在轴上
{| = ° + ∙ °， ∈ }
在坐标轴上
{| = ∙ °， ∈ }
例析
例1.在0°~ 360°范围内，找出与−950°12′角终边相同的角，并断定它是第几象限角.
解：−950°12′ = 129°48′ − 3 × 360°，
所以在0°~ 360°范围内，与−950°12′角终边相同的角是129°48′，它是第二象限角.
− 32°角在内，都是集合的元素；反过来，集合的
任一元素显然与−32°角的终边相同.
概念生成
一般地，我们有：
所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合
设 = {| = + ∙ °, ∈ }，即任一与终边相同的角，都可以表示成角
与整数个周角的和.
在直角坐标系中，角的终边绕原点旋
− 360° ≤ ≤ 720°的元素有哪些？
解：中适合不等式−360° ≤ ≤ 720°的元素有：
45° − 2 × 180° = −315°，
45° − 1 × 180° = −135°，
45° + 0 × 180° = 45° ，
45° + 1 × 180° = 225° ，
45° + 2 × 180° = 405° ，
新知探索
你能说说在直角坐标系内讨论角的好处吗？
高中数学思想就是将几何方程转化为代数方程来解决的.在空间中，给你任意
一个角，如何准确地求出它的度数呢？就需要把它放入直角坐标系中去，并建立
合适的坐标轴，求出角的度数，正弦、余弦、正切等.在同一“参照系”下，可以
使角的讨论得到简化，还能有效地体现出角的终边位置具有周而复始的现象.
的范围.
人教统编部编版高中数学必修第一册A版第五章《三角函数》全章节教案教学设计(含章末综合复习)
【新教材】人教统编版高中数学必修第一册A版第五章教案教学设计5.1.1《任意角和弧度制---任意角》教案教材分析：学生在初中学习了o 0～o 360，但是现实生活中随处可见超出o 0～o 360范围的角.例如体操中有“前空翻转体o 540”，且主动轮和被动轮的旋转方向不一致.因此为了准确描述这些现象，本节课主要就旋转度数和旋转方向对角的概念进行推广.教学目标与核心素养：课程目标1.了解任意角的概念.2.理解象限角的概念及终边相同的角的含义．3.掌握判断象限角及表示终边相同的角的方法．数学学科素养1.数学抽象：理解任意角的概念，能区分各类角；2.逻辑推理：求区域角；3.数学运算：会判断象限角及终边相同的角.教学重难点：重点：理解象限角的概念及终边相同的角的含义；难点：掌握判断象限角及表示终边相同的角的方法．课前准备：多媒体教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
教学过程：一、情景导入初中对角的定义是：射线OA 绕端点O 按逆时针方向旋转一周回到起始位置，在这个过程中可以得到o 0～o 360范围内的角.但是现实生活中随处可见超出o 0～o 360范围的角.例如体操中有“前空翻转体o 540”，且主动轮和被动轮的旋转方向不一致.请学生思考，如何定义角才能解决这些问题呢？要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本168-170页，思考并完成以下问题1．角的概念推广后，分类的标准是什么？2．如何判断角所在的象限？3．终边相同的角一定相等吗？如何表示终边相同的角？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究1．任意角(1)角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)角的表示如图，OA是角α的始边，OB是角α的终边，O是角的顶点．角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”．(3)角的分类按旋转方向，角可以分为三类：名称定义图示正角按逆时针方向旋转形成的角负角按顺时针方向旋转形成的角零角一条射线没有作任何旋转形成的角2．象限角在平面直角坐标系中，若角的顶点与原点重合，角的始边与 x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．3．终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．四、典例分析、举一反三题型一任意角和象限角的概念例1(1)给出下列说法：①锐角都是第一象限角；②第一象限角一定不是负角；③小于180°的角是钝角、直角或锐角；④始边和终边重合的角是零角．其中正确说法的序号为________(把正确说法的序号都写上)．(2)已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，作出下列各角，并指出它们是第几象限角．①420°，②855°，③－510°.【答案】（1）①（2）图略，①420°是第一象限角．②855°是第二象限角．③－510°是第三象限角．【解析】(1)①锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，是第一象限角，所以①正确；②－350°角是第一象限角，但它是负角，所以②错误；③0°角是小于180°的角，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，所以③错误；④360°角的始边与终边重合，但它不是零角，所以④错误．(2) 作出各角的终边，如图所示：由图可知：①420°是第一象限角．②855°是第二象限角．③－510°是第三象限角．解题技巧：（任意角和象限角的表示）1．判断角的概念问题的关键与技巧．(1)关键：正确的理解角的有关概念，如锐角、平角等；(2)技巧：注意“旋转方向决定角的正负，旋转幅度决定角的绝对值大小．2．象限角的判定方法．(1)图示法：在坐标系中画出相应的角，观察终边的位置，确定象限．(2)利用终边相同的角：第一步，将α写成α＝k·360°＋β(k∈Z，0°≤β<360°)的形式；第二步，判断β的终边所在的象限；第三步，根据β的终边所在的象限，即可确定α的终边所在的象限．跟踪训练一1．已知集合A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，则下面关系正确的是( )A．A＝B＝C B．A⊆CC．A∩C＝B D．B∪C⊆C【答案】D【解析】由已知得B C，所以B∪C⊆C，故D正确．2．给出下列四个命题：①－75°是第四象限角；②225°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【解析】－90°＜－75°＜0°，180°＜225°＜270°，360°＋90°＜475°＜360°＋180°，－315°＝－360°＋45°且0°＜45°＜90°.所以这四个命题都是正确的．题型二终边相同的角的表示及应用例2(1)将－885°化为k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式是________．(2)写出与α＝－910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°＜β＜360°的元素β写出来．【答案】（1）(－3)×360°＋195°，（2）终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°－910°，k∈Z}，适合不等式－720°＜β＜360°的元素－550°、－190°、170°.【解析】(1)－885°＝－1 080°＋195°＝(－3)×360°＋195°.(2)与α＝－910°终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°－910°，k∈Z}，∵－720°＜β＜360°，即－720°＜k·360°－910°＜360°，k∈Z，∴k取1，2，3.当k＝1时，β＝360°－910°＝－550°；当k＝2时，β＝2×360°－910°＝－190°；当k＝3时，β＝3×360°－910°＝170°.解题技巧：(终边相同的角的表示)1．在0°到360°范围内找与给定角终边相同的角的方法(1)一般地，可以将所给的角α化成k·360°＋β的形式(其中0°≤β＜360°，k∈Z)，其中β就是所求的角．(2)如果所给的角的绝对值不是很大，可以通过如下方法完成：当所给角是负角时，采用连续加360°的方式；当所给角是正角时，采用连续减360°的方式，直到所得结果达到所求为止．2．运用终边相同的角的注意点所有与角α终边相同的角，连同角α在内可以用式子k·360°＋α，k∈Z表示，在运用时需注意以下四点：(1)k是整数，这个条件不能漏掉．(2)α是任意角．(3)k·360°与α之间用“＋”连接，如k·360°－30°应看成k·360°＋(－30°)，k∈Z.(4)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍．跟踪训练二1.下面与－850°12′终边相同的角是( )A ．230°12′B ．229°48′C ．129°48′D ．130°12′【答案】B【解析】与－850°12′终边相同的角可表示为α＝－850°12′＋k ·360°(k ∈Z)，当k ＝3时，α＝－850°12′＋1 080°＝229°48′.2．写出角α的终边落在第二、四象限角平分线上的角的集合为________．【答案】{α|α＝k ·180°＋135°，k ∈Z}．【解析】落在第二象限时，表示为k ·360°＋135°.落在第四象限时，表示为k ·360°＋180°＋135°，故可合并为{α|α＝k ·180°＋135°，k ∈Z}． 题型三 任意角终边位置的确定和表示例3 (1)若α是第一象限角，则α2是( )A ．第一象限角B ．第一、三象限角C ．第二象限角D ．第二、四象限角(2)已知，如图所示．①分别写出终边落在OA ，OB 位置上的角的集合；②写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．【答案】(1)B (2) ①终边落在OA 位置上的角的集合为{α|α＝135°＋k ·360°，k ∈Z}；终边落在OB 位置上的角的集合为{β|β＝－30°＋k ·360°，k ∈Z}．②故该区域可表示为{γ|－30°＋k ·360°≤γ≤135°＋k ·360°，k ∈Z}．【解析】(1) 因为α是第一象限角，所以k ·360°＜α＜k ·360°＋90°，k ∈Z ，所以k ·180°＜α2＜k ·180°＋45°，k ∈Z ，当k 为偶数时，α2为第一象限角；当k 为奇数时，α2为第三象限角．所以α2是第一、三象限角．(2) ①终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}；终边落在OB位置上的角的集合为{β|β＝－30°＋k·360°，k∈Z}．②由题干图可知，阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于[－30°，135°]之间的与之终边相同的角组成的集合，故该区域可表示为{γ|－30°＋k·360°≤γ≤135°＋k·360°，k∈Z}．解题技巧：（任意角终边位置的确定和表示）1．表示区间角的三个步骤：第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α<x<β}，其中β－α<360°；第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角集合．提醒：表示区间角时要注意实线边界与虚线边界的差异．2．nα或所在象限的判断方法：的范围；(1)用不等式表示出角nα或αn所在象限．(2)用旋转的观点确定角nα或αn跟踪训练三1．如图所示的图形，那么终边落在阴影部分的角的集合如何表示？【答案】角β的取值集合为{β|n·180°＋60°≤β<n·180°＋105°，n∈Z}．【解析】在0°～360°范围内，终边落在阴影部分(包括边界)的角为60°≤β<105°与240°≤β<285°，所以所有满足题意的角β为{β|k·360°＋60°≤β<k·360°＋105°，k∈Z}∪{β|k·360°＋240°≤β<k·360°＋285°，k∈Z}＝{β|2k·180°＋60°≤β<2k·180°＋105°，k∈Z}∪{β|(2k＋1)·180°＋60°≤β<(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}＝{β|n·180°＋60°≤β<n·180°＋105°，n∈Z}．故角β的取值集合为{β|n·180°＋60°≤β<n·180°＋105°，n∈Z}．五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计七、作业课本171页练习及175页习题5.1 1、2、7题.教学反思：本节课主要采用讲练结合与分组探究的教学方法，让学生从旋转方向和旋转度数熟悉角的概念，象限角，终边相同的角等，并且掌握其应用.5.1.2《任意角和弧度制---弧度制》教案教材分析：前一节已经学习了任意角的概念，而本节课主要依托圆心角这个情境学习一种用长度度量角的方法—弧度制，从而将角与实数建立一一对应关系，为学习本章的核心内容—三角函数扫平障碍，打下基础.教学目标与核心素养：课程目标1.了解弧度制,明确1弧度的含义.2.能进行弧度与角度的互化.3.掌握用弧度制表示扇形的弧长公式和面积公式.数学学科素养1.数学抽象：理解弧度制的概念；2.逻辑推理：用弧度制表示角的集合；3.直观想象：区域角的表示；4.数学运算：运用已知条件处理扇形有关问题.教学重难点：重点：弧度制的概念与弧度制与角度制的转化；难点：弧度制概念的理解．课前准备：多媒体教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。
人教版高中数学必修第一册5.1任意角和弧度制 (课件)
π
_6__ __4_
_6_0_° _9_0_° 120° 135° 150° _1_8_0_° _2_7_0_° 360°
地理课件：/kejian/dili/
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预
习
3
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1．度量角的两种单位制
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的，与半径大小无关．
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3．角度制与弧度制的换算
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正数 负数 0
l r
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高中数学新人教A版必修第一册 第5章 5.1 5.1.2 弧度制 课件(41张)
类型 2 用弧度数表示角
【例 2】 (1)终边经过点(a，a)(a≠0)的角 α 的集合是( )
A．π4
B．π4，54π
C．αα＝π4＋2kπ，k∈Z
D．αα＝π4＋kπ，k∈Z
(2)用弧度表示终边落在如图所示阴影部分内(不包括边界)的角 θ 的集合．
[解] (1)D [因为角 α 的终边经过点(a，a)(a≠0)，
角度 制
定义 用_度__作为单位来度量角的单位制
1 度的角
1 1 度的角等于周角的_3_6_0__
弧度
定义 以_弧__度__作为单位来度量角的单位制
制 1 弧度的角 长度等于_半__径__长__的圆弧所对的圆心角
(2)弧度数的计算
比值rl与所取的圆的半径大小是否有关？ [提示] 一定大小的圆心角 α 所对应的弧长与半径的比值是唯一
[跟进训练] 1．(1)将－157°30′化成弧度为________．
(2)将－115π rad 化为度是________． (1)－78π rad (2)－396° [(1)－157°30′＝－157.5°＝－3215×1π80 rad＝－87π rad. (2)－115π rad＝－115π×1π80°＝－396°.]
β＝1π0 rad＝1π0×1π80°＝18°，γ＝1 rad≈57.30°， φ＝71π2×1π80°＝105°. 显然，15°＜18°＜57.30°＜105°.故 α＜β＜γ＜θ＝φ.
角度制与弧度制互化的关键与方法 (1)关键：抓住互化公式 π rad＝180°是关键． (2)方法：度数×1π80＝弧度数；弧度数×1π80°＝度数． (3)角度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度．
所以角 α 的终边落在直线 y＝x 上，
数学人教A版(2019)必修第一册5.1任意角和弧度制(共15张ppt)
小结
很显然，0°-360°角难以满足我们的需要，所以我们需 要对角的概念进行推广.
一、任意角
角度的概念：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转但另一个位置所形成的图形
正角：一条射线绕其端点按逆
时针方向旋转形成的角
正角：一条射线绕其端点按顺
时针方向旋转形成的角
零角：一条射线没有做任何旋
转（始边与终边重合）
一、任意角
随堂练习一：写出象限角和轴线角的集合
随堂练习二：【多选题】下列各角与52°终边相同的有（ ）
A.-308°
B.-232°
C.412°
D.-778°
二、弧度制
角度制：用度为单位来度量角的单位制，叫做角度制。 规定周角的1/360叫做1度的角
弧度制：用弧长来度量角的单位制，叫做弧度制。 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角， 用符号rad表示，读作弧度
一、任意角
终边相同的角：所有与α终边相同的角，连同角α在内，可以构成一个集合，常见以 下三种形式：
一、任意角
随堂练习：表示终边落在如图所示阴影部分内角α的集合
{ 30 360·k 75 360·k, k Z }
{ 30 180·k 90 180·k,k Z }
一、任意角
象限角：将角顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那边角的终边在 第几象限，我们就说这个角是第几象限角。特别是，如果角的终边在坐标轴上就认 为该角不属于任何一个象限。
1rad （1π80） 57.30 5718
注意 两个单位不能混用
二、弧度制
随堂练习一：将下列表格补充完整：
角度
30°
弧度
0°
π
π
4
人教A版必修第一册高中数学5.1任意角和弧度制精品课件
不等的，故 C 错误；对于 D，用弧度表示的角也可以不是正角，故 D 错误．
例题解析
例2.把下列角度化成弧度或弧度化成角度.
2
(1)72°；(2)-300°；(3)2；(4)− .
9
解：(1)72° = 72 ×
当2 = 4时， = 2，此时， =
1
2
.
1
综上所述，扇形圆心角的弧度数为
2
.
课堂小结
1．任意角的概念；
2．角的分类;
3．终边相同的角；
4. 弧度制；
5. 扇形面积公式。
感谢您的观看
定义
一条射线绕其端点按 逆时针 方向旋转形成
的角
一条射线绕其端点按 顺时针 方向旋转形成
的角
一条射线 没有 做任何旋转形成的角
图示
知识梳理
二．象限角
把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与 原点重合，角的始边与
x 轴的非负半轴重合，那么角的 终边 在第几象限，就说这个角是第几
象限角 如果角的终边在 坐标轴上 ，就认为这个角不属于任何一个象限.
A．α＋β＝90°
B．α＋β＝k·360°＋90°(k∈Z)
C．α＋β＝k·360°(k∈Z)
D．α＋β＝(2k＋1)·180°(k∈Z)
因为角α与角β的终边关于 y 轴对称，
所以α－(90°＋360°×k1)＝90°＋360°×k2－β，k1，k2∈Z，
α＋β＝90°＋360°×k2＋90°＋360°×k1＝360°×(k1＋k2)＋180°，k1，k2∈Z，
选项错误；终边与始边都相同的两个角可以相等也可以不相等，例如 720°，360°终边与始边都相同但不相