概率论第三章习题答案

第三章练习题

一、单项选择题

1．设二维随机变量（X ，Y ）的分布律为

Y

X

1 2

3

1

2

101 103 102

101 102 101 则P{XY=2}=（ C ）A ．5 B ．10 C ．2 D ．5

2．设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为

⎩

⎨⎧≤≤≤≤=,,0;

10,10,4),(其他y x xy y x f

则当0≤y ≤1时，（X ，Y ）关于Y 的边缘概率密度为f Y ( y ) 1

=(,)4f x y dx xydx +∞

-∞

==⎰

⎰=

（ D ）

A ．x

21

B ．2x

C ．y 21

D ．2y

3．设随机变量X ，Y 相互独立，其联合分布为

1+9

α

12 1

+9

α 1+18β 116=+9918

α⎛⎫ ⎪⎝⎭ 则有（ B ）

A ．92

,91==βα B ．91,92==βαC ．32,31==βα D ．3

1,32==βα

二、填空题

1.设随机变量X ，Y 相互独立，且P{X ≤1}=21，P{Y ≤1}=3

1

， 则P{X ≤1,Y ≤1}=_

1

6

__. 2.已知二维随机变量(X ,Y )的分布律为

0 2 5 0 0.1

0.1

0.3

Y

X

1 0.25 0 0.25

则P (X ≤0,Y =2)＝___0.1___.

3．设二维随机变量（X ，Y ）的分布律为

Y

X

1 2 3

1

2

61 121 81 81 41 4

1 则P{Y=2}=____

4

_______. 4．设随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)=⎩

⎨⎧≤≤≤≤其他02

y 0,1x 0xy ，

则X 的边缘概率密度f x (x)=

2

(,)f x y dy xydy +∞

-∞

==⎰

⎰_____2x___________．

三、计算题

1．设二维随机变量(X ，Y )只能取下列数组中的值：(0，0)，（-1，1），（-1，3

1

），（2，0），

且取这些值的概率依次为61，31，121，12

5

.（1）写出(X ，Y )的分布律；

（2）分别求(X ，Y )关于X ，Y 的边缘分布律.

(1)

{}

{}

1351112

3

121166551212

71112

12

3

01-10

00020

1

j i X Y P Y y P X x ==

(2)

13711

12

12

3

1

X P

5

5112

6

12

10

2

Y P

-

2．设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为⎪⎩

⎪⎨⎧>>=+.,0;0,0,e

),()-(其他y x y x f y x

（1）分别求（X ，Y ）关于X 和Y 的边缘概率密度；

f x (x)=

()0

(,),0x y x f x y dy e dy e x +∞

∞

-+--∞

==>⎰

⎰

f Y ( y ) ()0

=

(,),0x y y f x y dx e dx e y +∞

∞

-+--∞

==>⎰

⎰

（2） 问：X 与Y 是否相互独立，为什么？

()

()()(,)x y x y X Y f x y e

e e

f x f y -+--==⋅=⋅,因此相互独立

3.设二维随机变量(X ，Y )的分布律为

0.7

0.4 0.2 0.4

（1）求(X ，Y )分别关于X ,Y 的边缘分布律；(2)试问X 与Y 是否相互独立，为什么？

（1）

010.30.7X P 012

0.40.20.4

Y P

(2) {}{}{}000.200.300.4P X Y P X P Y =======，，， {}{}{}0000P X Y P X P Y ==≠=⨯=，,因此不独立

4．设随机变量（X ，Y ）的概率密度为(6),02,24;

(,)0,

.k x y x y f x y --<<<<⎧=⎨⎩其他

求：（1）k 的值。（2）{}4P X Y +≤.

()+4

2

-2

(,)6f x y dxdy k x y dxdy ∞+∞

∞

-∞

=--⎰⎰

⎰

⎰