硕士研究生数值分析试卷
研究生《数值分析》试卷
研究生“数值分析”试题一， 填空（20分）1，n ＋1个互异节点插值型数值求积公式的代数精度为________次，最高为________次。
2，SOR 方法收敛的必要条件：松弛因子ω满足条件_________。
3，对于插值型求积公式∑⎰=-≈nk k k x f A dx x f 011)()(，其节点),,1,0(n k x k =是高斯点的充分必要条件是_________。
4，设)(ij a A =为n ×n 矩阵，则1A =________，∞A =________。
5，设解方程组b Ax =的迭代法为d Bx x k k +=+1，则迭代收敛的充分必要条件是________。
6，判断下面的函数是否为三次样条函数（填是或否）（1）211001)1(0)(233≤≤<≤<≤⎪⎩⎪⎨⎧-+=x x x x x x x f － （2）⎩⎨⎧≤≤<≤-++++=100112212)(33x x x x x x x f二，（10分）在22-≤≤-x 上给出x e x f -=)(等距节点函数运用二次插值求x e -的近似值，要使误差不超过610-，问使用函数表的步长应取多大？三，（10分）四，（10分）设)(x f 在[]30,x x 上有三阶连续导数，且3210x x x x <<<，试作一个次数不高于四次的多项式)(x p ，满足条件)()(j j x f x p ==j 0，1，2，3)(')('11x f x p = 推导它的余项)()()(x p x f x E -=的表达式五，（10分）试用Romberg （龙贝格）方法，计算积分⎰311dx x，并精确到小数点后4位。
六，（10分）利用数值积分的Simpson （辛甫生）公式，导出公式)''4'(31111-+-++++=n n n n n y y y h y y 并指出次方法的阶七，（10分）设0)(=x f 的单根α，)(x F x =是0)(=x f 的等价方程，则：)(x F 可表为)()()(x f x m x x F -=证明： 当1)]('[)(-≠ααf m 时，)(x F 是一阶的。
研究生数值分析试题
一、选择题（四个选项中仅有一项符合题目要求，每小题 3 分，共计 15 分)
1、一般用高斯消元法解线性代数方程组要采用的技术是（
）
（1）调换方程位置； （2）选主元； （3）直接求解； （4）化简方程组。
⎛ 2 2 3⎞ ⎛ 1 0 0 ⎞⎛2 2 3⎞
2、设矩阵
A
为初值迭代一步。
四、（12 分）应用牛顿法于方程
f (x) =
xn
−a
Байду номын сангаас
=
0和
f (x) =1−
a xn
= 0 ，分别导出求 n
a
的
迭代公式，并求极限 lim n a − xk+1 。 k→∞ ( n a − xk )2
五 、 （ 12 ） 方 程 x3 − 6 x − 8 = 0 在 x = 3 附 近 有 根 ， 把 方 程 写 成 三 种 不 同 的 等 价 形 式
零， A = LU 为 Doolitte 分解，则上三角矩阵 U 的上半带宽为
。
5、设对称正定矩阵
A
=
(aij
)∈
Rn×n , a11
≠
0
，经过一次
Gauss
消元得到形如
A
=
⎛ ⎜ ⎝
a11 0
∗⎞
A1
⎟ ⎠
的
矩阵，则 A1 是
矩阵。
三、（12 分）试用高斯列主元素法求解线性方程组
⎡ 1 3 −2 −4 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡3 ⎤
3、设矩阵 A ∈ Rn×n ， Q ∈ Rn×n ，且 QT Q = E ，则下列关系式不成立的是（
）
(1) A = AQ ；(2) QA = A ；(3) Qx = x ，其中 x ∈ Rn ；
太原理工大学11级硕士研究生数值分析期末考试题
11级（12/07/03）
一、基础题(40分)
(一)、单项选择(2×5=10分)
1、求解常微分方程的预估—校正法的局部截断误差为( )。
2、过
3
4
5、
(二)
1、是一日插值基函数在节点上的取值是______________。
2、设分段多项式，
，
是以0，2，3为节点的三次样条
函数。
则a =____________，b =____________， c =____________。
3、设，则关于节点，，的二阶向前差分为_________。
4、5个节点的牛顿—科特斯求积公式的代数精度为________，5个节点的求积公式最高代数精度为________。
5、设，则a的取值范围为________A可分解为A = LL T，且当L满足________，分解是唯一的。
6、设是切比雪夫正交多项式系，则的正交区间为________，它的权
7迭8。
1
2
(1)
(2)
3、用二步法求解一阶常微分方程初值问题
，
，问：如何选择、的值，才能使该方法的阶数尽可能高？写出此时的局部截断误差主项。
三、计算题(15×2=30分)
1、(1)设，，是区间[-1，1]上权函数为的最高项系数为1的正交多项式组，其中，，求。
(2)利用，，求函数在[-1，1]上的二次最佳平方逼近多项式。
2、已知求解方程组Ax = b的分量迭代格式：，
，，，；，，，
(1)试求出矩阵格式及迭代矩阵。
(2)证明当A为严格对角占优矩阵，时，该迭代格式收敛。
数值分析(研究生)试卷
华中科技大学研究生课程考试试卷课程名称：_______________________ 课程类别考核形式数值分析学生类别______________考试日期______________学生所在院系_______________ □公共课□专业课√□开卷□√闭卷2009.5.6学号__________________姓名__________________任课教师___________________ 一、填空题（每空2分，共20分） 1. 为避免有效数字的损失，应将,1,ln )1ln(>>-+x x x 改写为_____________。
2. 设其三阶差商,200720082009)(3++=x x x f =]3,2,1,0[f _____________，四阶差商____________。
=]4,3,2,1,0[f 3. 设是上带权b x x x +-=22)(?]1,0[1)(=x ρ的正交多项式，则=b ___________。
4. 对于常微分方程数值解，若某算法的局部截断误差为，则称该算法有_____________阶精度；显式欧拉法有____________阶精度。
)O(h1p+5. 设是的二重根。
*x 0)(=x f )(x f ′′在邻近连续，则用迭代公式________________*x 求此根的近似值所产生的序列至少具有二阶收敛性。
6. ，当a 满足条件___________时，A 可作LU 分解，当a 满足条件__________时，必有分解式，这种分解唯一吗？ _____________ ??????+=1221a A TL L A ?=二、（10分）函数在上有三阶连续导数，作一个不高于二次的多项式满足)(x f ],[10x x )(x P .)()(),()(),()(110000x f x P x f x p x f x P =′=′=证明其唯一性，并写出它的余项的表达式。
Ch1-Ch4(2009-2011级硕士研究生《数值分析》试卷)
2009级一、判断题 (每题2分)3. 若n 阶方阵A 是严格对角占优的，则解方程组A =x b 的Jacobi 迭代法收敛。
( √ )4. 设是方程的根，则求的Newton 迭代法至少是平方收敛的。
( ) *x 0)(=x f *x二、填空题 (每空2分)1. 近似数关于准确值* 3.120x = 3.12065x =有 位有效数字，相对误差是 . 4. 设2543A −⎡⎤=⎢⎥−⎣⎦，则1A = ，A ∞= ，1Cond()A = .五(本题满分10分) 对于下列方程组1231231234222633245x x x x x x x x x ,,,−+=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 建立Gauss–Seidel 迭代公式，写出相应的迭代矩阵，并用迭代矩阵的范数判断所建立的Gauss–Seidel 迭代公式是否收敛。
七(本题满分10分) 已知方程在10x xe −=00.5x =附近有一个实根.*x (1) 取初值00.5x =，用Newton 迭代法求（只迭代两次）。
*x (2) 取初值010.5,0.6x x ==，用弦截法求（只迭代两次）。
*x2010级一、填空题 (每空2分，共20分)1. 近似数关于准确值*2.315x = 2.31565x =有 位有效数字，相对误差是 .4. 设2345A −⎡⎤=⎢⎥−⎣⎦，则1A = ，Cond()A ∞= .5. 设是方程的3重实根，则求的改进的Newton 迭代公式为 *x 0)(=x f *x .二 (本题满分8分) 对下列方程组1231231232633245,422x x x x x x x x x ,++=⎧⎪++=⎨⎪−+=⎩ 建立收敛的Jacobi 迭代公式和收敛的Gauss–Seidel 迭代公式，并说明理由。
五(本题满分10分) 已知方程在3210x x −−=0 1.5x =附近有一个实根.*x (1) 取初值0 1.5x =，用Newton 迭代法求（只迭代两次）。
硕士研究生数值分析试卷
数值分析（研究生，2008-12-15）1.（10分）求函数⎩⎨⎧≤≤++<≤-+=10,101,1sin )(2x x x x x x f 在区间[-1，1]上的最佳平方逼近式x e a x a a x 210)(++=φ。
2．（15分）利用乘幂法计算下列矩阵的主特征值和相应的特征向量⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----110141012，初始向量为T x ]0,0,1[0=（要求结果有三位有效数字）。
同时计算该矩阵的1-条件数和谱条件数。
3.（15分）已知函数x x f sin )(=在36.0,34.0,32.0210===x x x 处的值分别为352274.0,333487.0,314567.0210===y y y 。
用Lagrange 插值多项式对3167.0=x 的函数值进行近似计算，并估计近似计算的误差界。
4.（15分）用Newton 迭代法求方程0ln 2=+x x 在区间（0，2π）内的解，选择你认为合适的初始点，计算方程的根，使得近似解具有四位有效数字。
请从理论上估计达到所需精度所需的迭代次数。
5.（15分）用Gauss-Seidel 迭代法解方程组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---542834*********x x x 取初始近似向量0[0,0,0]Tx =，估计达到4位有效数字需要的迭代次数，并实际计算之。
就该具体问题分析计算过程中总的乘除法计算量。
6. （10分）应用拟牛顿法解非线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-+.12,2322112221x x x x x x 取T x ]1,0[)0(= ，终止容限210-=ε。
7.（10分） 求解矛盾方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++=++=++232328.12221321321321321x x x x x x x x x x x x8. （10分）用复合Simpson 公式计算积分⎰=21sin )(xdx f I 讨论在误差要求不超过410-的条件下的步长。
060708研究生数值分析试卷(A).doc
武汉大学2006〜2007学年第一学期硕士研究生期末考试试题(A 卷)科H 名称：数值分析 学生所在院： 学号： 姓名：注意：所有的答题内容必须答在答题纸上，凡答在试题或草稿纸上的一律无效。
一、(12分)设方程组Ax = 0为■1、 (1\J 1>(1)用Doolittle 分解法求解方程组;(2) 求矩阵A 的条件数Cwd(A)g 二、(12分)设A 为n 阶对称正定矩阵，A的n 个特征值为山 < 心< .•. V 九，为 求解方程组Ax = b,建立迭代格式求出常数s 的取 值范围，使迭代格式收敛。
三、(12分)已知数据试用二次多项式p ⑴=ax 1 2+hx + c 拟合这些数据。
四、(14分)已知y = /(x)的数据如下：取得最小值。
六、 (12)确定常数片，使求积公式1求f (x)的Hermite 插值多项式W 3(x)；2 为求\\f{x)dx 的值，采用算法：•⑴必:=「久3)击+ R 试导出截断误差R五、(12分)确定常数。
，b 的值，使积分r I.2I(a,b) = J 0(czx + /?-/) dxc 2^f{x)dx a A/(0) + A2/(l) + A3/(2)的代数精度尽可能高，并问是否是Gauss型公式。
七、(12分)设伊⑴导数连续，迭代格式x M =(p{x k)—阶局部收敛到点x*。
对于常数人，构造新的迭代格式：A 1 ,、队=一从+ 一心)1 +2 1 + 人问如何选取人，使新迭代格式有更高的收敛阶，并问是儿阶收敛。
八、(14分)对于下面求解常微分方程初值问题」方= 的单步法：Mo) = JoA)'〃+】=儿 + hk2< k、=(1)验证它是二阶方法；(2)确定此单步法的绝对稳定区域。
武汉大学2007~2008学年第一学期硕士研究生期末考试试题科目名称：数值分析学生所在院：学号：姓名：注意：所有的答题内容必须答在答题纸上，凡答在试题或草稿纸上的一律无效。
【研究生】数值分析试题
文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持. 1文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.华南理工大学研究生课程考试 《数值分析》试卷A （2015年1月9日） 1. 考前请将密封线内各项信息填写清楚； 所有答案请按要求填写在本试卷上； 课程代码：S0003004； 4. 考试形式：闭卷； 5. 考生类别：硕士研究生； 本试卷共八大题，满分100分，考试时间为150分钟。
一．（12分）解答下列问题 1．欲计算下式： ()13(1)2(1)(2)7(1)(2)(3)6(1)(2)(3)(4),P x x x x x x x x x x x =+-+------+---- 2．设有递推公式 0161,1,2,n n y y y n -⎧=⎪⎨=-=⎪⎩ *001.732y y = 作实际计算，问计算到10y 时误差为初始误差*00y y -的多少 这个计算过程数值稳定吗 ？ . （14分）解答下列问题 1. 若2()63f x x =+，则[1,2,3]f 和[1,2,34]f ，的值分别是多少？ 2. 1012 . (10分) 设f 在互易节点i x 上的值()()0,1,....i i f f x i n ==。
试证明：f 在节点i x 上n 次最小二乘拟合多项式()n p x 与f 在节点i x 上的n 次Lagrange 插值多项式()n L x 一致，()()=n n p x L x 。
. (12分) 按代数精度的定义，构造下列形式的求积公式（即确定参数,A B ，α）: Gauss 型求积公式。
. (14分) 已知线性代数方程组Ax=b 为： ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----n n n n n n n n b b b b x x x x d u u u v d v d v d 121121121112211000000文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持.2文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑. (1) 用顺序高斯消去法求解方程组Ax=b ；(2) 先由(1)的消元过程直接写出A 的LU 分解，再利用该LU 分解求解方程组Ax=b 。
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数值分析（研究生，2008-12-15）
1.（10分）求函数⎩⎨⎧≤≤++<≤-+=1
0,101,1sin )(2x x x x x x f 在区间[-1，1]上的最佳平方逼近式
x e a x a a x 210)(++=φ。
2．（15分）利用乘幂法计算下列矩阵的主特征值和相应的特征向量
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡----110141012，初始向量为T x ]0,0,1[0=（要求结果有三位有效数字）。
同时计算该矩阵的1-条件数和谱条件数。
3.（15分）已知函数x x f sin )(=在36.0,3
4.0,32.0210===x x x 处的值分别为352274.0,333487.0,314567.0210===y y y 。
用Lagrange 插值多项式对3167.0=x 的函数值进行近似计算，并估计近似计算的误差界。
4.（15分）用Newton 迭代法求方程0ln 2=+x x 在区间（0，2
π）内的解，选择你认为合适的初始点，计算方程的根，使得近似解具有四位有效数字。
请从理论上估计达到所需精度所需的迭代次数。
5.（15分）用Gauss-Seidel 迭代法解方程组
⎥⎥⎥⎦⎤⎢
⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---542834*********x x x 取初始近似向量0[0,0,0]T
x =，估计达到4位有效数字需要的迭代次数，并实际计算之。
就该具体问题分析计算过程中总的乘除法计算量。
6. （10分）应用拟牛顿法解非线性方程组
⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-+.
12,2322112221x x x x x x 取T x ]1,0[)0(= ，终止容限210-=ε。
7.（10分） 求解矛盾方程组
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++=++=++2
32328.12221321321
321321x x x x x x x x x x x x
8. （10分）用复合Simpson 公式计算积分
⎰=2
1sin )(xdx f I 讨论在误差要求不超过410-的条件下的步长。
数值分析（研究生，2009-12-12）
1.（10分）求函数x x f =)(在区间[0，1]上关于权函数3
1)(x x w =的最佳逼近多项式.)(2cx bx a x ++=φ
2．（15分）利用乘幂法计算下列矩阵的主特征值和相应的特征向量
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡---110121012，初始向量为T x ]0,0,1[0=（要求结果有三位有效数字）。
同时计算该矩阵的∞-条件数和谱条件数。
3.（15分）假定给出函数x x f sin )(=的等距点函数表)11(≤≤-x 。
若用二次抛物线插值求x sin 的近似值，要使截断误差不超过310-，问使用函数表的步长h 应取多少？
4.（15分）用Newton 迭代法求方程032=-x e x 在区间（0，1）内的解，选择你认为合适的初始点，计算方程的根，使得近似解具有四位有效数字。
请从理论上估计达到所需精度所需的迭代次数。
5.（15分）用SOR 迭代法解方程组
⎥⎥⎥⎦⎤⎢
⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---042830261016321x x x 取初始近似向量0[0,0,0]T
x =，估计达到精度达到310-需要的迭代次数，并实际计算之。
就该具体问题分析计算过程中总的乘除法计算量。
6. （10分）应用拟牛顿法解非线性方程组 ⎪⎩
⎪⎨⎧+=+=++=+32,1222y z x e e x y xyz z xy
取T ]1,1,1[作为初始值，终止容限210-=ε。
7.（10分）
求数据（-1，2），（0，1），（1，2），（2，4）的最小二乘拟合.
)(210x a a x +=φ
8. （10分）用复合Simpson公式计算积分
⎰=10cos
f
I x
e
)
(xdx
讨论在误差要求不超过2
10-的条件下的步长，并比较实际计算结果与精确结果。