第15章简单几何体复习与小结(教师版)
2024-2025学年高中数学第1章立体几何初步1简单几何体(教师用书)教案北师大版必修2
布置作业：
根据本节课学习的简单几何体的内容，布置适量的课后作业，巩固学习效果。
提醒学生注意作业要求和时间安排，确保作业质量。
拓展与延伸
1. 提供与本节课内容相关的拓展阅读材料：
- 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的代表作，其中包含了关于立体几何的详细论述，对于理解立体几何的概念和定理非常有帮助。
举例：可以用坐标系表示几何体的顶点或中心点的位置，用向量表示几何体的尺寸和方向。
（3）几何体的表面积和体积计算：如何计算简单几何体的表面积和体积。
举例：正方体的表面积公式为6a²，其中a为边长；正方体的体积公式为a³。
2.教学难点
（1）理解并应用几何体的特征：学生可能对几何体的特征和性质理解不深，难以运用到实际问题中。
互动探究：
设计小组讨论环节，让学生围绕简单几何体的问题展开讨论，培养学生的合作精神和沟通能力。
鼓励学生提出自己的观点和疑问，引导学生深入思考，拓展思维。
技能训练：
设计实践活动或实验，让学生在实践中体验几何体的应用，提高实践能力。
在新课呈现结束后，对简单几何体的知识点进行梳理和总结。
强调重点和难点，帮助学生形成完整的知识体系。
- 学习如何表示和描述简单几何体的尺寸和位置；
- 掌握如何计算简单几何体的表面积和体积。
2.教学目标：
- 学生能准确识别和描述常见简单几何体的特征；
- 学生能运用数学语言和符号表示简单几何体的尺寸和位置；
- 学生能计算简单几何体的表面积和体积，并能解决相关实际问题。
三、教学步骤
1.导入（5分钟）：通过展示一些实际生活中的几何体模型，引导学生思考和讨论这些模型的特征和数学关系。
2.1.3.5空间几何体复习小结(1)-【理教案】
课题：2.1.3.5空间几何体复习小结（1）一、教学目标1．知识与技能(1). 类比记忆棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台及球的定义，并理解空间几何体及组合体的结构特征；(2). 能正确画出空间图形的三视图并能识别三视图所表示的立体模型；(3). 在了解斜二测画法的基础上会用斜二测画法画出一些简单图形的直观图；(4). 掌握柱体、椎体、台体、球体的表面积与体积的求法，并能通过一些计算方法求出组合体的表面积与体积。
2．过程与方法通过学生自主学习和动手实践，进一步增强他们的空间观念，用三视图和直观图表示现实世界中的物体。
掌握柱体、椎体、台体、球体的表面积与体积的求法；提高学生分析问题和解决问题的能力。
3．情感态度与价值观体现运动变化的思想认识事物的辩证唯物主义观点，通过和谐、对称、规范的图形，给学生以美的享受，引发学生的学习兴趣。
（二）典型例题例1 （1）下列命题中：①用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫棱台； ②棱台的各侧棱延长后一定相交于一点；③圆台可以看做直角梯形以其垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面围成的几何体；④以半圆所在直径为旋转轴，半圆旋转一周形成球。
正确命题的序号是 。
（2）一棱锥的侧棱都相等，所有的侧面上的高也相等，则这个棱锥的底面是（ ） A. 直角三角形 B. 菱形 C. 正多边形 D. 矩形例2 已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积是（ ）A. 34000B. 38000C. 2000D. 4000例3 圆柱内有一个内接长方体1AC ，长方体对角线长是cm 210，圆柱的侧面展开图为矩形，此矩形的面积是2100cm ，求圆柱的体积。
例4 一个直角梯形的两底长为2和5，高为4，将其绕较长的底旋转一周，求所得旋转体的侧面积。
（三）总结提升1.对于空间几何体的结构特征，一是要类比记忆棱柱、棱锥、棱台等多面体的概念性质；二是圆柱、圆锥、圆台及球都是旋转体，轴截面是解决这四类几何体问题的关键。
立体几何初步小结复习北师大PPT学习教案
平面 A E D C ∩β= A C ， ∵α∥β，∴A C ∥D E . 又 P 、N 分别为 A E 、C D 的中点，
∴P N ∥D E .P N α，D E α，
∴P N ∥α.又 M 、P 分别为 A B 、A E 的中点，
∴M P ∥B E ，且 M P α，B E α，
∴A D 1∥平面 B P Q .
又 A D 1∩C D 1= D 1，∴平面 A C D 1∥平面 B P Q ，
∵A C 平面 A C D 1，∴A C ∥平面 B P Q .
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练习1 1、如图，在正方体 ABCD——A1B1C1D1中， O是底面ABCD对角线的交点. 求证：C1O//平面AD1B1.
立体几何初步小结复习北师大
平行关系
一、证明线线平行的方法 (1)定义法：在同一平面内没有公共点的两条直线平行． (2)平行公理：平行于同一条直线的两条直线平行． (3)线面平行的性质定理： 应用时题目条件中需有线面平行． (4)面面平行的性质定理： 应用时题目条件中需有面面平行． （5）线面垂直的性质定理：
线分别为 B G ，C H .
根据两平面平行的性质定理，有 B G ∥C H .
在△A C H 中， AB AG .
BC GH
而 A G =D E ，G H =E F ，∴
AB DE . BC EF
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过平行线 A H ，D F 的平面分别交平面 α，β，γ于 A D ，G E ，H F . 根据两平面平行的性质定理， 有 A D ∥G E ∥H F .
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AG // DE
AD
//
GE
⇒A
立体几何 小结与复习
小结与复习教学目的：以空间的“线线、线面、面面”之间的位置关系为主要线索对所学内容进行横向整理总结这种横纵结合的学习方法有利于对知识的认识更系统、更深入，运用起来更灵活2．在有关问题的解决过程中，进一步了解和掌握相关公理、定理的内容和功能，并探索立体几何中论证问题的规律；在有关问题的分析与解决的过程中提高逻辑思维能力、空间想象能力及化归和转化的数学思想的应用．3．在解决有关空间角的问题的过程中，进一步巩固关于直线和平面的平行垂直的性质与判定的应用，掌握作平行线(面)和垂直线(面)的技能；通过有关空间角的问题的解决，进一步提高学生的空间想象能力、逻辑推理能力及运算能力．4．通过教学使学生掌握基本的立体几何解题方法和常用解题技巧，发掘不同问题之间的内在联系，提高解题能力．5．在学生解答问题的过程中，注意培养他们的语言表述能力和“说话要有根据”的逻辑思维的习惯、提高思维品质．使学生掌握化归思想，特别是将立体几何问题转化为平面几何问题的思想意识和方法，并提高空间想象能力、推理能力和计算能力．教学过程：一、知识纲要㈠空间的直线与平面⒈平面的基本性质⑴三个公理及公理三的三个推论和它们的用途．⑵斜二测画法．⒉空间两条直线的位置关系：相交直线、平行直线、异面直线．⑴公理四（平行线的传递性）．等角定理．⑵异面直线的判定：判定定理、反证法．⑶异面直线所成的角：定义（求法）、范围．⒊直线和平面平行于平面和平面平行⑴直线与平面平行：直线和平面的位置关系、直线和平面平行的判定与性质．⑵平行平面：两个平面的位置关系、两个平面平行的判定与性质．⒋直线和平面垂直⑴直线和平面垂直：定义、判定定理．⑵三垂线定理及逆定理．㈡空间向量⒌空间向量及其运算⑴空间向量及其加减与数乘运算（几何方法）．⑵共线向量定理与共面向量定理．⑶空间向量基本定理．⑷两个向量的数量积：定义、几何意义．⒍空间向量的坐标运算⑴空间直角坐标系：坐标向量、点的坐标、向量的坐标表示．⑵向量的直角坐标运算．⑶夹角和距离公式．㈢夹角与距离⒎直线和平面所成的角与二面角⑴平面的斜线和平面所成的角：三面角余弦公式、最小角定理、斜线和平面所成的角、直线和平面所成的角．⑵二面角：①定义、范围、二面角的平面角、直二面角．②互相垂直的平面及其判定定理、性质定理．⒏距离⑴点到平面的距离．⑵直线到与它平行平面的距离．⑶两个平行平面的距离：两个平行平面的公垂线、公垂线段．⑷异面直线的距离：异面直线的公垂线及其性质、公垂线段．㈣简单多面体⒐棱柱与棱锥⑴多面体．⑵棱柱与它的性质：棱柱、直棱柱、正棱柱、棱柱的性质．⑶平行六面体与长方体：平行六面体、直平行六面体、长方体、正四棱柱、正方体；平行六面体的性质、长方体的性质．⑷棱锥与它的性质：棱锥、正棱锥、棱锥的性质、正棱锥的性质．⑸直棱柱和正棱锥的直观图的画法．⒑多面体欧拉定理的发现⑴简单多面体的欧拉公式．⑵正多面体．二、方法总结⒈解立体几何问题的基本思路：化立体几何问题为平面几何问题．⒉熟练掌握所学习的定义、定理，掌握空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的相互位置关系的内在联系，灵活的进行互相转化是解立体几何证明题的基础．⒊关于空间的角和距离的计算问题，要依据定义转化为平面概念，然后灵活运用勾股定理、正余弦定理和向量方法进行计算．要严格按照“一作、二证、三计算”，即先构造、再定性、后定量的程序进行．⒋空间向量是解决立体几何问题的有力工具．要熟练掌握向量的各种运算的定义、几何意义，恰当的引入向量运算，化几何证明、逻辑推理为简单的代数运算，以降低解题难度．三、讲解范例：【例1】如图，P是⊿ABC所在平面外一点，M，N分别是PA和AB的中点，试过点M，N作平行于AC的平面α，求：（2）试对你的画法给出证明．解：（1）过N点作NE//AC交BC于E，过M点作MF//AC交PC于F，连结EF，则平面MNEF为平行于AC的平面α，NE，EF，MF分别是平面α与平面ABC，平面PBC，平面PAC的交线．（2）∵NE//AC，MF//AC，∴NE//MF.∴直线NE与MF共面，NE，EF，MF分别是平面MNEF与平面ABC，平面PBC，平面PAC的交线．∵NE//AC，NE⊂平面MNEF，∴AC//平面MNEF．∴平面MNEF为所求的平面α．GF EABCDA1B 1C 1D1【例2】在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为BB 1、D 1B 1的中点， 求证：EF ⊥平面B 1AC分析一：用传统的几何法证明，利用三垂线定理， 需添加辅助线证明：设A 1B 1的中点G ，连EG 、FG 、A 1B ， 则FG ∥A 1D 1，EG ∥A 1B ，∵A 1D 1⊥平面A 1B ， ∴FG ⊥平面A 1B ，∵A 1B ⊥AB 1，∴EG ⊥AB 1，由三垂线的逆定理，得EF ⊥AB 1，同理EF ⊥B 1C ， 又AB 1∩B 1C ＝B 1，∴EF ⊥平面B 1AC分析二：选基底，利用向量的计算来证明证明：设AB ＝a ，AD ＝b ，1AA ＝c ，则)(21)(21)(211111111AB AD AA BD AA D B BB F B EB EF -+=+=+=+=＝(－a ＋b ＋c)/2 11AA AB AB +=＝a ＋b1AB EF ⋅∴＝(－a ＋b ＋c)/2•(a ＋b)＝(b 2－a 2＋c •a ＋c •b)/2＝(|b|2－|a|2＋0＋0)/2＝0，1AB EF ⊥∴，即EF ⊥AB 1，同理EF ⊥B 1C ，又AB 1∩B 1C ＝B 1，∴EF ⊥平面B 1AC分析三：建立空间直角坐标系，利用向量，且将向量的运算转化为实数（坐标）的运算，以达到证明的目的证明：设正方体的棱长为2，建立如图所示的直角坐标系， 则A(2,0,0),C(0,2,0),B 1(2,2,2),E(2,2,1),F(1,1,2),EF ∴＝(1,1,2)－(2,2,1)＝(―1,―1,1)，1AB ＝(2,2,2)－(2,0,0)＝(0,2,2)AC ＝(0,2,0)－(2,0,0)＝(－2,2,0) 1AB EF ⋅∴＝(―1,―1,1)• (0,2,2)＝0AC EF ⋅＝(―1,―1,1)• (－2,2,0)＝0 ∴EF ⊥AB 1， EF ⊥AC ，又AB 1∩B 1C ＝B 1，∴EF ⊥平面B 1AC【例3】 在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是一直角梯形，∠BAD ＝90°，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝a ，AD ＝2a ，且PA ⊥底面ABCD ，PD 与底面成30°（PD 和其在底面上的射影所成的角）⑴若AE ⊥PD ，垂足为E ，求证：BE ⊥PD ； ⑵求异面直线AE 与CD 所成角的大小解：以A 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系A －xyz A(0,0,0),B(a,0,0),C(a,a,0), D(0,2a,0)证明⑴：∵PD 在底面上的射影是DA ，且PD 与底面成30°， ∴∠PDA ＝30°，),332,0,0(a P ∴∵AE ⊥PD ，)23,21,0(,||21||a a E a AD AE ==∴),332,2,0(),23,21,(a a PD a a a BE -=-=∴PD BE a a a a a PD BE ⊥∴=-⋅+⋅+-⋅=⋅∴,0)32(2322)(0，即BE ⊥PD 解⑵：由⑴知,2),0,,(),23,2,0(2aCD AE a a CD a a AE =⋅∴-==又42cos ,2||,||==∴==a CD a AE ，∴异面直线AE 与CD 所成角的大小为arccos .42【例4】 已知空间四边形OABC 中，BC OA ⊥，AC OB ⊥．求证：AB OC ⊥． 证明：AB OC ·＝)(·OA OB OC -＝OB OC ·－OA OC ·． ∵BC OA ⊥，AC OB ⊥， ∴0·=BC OA ，0·=AC OB ，0)(·=-OB OC OA ，0)(·=-OA OC OB ． ∴OB OA OC OA ··=，OA OB OC OB ··=． ∴OB OC ·＝OA OC ·，AB OC ·＝0．∴AB OC ⊥四、小结 ： 点的坐标与向量的坐标一般不同，只有表示向量的有向线段的起点是坐标原点时.有向线段终点的坐标与向量的坐标相同.这一点务必向学生讲清楚.；明确用向量坐标法证明或计算几何问题的基本步骤：建系设坐标→向量点的坐标化→向量的直角坐标运算运用向量的坐标表示及其运算研究立体几何中的角、距离、证明垂直等问题时，关键是建立适当的坐标系，进而将向量坐标化，建立坐标系时，要充分利用图形的几何性质掌握运用向量求角、距离的方法五、课后作业： 一、选择题（1）从平面外一点向平面引一条垂线和三条斜线，若这些斜线与平面成等角，则如下四个命题中：① 三斜足构成正三角形；② 垂足是斜足三角形的内心；③垂足是斜足三角形的外心； ④ 垂足是斜足三角形的垂心。
《几何图形的初步认识》单元小结（共5篇）
《几何图形的初步认识》单元小结（共5篇）第一篇：《几何图形的初步认识》单元小结第二章几何图形的初步认识单元小结单元内容概述本章的主要内容是图形的初步认识，主要介绍了生活中的多姿多彩的图形（立体图形、平面图形），以及最基本的平面图形——点、线、角等，都是从现实生活中熟悉的物体入手，使对物体的形状逐步由模糊的、感性的认识，上升到抽象的数学图形的理性认识.单元教学重点重点：线段、射线、直线与角的有关概念和性质单元教学难点难点：线段的长短比较，角的大小比较及关于线段、角的有关运算知识点梳理1．几何体是从实物中抽象出的数学模型。
识别几何体，应以直观观察为主，一般特征以观察者获得的形象感觉加以表述即可，如圆柱：特征如两个底面是相等的圆等。
圆锥：特征如象锥子，底面是个圆等。
棱柱：特征如底边是多边形，侧面是长方形等。
但这类特征并非是要做出严密的、科学的结论，可因观察者的视角变化而变化例1 如图1所示，是三棱锥的立体图形是（）图1分析：解决本题的关键是根据图形特征，区分三棱锥与圆锥、四棱锥、五棱锥，可从底面的形状入手进行判断。
B中的底面是圆，故不是棱锥，C的底面是四边形，D的底面是五边形，它们都不是三棱锥，只有A是三棱锥。
解：A 2．生活中的立体图形都是由最基本几何图形组成的，其中线是由点组成的，面是由线构成的，体是由面围成的。
用运动的观点看，即“点动成线、线动成面、面动成体”。
例2 将一个直角三角形ABC绕它的一边旋转，试画出旋转后所得到的几何体.分析：由于题目中没有说明绕哪条边旋转，考虑到直角三角形有三条边，所以必须分三种情况，得到三个不同的几何体.解：如图2分别沿三条边旋转一周，得到如图3所示的三个几何体：注：在旋转过程中，若点在“轴”上，则旋转一周后该点的位置不变；若点不在“轴”上，则旋转一周后形成一个圆；与“轴”重合的线段旋转一周后仍然与轴重合；与“轴”垂直的线段旋转一周后得到一个平面（圆）；与“轴”不垂直的线段旋转一周后得一个曲面.3.线段、射线、直线(1)线段、射线、直线的定义①线段：线段可以近似地看成是一条有两个端点的崩直了的线.线段可以量出长度.②射线：将线段向一个方向无限延伸就形成了射线，射线有一个端点.射线无法量出长度.③直线：将线段向两个方向无限延伸就形成了直线，直线没有端点.直线无法量出长度.4.线段、射线、直线的表示方法（1）线段的表示方法有两种：一是用两个端点来表示，二是用一个小写的英文字母来表示.（2）射线的表示方法只有一种：用端点和射线上的另一个点来表示，端点要写在前面.（3）直线的表示方法有两种：一是用直线上的两个点来表示，二是用一个小写的英文字母来表示.例3 如图（3），A、B、C、D为平面内每三点都不在同一直线的四点，那么过其中的两点，可画出6条直线，那么A、B、C、D、E为平面内每三点都不在同一直线的五点过其中两点可以画几条直线？若是n个点呢？析解：对于已知四点A点与其他三点各确定一条直线，共3条直线，过B、C、D也各有三条直线，这样共有12条直线，但每条都重复一次，所以应该是对于已知五个点，类似地可以得到：对于n个点，就可以得到1⨯4⨯3=6条； 21⨯5⨯4=10； 21n(n-1)条。
新人教版七年级上册学案：《几何图形初步》小结与复习
新人教版七年级上册学案：《几何图形初步》小结与复习学习目标：1．进一步熟悉常见几何体的基本特征，能正确识别常见的几何体．2．进一步熟悉和了解常见几何体的平面展开图以及简单几何体的三视图．3．进一步认识点、线、面、体及其相互关系．学习重点：能正确识别常见的几何体及其平面展开图．学习难点：正确作出简单几何体的三视图．使用要求：1．阅读课本P151小结；2．尝试完成教材P152复习题4第1、2、3题；3．限时25分钟完成本导学案（合作或独立完成均可）；4．课前在小组内交流展示.一、知识回顾：1．什么是几何图形？几何图形可分为_______和________两大类．2．常见的立体图形：常见．．的立体图形大致可分为：柱体、锥体和球体三类．（1）下面的几何体都我们生活中常见的，你能不能找到生活中的实例以及想象其图形．长方体、正方体、球、圆柱、圆锥、棱柱、棱锥、棱台、圆台等．（2）完成教材P152复习题4第1题．3．常见的平面图形：试写几个常见的平面图形，找一找生活中的实例，想一想其图形的形状．4．点、线、面、体及其相互间的关系．5．简单几何体的三视图．从正面看从左面看从上面看按要求画出这个几何体从正面、左面、上面观察所得到的三视图．6．常见几何体的平面展开图（1）圆柱的展开图与圆锥的展开图．圆柱及其展开图圆锥及其展开图（2）你能画出下面这个几何体的展开图吗？试一试．二、合作探究：1．如图，左边这个几何体的展开图可以是（）A B C D【老师提示】当我们不能正确判断时，最好动手折一折．2．如图，把左边的图形折叠起来，它会变为( )A B C D3．下面是水平放置的四个几何体，从正面观察不是长方形的是（）A B C D4．如图，5个边长都为1㎝的正方体摆在桌子上，则露在表面的部分的面积是_______．5．P152复习题4第2、4题．二、学习小结：1．如图，∠AOB 、∠COD 都是直角，∠BOC ＝38°，求∠AOD 的度数．2．如图，OC 、OD 是平角∠AOB 的三等分线，OE 、OF 分别是∠AOC 、∠BOD 的平分线， 求∠EOF 的度数．3．如图，∠AOB ＝90°，∠BOC ＝30°，OM 、ON 分别平分∠AOC 、∠BOC ，求∠M ON 的度数．4．（1）在上面第3题中，如果∠BOC ＝50°，那么∠MON 是多少度？（2）在上面第3题中，如果∠AOB ＝80°，那么∠MON 是多少度？从上面这几个问题的解答过程中，你是否发现了其中的规律？5．在4时和5时之间的哪个时刻，时钟的时针与分针成直角．O DC B A A O B C DE FNM O C B A 123456789101112A6．小明同学晚上6点多种开始做作业时，他发现时钟的时针与分针成120°的角，做完作业后，他发现时钟的时针与分针还是成120°的角，但这时已近晚上7点了，那么小 明同学做作业用了多少时间？7．小明同学在操场上从点A 出发向东北方向走40米到点B ，再从B 出发向北偏西75°方向走50米到点C ．用1：1000的比例尺画出图形．（1）量出AC 的长．（2）AC 间的实际长是多少？（3）点C 在点A 的什么方向．123456789101112A。
七年级下册几何体知识点归纳总结
七年级下册几何体知识点归纳总结几何体是我们在数学学习中经常会遇到的一个概念，也是我们生活中经常接触到的三维物体。
在七年级下册的学习中，我们掌握了许多与几何体相关的知识点。
本文将对七年级下册的几何体知识进行归纳总结，帮助大家更好地复习和掌握这些重要的概念。
1. 立体图形的特点在学习几何体之前，我们首先要了解立体图形的特点。
立体图形是具有三维空间结构的图形，具有长、宽和高这三个方向的尺寸，而平面图形只有长和宽两个方向的尺寸。
立体图形有体积和表面积两个重要的物理量，体积是指几何体所占据的空间大小，而表面积是指几何体所有面的总面积。
2. 常见的几何体及其性质（1）正方体：正方体是一种具有六个相等的正方形面的几何体。
它的特点是所有的面都是相等的，并且相邻面之间的夹角是90°。
正方体的体积公式是体积=边长³，表面积公式是表面积=6 ×边长²。
（2）长方体：长方体是一种具有六个矩形面的几何体。
它的特点是相邻的面是相等的，并且相邻面之间的夹角是90°。
长方体的体积公式是体积=长 ×宽 ×高，表面积公式是表面积=2 × (长 ×宽 + 长 ×高 + 宽 ×高)。
（3）球体：球体是一种所有点到球心的距离都相等的几何体。
它的特点是没有棱和面，只有曲面。
球体的体积公式是体积=4/3 × π × 半径³，表面积公式是表面积=4 × π × 半径²。
（4）圆柱体：圆柱体是一种具有两个圆形底面和一个侧面的几何体。
它的特点是底面圆的半径相等，并且圆柱体的侧面是一个长方形。
圆柱体的体积公式是体积=π × 半径² ×高，表面积公式是表面积=2 × π×半径² + π × 直径 ×高。
（5）圆锥体：圆锥体是一种具有一个圆形底面和一个顶点的几何体。
15章分式复习与小结 导学案
第十四课时 第15章分式复习与小结【学习目标】1．复习整理本章的知识结构，形成知识体系．解决生活中的实际问题． 2．掌握列分式方程解决实际问题的基本方法，深化数学思想的认识． 【学习重点】建立本章知识结构，准确、熟练、灵活地进行分式的四则运算． 一、知识结构：二、熟记知识点1、若A 、B 均为_____式, 且B 中含有_________. 则式子 分式 有意义的条件是 ，值为零的条件是 ，2、分式的基本性质： 分式的分子与分母都乘以(或除以)___________ .分式的值________. 用式子表示:3、通分关键是找____________________,约分与通分的依据都是:______________________4、分式乘分式， ， 用式子表示： 分式除以分式， ， 用式子表示：5、同分母的分式相加减， 用式子表示：异分母的分式相加减：先 ，化为 分式，再加减。
用式子表示：6、当n 是正整数时，=-na，7、科学计数也可表示一些绝对值较小的数，将他们表示成 的形式，其中n 是 ， ≤a＜ 。
8、解分式方程的步骤：(1)___________________;(2)___________________(3)____________________.(4)三、知识应用1、当x ＝ 时，分式31－x 有意义． 2、一种病菌的直径为0.0000036m ，用科学记数法表示为 .3、某班a 名同学参加植树活动，其中男生b 名(b<a )．若只由男生完成，每人需植树15棵；若只由女生完成，每人需植树 棵．4、已知a 2－6a +9与|b －1|互为相反数,则(a b b a -)÷(a +b )=______。
5、若非零实数a ，b 满足4a 2+b 2=4ab ，则ab =_____。
6、下列各式：()xx x x y x x x 2225 ,1,2 ,34 ,151+---π其中分式共有（ ）个。
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第15章 简单几何体(教师版)
复习与小结
一．要点呈现
1、多面体的结构特征：
（1）棱柱：有两个面 互相平行 ，其余各面是 平行四边形 ，且相邻两个面的交线都 互相平行 ．
（2）棱锥：有一个面是 多边形 ，而其余各面都是有一个 公共顶点 的三角形．
（3）圆柱：旋转图形 矩形 ，旋转轴： 矩形的一条边 所在的直线．
（4）圆锥：旋转图形 直角三角形 ，旋转轴： 一条直角边 所在的直线．
（5）球：旋转图形 半圆 ，旋转轴： 半圆的直径 所在的直线．
2、平行投影与直观图：空间几何体的直观图常用 斜二测 画法来画，其规则是：
（1）原图形中x 轴、y 轴、z 轴两两垂直，直观图中，x 轴、y 轴的夹角为45︒，z 轴与x 轴和y 轴所在平面 垂直 ．
（2）原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别 平行于坐标轴 ．平行于y 轴和z 轴的线段在直观图中保持原长度 不变 ，平行于x 轴的线段长度在直观图中 取原长度一半 ．
3、特殊的棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱称为 斜 棱柱；侧棱垂直于底面的棱柱叫做 直 棱柱；底面是正多边形的直棱柱是 正 棱柱；底面是平行四边形的四棱柱叫做 平行六面体 ；侧棱垂直于底面的平行六面体叫做 直平行六面体 ；底面是矩形的直平行六面体叫做 长方体 ；棱长都相等的长方体叫做 正方体 ；其中长方体对角线的平方等于同一顶点上 三条棱长度的平方和 .
4、特殊的棱锥：如果棱锥的底面为正多边形，且各侧面是全等的等腰三角形，那么这样的棱锥称为 正棱锥 ，它的各侧面底边上的高均 相等 ，叫做 斜高 ；侧棱长等于底面边长的正三棱锥又称为 正四面体 .
5、在推导几何体体积公式时，我们应用了祖暅原理，该原理的意思是 两等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等 .
6、两点间的球面距离的定义是： 经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧长度叫两点间的球面距离 .
二．范例导析
【例1】三棱锥O-ABC 的三条棱OA, OB, OC 两两垂直，OA=1，OB=OC=2，求：
（1）内切球表面积； （2）外接球体积.
分析：通过体积相等法求内切球的半径；怎样找外接球的球心？
解答：（1）内切球的半径为：45r -=8825
-； （2）外接球的半径为：32R =，体积为92
π.
【例2】在斜三棱柱111C B A ABC -中，=∠AC A 12π
=∠ACB ，
61π
=∠C AA ，侧棱1BB 与底面所成的角为3
π，341=AA ， 4=BC .求斜三棱柱-ABC 111C B A 的体积V . 分析：由题意知：AC ⊥面11CBB C ,所以:面ABC ⊥面11CBB C ，
点1B 在面ABC 内的射影落在BC 上，可求出三棱柱的高
解答：48V =
【例3】如图：圆锥的顶点是S ，底面中心为O.OC 是与底面直径
AB 垂直的一条半径，D 是母线SC 的中点.
（1）求证：BC 与SA 不可能垂直；
（2）设圆锥的高为4，异面直线AD 与BC
所成角为， 求圆锥的体积.
分析： 证明不可能垂直可用反证法，注意书写格式；
异面直线AD 与BC 所成角来求底面圆的半径
解答：（2）163V π=
三．随堂训练
一．填空题
1. 正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，则其体积为163
. 2. 长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的8个顶点在同一个球面上，且AB ＝2，AD ＝3，AA 1＝1，则顶点A 、B
间的球面距离是2． 3. 如图，用铁皮制作一个无盖的圆锥形容器，已知该圆锥
的母线与底面所在平面的夹角为45︒，容器的高为10cm ．制
作该容器需要铁皮面积为 444 cm 2．（衔接部分忽略不计，
结果保留整数）
4.如图，ABC ∆中， 90=∠C ， 30=∠A ，1=BC ．在三角形内挖
去半圆（圆心O 在边AC 上，半圆与BC 、AB 相切于点C 、M ，与AC 交
于N ），则图中阴影部分绕直线AC
． 5. 在△ABC 中，02, 1.5,120AB BC ABC ==∠=，若△ABC 绕直线
BC 旋转一周，则所形成的几何体的体积是32π.
6. 一个透明密闭的正方体容器的棱长为1，该容器盛有一部分水的容积为V ，经转动这个 正方体，水面在容器中的形状可以是三角形，则正方体容器中水的容积V 的范围是
15(0,][,1)66
． 二．选择题
7. 用一个平面去截正方体，所得截面不可能是（ D ）
A ．平面六边形
B ．菱形
C ．梯形
D ．直角三角形
8. 一平面截一球得到直径为6 cm 的圆面，球心到这个平面的距离是4 cm ，则该球的体积是（ C ）
A.
3π100cm 3 B.3π208cm 3 C.3
π500cm 3 D.3π34161cm 3 9. 如图，正方体
1111D C B A ABCD -的棱长为1，线段11D B 上有两个动
点E 、F ，且EF ＝12
，则下列结论中错误的是 ( D ) A ．AC⊥BE B ．EF∥平面ABCD C ．三棱锥A －BEF 的体积为定值 D ．△AEF 的面积与△BEF 的面积相等
三．解答题
10.设地球的半径为R ，在北纬45°圈上有A B 、两点，它们的经度相差90°，求：
（1）这两点所对的纬线劣弧长。
（2）这两点间的球面距离。
答案：（1R ； （2）13
R π 11. 某甜品店制作蛋筒冰淇淋，其上半部分呈半球形，下半部分呈圆
锥形（如图）。
现把半径为10cm 的圆形蛋皮分成5个扇形，用一个扇
形蛋皮围成锥形侧面（蛋皮厚度忽略不计），求该蛋筒冰淇淋的表面积
和体积（精确到0．01）．
答案：表面积为：287.96cm ； 体积为：3
57.80cm
12.如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是边长为2的菱形， 060=∠ABC ，⊥PA 平面ABCD ，PC 与平面ABCD 所成角的大小
为2arctan ，M 为PA 的中点．
（1）求四棱锥ABCD P -的体积；
（2）求异面直线BM 与PC 所成角的大小（结果用反三角函数表示）．
答案：（1）3
（2） 四．提高拓展
13．三个半径为1的球互相外切，且每个球都同时与另外两个半径为r 的球外切。
如果这两个半径为r 的球也互相外切，求r 的值． 答案：16
14. 如图，等高的正三棱锥ABC P -与圆锥SO 的底面都在平面M 上，且圆O 过点A ，
又圆O 的直径BC AD ⊥，垂足为E ，设圆锥SO 的底面半径为1；
（1）求圆锥的侧面积；
（2）求异面直线AB 与SD 所成角的大小；
（3）若平行于平面M 的一个平面N 截得三 棱锥与圆锥的截面面积之比为π
3，求三棱锥 的侧棱PA 与底面ABC 所成角的大小．
答案：（1）；
（2） （3）9arctan 2 四．反馈跟进
五．学能导航
【要点剖析】
通过总结和归纳空间几何体的知识，能够使学生综合运用知识解决有关问题，培养学生分析问题、探究和思考问题的能力，激发学生学习数学的兴趣，培养其分类讨论的思想和提高其抽象思维能力．
本主题的教学重点是：熟悉简单几何体及简单组合体的结构特征，并会画出它们的直观图，面积和体积及球面距离的计算．教学难点是：区别各种几何体结构特征的异同，并能与实际生活中相联系．
【方法点评】
研究立体几何问题时要重视多面体的应用，才能发现隐含条件，利用隐蔽条件解题.几何体的表面积与体积中注意：
（1）有些几何体的表面积求法，可以把其展开，转化为平面图形来计算.
（2）圆柱、圆锥的侧面展开图的形状，及与原几何体中一些量的关系.
（3）球的截面性质，球半径、截面圆的半径、球心到截面的距离构成直角三角形.球的内接和外切问题.
（4）解决体积问题关键是求高，有关体积的计算应注意“割补”思想的应用.
六．自我反思。